文档内容
2024 年中考第二次模拟考试（呼和浩特卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．函数 中自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题主要考查二次根式有意义的条件．函数自变量的取值范围，根据二次根式的性质，被开方数为非负数，
即 ，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可得， ，
∴ ，
故选：B．
2．下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查整式的运算，根据整式相关运算法则，逐项判定即可，解题的关键是掌握合并同类项、积的乘方、
幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘以单项式法则及完全平方公式．
【详解】解：A、 ，故选项不符合题意；
B、 ，故选项符合题意；
C、 ，故选项不符合题意；
D、 ，故选项不符合题意；
故选：B．3．2023年5月8日是第76个世界红十字日，今年活动的主题是“携手人道、关爱生命”．热血奉献，与
爱同行，感谢每一位捐献血液、护佑生命的无偿献血者．本年度截止到现在，全国已经无偿献血1亿
5487.4万人人次，其中数据1亿5487.4万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是正数；
当原数的绝对值 时，n是负数．
【详解】解：1亿5487.4万 ，
故选D．
【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数绝对值大于等于10时，n等于原数的整数
数位个数减1，当原数绝对值小于1时， n等于原数的第一个不为0的数字前的0的个数的相反数．
4．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化
遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某点旋转180度，如果旋转后得到的图形能够与原图形重合，那
么这个图形就叫中心对称图形，据此即可解答．
【详解】A．不是中心对称图形，故不符合题意；
B．不是中心对称图形，故不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
D．不是中心对称图形，故不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的概念．
5．如图，直线 ， 是等边三角形，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，等边三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
如图，过点B作 ，可得 ，依次求解 ， ， ，再利用对顶角的性质可得答案．
【详解】
解：如图，过点B作 ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B
6．为了提高物品使用率，减少浪费，把废置物品通过义卖的形式变换成现金，用来帮助那些需要帮助的人，某中学举办了“聚沙成塔让爱心助力梦想”校园爱心义卖活动，下面是随机抽取的20名学生义卖获得
现金钱数的统计：
1
获得义卖现金/元 5 8 12 15
0
人数/人 6 4 3 5 2
请根据学生获得现金数，判断下列说法正确的是（ ）
A．样本为20名学生 B．众数是15元 C．中位数是8元 D．平均数是 元
【答案】D
【分析】根据样本的定义，中位数，众数，平均数的确定方法，进行判断即可．
【详解】解A、样本为20名学生义卖获得现金钱数，故选项A错误；
B、义卖获得现金钱数为12元的人数最多，众数是12元，故选项B错误；
C、将数据排序后，中位数为 元，故选项C错误；
D、平均数为： （元），故选项D错误；
故选D．
【点睛】本题考查样本，中位数，众数，平均数．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
7．已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】由一元二次方程根与系数的关系，可得 ，根据一元二次方程根的定义得 ，由
，整体代入求解即可．
【详解】解： ， 是一元二次方程 的两个实数根，
， ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练掌握
一元二次方程根与系数的关系．8．如图，将 绕点A逆时针旋转到 ，旋转角为 ，点B的对应点D恰好落在
边上，若 ，则旋转角 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出 ，再利用旋转的性质求出 ， ，然后利用等边对等角求出
，最后利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵旋转，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即旋转角 的度数是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关
键．
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 在 轴上， ， 两点的坐标分别为 ， ，直线 与反比例函数 的图象交于 ， 两点．则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】把 代入 即可得到反比例函数的解析式为 ，再将 代入解析式即
可求得 的值．
【详解】解：将 代入 中得：
，
解得 ，
反比例函数的解析式为： ，
在反比例函数 的图象上，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
10．如图，在正方形 中，G为边 上一个动点(点G不与点D重合)，连接 交对角线 于点
E ， 将 线 段 绕 点 C 逆 时 针 旋 转 90° 得 到 ， 连 接 交 于 点 N ， 则
；④若 ，则 ；以上结论正
确的有（ ）A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①②④
【答案】D
【分析】
根据正方形的性质，得 ，结合旋转性质，得 ，再证明
，即可判断①；再通过两边成比例，夹角相等，即可证明 是正确的．
通过两个对应角相等，证明 ，列式换算，得 ，即可判断③作答；最后
根据相似三角形的性质以及勾股定理列式，即可作答．
【详解】解：∵四边形 是正方形
∴
∵线段 绕点C逆时针旋转90°得到
∴
∴
∴
∴
∴
故 是正确的；
∵四边形 是正方形
∴
∵线段 绕点C逆时针旋转90°得到
∴
则
∴ 是正确的；∵线段 绕点C逆时针旋转90°得到
∴ 是等腰直角三角形，
则
∴
∵
∴
∴
∴
故 是错误的；
∵ ，
∴
∵四边形 是正方形
∴
∴
则
在 中，则
∵ 是等腰直角三角形，
则
∴
故④是正确的
故选：D
【点睛】
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理
的运用，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在实数范围内因式分解 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了因式分解，解题的关键是先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
12．工人小王想制作一个圆锥模具，这个模型的侧面是一个半径为6cm，圆心角为 的扇形铁皮制作的，
请你帮他计算一下这块铁皮的底面半径为 ，铁皮的面积是 ．
【答案】
【分析】
本题考查圆锥是计算，扇形的面积等知识．设圆锥的底面半径为rcm．构建方程求出 ，可得结论．
【详解】解：设圆锥的底面半径为rcm．
则有 ，∴ ，
∴铁皮的面积 ．
故答案为： ， ．
13．若关于x的不等式组 有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，根据解集
中有且只有两个整数解，确定出a的范围即可．
【详解】解：不等式组 ，
由①得： ，
由②得： ，
，
不等式组有且只有两个整数解，
不等式组的整数解为3，4，
，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是本题的突破点．
14．如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的边 ， ，若不改变矩形 的形状和大
小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移
动，当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，此时 ．【答案】8
【分析】取 的中点M，连接 、 ，可得 ，再用勾股定理求出 ，当O、M、C三点共线时，
有最大值．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
取 的中点M，连接 、 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
当O、M、C三点共线时， 有最大值，
此时， ，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理应用等知识，涉及到了动点问题，解题关键是理解题意，找到
当O、M、C三点共线时， 有最大值，
．
15．如图， 与x轴交于点 ， ，与y轴的正半轴交于点C．若 ，则
的值为 ．【答案】
【分析】连接 ， ， ，过点 作 于 ， 于 ，根据圆周角定理得到
，根据等腰三角形的性质得到 ，由垂径定理得到 ，解直角三
角形得到 ， ，根据勾股定理得到 的长，进而求出 的长，再根据正切的
定义求解即可．
【详解】解：连接 ， ， ，过点 作 于 ， 于 ，
，
，
，
，
， ，
，
，
， ， ，， ， ，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
在 中， ，即
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三
角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
16．新定义：在平面直角坐标系中，对于点 和点 ，若满足 时， ； 时，
，则称点 是点 的限变点．例如：点 的限变点是 ，则点 的限
变点是 ．若点 在二次函数 的图象上，则当 时，其限变点
的纵坐标 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据新定义可求得点 的限变点，根据新定义得到当 时，
，在 时，得到 ；当 时，
，在 时，得到 ，即可得到限变点 的纵坐标n'的取值范
围是 ．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴点 的限变点是 ，∵点 在二次函数 的图象上，
∴
当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∴当 时， ，
综上，当 时，其限变点 的纵坐标n'的取值范围是 ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的
函数．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算求解：
(1)计算
(2)解方程组
【答案】(1) 5
(2)
【分析】（1）先去绝对值，算负整数指数幂，将特殊角三角函数值代入，再计算即可；
（2）直接解二元一次方程组即可．
【详解】（1）原式＝2 + 3
5；（2）整理方程组得： ，
由①得：y＝5-4x③，
将③代入②得：-5x＝5，
解得：x＝-1，
将x＝-1代入③得：y＝9，
则方程组得解为： ．
【点睛】本题考查实数运算和解二元一次方程组，解答本题的关键是掌握各知识点的运算法则．
18．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在 处接到指挥部通知，在他们东
北方向距离 海里的 处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东 方向以每小时 海里的速度航行，稽查队员立即
乘坐巡逻船以每小时 海里的速度沿北偏东某一方向出发，在 处成功拦截捕鱼船．
(1)图中 ；
(2)求图中点 到捕鱼船航线 的距离；
(3)求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．
【答案】(1)
(2) 海里
(3)巡逻船从出发到成功拦截所用时间为 小时
【分析】
（1）由平行线的性质可得 ，再利用角的和差运算可得答案；
（2）过点 作 的延长线于点 ，在 中，求解 ，而 ，再利用锐角的余
弦可得答案；
（3）先求解 ，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，由题意可得： ， ， ，∴ ，
∴ ；
（2）
解：过点 作 于点 ，由 ，得 ，
(海里 ；
（3）
设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为 小时；
由题意得： ， ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： (不合题意舍去 ．
答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为 小时．
19．开学初，学校要补充部分体育器材，从超市购买了一些足球和篮球．其中购买足球的总价为1000元，
购买篮球的总价为1800元，且购买篮球的数量是购买足球数量的2倍．已知购买一个足球比一个篮球贵
10元．
(1)求购买足球和篮球的单价各是多少元；
(2)为响应“足球进校园”的号召，学校计划再购买30个足球．恰逢另一超市对A、B两种品牌的足球进行降价促销，销售方案如表所示．如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3000元．那么最多
可购买多少个A品牌足球?
种类 标价 优惠方案
A品牌足球 150元/个 八折
B品牌足球 100元/个 九折
【答案】(1)购买篮球的单价为90元，购买足球的单价为100元；
(2)最多可购买10个 品牌足球．
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）设购买蓝球的单价为 元，则购买足球的单价为 元，根据数量 总价 单价，结合购买篮球的
数量是购买排足数量的2倍，即可得出关于 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设可购买 个 品牌足球，则购买 个 品牌足球，根据总价 单价 数量，结合总价不超过
3000元，即可得出关于 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【详解】（1）解：设购买蓝球的单价为 元，则购买足球的单价为 元，
依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买篮球的单价为90元，购买足球的单价为100元；
（2）解：设可购买 个 品牌足球．则购买 个 品牌足球，
依题意得： ，
解得： ．
又 是整数，
的最大值为10．答：最多可购买10个 品牌足球．
20．某校为了解学生的视力情况，随机抽取本校部分学生进行调查，其中： 表示正常； 表示轻度近视；
表示中度近视； 表示重度近视，并将调查结果进行统计分析，绘制成如下不完整的统计图表．
请根据图表信息解答下列问题：
(1)这次抽查的学生人数是_________人； _________度；补全条形统计图；
(2)该校共有学生1800人，请估算该校学生中“中度近视”的人数；
(3)某班重度近视的4人中有两名男生和两名女生，从中随机选择两名学生参加学校组织的“爱眼护眼”座
谈会，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)200；108；补全图形见解析
(2)540人
(3)
【分析】（1）用 组人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出 组人数，接着计算出 组人
数，然后用 乘以 组人数所占的百分比得到 的值，最后补全条形统计图；
（2）用 组人数所占的百分比乘以1800即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计
算．
【详解】（1）解：这次抽查的学生人数为 （人），
组人数为 （人），
组人数为 （人），
所以扇形统计图中 组的圆心角的度数为 ，
即 ；补全条形统计图为：
故答案为：200；108；
（2） （人），
所以估计该校学生中“中度近视”的人数为540人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率 ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 ，再从中选出
符合事件 或 的结果数目 ，然后根据概率公式计算事件 或事件 的概率．也考查了统计图．
21．如图，直线 与反比例函数 的图象交于点 ， ，与 轴交于点 ，与 轴交
于点 ．(1)求 的值和反比例函数的表达式；
(2)在 轴上有一动点 ， ，过点 作平行于 轴的直线，交反比例函数的图象于点 ，交直
线 于点 ，连接 ．若 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）把 ， 代入 得 ，求得 点的坐标，进而待定系数法求解析式即可
求解；
（2）先求得 ， ； ， ；根据 轴，得出 ，根据 得出
方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：把 ， 代入 得 ，
， ；
把 ， 代入
得 ，
反比例函数解析式为 ；
（2）当 时， ，
解得 ，则 ， ；
当 时， ，则 ， ；
轴，
、 点的纵坐标都为 ，
，，
整理得 ，
解得 ，
，
．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，解一元二次方程，熟练掌握反比例函数的性质是解
题的关键．
22．如图1，以等腰三角形 的一腰 为直径的 交 于点D，过点D作 于点E．
(1)直接写出 与 的位置关系
(2)如图2，若点O在 上向点B移动，以点O为圆心， 长为半径的圆仍交 于点 的条
件不变，那么（1）中结论是否还成立？请说明理由
(3)如图3，如果 ，那么圆心O在 的什么位置时， 与 相切？
【答案】(1) 是⊙O的切线
(2)成立，见解析
(3)当 时
【分析】
（1）根据圆周角定理结合等腰三角形的性质，得到 是 的中位线，进而得到 ，即可得
出结论；
（2）根据等边对等角，推出 ，解进而得到 ，推出 ，即可得出结论；
（3）设 与 相切于点 ，连接 ，根据切线的性质和正弦的定义，求出半径的长即可．【详解】（1）连接 ，如图：
∵ 为直径，
∴ ，
∵ 为等腰三角形， 为腰，
∴ ，
∴ 为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）成立，理由如下：
连接 ，则： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（3）设 与 相切于点 ，连接 ，则： ，
设 的半径为 ，则： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时， 与 相切．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，解直角三
角形，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
23．（1）发现：如图①所示，在正方形 中， 为 边上一点，将 沿 翻折到 处，
延长 交 边于 点．求证： ；
（2）探究：如图②，在矩形 中， 为 边上一点，且 ， ．将 沿 翻折到
处，延长 交 边于 点，延长 交 边于点 ，且 ，求 的长．
（3）拓展：如图③，在菱形 中， 为 边上的一点且 ， ．将 沿
翻折得到 ， 与 交于 且 ，直线 交直线 于点 ，求 的长．【答案】（1）见解析；（2） 的长为 ；（3）
【分析】（1）根据折叠的性质和正方形的性质可得 ， ， ，推得
， ，根据全等三角形的判定即可证明；
（2）设 ，根据勾股定理可求得 ，推得 ，根据相似三角形的判定和性质可得
，求得 ， ，根据平行线的性质可得 ， ，求得
，即可求得；
（3）过点 作 于 ，根据折叠的性质可得 ， ，根据相似三角形
的判定和性质可得 ，求得 ，根据特殊角的锐角三角函数可求得 ， ，
，根据勾股定理即可可得．
【详解】（1）证明：∵将 沿 翻折到 处，四边形 是正方形
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴
（2）解：如图：设
在 中，
∴
解得
∴
∵ ，
∴
∴
即
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴
∴
∴ 的长为 ；
（3）解：如图，过点 作 于∵ 沿 翻折得到 ，
∴ ，
又∵
∴
∴
∵
∴
又∵
在 中，
∴ ，
∴
在 中，
【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性
质，平行线的性质，特殊角的锐角三角函数，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
24．如图1，已知抛物线 交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交
y轴于点C．(1)若 ，求 的长度；
(2)若 ， ，P是对称轴右侧抛物线上的点，当 时，求P点的坐标；
(3)如图2，当 时，点 在y轴负半轴上（点N在点C下方），直线 交抛物线于另一点D，
直线 交抛物线于另一点E，作 轴于M，若 ，试判断 是否为定值，若是，求出该定
值，若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 是为定值，该定值为2
【分析】（1）当 时， ，根据当 时，
，解得 ，得到点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，
即可得到 的长度；
（2）当 ， 时， ，求出的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C的坐标是 ，
则 ，连接 ， 是等腰直角三角形，得到 ，则 ，
过点A作 ，使得 ，延长线段 交抛物线于点P，过点D作 轴于点E，则
，证明 ， 得到的坐标是 ，求出
的解析式为 ，与二次函数联立即可求出点P的坐标；（3）求出点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，由 得到
，设直线 的解析式为 ，与二次函数联立得到
，则 ，由 ，则 ，由 得到 ，则
，进一步得到 ，设直线 的解析式为 ，与二次函数联立得到
，得到 ，由 得到 ，解得 ，
则 ，即 ，即可得到答案．
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，
∴ ，
即 的长度为4；
（2）当 ， 时， ，
当 时， ，
解得 ，∴点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，
当 时， ，
∴点C的坐标是 ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
过点A作 ，使得 ，延长线段 交抛物线于点P，过点D作 轴于点E，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴点D的坐标是 ，
设直线 的解析式为 ，把点C和点D的坐标代入得，
，
解得 ，∴直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得 或 ，
∴点P的坐标是 ；
（3）当 时， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，
∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
联立 ，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点D作 轴于点H，∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
代入 得到， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
联立 ，
则 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数和一次函数交点问题、二次函数的图象和
性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
