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2013年湖北省黄冈市中考数学试卷
一、选择题（下列各题A、B、C、D四个选项中，有且仅有一个是正确的，每小题3分，共24
分）
1．（3分）﹣（﹣3）2＝（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9
2．（3分）随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，
是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AC∥DF，若∠BAC＝120°，则∠CDF＝（ ）
A．60° B．120° C．150° D．180°
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x4•x4＝x16 B．（a3）2•a4＝a9
C．（ab2）3÷（﹣ab）2＝﹣ab4 D．（a6）2÷（a4）3＝1
5．（3分） 已知一个正棱柱的俯视图和左视图如图，则其主视图为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2，则另一根为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
第1页（共21页）7．（3分） 已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（ ）
A． B．4 C． 或4 D．2 或4
8．（3分π）一列快车从甲地驶往乙π 地，一列特快车从乙π地驶往π甲地，快车的速度π为10π0千米/小
时，特快车的速度为150千米/小时，甲、乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，
则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间（小时）之间的函数图象是
（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，满分21分）
9．（3分）计算： ＝ ．
10．（3分）分解因式：ab2﹣4a＝ ．
11．（3分）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝CD＝1，连接DE，则
DE＝ ．
12．（3分）已知反比例函数 在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为x轴
第2页（共21页）正半轴上一点，连接AO、AB，且AO＝AB，则S△AOB ＝ ．
13．（3分）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝8，则 所在圆的半径为
．
14．（3分）DiaoyuIsland自古就是中国领土，中国政府已对DiaoyuIsland开展常态化巡逻．某
天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途
出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达．
如图是该艇行驶的路程y（海里）与所用时间（t 小时）的函数图象，则该巡逻艇原计划准点
到达的时刻是 ．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作
无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A 位置时，则点A经过的路线长为 ．
1
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．每小题给出必要的演算过程或推理步骤．）
第3页（共21页）16．（6分）解方程组： ．
17．（6分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，
连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO．
18．（7分）为了倡导“节约用水，从我做起”，黄冈市政府决定对市直机关500户家庭的用水
情况作一次调查，市政府调查小组随机抽查了其中100户家庭一年的月平均用水量（单位：
吨）．并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）求这100个样本数据的平均数，众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多
少户？
19．（6分）如图，有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其
中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，
将剩余3张再摸出一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌用A，B，C，D表示）；
（2）求摸出的两张牌同为红色的概率．
第4页（共21页）20．（7分）如图，AB为 O的直径，C为 O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为
D，且AC平分∠DAB⊙． ⊙
（1）求证：DC为 O的切线；
（2）若 O的半径⊙为3，AD＝4，求AC的长．
⊙
21．（8分）为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资．现准备租用甲、
乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表：
甲种货车 乙种货车
载货量（吨/辆） 45 30
租金（元/辆） 400 300
如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2300元，求最省钱的租车方案．
22．（8分）如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量
人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E
处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数， ≈1.73， ≈1.41）
23．（12分）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上
全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y（元）与
1
第5页（共21页）国内销售量x（千件）的关系为：
y ＝
1
若在国外销售，平均每件产品的利润y （元）与国外的销售数量t（千件）的关系为
2
（1）用x的代数式表示t为：t＝ ；当0＜x≤4时，y 与x的函数关系为：y ＝
2 2
；当 ≤x＜ 时，y ＝100；
2
（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数
关系式，并指出x的取值范围；
（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为
多少？
24．（15分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，其中A（6，0），B（3， ），C
（1， ），动点P从点O以每秒2 个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿
B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停
止，设点P，Q运动的时间为t（秒）．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式；
（3）以O，P，Q顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明
理由；
（4）经过A，B，C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗？若能，请求出
此时t的值（或范围），若不能，请说明理由）．
第6页（共21页）2013年湖北省黄冈市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题A、B、C、D四个选项中，有且仅有一个是正确的，每小题3分，共24
分）
1．【分析】根据有理数的乘方的定义解答．
【解答】解：﹣（﹣3）2＝﹣9．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的乘方的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋
转180度后与原图形重合．
3．【分析】根据两直线平行，同旁内角互补由AB∥CD得到∠BAC+∠ACD＝180°，可计算出
∠ACD＝60°，然后由AC∥DF，根据平行线的性质得到∠ACD＝∠CDF＝60°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠ACD＝180°﹣120°＝60°，
∵AC∥DF，
∴∠ACD＝∠CDF，
∴∠CDF＝60°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
4．【分析】根据同底数幂的乘除法则及幂的乘方法则，结合各选项进行判断即可．
【解答】解：A、x4×x4＝x8，原式计算错误，故本选项错误；
第7页（共21页）B、（a3）2•a4＝a10，原式计算错误，故本选项错误；
C、（ab2）3÷（﹣ab）2＝ab4，原式计算错误，故本选项错误；
D、（a6）2÷（a4）3＝1，计算正确，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除、幂的乘方与积的乘方的知识，解答本题的关键是掌
握各部分的运算法则．
5．【分析】首先根据俯视图和左视图判断该几何体，然后确定其主视图即可；
【解答】解：根据此正棱柱的俯视图和左视图得到该几何体是正五棱柱，
其主视图应该是矩形，而且有看到两条棱，背面的棱用虚线表示，
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．主视图、左视图、俯视图是分别
从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
6．【分析】利用根与系数的关系来求方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为 ，则 +2＝6，
解得 ＝4． α α
故选：αC．
【点评】本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：x ，x 是方程
1 2
x2+px+q＝0的两根时，x +x ＝﹣p，x x ＝q，反过来可得p＝﹣（x +x ），q＝x x ，前者是已
1 2 1 2 1 2 1 2
知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
7．【分析】分底面周长为4 和2 两种情况讨论，先求得底面半径，再根据圆的面积公式即可
求解． π π
【解答】解： 底面周长为4 时，半径为4 ÷ ÷2＝2，底面圆的面积为 ×22＝4 ；
底面周长为①2 时，半径为π2 ÷ ÷2＝1，底π面π圆的面积为 ×12＝ ． π π
②故选：C． π π π π π
【点评】考查了圆柱的侧面展开图，注意分长为底面周长和宽为底面周长两种情况讨论求
解．
8．【分析】分三段讨论， 两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小， 相遇后向相反方
向行驶到特快到达甲①地，这段时间两车距迅速增加， 特快到达甲地至②快车到达乙地，这
段时间两车距缓慢增大，结合实际选符合的图象即可③．
【解答】解： 两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；
相遇后向相①反方向行驶到特快到达甲地这段时间两车距迅速增加；
② 第8页（共21页）特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；
③结合图象可得C选项符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象，解答本题关键是分段讨论，要结合实际解答，明白每条直
线所代表的实际含义及拐点的含义．
二、填空题（每小题3分，满分21分）
9．【分析】分母相同，直接将分子相减再约分即可．
【解答】解：原式＝ ＝ ＝﹣ ，（或 ）．
【点评】本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，
把分子直接相加减即可．
10．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ab2﹣4a
＝a（b2﹣4）
＝a（b﹣2）（b+2）．
故答案为：a（b﹣2）（b+2）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取
公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11．【分析】根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD＝DE，求出BC，在Rt△BDC中，由勾
股定理求出BD即可．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC，
∵BD为中线，
∴∠DBC＝ ∠ABC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠E+∠CDE＝∠ACB，
∴∠E＝30°＝∠DBC，
∴BD＝DE，
∵BD是AC中线，CD＝1，
∴AD＝DC＝1，
第9页（共21页）∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝1+1＝2，BD⊥AC，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD＝ ＝ ，
即DE＝BD＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知
识点的应用，关键是求出DE＝BD和求出BD的长．
12．【分析】根据等腰三角形的性质得出CO＝BC，再利用反比例函数系数k的几何意义得出
S△AOB 即可．
【解答】解：过点A作AC⊥OB于点C，
∵AO＝AB，
∴CO＝BC，
∵点A在其图象上，
∴ AC×CO＝3，
∴ AC×BC＝3，
∴S△AOB ＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，正确分割
△AOB是解题关键．
13．【分析】首先连接OC，由M是CD的中点，EM⊥CD，可得EM过 O的圆心点O，然后设
半径为x，由勾股定理即可求得：（8﹣x）2+22＝x2，解此方程即⊙可求得答案．
【解答】解：连接OC，
∵M是CD的中点，EM⊥CD，
∴EM过 O的圆心点O，
第10页（共21页）
⊙设半径为x，
∵CD＝4，EM＝8，
∴CM＝ CD＝2，OM＝8﹣OE＝8﹣x，
在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，
即（8﹣x）2+22＝x2，
解得：x＝ ．
∴ 所在圆的半径为： ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意
掌握数形结合思想与方程思想的应用．
14．【分析】根据函数图象和题意可以求出开始的速度为80海里/时，故障排除后的速度是
100海里/时，设计划行驶的路程是a海里，就可以由时间之间的关系建立方程求出路程，
再由路程除以速度就可以求出计划到达时间．
【解答】解：由图象及题意，得
故障前的速度为：80÷1＝80海里/时，
故障后的速度为：（180﹣80）÷1＝100海里/时．
设航行的全程有a海里，由题意，得
，
解得：a＝480，
则原计划行驶的时间为：480÷80＝6小时，
解法二：设原计划行驶的时间为t小时，
80t＝80+100（t﹣2）
第11页（共21页）解得：t＝6，
故计划准点到达的时刻为：7：00．
故答案为：7：00．
【点评】本题考查了运用函数图象的意义解答行程问题的运用，行程问题的数量关系路程
＝速度×时间的运用，解答时先根据图象求出速度是关键，再建立方程求出距离是难点．
15．【分析】如图根据旋转的性质知，点A经过的路线长是三段： 以90°为圆心角，AD长为
半径的扇形的弧长； 以90°为圆心角，AB长为半径的扇形的①弧长； 90°为圆心角，矩
形ABCD对角线长为②半径的扇形的弧长． ③
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，
∴BC＝AD＝3，∠ADC＝90°，对角线AC（BD）＝5．
∵根据旋转的性质知，∠ADA′＝90°，AD＝A′D＝BC＝3，
∴点A第一次翻滚到点A′位置时，则点A′经过的路线长为： ＝ ．
同理，点A′第一次翻滚到点A″位置时，则点A′经过的路线长为： ＝2 ．
π
点A″第一次翻滚到点A 位置时，则点A″经过的路线长为： ＝ ．
1
则当点A第一次翻滚到点A 位置时，则点A经过的路线长为： +2 + ＝6 ．
1
π π
故答案是：6 ．
π
【点评】本题考查了弧长的计算、矩形的性质以及旋转的性质．根据题意画出点A运动轨
迹，是突破解题难点的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．每小题给出必要的演算过程或推理步骤．）
16．【分析】把方程组整理成一般形式，然后利用代入消元法其求即可．
【解答】解：方程组可化为 ，
由 得，x＝5y﹣3 ，
②代入 得，5（5③y﹣3）﹣11y＝﹣1，
③ ① 第12页（共21页）解得y＝1，
把y＝1代入 得，x＝5﹣3＝2，
③
所以，原方程组的解是 ．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，
当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
17．【分析】根据菱形的对角线互相平分可得OD＝OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半可得OH＝OB，然后根据等边对等角求出∠OHB＝∠OBH，根据两直线平行，
内错角相等求出∠OBH＝∠ODC，然后根据等角的余角相等证明即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，∠COD＝90°，
∵DH⊥AB，
∴OH＝ BD＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH，
又∵AB∥CD，
∴∠OBH＝∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO＝90°，
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB＝90°，
∴∠DHO＝∠DCO．
【点评】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．
18．【分析】（1）根据条形图中数据得出平均用水11吨的户数，进而画出条形图即可；
（2）根据平均数、中位数、众的定义分别求解即可；
（3）根据样本估计总体得出答案即可．
【解答】解：（1）根据条形图可得出：
平均用水11吨的用户为：100﹣20﹣10﹣20﹣10＝40（户），
第13页（共21页）如图所示：
（2）平均数为： （20×10+40×11+12×10+13×20+10×14）＝11.6（吨），
根据11出现次数最多，故众数为：11，
根据100个数据的最中间为第50和第51个数据，
按大小排列后第50，51个数据是11，故中位数为：11；
答：这100个样本数据的平均数，众数和中位数分别是11.6，11，11；
（3）样本中不超过12吨的有20+40+10＝70（户），
答：黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有：500× ＝350（户）．
【点评】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义．找中位数要把数据按从小到大
的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次
数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数
据的个数．
19．【分析】（1）画出树状图即可；
（2）根据树状图可以直观的得到共有12种情况，都是红色情况有2种，进而得到概率．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）根据树状图可得共有12种情况，都是红色情况有2种，
概率为P＝ ＝ ．
第14页（共21页）【点评】本题考查概率公式，即如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
20．【分析】（1）连接OC，由OA＝OC可以得到∠OAC＝∠OCA，然后利用角平分线的性质
可以证明∠DAC＝∠OCA，接着利用平行线的判定即可得到 OC∥AD，然后就得到
OC⊥CD，由此即可证明直线CD与 O相切于C点；
（2）连接BC，根据圆周角定理的推理⊙得到∠ACB＝90°，又∠DAC＝∠OAC，由此可以得到
△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OC
∵OA＝OC
∴∠OAC＝∠OCA
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC＝∠OAC
∴∠DAC＝∠OCA
∴OC∥AD
∵AD⊥CD∴OC⊥CD
∴直线CD与 O相切于点C；
⊙
（2）解：连接BC，则∠ACB＝90°．
∵∠DAC＝∠OAC，∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴ ，
∴AC2＝AD•AB，
∵ O的半径为3，AD＝4，
∴⊙AB＝6，
∴AC＝2 ．
第15页（共21页）【点评】此题主要考查了切线的性质与判定，解题时 首先利用切线的判定证明切线，然后
利用切线的想这已知条件证明三角形相似即可解决问题．
21．【分析】先设租甲型货车x辆，则乙型货车（6﹣x）辆，根据题意列出不等式组，求出x的取
值范围，再根据x为正整数，求出租车方案，再分别求出每种方案的费用，即可得出答案．
【解答】解：设租甲型货车x辆，则乙型货车（6﹣x）辆，根据题意得：
，
解得：4≤x≤5，
∵x为正整数，
∴共有两种方案，
方案1：租甲型货车4辆，乙型货车2辆，
方案2：租甲型货车5辆，乙型货车1辆，
方案1的费用为：4×400+2×300＝2200元；
方案2的费用为：5×400+1×300＝2300元；
2200＜2300，
则选择方案1最省钱，
即最省钱的租车方案是租甲型货车4辆，乙型货车2辆．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，关键是读懂题意，根据题目中的数量关系
列出不等式组，注意x为正整数．
22．【分析】先判断△ACE为等腰三角形，在Rt△AEF中表示出EF、AF，在Rt△BEF中求出
BF，根据AB＝AF﹣BF即可得出答案．
【解答】解：依题意可得：∠AEB＝∠EAB＝30°，∠ACE＝15°，
又∵∠AEB＝∠ACE+∠CAE
∴∠CAE＝15°，
即△ACE为等腰三角形，
∴AE＝CE＝100m，
第16页（共21页）在Rt△AEF中，∠AEF＝60°，
∴EF＝AEcos60°＝50m，AF＝AEsin60°＝50 m，
在Rt△BEF中，∠BEF＝30°，
∴BF＝EFtan30°＝50× ＝ m，
∴AB＝AF﹣BF＝50 ﹣ ＝ ≈58（米）．
答：塔高AB大约为58米．
【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角
函数表示出相关线段的长度，难度一般．
23．【分析】（1）由该公司的年产量为6千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内
销售量+国外销售量＝6千件，即x+t＝6，变形即为t＝6﹣x；
根据平均每件产品的利润 y （元）与国外的销售数量 t（千件）的关系
2
及t＝6﹣x即可求出y 与x的函数关系：当0＜x≤4时，y ＝
2 2
5x+80；当4＜x＜6时，y ＝100；
2
（2）根据总利润＝国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：
0＜x≤2； 2＜x≤4； 4＜x≤6；
（①3）先利用配②方法将各解析③式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最
大值，再比较即可．
【解答】解：（1）由题意，得x+t＝6，
∴t＝6﹣x；
∵ ，
∴当0＜x≤4时，2≤6﹣x＜6，即2≤t＜6，
此时y 与x的函数关系为：y ＝﹣5（6﹣x）+110＝5x+80；
2 2
当4≤x＜6时，0＜6﹣x≤2，即0＜t≤2，
此时y ＝100．
2
故答案为：6﹣x；5x+80；4，6；
第17页（共21页）（2）分三种情况：
当0＜x≤2时，w＝（15x+90）x+（5x+80）（6﹣x）＝10x2+40x+480；
①当2＜x≤4时，w＝（﹣5x+130）x+（5x+80）（6﹣x）＝﹣10x2+80x+480；
②当4＜x≤6时，w＝（﹣5x+130）x+100（6﹣x）＝﹣5x2+30x+600；
③
综上可知，w＝ ；
（3）当0＜x≤2时，w＝10x2+40x+480＝10（x+2）2+440，此时x＝2时，w最大 ＝600；
当2＜x≤4时，w＝﹣10x2+80x+480＝﹣10（x﹣4）2+640，此时x＝4时，w最大 ＝640；
当4＜x≤6时，w＝﹣5x2+30x+600＝﹣5（x﹣3）2+645，4＜x＜6时，w＜640；
∵a＝﹣5，
∴当x＞3时，w随x的增大而减小，
∴没有w最大 ．
故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大
值为640千元．
【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，有一定难度．涉及到一次函数、二次
函数的性质，分段函数等知识，进行分类讨论是解题的关键．
24．【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据已知得出△OPQ的高，进而利用三角形面积公式求出即可；
（3）根据题意得出：0≤t≤3，当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，得出若△OPQ为直角三角
形，只能是∠OPQ＝90°或∠OQP＝90°，当2＜t≤3时，Q在OC边上运动，得出△OPQ不
可能为直角三角形；
（4）首先求出抛物线对称轴以及OB直线解析式和PM的解析式，得出 （1﹣t）× ＝3
﹣t﹣2t，恒成立，即0≤t≤2时，P，M，Q总在一条直线上，再利用2＜t≤3时，求出t的值，
根据t的取值范围得出答案．
【解答】解：（1）设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把A（6，0），B（3， ），C（1， ）
三点坐标代入得：
，
第18页（共21页）解得： ，
即所求抛物线解析式为：y＝﹣ x2+ x+ ；
（2）如图1，依据题意得出：OC＝CB＝2，
∵C（1， ），
∴tan∠COA＝ ，
∴∠COA＝60°，
∴当动点Q运动到OC边时，OQ＝4﹣t，
∴△OPQ的高为：OQ×sin60°＝（4﹣t）× ，
又∵OP＝2t，
∴S＝ ×2t×（4﹣t）× ＝﹣ （t2﹣4t）（2≤t≤3）；
（3）根据题意得出：0≤t≤3，
当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，此时OP＝2t，OQ＝ ，
PQ＝ ＝ ，
∵∠POQ＜∠POC＝60°，
∴若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ＝90°或∠OQP＝90°，
若∠OPQ＝90°，如图2，则OP2+PQ2＝QO2，即4t2+3+（3t﹣3）2＝3+（3﹣t）2，
解得：t ＝1，t ＝0（舍去），
1 2
若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ＝90°或∠OQP＝90°，
若∠OQP＝90°，如图，3，则OQ2+PQ2＝PO2，即（3﹣t）2+6+（3t﹣3）2＝4t2，
解得：t＝2，
当2＜t≤3时，Q在OC边上运动，此时OP＝2t＞4，
第19页（共21页）∠POQ＝∠COP＝60°，
OQ＜OC＝2，
故△OPQ不可能为直角三角形，
综上所述，当t＝1或t＝2时，△OPQ为直角三角形；
（4）由（1）可知，抛物线y＝﹣ x2+ x+ ＝﹣ （x﹣2）2+ ，
其对称轴为x＝2，
又∵OB的直线方程为y＝ x，
∴抛物线对称轴与OB交点为M（2， ），
又∵P（2t，0）
设过P，M的直线解析式为：y＝kx+b，
∴ ，
解得： ，
即直线PM的解析式为：y＝ x﹣ ，
即 （1﹣t）y＝x﹣2t，
又0≤t≤2时，Q（3﹣t， ），代入上式，得：
（1﹣t）× ＝3﹣t﹣2t，恒成立，
即0≤t≤2时，P，M，Q总在一条直线上，
即M在直线PQ上；
当2＜t≤3时，OQ＝4﹣t，∠QOP＝60°，
∴Q（ ， ），
代入上式得： × （1﹣t）＝ ﹣2t，
解得：t＝2或t＝ （均不合题意，舍去）．
第20页（共21页）∴综上所述，可知过点A、B、C三点的抛物线的对称轴OB和PQ能够交于一点，此时
0≤t≤2．
【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求二次函数解析式和待定系
数法求一次函数解析式等知识，利用分类讨论思想得出t的值是解题关键．
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