文档内容
2013年湖南省益阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（4分）据益阳市统计局在网上发布的数据，2012年益阳市地区生产总值（GDP）突破千亿
元大关，达到了1020亿元，将102 000 000 000用科学记数法表示正确的是（ ）
A．1.02×1011 B．10.2×1010 C．1.02×1010 D．1.2×1011
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．2a3÷a＝6 B．（ab2）2＝ab4 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a+b）2＝a2+b2
3．（4分）分式方程 的解是（ ）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝ D．x＝
4．（4分）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员
小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分．下表是其中一周的统计数据：
组 别 1 2 3 4 5 6 7
分 值 90 95 90 88 90 92 85
这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．88，90 B．90，90 C．88，95 D．90，95
5．（4分）一个物体由多个完全相同的小正方体组成，它的三视图如图所示，那么组成这个物
体的小正方体的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．5个 D．10个
6．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
第1页（共23页）A．∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCD C．AB＝CD D．AC⊥BD
7．（4分）抛物线y＝2（x+3）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
8．（4分）已知一次函数y＝x﹣2，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围在数轴上表示正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线
上）
9．（4分）因式分解：xy2﹣4x＝ ．
10．（4分）计算： ﹣ ＝ ．
11．（4分）有三张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有正三角形、正方形、
圆，从这三张卡片中任意抽取一张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的
概率是 ．
12．（4分）如图，若AB是 O的直径，AB＝10cm，∠CAB＝30°，则BC＝ cm．
⊙
13．（4分）下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是 ．
1 2 3 5 8 13 a …
2 3 5 8 13 21 34 …
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
14．（6分）已知：a＝ ，b＝|﹣2|， ．求代数式：a2+b﹣4c的值．
第2页（共23页）15．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照
且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，
大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线 的一部分．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
（2）求k的值；
（3）当x＝16时，大棚内的温度约为多少度？
17．（8分）某校八年级数学课外兴趣小组的同学积极参加义工活动，小庆对全体小组成员参
第3页（共23页）加活动次数的情况进行统计分析，绘制了如下不完整的统计表和统计图（图）．
次数 10 8 6 5
人数 3 a 2 1
（1）表中a＝ ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）从小组成员中任选一人向学校汇报义工活动情况，参加了10次活动的成员被选中的
概率有多少？
18．（8分）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从
小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB＝80.0米，∠PAB
＝38.5°，∠PBA＝26.5°．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以
A，B为参照点，结果精确到0.1米）
（参考数据：sin38.5°＝0.62，cos38.5°＝0.78，tan38.5°＝0.80，sin26.5°＝0.45，cos26.5°＝
0.89，tan26.5°＝0.50）
第4页（共23页）五、解答题（本大题共2小题，共22分）
19．（10分）“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输．
“益安”车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙
石．
（1）求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？
（2）随着工程的进展，“益安”车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备
新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出．
20．（12分）如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．
第5页（共23页）（1）求证：AE＝BC；
（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角 （0°＜ ＜
144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′＝BF′； α α
（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角 ；若不存在，
请说明理由． α
六、解答题（本题满分10分）
21．（10分）阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x ，y ），B
1 1
（x ，y ），AB中点P的坐标为（x ，y ）．由x ﹣x ＝x ﹣x ，得x ＝ ，同理y ＝
2 2 p p p 1 2 p p p
，所以 AB 的中点坐标为 ．由勾股定理得 AB2＝
第6页（共23页），所以A、B两点间的距离公式为
AB＝ ．
注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．
解答下列问题：
如图2，直线l：y＝2x+2与抛物线y＝2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂
线交抛物线于点C．
（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；
（2）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；
（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．
第7页（共23页）2013 年湖南省益阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（4分）据益阳市统计局在网上发布的数据，2012年益阳市地区生产总值（GDP）突破千亿
元大关，达到了1020亿元，将102 000 000 000用科学记数法表示正确的是（ ）
A．1.02×1011 B．10.2×1010 C．1.02×1010 D．1.2×1011
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将102 000 000 000用科学记数法表示为：1.02×1011．
故选：A．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．2a3÷a＝6 B．（ab2）2＝ab4
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a+b）2＝a2+b2
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式；4F：平方差公式；4H：整式的除法．
【分析】根据单项式的除法法则，以及幂的乘方，平方差公式以及完全平方公式即可作出
判断．
【解答】解：A、2a3÷a＝2a2，故选项错误；
B、（ab2）2＝a2b4，故选项错误；
C、正确；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用，理解公式结构是关键，需要熟练
掌握并灵活运用．
第8页（共23页）3．（4分）分式方程 的解是（ ）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝ D．x＝
【考点】B3：解分式方程．
【专题】11：计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到
分式方程的解．
【解答】解：去分母得：5x＝3x﹣6，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解．
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转
化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
4．（4分）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员
小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分．下表是其中一周的统计数据：
组 别 1 2 3 4 5 6 7
分 值 90 95 90 88 90 92 85
这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．88，90 B．90，90 C．88，95 D．90，95
【考点】W4：中位数；W5：众数．
【分析】根据众数和中位数的定义，结合表格和选项选出正确答案即可．
【解答】解：把这组数据按从小到大的顺序排列为：85，88，90，90，90，92，95，
故中位数为：90，
众数为：90．
故选：B．
【点评】本题考查了众数和中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握众数
和中位数的定义．
5．（4分）一个物体由多个完全相同的小正方体组成，它的三视图如图所示，那么组成这个物
体的小正方体的个数为（ ）
第9页（共23页）A．2个 B．3个 C．5个 D．10个
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】从主视图与左视图可以得出此图形只有一排，从俯视图可以验证这一点，从而确
定个数．
【解答】解：从主视图与左视图可以得出此图形只有一排，只能得出一共有5个小正方体，
从俯视图可以验证这一点，从而确定小正方体总个数为5个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由三视图判定几何体的形状，此问题是中考中热点问题，同学们
应熟练掌握．
6．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCD C．AB＝CD D．AC⊥BD
【考点】L5：平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质，平行四边形对边平行以及对边相等和对角相等分别判断
得出即可．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠2，（故A选项正确，不合题意）；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，（故B选项正确，不合题意）；
AB＝CD，（故C选项正确，不合题意）；
无法得出AC⊥BD，（故D选项错误，符合题意）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关的性质是解题关键．
第10页（共23页）7．（4分）抛物线y＝2（x+3）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
【考点】H3：二次函数的性质．
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：由y＝3（x+3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣3，1），
故选：C．
【点评】考查二次函数的性质及将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），
对称轴是x＝h．
8．（4分）已知一次函数y＝x﹣2，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围在数轴上表示正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；F5：一次函数的性质．
【专题】16：压轴题．
【分析】由已知条件知x﹣2＞0，通过解不等式可以求得x＞2．然后把不等式的解集表示在
数轴上即可．
【解答】解：∵一次函数y＝x﹣2，
∴函数值y＞0时，x﹣2＞0，
解得，x＞2，
表示在数轴上为：
故选：B．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集．把每个不等式的解集在数轴上表示出来
（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表
示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．
在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线
上）
第11页（共23页）9．（4分）因式分解：xy2﹣4x＝ x （ y + 2 ）（ y ﹣ 2 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：xy2﹣4x，
＝x（y2﹣4），
＝x（y+2）（y﹣2）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题
的关键，难点在于要进行二次因式分解．
10．（4分）计算： ﹣ ＝ 1 ．
【考点】6B：分式的加减法．
【专题】11：计算题．
【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算
即可．
【解答】解：原式＝
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．
11．（4分）有三张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有正三角形、正方形、
圆，从这三张卡片中任意抽取一张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的
概率是 ．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形；X4：概率公式．
【分析】由正三角形、正方形、圆中既是中心对称图形又是轴对称图形的是正方形、圆，利
用概率公式即可求得答案．
【解答】解：∵正三角形、正方形、圆中既是中心对称图形又是轴对称图形的是正方形、圆，
∴既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是： ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
第12页（共23页）12．（4分）如图，若AB是 O的直径，AB＝10cm，∠CAB＝30°，则BC＝ 5 cm．
⊙
【考点】KO：含30度角的直角三角形；M5：圆周角定理．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据圆周角定理可得出△ABC是直角三角形，再由含30°角的直角三角形的性质
即可得出BC的长度．
【解答】解：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
又∵AB＝10cm，∠CAB＝30°，
∴BC＝ AB＝5cm．
故答案为：5．
【点评】本题考查了圆周角定理及含30°角的直角三角形的性质，解答本题的关键是根据
圆周角定理判断出∠ACB＝90°．
13．（4分）下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是 2 1 ．
1 2 3 5 8 13 a …
2 3 5 8 13 21 34 …
【考点】37：规律型：数字的变化类．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据第一行第3个数是前两个数值之和，进而得出答案．
【解答】解：根据题意可得出：a＝13+8＝21．
故答案为：21．
【点评】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字的变与不变是解题关键．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
14．（6分）已知：a＝ ，b＝|﹣2|， ．求代数式：a2+b﹣4c的值．
【考点】33：代数式求值．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
第13页（共23页）【分析】将a，b及c的值代入计算即可求出值．
【解答】解：当a＝ ，b＝|﹣2|＝2，c＝ 时，
a2+b﹣4c＝3+2﹣2＝3．
【点评】此题考查了代数式求值，涉及的知识有：二次根式的化简，绝对值，以及有理数的
混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
【考点】S8：相似三角形的判定．
【专题】14：证明题；16：压轴题．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB＝∠CEB＝90°，
再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．
【解答】证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，比较简单，确定出两
组对应相等的角是解题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照
且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，
大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线 的一部分．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
第14页（共23页）（2）求k的值；
（3）当x＝16时，大棚内的温度约为多少度？
【考点】FH：一次函数的应用；GA：反比例函数的应用．
【分析】（1）根据图象直接得出大棚温度18℃的时间为12﹣2＝10（小时）；
（2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（3）将x＝16代入函数解析式求出y的值即可．
【解答】解：（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为12﹣2＝10小时．
（2）∵点B（12，18）在双曲线y＝ 上，
∴18＝ ，
∴解得：k＝216．
（3）当x＝16时，y＝ ＝13.5，
所以当x＝16时，大棚内的温度约为13.5℃．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键．
17．（8分）某校八年级数学课外兴趣小组的同学积极参加义工活动，小庆对全体小组成员参
加活动次数的情况进行统计分析，绘制了如下不完整的统计表和统计图（图）．
次数 10 8 6 5
人数 3 a 2 1
（1）表中a＝ 4 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）从小组成员中任选一人向学校汇报义工活动情况，参加了10次活动的成员被选中的
概率有多少？
第15页（共23页）【考点】VA：统计表；VC：条形统计图；X4：概率公式．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）根据条形统计图可知a＝4；
（2）根据表格数据可知6次的人数是2，然后补全统计图即可；
（3）根据概率公式解得即可．
【解答】解：（1）由条形统计图可知次数为8的有4人，
所以，a＝4；
（2）由表可知，6次的有2人，
补全统计图如图；
（3）∵小组成员共10人，参加了10次活动的成员有3人，
∴P＝ ，
答：从小组成员中任选一人向学校汇报义工活动情况，参加了10次活动的成员被选中的
概率是 ．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息
第16页（共23页）是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
18．（8分）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从
小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB＝80.0米，∠PAB
＝38.5°，∠PBA＝26.5°．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以
A，B为参照点，结果精确到0.1米）
（参考数据：sin38.5°＝0.62，cos38.5°＝0.78，tan38.5°＝0.80，sin26.5°＝0.45，cos26.5°＝
0.89，tan26.5°＝0.50）
【考点】T8：解直角三角形的应用．
【专题】12：应用题；16：压轴题．
【分析】设PD＝x米，在Rt△PAD中表示出AD，在Rt△PDB中表示出BD，再由AB＝80.0
米，可得出方程，解出即可得出PD的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置．
【解答】解：设PD＝x米，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP＝∠BDP＝90°，
在Rt△PAD中，tan∠PAD＝ ，
∴AD＝ ≈ ＝ x，
在Rt△PBD中，tan∠PBD＝ ，
∴DB＝ ≈ ＝2x，
又∵AB＝80.0米，
∴ x+2x＝80.0，
解得：x≈24.6，即PD≈24.6（米），
∴DB＝49.2（米）．
第17页（共23页）答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角
函数表示出相关线段的长度，难度一般．
五、解答题（本大题共2小题，共22分）
19．（10分）“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输．
“益安”车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙
石．
（1）求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？
（2）随着工程的进展，“益安”车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备
新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出．
【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【分析】（1）根据“‘益安’车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一
次能运输110吨沙石”分别得出等式组成方程组，求出即可；
（2）利用“‘益安’车队需要一次运输沙石165吨以上”得出不等式求出购买方案即可．
【解答】解：（1）设“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车分别有x辆、y辆，
根据题意得： ，
解之得： ．
答：“益安”车队载重量为8吨的卡车有5辆，10吨的卡车有7辆；
（2）设载重量为8吨的卡车增加了z辆，
依题意得：8（5+z）+10（7+6﹣z）＞165，
解之得：z＜ ，
∵z≥0且为整数，
∴z＝0，1，2；
∴6﹣z＝6，5，4．
∴车队共有3种购车方案：
载重量为8吨的卡车购买1辆，10吨的卡车购买5辆；
①载重量为8吨的卡车购买2辆，10吨的卡车购买4辆；
②载重量为8吨的卡车不购买，10吨的卡车购买6辆．
③ 第18页（共23页）【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，根据已知得出正确的
不等式关系是解题关键．
20．（12分）如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．
（1）求证：AE＝BC；
（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角 （0°＜ ＜
144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′＝BF′； α α
（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角 ；若不存在，
请说明理由． α
【考点】KH：等腰三角形的性质；LK：等腰梯形的判定；R2：旋转的性质．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出
答案；
（2）由旋转的性质可知：∠E′AC＝∠F′AB，AE′＝AF′，根据全等三角形证明方法得
出即可；
（3）分别根据 当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形， 当点E
的像E′与点N①重合时，求出 即可． ②
【解答】（1）证明：∵AB＝BαC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝36°，
∴∠BEC＝180°﹣∠C﹣∠CBE＝72°，
∴∠ABE＝∠A，∠BEC＝∠C，
∴AE＝BE，BE＝BC，
第19页（共23页）∴AE＝BC．
（2）证明：∵AC＝AB且EF∥BC，
∴AE＝AF；
由旋转的性质可知：∠E′AC＝∠F′AB，AE′＝AF′，
∵在△CAE′和△BAF′中
，
∴△CAE′≌△BAF′，
∴CE′＝BF′．
（3）存在CE′∥AB，
理由：由（1）可知AE＝BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆
弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，
如图： 当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，
∴∠BA①M＝∠ABC＝72°，又∠BAC＝36°，
∴ ＝∠CAM＝36°．
α当点E的像E′与点N重合时，
②由AB∥l得，∠AMN＝∠BAM＝72°，
∵AM＝AN，
∴∠ANM＝∠AMN＝72°，
∴∠MAN＝180°﹣2×72°＝36°，
∴ ＝∠CAN＝∠CAM+∠MAN＝72°．
所α以，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．
第20页（共23页）【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根
据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键．
六、解答题（本题满分10分）
21．（10分）阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x ，y ），B
1 1
（x ，y ），AB中点P的坐标为（x ，y ）．由x ﹣x ＝x ﹣x ，得x ＝ ，同理y ＝
2 2 p p p 1 2 p p p
，所以 AB 的中点坐标为 ．由勾股定理得 AB2＝
，所以A、B两点间的距离公式为AB＝
．
注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．
解答下列问题：
如图2，直线l：y＝2x+2与抛物线y＝2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂
线交抛物线于点C．
（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；
（2）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；
（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．
【考点】HF：二次函数综合题．
第21页（共23页）【专题】16：压轴题．
【分析】（1）根据y＝2x+2与抛物线y＝2x2交于A、B两点，直接联立求出交点坐标，进而
得出C点坐标即可；
（2）利用两点间距离公式得出AB的长，进而得出PC＝PA＝PB，求出∠PAC+∠PCB＝
90°，即∠ACB＝90°即可得出答案；
（3）点C作CG⊥AB于G，过点A作AH⊥PC于H，利用A，C点坐标得出H点坐标，进而
得出CG＝AH，求出即可．
【解答】（1）解：由 ，
解得： ， ．
则A，B两点的坐标分别为：A（ ，3﹣ ），B（ ，3+ ），
∵P是A，B的中点，由中点坐标公式得P点坐标为（ ， ），即
（ ，3），
又∵PC⊥x轴交抛物线于C点，将x＝ 代入y＝2x2中得y＝ ，
∴C点坐标为（ ， ）．
（2）证明：由两点间距离公式得：
AB＝ ＝5，PC＝|3﹣ |＝ ，
∴PC＝PA＝PB，
∴∠PAC＝∠PCA，∠PBC＝∠PCB，
∴∠PAC+∠PCB＝90°，即∠ACB＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
第22页（共23页）（3）解：过点C作CG⊥AB于G，过点A作AH⊥PC于H，
则H点的坐标为（ ，3﹣ ），
∴S△PAC ＝ AP•CG＝ PC•AH，
∴CG＝AH＝| ﹣ |＝ ．
又∵直线l与l′之间的距离等于点C到l的距离CG，
∴直线l与l′之间的距离为 ．
【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及两点之间距离公式和两函数交点坐标求
法等知识，根据数形结合得出H点坐标是解题关键．
第23页（共23页）
