文档内容
2024 年中考押题预测卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．−2024的绝对值是（ ）
1 1
A．2024 B．−2024 C． D．−
2024 2024
【答案】A
【分 析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果．
【详解】解：−2024的绝对值是2024．
故选：A．
2．在我国“福禄寿喜”一般是指对人的祝福，代表健康长命幸福快活和吉祥如意的意思，既代表着物质
生活的顺利又代表着精神生活的满足．下图是“福禄寿喜”变形设计图，其中是轴对称，但不是中心对称
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．2024年元旦假期，全国文化和旅游市场平稳有序．经文化和旅游部数据中心测算，元旦假期3天，全国国内旅游出游1.35亿人次，同比增长155.3%．则这3天全国国内旅游平均每天出游人数为（ ）
A．4.5×106 B．4.5×107 C．1.35×108 D．1.35×107
【答案】B
【分析】先将1.35亿写成科学记数法的形式，再除以3即可得出平均每天出游人数．
本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为a×10n (1≤a<10)，其中n可以用整数位数减去
1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【详解】1.35亿人=1.35×108人，
则平均每天出游人数为1.35×108÷3=0.45×108=4.5×107人．
故选：B．
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．3m+2m=5m2 B．4m2 ⋅3m3=12m6
C．(9m3−3m)÷3m=3m2 D．(m−n)(n+m)=m2−n2
【答案】D
【分析】本题主要考查了平方差公式，单项式乘以单项式，多项式除以单项式，合并同类项，熟知相关计
算法则是解题的关键．
【详解】解；A、3m+2m=5m，原式计算错误，不符合题意；
B、4m2 ⋅3m3=12m5，原式计算错误，不符合题意；
C、(9m3−3m)÷3m=3m2−1，原式计算错误，不符合题意；
D、(m−n)(n+m)=m2−n2，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
5．我国古代对于数学的研究非常深刻，它为中华民族乃至人类文明的发展做出了重大贡献．其中，主要
记载汉代数学成就，率先提出勾股定理，并在测量太阳高远的方法中给出勾股定理的一般公式的著作是（
）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了数学历史文化，勾股定理，掌握知识点是解题关键．
【详解】解：“勾三、股四、弦五”这一结论最早在数学著作《周髀算经》中提出来的，故B正确．
故选：B．
6．随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融人人们的日常生活．如图是共享单车车架的
示意图，线段AB,CE,DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知
AB∥DE,AD∥EF，∠BCE=67°,∠CEF=137°，则∠ADE的度数为（ ）
A．43° B．53° C．67° D．70°
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
先利用平行线的性质可得∠BCE=∠DEC=67°，再利用角的和差关系可得∠≝=70°，然后利用平行线
的性质可得∠ADE=∠≝=70°，即可解答．
【详解】解：∵AB∥DE，
∴∠BCE=∠DEC=67°，
∵∠CEF=137°，
∴∠≝=∠CEF−∠DEC=70°，
∵AD∥EF，
∴∠ADE=∠≝=70°，
故选：D．
3
7．已知反比例函数y=− ，则下列描述正确的是（ ）
x
A．图象必经过(1,3)
B．图象位于一、三象限
C．y随x的增大而增大D．如果点P(m,n)在它的图象上，则点Q(n,m)也在它的图象上
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，反比例函数图象与系数之间的关系，反比例函数的增减
性等等，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键．
3
【详解】解：A、在y=− 中，当x=1时，y=−3，则图象不经过(1,3)，原说法错误，不符合题意；
x
B、∵k=−3<0，
∴图象位于二、四象限，原说法错误，不符合题意；
C、∵k=−3<0，
∴图象位于二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意；
D、如果点P(m,n)在它的图象上，则mn=k，则点Q(n,m)也在它的图象上，原说法正确，符合题意；
故选：D．
8．如图，菱形ABCD的周长为20，对角线BD长为8，则AD边上的高CF为（ ）
24 48
A．4 B．5 C． D．
5 5
【答案】C
【分析】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形各边长相等的性质，勾股定理在直角三角形中
的运用．根据菱形的周长可以计算菱形的边长，菱形的对角线互相垂直平分，已知AB，BO根据勾股定
理即可求得AO的值，再利用菱形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵菱形ABCD的周长为20，BD=8，
∴ AD=5 BO=OD=4
， ，∵四边形ABCD是菱形，
∴AO⊥DO，AC=2AO，
∴AO=√AD2−OD2=√52−42=3．
∴AC=2AO=6．
1
∵S =AD×CF= AC×BD，
菱形ABCD 2
1
×6×8
∴ 2 24，
CF= =
5 5
故选：C．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=√3，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定
角度得到Rt△DEC．若DE第一次经过点A时停止旋转，此时AB与CE交于点F，则点B走过的路径长为
（ ）
√3π 5π π 5√3π
A． B． C． D．
3 2 2 3
【答案】D
【分析】本题主要考查了求弧长，解直角三角形，旋转的性质，等边三角形的性质与判定等等，先解直角
三角形得到∠CAB=60°，由旋转的性质得到CA=CD，∠D=∠CAB=60°，∠ECB=∠ACD，则
△ACD是等边三角形，可得旋转的角度为360°−60°=300°，再利用弧长公式求解即可.
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=√3，
BC
∴tan∠CAB= =√3，
AC
∴∠CAB=60°，
由旋转的性质可得CA=CD，∠D=∠CAB=60°，∠ECB=∠ACD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠BCE=∠ACD=60°，
∴旋转的角度为360°−60°=300°，300×π×√3 5√3π
∴点B走过的路径长为 = ，
180 3
故选；D
10．如图是由若干个相同的小正三角形组成的图形，小明在该图形中建立了平面直角坐标系，并测得点 A
的坐标是(−4√3,6)，点B的坐标是(0,−3)，由此可知、点C的坐标是（ ）
A．(3√3,9) B．(3,4√3)
(5√3 )
C．(√3,3√3) D． ,9
2
【答案】A
【分析】
此题考查了点的平移、正三角形的性质、勾股定理等知识， 求出等边三角形的边长，再根据平移方式即
可求出点C的坐标．
【详解】解：由点B的坐标是(0,−3)可知， 每个小正三角的高是3，如图，小正三角形△≝¿边长为a，
DH=3,
1
在Rt△DHF中，∠FDH= ∠EDF=30°，
2
∴DF=2HF，
∴DF2=DH2+H F2，即a2=32+ (1 a ) 2 ，
2
解得a=2√3，
即每个小正三角形的边长为2√3，∵点C是由点A(−4√3,6)向右平移2√3×3.5=7√3个单位，向上平移3个单位得到的，
∴点C的坐标是(3√3,9)，
故选：A
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．把多项式ay−ax2y分解因式的结果是 ．
【答案】ay(1+x)(1−x)
【分析】先利用提公因式法分解因式，再利用平方差公式分解即可得到答案．
【详解】解：ay−ax2y
=ay(1−x2)
=ay(1+x)(1−x)，
故答案为：ay(1+x)(1−x)．
【点睛】本题考查分解因式，涉及到提公因式法分解因式和公式法分解因式，综合运用提公因式法及平方
差公式分解因式是解决问题的关键．
12．如图是印有十二生肖鼠、牛、虎、兔、龙的5张卡片(除正面图案外，其余都相同)，将它们背面朝上
放在桌面上，从中随机抽取一张，记录下生肖后放回，再随机抽取一张，则抽取的两张图片中恰好都是生
肖“龙”的概率是
1
【答案】
25
【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张图片中恰好都是生
肖“龙”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将印有十二生肖鼠、牛、虎、兔、龙的5张卡片分别记为A，B，C，D，E，
列表如下：
A B C D E
A (A,A)(A,B)(A,C()A,D()A,E)B (B,A) (B,B)(B,C)(B,D)
(B,E)
C (C,A) (C,B)(C,C)(C,D)(C,E)
D (D,A) (D,B)(D,C()D,D()D,E)
E (E,A) (E,B)(E,C)(E,D)(E,E)
共有25种等可能的结果，其中抽取的两张图片中恰好都是生肖“龙”的结果有1种，
1
∴抽取的两张图片中恰好都是生肖“龙”的概率为 ．
25
1
故答案为： ．
25
13．漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看做抛物线．如图是其中一个桥拱的示意图，
拱跨AB=60m，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O垂直于AB的直线为y轴建立平
面直角坐标系，通过测量得AE=2m,DE⊥AB且DE=1.16m，则桥拱（抛物线）的函数表达式为
．
【答案】y=−0.01x2+9
【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与坐标轴交点，根据题意得到A、B、
E的坐标，设抛物线解析式为y=a(x+30)(x−30)，将E的坐标代入解析式求出a的值，即可得到抛物线
解析式．
【详解】解：∵拱跨AB=60m，以AB的中点O为坐标原点，
∴AO=BO=30m，
∴ A的坐标为(30,0)，B的坐标为(−30,0)，
设抛物线解析式为y=a(x+30)(x−30)，
∵ AE=2m，DE⊥AB且DE=1.16m，
∴OE=AO−AE=30−2=28m，
∴ E的坐标为(28,1.16)，
∴ a(28+30)(28−30)=1.16，解得a=−0.01，
∴抛物线解析式为y=−0.01(x+30)(x−30)=−0.01x2+9，
故答案为：y=−0.01x2+9．
1 k
14．如图，直线y= x+1分别与x轴、y轴交于A,B两点，以AB为边作正方形ABCD，双曲线y= 经过
2 x
点D，则k的值为 ．
【答案】2
【分析】作DF⊥x轴于点F，先求出A、B两点的坐标，故可得出OB=1，OA=2，再根据AAS定理得出
△OAB≌△FDA可得出OF的长，进而得出D点坐标，把D点坐标代入反比例函数的解析式求出k的值即
可．
【详解】解：作DF⊥x轴于点F．
1
在y= x+1，令x=0，则y=1，即B(0,1)，
2
令y=0，则x=−2，即A(−2,0)，则OB=1，OA=2，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAF=90°，
∵Rt△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠DAF=∠OBA，在△OAB与△FDA中，
¿，
∴△OAB≌△FDA（AAS），
∴AF=OB=1，DF=OA=2，
∴OF=1，
∴D(−1，−2)，
k
∵点D在反比例函数y= （k≠0）的图象上，
x
k
∴−2=− ，解得k=2；
1
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到的知识点有全等三角形判定与性质以及一次函数图像与
坐标轴的交点问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
15．如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=60°，D，E分别为线段BC，AC上的动点，且
BD=EC，连接AD，BE交于点F，若点F为BE的中点，则线段BD的长为 ．
【答案】9−3√5
【分析】根据已知条件可以得到△ABC是等边三角形，作BC的中点N，连接FN，过点E作EM⊥BC，
垂足为M，先证明△ABD≌△BCE(SAS)，再证明△BDF∽△BFN，根据相似比得到BF2=BD·BN，再
根据勾股定理得到BE2=BM2+EM2，设BD=x，利用直角三角函数进行推算，建立关于x的一元二次
方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：如下图所示，作BC的中点N，连接FN，过点E作EM⊥BC，垂足为M，∵AB=AC=6，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC=6，∠BCA=∠BAC=60°，
设BD=x，
则EC=x，
∵¿，
∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴∠BDF=∠BEC，
∵点F为BE的中点，点N为BC的中点，
1
∴FN∥EC，BN= BC=3
2
∴∠BFN=∠BEC，
∴∠BFN=∠BDF，
∵∠FBD=∠NBF，
∴△BDF∽△BFN，
BD BF
∴ = ，
BF BN
∴BF2=BD·BN=3x，
∵EM⊥BC，∠BCA=60°，
∴∠MEC=30°,
1 1 √3
∴MC= EC= x，ME=sin60°×EC= x，
2 2 2
1
∵BE2=BM2+EM2，BM=BC−MC=6− x，BE=2BF
2
∴4BF2= ( 6− 1 x ) 2 + (√3 x ) 2
2 2
∵BF2=3x，
( 1 ) 2 (√3 ) 2
∴12x= 6− x + x ，
2 2
化解方程得x2−18x+36=0，
∴x=9−3√5，或x=9+3√5，
∵9+3√5>6，故舍去，∴BD=9−3√5，
故答案为：9−3√5．
【点睛】本题考查等边三角形、全等三角形、相似三角形和一元二次方程，解题的关键是通过相似比和勾
股定理建立等式，最终建立一元二次方程．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：(√5−√3)(√5+√3)−√327×
(1) −1
；16．（2024·山西朔州·一模）（1）计算：
2
√25−2cos60°+(−9) 0−|−1|．
（2）解方程：x2−4x=2x−8．
【答案】（1）4
（2）x =4，x =2
1 2
【分析】本题考查实数的运算，解一元二次方程．熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、用因式分解
法解一元二次方程是解题的关键．
（1）根据算术平方根、零指数幂、绝对值意义计算，并把特殊角三角函数值代入，再计算乘法，最后计
算加减即可；
（2）先整成一元二次方程的一般式，再用因式分解法求解即可．
1
【详解】解：（1）原式=5−2× +1−1
2
=5−1+1−1
=4；
（2）变形整理，得x2−6x+8=0
(x−4)(x−2)=0
x−4=0或x−2=0
x =4，x =2．
1 2
x2−2x ( 2x−1)
17．（7分）先化简，再求值： ÷ x+1− ，其中 x 是不等式组 ¿的整数解．
x2−1 x−1
1 1
【答案】 ，
x+1 4
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，先根据分式的混合计算法则化简，然后
解不等式组求出不等式组的整数解，再根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可．x2−2x ( 2x−1)
【详解】解： ÷ x+1− ，
x2−1 x−1
x(x−2) x2−1−2x+1
= ÷
(x+1)(x−1) x−1
x(x−2) x−1
= ⋅
(x+1)(x−1) x(x−2)
1
= ．
x+1
¿
解不等式①得：x<4，
解不等式②得：x≥−1，
∴不等式组的解集为−1≤x<4，
∵x为整数且x+1≠0，x−1≠0，x≠0，x−2≠0，
∴x=3，
1 1
∴原式= = ．
3+1 4
18．（9分）某校开展了一次消防知识竞赛（百分制）．七、八年级各有50名学生参赛，对他们的成绩进
行整理、描述和分析．将成绩（单位：分）分为五组：一组0≤x<60；二组60≤x<70；三组70≤x<80；
四组80≤x<90；五组90≤x≤100．
部分信息如下：
①七年级二组的学生人数占七年级参赛人数的32%．
八年级三组中最低的10个成绩分别为：70，71，71，72，72，73，74，74，75，75．
②七、八年级成绩统计图如下：
③七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下：中位
年级 平均数 众数
数
七 70 71 76
八 70 x 79
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：a= ，x= ．
(2)请补全条形统计图；
(3)这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为73分，但甲的成绩在其所在的年级中排名更靠前，可知甲是
（填“七”或“八”）年级的学生；
(4)综合上表中的统计量，在此次竞赛中，哪个年级的学生对消防知识掌握得更好？请说明理由．
【答案】(1)34，74
(2)见解析
(3)七
(4)八年级的学生掌握的更好．因为，七、八年级的学生成绩平均数一样，而八年级的学生成绩的中位数和
众数更高，所以，八年级的学生掌握的更好
【分析】（1）根据扇形统计图中信息求解即可；将八年级50人成绩从小到大排列，根据中位数的定义求
解即可；
（2）分别求得七年级二组、五组的学生人数，即可补画条形统计图；
（3）根据八年级和七年级成绩的中位数分析判断即可；
（4）根据两个年级学生成绩的平均数、众数和中位数进行分析即可．
【详解】（1）解：1−14%−22%−24%−6%=34%，
八年级一组50×14%=7人，二组50×22%=11人，三组50×34%=17人，四组50×24%=12人，五组
50×6%=3人，
将八年级50人成绩从小到大排列，第25、26个数据分别为74、74，
74+74
∴八年级成绩的中位数= =74．
2
故答案为：34，74；
（2）七年级二组的学生人数为50×32%=16人，
五组的学生人数为50−10−16−14−8=2人，
所以，可补画条形统计图如下：（3）这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为73分，但甲的成绩在其所在的年级中排名更靠前，
根据八年级成绩的中位数为74，故73分在年级中排名在第26名之后，
而七年级成绩的中位数为71，故73分在年级中排名在第25名之前，
可知甲是七年级的学生．
故答案为：七；
（4）八年级的学生掌握的更好．因为，七、八年级的学生成绩平均数一样，而八年级的学生成绩的中位
数和众数更高，所以，八年级的学生掌握的更好．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图、条形统计图、中位数、数据统计应用等知识，通过扇形统计图和条
形统计图获得所需信息是解题关键．
19．（9分）上兵伐谋，规划先行．某社区计划在绿化的同时让居民吃上放心的核桃和枣，欲购进核桃树
8
和枣树进行种植，已知核桃树的单价是枣树的 ，用1000元购买的核桃树比用700元购买的枣树多5棵．
7
(1)求核桃树和枣树的单价；
2
(2)该社区计划购买核桃树与枣树共60棵，且枣树的棵数不超过核桃树棵数的 ，请说明怎样购进这两种树
3
才能使总费用最低，最低费用是多少？
【答案】(1)枣树的单价是35元，则桃树的单价为40元
(2)购进枣树24棵，桃树36棵时，费用最低，为2280元
【分析】
本题主要考查分式方程的应用和一次函数的应用：
8
（1）设枣树的单价是x元，则桃树的单价为 x元，根据“用1000元购买的核桃树比用700元购买的枣树
7
多5棵”列方程求解即可；
（2）设枣树的棵数为m，先根据题意求出m的取值，再列函数关系式求解即可；8
【详解】（1）解：设枣树的单价是x元，则桃树的单价为 x元，根据题意得，
7
1000 700
− =5
8 x ，
x
7
解得，x=35，
经检验，x=35是原方程的解，
8
∴ ×35=40，
7
答 ：枣树的单价是35元，则桃树的单价为40元
（2）解：设枣树的棵数为m，则桃树为(60−m)棵，
2
∵m≤ ×(60−m)，
3
解得：m≤24，
总费用为y=35m+40(60−m)=−5m+2400，
∵−5<0，
∴y随x的增大而减小，
当m=24，y有最小值，为−5×24+2400=2280（元），
60−24=36（棵）
所以，当购进枣树24棵，桃树36棵时，费用最低，为2280元
20．（8分）在太原市文咳公园，管立着一座高大的石碑——见义勇为纪念碑．此碑顶端为一只紧握的铁
拳，象征见义勇为英雄扶正祛邪的强大力量．综合实践小组按如图所示的方案测量该纪念碑的高度AB：
①在纪念碑前的空地上确定测量点P，当测倾器高度PC为0.8米时，测得纪念碑最高点A的仰角
∠ACD=38.7°；②保持测倾器位置不变，调整测倾器高度PE为1.8米时，测得点A的仰角∠AEF=37°．
已知点A,B,C,D,E，F,P在同一竖直平面内，请根据该小组测量数据计算纪念碑的高度AB．（结果精
确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin38.7°≈0.62，
cos38.7°≈0.78，tan38.7°≈0.80）【答案】17米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，掌握利用锐角三角函数建立直角三角形
边与角之间的关系是解题的关键．延长EF,CD，分别与AB交于点M和点N，则四边形CPBN和四边形
ECNM都是矩形，可得EM=CN,MN=CE,BN=PC=0.8米，设EM=CN=x米，在Rt△AEM和
Rt△ACN中，利用锐角三角函数列方程组，解方程组可得答案．
【详解】解：如图，延长EF,CD，分别与AB交于点M和点N，
由题意得，四边形CPBN和四边形ECNM都是矩形，
∴EM=CN,MN=CE,BN=PC=0.8米，
∵PE=1.8米，
∴MN=CE=PE−PC=1米．
设EM=CN=x米，
AM
在Rt△AEM中，∠AME=90°,∠AEM=37°,tan∠AEM= ，
EM
∴AM=EM⋅tan37°，即AM≈0.75x．
AN
在Rt△ACN中，∠ANC=90°,∠ACN=38.7°,tan∠ACN= ，
CN
∴AN=CN⋅tan38.7°，即AN≈0.8x．
∵MN=AN−AM，
∴1=0.8x−0.75x，
解，得x=20．
∴AM=0.75×20=15米．
∴AB=AM+MB=15+1.8=16.8≈17米．
答：纪念碑的高度AB约为17米．
21. （7分）阅读与思考
阅读以下材料，并按要求完成相应任务：
射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．在直角三角形中，斜边上的高是两条直
角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，财有如下结论：①
AD2=BD⋅DC；②AB2=BD⋅BC；③AC2=CD⋅BC．
下面是该定理的证明过程（部分）：
∵AD是斜边BC上的高，
∴∠ADB=90°=∠ADC．
∵∠B+∠BAD=90°，∠B+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴△ABD∽△CAD（依据），
BD AD
∴ = ，
AD CD
即AD2=BD⋅DC．
任务一：（1）材料中的依据是指________；
（2）选择②或③其中一个定理加以证明________；
任务二：应用：
（1）如图2，正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE于点F，
连接OF，证明：BO⋅BD=BF⋅BE；
6√5
（2）在图2中，若DE=2CE，OF的长为 ，则正方形ABCD的边长为________．
5
【答案】任务一：（1）两角分别对应相等的两个三角形相似；（2）见解析；任务二：（1）见解析；
（2）6
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证
明和计算；
任务一：（1）根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”即可解答；
（2）根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明△ABD∽△CBA，据此即可解答；
任务二：（1）根据射影定理得BC2=BO⋅BD，BC2=BF⋅BE，则BO⋅BD=BF⋅BE；
（2）先证明△BOF∽△BED，设BC=CD=3a，用a表示出DE，CE，BE，OB，再利用相似三角形的
OF BO
性质得到 = ，代入数据即可求解．
DE BE【详解】解：任务一：（1）∵∠ADB=90°=∠ADC，∠BAD=∠C，
∴△ABD∽△CAD（两角分别对应相等的两个三角形相似），
故答案为：两角分别对应相等的两个三角形相似；
（2）证明：②AB2=BD⋅BC；
如图，
∵AD⊥BC ∠CAB=90°
， ，
∴∠ABC=∠BAC=90°，
而∠ABD=∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴AB:BC=BD:AB，
∴AB2=BD⋅BC；
③AC2=CD⋅BC，
如图，
∵AD⊥BC ∠CAB=90°
， ，
∴∠ADC=∠CAB=90°，
而∠ACD=∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴AC:BC=CD:AC，
∴AC2=CD⋅CB；
任务二：（1）证明：如图，
∵ ABCD
四边形 为正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD=90°，∴BC2=BO⋅BD，
∵CF⊥BE，
∴BC2=BF⋅BE，
∴BO⋅BD=BF⋅BE；
（2）解：设BC=CD=3a，
而DE=2CE，
∴DE=2a，CE=a，
在Rt△BCE中，BE=√a2+(3a) 2=√10a，
√2 3√2
在Rt△OBC中，OB= BC= a，
2 2
BO BF
∵BO⋅BD=BF⋅BE，即 = ，
BE BD
而∠OBF=∠EBD，
∴△BOF∽△BED，
OF BO
∴ = ，
DE BE
6√5 3√2
a
即 5 2 ，
=
2a √10a
解得a=2，
∴BC=CD=6．
故答案为：6．
22．（12分）综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知
识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，
CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：______，∠BDC=______°；
(2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，
CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，
且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：
______；
(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2，若平面内存在点P满足∠BPD=90°，PD=1，则S =
△ABP
______，并说明理由.
【答案】(1)BE=CF，30
(2)BE=CF，∠BDC=60°，证明见解析
(3)BF=CF+2AM
7+√7 7−√7
(4) 或
4 4
【分析】
（1）根据已知得出∠BAE=∠CAF，即可证明△BAE≌△CAF，得出BE=CF，∠ABE=∠ACF，进
而根据三角形的外角的性质即可求解；
（2）同（1）的方法即可得证；
1
（3）同（1）的方法证明△BAE≌△CAF(SAS)，根据等腰直角三角形的性质得出AM= EF=EM=MF，
2
即可得出结论；（4）根据题意画出图形，连接BD，以BD为直径,BD的中点为圆心作圆，以D点为圆心，1为半径作圆，
√2
两圆交于点P,P ，延长BP至M，使得PM=DP=1，证明△ADP∽△BDM，得出PA= BM，勾股定
1 2
√2 √2+√14
理求得PB，进而求得BM，根据相似三角形的性质即可得出PA= (1+√7)= ，勾股定理求得
2 2
BQ,PQ，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵∠BAC=∠EAF=30°，
∴∠BAE=∠CAF，
又∵AB=AC，AE=AF，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF，∠ABE=∠ACF
设AC,BD交于点O，
∵∠AOD=∠ACF+∠BDC=∠ABE+∠BAO
∴∠BDC=∠BAO=∠BAC=30°，
故答案为：BE=CF，30．
（2）结论：BE=CF，∠BDC=60°；
证明：∵∠BAC=∠EAF=120°，
∴∠BAC−∠EAC=∠EAF−∠EAC，即∠BAE=∠CAF，
又∵AB=AC，AE=AF，
∴△BAE≌△CAF
∴BE=CF，∠AEB=∠AFC，
∵∠EAF=120°，AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE=30°，
∴∠BDC=∠BEF−∠EFD=∠AEB+30°−(∠AFC−30°)=60°，（3）BF=CF+2AM，理由如下，
∵∠BAC=∠EAF=90°，
∴∠BAC−∠EAC=∠EAF−∠EAC，
即∠BAE=∠CAF，
又∵△ABC和△AEF均为等腰直角三角形
∴AB=AC,AE=AF，
∴△BAE≌△CAF(SAS)，
∴BE=CF，
在Rt△AEF中，AM⊥BF，
1
∴AM= EF=EM=MF，
2
∴BF=BE+EF=CF+2AM；
（4）解：如图所示，
连接BD，以BD为直径,BD的中点为圆心作圆，以D点为圆心，1为半径作圆，两圆交于点P,P ，
1
延长BP至M，使得PM=DP=1，
则△MDP是等腰直角三角形，∠MDP=45°，
∵∠CDB=45°,∴∠MDB=∠MDP+∠PDC+∠CDB=90°+∠PDC =∠ADP，
AD 1 DP 1
∵ = , = ，
DB √2 DM √2
∴△ADP∽△BDM，
PA 1 √2
∴ = = ，
BM √2 2
√2
∴PA= BM，
2
∵AB=2，
在Rt△DPB中，PB=√DB2−DP2=√(2√2) 2 −12=√7，
∴BM=BP+PM=√7+1，
√2 √2+√14
∴PA= (1+√7)= ，
2 2
过点P作PQ⊥AB于点Q，
设QB=x，则AQ=2−x，
在Rt△APQ中，PQ2=AP2−AQ2，
在Rt△PBQ中，PQ2=PB2−BQ2，
∴AP2−AQ2=PB2−BQ2，
∴
(√2+√14) 2
−(2−x) 2=(√7) 2 −x2，
2
7−√7 7−√7
解得：x= ，则BQ= ，
4 4
设PQ,BD交于点G，则△BQG是等腰直角三角形，
7−√7
∴QG=QB= ，
4
在Rt△DPB,Rt△DP B中，
1
¿，
∴Rt△DPB≌Rt△DP B，
1
∴∠PDB=∠P DB，
1
又PD=P D=1，DG=DG，
1
∴△PGD≌△P DG，
1
∴∠PGD=∠P GD=45°，
1∴∠PGP =90°，
1
∴P G∥AB，
1
1 1 7−√7 7−√7
∴S = AB×QG= ×2× = ，
△ABP 1 2 2 4 4
在Rt△PQB中，PQ=√PB2−BQ2=
√
(√7) 2 −
(7−√7) 2
=
7+√7
，
4 4
1 1 7+√7 7+√7
∴S = AB×PQ= ×2× = ，
△ABP 2 2 4 4
7+√7 7−√7
综上所述，S = 或 ，
△ABP 4 4
7+√7 7−√7
故答案为： 或 ．
4 4
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，直
径所对的圆周角是直角，熟练运用已知模型是解题的关键．
23．（13分）综合与探究
1
如图，抛物线y=− x2+bx+c的图像与x轴交于A,B(4,0)两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点
2
C(0,2)，作直线BC．
(1)求抛物线表达式及BC所在直线的函数表达式；
(2)若点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)若点M是抛物线上的点，且∠OBC+∠OBM=45°，请直接写出点M的坐标．
1 3 1
【答案】(1)抛物线解析式为y=− x2+ x+2，直线BC的解析式为y=− x+2，
2 2 2
(2)△PBC面积的最大值为4，此时点P的坐标为(2，3)( 5 17) ( 1 13)
(3) − ，− 或 − ，
3 9 3 9
【分析】（1）设出直线BC解析式，分别把B(4,0)，C(0,2)代入抛物线解析式中和直线BC解析式中，利
用待定系数法求解即可；
（2）过点P作PD∥y轴交BC于D，设P ( m，− 1 m2+ 3 m+2 ) ，则D ( m，− 1 m+2 ) ，可得
2 2 2
1
PD=− (m−2) 2+2；再由S =S +S ，得到S ==−(m−2) 2+4，利用二次函数的性质即
2 △PBC △PCD △PBD △PBC
可求出答案；
（3）如图所示，取点H(−2，−2)，连接CH，BH，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明△BCH是
等腰直角三角形，得到∠BHC=45°，则点M即为BH为抛物线的交点，同理可得直线BH解析式为
1 4 ( 5 17) 1 4
y= x− ，联立¿，解得¿或¿，则点M的坐标为 − ，− ；求出直线y= x− 与y轴的交点坐标
3 3 3 9 3 3
( 4) ( 4) 1 4
为 0，− ；取T 0， ，则直线BT解析式为y=− x+ ，由对称性可得∠OBT=∠OBH，则射
3 3 3 3
( 1 13)
线BT与抛物线的交点即为点M，同理可得点M的坐标为 − ， ．
3 9
1
【详解】（1）解：把B(4,0)，C(0,2)代入y=− x2+bx+c中得：¿，
2
∴¿，
1 3
∴抛物线解析式为y=− x2+ x+2；
2 2
设直线BC的解析式为y=kx+b'，
把B(4,0)，C(0,2)代入y=kx+b'中得：¿，
∴¿，
1
∴直线BC的解析式为y=− x+2；
2
（2）解：如图所示，过点P作PD∥y轴交BC于D，
设P ( m，− 1 m2+ 3 m+2 ) ，则D ( m，− 1 m+2 ) ，
2 2 2
∴PD=− 1 m2+ 3 m+2− ( − 1 m+2 ) =− 1 m2+2m=− 1 (m−2) 2+2；
2 2 2 2 2
∵S =S +S ，
△PBC △PCD △PBD1 1
∴S = PD⋅(x −x )+ PD⋅(x −x )
△PBC 2 P C 2 B P
1
= PD⋅(x −x )
2 B C
=2PD
=−(m−2) 2+4，
∵−1<0，
∴当m=2时，S 最大，最大值为4，
△PBC
∴此时点P的坐标为(2，3)
（3）解：如图所示，取点H(−2，−2)，连接CH，BH，
∵B(4,0)，C(0,2)，
∴BC2=(4−0) 2+(0−2) 2=20，BH2=(−2−4) 2+(−2−0) 2=40，
CH2=(−2−0) 2+(−2−2) 2=20，
∴BC2+CH2=BH2，BC2=CH2，
∴△BCH是直角三角形，且∠HCB=90°，BC=CH，
∴△BCH是等腰直角三角形，
∴∠BHC=45°，
∴∠OBC+∠OBH=45°，
∵∠OBC+∠OBM=45°，
∴点M即为BH为抛物线的交点，
1 4
同理可得直线BH解析式为y= x− ，
3 3
联立¿，解得¿或¿，( 5 17)
∴点M的坐标为 − ，− ；
3 9
1 4 4
在y= x− 中，当x=0时，y=− ，
3 3 3
1 4 ( 4)
∴直线y= x− 与y轴的交点坐标为 0，− ；
3 3 3
( 4) 1 4
取T 0， ，则直线BT解析式为y=− x+ ，
3 3 3
由对称性可得∠OBT=∠OBH，
∴射线BT与抛物线的交点即为点M，
联立¿，解得¿或¿，
( 1 13)
∴点M的坐标为 − ， ；
3 9
( 5 17) ( 1 13)
综上所述，点M的坐标为 − ，− 或 − ， ．
3 9 3 9
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角
三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于利用线段PD的长表示出对应三角形的面积，解（3）的关
键在于取出H点证明等腰直角三角形得到45度的角．
