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2024 年中考第一次模拟考试（呼和浩特卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．实数 的相反数是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了相反数的判断，根据相反数的定义解答即可．
【详解】 的相反数是5．
故选：A．
2．如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解；从正面看，右上角是三角形，
故选；B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．如图，直线 ，点 在直线 上，点 在直线 上，连接 ，过点 作 ，交直线 于点
．若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角
相等；两直线平行，同旁内角互补．根据两直线平行，同旁内角互补得出 ，结合已知条件
即可求出 的度数．
【详解】解：如图所示，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
4．2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．国家主席习近平在主旨演讲
中声明：“本届高峰论坛期间举行的企业家大会达成了972亿美元的项目合作协议．”将972亿美元用科
学记数法表示成元，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于等于10的数表示成 的形式（a大于或等于1且
小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．根据科学记数法的定义，即可求解．
【详解】解：972亿 ，
故选：C．
5．若式子 有意义，则x的取值范围是（ ）A． B． 且 C． 且 D．
【答案】C
【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件，根据分母不为0，被开方数大于或等于0，解不等式即可．
【详解】解：依题意得： 且 ，
解得 且 ．
故选C．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的减法、完全平方公式、同底数幂的除法、负整数指数幂以及幂的乘方的运算法则
逐一分析即可．
【详解】解：∵ ，
∴选项A不符合题意；
∵ ，
∴选项B不符合题意；
∵ ，
∴选项C符合题意；
∵ ，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的减法、完全平方公式 、同底数幂的除法 、
负整数指数幂 以及幂的乘方 ，掌握以上法则是解题的关键．
7．三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上
部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将上部三张图片分别记作 、 、 ，下部三张图片记作 、 、 ，列表得出所有等可能结果，
从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将上部三张图片分别记作 、 、 ，下部三张图片记作 、 、 ，
列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中这两张小图片恰好合成一张完整图片的有3种结果，
所以这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率 所求
情况数与总情况数之比．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分两种情况讨论：当 时，可排除B；当 时，排除C、D．
【详解】解：当 时，反比例函数 过一三象限，一次函数 与y轴正半轴有交点，过一二
三象限，故A正确，排除B；当 时，反比例函数 过二四象限，一次函数 与y轴负半轴有交点，过二三四象限，排除
C、D；
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数综合问题，掌握数形结合的思想是关键．
9．如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点O， ， ，垂足为点E，F是
的中点，连接 ，若 ，则矩形 的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据矩形的性质得出 ，即可求证 为等边三角形，进而得出点E为 中点，根据
中位线定理得出 ，易得 ，求出 ，即可得出矩形的周长．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∵ ，
∴点E为 中点，
∵F是 的中点，若 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴矩形 的周长 ，
故选：D．
【点睛】矩形主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线定理，解直角三角形，解题的关
键是掌握矩形的对角线相等，等边三角形三线合一，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，
以及解直角三角形的方法和步骤．
10．直线 和抛物线 （a，b是常数，且 ）在同一平面直角坐标系中，直线
经过点 ．下列结论：
①抛物线 的对称轴是直线
②抛物线 与x轴一定有两个交点
③关于x的方程 有两个根 ，
④若 ，当 或 时，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④
【答案】B
【分析】①可得 ，从而可求 ，即可求解；②可得 ，由 ，可得
，即可求解；③可判断抛物线也过 ，从而可得方程 的一个根为 ，
可求抛物线 的对称轴为直线 ，从而可得抛物线 与 轴的
另一个交点为 ，即可求解；④当 ，当 时， ，即可求解．
【详解】解：① 直线 经过点 ，
，
，抛物线的对称轴为直线 ，
故①正确；
② ，
由①得 ，
，
，
，
抛物线 与x轴一定有两个交点，
故②正确；
③当 时，
，
抛物线也过 ，
由 得
方程 ，
方程的一个根为 ，
抛物线 ，
，
抛物线 的对称轴为直线 ，
与 轴的一个交点为 ，
，
解得： ，
抛物线 与 轴的另一个交点为 ，
关于x的方程 有两个根 ， ，故③正确；
④当 ，当 时， ，
故④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，
掌握解法是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解．先提公因式，再用平方差公式法因式分解即可．
【详解】解： ，
，
．
故答案为： ．
12．在数学实践活动中，某同学用一张如图①所示的矩形纸板制做了一个扇形，并由这个扇形围成一个圆
锥模型（如图②所示），若扇形的圆心角为 ，圆锥的底面半径为2，则此圆锥的母线长为 ．
【答案】
【分析】设此圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到 ，然后解方程即可．
【详解】解：设母线长为l，则 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．
13．将甲、乙两组各10个数据绘制成折线统计图(如图)，两组数据的平均数都是7，设甲、乙两组数据的
方差分别为 ，则 (填“ ”“ ”或“ ”)．
【答案】
【分析】根据折线统计图可得甲的数据波动较小，进而根据方差的意义即可求解．
【详解】解：由折线统计图可得，甲的数据波动较小，则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折线统计图，方差的意义，理解数据波动小的方差小是解题的关键．
14．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，
问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，
则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为 .
【答案】7人
【分析】设共有x人，价格为y钱，根据题意列出二元一次方程组即可求解．
【详解】解：设共有x人，价格为y钱，依题意得：
，解得： ，
答：物品价格为53钱，共同购买该物品的人数有7人,
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组即可求解．
15．如图，在菱形 中，边长为 ， ，E，F分别是边 上的点，且 ，
若将 沿着 折叠，使得点B恰好落在 边上的点 处， ，折痕为 ，则 的长为
．
【答案】2
【分析】过点 作 ，交 的延长线于点G，先求出 ，再证明 ，设
，则 ， ，在 中，由勾股定理得 ，
解方程求出 ，则 ．
【详解】解：如图，过点 作 ，交 的延长线于点G，则 ，
∵ ，
∴ ，
由折叠的性质得， ，∵四边形 是菱形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了折叠的性质、菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握折叠
的性质、菱形的性质是解题的关键．
16．我国魏晋时期的数学家刘徽 年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形
无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率 ．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，
依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形， ，割得越细，正多边形就越接近圆．设圆的半径为
，圆内接正六边形的周长 ，计算 ；圆内接正十二边形的周长 ，计算
；那么分割到圆内接正二十四边形后，通过计算可以得到圆周率 ．（参考数据：
，
【答案】3.12
【分析】求出正24边形的周长，再根据 计算即可解决问题．【详解】解：圆内接正二十四边形的周长 ，
则 ，
故答案为3.12
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正多边形与圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知
识解决问题．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）计算： ．
（2）解不等式组
【答案】（1）0，（2）
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算即可解答．
【详解】（1）原式
；
（2）解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组解集为 ．
【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组，准确熟练地进
行计算是解题的关键．
18．如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道 的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行．
某次拍摄中，当运动员在点A位置时，无人机在他的仰角为 的斜上方C处，当运动员到达地面B点时，
无人机恰好到达运动员正上方的D处，已知 的坡度为 且长为300米，无人机飞行距离 为60米，求无人机离地面的高度 的长．（参考数据： ）
【答案】345米
【分析】作 于E，根据坡度，得到 ，推出 ，进而求出
的长，利用 ，求出 的长，再在直角三角形 中，求出 的长，再根据
，即可得解．
【详解】解：如图，作 于E，由题意，可知：四边形 为矩形，
∴ 米， ，
∵ 的坡度为 ，即：
∴ ，
又∵ 米，则 （米）， （米），
∴ （米）
在 中， ，
则 （米），∴ （米），
∴ （米）
答：无人机离地面的高度约为345米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，添加辅助线，构造
直角三角形．
19．随着科幻电影的崛起，层出不穷的“硬核科技”元素也引起人们的热烈讨论，例如太空电梯，数字生
命，重核聚变行星发动机，超级量子计算机，人工智能，机械外骨骼等．强大的科技会促使科幻走进现实，
为激发学生对科技的热情，某校七、八年级举办了青少年科技创新大赛，赛后从两个年级中各随机抽取50
名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．七年级学生成绩的频数分布直方图如图所示．（数据分为5组： ， ， ，
， ）
b．七年级学生成绩在 这一组的是：80， ，81，82，82，83， ，84，84，85，86，
，87，88，89，89；
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如表：
年级统计
平均数 中位数
量
七年级 m
八年级 85
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中m的值为 ；
(2)小航此次大赛的成绩为83分，在被抽取的50名学生中，他的成绩超过了一半以上的同学，请判断小航是哪个年级的学生，并说明理由；
(3)若成绩90分及以上为优秀，七年级共有学生400名，估计本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数；
(4)请对七、八年级学生这次大赛的成绩作出合理的评价．
【答案】(1)82
(2)小航是七年级的学生，理由见解析
(3)本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数约为104人
(4)见解析
【分析】（1）根据中位数的定义解答即可，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果
数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
（2）根据中位数的意义解答即可；
（3）用400乘以样本中90分及以上的人数所占比例即可；
（4）根据两个年级的平均数、中位数解答即可．
【详解】（1）解：由题意得，把七年级学生成绩从小到大排列，第25，26名学生的成绩分别为82分，82
分，
故 ，
故答案为：82；
（2）小航是七年级的学生，理由如下：
因为83大于82，他的成绩超过了被抽取的七年级学生成绩的中位数；
（3） （人），
答：本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数约为104人；
（4）八年级学生成绩的平均数比七年级学生成绩的平均数大，八年级学生成绩的中位数比七年级学生成
绩的中位数大，所以八年级学生的成绩要比七年级学生的成绩好（答案不唯一）．
【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数以及加权平均数，解答本题的关键是明确题
意，利用数形结合的思想解答．
20．如图，四边形 中，对角线 相交于点 ， 为 的中点， ， ，(1)四边形 是什么特殊的四边形？请证明；
(2)点 在 上，点 在 上，且 ．若 ，求 的长．
【答案】(1)菱形，证明见解析；
(2) ．
【分析】( )根据 为 的中点，可得出四边形 为平行四边形，根据 、 即可
得出 的长度，再结合 即可得出 ，从而得出 ，进而可证出四
边形 是菱形；
( )设 ，则 ， ， ，根据勾股定理可得出 的长度，结合 即
可得出关于 的一元二次方程，解方程即可得出结论；
本题考查了菱形的判定、勾股定理以及逆定理、解一元二次方程，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
【详解】（1）四边形 是菱形．
∵ 为 的中点，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形， ，
∴四边形 是菱形；
（2）设 ，则 ， ， ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ，
又∵ ，
∴ 不合，舍去，
∴ ，
∴ ．
21．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，长方形 的边 、 分别在x轴、y轴上，点
B的坐标为 ，双曲线 的图象经过线段 的中点D．
(1)求双曲线的解析式；
(2)若点 在反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过P作 轴于点Q，记 的面积
为S，求S关于x的解析式，并写出x的取值范围．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）本题主要考查反比例函数的图象，运用函数图象经过点求函数解析式是解答本题的关键．
根据反比例函数图象经过线段 的中点 以及知道点 坐标用待定系数法求解即可．
（2）本题主要考查动点在反比例函数图象上求面积问题，解答本题关键在于用合理设出点的坐标，用坐
标之差表示出三角形边长．根据反比例函数解析式已知，合理设出点 与 的坐标，用坐标表示出三角形
的边长再求面积．动点不与点D重合，需要分情况考虑动点在D的上方和下方．
【详解】（1）解：∵ ，点 在 轴上，且反比例函数 经过 的中点 ，将点 代入
反比例函数解析式得 ，
解得： ，
；
（2）①当P在线段 的上方时如图1，此时 ，
∵点P在反比例函数的图象上运动，
∴设 ，
∴ ；
②当P在线段 下方运动时，此时 ，如图2，同理
综上
22．某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如下表：
甲水
乙水笔
笔
每支进价（元） a
每支利润（元） 2 3
已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．
(1)求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．
(2)若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超
过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
(3)文具店为了吸引客源．准备下次再购进一种进价为12（元/支）的丙水笔，预算用1500元购进这三种水
笔若干支（三种笔都需购买），其中甲水笔与乙水笔的数量之比为1∶2，则该文具店至多可以购进这三种水
笔共多少支．
【答案】(1)甲、乙两种水笔每支进价分别为5元、10元
(2)购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元
(3)169支
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，根据题意
找出等量关系，列出方程，函数关系式，以及不等式，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据“花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等”列出方程求解即可；
（2）设利润为w元，甲种水笔购进x支，根据题意找出等量关系，列出一次函数表达式，根据一次函数的
增减性，即可解答；
（3）设购进甲种水笔m支，则购进乙种水笔 支，一共购进n支水笔，列出方程化简，得 ，
根据 ，推出 ，再结合m、n均为正整数，得出当 时，n取得最大值，此时
，即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得，，
解得， ，
经检验， 是原分式方程的解，
∴ ，
答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元；
（2）解：设利润为w元，甲种水笔购进x支，
，
∵ ，
∴w随x的增大而增大，
∵购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，
∴ ，
解得 ，
∵x为整数，
∴当 时，w取得最大值，此时 ， ，
答：该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元；
（3）解：设购进甲种水笔m支，则购进乙种水笔 支，一共购进n支水笔，
，
化简，得
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵m、n均为正整数，
∴当 时，n取得最大值，此时 ，
即该文具店至多可以购进这三种水笔共169支．23．如图， 是 的直径，点 是劣弧 上一点， ，且 ， 平分 ，
与 交于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长；
(3)延长 ， 交于点 ，若 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据 是 的直径，可得 ，即 ，根据同弧所对的圆周角
相等，以及已知条件可得 ，等量代换后即可得 ，进而得证；
（2）连接 ，根据角平分线的定义，以及等边对等角可得 ，根据同弧所对的圆周角相等可
得 ，由垂径定理可得 ，进而可得 ，即可求解．
（3）过点 作 ，根据平行线分线段成比例，求得 ，设 的半径为 ，则
，证明 ，可得 ，在 中， ，勾股定理建立方
程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 是 的直径，
，
，，
，
，
，
，
即 ，
是 的切线，
（2）如图，连接 ，
平分 ，
，
∴
，
，
，
，
是 的直径，
， ，即 ，
，
，
，
；
（3）如图，过点 作 ，
由（2）可知 ，
，
，
，
设 的半径为 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
，在 中， ，
在 中， ，
即 ，
解得： （负值舍去），
的半径为2．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，
解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．
24．如图1，已知抛物线 交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交
y轴于点C．
(1)若 ，求 的长度；
(2)若 ， ，P是对称轴右侧抛物线上的点，当 时，求P点的坐标；
(3)如图2，当 时，点 在y轴负半轴上（点N在点C下方），直线 交抛物线于另一点D，
直线 交抛物线于另一点E，作 轴于M，若 ，试判断 是否为定值，若是，求出该定
值，若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 是为定值，该定值为2【分析】（1）当 时， ，根据当 时，
，解得 ，得到点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，
即可得到 的长度；
（2）当 ， 时， ，求出的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C的坐标是 ，
则 ，连接 ， 是等腰直角三角形，得到 ，则 ，
过点A作 ，使得 ，延长线段 交抛物线于点P，过点D作 轴于点E，则
，证明 ， 得到的坐标是 ，求出
的解析式为 ，与二次函数联立即可求出点P的坐标；
（3）求出点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，由 得到
，设直线 的解析式为 ，与二次函数联立得到
，则 ，由 ，则 ，由 得到 ，则
，进一步得到 ，设直线 的解析式为 ，与二次函数联立得到
，得到 ，由 得到 ，解得 ，
则 ，即 ，即可得到答案．
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时， ，
∵ ，∴ ，
解得 ，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，
∴ ，
即 的长度为4；
（2）当 ， 时， ，
当 时， ，
解得 ，
∴点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，
当 时， ，
∴点C的坐标是 ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
过点A作 ，使得 ，延长线段 交抛物线于点P，过点D作 轴于点E，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴点D的坐标是 ，
设直线 的解析式为 ，把点C和点D的坐标代入得，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得 或 ，
∴点P的坐标是 ；
（3）当 时， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，
∵ ，
∴ ，设直线 的解析式为 ，
联立 ，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点D作 轴于点H，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
代入 得到， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
联立 ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数和一次函数交点问题、二次函数的图象和
性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
