文档内容
2024 年中考第三次模拟考试（包头卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C C A D B C B D C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．
12．
13．
14．
15．
16．①③
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）【详解】（1）解：
（2分）
，（3分）
当 时，原式 ．（4分）
（2）解：去分母（两边都乘以 ），得，
．
去括号，得，，（5分）
移项，得，
．
合并同类项，得，（6分）
．
系数化为1，得，
．（7分）
检验：把 代入 ．
∴ 是原方程的根．（8分）
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟知分式方程的解法步骤是解题的关键，尤其注意解分式方程必须
检验．
18．【详解】解：（1）根据题意得，七年级10个班的餐厨垃圾质量中， 出现的此时最多，即众数是
；
由扇形统计图可知 ，（3分）
八年级的A等级的班级数为10×20%=2个，八年级共调查10个班，故中位数为第5个和第6个数的平均数，
A等级2个班，B等级的第3个数和第4个数是1.0和1.0，故八年级10个班的餐厨垃圾质量的中位数为
（1.0+1.0）÷2=1.0
；
（2）∵八年级抽取的10个班级中，餐厨垃圾质量为A等级的百分比是20%，
∴估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为：30×20%＝6（个）；
答：估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为6个．（6分）
（3）七年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为：
①七年级各班餐厨垃圾质量的众数0.8低于八年级各班的餐厨垃圾质量的众数1.0；
②七年级各班餐厨垃圾质量A等级的40%高于八年级各班餐厨垃圾质量A等级的20%；
八年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为：
①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.0低于七年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.1；
②八年级各班餐厨垃圾孩子里那个的方差0.23低于七年级各班餐厨垃圾质量的方差0.26．（8分）【点睛】本题考查统计表、扇形统计图、众数、中位数、方差、用样本估计总体等知识，是重要考点，难
度较易，掌握相关知识是解题关键．
19．【详解】（1）解：如图，作 于 ，则 ，
，
斜坡 的坡比 ，
，（1分）
设 ，则 ，
由题意得： ， ，（2分）
，
解得： ，（3分）
，
点 到水平线 的距离为 ；（4分）
（2）解：如图，作 于 ，
，
则 ，
四边形 为矩形，
， ，
设 ，则 ，
， ，
，（5分），（6分）
解得： ，
，（7分）
砖塔 的高度为 ．（8分）
20．【详解】（1）（1）设 种饰品每件的进价为 元，则B种饰品每件的进价为 元．
由题意得： ，（2分）解得： ，（3分）
经检验， 是所列方程的根，且符合题意．
种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元．（4分）
（2）①根据题意得： ，
解得： 且 为整数；（6分）
②设采购 种饰品 件时的总利润为 元．
当 时， ，
即 ，（7分）
，
随 的增大而减小．
当 时， 有最大值3480．（8分）
当 时，
整理得： ，（9分）
，
随 的增大而增大．
当 时， 有最大值3630．（10分）
，
的最大值为3630，此时 ．
即当采购 种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．（11分）【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数利润最大化方案问题，关键是
对分段函数的理解和正确求出最大值．
21．【详解】（1）证明：∵ 是 的切线，
∴ ．（1分）
∵
∴ ，（2分）
∴ ．
∴ ．
∵ ，（3分）
∴ ．（4分）
（2）解：如图，连接 ．
∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，（5分）
∵ ，
（6分）
∴ ．
∴ ．（7分）
∵ ，（8分）
∴ ．（9分）
∵ ，（10分）
，
∴ ．（11分）∴ ．
∴ ．
∴ ．（12分）
【点睛】本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，勾股定理，三角形相似判
定与性质，熟练掌握圆周角性质和三角形相似判定与性质是解题关键．
22．【详解】（1）证明： ，
．
，
∴ （1分）
∴
．
，
．
． （2分）
，
．
．
四边形 是平行四边形，（3分）
．
；（4分）
（2）如图②，当点E在线段 延长线上， 时，
同（1）， ，∴
四边形 是平行四边形，（5分）
．
∴
即 ；（6分）
如图③，当点E在线段 延长线上， 时，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴ （7分）
同（1）可证，
∴
四边形 是平行四边形，
．
∴
即 （8分）
（3）如图①，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴
∵ （9分）
∴中， , ，
由 ，得 ；（10分）
如图②， ，则 , 中， ，
∴ ,与 矛盾，故图②中，不存在 ， 的情况；（10分）
如图③，
∵四边形 是平行四边形
∴
∴
∵
∴
中， ， （11分）
∴
由 知， ．
综上， 或7．（12分）
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据条件选用恰当的方法作全等的判定
是解题的关键．
23．【详解】（1）解：∵ 在抛物线 上，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时， ，
∴ ， （舍），
∴ ．（2分）
∵ 在直线 上，∴ ，
∴ ，
∴一次函数解析式为 ．（4分）
（2）解：如图，作 轴于点 ，
对于 ，令x=0，则y=-6，
∴点C（0，-6），即OC=6，
∵A（3，0），
∴OA=3，（5分）
∵点P的横坐标为m．
∴ ，
∴ ， ，（6分）
∵∠CAP=90°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵∠AOC=∠AMP=90°，
∴ ，（7分）
∴ ，∴ ，即 ，
∴ （舍）， ，（8分）
∴ ，
∴点 ．（9分）
（3）解：如图，作 轴交 于点 ，过点 作 轴于点 ，
∵ ，
∴点 ，
∴ ，（10分）
∵PN⊥x轴，
∴PN∥y轴，
∴∠PNQ=∠OCB，
∵∠PQN=∠BOC=90°，
∴ ，（11分）
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，
∵EN⊥y轴，
∴EN∥x轴，
∴ ，
∴ ，即 （12分）
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 的最大值是 ．（13分）
