文档内容
2024 年中考第二次模拟考试（包头卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
1．A
【分析】本题考查了整式的混合运算，关键根据运算法则来进行计算．根据合并同类项法则，同底数
幂的乘法和幂的乘方的运算法则来解答．
【详解】解： 、 ，故 选项符合题意；
、 ，故 选项不符合题意；
、 ，故 选项不符合题意；
、 不是同类项无法合并，故 选项不符合题意，
故选： ．
2．规定 ，则 的值为（ ）
A．7 B． C．1 D．
2．A
【分析】本题考查了有理数的混合运算，能灵活运用有理数的运算法则进行计算是解题的关键．先根
据新运算得出算式，再根据有理数的运算法则进行计算即可．【详解】解：由题意得：
，
故选：A．
3．不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．D
【分析】本题考查求一元一次不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
根据不等式的性质求不等式的解集，在数轴上表示解集即可．
【详解】解∶移项得 ，
系数化为 得 ，
在数轴上表示为：
故选：D
4．将一块三角板如图放置， ， ，点 ， 分别在 ， 上，若 ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．D
【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，直接利用平行线的性质得出 ，
进而得出 的度数．
【详解】解： ，，
，
，
．
故选D．
5．由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正
方体的个数最少是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．A
【分析】本题考查了根据几何体的三视图判断组成几何体的小正方体的个数，关键是根据主视图和左
视图确定组合几何体的层数和列数，先根据主视图和左视图得出该几何体为两层三列，再确定每层的
最少个数即可．
【详解】由几何体的主视图和左视图可知，该几何体为两层三列，
最低层最少为 个，第二层为1个，
∴最少由4个小正方体组成，
故选：A．
6．在 □ □ 的空格□中，分别填上“＋”或“-”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率
是（ ）
A． B． C．1 D．
6．D
【分析】根据完全平方式的特点分析“＋”或“-”的情况和总共的情况，即可求得概率．
【详解】解：能够凑成完全平方公式，则 前可是“ ”，也可以是“ ”，但 前面的符号一定是：“ ”，
总共有 、 、 、 四种情况，能构成完全平方公式的有2种，
所以概率是 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式，列举法求概率，掌握以上知识是解题的关键．
7．受赵爽弦图证明勾股定理的启发，王刚同学利用两个相同的小正方形和两组分别全等的直角三角形拼
成了如图所示的矩形，若 ，则该矩形的面积为（ ）
A．12 B．20 C．24 D．48
7．C
【分析】
本题考查勾股定理的应用，理解题意，弄清图形中各量之间的关系是解题的关键．设小正方形的边长
为x，用x表示出矩形两邻边，利用矩形两边和对角线构成直角三角形，根据勾股定理列方程可求出
x，进而可求出矩形的面积．
【详解】解：设小正方形的边长为x，则由整个矩形的两边和对角线组成的直角三角形的三边为：
，
由勾股定理，得 ，
整理，得 ，
∴该矩形的面积为 ，
故选：C．
8．如图，一束光线从点 出发，经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的值是
（ ）A． B． C．1 D．2
8．B
【分析】本题考查的是点的坐标，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解题的关键．点 关于
轴的对称点为 ，根据反射的性质得，反射光线所在直线过点 和 ，求出 的解析
式为： ，再根据反射后经过点 ， ，即可求出答案．
【详解】解： 点 关于 轴的对称点为 ，
反射光线所在直线过点 和 ，
设 的解析式为： ，过点 ，
，
，
的解析式为： ，
反射后经过点 ，
，
．
故选：B．
9．如图， 内接于⊙ ， 于点 ，若 ， ，⊙ 的半径 ，则 的值为
（ ）A．5 B． C．7 D．
9．D
【分析】过点 作直径 ，并连接 ，根据直经所对的圆周角是直角，得 ；根据同弧所
对的圆周角相等，得 ，得 ；根据相似比，即可求出 ．
【详解】过点 作直径 ，并连接
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵ ， ，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的基本性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆的基本性质、
相似三角形的判定和性质．10．如图，在平面直角坐标 中，点 在函数 的图象上， 轴于点 ，点 在 轴正半
轴上，且 ，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，若 的面积为3，则
的值为（ ）
A．8 B．6 C． D．
10．C
【分析】本题考查了反比例函数综合题，由 ， 的面积为3，得到 的面积为1，
则 的面积为4，设 点坐标为 ，则 ， ， ， ，利
用 得到 的值，即为 的值．点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标
满足其解析式；利用三角形的面积公式和梯形的面积公式建立等量关系是解决问题的关键．
【详解】解：连 ，如图，
∵ ， 的面积为3，
∴ 的面积为1，
∴ 的面积为4，
设 点坐标为 ，则 ， ，而点 为 的中点，∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入双曲线 ，
∴ ．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．已知a为整数，且 ，则 ．
11．4
【分析】
本题考查了无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题关键．根据 ，即可求出 的
值．
【详解】解： ，
，
，
又 ，
，
故答案为：4
12．已知 的两根为2，3，则 的两个根分别为 ．
12．【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，根据根与系数的关系得到
，则 ，则方程 即为方程 ，解方程即可得到答
案．
【详解】解：∵ 的两根为2，3，
∴ ，
∴ ，
∴方程 即为 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
13．如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心， 长为半径作圆弧交
于点 ，交 于点 ，则阴影部分的面积为 ．
13．
【分析】本题考查扇形面积的计算，根据锐角三角函数可求出 的度数，再根据等边三角形的判
定和性质求出 的度数，最后由 进行计算即可．
【详解】解：连接 ，∵ 中， ， ， ，而 ，
∴ ，
∵
则 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴
，
故答案为： ．
14．如图， ，将线段 绕原点O顺时针旋转 ，线段 的中点C恰好落在抛物线
上，则 ．
14．2
【分析】本题考查了旋转的性质，求二次函数解析式， 根据旋转的性质得出点A和点B绕原点O顺时针旋转 后的坐标，根据中点坐标公式，得出点C绕原点O顺时针旋转 后的坐标为 ，将
其代入 ，即可求出a的值．
【详解】解：∵ ，
∴点A和点B绕原点O顺时针旋转 后的坐标为 ，
∴点C绕原点O顺时针旋转 后的坐标为 ，
把 代入 得： ，
解得： ，
故答案为：2．
15．如图，在 中， ，点 是线段 上一点，连接 ，将 沿直线
翻折，点 的对应点是 ，当点 恰好落在 的边上时， 的长是 ．
15．1或
【分析】
本题考查勾股定理，翻折等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造直角三角形求解是解题的关键．
分点 在 ， 讨论即可．
【详解】解：当点 在 上时，此时 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，即 ；
当点 在 上时，过B作 于H，过点D作 于点G，做 于点N，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵翻折，且点 在 上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
设 ， ，
∵ ，
∴ ，化简得 ，
∴ ，
解得 ， ，即 或 （不合题意，舍去）．
综上， 的值为1或 ．
16．如图，在矩形 中， ， ， 的角平分线交边 于点 ， 于点 ，
连结 并延长分别交 ， 于点 ， ．给出下列结论：① ；② ；③
；④ ．其中正确的有 ．
16.①②③
【分析】① 根据角平分线性质，求出 为等腰直角三角形即可；②根据“HL”证明全等即可；③
证明H为直角 斜边上的中点即可判断；④求证 列比例求得 CF的长度即可．
【详解】解：①∵ 平分 ，
∴ ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故①正确；
②∵ ， ， ，
∴
∵BE=BE，
∴ ，故②正确；
③∵ ,
∴ ，
解得： ,
∵ ,
∵BE平分 ,
∴ ,
∴ ，
∴ ,
∴ ,
在直角 中，H为EB中点，
∴2GH=BE，
故③正确；
④∵ ，
∴ ，
∴ ,
解得： .
故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查矩形性质，等腰直角三角形的判断和性质，全等三角形的判断，相似三角形的
判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握以上知识点，准确从图形
中提取正确信息是解题关键．
三、解答题本大题共有7小题，共72分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答
题卡的对应位置．
17．（本小题满分8分）
（1）先化简，再求值： ，其中 ．（2）解方程： ．
17．【详解】（1）解：原式=
=
当 时，原式
（2）解：原方程化为：
经检验 是原方程的解．
所以原方程的解为 ．
【点睛】本题考查乘法公式和分式方程的解法，熟练掌握完全平方公式和分式方程的运算是解决本题
的关键．
18．（本小题满分8分）校园消防关系到全校师生的生命安全．某校为加强学生的消防意识，开展了“消
防安全知识”宣传活动，活动后举办了消防知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取
10名学生的成绩进行了统计，整理与分析（成绩用x表示，共分为三个等级：合格 ，良好
，优秀 ），下面给出了部分信息：
10名七年级学生的成绩：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98
10名八年级学生中“良好”等级包含的所有数据为；85，90，90，90，
94
抽取的七、八年级学生成续统计表
中位 “优秀”等级所占百
年级 平均数 众数 方差
数 分比
七年级 90 89 a
八年级 90 b 90 30(1)八年级10名学生中“合格”等级的人数在扇形统计图中所占圆心角的度数为______度；
(2)填空： ______， ______；
(3)根据以上数据，你认为该校七八年级中，哪个年级学生对消防知识掌握得更好？请说明理由，并对
如何加强学生的消防意识写出一条你的看法．
18．【详解】（1）解：由学生成绩统计表可知，八年级10名学生中“优秀”等级所占百分比为 ，
“优秀”等级人数为： （人），
八年级10名学生中“良好”等级为5人，
八年级10名学生中“合格”等级人数为： （人），
八年级10名学生中“合格”等级的人数在扇形统计图中所占圆心角的度数为： ．
故答案： ．
（2）解：10名七年级学生的成绩中，95出现次数最多，
；
由（1）可知，10名八年级学生中“合格”等级人数为2人，
八年级10名学生中，中位数为将10名学生成绩从小到大排序后第5、6成绩的平均数，即八年级10
名学生中“良好”等级的第3、4成绩的平均数，为 （分）．
故答案： ， ．
（3）解：七年级学生对消防知识掌握得更好，
理由如下：
平均数：七、八年级学生成绩的平均数相同；
众数：七年级学生成绩的众数比八年级学生成绩的众数高；
方差：七年级学生成绩的方差比八年级学生成绩的方差小，即七年级学生成绩比八年级学生成绩更稳
定．
综上所述，该校七年级学生对消防知识掌握得更好，
加强学生的消防意识看法：开展“增强学生消防安全意识”主题班会．（建议不唯一，合理即可）
【点睛】本题考查了会从统计图中获取信息进行相关计算，众数、中位数的定义，平均数、众数、中
位数、方差的特征，正确获取信息，会根据数据的集中趋势特征数和离散程度的特征数进行分析决策
是解题的关键．
19．（本小题满分8分）如图，在某大楼观测点P处进行观测，测得山坡 上A处的俯角为 ，测得山
脚B处的俯角为 ．已知该山坡 的坡度 ， 米，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H，B，C在同一条直线上，且 ．
(1)求观测点P与山脚B点之间的距离；
(2)求观测点P与山顶A点之间的距离．
19．【详解】（1）解：如图
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ （米），
∴观测点P与山脚B点之间的距离是20米．
（2）解：如图，过点A作 ，交 的延长线于点D，
∵ ， ，
∴ ，
∵山坡 的坡度 ，∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， 米，
∴ （米），
∴观测点P与山顶点A之间的距离是 米．
20.本小题满分11分）某工厂生产种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万
元/件）之间满足一次函数关系．部分数据如下表：
2
每件售价x/万元 … 24 28 30 32 …
6
4
月销售量y/件 … 52 44 40 36 …
8
(1)求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．
(2)该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
①求：三月份每件产品的成本是多少万元？
②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成
本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获
得的利润 （万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元？
20．【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为 ，将 ， 代入，得：
，解得 ，
y与x的函数关系式为 ；
（2）解：①将 代入 ，得 （件），
设三月份每件产品的成本是a万元，由题意得 ，
解得 ，
即三月份每件产品的成本是20万元；
②四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为 ，
由题意得： ，
则抛物线的对称轴为 ，且 ，开口向下，
则 时， 取得最小值，
此时， ，
即四月份最少利润是500万元．
21．（本小题满分12分）如图， 内接于 ． 为直径，过 作 ，交 的延长线于
点 ，过 作 的切线交 于点 ．
(1)求证： ；（请用两种证法解答）
(2)若 的半径为4， ，求 的长．
21．【详解】（1）证明：连接 ，
切圆于 ，
半径 ，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解： ， ， ，
，
，
，
， ，
，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
．
22．（本小题满分12分）如图1，四边形 中， ，点 在 上， 平分 ，若
．
(1)求证：四边形 为平行四边形；(2)如图2，当 时，延长 、 交于点 ，在 上取点 ，若 ，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，若 ，求 的长．
22．【详解】（1）证明： ，
，
平分 ，
，
，
∴ ，
又 ，
四边形 为平行四边形；
（2）证明： ，
四边形 为矩形，
，
， ，
，
，
，
；
（3）解：如图3，过点 作 ，交 于 ，过点 作 于 ，
， ，
，
，
，
又 ， ，，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
．
23．（本小题满分13分）如图，已知抛物线 的图象与x轴交于 ， 两
点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点P为第四象限内抛物线上的一个动点，连接 交直线 于点Q．设点P的横坐标为
m，求出 的最大值及此时点P的坐标．
(3)如图2，点F是抛物线上的一个动点，是否存在一点F，使 ？若存在，请直接写出点
F的坐标；若不存在，请说明理由．
23．【详解】（1）把 ， 代入 ，得
，
解得 ，
∴ ；
（2）当 时， ，
∴ ，
∴ ．
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入，得
，解得 ，
∴ ．
过 P 点作 轴交 于点 H ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ 轴，∴ ， ，
，开口向下，∴当 时， 有最大值，最大值为1，此时点 P 的坐标为 ；
（3）设 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
解得 ， ， ， ，
∴ ．
