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公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 目录 前言............................................................................................................................................................6 第一章倍数特性.................................................................................................................................. 1 1.整除型...............................................................................................................................................1 2.余数型...............................................................................................................................................2 3.比例型...............................................................................................................................................3 4.余数问题的三则运算....................................................................................................................5 5.倍数特性之增长率型（用资料解决数量）.......................................................................... 5 6.倍数特性之A=B×C（用资料解决数量）............................................................................ 7 专项拔高练习一................................................................................................................................ 9 第二章方程问题................................................................................................................................13 1.普通方程：一个未知数（x）.................................................................................................13 2.普通方程组：多个未知数（设x、y、z）......................................................................... 14 3.不定方程........................................................................................................................................15 （1）普通不定方程...............................................................................................................15 （2）多个未知数的不定方程............................................................................................16 4.不定方程组....................................................................................................................................17 （1）整数型.............................................................................................................................17 （2）非整数型........................................................................................................................18 专项拔高练习二..............................................................................................................................19 第三章等差数列和等比数列.........................................................................................................23 一、等差数列.................................................................................................................................. 23 1.等差数列性质...............................................................................................................................23 2.等差数列求和...............................................................................................................................24 3.等差数列和时间段等差数列................................................................................................... 26 4.等差数列的应用题......................................................................................................................27 5.等差数列巧求方程组两数差................................................................................................... 27 6.64 的秘密.......................................................................................................................................28 二、等比数列.................................................................................................................................. 28 专项拔高练习三..............................................................................................................................29 第四章周期问题................................................................................................................................33 1.周期余数........................................................................................................................................33 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 2.周期相遇........................................................................................................................................34 3.星期日期问题...............................................................................................................................35 专项拔高练习四..............................................................................................................................38 第五章工程问题................................................................................................................................42 1.具体单位型....................................................................................................................................42 2.完工时间型....................................................................................................................................43 （1）普通完工时间型..........................................................................................................43 （2）工程费用........................................................................................................................44 （3）周期循环工程（确定周期）...................................................................................44 （4）复杂方程的完工时间型............................................................................................45 （5）多个工程的完工时间型............................................................................................45 3.效率比例型....................................................................................................................................46 4.变形题：给定总量比和时间比，求效率比........................................................................47 5.牛吃草问题....................................................................................................................................48 （1）普通牛吃草................................................................................................................... 48 （2）牛吃草变形................................................................................................................... 49 专项拔高练习五..............................................................................................................................50 第六章几何问题................................................................................................................................55 1.几何公式........................................................................................................................................55 2.三角形.............................................................................................................................................57 （1）直角三角形................................................................................................................... 59 （2）正六边形........................................................................................................................60 （3）坐标构造........................................................................................................................61 （4）三角形同底或者同高.................................................................................................61 （5）相似三角形................................................................................................................... 62 3.最短路径........................................................................................................................................63 4.几何最值........................................................................................................................................63 5.同比例放缩....................................................................................................................................64 专项拔高练习六..............................................................................................................................66 第七章容斥原理问题.......................................................................................................................73 1.两集合.............................................................................................................................................73 2.三集合.............................................................................................................................................74 3.画图法.............................................................................................................................................75 4.容斥原理结合不定方程（最值）.......................................................................................... 76 5.容斥原理和周期结合.................................................................................................................77 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 专项拔高练习七..............................................................................................................................78 第八章最值问题................................................................................................................................83 1.最不利构造....................................................................................................................................83 （1）普通最不利构造..........................................................................................................83 （2）最不利构造和排列组合结合（枚举或者简单排列组合）...........................84 2.构造数列........................................................................................................................................85 （1）普通构造数列...............................................................................................................85 （2）总量未知的，构造数列............................................................................................86 3.多集合反向构造.......................................................................................................................... 87 专项拔高练习八..............................................................................................................................88 第九章年龄问题................................................................................................................................93 1.年龄特性解题和方程法结题................................................................................................... 93 2.年龄和不定方程结合.................................................................................................................95 3.年龄和年龄的平方......................................................................................................................96 4.属相和本命年...............................................................................................................................96 专项拔高练习九..............................................................................................................................97 第十章溶液问题..............................................................................................................................101 1.溶液公式......................................................................................................................................101 （1）两者混合......................................................................................................................101 （2）多者混合......................................................................................................................103 2.等量变化：蒸发稀释类..........................................................................................................103 （1）稀释...............................................................................................................................104 （2）蒸发...............................................................................................................................104 3.反复操作......................................................................................................................................105 专项拔高练习十........................................................................................................................... 106 第十一章植树和方阵问题........................................................................................................... 110 1.植树问题......................................................................................................................................110 （1）两端、单端（环形）楼间植树............................................................................110 （2）不移动植树.................................................................................................................112 （3）容斥原理植树问题...................................................................................................113 2.方阵问题......................................................................................................................................114 专项拔高练习十一.......................................................................................................................115 第十二章经济利润问题................................................................................................................120 1.基础经济......................................................................................................................................120 （1）资料分析解决经济利润问题................................................................................ 120 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） （2）方程法.......................................................................................................................... 122 （3）赋值法.......................................................................................................................... 123 2.分段计费......................................................................................................................................123 3.函数最值......................................................................................................................................124 专项拔高练习十二.......................................................................................................................125 第十三章行程问题.........................................................................................................................130 1.基础行程......................................................................................................................................130 （1）普通行程......................................................................................................................130 （2）火车过桥......................................................................................................................130 （3）匀加速（新型热门考法）.....................................................................................131 （4）等距离平均速度........................................................................................................132 2.相对行程......................................................................................................................................133 （1）相遇和追及.................................................................................................................133 （2）环形相遇和追及........................................................................................................134 （3）多次相遇......................................................................................................................135 （4）流水行船......................................................................................................................136 3.比例行程......................................................................................................................................137 专项拔高练习十三.......................................................................................................................137 第十四章排列组合问题................................................................................................................142 1.基础概念......................................................................................................................................142 2.分类思想......................................................................................................................................143 3.枚举...............................................................................................................................................144 4.捆绑法.......................................................................................................................................... 145 5.插空法.......................................................................................................................................... 145 6.插板法.......................................................................................................................................... 146 7.错位排列......................................................................................................................................147 8.环形排列......................................................................................................................................148 9.平均分组......................................................................................................................................148 专项拔高练习十四.......................................................................................................................149 1.给情况求概率.............................................................................................................................154 （1）正向思维......................................................................................................................154 （2）反向思维......................................................................................................................155 2.给概率求概率.............................................................................................................................155 3.跟屁虫问题.................................................................................................................................157 4.比赛类概率.................................................................................................................................158 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 5.抓阄密码类.................................................................................................................................159 6.骰子问题......................................................................................................................................159 专项拔高练习十五.......................................................................................................................160 第十六章数量易拿分小题型.......................................................................................................164 1.标1 法.......................................................................................................................................... 164 2.空瓶换酒公式.............................................................................................................................165 3.货物集中---统筹运输问题......................................................................................................166 4.线切面问题.................................................................................................................................167 5.时间统筹：见缝插针...............................................................................................................167 6.爬楼问题......................................................................................................................................168 7.网状图.......................................................................................................................................... 169 8.脑筋急转弯——天平问题......................................................................................................170 课后赠言..............................................................................................................................................173 勇者无畏.........................................................................................................................................173 最新资料 微信公众号：叛逆小樱桃 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 前言 不要害怕数量，数量是我们拿高分的关键。没有数量学不好，只有不学和不做。 学习步骤： （1）听课之前一定读读题（零基础，只是读读题，不是做，做你也不会做，有 一个印象即可；有基础做做题，查漏补缺，做了才知道哪里弱。） （2）认真听课（学会判定、找等量关系） （3）做好“3+2 作业”，有效复盘 （4）专项拔高练习，当堂讲，当堂练，当堂掌握，学会运用。 真正的信心，一定是源于你走过的路，流过的泪，写下的日子，听过的课， 刷过的题，这种才是最稳定持久的力量。踏踏实实地走好每一步，忍得住寂寞， 日复一日地坚持努力，相信自己，实现一个个小目标。 真正的勇者，敢于面对自己的弱项，敢于迎难而上。 数量题做题步骤：先读问题，再看题干。 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 1 第一章倍数特性 1.整除型 知识点 如果，A=B×C（B、C 均为整数），那么，A 能被B 整除，且A 能被C 整除 （1）口诀法（常用于3、4、5、9）:3/9 看各位数字之和，5 看末位，4 看末两位。 3/9 →看各位数字之和能否被3/9 整除，例：12345 2/5 →看数字末一位能否被2/5 整除，例：12125 4/25 →看数字末两位能否被4/25 整除，例：12124 8/125 →看数字末三位能否被8/125 整除，例：12164 （2）拆分法（没口诀，常用于7、11、13） 一个数=接近且明显能被整除的数±零头，只看零头， 例：623÷7 把623 拆成7 的倍数±零头，只看零头能否被7 整除 （3）因式分解（复杂倍数，常用于6、12、18、24 等） 因式分解成两个互质（互质指两数没有公约数）的数，同时满足能被这两个数整除。 例：24=3×8。 【例1】（2024 广东）档案室需要整理300 份档案，要求每天整理的档案数量相同，且规定 了完成的期限。如果要提前一天完成，那么每天需要多整理10 份档案。则规定的期限为（ ） 天。 A.6 B.7 C.8 D.9 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 2 2.余数型 余数型（公务员思想：均分思想、多退少补） 特性：每人、均分、多几个、少几个 若总数= ax + b，则（总数-b ）能被a 整除。（a、x 均为整数） 【补例1】一堆苹果分给一些人，平均每人分3 个……，问这堆苹果有多少个？ 【补例2】一堆苹果分给一些人，平均每人分10 个，还剩3 个……，问这堆苹果有多少个？ A.117 B.120 C.123 D.126 【补例3】一堆苹果分给一些人，平均每人分10 个，还缺3 个……，问这堆苹果有多少个？ A.117 B.120 C.123 D.126 【例2】（2024 广东）某社区计划组织志愿者为社区内的独居老人提供服务。按已有志愿者 的数量，如果每位志愿者服务10 位老人，则有5 位老人无人提供服务；如果增加2 位志愿 者，则每位志愿者最多服务8 位老人就能为所有老人提供服务。那么该社区最多有（ ）位 独居老人。 A.50 B.55 C.60 D.65 【例3】（2024 全国事业单位联考）企业招聘了100 多名应届毕业生，其中13 人被分配到 总部工作，剩下的人正好被平均分配到7 个分公司，也能被平均分配到9 个分公司工作。问 企业招聘了多少名应届毕业生？（ ） A.126 B.139 C.176 D.189 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 3 3.比例型 已知某班： 男 女= 7 3 （最简分数），问： ①男生人数是_____的倍数 ②女生人数是_____的倍数 ③全班人数是_____的倍数 ④男女生人数差是_____的倍数 表达方式： ①男员工是女员工的3/5（分数）； ②男员工与女员工之比3:5（比例）； ③男员工是女员工的60%（百分数）； ④男员工是女员工的0.6 倍（倍数） • 比例型适用于： • 1、题干特征：分数、比例、百分数、倍数 • 2、对象特征：描述对象为不可分割的整体，整数才有意义。人、车、年龄等 核心：问题和分子、分母的关系。 延伸： 考法一： 男 女= � � 考法二： 男−� 女= � � 1、男生人数： A.13 B.14 C.15 D.16 2、女生人数： A.4 B.5 C.6 D.7 3、咱们班共有多少人： A.18 B.20 C.22 D.24 4、男生比女生多多少人： A.10 B.11 C.12 D.13 考法三（A 与非A 思想）： 甲 其他= � � 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 4 【例4】（2024 联考）大学生创业主要集中在高科技、智力服务、连锁加盟和自媒体运营四 个领域。某学院今年选择创业的大学毕业生不到50 人，其中选择智力服务领域、连锁加盟 领域和自媒体运营领域的分别占 1 7， 1 2和 1 3。那么该学院今年选择高科技领域创业的大学毕业 生有多少人? A.1 B.3 C.5 D.7 【例5】（2024 联考）某单位为解决职工暑期“带娃难”的问题，开设了暑托班。开班时男孩 与女孩的比例为3：4，后来有2 个男孩、1 个女孩退出暑托班，此时男孩与女孩的比例为2： 3。那么开班时女孩有多少人? A.10 B.12 C.14 D.16 【例6】（2024 浙江）某公司招聘员工，来应聘的男女人数比是18:17，最后被录取的有280 人，其中男女人数比是3:4，未被录取的男女人数比是6:5。同来应聘的共有多少人？ A.630 B.720 C.1050 D.1400 【例7】（2024 江苏）某居民楼居住人数介于90 和110 之间，其中50 岁及以上居民占 1 12， 女性占 7 16。若该居民楼30 岁及以上居民比30 岁以下居民多20 人，则30 岁以下居民比50 岁及以上居民多： A.30 人 B.27 人 C.23 人 D.20 人 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 5 4.余数问题的三则运算 口诀：余同加余，和同加和，差同减差，公倍数做周期。 解释： （1）余同加余，例如“一个数除以7 余1，除以6 余1，除以5 余1”，可见，所得余数 恒为1，则取1，被除数的表达式为210n+1； （2）和同加和，例如“一个数除以7 余1，除以6 余2，除以5 余3”，，可见，除数与 余数的和相同，取此和8，被除数的表达式为210n+8； （3）差同减差，例如“一个数除以7 余3，除以6 余2，除以5 余1”，，可见，除数与 余数的差相同，取此差4，被除数的表达式为210n-4； 注意：前面的210 是5、6、7 的最小公倍数，此即为公倍数做周期 应用： 1、存在“余数问题的三则运算”求总数会更快 2、用“余数问题的三则运算”表达总数进而再求其他 【例8】（2023 广东）某社区计划组建多支社工团队，为此招幕了一批社工。如果每支团队 由3 名社工组成，则剩余2 名社工；如果每支团队由4 名社工组成，同样剩余2 名社工，则 该社区可能招募了（ ）名社工。 A.32 B.34 C.36 D.38 5.倍数特性之增长率型（用资料解决数量） 充分利用已学过的资料分析来解决数量问题。 （1）分析关系：基期、现期、增长量、增长率 （2）结合选项，做猜结合 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 6 【例9】（2024 广东事业单位）某单位共有250 名员工，其中全体党员人数比女性非党员人 数多68%，男性非党员不超过100 名，则该单位可能有（ ）名党员。 A.67 B.75 C.116 D.126 【例10】（2024 国考）甲、乙、丙三个研发团队共有研发人员300 多人，其中甲的人数比乙 多26%。现丙调3 人去乙后，两个团队人数相同。问此时甲至少调多少人去丙后，才能保 证丙的人数是甲的2 倍以上？ A.49 B.35 C.50 D.40 【例11】（2024 全国事业单位联考）甲、乙和丙三个单位共有职工240 人，其中乙单位 人数比甲单位多，甲单位女性职工正好比男性多14%。问丙单位最多有多少名职工？ A.25 B.27 C.29 D.31 【例12】（2023 联考）某高校今年共有231 名本科毕业生被录取为硕士研究生。其中推荐录 取人数比上年度减少 1 6，而考试录取人数比上年度增加 31 150，总体录取人数比上年度高10%， 那么，这所高校今年推荐录取的研究生人数为： A.40 人 B.45 人 C.50 人 D.55 人 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 7 【例13】（2023 联考）某口罩生产车间一月份生产口罩100 万包，以后每个月都比前一个 月按相同增长率增长，四月份生产口罩133.1 万包，这个增长率是： A.10% B.8% C.6% D.5% 【例14】（2020 江苏）某企业预计今年营业收入增长15%，营业支出增长10%，营业利润 增加600 万元。已知该企业去年的营业利润为1000 万元，则其今年的预计营业支出是 A.9000 万元 B.9900 万元 C.10800 万元 D.11500 万元 【例15】（2019 联考）某高校本年度毕业学生3060 名，比上年度增长2%。其中本科生毕 业数量比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校本年度本 科生毕业数量是： A. 1900 人 B. 1930 人 C. 1960 人 D. 1990 人 6.倍数特性之A=B×C（用资料解决数量） 形式：A=B×C，给单个量 方法：赋值 公倍数求法：短除法 求下列公倍数： （1）18、30 （2）18、30、50 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 8 【例16】（2024 江苏）小王去超市买办公用品，经费恰好可以买18 个计算器或者买30 个订 书机或者50 个档案盒，若购买了6 个计算器、8 个订书机后，剩下的经费全部购买了档案 盒，则他购买档案盒的个数是（ ） A.10 B.14 C.20 D.26 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 9 专项拔高练习一 听不懂，见的题少，或者一听就会一做就废，找不到这样点对点的练习。我们归 还学习本来的样子：“讲练结合”，所以这一次讲义我们知识点配着专项拔高练习，题 量大了，老师可能会拖堂，我们只是为了上岸，特别希望你能坚持下来，要是累了坚 持不住了，你可以听回放，让老师讲完，你一定会用到的。 （1）专项拔高练习既可以全面回顾知识点，又可以增加训练量。 （2）学习不在于灌输，而在于引导和启发，老师引导你。 （3）加油，祝你又有新的收获，闯关成功。 老师想说：你特别棒，你定上岸。 【练习1】（2021 北京）为响应国家“做好重点群体就业工作”的号召，某企业扩大招聘规模， 计划在年内招聘高校毕业生240 名，但实际招聘的高校毕业生数量多于计划招聘的数量。已 知企业将招聘到的高校毕业生平均分配到7 个部门培训，并在培训结束后将他们平均分配到 9 个分公司工作。问该企业实际招聘的高校毕业生至少比计划招聘数多多少人？ A.6 B.12 C.14 D.28 【练习2】（2023 联考）某单位员工集中核酸检测，18 人一组混检，需m（m 为正整数）个 组，但会多余1 人，如果分成m-1 个组，人数刚好平均分配。问该单位有多少员工？ A.325 B.361 C.415 D.469 【练习3】（2022 天津）某地组织大型公益演出，临时抽调一支一百多人的志愿服务队。其 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 10 中，20 至30 岁（不含30 岁）的人数占总人数的68%，30 岁及以上的人数是不到20 岁人 数的7 倍。已知30 岁以下的人数比30 岁及以上的人数多66 人，问这支服务队共多少人？ A.90 B.120 C.150 D.180 【练习4】（2023 北京）某单位3 个部门共有员工50 人，拥有中级工程师职称的人员比重为 40%。其中甲、乙两个部门拥有中级工程师职称的人员比重分别为45%和32%，则丙部门拥 有中级工程师职称的人员比重为： A.60% B.52% C.44% D.36% 【练习5】（2020 新疆）某新型建材生产车间计划生产480 个建材，当生产任务完成一半时， 暂时停止生产，对器械进行维修清理，用时20 分钟。恢复生产后工作效率提高了三分之一， 结果完成任务时间比原计划提前了40 分钟，问对器械进行维修清理后每小时生产多少个建 材？ A.80 B.87 C.94 D.102 【练习6】（2019 山东）一个盒子里有乒乓球100 多个，如果每次取5 个出来最后剩下4 个， 如果每次取4 个最后剩3 个，如果每次取3 个最后剩2 个，那么如果每次取12 个最后剩多 少个？ A.11 B.10 C.9 D.8 【练习7】（2018 浙江）某次比赛报名参赛者有213 人，但实际参赛人数不足200。主办方 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 11 安排车辆时，每5 人坐一辆车，最后多2 人；安排就餐时，每8 人坐一桌，最后多7 人；分 组比赛时，每7 人一组，最后多6 人。问未参赛人数占报名人数的比重在以下哪个范围内？ A.低于20% B.20%~25%之间 C.25%~30%之间 D.高于30% 【练习8】（2023 北京）某公司去年的营业额比前年高20%，今年的营业额比去年高360 万 元，比前年高600 万元。这3 年的营业额一共是多少万元？ A.4200 B.4440 C.4680 D.4920 【练习9】（2018 江西法检）某高校今年共招收新生6060 人，比去年增长1%，其中本科新 生比去年减少5%，研究生新生比去年增加13%。那么，该高校今年本科新生有多少人？ A. 4200 B. 4120 C. 3900 D. 3800 【练习10】（2022 国考）高校某专业70 多名毕业生中，有96%在毕业后去西部省区支援国 家建设。其中去偏远中小学支教的毕业生占该专业毕业生总数的20%，比任职大学生村官 的毕业生少2 人，比在西部地区参军入伍的毕业生多1 人，其余的毕业生选择去国有企业西 部边远岗位工作。问去国有企业西部边远岗位工作的毕业生有多少人？ A.32 B.29 C.26 D.23 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 12 答案：1-5：ABBAD；6-10：CADDC；11-16：ACABC C 练习一：1-5：BBCAA；6-10：ABBDC 作业：今天所讲的题进行3+2 作业 数量要精做、精刷： 3：三遍（先问题、再题干）数量的表述相对单一，熟悉和记忆就是最好的方法。不再害怕题， 又能了解倍数特性的表述和特征，归纳题型特征，实现考场快速识别题型。 2：计算2 遍、选项的利用，计算是思路的展开，题型理解，选项的利用，该做做，该猜猜。 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 13 第二章方程问题 1.普通方程：一个未知数（x） 设未知数技巧： 1、设小不设大 2、出现比例设份数 3、设中间量 【例1】（2024 联考）某包装车间包装甲、乙两种规格的袋装杂粮，甲、乙两袋杂粮的重量 之比为5：2，如果从甲袋中称出2 公斤放入乙袋后，甲、乙两袋杂粮的重量之比变为4：3。 问甲袋杂粮原来重量为： A.8 公斤 B.10 公斤 C.12 公斤 D.15 公斤 【例2】（2024 国考）某地为工业企业提供相当于营业额2%的税收优惠，当地的A 工厂原 本预计当年会产生相当于营业额0.8%的亏损，在享受优惠政策后预计可以盈利300 万元。 问A 工厂当年的预计营业额为多少亿元？ A.4 B.3.6 C.3 D.2.5 【例3】（2024 山东）某科技创新项目有6 人投资，共筹资110 万元。投资额度有10 万元、 20 万元和30 万元三种。已知投资10 万元的比投资20 万元的多2 人，问投资30 万元的有 多少人？ A.2 B.3 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 14 C.4 D.5 【例4】（2024 广东）某企业在展销会上销售甲、乙两种产品。已知甲产品的库存比乙产品 多100 件，展销会结束后，甲产品全部售完，乙产品售出库存的60%，两种产品共售出1260 件，则甲、乙两种产品原有总库存（ ）件。 A.1450 B.1500 C.1550 D.1600 2.普通方程组：多个未知数（设x、y、z） （1）存在多个未知数，设x、y、z （2）抓住问题消元求解 【例5】（2024 深圳）老刘家有100 亩草场，平均每亩草场年产草料4 吨。草场上饲养了羊、 驴、牛共252 头，平均每头羊年需草料1 吨，每头驴年需草料2 吨，每头牛年需草料5 吨。 去年老刘家草场恰好能满足草料需求，今年老刘没有饲养羊，但驴和牛的数量都翻了一倍， 草场仍恰好满足草料需求，则老刘家去年饲养了（ ）头牛。 A.32 B.33 C.34 D.35 【例6】（2023 联考）浮雕银杯是我国古代常见的一种盛酒容器，有大银杯和小银杯之分。 已知5 个大银杯加1 个小银杯，可以盛酒3 斛（斛，是古代的一种容量单位），5 个小银杯 加1 个大银杯，可以盛酒2 斛，则1 斛酒至多可以倒满小银杯的数量为： A.2 个 B.3 个 C.4 个 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 15 D.5 个 3.不定方程 （1）普通不定方程 ax + by = M 方法：奇偶、倍数、尾数、代入 奇偶特性： 【引例1】3x+4y=25，x=?（x、y 均为正整数） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 倍数特性： ax + by = M，当a 或b 与M 有公因子时，考虑倍数特性 【引例2】7x+3y=60，y 最大为多少? （x、y 均为正整数且不为0 ） A. 12 B. 13 C. 16 D. 18 尾数法： ax + by = M，当a 或b 尾数是0 时，考虑尾数 【引例3】37x+20y=271，x=? （x、y 均为正整数） A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 16 【例7】（2023 联考）某学校组织学生分组参观红色教育基地，租赁了若干辆客车。其中， 一辆大型客车可容纳5 个小组，一辆中型客车可容纳3 个小组，大型客车比中型客车多容纳 16 个小组，那么至少租赁了大型客车和中型客车各多少辆？ A.3；5 B.5；3 C.4；3 D.5；6 【例8】（2024 江苏）某公司6 个部门共192 名员工，其中5 个部门的员工人数之比为2：3： 4：5：6。现将6 个部门合并成3 个，每个部门都由原来的两个部门合并而成。若合并后3 个部门的员工人数之比为3：4：5，则合并前人数最少的部门的员工有： A.16 人 B.17 人 C.18 人 D.19 人 （2）多个未知数的不定方程 形式：ax+by+cz=M 问：某个未知数的值 方法：倍数特性 【例9】（2020 四川）某人花400 元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙三个品种的樱桃单 价分别为28 元/盒、32 元/盒和33 元/盒，问他最多购买了多少盒丙品种的樱桃？ A.3 B.4 C.5 D.6 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 17 4.不定方程组 （1）整数型 不定方程组：两个方程，三个未知数。 �1�+ �1y+�1z = M �2�+�2y + �2z = N 考法一：未知数一定是整数（主流考法） 方法：先消元转化为不定方程，再按不定方程求解。 【例10】（2024 联考）商店销售甲、乙、丙、丁四种商品，每件分别盈利15 元、9 元、4 元和1 元。某日销售这四种商品共40 件，共盈利201 元。四种商品每种至少销售1 件，且 甲、丁商品销量相同。问当天丙商品的销量为多少件？ A.21 B.27 C.29 D.31 【例11】（2024 江苏）某超市为回馈消费者，将举办购物抽奖活动。每人只能抽奖一次，奖 金有三种：一等奖888 元，二等奖88 元，三等奖8 元。若前100 个中奖者的奖金总额为2480 元，则其中获得三等奖的最少有： A.95 人 B.89 人 C.79 人 D.69 人 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 18 （2）非整数型 不定方程组：两个方程，三个未知数。 �1�+ �1y+�1z = M �2�+�2y + �2z = N 考法二：未知数可以是小数（单价和时间） （1）凑系数（高中考法，不好想） （2）赋零法：赋其中1 个未知数为零，进而快速计算出其他未知数。 赋零法是有理有据，有推有导的。 【例12】（2023 湖北事业单位）顾客安女士在水果店里购买了1 箱苹果、3 盒草莓和5 盒蓝 莓，共花费260 元。顾客何先生在同一水果店以同样的单价购买了1 箱苹果、4 盒草莓和7 盒蓝莓，共花费320 元。那么购买1 箱苹果、1 盒草莓和1 盒蓝莓需花费（ ）元。 A.140 B.150 C.160 D.170 【例13】（2021 黑龙江边境）幼儿园需采购春联、窗花、小狗玩偶三种新年用品，已知大班 采购春联7 幅，窗花12 对、小狗玩偶5 个，共花费200 元，中班采购春联9 幅、窗花19 对、小狗玩偶5 个，共花费224 元。问小班采购春联10 幅，窗花10 对，小狗玩偶10 个需 花费多少元？ A.170 B.176 C.340 D.352 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 19 专项拔高练习二 【练习1】（2024 全国事业单位联考）某景区仅可凭身份证或购票二维码进园参观。某日 上、下午共进园3700 人次，其中使用二维码进园2000 人次；当日上午进园1800 人次，其 中凭身份证进园的正好是凭二维码进园人数的一半。问当天下午凭身份证进园的有多少人 次？（ ） A.800 B.900 C.1000 D.1100 【练习2】（2023 北京）张、王、李三人总共有120 本书，张、王的书分别是李的2 倍和5 倍，则王有多少本书？ A.65 B.70 C.75 D.80 【练习3】（2023 广东）甲、乙两个仓库共存有340 吨粮食。如果甲仓库存放的粮食是乙仓 库的2 倍多10 吨，则甲仓库存有粮食（ ）吨。 A.110 B.120 C.230 D.240 【练习4】（2020 江苏B）某社区组织了一次助学捐款活动，在场的老王、老李和老张均积 极捐款。若老王捐款的 1 3是老李捐款的 1 5、老张捐款的 1 11，且老张比老王多捐192 元，则他们 的捐款总额是： A. 418 元 B. 456 元 C. 494 元 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 20 D. 532 元 【练习5】（2019 上海）踢毽子有内踢、直踢、外踢、膝击、叉踢、背踢、倒勾和踹毽八种 基本动作。在一次踢毽子比赛中规定：前五种基本动作每次记1 分；后三种基本动作由于难 度较高，每次记3 分。方华在1 分钟内完成了35 个基本动作，总分为69 分。那么方华完成 了（ ）个3 分动作。 A.16 B.17 C.18 D.19 【练习6】（2020 广东）某部门正在准备会议材料，共有153 份相同的文件，需要装到大小 两种文件袋里送至会场，大的每个能装24 份文件，小的每个能装15 份文件。如果要使每个 文件袋都正好装满，则需要大文件袋（ ）个。 A.2 B.3 C.5 D.7 【练习7】（2023 上海）足球比赛在每个半场结束时都有一段时间的伤停补时，这是由当值 主裁判决定的。某场比赛的主裁判确定伤停补时的规则为：每次处理受伤增加30 秒，每次 换人增加20 秒，其他情况每次增加10 秒。在下半场即将结束时，主裁判确定伤停补时的时 长为4 分30 秒。若已知下半场比赛时间内，处理受伤、换人和其他情况都存在且共计有10 次，那么下半场两队总共换了（ ）人。 A.1 B.2 C.3 D.4 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 21 【练习8】（2019 联考）某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则 为：一等奖得9 分，二等奖得5 分，三等奖得2 分。甲队共有10 位选手参赛，均获奖。现 知甲队最后总分为61 分，问该队最多有几位选手获得一等奖？ A.3 B.4 C.5 D.6 【练习9】（2022 江苏）某企业年终评选了30 名优秀员工，分三个等级，分别按每人10 万 元、5 万元、1 万元给与奖励。若共发放奖金89 万元，则获得1 万元奖金的员工有： A. 14 人 B. 19 人 C. 20 人 D. 21 人 【练习10】（2018 上海）现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲1 件、乙3 件、丙7 件共需 200 元；若购买甲2 件、乙5 件、丙11 件共需350 元。则购买甲、乙、丙各1 件共需多少 元？ A. 50 B. 100 C. 150 D. 200 答案：1-5：BDACA；6-10：BBABD；11-13：CAD 练习二：1-5：DCCBB；6-10：AACBB 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 22 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 23 第三章等差数列和等比数列 一、等差数列 �1 、�2 、�3 、…… ��，d 表示等差数列的公差 （1）通项公式：��= �1 + (�−1)�，d 表示等差数列的公差 （2）性质：��= ��+ (�−�)� ��−��= (�−�)� （3）求和公式：��= �(�1+��) 2 = a中× �= 平均数× � 注：数列为奇数项时，第a中项真实存在；数列为偶数项时，第a中项可看成是中间两 项 小技巧： （1）求和有中项，优先用中项。��= a中× �，可做可猜 （2）无中项，用 ��= (�1+��) 2 × � （3）常考：3 项等差、5 项等差、7 项等差、9 项等差 （4）�1 、�2 、�3 既是等差又是等比，那么�1 = �2 = �3（常数列） 1.等差数列性质 【例1】（2024 广东事业单位）在荔枝成熟的季节，某果园雇人采摘荔枝。已知从第二天起， 每天的采摘量比前一天少50 千克；从第十天起，每天的采摘量都是前一天的一半。如果第 十三天的采摘量为10 千克，则果园第一天采摘了（ ）千克荔枝。 A.540 B.560 C.580 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 24 D.600 【例2】（2024 江苏）已知某家族中4 位成员的年龄总和为142 岁，且他们的年龄恰好成等 差数列，若其中一位的年龄为47 岁，则这4 人中最年长者的年龄为（ ） A.65 岁 B.70 岁 C.83 岁 D.90 岁 【例3】（2022 江苏）某金融机构向9 家“专精特新”企业共发放了4500 万元贷款，若这9 家 企业获得的贷款额从少到多排列，恰好为一个等差数列，且排第3 的企业获得420 万元贷款， 排第8 的企业获得的贷款额为： A.620 万元 B.660 万元 C.720 万元 D.760 万元 2.等差数列求和 【例4】（2022 联考）某市对下辖9 个文艺表演团体去年新创节目的数量进行统计分析，发 现9 个团体新创节目的数量恰好成等差数列，其中前5 个团体的新创节目总数是60，前7 个团体的新创节目总数是70。那么这9 个文艺表演团体去年新创节目的总数是： A.72 B.76 C.78 D.80 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 25 【例5】（2020 新疆）某阶梯会议室有16 排座位，后一排比前一排多2 个，最后一排有40 个座位。这个阶梯会议室共有多少个座位？ A. 300 B. 350 C. 400 D. 440 【例6】（2022 四川）某共享汽车公司年初购入一批二手电动汽车，每台16200 元。第一年 每台电动汽车的维护费用为1100 元，以后每年增加400 元，每台电动汽车每年可产生收益 9100 元。问在第几年时，单排汽车扣除购置和维护成本后产生的利润将超过2 万元? A.5 B.6 C.7 D.8 【例7】（2022 联考）某市举行庆典活动，将依次升空105 架无人机，升空方式如下：每架 无人机间距均相等，第一次升空n 架，第二次升空n-1 架，以此类推，最终在夜空中组成一 个近似等边三角形背景的灯光秀，那么第10 次升空的无人机数量是： A.3 架 B.5 架 C.8 架 D.10 架 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 26 3.等差数列和时间段等差数列 各项成等差数列，可推知每个“时间段”的和也成等差数列。 常考：一个星期7 天，十几五规划5 年。 【例8】（2023 国考）工厂从某周第一天开始生产某种零件，每周生产7 天，从第二天开始 每一天都比前一天多生产200 件。已知工厂第三周的产量是第一周的2 倍，问第几天其日产 量第一次达到1 万件？ A.37 B.38 C.39 D.40 【例9】（2021浙江）某企业在“十二五”期间第一年的营业额比上一年增长了1.5亿元，且往 后每年的营业额增量都保持1.5亿元不变。已知该企业在“十四五”期间的营业额将是“十二五” 和“十三五”期间营业额之和的80%。问该企业在“十二五”到“十四五”期间的总营业额在以下 哪个范围内？ A. 不到300亿元 B. 300—330亿元 C. 330—360亿元 D. 超过360亿元 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 27 4.等差数列的应用题 （1）特定表述 （2）既构成等差数列，又构成等比数列，此数列为常数列。 【例10】（2023 联考）桌上整齐摆放着若干只相同玻璃杯，除一只空杯外，其余杯中都放有 彩色珠子，共有45 颗。如果在有彩色珠子的每个杯中取1 颗放入空杯，则只需调整玻璃杯 的位置，即可与最初完全一样。问桌上共有几只玻璃杯？ A.7 B.8 C.9 D.10 【例11】 （2020 联考）红星中学高二年级在本次期末考试中竞争激烈，年级前七名的三科（语 文、数学、英语）平均成绩构成公差为1 的等差数列，第七、八、九名的平均成绩既构成等 差数列，又构成等比数列，张龙位列第十，与第九名相差1 分，张龙的英语成绩为121 分， 但老师误登记为112 分。那么，张龙的名次本该是： A.第四 B.第五 C.第七 D.第八 5.等差数列巧求方程组两数差 小技巧：（剪刀差原理） x + y = M ax + by = N ，求x-y，巧用等差数列ab 的中位数求解。 【例12】（2022 江苏）某餐饮公司甲、乙两种外卖每份的售价分别为30 元和50 元，若该公 司某天售出这两种外卖共500 份，销售收入为21400 元，则售出的两种外卖数量相差： A. 140 份 B. 160 份 C. 180 份 D. 200 份 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 28 6.64 的秘密 挑挑拣拣，剩下的数：64 每次都是剩下偶数，故应该为100 以内2 的最大幂次数，即为26 = 64。 【例13】（2024 浙江）某工厂有100 个零件，从1-100 编号后将编号为奇数的零件拿掉， 余下50 个零件按顺序重新从1 开始编号后将编号为奇数的零件拿掉，重复上述操作直到剩 下一个零件，那么余下这个零件最初的编号是多少？ A.32 B.50 C.64 D.100 二、等比数列 等比数列 通项公式：��= �1 × ��−1，q 表示等比数列的公比 求和公式：��= �1 × 1−�� 1−� 注：等比数列考察频率较低，不会用公式，咱就枚举一下，一样拿分。 【例14】（2024 联考）因自然灾害产生泄漏，某河流出现A 物质污染。根据环保部门要求， 自然水源中A 物质的浓度不得高于x。经应急处置后，水中的A 物质浓度每24 小时下降一 半。自应急处置时开始，环保部门每24 小时对河流水质进行1 次检测，在216 小时后首次 检测到河流中A 物质浓度达标。问应急处置前A 物质可能的最高浓度在以下哪个范围内？ A.不到300x B.300x~600x C.600x~1200x D.超过1200x 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 29 专项拔高练习三 【练习1】（2020 联考）三个自然数成等差数列，公差为20，其和为4095。这三个数中最大 的是： A.1345 B.1365 C.1385 D.1405 【练习2】（2020 联考）小李一家3 人进行抢红包游戏，每人发1 个红包。结果每人抢得金 额总额一致，均为100 元，刚巧3 人所发红包金额为互不相同整数且成等差数列。问3 人中 所发红包金额最多的可能是多少元？ A.197 B.198 C.199 D.200 【练习3】（2023 联考）19 个不同的正整数从小到大排序，总和为191，则最大的数只能取： A.18 B.19 C.20 D.21 【练习4】（2019 河南公、检、法）把1 到82 这82 个自然数都相加起来，但由于中间有两 个连续的数都多加了一次，得到的和为3520，则多加的第一个数是： A.55 B.57 C.58 D.60 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 30 【练习5】（2019 河北）一个暗箱装有12 个编号从1 到12 的乒乓球，甲、乙、丙三人轮流 从暗箱中摸球，每人每次摸一个球且不放回。将所有球摸完后，三人所摸出的球上的编号之 和相等，并且甲摸出了1 号球和3 号球，乙摸出了6 号球和11 号球。丙摸出的球编号最大 为多少？ A.7 B.8 C.9 D.10 【练习6】（2018 四川）现有10 个相同的盒子中分别装有1～10 个球，任意两个盒子中的球 数都不相同。小李分三次每次取出若干个盒子，每次取出的盒子中的球数之和都是上一次的 3 倍，且最后剩下1 个盒子。问剩下的盒子中有多少个球？ A.9 B.6 C.5 D.3 【练习7】（2021 上海）将从1 到11 连续自然数填入下图中的圆圈内，要使每边上的三个数 的和都相等，a 不可能是（ ）。 A.1 B.6 C.7 D.11 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 31 【练习8】（2020 山东）某公司2017 年每个月的销售额都比上个月高x 万元。其9 月的销售 额是1 月的2 倍，11 月的销售额为900 万元。问该公司2017 年全年的销售额是多少万元? A.7200 B.7650 C.8100 D.8550 【练习9】（2022 四川下）商场6 月6 日开始销售某种电器，从6 月7 日起，每天这种电器 的销量都比前一天多1 台。已知6 月16 日卖了22 台这种电器，问其6 月共卖了多少台这种 电器？ A.555 B.600 C.645 D.690 【练习10】 （2022 联考）某商场1 月尝试采购一款新产品进行销售，每月进货量固定为1000 件，1 月的销售量为800 件。销售一段时间发现，从2 月开始，每月的销售量均比上月高10%。 问几月份会出现第1 次库存清零？ A. 4 月 B. 5 月 C. 6 月 D. 7 月 答案：1-5：BBAAC；6-10：BBDCD；11-14：BACB 练习三：1-5：CCCCC；6-10：DCCBC 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 32 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 33 第四章周期问题 1.周期余数 题型特征：出现循环或周期，问？个，往往数据很多，或者数字很大，找规律即可。 解题思路： （1）找周期：确定周期的起点和长度 （2）算余数：总数÷ 周期长度= 多个周期…余数（n） （3）做等价：第n 个：余几数几（无余数，周期最后一个） 例:123、123……123，问第100 个数是？ 【例1】（2019 河北）某新建高速公路中间隔离带绿化时，顺次种植2 株蜀桧、3 株刺柏、5 株小叶女贞、3 株大叶黄杨，按此循环，第2019 株树木是什么？ A.蜀桧 B.刺柏 C.小叶女贞 D.大叶黄杨 【例2】（2023 福建事业单位）3 × 3 × … × 3 ᇣ ᇤ ᇥ ᇧᇧᇧᇧᇧᇧ 2021 所得积的个位数字是（ ）。 A.1 B.3 C.7 D.9 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 34 2.周期相遇 题型特征：出现多个小周期，求再次相遇 方法：最小公倍数相遇 例子：A 每3 天锻炼一次，B 每4 天锻炼一次 注：每隔n 天=每n+1 天 例子：A 每隔3 天锻炼一次，B 每隔4 天锻炼一次 【例3】（2024 江苏）某夫妇拟从2023 年12 月1 日（星期五）起实施健身计划。妻子的计 划是当天的日期为质数就游泳，丈夫的计划是每周一、三、五游泳。按该夫妇的计划，他们 2023 年12 月同日游泳的天数是（ ）。 A.5 B.4 C.3 D.2 【例4】（2022 联考）两个信号灯分别以30 秒和36 秒的固定间隔闪亮一次，若他们10 点第 一次同时闪亮，则第七次同时闪亮的时间为（ ）。 A.10：15 B.10：16 C.10：18 D.10：21 【例5】（2019 河北）甲、乙、丙三人均每隔一定时间去一次健身房锻炼。甲每隔2 天去一 次，乙每隔4 天去一次，丙每7 天去一次。4 月10 日三人相遇，下一次相遇是哪天？ A.5 月28 日 B.6 月5 日 C.7 月24 日 D.7 月25 日 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 35 3.星期日期问题 星期日期推断 大月与小月：一三五七八十腊，三十一天永不差。 大月31 天 (1、3、5、7、8、10、12) 小月30 天 (4、6、9、11) 2 月28(29)天 注： （1）每个月都必然有4 周 （2）鉴于“一个自然月内最多有……”应将这个自然月按照大月31 天计算。 题型特征：给出一段时间内有若干个周几，推算某一天为周几 常用结论：①每连续7 天，必有周一到周日各1 天 ②每连续28 天，必有周一到周日各4 天 解题思路：每个月都必然有4 周，取连续28 天 平闰年判定：平年365 天（2 月28 天），闰年366 天（2 月29 天） 年份数能被4 整除的为闰年，否则为平年；整百的年份需要被400 整除。 整年推断：过一个平年星期数+1，过一个闰年星期数+2。 注：可以简记为52 周零1 天（闰年零2 天） 小知识：地球绕太阳公转的周期为365 天5 小时48 分46 秒。为了弥补历法规定造成的 一年365 天与地球公转周期的时间差，每4 年设立一个闰年，闰年共有366 天，并每百 年减去一个闰年。 12 生肖： 子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪。 注意：本命年以12 为周期 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 36 【例6】（2024 广东）只有在星期六，小王才会去图书馆。如果某年3 月小王一共有5 天去 过图书馆，则当年4 月1 日可能是（ ）。 A.星期二 B.星期三 C.星期五 D.星期六 【例7】（2024 国考）小张每周二、周五和周日固定参加骑行社团活动。某年9 月和10 月， 小张分别参加了13 次和14 次活动。问当年他最后一次参加活动是在哪一天？ A.12 月31 日 B.12 月30 日 C.12 月29 日 D.12 月28 日 【例8】（2019 广东）某物业公司规定，小区大门每2 天清洁一次，消防设施每3 天检查一 次，绿化植物每5 天养护一次，如果上述3 项工作刚好都在本周四完成了，那么下一次3 项工作刚好同一天完成是在（ ）。 A.星期一 B.星期二 C.星期六 D.星期日 【例9】（2022 黑龙江）甲乙丙三个志愿者共同照顾李奶奶，甲每4 天去一次，乙每5 天去 一次，丙每6 天去一次。如果他们三个于5 月5 日在李奶奶家同时见面，则他们三人下次在 李奶奶家同时见面的时间是： A.7 月4 日 B.7 月5 日 C.9 月1 日 D.9 月2 日 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 37 【例10】（2024 全国事业单位联考）网管员小王每隔一周的周一、周三、周五对机房进行检 修。某年7 月31 日，小王进行了当月第7 次机房检修。问当年7 月1 日是星期几? A.星期一 B.星期三 C.星期四 D.星期六 【例11】（2022 联考）2021 年7 月1 日是中国共产党建党100 周年的纪念日，这一天是星 期四，那么建党110 周年纪念日是： A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四 【例12】（2021 四川下）已知A 单位在3 月x 日(x≤10)举行校招会，B 单位在4 月y 日(y≥20) 举行校招会，两个单位的校招会都在星期五举行，已知x+y=32，问y 的值为： A.24 B.25 C.26 D.27 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 38 专项拔高练习四 【练习1】（2023 广东乡镇）某单位共有8 名安保队员，并根据序号每天安排2 名队员轮流 值班：第一天由队员1、2 负责值班；第二天由队员3、4 负责值班······以此类推。如果队员 3 今天负责了值班，则他将在（ ）天后再次负责值班。 A.4 B.5 C.6 D.7 【练习2】（2023 上海）某班有48 位同学，教室里有6 排，每排8 个座位。若在每个周一早 上班里同学按照如下要求换座位：①第一排同学换到最后一排，其他每排同学向前换一排； ②最左边一列的同学换到最右边一列，其他每列同学向左换一列。那么坐在第一排最左边 的同学经过（ ）后首次回到第一排最左边。 A.12 周 B.24 周 C.36 周 D.48 周 【练习3】（2021 广东乡镇）一条长20 厘米的纸带，先从左端开始涂上4 厘米红色，之后每 间隔4 厘米再涂4 厘米红色；再从右端开始涂上5 厘米绿色，之后每间隔5 厘米再涂5 厘米 绿色，则红绿色重叠的部分共有（ ）段。 A.4 B.3 C.2 D.1 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 39 【练习4】（2019 联考）如下图所示，长度均为六分之五千米的三个圆形跑道汇聚于点O， 若甲、乙、丙三人分别以5 千米/小时、8 千米/小时、12 千米/小时的速度同时从O 点出发 分别绕三个圈奔跑，则三人再次相聚于O 点需经过多少分钟？ A.40 B.50 C.52 D.60 【练习5】（2019辽宁）公司的门卫岗与消防岗均采用轮班制，门卫岗每隔两天值一天班，消 防岗每4天值一天班，节假日无休息。小张是门卫，小王是消防员，则小张和小王在2019年 中一个自然月里同时上班最多有（ ）天。 A. 8 B. 4 C. 3 D. 2 【练习6】（2016 国考）某政府机关内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发布消息，甲 部门每隔2 天、乙部门每隔3 天有一个发布日，节假日无休。问甲、乙两部门在一个自然月 内最多有几天同时为发布日？ A. 5 B. 2 C. 6 D. 3 【练习7】（2023 湖北事业单位）小贺在某月的第一天就被安排去国外的合资公司出差，等 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 40 他回来时恰好是当月的最后一天。已知小贺出差的当天是星期二，回来时是星期四，那么小 贺一共出差了（ ）天（含路途时间）。 A.28 B.29 C.30 D.31 【练习8】（2019 吉林）假设本月28 号是星期四，则本月1 号是 A.星期三 B.星期四 C.星期五 D.星期六 【练习9】（2023 上海）地球绕太阳公转的周期为365 天5 小时48 分46 秒。为了弥补历法 规定造成的一年365 天与地球公转周期的时间差，每4 年设立一个闰年，闰年共有366 天， 并每百年减去一个闰年。若地球绕太阳公转的周期为365 天8 小时，而历法规定每一年仍是 365 天，那么为了补足地球公转周期的时间差，需要每（ ）设置一个闰年。 A.1 年 B.2 年 C.3 年 D.4 年 【练习10】（2020 下半年事业单位）动物园内海洋馆、热带馆、熊猫馆采取分时段展览形式。 海洋馆每展览3 天闭馆1 天，热带馆每展览7 天闭馆3 天，熊猫馆每展览6 天闭馆2 天，若 三个场馆同时从周一开始进行展览，则三个场馆第一次均闭馆是星期几？ A.星期一 B.星期三 C.星期四 D.星期六 【练习11】（2013 国考）根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8 月份有22 个工 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 41 作日，那么当年的8 月1 日可能是： A.周一或周三 B.周三或周日 C.周一或周四 D.周四或周日 【练习12】（2014 陕西）某年份的2 月有五个星期天，问下一年的五一劳动节是星期几？ A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四 E.星期五 F.星期六 G.星期天 H.无法计算 答案：1-5：BBCCC；6-10：AACAD；11-12：BB 练习四：1-5：ABCBC；6-10：DDCCA；11-12：DG 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 42 第五章工程问题 1.具体单位型 有具体的效率或者总量 方法：列方程，根据问题求解 【例1】（2024 全国事业单位联考）甲、乙施工队共同修一条全长20 千米的路。合作施 工25 天后乙队被调走。剩下部分甲队又用了25 天正好完成。已知乙队的效率是甲队的 2 倍，问甲、乙两队合作每天可以修多少米路？ A.400 B.600 C.800 D.1200 【例2】（2024 联考）某餐饮店接到一份粽子订单，张师傅与李师傅同时工作8 小时可完成。 现张师傅先独自包粽子3 小时，李师傅接着独自包了1 小时，还剩订单总数的 11 16没完成。已 知张师傅每小时比李师傅多包14 个粽子，问这份订单粽子的总数是多少个？ A.224 B.296 C.320 D.416 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 43 2.完工时间型 （1）普通完工时间型 完工时间型 特征：多个主体的完工时间 方法 第一步：赋值总量（公倍数） 第二步：求效率 第三步：列表或列方程求解 【例3】（2024 联考）有一批零件，如果甲车间单独完成需要50 小时，乙车间单独完成需要 30 小时，在甲车间单独完成若干小时后，由于要承担其他紧急任务，剩余的任务由乙车间 继续完成，这样一共用了42 小时。问乙车间完成的零件量占这批零件总量的： A. 3 4 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 3 【例4】（2024 联考）一项工程，甲单独做完要8 天的时间，甲、乙一起做了4 天完成了工 程的75%，剩余工程由乙独自完成还需要多少天？ A.4 天 B.8 天 C.12 天 D.16 天 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 44 （2）工程费用 【例5】（2024 浙江）有一批零件，如果由甲、乙两人加工，20 小时可以完成，需要支付酬 劳1200 元；如果由甲、丙两人加工，15 小时可以完成，需要支付酬劳1350 元；如果由乙、 丙两人加工，12 小时可以完成，需要支付酬劳1320 元。现在安排3 人都参与加工，并要求 在13 小时以内完成，那么最少需要支付酬劳多少元？ A.1270 B.1280 C.1290 D.1300 （3）周期循环工程（确定周期） 【例6】（2021 年四川下）某项工程，甲、乙、丙三个工程队如单独施工，分别需要12 小时、 10 小时和8 小时完成。现按“甲—乙—丙—甲……”的顺序让三个工程队轮班，每队施工1 小时后换班，问该工程完成时，甲工程队的施工时间共计： A.2 小时54 分 B.3 小时 C.3 小时54 分 D.4 小时 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 45 （4）复杂方程的完工时间型 复杂方程的完工时间型 方法：不会解，不想解，就代入。 4 �+ 4 �+15 = 1 x=？ A.5 B.6 C.7 D.8 【例7】（2023 联考）轨道交通公司定期进行轨道检修工作，甲、乙两个工程队合作进行需 4 小时完成，甲队单独完成比乙队单独完成快15 小时，则甲队单独完成需要的时间是： A.5 小时 B.6 小时 C.7 小时 D.8 小时 （5）多个工程的完工时间型 特征：多个工程的完工时间型 方法：列多个工程 计算：好算为原则 【例8】（2022 联考）甲、乙、丙三个工程队接到A、B 两个工程的施工任务，若由甲单独 完成B 工程需要30 天；若甲乙两队合作施工，则完成A 工程需要30 天，完成B 工程需要 20 天；乙丙合作完成A 工程则需要24 天。现在三个工程队合作完成A、B 两个工程，多少 天可以完工？（不足1 天按1 天计算） A.24 B.25 C.26 D.27 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 46 3.效率比例型 效率比例的形式 一、直接给：甲:乙=3:4；甲的效率是乙的2.5 倍；甲的效率比乙高25%。 二、间接给：工作量相等，以工作量推效率关系 1、甲4 天的工作量等于乙3 天的工作量 2、甲、乙两个工程队合作完成某工程需36 天，若甲工程队先做10 天，剩下的工程再由 两队合作30 天完成 三、给具体人数或机器数： 50 个工人修路，80 台挖掘机 赋值每个人/每台机器效率为1 【例9】（2024 山东）甲、乙、丙三个工程队共同承担一项市政工程。甲队独立完成需要30 天，乙队效率比甲队高20%。丙队仅提供技术支持，即能够为其他队伍提高效率，其与甲 队或乙队合作时效率可提高120%，三个队伍合作时效率可提高200%。甲、乙两队合作3 天后，丙队加入，最后两天乙队休息。问该工程耗时约多少天？ A.7 B.8 C.9 D.10 【例10】（2024 江苏）甲、乙、丙三人合作完成一项任务。乙先做9 天，再和甲合作6 天， 完成了任务的60%，剩下的任务，若由丙做，恰好10 天完成。甲、乙、丙三人的工作效率 之比是： A.5:4:6 B.6:4:5 C.10: 15: 12 D.12: 15: 10 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 47 4.变形题：给定总量比和时间比，求效率比 （1）可以设未知数求解 （2）因为是比例，会消掉，可以直接赋值求解。 【例11】（2024 联考）甲、乙二人在某项工作结束后，统计数据显示：甲比乙的工作量多 1 4， 乙比甲所用的时间多 1 6，问甲、乙二人工作效率的比值所在范围的区间是： A.(1，1.5] B.(1.5，2] C.(2，2.5] D.(2.5，3] 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 48 5.牛吃草问题 （1）普通牛吃草 基本公式 y=（N-x）×T y：代表原有存量的消耗量 （比如：原有草量吃完啦） N：促使原有存量消耗的变量 （比如：牛数） x ：存量的自然生长速度 （比如：草长速度） T：时间 【考法合集：充分认知】一片草地每天都以平均速度生长，已知这片草地可以供25 头牛吃12 天，或者供40 头牛吃6 天。 问题1：草生长速度是多少？ 问题2：这片草地原有多少草量？ 问题3：这片草地可以供30 头牛吃多少天？ 问题4：草地上有28 头牛，需要多少天，原有草地还剩40%？ 问题5：要想可持续发展（草永远吃不完），每天最多放多少头牛？ 【例12】（2023 河北事业单位）某蓄水池存有一定量的水，河水均匀流入蓄水池。用5 台抽 水机10 天可将水抽完，用6 台抽水机8 天可将水抽完。若要求4 天抽完，需要同样的抽水 机多少台？（ ） A.14 B.13 C.12 D.11 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 49 （2）牛吃草变形 变形1：牛羊吃草，转换为羊（或牛）单独吃草 变形2：给单个牛的效率，效率就是n×效率 变形3：氧气瓶漏气、草枯萎 y=（n+x）T 变形4：牛更能吃了，牛的效率变化 【例13】（2023 广东）某牧场的草，匀速生长。如果20 头牛来吃，20 天可将草吃光；如果 10 头牛和10 只羊来吃，30 天可以恰好吃光。已知一头牛每天的吃草量是一只羊的2 倍，则 30 只羊吃该牧场的草，多少天可以吃光？ A.10 B.20 C.30 D.40 【例14】（2023 福建事业单位）某科技馆开门前已有360 名游客在排队等待。假设开门后每 分钟来的游客人数是一样的，一个入口每分钟可以进12 名游客。如果同时开放3 个入口， 需要30 分钟才没有人排队。现要使得开门15 分钟后就没有人排队，至少需要同时开放（ ） 个入口。 A.4 B.5 C.6 D.7 【例15】（2024 联考）某农产品基地对外供应一批农副产品。假设这批农副产品每天都有定 量的自然损耗，如果提货方每天运走1.5 吨产品，则50 天运完；如果提货方每天运走2 吨 产品，则40 天运完。那么这批农副产品有多少吨? A.75 B.80 C.100 D.110 【例16】（2022 江苏）某疫苗接种点市民正在有序排队等候接种。假设之后每小时新增前来 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 50 接种疫苗的市民人数相同，且每个接种台的效率相同，经测算：若开8 个接种台，6 小时后 不再有人排队；若开12 个接种台，3 小时后不再有人排队。如果每小时新增的市民人数比 假设的多25%，那么为保证2 小时后不再有人排队，需开接种台的数量至少为： A.14 个 B.15 个 C.16 个 D.17 个 专项拔高练习五 【练习1】（2023 国考）一项工作甲独立完成需要3 小时，乙独立完成的用时比其与甲合作 完成多4 小时，且乙和丙合作完成需要4 小时。问丙独立完成需要多少小时？ A.10 B.12 C.6 D.8 【练习2】（2023 浙江）收割一片稻田，可选择甲、乙、丙3 台农机。用丙收割的用时比用 甲短4 小时，比用乙长2 小时。已知甲、乙的收割速度分别为5 亩/小时和9 亩/小时，那么 丙的收割速度在以下哪个范围内？ A.小于6 亩/小时 B.6~7 亩/小时 C.7~8 亩/小时 D.大于8 亩/小时 【练习3】（2020 江苏）一项工程由甲、乙工程队单独完成，分别需50 天和80 天。若甲、 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 51 乙工程队合作20 天后，剩余工程量由乙、丙工程队合作需12 天完成，则丙工程队单独完成 此项工程所需的时间是 A.40 天 B.45 天 C.50 天 D.60 天 【练习4】（2023 北京）甲、乙两个工程队被安排实施某个工程。甲工程队先施工，用了15 天完成了一半，剩下部分甲、乙合作，比前一半的用时短了9 天。则乙工程队独立完成整个 工程需要多少天？ A.10 B.15 C.16 D.20 【练习5】（2019 河北）甲、乙两队单独完成某项工程分别需要10 天、17 天。甲队与乙队 按天轮流做这项工程，甲队先做，最后是哪队第几天完工？ A. 甲队第11 天 B. 甲队第13 天 C. 乙队第12 天 D. 乙队第14 天 【练习6】（2020 山东）甲、乙两个工程队共同完成某项工程需要12 天，其中甲单独完成需 要20 天。现8 月15 日开始施工，由甲工程队先单独做5 天，然后甲、乙两个工程队合作3 天，剩下的由乙工程队单独完成，问工程完成的日期是： A.9 月5 日 B.9 月6 日 C.9 月7 日 D.9 月8 日 【练习7】（2021 江苏）为发展乡村旅游，某地需建设一条游览线路，甲工程队施工，工期 为60 天，费用为144 万元；若由乙工程队施工，工期为40 天，费用为158 万元。为在旅游 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 52 旺季到来前完工，工期不能超过30 天，为此需要甲、乙两工程队合作施工，则完成此项工 程的费用最少是： A. 156 万元 B. 154 万元 C. 151 万元 D. 149 万元 【练习8】（2022 江苏）出版社安排甲、乙、丙三人校对一本书，甲完成总任务的 1 8后，剩下 的分配给乙和丙。若乙的工作效率是丙的 3 4，且两人完成工作所用时间相同，则乙的工作量 是总任务的： A. 3 8 B. 21 32 C. 7 16 D. 1 2 【练习9】（2024 联考）甲、乙两工厂共同完成某个生产订单需要12 天。现两工厂共同生产 8 天后，再由乙单独生产7 天，一共完成了订单总量的90%。若整个订单由乙单独生产，那 么需要多少天完成？ A.20 B.23 C.26 D.30 【练习10】（2023 国考）甲和乙两个工程队共同承担某项工程的施工任务。两队合作时各自 的效率均比单独施工时高20%。已知两队合作施工需要25 天完工；如甲先施工15 天后乙 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 53 加入，两队合作15 天后剩余工作乙单独施工还需要10 天完成。问甲队的效率是乙队的多少 倍？ A. 3 2 B. 4 3 C. 1 2 D. 2 3 【练习11】（2024 浙江）甲、乙两个施工队共同完成一项工程需要20 天。甲乙两队合作4 天后，乙队因故退出6 天后回归，回归时工程总量已完成40%。为保证按时完工，乙队回 归时带来了丙施工队，甲、乙、丙三队共同工作10 天后刚好完成工程。问甲、乙、丙队的 效率比为多少？ A.3:6:10 B.4:8:15 C.6:3:2 D.10:5:3 【练习12】（2020 浙江）火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票，且之后每分钟增加排 队购票的乘客人数相同。从开始办理购票手续到没有乘客排队，若开放3 个窗口，需耗时 90 分钟，若开放5 个窗口，则需耗时45 分钟。问如果开放6 个窗口，需耗时多少分钟？ A.36 B.38 C.40 D.42 答案：1-5：BACAA；6-10：CADBA；11-16：ADCAC D 练习五：1-5：BCDDB；6-10：BCADD；11-12：DA 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 54 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 55 第六章几何问题 几何问题一直是高频题型，做题方法：做、量、猜。（此节课用到直尺，买一个直尺啊。） 1.几何公式 认识图形：（动手画） 周长类 正方形周长=4a 长方形周长=2(a+b) 圆形周长=2πr 弧长= n° 360°2πr 面积类 正方形面积=a2 长方形面积=ab 平行四边形面积=底×高 三角形面积= 1 2 底×高 圆形面积=πr2 扇形面积= n° 360°πr2 梯形面积= 1 2 (a+b) ×h 菱形面积= 1 2 对角线乘积 表面积类 正方体表面积=6a2 长方体表面积= 2(ab+bc+ac) 圆柱体表面积=2πR2+2πRh 球体表面积=4πR2 体积类 正方体体积=a3 长方体体积= abc 长方体体对角线= �2 + �2 + �2 柱体体积= Sh 锥体体积= 1 3 Sh 球体体积= 4 3 πR3 锥体侧面积=πrl 圆台侧面积=π（�1+�2）l 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 56 常考根号：�≈�. ���、�≈�. ���、 �≈�. ��� 【例1】（2024 联考）甲、乙两个圆柱容器底面积之比为3：4，分别盛有7 厘米高和10 厘 米高的液体，现在向两个容器内注入同样多的液体，直至两个容器内液体的高度相等，问甲 容器内液面上升至： A.9 厘米 B.12 厘米 C.15 厘米 D.19 厘米 【例2】（2024 联考）一个白色圆柱体零件的底面半径是高的1.5 倍，现将其表面涂上黑漆 之后，沿下图所示虚线方向切割为4 个完全相同的部分。问单个部分的黑色面积是白色面积 的多少倍？（π≈3.14） A.不到1.1 倍 B.1.1-1.2 倍之间 C.1.2-1.3 倍之间 D.1.3 倍以上 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 57 【例3】（2024 联考）莱洛三角形是以等边三角形三个顶点为圆心，边长为半径，在顶点的 对边画弧所得的封闭图形，这种形状的钻头可钻出四角为圆弧的正方形的孔洞（如左下图所 示）。现将某莱洛三角形钻头所钻孔洞近似为正方形，测得该正方形孔洞截面积为25cm2（如 右下图所示），则该钻头的截面积为：（高照提示：此题别做，就是猜，根据选项形式猜猜猜。） A.（ 25� 6 − 25 3 6 ）cm2 B.（ 25� 4 − 25 3 4 ）cm2 C.（ 25� 3 − 25 3 3 ）cm2 D.（ 25� 2 − 25 3 2 ）cm2 2.三角形 1、普通三角形： 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 2、特殊三角形：直角三角形、等边三角形 常考点：a2+b2=c2、特殊角三角形三边关系 1.特殊勾股数：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13） 2、边长的放缩 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 58 3.特殊角三角形三边关系 30、60、90 ①短直角边是斜边的一半 ②长直角边是短直角边的3倍 45、45、90（等腰直角三角形） ①直角边相等 ②斜边是直角边的2倍 4. 等边三角形 边长：a 高： 3 2 � 面积: S = 3 4 �2 5. 正六边形: 由6 个等边三角形构成 6.圆中的直角 ①不在同一直线的三个点确定一个圆 ②圆的直径所对的角是直角（90°） 7.三角形同底或者同高 考法：多个面积 方法：底相同，面积之比等于高之比 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 59 （1）直角三角形 【例4】（2024 联考）A、D 两地设有通信基站（如下图所示），发射信号范围分别是以A、 D 为圆心，AE 和DB 为半径的圆形区域，小林从B 地出发，沿与DB 垂直的BA 方向匀速 行进，步行速度为4 千米/小时，那么步行约多少分钟后小林的手机能够重新接收到信号？ （5 ≈2.23） A.8 B.10 C.12 D.14 【例5】（2024 天津事业单位）平面做一个边长为3 的正方形，再以这个正方形的对角线为 边做第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边做第三个正方形，以此类推，第11 个 正方形的面积为（ ）。 A.2048 B.3072 C.8192 D.9216 【例6】（2024 国考）某小区内部的道路如下图所示，道路转弯处的∠A、∠C、∠E 均为直角， 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 60 ∠B=135°。已知AB、CD、EA 的长度分别为40 米、50 米、60 米，问整圈道路的总长度在 以下哪个范围内？ A.在200~210 米之间 B.在210~220 米之间 C.不到200 米 D.超过220 米 （2）正六边形 【例7】（2024 江苏）如图所示，ABCDEF 是一个边长为2 的正六边形，圆O 是△ACE 的内 切圆，则圆O 的面积是（ ）。 A.� B.2� C. 5� 4 D. 3� 2 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 61 （3）坐标构造 【例8】（2024 广东）甲、乙、丙三艘船在海上航行。某一时刻，甲观测到乙位于它的北偏 西30°方向，甲、乙相距6 千米；甲观测到丙位于它的正西方向，甲、丙相距6 千米，则乙 与丙之间的距离为（ ）千米。 A.3 B.4 C.5 D.6 【例9】（2024 山东）某巡逻艇在海域A 点发现正南方30 千米处的B 点有一艘可疑船只正 匀速向正西方行驶，巡逻艇以比该可疑船只快 1 3的速度沿某一方向直线追击，两船恰好在C 点相遇。问B、C 两点之间的距离约为多少千米？ A.26 B.28 C.30 D.34 （4）三角形同底或者同高 考法：多个面积 方法：底相同，面积之比等于高之比 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 62 【例10】（2023 联考）为推动产业园和产业集聚区加快转型，某地计划在三角形ABC 区域 内建设新能源产业园区（如下图所示），三角形DEF 是中央工厂区，已知BD：DE：EC=1： 2：3，F 为AE 的中点，则新能源产业园区总面积是中央工厂区面积的： A.7 倍 B.6 倍 C.5 倍 D.4 倍 （5）相似三角形 【例11】（2024 全国事业单位联考）一条东西向的河流宽50 米，如下图所示。甲划船从北 岸的A 点出发，直线航行130 米后到达南岸的B 点，然后向左转向90 度继续直线行驶，到 达河流北岸的C 点。问A、C 两点的距离在以下哪个范围内？（ ） A.不到150 米 B.150～160 米之间 C.160～170 米之间 D.超过170 米 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 63 3.最短路径 考查方式：求AB 两点到直线距离之和最短 解题原理：两点之间，线段最短 解题技巧：两点异侧，直接连线 两点同侧，到直线的最短，镜面对称后连线 【例12】（2024 江苏事业单位）有一个圆柱形的木桩，圆的直径为 6 �米，木桩的高为4 米（如 图）。现有一只蚂蚁从B 点沿着木桩表面爬到A 点，蚂蚁爬行的最短距离是（ ）。 A.10 米 B. 16 + 36 �2米 C.2 13米 D.5 米 【例13】（2024 国考）甲、乙两个联络站相距10 千米。一条道路与甲、乙联络站连线相平 行，且与两联络站连线的垂直距离为12 千米。现需紧邻该道路建一个工作站，问工作站距 离甲、乙联络站距离之和最小为多少千米？ A.20 B.22 C.24 D.26 4.几何最值 1、立体最值 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 64 （1）立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。（ ） （2）立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。（ ） 2、平面最值 （1）平面图形中，周长一定，越接近于圆，面积越大；（ ） （2）平面图形中，面积一定，越接近于圆，周长越小。（ ） 长方形最值： （1）四边形周长一定时，正方形面积最大。 （2）四边形面积一定时，正方形周长最小 【例14】（2024 联考）某公园绿化管理部门采购了100 片围栏，每片长1 米且不可弯折。现 拆分拟围成5 块周长相等且互不相邻的矩形花卉区域。若不考虑拼接间隙，那么这5 块区域 的最大与最小面积最多可相差多少平方米？ A.10 B.12 C.16 D.25 5.同比例放缩 若将一个图形尺度变为原来的N 倍，则 1、对应角度不变 2、周长变为原来的N 倍，增长了N-1 倍 3、面积变为原来的N2 倍，增长了N2-1 倍 4、体积变为原来的N3 倍，增长了N3-1 倍 【例15】（2024 湖北）某单面圆形交通禁停标志牌如图所示，标志牌直径为60cm，牌中各 处红色区域宽度均为5cm，某工厂承接30 个该种标志牌的喷绘业务，已知每个标志牌的蓝 色区域喷绘价格是112.5 元，红蓝区域喷绘单价相同（价格仅按面积计算），那么30 个标志 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 65 牌喷绘共需： A.3375 元 B.6000 元 C.6750 元 D.8437.5 元 【例16】（2024 联考）气象学中，24 小时内降落在某面积上的雨水深度叫做日降雨量（不 考虑渗漏、蒸发、流失等损耗，单位：mm），将日降雨量记为w，其等级划分如下：小雨（0.1≤� ＜10），中雨（10≤�＜25），大雨（25≤�＜50），暴雨（50≤�＜100）。某地某日用一个圆锥 形容器接了24 小时的雨水（如下图所示），则该地日降雨量等级是： A.暴雨 B.大雨 C.中雨 D.小雨 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 66 专项拔高练习六 【练习1】（2023 联考）如下图所示，某地计划修建一个长50 米，宽40 米的长方形观光园。 现在需要在观光园中修建几条鹅卵石小道供游客行走，其中一条是长为50 米，宽为2 米的 水平直线型小路，另外两条修成斜线型，并且要求这两条斜线型小路任何地方的水平方向宽 度都是1 米，问修完小路后观光园剩下部分的面积是多少平方米？ A.1862 B.1880 C.1950 D.1960 【练习2】（2023 江苏）一个A 型4G 基站的地面覆盖半径为1~3 千米，一个B 型5G 基站 的地面覆盖半径为100~200 米。按此计算，一个A 型4G 基站的地面覆盖面积为B 型5G 基 站的（ ） A.100~225 倍 B.100~900 倍 C.25~225 倍 D.25~900 倍 【练习3】（2023 广东）某工厂加工出一批正方体奶酪,抽检时质检员从奶酪中切下了一个厚 度为2 厘米的长方体（如图所示）。如果剩余奶酪的体积为144 立方厘米，则奶酪原本的边 长为（ ）厘米。 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 67 A.4 B.6 C.8 D.10 【练习4】（2023 国考）在一块正方形土地中，画一条经过某个顶点的规划线，将其分割为 三角形和梯形两块土地，且梯形土地的面积正好是三角形土地的2 倍。问三角形和梯形土地 的周长之比是多少？ A.1：2 B.5：7 C.（1+ 5）：（2+ 5） D.（5+ 13）：（7+ 13） 【练习5】（2023 江苏）如图所示，纸片ABC 的形状为直角三角形，AB=10 厘米，BC=8 厘 米。若将纸片沿AD 折叠直角边AC 恰好与斜边AB 重叠，则△ABD 的面积为（ ） A.15 平方厘米 B.16 平方厘米 C.18 平方厘米 D.21 平方厘米 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 68 【练习6】（2022 北京）一个圆形水库的半径为1 千米。一艘船从水库边的A 点出发，直线 行驶1 千米后到达水库边的B 点，又从B 点出发直线行驶2 千米后到达水库边的C 点。则 C 点与A 点的直线距离最短可能为多少千米？ A.不到1 千米 B.1—1.3 千米之间 C.1.3—1.6 千米之间 D.超过1.6 千米 【练习7】（2022 联考）兔子和乌龟举行一场跑步比赛，终点位于起点正北方500 米处。兔 子和乌龟同时出发，均保持匀速奔跑，且兔子的速度是乌龟的5 倍。兔子先向正东方跑了一 会后发现自己跑错了方向，马上直奔终点，速度不变，结果兔子和乌龟同时到达终点。那么 兔子发现跑错方向时已经跑了多少米？ A.600 B.1200 C.2400 D.3000 【练习8】（2020 国考）部队前哨站的雷达监测范围为100 千米。某日前哨站侦测到正东偏 北30°100 千米处，一架可疑无人机正匀速向正西方向飞行。前哨站通知正南方向150 千米 处的部队立即向正北方向发射无人机拦截，匀速飞行一段时间后，正好在某点与可疑无人机 相遇。问我方无人机速度是可疑无人机的多少倍？ A. 2 3 5 B. 4 3 3 C. 3 + 1 D.3 3 −1 【练习9】（2019 江苏）某民营企业新建一个四边形的厂区，按对角线将整个厂区分为四个 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 69 功能区，如图所示。已知生产、仓储和营销三个功能区的面积分别为26 亩、18 亩和13 亩， 若保留休闲区的12 亩天然小湖泊，则休闲区可利用的陆地面积是： A. 36 亩 B. 26 亩 C. 24 亩 D. 23 亩 【练习10】（2017 广东）如图所示，公园有一块四边形的草坪，由四块三角形的小草坪组成。 已知四边形草坪的面积为480 平方米，其中两个小三角形草坪的面积分别为70 平方米和90 平方米，则四块三角形小草坪中最大的一块面积为多少平方米？ A. 120 B. 150 C. 180 D. 210 【练习11】（2023 联考）某村拟建造一个容积为144 立方米，深度为4 米的长方体无盖蓄水 池。为节约成本，侧面积最小为多少平方米？ A.24 B.36 C.96 D.132 【练习12】（2019 浙江）A 点、B 点与墙的位置如右图所示，现从A 点出发以5 米/秒的速 度跑向墙，接触到墙后再跑到B 点，问最少要多少秒到达B 点？ 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 70 A. 30 B. 34 C. 38 D. 42 【练习13】（2019 四川下）如图，沙漏计时器由上下两个大小相同、相互连通且底面互相平 行的圆锥组成，下面的圆锥内装有细沙，计时开始时，将沙漏倒置，已知上面圆锥中细沙全 部流下恰好需要1 小时，则细沙高度下降一半所需的时间是： A. 30 分钟 B. 45 分钟 C. 47.5 分钟 D. 52.5 分钟 【练习14】（2023 联考）某餐馆承诺25 分钟内上齐一桌菜，若超时则未上的菜品免单。每 张餐桌上都有一个装满后正好25 分钟漏完的圆锥形沙漏（如下图所示）。某位顾客在等待的 过程中发现沙漏内上方沙子的高度为原先的一半，此时还差一道菜未上，则再过多久还未上 菜，这位顾客将享受免单服务？ 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 71 A.不到3 分钟 B.3-4 分钟之间 C.4-5 分钟之间 D.超过6 分钟 【练习15】（2023 联考）厦门鼓浪屿海滨覆鼎岩上屹立着一尊郑成功雕像。为了测量石像的 高度，某测量小组选取的测量点A 与覆鼎岩底部D 在同一水平线上，如下图所示。已知覆 鼎岩高CD 为24 米，在A 处测得石像头顶部B 的仰角为45°，石像底部C 的仰角为31°（参 考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60），则石像BC 的高度约为： A.20 米 B.18 米 C.16 米 D.14 米 答案：1-5：DBDCD；6-10：BADDB；11-16：ADDCC C 练习六：1-5：ADBDA；6-10：DBBCC；11-15：CADBC 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 72 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 73 第七章容斥原理问题 1.两集合 A + B −A ∩B = 总−都不 【例1】（2022 广东）某单位计划从全部80 名员工中挑选专项工作组成员，要求该组成员须 同时有基层经历和计算机等级证书。已知，单位内有40 人有基层经历，有46 人有计算机等 级证书，既没有基层经历又未获得计算机等级证书的有10 人。那么能够进入工作组的员工 有（ ）人。 A.16 B.40 C.46 D.54 【例2】（2022 联考）某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格的人数占全班的14%， 物理及格的人数比化学及格的人数多10 人，且化学及格的人数占全班的60%。已知全班人 数不超过70 人，问物理及格的人中化学也及格的有多少人？ A. 25 B. 26 C. 27 D. 28 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 74 【例3】（2023 浙江）某班级对70 多名学生进行数学和英语科目摸底测验，有12%的学生 两个科目均不及格。已知有 2 3的学生英语及格，数学及格的学生比英语多10 人，那两科均及 格的学生有多少人？ A.31 B.37 C.41 D.44 2.三集合 ①标准型：（动手画图） �+ �+ �−�∩�−�∩�−�∩�+ �∩�∩�= 总－都不 ②非标准型：（动手画图） �+ �+ �−满足两项－满足三项×2＝总－都不 【例4】（2020 新疆）某单位共有240 名员工，其中订阅A 期刊的有125 人，订阅B 期刊的 有126 人，订阅C 期刊的有135 人，订阅A、B 期刊的有57 人，订阅A、C 期刊的有73 人，订阅3 种期刊的有31 人，此外，还有17 人没有订阅这三种期刊中的任何一种。问订阅 B、C 期刊的有多少人？ A.57 B.64 C.69 D.78 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 75 【例5】（2019 河北）某班参加学科竞赛人数40 人，其中参加数学竞赛的有22 人，参加物 理竞赛的有27 人，参加化学竞赛的有25 人，只参加两科竞赛的有24 人，参加三科竞赛的 有多少人？ A.2 B.3 C.5 D.7 【例6】（2022 北京）单位组织职工前往甲、乙、丙三个爱国主义教育基地学习，要求每名 职工至少去1 个基地。已知有48 人去了甲基地，有42 人未去乙基地，去丙基地的人中，去 1 个、2 个、3 个基地的人数比为3：2：1。如仅去2 个基地和去3 个基地的职工分别有x 人和y 人，则x 和y 的关系为： A.x=4y+6 B.x=4y-6 C.x=3y+6 D.x=3y-6 3.画图法 特征：只参加A；参加A 但不参加B ；或者缺少代公式必要的数据 画图法：三步走 第一步，画圈圈 第二步，标数字（从里到外，注意去重） 第三步，列算式 【例7】（2024 江苏）某基层工会共有180 名会员，举行甲、乙两项工会活动，60%的会员 参加甲活动，50%的会员参加乙活动，若只参加甲活动的会员有80 人，则只参加乙活动的 会员有( ) A.10 人 B.28 人 C.62 人 D.90 人 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 76 【例8】（2019 事业单位、2014 国考）工厂组织职工参加周末公益活动，有80%的职工报名 参加，报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2：1，两天的活动都报名 参加的为只报名参加周日活动的人数的50%，问未报名参加活动的人数是只报名参加周六 活动的人数的： A. 20% B. 30% C. 40% D. 50% 4.容斥原理结合不定方程（最值） 问法：求最值 方法：此消彼长 【例9】（2021 四川）为实现产业振兴，农科院对某县的所有自然村进行了调研，结果发现， 适合种植A 作物的自然村占 4 13。适合种植B 作物的自然村有25 个，同时适合种植两种作物 的自然村占总数的 1 14，则在该县，不适合种植两种作物的自然村至少有多少个? A.57 B.67 C.114 D.134 【例10】（2023 北京）某公司有80 人报名参加会计、法律和技术三项培训中的一项或多项， 三项培训的报名人数比为6：5：4。已知同时参加会计和法律培训的人数，和同时参加法律 和技术培训的人数，分别是同时参加会计和技术培训的人数的70%和80%，且无人同时参 加3 项培训，则只参加技术培训的有多少人？ A.4 B.6 C.8 D.10 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 77 5.容斥原理和周期结合 方法： （1）求A、B、�∩� （2）容斥原理公式 【例11】（2018 山东选调）某高校举办春季运动会，共有1000 名学生报名参加竞赛项目。 为从运动员中选拔人员参加开幕式和闭幕式队列，现把所有运动员从1 到1000 进行编号， 选出编号为3的倍数的运动员参加开幕式队列，而编号为7的倍数的运动员参加闭幕式队列。 问：既不参加开幕式队列也不参加闭幕式队列的运动员有多少人？ A.428 B.475 C.525 D.572 【例12】（2019 辽宁下）某大型相亲类综艺节目办线下联谊活动，在签到时每人可以抽取一 张礼物卡，凡是抽中有编号的礼物卡均有玫瑰花赠送，抽到“谢谢参与”的则送一盒面巾纸。 带有编号的礼物卡共100 张，编号1—100，按礼物卡标签号发放奖品的规则如下： （1）标签号为2 的倍数，领2 枝玫瑰。 （2）标签号为3 的倍数，领3 枝玫瑰。 （3）标签号既是2 的倍数，又是3 的倍数可重复领奖。 （4）其他标签号均领1 枝玫瑰。 那么本次联谊活动应准备玫瑰花（ ）枝。 A. 215 B. 232 C. 312 D. 416 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 78 专项拔高练习七 【练习1】（2022 联考）某社区积极为某受灾地区捐款捐物，其中30%的人员捐赠了物品， 70%的人员捐了款，总计有80%的人员进行了捐赠。问该社区既捐赠物品又捐款的人员占该 社区人员的比例为： A.15% B.20% C.21% D.25% 【练习2】（2019 江苏）市电视台向150 位观众调查前一天晚上甲、乙两个频道的收视情况， 其中108 人看过甲频道，36 人看过乙频道，23 人既看过甲频道又看过乙频道，则受调查观 众中在前一天晚上两个频道均未看过的人数是： A. 17 B. 22 C. 29 D. 38 【练习3】（2020 山东选调）某一个专业共有100 名学生，在第一次考试中有52 人得90 分 以上（含90 分），在第二次考试中有42 人得90 分以上（含90 分）。已知这两次考试都没得 90 分以上（含90 分）的有34 人，那么这两次考试都得90 分以上（含90 分）的有多少人？ （ ） A.14 B.28 C.8 D.4 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 79 【练习4】（2020 联考）学校有300 个学生选择参加地理兴趣小组、生物兴趣小组或者两个 小组同时参加，如果80%学生参加地理兴趣小组，50%学生参加生物兴趣小组。问同时参加 地理和生物兴趣小组的学生人数是多少？ A.240 B.150 C.90 D.60 【练习5】（2023 广东）某单位共有员工200 人，其中订阅杂志的人数比只订阅报纸的人数 多88%。则报纸和杂志均未订阅的员工有（ ）人。 A.36 B.56 C.76 D.96 【练习6】（2018 联考）某试验室通过测评Ⅰ和Ⅱ来核定产品的等级：两项测评都不合格的为 次品，仅一项测评合格的为中品，两项测评都合格的为优品。某批产品只有测评Ⅰ合格的产 品数是优品数的2 倍，测评Ⅰ合格和测评Ⅱ合格的产品数之比为6∶5。若该批产品次品率为10%， 则该批产品的优品率为： A. 10% B. 15% C. 20% D. 25% 【练习7】（2020 深圳）某科学家做了一项实验，通过向若干只狒狒提供不限量的香蕉和香 肠以研究其食性。结果表明，90%的狒狒有进食，其中吃香蕉的狒狒是吃香肠的狒狒数量的 3 倍，而两种食物都吃的狒狒是只吃香肠的狒狒数量的 2 3，则未进食的狒狒是只吃香蕉的狒 狒数量的（ ）。 A. 1 5 B. 3 10 C. 2 13 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 80 D. 4 15 【练习8】（2018 联考）联欢会上，有24 人吃冰激凌、30 人吃蛋糕、38 人吃水果，其中既 吃冰激凌又吃蛋糕的有12 人，既吃冰激凌又吃水果的有16 人，既吃蛋糕又吃水果的有18 人，三样都吃的则有6 人。假设所有人都吃了东西，那么只吃一样东西的人数是多少？ A.12 B.18 C.24 D.32 【练习9】（2019 江西）设矩形ABCD，长与宽分别为6 米和4 米，分别以AB 的中点E 和顶点A 为圆心，3 米和4 米为半径画圆弧，如图所示，那么两阴影部分的面积之差是多少 平方米？ A. 1.87 B. 2.69 C. 3.49 D. 4.42 【练习10】（2018 重庆选调）一社区居委会为丰富居民的业余生活，专门设立了多个俱乐部 邀请居民自愿参加。统计结果如下：22 人参加了棋类俱乐部、27 人参加了音乐俱乐部、50 人参加了戏剧俱乐部、10 人参加了棋类和音乐俱乐部、14 人参加了音乐和戏剧俱乐部、10 人参加了戏剧和棋类俱乐部、8 人参加了这三个俱乐部。那么参与活动的居民人数是（ ）。 A.57 B.68 C.73 D.84 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 81 【练习11】（2018 江西）某高校做有关碎片化学习的问卷调查，问卷回收率为90%，在调查 对象中有180 人会利用网络课程进行学习，200 人利用书本进行学习，100 人利用移动设备 进行碎片化学习，同时使用三种方式学习的有50 人，同时使用两种方式学习的有20 人，不 存在三种方式学习都不用的人，那么，这次共发放了多少份问卷？ A. 370 B. 380 C. 390 D. 400 【练习12】（2019 河北选调）某单位26 人需要安排在ABC 三种不同工作岗位上，发现不 能胜任A 岗位的有3 人，不能胜任B 岗位的有2 人，不能胜任C 岗位的有1 人，其中，不 能胜任两个及以上岗位的2 人，三个岗位都不能胜任的1 人，该单位多少人能够胜任所有岗 位工作？ A.21 人 B.22 人 C.23 人 D.24 人 【练习13】（2018 陕西）有关部门对120 种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达 标的有68 种，防腐剂达标的有77 种，漂白剂达标的有59 种，抗氧化剂和防腐剂都达标的 有54 种，防腐剂和漂白剂都达标的有43 种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35 种，三种食 品添加剂都达标的有30 种，那么三种食品添加剂都不达标的有多少种？ A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【练习14】 （2019 江苏）某公司年终联欢，准备了52 张编号分别为1 至52 的奖券用于抽奖。 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 82 如果编号是2、3 的倍数的奖券可分别兑换2 份、3 份奖品，编号同时是2 和3 的倍数的奖 券只可兑换3 份奖品，其他编号的奖券只可兑换1 份奖品，则所有奖券可兑换的奖品总数是： A. 99 份 B. 100 份 C. 102 份 D. 104 份 答案：1-5：ACDBC；6-10：ACCCD；11-12：DB 练习七：1-5：BCBCB；6-10：CCBBC；11-14：DCCD 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 83 第八章最值问题 1.最不利构造 特征：至少……保证、无论如何至少 方法：最坏+1 【引例1】袋子中装有5 个红球，8 个白球，10 个黄球。问： ①至少取出（ ）个，才能保证有红球？ ②至少取出（ ）个，才能保证至少有3 个同色的球？ ③至少取出（ ）个，才能保证至少有8 个同色的球？ 注意：够了少一个，不够全给。 要保证同种情况至少n 个，应每种情况各取（n－1）个（如果有不够n－1 的有多少取多少）， 最后再加1。 （1）普通最不利构造 【例1】（2022 联考）有200 人参加招聘会，其中法学70 人，经济学60 人，工业设计50 人，统计学20 人，至少有（）人找到工作才能保证一定有50 人的专业相同。 A.167 B.168 C.170 D.175 【例2】（2023 河北事业单位）一副扑克牌共54 张，即包含两张王牌，四种花色各13 张。 现在从中任意抽牌，至少要抽多少张才能保证有5 张牌是同一花色？（ ） A.46 B.44 C.19 D.18 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 84 （2）最不利构造和排列组合结合（枚举或者简单排列组合） 【例3】（2024 联考）某部门工会为丰富职工文化生活增进职工身心健康，组织开展了拔河、 羽毛球、乒乓球、台球四项比赛活动，每名职工参加一项或者两项比赛。若要保证至少有5 名职工参加的比赛项目完全相同，则该部门参加比赛的职工至少有： A.40 名 B.41 名 C.50 名 D.51 名 【例4】（2024 深圳）某早餐店推出“10 元2 件”套餐，顾客花费10 元即可在白粥、豆浆、 油条、蛋饼、叉烧包、云吞面6 个品类中任选2 件，既可以选相同的，也可以选不同的。则 至少售出（ ）份该套餐时，一定有2 份套餐的搭配完全一致。 A.15 B.16 C.21 D.22 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 85 2.构造数列 （1）普通构造数列 特征：某个主体……最……（1、最……最……；2、排名第几……最……） 方法： 1、构造一个名次 2、求谁设谁 3、反向推其它（立正） 4、加和求解 坑点： 1、主体个数是否相同 2、答案是非整数时：反向取整 【例5】（2023 湖北事业单位）8 名教师参加专业技能测试，满分100 分，已知8 人都及格 （60 分为及格线），且成绩总和为530 分，若8 人的成绩均为整数且都不相同，那么获得最 高分的教师最多为（ ）分。 A.96 B.92 C.89 D.85 【例6】（2022 上海）某单位进行了一次绩效考评打分，满分为100 分。有5 位员工的平均 分为90 分，而且他们的分数各不相同，其中分数最低的员工得分为77 分，那么排第二名的 员工至少得（ ）分。（员工分数取整数） A.90 B.92 C.94 D.96 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 86 【例7】（2023 联考）某小区物业准备了230 盒口罩免费派发给10 栋楼，要求任意两栋楼派 发的口罩数量都不相同，但最多相差不超过1 倍。假设口罩不拆盒发放，那么派发口罩数量 最少的那栋楼最少可派发口罩： A.18 盒 B.15 盒 C.14 盒 D.12 盒 【例8】（2024 联考）部队射击比赛中，5 名参赛的战士共击中了88 次目标。已知任意2 人 击中的目标数量均互不相同，问射击成绩排前两名的战士至少击中了多少次目标？ A.37 B.39 C.58 D.82 （2）总量未知的，构造数列 总量为范围，根据问法，确定总量的值 【例9】（2023 浙江事业单位）总公司选派110 多名员工到5 家分公司进行基层锻炼，每个 分公司分到的人数均不同。已知选派人数第二多的分公司选派人数比第四多的多10 人，选 派人数最多的分公司的选派人数占总选派人数的 1 3，但未超过最少人数的3 倍。那么选派人 数最少的分公司的选派人数至多可能是多少人？（ ） A.13 B.14 C.15 D.16 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 87 3.多集合反向构造 1.题型特征：都满足的最少/至少 2. 方法1：反向→加和→作差 方法2：（A1+A2+A3+……+An）-（n-1）×总量 【引例】有100 人，行测学习中：学习言语90 人，学习判断88 人，学习资料92 人，学习常 识80 人，学习数量60 人，问“都学”的至少有多少人？ （1）反向 （2）加和 （3）作差 【例10】（2022 江苏）某机构对全运会收视情况进行调查，在1000 名受访者中，观看过乒 乓球比赛的占87%，观看过跳水比赛的占75%，观看过田径比赛的占69%。这1000 名受访 者中，乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有： A.310 人 B.440 人 C.620 人 D.690 人 【例11】（2021 广东选调）某单位在网上办公系统传阅了15 份文件，甲阅读了9 份，乙阅 读了12 份，丙阅读了10 份，则甲、乙、丙三人共同阅读过的文件至少有（ ）份。 A.0 B.1 C.2 D.3 【例12】（2024 广东事业单位）某知识竞赛共有60 人参加，其中答对第一题的有45 人，答 对第二题的有36 人，答对第三题的有54 人，答对第四题的有48 人，答对第五题的有52 人。如果有4 人一道题都没有答对，则至少有（ ）人五道题都答对了。 A.7 B.9 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 88 C.11 D.13 专项拔高练习八 【练习1】（2023 山东）一个袋子里装了50 个苹果，5 个香蕉，30 个橘子和50 个梨，若每 次从袋子里随机取出1 个水果，问至少需要取多少次能肯定拿出10 个相同种类的水果？ A.10 B.35 C.33 D.32 【练习2】（2023 浙江）某部门举行年会抽奖活动。抽奖箱里有80 个抽奖券，共20 个不同 的数字，每个数字均出现4 次，且分别对应一份礼品，不同的数字对应的礼品不同。每人当 天限抽1 次。那么最少多少人当天参加抽奖活动，才能保证至少有3 人领取的礼品相同? A.41 B.42 C.61 D.62 【练习3】（2020 浙江选调）箱子内有标号分别为1、2、3······25 的25 个乒乓球，问至少需 要取出多少个乒乓球才能保证有两个的标号之差为6 的倍数？ A.6 B.7 C.9 D.10 【练习4】（2020 联考）某会展中心布置会场，从花卉市场购买郁金香、月季花、牡丹花三 种花卉各20 盆，每盆均用纸箱打包好装车运送至会展中心，再由工人搬运至布展区。问至 少要搬出多少盆花卉才能保证搬出的鲜花中一定有郁金香？ 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 89 A.20 盆 B.21 盆 C.40 盆 D.41 盆 【练习5】（2019 重庆法检）某地区招聘卫生人才，共接到600 份不同求职者的简历，其中 临床、口腔、公共卫生和护理专业分别有200 人、160 人、140 人和100 人。问至少有多少 人被录用，才能保证一定有140 名被录用的人专业相同？ A.141 B.240 C.379 D.518 【练习6】（2020 联考）从某物流园区开出6 辆货车，这6 辆货车的平均装货量为62 吨。已 知每辆货车载重量各不相同且均为整数，最重的装载了71 吨，最轻的装载了54 吨。问这6 辆货车中装货第三重的卡车最少要装多少吨？ A.59 B.60 C.61 D.62 【练习7】（2022 联考）某单位有甲、乙、丙三个存放着电脑的库房，已知甲库房比乙库房 多4 台电脑，乙库房比丙库房多2 台，丙库房和甲库房共22 台。现在要将三个库房的所有 电脑发放给单位不同部门，要求每个部门获得的电脑数量均不相同，那么最多可以发放给几 个部门？ A.6 B.7 C.8 D.9 【练习8】（2018 四川）企业今年从全国6 所知名大学招聘了500 名应届生，从其中任意2 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 90 所大学招聘的应届生数量均不相同。其中从A 大学招聘的应届生数量最少且正好为B 大学 的一半。从B 大学招聘的应届生数量为6 所大学中最多的。则该企业今年从A 大学至少招 聘了多少名应届生？ A.48 B.47 C.46 D.45 【练习9】（2023 联考）为推行垃圾分类，某小区物业准备了230 盒垃圾袋免费派发给10 栋楼，要求任意两栋楼派发的垃圾袋数量都不相同，但最多相差不超过1 倍。假设垃圾袋不 拆盒发放，那么派发垃圾袋数量最少的那栋楼最少可派发垃圾袋∶ A.18 盒 B.15 盒 C.14 盒 D.12 盒 【练习10】（2023 浙江事业单位）商场某销售人员每月销售电视的台数都不相同，2022 年 下半年他共销售电视150 台，已知2022 年他的销售量逐月递增，12 月的销售量是7 月的2 倍，那么他8 月的销售量最少可能是多少台？（ ） A.16 B.17 C.18 D.19 【练习11】（2022 安徽事业单位）某单位6 名同志年终考核的平均成绩是88.5 分，成绩为 互不相同的整数，最高分为94 分，最低分74 分，那么按分数从高到低居第三位的同志的分 数至少是多少？（ ） A.86 B.90 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 91 C.91 D.92 【练习12】（2018 国考）某新能源汽车企业计划在A、B、C、D 四个城市建设72 个充电站， 其中在B 市建设的充电站数量占总数的 1 3，在C 市建设的充电站数量比A 市多6 个，在D 市建设的充电站数量少于其他任一城市。问至少要在C 市建设多少个充电站？ A. 20 B. 18 C. 22 D. 21 【练习13】（2019 江西）某高校计划招聘81 名博士，拟分配到13 个不同的院系，假定院系 A 分得的博士人数比其他院系都多，那么院系A 分得的博士人数至少有多少名？ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【练习14】（2017 福建选调）一个班级一共有50 人，其中参加A 项目的有45 人，参加B 项目的有35 人，参加C 项目的有40 人，请问这个班级中至少有多少人三个项目都参加？ A.10 B.20 C.30 D.35 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 92 【练习15】（2018 广东）某软件公司对旗下甲、乙、丙、丁四款手机软件进行使用情况调查， 在接受调查的1000 人中，有68%的人使用过甲软件，有87%的人使用过乙软件，有75%的 人使用过丙软件，有82%的人使用过丁软件。那么，在这1000 人中，使用过全部四款手机 软件的至少有（ ）人。 A.120 B.250 C.380 D.430 答案：1-5：BCBDC；6-10：BCBDA；11-12：BC 练习八：1-5：CABDD；6-10：BBBCB；11-15：CDCBA 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 93 第九章年龄问题 年龄问题知识点： 1、每过N 年都长N 岁 2、年龄差不变 3、年龄倍数越来越小 注： （1）年龄为周岁，整数 （2）年龄差不变，问年龄差，结合选项倍数特性解题 （3）宝宝出生当年（按0 岁计算）母亲25 岁 （4）考出生不考死亡，年龄为负数代表为出生 解题方法：列表法 （1）代入选项，代入年龄，条件清晰、信息充分 （2）不好代入就设未知数列方程 （3）年龄问题属于生活题，常识思维，做猜结合 1.年龄特性解题和方程法结题 【例1】（2024 全国事业单位联考）2024 年，某家庭大女儿的年龄是小女儿年龄的2 倍。 2028 年，小女儿的年龄是2024 年时的2 倍。2029 年，两个女儿的年龄之和是母亲年龄的一 半。问母亲比大女儿大几岁？（ ） A.29 B.30 C.31 D.32 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 94 【例2】（2021 重庆选调）不到30 岁的哥哥今年的年龄正好是弟弟年龄的5 倍，若干年后哥 哥的年龄就是弟弟的4 倍，又过了若干年，哥哥的年龄将是弟弟的3 倍，则今年两兄弟的年 龄差是（ ）岁。 A.12 B.13 C.14 D.15 【例3】（2023 联考）美术培训班有3 名学员，他们的年龄满足以下条件：他们的年龄都是 正整数；2 号学员的年龄是1 号学员年龄的一半；3 号学员比2 号学员大7 岁；3 名学员的 年龄之和是不超过70 的素数，且该素数的各位数字之和为13，那么这3 位学员的年龄分别 是多少岁？ A.12；6；13 B.20；10；17 C.24；12；19 D.30；15；22 【例4】（2024 浙江）小张和小王的年龄之和为45 岁。5 年之后小李的年龄比小张的3 倍 少16 岁。已知小张的年龄比小王小，那么再过5 年，3 人的平均年龄最大可能为多少岁？ A.45 B.48 C.50 D.54 【例5】（2024 国考）甲、乙、丙三人的年龄之比为3：4：5。8 年之后，甲、乙的年龄之和 是丙的1.5 倍，且这一年甲、乙、丙、丁四人的平均年龄为43 岁。问再过15 年，甲、乙、 丙、丁中有几人将超过60 岁? A.4 B.3 C.2 D.1 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 95 【例6】（2021 联考）2020 年老张的年龄是小王年龄的4 倍，2021 年老李的年龄是小王年龄 的3 倍，已知老张比老李大12 岁，问哪一年三人的年龄之和第一次超过140 岁？ A.2020 B.2023 C.2026 D.2029 【例7】（2024 国考）2023 年王的年龄比张的年龄的2 倍小2 岁，2025 年张的年龄是李的年 龄的1.5 倍，2030 年张和李的年龄之和与王的年龄相同。问3 人的年龄之和在哪一年第一次 超过120 岁？ A.2037 年 B.2036 年 C.2035 年 D.2034 年 2.年龄和不定方程结合 年龄和日期均为整数，利用不定方程特性求解。 【例8】（2018 福建选调）有一个00 后的孩子，其今年年龄的20 倍加上18，然后乘以5， 再加365，减去其出生的月份后得到的数字是1646，那么，这个孩子的出生日期是多少？ A.2006 年9 月 B.2007 年8 月 C.2008 年7 月 D.2009 年6 月 【例9】（2023 湖北选调）己知大明小丽俩夫妻有一个儿子，大明和儿子的年龄之积加上小 丽的年龄等于85，小丽和儿子年龄之积加上大明的年龄等于86。问大明和小丽年龄之积加 上儿子的年龄为多少？ A.704 B.814 C.870 D.872 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 96 3.年龄和年龄的平方 1、世纪和年代 198? 20 世纪八十年代 198? 20 世纪九十年代 202? 21 世纪 2、识别：平方数等于那一年的年份 例：有一个20 世纪八九十年代出生的人，在21 世纪，恰好有一年，他年龄的平方数等 于那一年的年份 3、方法： （1）1892+44=1936（44 的平方） （2）1980+45=2025（45 的平方） （3）2070+46=2116（44 的平方） 【例10】（2022 联考）有一个20 世纪八九十年代出生的人，在21 世纪，恰好有一年，他年 龄的平方数等于那一年的年份。这个人是哪年出生的？ A.1995 B.1990 C.1985 D.1980 4.属相和本命年 12 生肖： 子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪。 注意：本命年以12 为周期 【例11】（2018 吉林）某业务处长和科员两人属相相同，科员在第一个本命年时处长是第三 个本命年。科员今年20 岁，当处长年龄是科员年龄的2 倍时，需要经过的时间是： A. 7 年 B. 4 年 C. 5 年 D. 6 年 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 97 【例12】（2017 陕西）今年是鸡年，公历年数为2017。小王发现，在未来十年内的某一年， 他年龄的平方数正好是那年的公历年数，则小王的属相为（） A.牛 B.虎 C.兔 D.龙 E.蛇 F.马 G.羊 H.猴 专项拔高练习九 【练习1】（2019 江西法检）王老师一家有5 人，父亲、母亲、妻子、女儿和他本人，今年 母亲、王老师和女儿年龄之和为135 岁，而且他们三人的年龄正好构成等差数列，那么今年 王老师多少岁？ A.42 B.45 C.48 D.50 【练习2】（2017 辽宁）母亲现在的年龄个位数跟十位数对调再减10 岁就是儿子的年龄，再 过3 年母亲的年龄就是儿子年龄的2 倍，则母亲现在的年龄是（ ）。 A.53 B.52 C.43 D.42 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 98 【练习3】（2023 浙江事业单位）A、B 两个小组分别有4 人和6 人，调换前两组平均年龄 相同。在A 组的甲调入B 组、B 组的乙调入A 组后，A 组平均年龄比B 组大5 岁。那么甲 的年龄比乙（ ）。 A.大24 岁 B.大12 岁 C.小12 岁 D.小24 岁 【练习4】（2018 四川）甲和丙的年龄和是乙的2 倍，今年甲的年龄是丙的3 倍，9 年后甲 的年龄是丙的2.4 倍，则多少年后丙的年龄是乙的 4 7？ A.7 B.9 C.12 D.14 【练习5】（2018 浙江）已知今年小明父母的年龄之和为76 岁，小明和他弟弟的年龄之和为 18 岁。三年后，母亲的年龄是小明的三倍，父亲的年龄是小明弟弟的四倍。问小明今年几 岁？ A.11 B.12 C.13 D.14 【练习6】（2019 北京）2018 年父亲年龄是女儿年龄的6 倍，是母亲年龄的1.2 倍。已知女 儿出生当年（按0 岁计算）母亲24 岁，则哪一年父母年龄之和是女儿的4 倍？ A.2036 B.2039 C.2042 D.2045 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 99 【练习7】（2019 深圳）某家庭有爸爸、妈妈、女儿3 人，今年每2 人的平均年龄加上余下 1 人的年龄之和，分别为39、52、53，则3 人中最大年龄与最小年龄之差为（）。 A.22 B.24 C.26 D.28 【练习8】（2023 联考）一家三口年龄各不相同，今年爸爸与妈妈年龄之和是孩子年龄的8 倍，而10 年后，爸爸与妈妈年龄之和为孩子年龄的5 倍。今年爸爸、妈妈的年龄在各种可 能组合中乘积最大，问今年妈妈的年龄可能是多少岁？ A.39 B.40 C.50 D.51 【练习9】（2012 浙江）有一个上世纪80 年代出生的人，如果他能活到80 岁，那么有一年 他的年龄的平方数正好等于那一年的年份。问此人生于哪一年： A.1980 年 B.1983 年 C.1986 年 D.1989 年 【练习10】（2017 江西）有一个20 世纪80 年代出生的人，如果他能活到80 岁，那么有一 年他的年龄的平方数正好等于那一年的年份。此人生于： A.1985 年 B.1984 年 C.1983 年 D.1980 年 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 100 答案：1-5：CADAC；6-10：DDABD；11-12：BH 练习九：1-5：BACAA；6-10：BDAAD 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 101 第十章溶液问题 1.溶液公式 溶液=溶质+溶剂 浓度= 溶质 溶液 溶质=溶液×浓度 线段法： 1、部分写两边，整体写中间。 2、距离和量成反比。 技巧： （1）等量溶液混合，浓度居中（两浓度的平均值） （2）等浓度的溶液混合，浓度不变。 （1）两者混合 【例1】（2024 广东事业单位）杯中有280ml 的水，加入浓度为60%的酒精溶液后，杯中 溶液的酒精浓度为18%，则加入的酒精溶液为（ ）ml。 A.90 B.120 C.150 D.180 【例2】（2023 上海事业单位）在1000 克盐水中。加入80 克盐，浓度比原来提高了约6.67%， 则原来盐水的浓度（ ）。 A.3.33% B.10% C.16.67% D.20% 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 102 【例3】（2020 广东）现有浓度为4%的食盐水250 克，若向该食盐水添加10 克食盐，再 蒸发掉160 克水，则新获得的食盐水的浓度为： A. 10% B. 15% C. 20% D. 25% 【例4】（2018 联考）现有一种浓度为15%的盐水30 千克，如果用50 千克浓度更高的盐 水和它混合，混合后的盐水浓度将大于20%，而小于35%。据此可知，后加入的盐水的浓 度（假设浓度为x）范围是： A. 23%＜x＜47% B. 15%＜x＜35% C. 15%＜x＜23% D. 23%＜x＜50% 【例5】（2020 浙江选调）实验室内有浓度分别为10%和25%的盐酸各500 毫升，从两种 溶液中分别倒出一部分配成浓度为15%的盐酸600 毫升。如果将剩余的盐酸混合，则该溶 液的浓度为： A.16.5% B.18.6% C.20% D.21.25% 【例6】（2020 上海）有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200 毫升清水，乙瓶里装了200 毫升 纯酒精。第一次把20 毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20 毫升溶液倒回乙瓶， 此时甲瓶里含有纯酒精的量（ ）乙瓶里含水的量。 A.大于 B.小于 C.等于 D.不能确定 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 103 （2）多者混合 【例7】（2023 江苏）浓度分别为68%、72%、78%的三种酒精溶液的总质量为240 克。若 将它们全部混合，则可得浓度为74%的酒精溶液；若只将浓度为72%和78%的酒精溶液混 合，则得浓度为76%的酒精溶液。这三种酒精溶液中，浓度为72%的酒精溶液质量为（ ） A.30 克 B.40 克 C.48 克 D.60 克 【例8】（2023 成都事业单位）A、B、C 三个试剂瓶中分别装有浓度为20%、40%和60% 的酒精溶液各100 克，现分别从A、B、C 三个试剂瓶中取60 克、40 克和20 克酒精溶液混 合，在混合后的酒精溶液中加入30 克水。则该混合后的酒精溶液最终浓度为（ ）。 A.24% B.26.7% C.33.3% D.40% 2.等量变化：蒸发稀释类 识别：溶质不变 （1）溶液……n%，加一定量的水，浓度变为m%，再加入等量的水， （2）溶液……n%，蒸发一定量的水，浓度变为m%，再蒸发等量的水， 方法： （1）列表（溶质=溶液×浓度） （2）赋值溶质（浓度的公倍数即可） （3）求加入、蒸发水的量 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 104 （1）稀释 【例9】（2022 黑龙江公检法）一杯浓度为50%的糖水，加入一定量的水后浓度变为40%， 再加入与上一次等量的水后，糖水变为60 克，问糖水中的糖有多少克？ A.18 B.20 C.24 D.30 【例10】（2023 福建事业单位）有一杯盐水，第一次往杯内加入一些水后浓度变为12%， 第二次再加入同样多的水后浓度变为8%，第三次再加入同样多的水后浓度变为（ ）。 A.7% B.6% C.5% D.4% （2）蒸发 【例11】（2022 湖北选调）将一满容器浓度为24%的溶液放置太阳下暴晒一段时间，经过 一段时间蒸发水分后溶液浓度变为36%且无沉淀。然后再用浓度为12%的溶液将容器加满。 请问容器内溶液浓度变为多少？ A.24% B.28% C.30% D.32% 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 105 【例12】（2023全国事业单位联考）某模拟海洋养殖场有一批海鱼，其池塘具有一定的 盐度，且不大于该品种鱼的最适盐度3.5%。已知每天太阳蒸发掉相同的水量，若不采取 任何措施则在第三天结束时，池塘盐度将首次达到该品种鱼可承受的最大盐度限值5%。 为了维持初始盐度不变，每天补充等体积的淡水，问每天可能补充的水量体积最少是原 溶液体积的（ ）。 A. 5% B. 10% C. 15% D. 20% 3.反复操作 识别： 溶液浓度为n%，倒出比例a，水加满，再倒出比例b，水加满，再倒出比例c，水加满。 最后浓度为： n%×（1-a）×（1-b）× （1-c） 【例13】（2024 联考）现有一容器，装有100 克浓度为75%的盐水，从中倒出40 克盐水 后，再加入40 克纯净水，如此反复三次。问此时盐水的浓度是： A.16.20% B.9% C.1.62% D.0.90% 【例14】（2018 江西）从一瓶浓度为52%的酒精溶液中倒出 1 3，加满纯净水，再倒出 1 3，又 加满纯净水，此时酒精溶液的浓度是多少？ A. 5.8% B. 23.1% C. 17.3% D. 31.5% 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 106 【例15】（2024 四川）现有浓度为70%的盐水100 克。从中倒出40 克，再加入40 克浓度 为20%的盐水，如此操作共5 次后，问盐水的浓度在以下哪个范围内？ A.低于23% B.在23%到25%之间 C.在25%到27%之间 D.高于27% 专项拔高练习十 【练习1】（2021 联考）现有一杯浓度为20%的糖水200 克，加入6 克糖，再加入24 克水 后，此时的糖水与原来相比： A.不如原来甜 B.比原来甜 C.一样甜 D.无法确定 【练习2】（2020 新疆）甲烧杯装有浓度为6%的酒精200 克，乙烧杯装有浓度为10.5%的 酒精100 克。现向两个烧杯各加入x 克水后，两个烧杯中酒精浓度相同。问x 的值为： A. 350 B. 400 C. 550 D. 600 【练习3】（2022 江苏）某种杀虫剂每桶5 公斤，浓度为40%，使用时需将浓度稀释到5%， 每亩地喷洒60 公斤。若某农户家中有4 亩地，则至少需要该杀虫剂： A. 3 桶 B. 4 桶 C. 5 桶 D. 6 桶 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 107 【练习4】（2023 深圳事业单位）李某有两片菜田。一号菜田里的菜刚种不久，所需的肥料 浓度较低，用含有效成分50%的1 升肥料原液加4 升水调配而得。一号菜田施完肥后。剩 下的肥料再向入0.5 升肥料原液，就可以得到二号菜田所需的含有效成分20%的肥料。那么 一号菜田施完肥后剩下肥料（ ）升。 A.0.5 B.1.0 C.1.5 D.2.0 【练习5】（2018 吉林）王老师将天然蜂蜜和矿泉水混合成蜂蜜水，现有一瓶浓度为10% 的蜂蜜水100 克，如果需要将蜂蜜水的浓度提高10%，需加入天然蜂蜜a 克和矿泉水2a 克， 那么后加入的蜂蜜是原来的： A. 1 倍 B. 2.5 倍 C. 2 倍 D. 1.5 倍 【练习6】（2020 江苏）使用浓度为60%的硫酸溶液50 克和浓度为90%的硫酸溶液若干克， 配制浓度为66%的硫酸溶液100 克，需要加水的质量是： A. 10 克 B. 12 克 C. 15 克 D. 18 克 【练习7】（2019 重庆法检）有两个容器A 和B，容器中原有不等量的水，分别放入葡萄 糖后，容器A 葡萄糖液体质量270 克，浓度10%，容器B 葡萄糖液体质量150 克，浓度12%。 若往两个容器分别倒入等量的水，使葡萄糖浓度相同，那么需要多少克水？ A. 30 B. 50 C. 79 D. 90 【练习8】（2019 江苏）现有浓度为12%和24%的盐水各若干克，将其混合后加入50 克水， 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 108 配制成了浓度为18%的盐水600 克，则原12%和24%的盐水质量之比是： A. 6∶5 B. 1∶1 C. 5∶6 D. 4∶7 【练习9】（2018 联考）将浓度为15%和5%的盐水各1000 克，分别倒出若干配置成浓度 为10%的盐水1200 克，将剩下的盐水全部混合在一起，得到的盐水浓度为： A. 10% B. 8.25% C. 8% D. 7.25% 【练习10】（2023 河北事业单位）两个杯子中分别装有浓度为40%与10%糖水，倒在一起 后混合，糖水的浓度为30%。若再加入300 克20%的糖水，则浓度变为25%。原有浓度为 40%的糖水多少克？（ ） A.400 B.300 C.200 D.100 【练习11】（2017 天津）一份溶液，加入一定量的水后，浓度降到3%，再加入同样多的 水后，浓度降为2%，该溶液未加水时浓度是： A. 6% B. 4% C. 5% D. 4.5% 【例12】（2019 辽宁）现有装有相等重量纯水的红白蓝三个桶和装有不知浓度与重量的酒 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 109 精溶液的黑桶，将红桶中水全部倒入黑桶，此时酒精浓度变为22.5%；再将白桶的水全部倒 入黑桶，此时酒精浓度变为18%；再将蓝桶的水全部倒入黑桶，此时酒精浓度变为： A. 13.5% B. 15.0% C. 15.5% D. 16.0% 【练习13】（2019 上海）一碗芝麻粉，第一次吃了半碗，然后用水加满搅匀；第二次喝了 1 3 碗，用水加满搅匀；第三次喝了 1 6碗，用水加满搅匀；最后一次全吃完。则最后一次吃下的 芝麻糊中芝麻粉含量是（ ）。 A. 1 6 B. 5 6 C. 1 18 D. 5 18 答案：1-5：BBCAD；6-10：CDBBB；11-15：BBABB 练习十：1-5：CDDCB；6-10：ADDAC；11-13：ABD 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 110 第十一章植树和方阵问题 1.植树问题 （1）两端、单端（环形）楼间植树 两端植树：棵数= 路长 间隔+ � 单端（环形）植树：棵数= 路长 间隔 楼间植树：棵数= 路长 间隔−� 注意：1.分清是两端、单端（环形）、楼间 2.注意两侧种树要×2 【例1】（2023 福建事业单位）在一片长20 米宽10 米的长方形的地上植树，每两棵树之间 的行距和列距均为2 米，则在这片长方形的地上最多可以植（ ）棵树。 A.50 B.55 C.60 D.66 【例2】（2019 新疆）某文艺汇演的舞台为一个边长为10m 的正六边形，节目“千手观音” 中，演员需排成一列正对观众，为保证演出效果，两个演员之间要保持50cm 的距离，问该 舞台最多能站多少名“千手观音”的演员？ A. 31 B. 35 C. 39 D. 41 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 111 【例3】（2019 广东）某机构计划在一块边长为18 米的正方形空地开展活动，需要在空地 四边每隔2 米插上一面彩旗，若该空地的四个角都需要插上彩旗，那么一共需要（ ）面 彩旗。 A.32 B.36 C.44 D.48 【例4】（2020 广东）为加强治安防控，现计划在一段L 形的围墙（如下图）上安装治安 摄像头，其中A 点到B 点长度为750 米，B 点到C 点长度为1350 米。按要求ABC 三个位 置必须安装一个摄像头，且相邻两个摄像头之间的距离要保持一致，则整段围墙至少需要安 装（ ）个摄像头。 A.14 B.15 C.16 D.17 【例5】（2020 深圳）某市计划在一条笔直公路的两侧每隔8 米种一棵木棉树，并把植树任 务交由甲、乙两组工人完成，若甲组先做3 天，余下的任务由两组合作，则再做4 天恰好完 成。若乙组先做10 天，余下的任务交由甲组，则再做2 天恰好完成。已知甲组比乙组每天 多种5 棵树，则这条公路长（ ）米。 A.1224 B.1232 C.1240 D.1248 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 112 （2）不移动植树 方法：（最小公倍数不移动） 1、明确总长度 2、求间隔长度的最小公倍数 3、求不移动棵树 例子：长144 米公路的一侧从一端到另一端每隔3 米植一棵树，现在要改成每隔4 米植 一棵树，有多少不需要移动？ 【例6】（2018 广州）某条道路进行灯光增亮工程，原来间隔35 米的路灯一共有21 盏，现 要将路灯的间隔缩短为25 米，那么有（ ）盏路灯无需移动。 A.2 B.3 C.4 D.5 【例7】（2020 深圳）某公园举办春节花展，在周长400 米的中心区布置了环形花槽，并在 花槽上每隔16 米挂一只灯笼，不久后元宵灯会临近，公园决定增加并挪动一些灯笼，但仍 保持灯笼间距相等。已知加入新灯笼后，共有5 只旧灯笼没有移动，则调整后的灯笼间距最 大为（ ）米。 A.12 B.10 C.8 D.5 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 113 （3）容斥原理植树问题 容斥原理和植树问题结合， 方法：求棵数+容斥原理公式运用 【例8】（2024 广东）某个障碍跑项目需要在100 米长的跑道上布置障碍（起点和终点均不 布置）。如果从起点开始，每隔4 米布置一个甲障碍，每隔6 米布置一个乙障碍，甲、乙障 碍的重合点则不布置甲障碍。则跑道上总共布置（ ）个甲障碍。 A.16 B.17 C.24 D.25 【例9】（2023 深圳事业单位）开学前，某大学准备在一条长180 米的校道两侧从起点到终 点装饰若干条迎新宣传语，学生会要求每3 米有宣传语，研究生会要求每4 米有宣传语。为 同时满足上述要求，则一共需要准备宣传语（ ）条。 A.91 B.92 C.102 D.104 【例10】（2023 联考）某地计划在连接甲镇和乙镇的长度为60 公里的公路上安装限速标志 和测速仪器。具体方案是：从距离甲镇3 公里处开始安装限速标志，然后每隔4 公里再设置 一个限速标志；从8 公里处开始安装测速仪器，然后每隔9 公里再设置一个测速仪器。假设 单独安装一个限速标志费用为500 元，单独安装一个测速仪器费用为800 元，如果限速标志 和测速仪刚好在同一个地点安装，则可以节约安装费用，此时安装两种设备总共只需要1000 元。问最终安装总费用是多少元？ A.10600 B.11200 C.12000 D.12300 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 114 2.方阵问题 N 阶实心方阵：总人数= 最外圈：4N-4 人 相邻两圈相差：8 人 注： 1、方阵求整体，巧用平方数 2、去掉一行一列，去掉了2N-1 【例11】（2020 浙江）某学校要将全体运动员排成方阵，老师按人数粗略估计进行第一次 排列，发现多出99 人，于是又将每行和每列多加了4 人进行排列，发现缺少37 人。问学校 共有运动员多少人？ A.256 B.289 C.324 D.361 【例12】（2024 深圳）某灯光秀表演中，无人机群先排列成红、绿两个正方形实心方阵， 然后融合并变换灯光，形成一个黄色的正方框形空心方阵。原红方阵最外侧每边有8 架无人 机，且原红方阵恰好可填满黄方阵的空心，原绿方阵最外侧每边的无人机数量比黄方阵少4 架。则参加灯光秀表演的无人机共有（ ）架。 A.260 B.233 C.196 D.185 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 115 【例13】（2022 福建事业单位）用原味和海鲜味两种口味的罐装薯片组成一个实心方阵（所 有罐装薯片大小完全相同），最外层都是原味罐装薯片，从外往内每层按原味罐装薯片、海 鲜味罐装薯片相间摆放。如果最外一圈的正方形有原味罐装薯片44 罐，那么摆成这个实心 方阵共需海鲜味罐装薯片（ ）罐。 A.60 B.62 C.64 D.70 【例14】（2023 联考）某学院有新生两百多人，将学生从1 开始依次编号，选取编号为3 的倍数的学生，正好构成新生运动会开幕式方队，选取编号为m（3＜m＜10，且m 为整数） 的倍数的学生，恰好构成闭幕式方队，问该学院新生人数有多少人？ A.242 B.243 C.245 D.246 专项拔高练习十一 【练习1】（2023 湖北事业单位）育才中学有一条150 米长的小道，学校准备在小道的两边 分别按照一棵梧桐树、一棵桦树、一棵梧桐树······的顺序依次种树，已知同一边两棵树的间 隔为3 米，小道的起点、终点均要求种树，且起点均为梧桐树，那么总共需要种（ ）棵梧 桐树。 A.26 B.50 C.52 D.54 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 116 【练习2】（2022 广东）有一个长方形花坛，长为10 米，宽为8 米。现要在花坛四周安装 栅栏，要求4 个顶点处各插一根木桩，除顶点处的木桩外，每边还要插若干木桩，且每两根 木桩间的距离至少为3 米，则最多可以插（ ）根木桩。 A.10 B.12 C.14 D.16 【练习3】（2018 黑龙江）一条笔直的林荫道两旁种植着梧桐树，同侧道路每两棵梧桐树间 距50 米。林某每天早上七点半穿过林荫道步行去上班，工作地点恰好在林荫道尽头。经测 试，他每分钟步行70 步，每步大约50 厘米，每天早上八点准时到达工作地点。那么，这条 林荫道两旁栽种的梧桐树共有： A.44 棵 B.42 棵 C.22 棵 D.21 棵 【练习4】（2023 湖北事业单位）某圆形建筑的外围计划摆放绿萝、蝴蝶兰和帝王花，已知 圆形建筑的外围周长为200 米，每隔5 米放一盆绿萝，相邻的绿萝中间摆放两盆蝴蝶兰和一 盆帝王花，且帝王花必须摆在两盆蝴蝶兰中间，则分别需要绿萝、蝴蝶兰和帝王花各（ ） 盆。 A.41、82、41 B.40、78、39 C.39、78、39 D.40、80、40 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 117 【练习5】（2017 广东）施工队给一个周长为40 米的圆形花坛安装护栏，刚开始，每隔1 米挖一个洞用于建栏杆。后来发现间隔太远，决定改为每0.8 米挖一个洞。那么至少需要再 挖（ ）个洞。 A. 39 B. 40 C. 41 D. 42 【练习6】（2018 重庆选调）某公路的一侧从一端到另一端每隔3 米植一棵树，一共挖了 49 个坑。现在要改成每隔4 米植一棵树，那么可以不重新挖的坑共有（ ）个。 A.8 B.9 C.11 D.13 【练习7】（2023 广东事业单位）某公司计划在年终庆典上用若干无人机进行方阵表演。活 动当天突然有41 台无人机发生故障无法使用，剩下的无人机恰好仍能组成方阵，但比原计 划少了一行和一列。则原计划方阵表演使用的无人机数量可能是（ ）台。 A.400 B.441 C.484 D.529 【练习8】（2018 新疆）某部队的全体官兵刚好排成一个方阵，最外层人数是128 人，则该 部队共有多少名官兵？ A.529 B.783 C.1089 D.1122 【练习9】（2019 下半年事业单位）学校校庆计划进行方阵表演，男女同学按照最外层是男 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 118 生，从外往内每层按男生、女生相间排列，已知最外层有60 位男生。问整个方阵男生比女 生多多少人？ A.16 B.24 C.32 D.40 【练习10】（2019 深圳）某次运动会需组织长宽相等的方阵。组织方安排了一个鲜花方阵 和一个彩旗方阵，两个方阵分别入场完毕后又合成一个方阵，鲜花方阵的人恰好组成新方阵 的最外圈。已知彩旗方阵比鲜花方阵多28 人，则新方阵的总人数为（）。 A.100 B.144 C.196 D.256 【练习11】（2021 安徽事业单位）将某年级若干名学生排成一个方阵学习太极拳，已知方 阵由外到内第三层有76 人，则该方阵共有学生（ ）人。 A.484 B.529 C.576 D.625 答案：1-5：DBBBB；6-10：DBAAC；11-14：CAAC 练习十一：1-5：CAADB；6-11：DBCCA C 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 119 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 120 第十二章经济利润问题 1.基础经济 1. 识别特征： ……进价……利润（利润率）……，销售价…… 2. 常用公式（基期、现期、增长量、增长率） （1）进价（成本）+利润=售价 （2）利润率= 利润 成本 （3）进价×（1+利润率）=售价 （4）总价=单价×数量 （5）定价×折扣=售价 注：定价的9 折=定价×0.9 3.解题思路：根据等量列等式 （1）若只有单价商品，优先切入点为进价；若出现多件商品，优先切入点为商品数量 （2）若出现折扣，一定要注意区分价格 （1）资料分析解决经济利润问题 （1）利用：基期、现期、增长量、增长率关系 （2）线段法混合思想：利润率= 利润 成本 （3）连续涨价（或跌价）：�间=�1+ �2+ �1 × �2 （4）A=B×C 解题法 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 121 【例1】（2024 广东）某家政公司承诺以低于市场价20%的价格为小区业主提供服务。如 果有业主向该公司支付了服务费4000 元，则与市场价相比优惠了（ ）元。 A.400 B.600 C.800 D.1000 【例2】（2024 江苏）某商店购进一款无线路由器，进价100 元/个，加价30%出售，半年 后将剩下的打7 折全部售出，共盈利7410 元。若成本利润率为19%，则打7 折售出的无线 路由器共有（）。 A.90 个 B.100 个 C.105 个 D.110 个 【例3】（2024 联考）某商家购进一批商品，每件成本为27 元，最初将商品定价为每件40 元，该商家经过百分率相等的连续两次降价后，每件商品的利润率不超过20%。问每次降 价的百分率至少是： A. 20% B. 15% C. 10% D. 5% 【例4】（2023 北京）某种农作物原来亩产为600 千克，改进种植技术后，亩产增加100 千克，且由于品质改善，每千克的售价提高1 元，每亩产值比之前增加1100 元。则原来每 亩产值是多少元? A.1800 B.2100 C.2400 D.2700 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 122 （2）方程法 方程法：有具体钱数 （1）列表（关系乱） （2）设未知数 （3）根据等量列式子 【例5】（2024 浙江）甲、乙两店同时开展促销活动，甲店单件商品的标价超过50 元可以 立减20 元后再打9 折，乙店单件商品的标价超过50 元可以打8 折后再立减10 元。现两家 店都在销售的3 种商品，相同商品在两店价格相同，分别为45 元、75 元、85 元，某人准备 购买其中两种商品各一件，最少的花费在以下哪个范围之内？ A.90 元以下 B.90~93 元 C.93~96 元 D.96 元以上 【例6】（2024 联考）某羽毛球俱乐部推出充值会员优惠活动，具体为月卡会员费用打八折， 年卡会员费用打七折，充值总时长1 年的月卡比1 年的年卡所需费用，打折前后分别多88 元和100 元，问打折后充值18 个月的会员最少需要： A.不到340 元 B.340-400 元之间 C.400-460 元之间 D.460 元以上 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 123 （3）赋值法 赋值法： ①给比例，求比例 ②三量关系只知其一 （总价=单价×数量） （总量＝效率×时间） （路程＝速度×时间） 操作方式：（1）根据条件对成本或者售价进行赋值即可 （2）商品数量有比例，优先赋值数量的个数（5、10） 【例7】（2023 联考）某商品的利润率是20%。如果进货价降低20%，售价保持不变，此 时利润率是多少？ A.40% B.30% C.60% D.50% 【例8】（2022 北京）商店销售某种商品，先按定价卖了300 件，打七五折卖了200 件，后 在此基础上再打八折卖完了剩下的100 件，总利润为总成本的 2 3。单件成本相当于单件定价 的： A.57% B.54% C.51% D.48% 2.分段计费 分段计费 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 124 1. 识别特征（计费规则达到分段点后变为不同费用） 例：……规定为：……1300 元（含）以内的部分……，超出1300 元部分…… 2. 解题方法：先分段，再汇总 注：先定位分段点，讨论费用涉及哪几个分段（不重不漏） 【例9】（2020 河北）某市出租车价格为：2 公里以内8 元，超过2 公里不足5 公里的部分， 每公里2 元；超过5 公里不足8 公里的部分，每公里3 元；8 公里以上的部分，每公里4 元； 不足1 公里按1 公里计算。某位乘客乘坐出租车花了20 元，该出租车最多行驶了多少公里？ A.7 B.8 C.9 D.10 3.函数最值 题型判定：总利润=单利×数量 单价和销量此消彼长，问何时总收入/总利润最高？ 计算方法（两点式）： 如：y=(a-x)(b+x) ①设次数，根据问法列方程，写成两括号相乘的形式 ②求出使方程等于0，解得��、�� ③求出两个x 的平均值�= ��+�� � 时，此时y 最值 【例10】（2022 联考）北京冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品十分畅销。销售期 间某商家发现，进价为每个40 元的“冰墩墩”，当售价定为44 元时，每天可售出300 个，售 价每上涨1 元，每天销量减少10 个。现商家决定提价销售，若要使销售利润达到最大，则 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 125 售价应为： A.51 元 B.52 元 C.54 元 D.57 元 【例11】（2020 江苏）某商品的进货单价为80 元，销售单价为100 元，每天可售出120 件。已知销售单价每降低1 元，每天可多售出20 件。若要实现该商品的销售利润最大化， 则销售单价应降低的金额是 A.5 元 B.6 元 C.7 元 D.8 元 【例12】（2024 山东）某线上店铺将进货单价为8 元的商品按每件10 元出售，每天可销售 100 件。该店铺计划提高售价增加利润，若每件商品售价每提高1 元，每天销售量就要减少 10 件，为保证每天至少获利350 元，问该商品售价应为多少？ A.小于13 元 B.13-15 元 C.15-17 元 D.大约17 元 专项拔高练习十二 【练习1】（2023 广东事业单位）五一节期间，某商场开展促销活动，将一款冰箱的价格下 调20%销售。促销结束后，这款冰箱计划恢复原价销售，那么此时该商品的价格应上调（ ）。 A.10% 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 126 B.15% C.20% D.25% 【练习2】（2022 国考）某地引进新的杂交水稻品种，今年每亩稻谷产量比上年增加了20%， 且由于口感改善，每斤稻谷的售价从1.5 元提升到1.65 元。以此计算，今年每亩稻谷的销售 收入比上年高660 元。问今年的稻谷亩产是多少斤？ A.2200 B.1980 C.1650 D.1375 【练习3】（2024 广东事业单位）购买某商品可享满100 元减30 元的优惠。小李计算后发 现，购买4 件该商品的花费与购买3 件的相同，则该商品的单价为（ ）元。 A.30 B.40 C.50 D.60 【练习4】（2023 北京）一件商品售价100 元/件时，卖出4 件的利润与售价80 元/件时卖6 件的利润相同。则这种商品的成本是多少元/件？ A.30 B.40 C.50 D.60 【练习5】（2023 联考）某商场柜台出售一款小家电，如果按定价打九折出售可获得利润 70 元，如果按定价打九五折出售可获得利润100 元，这款小家电进货价格所在区间是 A.400-450 元 B.450-500 元 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 127 C.500-550 元 D.550-600 元 【练习6】（2022 北京）某种商品如果每件降价30 元，单价比打八折销售时贵10 元，则这 种商品的定价是多少元/件？ A.200 B.250 C.300 D.350 【练习7】（2021 河北）假设个人出版著作所得稿费纳税方法如下：（1）稿费不超过800 元不纳税；（2）超过800 元但不超过4000 元的部分纳税10%；（3）超过4000 元的部分纳 税15%。已知张教授出版一部著作，纳税620 元，则张教授的这笔稿费是多少元？ A.9000 B.8000 C.7000 D.6000 【练习8】（2019 深圳）某类商品按质量分为8 个档次，最低档次商品每件可获利8 元，每 提高一个档次，则每件商品的利润增加2 元。最低档次商品每天可产出60 件，每提高一个 档次，则日产量减少5 件。若只生产其中某一档次的商品，则每天能获得的最大利润是（） 元。 A.620 B.630 C.640 D.650 【练习9】（2018 联考）某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株以4 元出售，可卖出20 万株，若苗木单价每提高0.4 元，就会少卖10000 株。问在最佳定价的情况下，该公司最大 收入是多少万元？ A.60 B.80 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 128 C.90 D.100 【练习10】（2019 青海）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是70 元，为了合理定价， 投放市场进行试销。据市场调查，销售单价是120 元时，每天的销售量是100 件，而销售单 价每降价1 元，每天就可多售出5 件，但要求销售单价不得低于成本。则销售单价为多少元 时，每天的销售利润最大？ A.100 元 B.102 元 C.105 元 D.108 元 【练习11】（2023 成都事业单位）某电脑制造厂商生产销售一批电脑。每台电脑成本价格 为4499 元，销售价格为5699 元。某单位以销售原价购买20 台电脑，在此基础上，若销售 价格每降低100 元，就多购买2 台。则该电脑制造厂商可在该笔交易中可获得的最大利润为 （ ）元。 A.24200 B.24000 C.36000 D.31200 答案：1-5：DDCCC；6-10：BDCAD；11-12：CB 练习十二：1-5：DCABB；6-11：ADCCC A 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 129 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 130 第十三章行程问题 1.基础行程 （1）普通行程 路程=速度×时间 S=V×T 方法：画图展现行程过程，列式子求解。 注： （1）单位换算：1 米/秒=3.6 千米/时 （2）只给时间或者给定速度比例可赋值（类似工程问题给定时间型和给定效率比例型） 【例1】（2024 广东）小李从山脚开始登顶，匀速走了1 小时后到达一个凉亭，并在凉亭休 息了半小时。继续走500 米后，恰好完成登顶路程的一半。从山顶沿原路匀速返回时，他走 了1 小时又到了这个凉亭，继续走半小时回到了山脚。则登顶路程为（ ）米。 A.2000 B.3000 C.3600 D.4000 （2）火车过桥 火车过桥（从开始进入隧道（桥）到车身完全驶出） 公式：S 路程=S 桥+ S 车 火车在桥（车尾进入到车头未露出，完全在隧道（桥）上） 公式：S 路程=S 桥—S 车 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 131 【例2】（2023 联考）某公路隧道长1500 米，一辆公共汽车匀速从隧道通过，测得公共汽车 从开始进入隧道到车身完全驶出隧道用时151 秒，整辆公共汽车完全在隧道里的时间为149 秒，则公共汽车的车身长度和行驶速度分别为： A.8 米；5 米/秒 B.10 米；10 米/秒 C.10 米；15 米/秒 D.12 米；20 米/秒 （3）匀加速（新型热门考法） 识别：匀减速、匀加速 匀变速运动的平均速度公式为：�= �初速度+�末速度 � 【例3】（2024 全国事业单位联考）甲、乙两辆车同时从A 地出发驶向B。甲车匀速行 驶，乙车出发时的速度与甲车相同且均匀加速，1 小时后其行驶的距离是甲车的1.5 倍， 此后乙车均匀减速，又过了1 小时到达B 地时，其速度是从A 地出发时的0.5 倍，问甲 车还要多长时间到达B 地？ A.30 分钟 B.40 分钟 C.45 分钟 D.60 分钟 【例4】（2024 四川）小李开车去某单位办事，计划全程匀速行驶2 小时到达目的地。出发 后头30 分钟按计划速度行驶，此后50 分钟交通拥堵，行驶的路程和前面30 分钟相同。最 后40 分钟小李匀加速行驶，最终全程用时2 小时到达。问他最后10 分钟的平均车速是计划 行驶速度的多少倍？ A.不到1.8 倍 B.不低于1.8 倍但低于2.0 倍 C.不低于2.0 倍亦不高于2.2 倍 D.高于2.2 倍 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 132 （4）等距离平均速度 判定：等距离 等距离平均速度公式： 常适用于： （1）直线等距离 （2）直线往返 （3）上下坡往返 【例5】（2020 联考）小明每天从家中出发骑自行车经过一段平路，再经过一道斜坡后到达 学校上课。某天早上，小明从家中骑车出发，一到校门口就发现忘带课本，马上返回，从离 家到赶回家中共用了1 个小时，假设小明当天平路骑行速度为9 千米/小时，上坡速度为6 千米/小时，下坡速度为18 千米/小时，那么小明的家距离学校多远？ A. 3.5 千米 B. 4.5 千米 C. 5.5 千米 D. 6.5 千米 【例6】（2023 国考）一辆汽车从甲地开往乙地，先以40 千米/小时的速度匀速行驶一半的 路程，然后均匀加速；行驶完剩下路程的一半时，速度达到80 千米/小时；此后均匀减速， 到达乙地时的速度正好降为0。问其全程的平均速度在以下哪个范围内？ A.不到44 千米/小时 B.在44~45 千米/小时之间 C.在45~46 千米/小时之间 D.超过46 千米/小时 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 133 2.相对行程 （1）相遇和追及 直线相遇：同时相向而行 公式：S 相遇=（V1+V2）×T = V 和× t S 相遇：就是两人走的路程之和 直线追及：同时同向而行 公式：S 追及= S 差= （V1 - V2）×t = V 差× t S 追及：追及刚开始时两人相差的距离（多跑的距离） 【例7】（2020 联考）甲乙两人在相距1200 米的直线道路上相向而行，一条狗与甲同时出发 跑向乙，遇到乙后立即调头跑向甲，遇到甲后再跑向乙，如此反复，已知甲的速度为40 米/ 分钟，乙为60 米/分钟，狗为80 米/分钟。不考虑狗调头所耗时间，当甲乙相距100 米时狗 跑了多少米？ A. 1100 B. 1000 C. 960 D. 880 【例8】（2024 联考）c 地为a、b 两地直线道路上的一点，甲、乙两人9：00 分别自a、b 两地同时出发匀速相向而行，甲的速度是乙的1.5 倍，甲9：40 到达c 地休息10 分钟后继 续向b 地前进；乙全程不休息，在10：40 到达c 地，问甲、乙相遇的时间为： A.10：00 B.10：10 C.10：20 D.10：30 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 134 （2）环形相遇和追及 环形相遇（同点相向出发） S 和=V 和×T 遇 相遇1 次，S 和=1 圈 …… 相遇N 次，S 和=N 圈 本质：每一次相遇到下一次相遇期间，两人走的路程和是一圈。 环形追及：（同点同向出发） S 差=V 差×T 追 追上1 次，S 差=1 圈 …… 追上N 次，S 差=N 圈 本质：每一次追上到下一次追上期间，两人走的路程差是一圈。（套了一圈） 【例9】（2023 湖北事业单位）小谢下班后，以2 米/秒的速度在家附近公园的圆形跑道上慢 跑。他发现邻居小钟和小崔也在该跑道上跑步，且某一时刻，他们三人在该跑道上的某处相 遇，此后小钟每6 分钟与小谢迎面擦身而过，小崔每12 分钟从小谢身后跑过，假设小钟和 小崔跑步的速度大小相同且恒定，则该圆形跑道的长度为（ ）米。 A.2380 B.2880 C.4760 D.6480 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 135 【例10】（2020 山东）甲、乙两人在一条400 米的环形跑道上从相距200 米的位置出发，同 向匀速跑步。当甲第三次追上乙的时候，乙跑了2000 米。问甲的速度是乙的多少倍？ A. 1.2 B. 1.5 C. 1.6 D. 2.0 （3）多次相遇 两端出发多次相遇 第一次相遇，共走1S 第二次相遇，共走3S 第n 次相遇，共走(2n-1)S =(V1+V2)×t 同端出发多次相遇 第一次相遇，共走2S 第二次相遇，共走4S 第n 次相遇，共走2nS =(V1+V2)×t 【例11】（2020 联考）小王在甲医院，小赵在乙医院。两人从所在医院同时骑车出发，来回 往返于两个医院之间。已知小王骑车速度为205 米/分钟，小赵骑车速度为225 米/分钟，且 经过12 分钟后两人第二次相遇。问两家医院相距多少米？ A.1290 B.1720 C.2150 D.2580 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 136 【例12】（2021 广东）小王和小李沿着绿道往返运动，绿道总长度为3 公里。小王每小时走 2 公里；小李每小时跑4 公里。如果两人同时从绿道的一端出发，则当两人第7 次相遇时， 距离出发点（ ）公里。 A. 0 B. 1 C. 1.5 D. 2 （4）流水行船 �顺= �船+ �水 �船= �顺+�逆 � �逆= �船—�水 �水= �顺—�逆 � 注： （1）在静水的速度为�船 （2）漂流速度为�水 【例13】（2020 联考）一艘轮船顺流而行，从甲地到乙地需要6 天；逆流而行，从乙地到甲 地需要8 天。若不考虑其他因素，一个漂流瓶从甲地到乙地需要多少天？ A.24 B.36 C.48 D.56 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 137 3.比例行程 S=VT 找相等的量，看比例，找份数 （1）S 相等，V T 成反比 （2）V 相等，S T 成正比 （3）T 相等，S V 成正比 【例14】（2024 联考）A、B 两地相距100 米，甲、乙两人分别从AB 两地同时出发，匀速 相向而行，相遇后，甲原路返回A 地，乙继续向A 前行，当甲、乙均到A 地结束。已知乙 的用时是甲的三倍，那么甲的速度是乙的： A.2 倍 B.3 倍 C.4 倍 D.5 倍 专项拔高练习十三 【练习1】（2022 北京）一辆车每天都比前一天多开15 千米，第三天开的距离正好是第一 天的2 倍。则前三天一共开了多少千米？ A.225 B.190 C.135 D.130 【练习2】（2023 山东）甲、乙、丙在400 米标准跑道上跑步，甲跑一圈用2 分钟，乙用 1.5 分钟，丙用2.5 分钟。若甲、乙、丙按顺序轮流每人半圈接力跑，共跑1600 米，问乙一 共跑了多少分钟？ A.2 B.2.25 C.3 D.3.25 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 138 【练习3】（2019 河南）某隧道长1500 米，有一列长150 米的火车通过这条隧道，从车头 进入隧道到完全通过隧道花费的时间为50 秒，整列火车完全在隧道中的时间是： A. 43.2 秒 B. 40.9 秒 C. 38.3 秒 D. 37.5 秒 【练习4】（2020 天津选调）某铁路桥长1440 米，一列动车从桥上通过，测得动车从开始 上桥到完全下桥用了21 秒，动车的速度为288km/h，则整列动车完全在桥上的时间为（ ） 秒。 A.18 B.16 C.15 D.12 【练习5】（2023 山东）一辆车从甲地行驶到乙地共20 千米，用时20 分钟，已知该车在匀 加速到最大速度后开始匀减速，到乙地时速度恰好为0，问该车行驶的最大速度是多少千米 /小时？ A.100 B.108 C.116 D.120 【练习6】（2023 广东）某地举办了“铁人三项”体育活动，先进行蛙跳，后游泳，最后竞走 到达终点。一位选手在上午7 点出发，9 点到达了终点，全程未休息，其蛙跳、游泳和竞走 的速度分别为每小时2 千米、3 千米和6 千米。如果蛙跳和竞走的路程相同，则所有项目的 总路程是（ ）。 A.无法计算 B.6 千米 C.8 千米 D.12 千米 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 139 【练习7】（2019 江苏）甲、乙两人同时从同一地点出发沿同一环形跑道进行健身锻炼，甲 跑步，乙走路。若甲追上乙所需时间是两人相向而行相遇所需时间的3 倍，则甲、乙的速度 之比是： A. 3︰1 B. 5︰2 C. 2︰1 D. 3︰2 【练习8】（2019 江西）甲、乙两公司相距2000 米，某日上午8：30 小明从甲公司出发到 乙公司，小华同时从乙公司出发到甲公司，两人到达对方公司后分别用8 分钟时间办事，然 后原路返回。假设小明的速度为4km/h，小华的速度为5km/h，则两人第二次相遇的时间是 几点？ A. 9：18 B. 9：22 C. 9：24 D. 9：28 【练习9】（2018 联考）甲乙两车早上分别同时从A、B 两地出发，驶向对方所在城市，在 分别到达对方城市并各自花费一小时卸货后，立刻出发以原速返回出发地。甲车的速度为 60 千米/小时，乙车的速度为40 千米/小时。两地之间相距480 千米。两车第二次相遇距离 两车早上出发经过了多少个小时？ A. 13.4 B. 14.4 C. 15.4 D. 16.4 【练习10】（2019 黑龙江）小王和小李沿着绿道往返运动，绿道总长度为6 公里。小王每 小时走4 公里；小李每小时跑8 公里。如果两人同时从绿道的一端出发，则两人第7 次相遇 时的地点距离出发点： A. 0 公里 B. 2 公里 C. 3 公里 D. 4 公里 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 140 【练习11】（2023 北京）从A 地到B 地是下坡路，一辆车从A 地开往B 地需要三小时， 从B 地开往A 地需要四小时。已知这辆车下坡速度比上坡速度快15 千米/小时，则A、B 两地之间的距离是多少千米？ A.120 B.180 C.240 D.300 【练习12】（2022 江苏）某人以每小时10 公里的速度从甲地骑车前往乙地，中午12：30 到达。若以每小时15 公里的速度行驶，上午11：00 到达，则他出发的时间是： A.上午7：15 B.上午7：30 C.上午7：45 D.上午8：00 答案：1-5：BBCCB；6-10：ADBBB；11-14：BDCD 练习十三：1-5：CBBCD；6-10：BCACD；11-12：BD 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 141 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 142 第十四章排列组合问题 1.基础概念 分类与分步 分类:用加法（要么…要么…）（“或”的关系；多者选其一） 相加→一步到位，拿出来哪一个都好使 分步:用乘法（先…后…. /既…又…. ）(“且”的关系；同时满足) 相乘→一步不好使，必须都完成 排列与组合 排列：与顺序有关 组合：与顺序无关 【判定标准】从选出的主体当中任意的挑出两个，调换顺序 对结果有影响，与顺序有关（A） 对结果无影响，与顺序无关（C） 排列与组合的计算： 排列（A）： 组合（C）： 常用：凑12 法。 如：A5 5 × A4 4 × A3 3 × A2 2= 排列组合就是生活中的事，如何做事。 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 143 【例1】（2024 联考）某单位从所有职工中选出若干人参加培训，如果选择4 人，可能的选 择方式正好是选择3 人时的10 倍，问该单位有多少名职工？ A.32 B.33 C.42 D.43 【例2】（2024 江苏）某公司派出5 名人力资源专员去2 个一线城市和2 个二线城市参加秋 季招聘会。若每名专员只去其中1 个城市，每个一线城市至少派1 名专员，每个二线城市只 派1 名专员，则不同的派出方法共有（）。 A.60 种 B.72 种 C.120 种 D.144 种 2.分类思想 识别：至少…… 方法： （1）正向思维：分类枚举情况数 （2）反向思维：总情况数-不满足情况数 注：正向和反向哪种情况数少，就选择哪种方法 例子：A 类水果（4 种），B 类干果（3 种），上岸想吃4 种，每类至少吃一种。 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 144 【例3】（2024 广东）某高校中文系计划从3 名男生和3 名女生中选派4 名学生参加暑期支 教活动。如果选派的女生不少于2 名，则选派方案共有（ ）种。 A.4 B.8 C.12 D.16 【例4】（2024 山东）某医院积极响应国家号召，组建医疗小分队赴西部地区开展对口支援 工作。该医院现有6 名男医生和3 名女医生报名，现从9 人中抽取一组男女医生都有的3 人小分队。问有多少种不同的组队方式？ A.63 B.70 C.73 D.60 3.枚举 限制了条件，选项数据小，一一枚举，不重不漏。 注：枚举属于分类思想，这里选项数据小，枚举更直观。 【例5】（2024 深圳）有如下图所示的飞镖盘，当飞镖落到数字标示的扇形区域，可得相应 分数，否则记0 分，每个区域可落有多支飞镖。若一次性射出三支飞镖，恰好得到30 分， 则共有（ ）种得分组合。 A.6 B.7 C.8 D.9 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 145 4.捆绑法 捆绑法（相邻）：题目要求一部分主体必须在一起，需要先将要求在一起的部 分排列，然后视为一个主体，和其他主体排列。 特征：要求相邻（在一起） 方法：先内部相邻小元素排列，再大主体排列。 【引例】A、B、C、D、E 五个人站成一排照相，其中A、B 相邻 【例6】（2024 联考）某公司开展迎新春三分球投篮比赛。3 个部门分别派出2、4、4 个选 手共计10 人参加。规则要求同一个部门的选手顺序相连、全部投完再安排另一个部门的人 员，则这10 人不同的投篮顺序种数的范围是： A.小于1000 B.1000~5000 C.5001~10000 D.10000 以上 5.插空法 插空法 特征：要求不相邻（不在一起） 思路：（有空插空） ①先排：先安排其他可以相邻的元素，形成若干个空位； ②再插：将不相邻的元素插入到空位中。 【示例】A、B、C、D、E 五个人站成一排照相，其中A、B 不能相邻 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 146 【例7】（2023 成都事业单位）要将不同的五种商品A、B、C、D、E 在货柜上排成一排， 其中A、B 必须排在一起，C、D 不能排在一起。则有（ ）种不同的排列方式。 A.12 B.20 C.24 D.48 6.插板法 插板法（同素分堆）：每人至少一个 方法：空里插刀 考法： 考法一：同素分堆 考法二：不同素，分数量 考法三：每人至少分4 个，每人（n-1）个 【例8】（2020 联考）某城市一条道路上有4 个十字路口，每个十字路口至少有1 名交通协 管员，现将8 个协管员名额分配到这4 个路口，则每个路口协管员名额的分配方案有： A.35 种 B.70 种 C.96 种 D.114 种 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 147 【例9】（2024 全国事业单位联考）某单位将11 本《党员学习手册》分发给甲、乙、 丙共3 个党支部。已知甲支部至少分得3 本，乙支部至少分得2 本，丙支部至少分得4 本，问一共有多少种不同的分配方式？ A.3 B.4 C.5 D.6 7.错位排列 错位重排（避嫌原则） 特征：不回归原位 方法： 【例10】（2020 上半年事业单位）某个为期2 天的会议有8 名发言人，每人在每天都要发言 1 次。已知第1 天的发言次序固定，第2 天要求仅有3 名发言人的发言次序与第1 天一样， 且另有2 人正好交换发言次序，问共有多少种不同的安排方式? A.不到500 种 B.500~1000 种之间 C.1000~2000 种之间 D.超过2000 种 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 148 8.环形排列 n 个人进行环形排列，有： 【例11】（2016 陕西）6 个小朋友围成一圈做游戏，小华和小明需要挨在一起，问有多少种 安排方法？ A. 720 B. 180 C. 560 D. 480 E. 360 F. 240 G. 120 H. 48 9.平均分组 存在重复情况 方法：几组相同，÷A 几几 【例12】（2018 浙江）某班共有8 名战士，现在从中挑出4 人平均分成两个战斗小组分别参 加射击和格斗考核，问共有多少种不同的方案？ A. 210 B. 420 C. 630 D. 840 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 149 专项拔高练习十四 【练习1】（2023 广东）某公司向餐馆订购盒饭，要求每份盒饭包含2 种荤菜、2 种素菜。 如果餐馆共准备了6 种荤菜和4 种素菜,则最多有（ ）种盒饭。 A.42 B.60 C.72 D.90 【练习2】（2021 国考）某商场开展“助农销售”活动，凡购买某种农产品满300 元者可获得 一个礼盒，其中装有6 种干货中的随机3 种各1 小袋，以及1 袋小米或红豆。问内容不完全 相同的礼盒共有多少种可能？ A.50 B.45 C.40 D.30 【练习3】（2023 联考）像中国的回文联“洞帘水挂水帘洞，山果花开花果山”一样，如果将 一个数的数字倒排后所得的数仍是这个数，这样的数称为回文数，例如11，22，343，565， 1881，20102 等，在所有三位数中回文数共有： A.81 个 B.90 个 C.99 个 D.100 个 【练习4】（2021 联考）随着人们生活水平的提高，汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需 要扩容。某地级市交通管理部门出台了一种小型汽车牌照组成办法，每个汽车牌照后五位的 要求必须是：前三位为阿拉伯数字，后两位为两个不重复的英文字母（字母O、I 不参与组 牌），那么用这种方法可以给该地区汽车上牌照的数量为： A.397440 辆 B.402400 辆 C.552000 辆 D.576000 辆 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 150 【练习5】（2023 联考）冬奥会短道速滑比赛，有3 个国家4 名运动员参加比赛，其中2 名中国运动员，已知中国运动员始终处于领滑位置，则运动员的排序共有： A.12 种 B.16 种 C.18 种 D.20 种 【练习6】（2021 联考）某高校开设A 类选修课四门，B 类选修课三门，小刘从中选取四 门课程，若要求两类课程各至少选一门，则选法有： A. 18 种 B. 22 种 C. 26 种 D. 34 种 【练习7】（2019 新疆兵团）某单位有两个对口扶贫地，每月需安排10 人到两地参与扶贫 工作，要求每个对口扶贫地区至少要有4 人参与工作。问共有多少种不相同的分配方案？ （ ） A.210 B.252 C.420 D.672 【练习8】（2023 联考）世界非物质文化遗产高峰论坛召开记者会，共有10 家国内媒体和 4 家国外媒体参加。组委会从中选出3 家媒体回答他们的问题，要求这3 家媒体中既有国内 媒体又有国外媒体，且国内外媒体交叉提问，则不同的提问方式有： A.240 种 B.360 种 C.480 种 D.1440 种 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 151 【练习9】（2023 联考）教育平台的网络课程由阅读资料、观看视频、论坛交流、练习作业 和问卷考试五部分学习内容组成。学员需先后完成这五部分学习内容，其中论坛交流与练习 作业均不能在最先和最后完成，则学员安排学习的顺序共有： A.120 种 B.72 种 C.36 种 D.24 种 【练习10】（2024 联考）企业将12 个技术培训名额分配给甲、乙、丙三个研发团队。要求 乙团队分配的培训名额比甲团队少，但比丙团队多，且每个团队至少分配1 个名额。问有多 少种不同的分配方式？ A.6 B.7 C.36 D.42 【练习11】（2019 四川下）某场科技论坛有5G、人工智能、区块链、大数据和云计算5 个主题，每个主题有2 位发言嘉宾。如果要求每个主题的嘉宾发言次序必须相邻，问共有多 少种不同的发言次序？ A. 120 B. 240 C. 1200 D. 3840 【练习12】（2020 联考）某学习平台的学习内容由观看视频、阅读文章、收藏分享、论坛 交流、考试答题五个部分组成。某学员要先后学完这五个部分，若观看视频和阅读文章不能 连续进行，该学员学习顺序的选择有： A. 24 种 B. 72 种 C. 96 种 D. 120 种 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 152 【练习13】（2015 山东）某单位从下属的5 个科室各抽调了一名工作人员，交流到其他科 室，如每个科室只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方式？ A. 120 B. 78 C. 44 D. 24 【练习14】（2014 北京）相邻的4 个车位中停放了4 辆不同的车，现将所有车开出后再重 新停入这4 个车位，要求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方 式？ A. 9 B. 12 C. 14 D. 16 【练习15】（2015 山西）将10 名运动员平均分成两组进行对抗赛，问有多少种不同的分法？ A. 120 B. 126 C. 240 D. 252 答案：1-5：DCCAC；6-10：CCADC；11-12：HB 练习十四：1-5：DCBCA；6-10：DDCCB；11-15：DBCAB 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 153 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 154 第十五章概率问题 1.给情况求概率 正向思想：概率= 满足情况数 总情况数 反向思想：概率=1-不满足情况的概率 （1）正向思维 【例1】（2024 联考）某社区服务中心拟引入优质资源为本社区45 名老人提供居家养老服 务。已知老人的年龄构成如下（设老人的年龄为x）：60≤x＜70 有17 人，70≤x＜80 有12 人， 80≤x＜90 有11 人，90 岁及以上有5 人。现从该社区中随机抽取两名老人了解居家养老服务 情况，那么这两名老人恰好都在80 岁以上（含80 岁）的概率是： A. 4 33 B. 11 45 C. 16 45 D. 1 3 【例2】（2024 联考）中秋节前夕，小赵买了6 个外观相同的月饼，其中有3 个是蛋黄馅的。 回到家后，小赵从中任取3 个月饼，里面恰好有1 个是蛋黄馅的概率是： A. 9 20 B. 1 2 C. 3 5 D. 11 20 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 155 （2）反向思维 【例3】（2024 江苏）小张所在单位共有4 个科室，现以科室为单位组织文艺演出，每个科 室出2 个节目。演出结束后，因8 个节目都非常精彩，决定从中随机选3 个节目参加上级组 织的汇演。则小张所在科室出的节目至少有一个被选送参加汇演的概率是： A. 9 20 B. 5 14 C. 11 20 D. 9 14 【例4】（2024 山东）山东手造精品众多，某展览会有叶雕、皮影、风筝、麦秸画、柳编、 葫芦画、锡雕、鲁班枕8 个展厅。因时间原因，一名参观者决定从8 个展厅中随机选取3 个进行参观。问叶雕和皮影展厅至少一个被选中的概率是多少？ A. 5 14 B. 5 28 C. 9 14 D. 19 28 2.给概率求概率 分类用加法：P=p1+p2+p3+……pn 分步用乘法：P=p1×p2 × p3 × ……pn 注：残次品概率：赋值总量，求每个等级数量，再求每个等级残次品数量。 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 156 【例5】（2024 天津事业单位）小王同时参加了A、B、C、D 四个不相关的公司的面试， 其中通过A 公司面试的概率为40%，通过C 公司面试的概率为60%，通过B 和D 公司面试 的概率都为50%，那么小王至少通过一家公司面试并且没有通过B 公司面试的概率为（ ）。 A.6% B.44% C.56% D.94% 【例6】（2023 联考）如果3 个学生一起报名，且3 个学生都通过科目一考试，那么就可以 减免1 个学生的报名费。他们3 人不能通过科目一考试的概率分别为 1 2、 1 3、 1 4，则减免1 个 学生报名费资格的概率为： A. 3 4 B. 2 3 C. 1 3 D. 1 4 【例7】（2021 四川）甲、乙、丙、丁四个车间生产相同的产品，生产效率之比为4：3：2： 1，产品不合格率分别为2%、3%、4%、5%。质检人员从这4 个车间某小时内生产的所有 产品中随机抽取1 件，发现该产品不合格，该产品是乙车间生产的概率为： A.30% B.40% C.50% D.60% 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 157 3.跟屁虫问题 (不)跟屁虫问题： 当考察只是两个人在一起（一排）求概率时：先放一个，再放另一个 【例8】（2018 国考）某单位的会议室有5 排共40 个座位，每排座位数相同。小张和小李 随机入座，则他们坐在同一排的概率： A.不高于15% B.高于15%但低于20% C.正好为20% D.高于20% 【例9】（2021 联考）两个大人带四个孩子去坐只有六个位置的圆型旋转木马，那么两个大 人不相邻的概率为： A. 2 5 B. 3 5 C. 1 3 D. 2 3 【例10】（2021 江苏）某市举办足球邀请赛，共有9 个球队报名参加，其中包含上届比赛 的前3 名球队。现将这9 个球队通过抽签的方式平均分成3 组进行单循环比赛，则上届比赛 的前3 名球队被分在同一组的概率是： A. 1 21 B. 1 28 C. 1 63 D. 1 84 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 158 4.比赛类概率 （1）胜利即止： 识别：胜负概率 常考题型： 三局两胜（两胜即停） 五局三胜（三胜即停） 七局五胜（四胜即停） （2）限定场次，枚举做题 【例11】（2020 重庆选调）乒乓球比赛的规则是五局三胜制，甲、乙两球员的胜率分别为 60%和40%，在一次比赛中，若甲先连胜了前面两局，则甲最后获胜的概率是： A.60% B.在81%~85%之间 C.在86%~90%之间 D.在91%以上 【例12】（2024 四川）甲和乙进行乒乓球比赛。第一局甲胜乙的概率为70%。往后每局如 甲上局取胜，则当局甲的胜率为50%；如乙上局取胜，则当局甲的胜率为70%。问第三局 甲取胜的概率在以下哪个范围内？ A.不到55% B.在55%-57%之间 C.在57%-59%之间 D.高于59% 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 159 5.抓阄密码类 等可能性概率问题，方法：每次概率相同 【例13】（2020 山东）在ATM 机上输入银行卡密码时，若连续三次输入错误则会吞卡， 老李忘了银行卡密码的末两位数，只记得是两个不相同的奇数，若他在末两位上随意输入两 个不同奇数，能在吞卡前猜中正确密码的概率是： A. 3 20 B. 1 5 C. 1 9 D. 2 9 【例14】（2021 浙江）小李有一张银行卡，他忘记了密码的后3 位，只记得这3 个数全是 奇数且有2 个相同。问他尝试不超过两次就输入正确密码的概率为多少？ A. 1 30 B. 1 50 C. 2 59 D. 2 57 6.骰子问题 骰子概率，6×6 枚举记心间 【例15】（2023 联考）抛掷两颗质地均匀的骰子，记录向上的面出现的数字，那么这两个 数字之和等于8 的概率是： A. 5 36 B. 1 6 C. 1 12 D. 5 24 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 160 专项拔高练习十五 【练习1】（2024 联考）一块直角三角形绿地的三边均铺有长度为整数米的水管，其中一条 直角边外的水管长7 米。若在水管上随机任选1 个点做标记，则该标记点在斜边上的概率在 以下哪个范围内？（忽略水管直径） A.小于0.35 B.在0.35~0.42 之间 C.在0.42~0.50 之间 D.大于0.50 【练习2】（2024 浙江）某公司组织面试，每位考生都要回答甲、乙、丙、丁、戊5 道试 题，作答顺序随机安排。已知小张第二题是甲题、第四题是丁题，小王第三题是乙题，那么 两人作答顺序完全相同的概率是:（高照提示：此题属于条件概率，总情况数是有限定条件 的） A. 1 72 B. 1 48 C. 1 36 D. 1 24 【练习3】（2024 联考）一盒中有10 支晶体管，其中有2 支次品，8 支正品。现从中连取 两次，每次取1 支，取后不放回，则至少取到1 支次品的概率是： A. 28 45 B. 17 45 C. 16 45 D. 1 45 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 161 【练习4】（2023 联考）某电子元件制造厂有甲、乙、丙三个车间，甲、乙、丙三个车间的 产量分别占总产量的5%、70%、25%，且甲、乙、丙三个车间的次品率依次为4%、3%、 2%。任取一件产品，取到次品为乙车间制造的概率是： A.15% B.45% C.75% D.85% 【练习5】（2018 吉林）某仓库存放三个厂家生产的同一品牌洗衣液，其中甲厂生产的占 20%，乙厂生产的占30%，剩余为丙厂生产的，且三个厂家的次品率分别为1%，2%，1%， 则从仓库中随机取出一件是次品的概率为： A.1.6% B.1.3% C.1% D.2% 【练习6】（2023 联考）某学习平台收到的征文，将通过两轮评审决定能否采用。先由两位 编辑进行初审，若两位编辑评审都通过，则予以采用；若两位编辑都未予通过，则不予采用； 若仅有一位编辑初审通过，则再由主编进行复审，若复审通过，则予以采用，否则不予采用。 设稿件能通过各初审编辑评审的概率均为0.4，复审的稿件能通过的概率为0.2，各编辑独立 评审，则每篇征文被采用的概率为： A.0.32 B.0.256 C.0.24 D.0.208 【练习7】（2019 联考）某学校举行迎新篝火晚会，100 名新生随机围坐在篝火四周，其中， 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 162 小张与小李是同桌，他俩坐在一起的概率为： A. 2 97 B. 2 98 C. 2 99 D. 2 100 【练习8】（2018 重庆下）甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜 乙队的概率均为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，且比赛到此结束。 如果各局比赛相互间没有影响，现已知前两局双方战成平手，则甲队获得这场比赛胜利的概 率为： A. 9 25 B. 63 125 C. 81 125 D. 101 125 【练习9】（2022 江苏）某公益组织登记在册的男、女志愿者人数之比为2：3，男性志愿 者中20%为教师，女性志愿者中25%为教师。现从该公益组织登记在册的志愿者中随机选 出1 人，恰好为教师，则该志愿者为男性的概率是： A. 2 5 B. 3 7 C. 9 16 D. 8 23 【练习10】（2020 国考）销售员小刘为客户准备了A、B、C 三个方案。已知客户接受方 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 163 案A 的概率为40%。如果接受方案A，则接受方案B 的概率为60%，反之为30%。客户如 果A 或B 方案都不接受，则接受C 方案的概率为90%，反之为10%，问将3 个方案按照客 户接受概率从高到低排列，以下正确的是：（提示：不要做，此题条件多，就是常识思维猜 题） A. A＞B＞C B. A＞C＞B C. B＞C＞A D. C＞B＞A 答案：1-5：AADCB；6-10：DABBB；11-15：DCAAA 练习十五：1-5：CABCB；6-10：BCCDD 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 164 第十六章数量易拿分小题型 1.标1 法 题型识别：给定几何图，规定方向或者最短路径，到目的地有多少种走法 方法：标1，路口加和 【例1】（2012 江苏）小张从华兴园到软件公司上班要经过多条街道（软件公司在华兴园的 东北方）。假如他只能向东或者向北行走，则他上班不同走法共有： A. 12 种 B. 15 种 C. 20 种 D. 10 种 【例2】（2015 黑龙江公检法）从A 地到B 地的道路如图所示，所有转弯均为直角，问如果 要以最短距离从A 地到达B 地，有多少种不同的走法可以选择？ A.14 B.15 C.18 D.21 【例3】（2021 广东选调）小明参加迷宫游戏，迷宫设在圆形区域内（布局如下图所示），游 戏规定只能向正东或正南方向行走，那么小明从迷宫入口到出口共有（）种走法。 A.2 B.4 C.6 D.8 【例4】（2023 山西）甲乙两地间的纵横道路网如下图所示，若从甲地到乙地沿道路铺设电 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 165 缆，要使铺设的电缆长度最短，则电缆经过丙地的概率为： A. 11 15 B. 12 53 C. 11 36 D. 16 53 2.空瓶换酒公式 M 个空瓶换N 瓶酒，x 个空瓶最多可以喝 �� �−�瓶酒 【引例】如果4 个汽水空瓶可以换1 瓶汽水，现有12 个汽水空瓶，不交钱最多可以喝汽水 A.3 B.4 瓶 C.5 瓶 D.6 瓶 【例5】（2006 国考）如果4 个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有15 个矿泉水空瓶，不交 钱最多可以喝矿泉水： A. 3 瓶 B. 4 瓶 C. 5 瓶 D. 6 瓶 【例6】（2019 山东）某啤酒厂为促销啤酒，开展6 个空啤酒瓶换1 瓶啤酒的活动，孙先生 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 166 去年花钱先后买了109 瓶该品牌啤酒，期间不断用空啤酒瓶去换啤酒，请问孙先生去年一共 喝掉了多少瓶啤酒？ A.127 B.128 C.129 D.130 【例7】（2019 青海法检）某超市为了增加收入，开展“8 个空啤酒瓶换1 瓶啤酒”的促销活 动，老李在活动期间共购买了127 瓶啤酒，期间老李不断用空啤酒瓶去换啤酒，请问老李在 活动期间一共喝掉了多少瓶啤酒？ A. 140 B. 142 C. 143 D. 145 3.货物集中---统筹运输问题 货物集中问题：先中间分开，轻的向重的方向移动 【例8】（2020 联考）某电商平台每隔5 千米有一座仓库，共有A、B、C、D 四座仓库，图 中数字表示各仓库库存货物的吨数。现需要把所有的货物集中存放在其中某一个仓库中，如 果每吨货物运输1 千米需要运费3 元，要使运费最少，则需将货物集中到哪座仓库？ A.仓库A B.仓库B C.仓库C D.仓库D 【例9】（2018 联考）在一条公路上每隔10 里有一个集散地，共有5 个集散地，其中一号集 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 167 散地有旅客10 人，三号集散地有25 人，五号集散地有45 人，其余两个集散地没有人。如 果把所有人集中到一个集散地，那么，所有旅客所走的总里数最少是： A. 1100 B. 900 C. 800 D. 700 4.线切面问题 【例10】（2016 吉林）用直线切割一个有限平面，后一条直线与此前每条直线都要产生新的 交点，第1 条直线将平面分成2 块，第2 条直线将平面分成4 块，第3 条直线将平面分成7 块，按此规律将平面分为46 块需： A. 7 条直线 B. 8 条直线 C. 9 条直线 D. 10 条直线 【例11】（2020 联考）一条直线将一个平面分成2 个部分，两条直线最多将一个平面分成4 个部分，……则6 条直线最多将一个平面分成的部分为： A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 5.时间统筹：见缝插针 【例12】 （2023 北京）小王去医院看病，上午要看3 个科室的门诊（已提前完成了挂号取号）。 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 168 以下是当天小王在医院发生的所有诊疗相关活动和相应的时间（单位：分钟）。已知同一科 室靠左的项目完成后才能进行靠右的项目且每个项目只进行1 次，等待化验结果时可以进行 其他科室的项目，且多个科室的交费环节或多个科室的取药环节可以合并一次完成。则小王 完成所有诊疗活动最少需要多少分钟？ A.74 B.63 C.54 D.46 【例13】（2019 上海）为了缩短就医时间，小张打算在医院网站登录挂号，再以平均40 公 里/小时的速度驱车前往看病，四家医院到小张家的距离和目前排队人数如下： 为了尽早就医，小张应该选择（ ）医院。（不考虑小张去医院期间新增病人数） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 6.爬楼问题 思维误区 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 169 知识点：从1 楼爬到N 楼，实际爬了N-1 楼，休息了N-2 次 例子：从1 楼爬到6 楼，实际爬了（ ）楼，休息了（ ）次。 【例14】（2021 联考）送奶工人给11 楼住户送牛奶，由于小区停电导致电梯无法使用。如 果他走楼梯从第1 层到第2 层需要5 秒，以后每多走一层需多花2 秒，其中走到5 层以后每 多走一层需多休息5 秒，那么他走到11 层需要多少秒？ A.210 B.215 C.220 D.235 7.网状图 【例15】（2018 江苏）燃气公司欲在某新建楼盘内铺设天然气管道连通所有住宅楼，楼与楼 之间可铺设管道的路线如图所示，圆圈表示各住宅楼，线段及线上数字表示路线及其长度（单 位：百米），则铺设的管道最短长度是： A. 1800 米 B. 1850 米 C. 1950 米 D. 2000 米 【例16】（2017 四川下）小王从A 地开车去往B 地，右图是一张道路示意图，每段路上的 数字表示两地之间的距离（单位：千米）。如果汽车百公里油耗量为10 升，油价6.5 元/升， 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 170 问小王从A 地去往B 地至少要消耗价值多少元的燃油？ A. 9.5 B. 10.4 C. 12.3 D. 13.1 8.脑筋急转弯——天平问题 考法： （1）天平称重 （2）天平找假币 小秘密：3 【例17】（2012 浙江）有一架天平，只有5 克和30 克的砝码各一个。现在要用这架天平把 300 克味精平均分成3 份，那么至少需要称多少次？ A. 3 次 B. 4 次 C. 5 次 D. 6 次 【例18】（2014 河北）一架天平，只有5 克和30 克的砝码各一个，要将300 克的食盐平均 分成三份，最少需要用天平称几次？ A. 6 次 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 171 B. 5 次 C. 4 次 D. 3 次 【例19】（2017 联考）体育彩票22 选5 中使用的22 个彩球除编号不同外，其余完全一样。 由于生产过程疏忽，22 个彩球中有一个球的重量略重于其他球。现需用天平将该球找出。 那么，在最优方案下，最多需要使用天平： A. 3 次 B. 4 次 C. 5 次 D. 6 次 答案：1-5：DBBDC；6-10：DDCBC；11-15：CDCBB；16-19：BADA 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 172 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 173 课后赠言 勇者无畏 亲爱的小伙伴： 恭喜，恭喜你走到这里，怀着一颗无惧、无畏、上岸的心，学了数量，近观 最近几年的整体考情，你会发现试卷的整体难度提升，数量属于上岸必拿分模块。 公考之路，无从闪避，无从退让，勇者无畏，请：冲。 网上看到一句话说: 凡是想考公的都当上公务员了，人一旦有了执念，除非 你完成了，要不然这个执念是无法消除的，会一直萦绕在你心中。“梦想是凌晨拿 起笔的，坚持是掀开被子的毫不犹豫和冷水扑面的清醒，是六点看到旭日东升的 惊艳和笔记绽放的光芒。” 你越是上进勤奋，讨厌和嫉妒你的人就越多。他们会不断地否定你、打击你、 给你泼冷水，并千方百计地让你去相信：他们们做不到的事情，你也做不到。虽 然考公是件苦差事，但请别难过，你在好好学习的路上，在变优秀的路上，在只 身一人遍地荆棘的路上你最该挺直腰板，抬头看看自己的银河。 你想要考上公务员，就得坚持早起背书，对判断和言语总是模棱两可，就多 刷一些真题，做错题总结;对资料计算太慢，就多练习计算技巧哪个模块失分多， 就专攻哪个模块，同时好好学数量，多做题多总结，实战套题学会挑题，常识要 认真准备。睡前不碰手机，坚持做一个努力又上进的人。 我的高中是人生中最艰难的一段时间，我学习不错从镇里考到市里的高中， 都从家里带着煎饼和咸菜，最愁天热，煎饼容易发霉长毛，所以高中时候的我高 高瘦瘦的，哪个时候真的瘦。每次我妈妈会给我几块钱用来吃饭，高中每两周的 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 174 周末大休回家，从城里到乡镇公交车费2 块钱，成了我最大的困难，很多次紧巴 巴的剩1 块钱，我放了学就背着书包跑到马路上翻垃圾桶捡瓶子、捡纸壳子，就 为了再凑1 块够公交的2 块钱，能坐车回家。疯狂的在路边奔跑，怎么捡，怎么 找都凑不够钱，边跑边哭，边哭边跑；我记得实在没办法的时候，也会饭店门口 要过啤酒瓶子，我那个时候还是很机灵的。生活就是这样的，我们只能向前奔跑， 努力跑，不要回头，也不要感觉自己多委屈。当时的我为了1 块钱挣回家的车票， 而你们需要的是挣上岸的船票。 路虽远，行则将至；事虽难，做则必成。历史只会眷顾坚定者、奋进者、搏 击者，而不会等待犹豫者、懈怠者、畏难者。正视困难，苦干实干，以时不我待 的紧迫感投入学习和运动，就一定能在战胜困难中赢得先机，运动为学习注入澎 湃动力，用一往无前的顽搏让明天的更美好。真正的信心，一定是源于你走过的 路，流过的泪，写下的日子，听过的课，刷过的题，这种才是最稳定持久的力量。 踏踏实实地走好每一步，忍得住寂寞，日复一日地坚持努力，相信自己，实现一 个个小目标。 千万不要为了考上而考上，如果你有远大抱负，那就想考哪里考哪里，如果 你是一个恋家的人，你更应该拼命。家家饭菜，户户春联，应是我们读书人应为 的作答。花开花落，草枯草荣，都是天上月色的人间美好。人间许多游子，去了 脚力、心力能及的最远方，回首一望，山水迢迢，不怕家乡路远，归途遥遥，只 怕还乡时，已是故人故事，笑着笑着就哭的是大人。希望你今年有好岗位，离家 近，骑着电动车几分钟就能到。 人不能苦一辈子，但总要苦一阵子，争取今年上岸，别把大好的青春年华浪 费在行测和申论上，一生很短，要在这短短的一生中留下自己结实的脚印，看着 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 175 这大好山河，日出日落，体验春夏秋冬，人情冷暖，也不枉来这世间一遭。天地 之宽，在山川，在河流，公考不过一块大石，腿抬高点，就迈过去了，别因它困 住。 这几天家里桃子熟了，到了摘桃、卖桃的季节了。给你们看看我做的罐头， 可好吃了，馋馋你们。我家好几亩桃园呢。 多运动，以动养身，以动养神。灵魂到不了的地方，运动可以。多读书，读 传记，读经典。灵魂到不了的地方，读书可以。听音乐，哼音乐，即使不在调上， 多哼唧哼唧，真好。灵魂到不了的地方，音乐可以。 最后的最后：学会爱惜自己，累了就休息，一定学会爱惜自己，没有人不辛 苦，只是有人不喊疼，该喊疼就喊疼，不丢人的。 自律即自由，自信即巅峰。 日子很滚烫，又暖又明亮。 纵横千里独行客，何惧前路雨潇潇。 愿你归来，仍是少年，所有的偏爱都为你而来。 公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸 每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜。（抖音：公考高照讲数资） 176 高 照 一个喜欢上课的大哥哥