文档内容
2024 年中考第一次模拟考试（泰州卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解： 的相反数是 ．故选：B．
2．中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意即把一长方体沿对角面一分
为二，这相同的两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：由题意得：它的左视图为一个三角形，如图：
，
故选：C．
3．张明在对一组数据“6 ，15，28，63，39，28”进行分析时，发现第一个两位数的个位数字被墨水弄脏看不到了，此时统计结果不受影响的统计量是（ ）
A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数
【答案】D
【解析】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为28与39的平
均数，与被涂污数字无关．
故选：D．
4．如图，直线 ，直角三角形如图放置， ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：如图，
， ， ，
，
，
故选：A．
5．下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是正方形 D．菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半
【答案】D
【解析】A、等腰梯形的对角线相等，但它不是矩形，故该选项不符合题意；
B、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，故该选项不符合题意；C、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
D、菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半，符合题意；
故选：D
6．如图， 的半径为2，弦 垂直直径 于点E，且E是 的中点，点P从点E出发（点P与点E
不重合），沿 的路线运动，设 ， ，那么y与x之间的关系图象大致是（
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：连接 ，如图，
∵弦 垂直直径 于点E，且E是 的中点， ，
∴ ,
又 ，∴当点P在线段 时， ，
∴当 时，函数图形是反比例函数，
当点P在 上时， 是定值，y是定值，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
7．分解因式： ．
【答案】
【解析】解： ；
故答案为：
8．国家铁路集团有限公司（简称“国铁集团”）最新数据显示，11月份，国家铁路发送煤炭1.78亿吨．
“1.78亿”用科学记数法表示为 ．
【答案】
【解析】解：将1.78亿用科学记数法表示为： ．
故答案为： ．
9．物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为 ，蜡烛 与凸透镜的距离 为
，蜡烛的像 与凸透镜的距离 为 ，则像 的高为 ．
【答案】
【解析】解： ，
，
，,
的高为 , 为 , 为 ,
，
故答案为：
10．已知圆锥展开图的圆心角为 ，母线长为5，则该圆锥的体积为 ．
【答案】
【解析】解：如图：设该圆锥的底面半径为r，
根据题意得 ，解得 ，
圆锥的高为： ，
根据圆锥的体积公式
得到该圆锥的体积为： ，
故答案为： ．
11．一只蜘蛛爬到如图所示的一块瓷砖上，并随机停留在某一位置上，则它停留在阴影区域上的概率是
．
【答案】【解析】解：设一块瓷砖的面积为 ，
则 ，
则它停留在阴影区域上的概率是 ，
故答案为： ．
12．如图， 平分 ， ， 的延长线交 于点E，若 ，则 的度数为
．
【答案】 /80度
【解析】解： 平分 ，
，
又 ，
，
，
，
，
故答案为： ．
13．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度 ，则螺帽边长
.
【答案】
【解析】解：如图：连接 ，过点B作 于D，，
由正六边形可得： ,
∴ ，
由 ，则 ，
∵在 中， ，
∴ ,
∴
∴ ，
∴ ．
故答案为 ．
14．在《代数学》中记载了求方程 正数解的几何方法：如图①，先构造一个面积为 的正方形，
再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，则图中大正方形的面积为 ，则该方程的
正数解 ，小明尝试用此方法解关于x的方程 时，构造出如图②所示的正方
形．已知图②中阴影部分的面积和为55，则该方程的正数解为 ．【答案】 /
【解析】如图2所示：
先构造一个面积为 的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为 的矩形，得到大正方形的
面积为 ，则该方程的正数解为 ．
故答案为：
15．平面直角坐标系中，在 轴上，且到一条抛物线的顶点及该抛物线与 轴的交点的距离之和最小的点，
称为这条抛物线与 轴的“亲密点”，那么抛物线 与x轴的“亲密点”的坐标是 ．
【答案】
【解析】解： ，
抛物线开口向上，顶点 为 ，
顶点关于 轴的对称点 为 ，
当 时， ，
抛物线与 轴的交点 为 ，
设直线 的解析式为 ，
代入 得， ，
解得 ，直线 的解析式为 ，
令 ，则
抛物线 与 轴的“亲密点”的坐标是 ，
故答案为： ．
16．如图，已知矩形 ， ， ，点N是边 上一点，且 ，将矩形 绕A顺时
针旋转 （ ），得到矩形 ，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点
是点G，连接 ．点M是 的中点，连接 ，在旋转过程中，线段 的最大值为 ．
【答案】
【解析】连接 ， 交于点O，连接 ， ，过点 作 于点 ，连接 ，∵ 是矩形，
∴ ，
∵点M是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴点M在以 为圆心，以 为半径的圆上运动，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∴线段 的最大值为
故答案为： ．三、解答题（本大题共10个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）计算: ；
（2）解方程: ．
【解析】（1）
，
（2）
原方程去分母得：
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验：将 代入 得 ，
故原方程的解为：
18．2023年11月24日，第十届【媒眼看国茶】论坛：文明互鉴，“一带一路”共筑茶缘在中国举行．为
了解A、B两种铁观音茶叶的亩产量，工作人员从两种类型的铁观音中各随机抽取10亩，在完全相同条件
下试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克/亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用x表示，共分为三
个等级：合格 ，良好 ，优秀 ），下面给出了部分信息：
10亩A型铁观音茶叶的亩产量：50，54，55，55，55，57，57，58，59，60．
10亩B型铁观音茶叶中“良好”等级包含的所有数据为：57，57，57，59．
抽取的A、B型铁观音亩产量统计表
型号 A B
平均数 56 56
中位数 56众数 57
方差 7.4 15.8
“优秀”等级所占百
10% 20%
分比
B型铁观音茶叶亩产量扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a=_________，b=________________，m=_____________
(2)根据以上数据，你认为哪款茶叶更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若某市今年种植B型铁观音茶叶3000亩，估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有
多少亩？
【解析】（1）在50，54，55，55，55，57，57，58，59，60中，出现次数最多的是55，
众数 ，
型中“良好”等级有4个，占 ，“优秀”等级所占百分比为 ，
“合格”等级占 ，即 ，
把 型数据从小到大排列后，第5个和第6个数都是57，
；
故答案为：55，57，40；
（2） 款茶叶更好，
理由：因为 款茶叶的中位数和众数都大于 款茶叶的，所以 款茶叶更好（答案不唯一）；
（3） （亩 ，
答：估计今年 型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有2400亩．
19．为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；
C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
(1)小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为_____，是_____事
件（填“随机”或“不可能”或“必然”）？
(2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或
列表的方法进行说明．
【解析】（1）解：小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的情况
只有1种，
∴ ，是随机事件；
故答案为： ，随机；
（2）画出树状图如图：
由图可知，共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种，
∴ ．
20．如图， 是 的直径，点C在 上，且 ， ．
(1)尺规作图：过点O作 的垂线，垂足为E，交劣弧 于点D，连接 （保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，分别求 和 的长．
【解析】（1）解：分别 、 以为圆心，大于 的长为半径画弧交于点 ，连接 ，与圆的交点即
为 ，则 即为 的垂线，连接 ，如图即为所求；（2）由（1）可知， ，则 ，即点 为 的中点，
∵ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
由勾股定理可得： ，
∴ ，则 ，
由勾股定理可得： ．
21．乐乐超市为了元旦促销，印制一批宣传册．该宣传册每本共10页，由A，B两种彩页构成．已知A种
彩页制版费为3元/张，B种彩页制版费为2元/张，共计24元（注：彩页制版费与印数无关）．
(1)每本宣传册A，B两种彩页各有多少张？
(2)据了解，A种彩页印刷费为 元/张，B种彩页印刷费为 元/张，这批宣传册的制版费与印刷费的和不
超过594元．如果按到超市的顾客人手一册发放宣传册，那么最多能发多少位顾客？
【解析】（1）解：设每本宣传册中 种彩页有 页， 种彩页有 页，
∴ ，
解得， ，
∴每本宣传册中 种彩页有 张， 种彩页有 张；
（2）解：设可以发 位顾客，∴ ，
解得， ，
∴最多可以发 位顾客．
22．金秋十一月，阳光大草坪 正处于草坪养护阶段，如图为草坪的平面示意图．经勘测，入口B在
入口A的正西方向，入口C在入口B的正北方向，入口D在入口C的北偏东 方向 处，入口D在
入口A的北偏西 方向 处．（参考数据 ）
(1)求 的长度；（结果精确到1米）
(2)小明从入口D处进入前往M处赏花，点M在 上，距离入口B的 处．小明可以选择鹅卵石步道
① ，步行速度为 ，也可以选择人工步道② ，步行速度为 ，请计算
说明他选择哪一条步道时间更快？（结果精确到 ）
【解析】（1）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
则 ， ， ， ， ，
在 中， ，
，在 中， ，
．
的长度为 ．
（2）由（1）知， ，
，
，
在 中， ，
在 中， ，
．
鹅卵石步道的路程为 ，
所需时间为 ．
人工步道的路程为 ，
所需时间为 ．
，
他选择人工步道时间更快．
23．如图，过正方形 顶点B，C的 与 相切于点E，与 相交于点F，连接 ．
(1)求证： 平分 ．
(2)若 ， ，求 的长．
【解析】（1）证明：如图，连接 ，与 相切于点 ，
，即 ，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
平分 ．
（2）解：如图，连接 ，
四边形 是正方形，
， ，
是 的直径，
，
由（1）已证： ，
，
，
，，
∴设 ，则 ，
，
，
则在 中， ．
24．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 交于 两点，与 轴交于点
，与 轴交于点 ，其中点 的坐标为 ．
(1)求双曲线和直线 的表达式；
(2)将直线 向下平移，当平移后的直线 与双曲线只有一个交点时，请求出直线 的解析式；
(3)在 轴上是否存在点 使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）解：把 代入 得 ，
则双曲线的表达式是 ，
把 代入 得 ，
解得 ，
则直线 的表达式是 ；
（2）解：将直线 向下平移 个单位长度得直线 解析式为 ，
∵直线 向下平移 个单位长度后与反比例函数的图象只有一个交点，∴ ，
整理得 ，
，
解得 或 ，
∴直线 的解析式为 或 ；
（3）解：存在，
过点 作 轴于点 ，
∵点 的坐标为 ，
，
∵直线 的表达式是 ，
令 ，则 ，
解得 ，
，
，
是等腰直角三角形，
以 为圆心， 为半径作 ，与 轴交于点 ，连接 ，
，设 ，
，
，
∴点 的坐标为 或 ．
25．如图，抛物线 （其中 ）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．
(1)求 的度数和线段 的长（用a表示）：
(2)若点D为 的外心，且 与 的周长之比为 ，求此抛物线的解析式；
(3)在（2）的前提下，试探究抛物线 上是否存在一点P，使得 ?若存在，
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）解：在 中，当 ，即 ，解得 或 ，
，
∴
在 中，当 时，得到 ，
，
，
，
．（2）解：由（1）知 ，
点D是 的外心，
，
∴ ，
，
∵ 与 的周长之比为 ，
，
，
解得 或 （舍去），
∴抛物线的解析式为 ．
（3）解：如图3-1，作点C关于直线 的对称点 ，连接 ，过点 作 轴于H，
由（2）得 ， ，抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，且点 在抛物线上，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
，，
，
点 就是所求的点P，
．
如图3-2所示，作点P关于直线 的对称点E，则 ，作直线 交抛物线于 ，
由对称性质可知， ， ，
∵ ，
∴ 轴，即 ， ，
∵ ，
∴ ，
，
点E在y轴上，
∴ ，
，
，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 或 ，
，综上所述，满足条件的点P的坐标为 或 ．
26．某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝
试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：
〖问题背景〗如图1，正方形 中，点E为 边上一点，连接 ，过点 作 交 边于点
，将 沿直线 折叠后，点 落在点 处，当 ，则 °．
〖特例探究〗如图2，连接 ，当点 恰好落在 上时，求证： ．
〖深入探究〗如图3，若把正方形 改成矩形 ，且 ，其他条件不变，他们发现 与
之间也存在着一定的数量关系，请直接写出 与 之间的数量关系式．
〖拓展探究〗如图4，若把正方形 改成菱形 ，且 ， ，其他条件不变，
当 时，请直接写出 的长．
【解析】〖问题背景〗解： ， ，
，
将 沿直线 折叠后，点 落在点 处，
，
，
故答案为：25；
〖特例探究〗证明： 将 沿直线 折叠后，当点 恰好落在 上时，
， ， ，
，
，
，
又 ，
，
， ，，
，
，
，
，
；
〖深入探究〗解： 将 沿直线 折叠后，当点 恰好落在 上时，
， ， ，
，
，
，
又 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
；
〖拓展探究〗解：如图4，在 上截取 ，连接 ，在 上截取 ，连接 ，四边形 是菱形， ，
， ，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
设 ，
， ，
， ，
，
，
，
将 沿直线 折叠后，当点 恰好落在 上时，
， ， ， ，
，
，
又 ， ，
，
， ，
，
，
，
又 ，
是等边三角形，
，
设 ， ，，
， ，
， ，
，
，（负值舍去），
， ，
．
又∵ ，
∴ ．
