文档内容
2014 年吉林省长春市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣ 的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．7 D．﹣7
2．（3分）下列图形中，是正方体表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）计算（3ab）2的结果是（ ）
A．6ab B．6a2b C．9ab2 D．9a2b2
4．（3分）不等式组 的解集为（ ）
A．x≤2 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x≤2 D．﹣1≤x≤2
5．（3分）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=120°，∠2=45°，
若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是 上任意一点．若AB=5，
BC=3，则AP的长不可能为（ ）
第1页（共34页）A．3 B．4 C． D．5
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在第一象限，若点A关于x轴的
对称点B在直线y=﹣x+1上，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y= （k＞0，x＞0）的图象
上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是
⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，3） C．（3，2） D．（4， ）
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）计算： × = ．
10．（3分）为落实“阳光体育”工程，某校计划购买m个篮球和n个排球，已知
篮球每个80元，排球每个60元，购买这些篮球和排球的总费用为 元．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若
第2页（共34页）CD=3，则△ABD的面积为 ．
12．（3分）如图，在⊙O中，半径OA垂直弦于点D．若∠ACB=33°，则∠OBC的大小
为 度．
13．（3分）如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与
AD延长线的交点．若DE=1，则DF的长为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经
过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x=﹣2，点C在抛物线上，且位于
点A、B之间（C不与A、B重合）．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长
为 （用含a的式子表示）．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
第3页（共34页）15．（6分）先化简，再求值： • ﹣ ，其中x=10．
16．（6分）在一个不透明的袋子里装有3个乒乓球，分别标有数字1，2，3，这些乒
乓球除所标数字不同外其余均相同．先从袋子里随机摸出1个乒乓球，记下标
号后放回，再从袋子里随机摸出1个乒乓球记下标号，请用画树状图（或列表）
的方法，求两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的概率．
17．（6分）某文具厂计划加工3000套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加
工画图工具的数量是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务，求该文具厂原
计划每天加工这种画图工具的数量．
18．（7分）如图，为测量某建筑物的高度AB，在离该建筑物底部24米的点C处，
目测建筑物顶端A处，视线与水平线夹角∠ADE为39°，且高CD为1.5米，求建
筑物的高度AB．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，
tan39°=0.81）
第4页（共34页）19．（7分）如图，在 ▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，
点F在BC的延长线上，且CF= BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．
20．（7分）某校学生会为了解本校学生每天做作业所用时间情况，采用问卷的方
式对一部分学生进行调查，在确定调查对象时，大家提出以下几种方案：
（A）对各班班长进行调查；
（B）对某班的全体学生进行调查；
（C）从全校每班随机抽取5名学生进行调查．
在问卷调查时，每位被调查的学生都选择了问卷中适合自己的一个时间，学生会
收集到的数据整理后绘制成如图所示的条形统计图．
（1）为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象时选择了方案
（填A、B或C）；
（2）被调查的学生每天做作业所用时间的众数为 小时；
（3）根据以上统计结果，估计该校800名学生中每天做作业用1.5小时的人数．
第5页（共34页）21．（8分）甲、乙两支清雪队同时开始清理某路段积雪，一段时间后，乙队被调往
别处，甲队又用了3小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时的清雪量保
持不变，乙队每小时清雪50吨，甲、乙两队在此路段的清雪总量y（吨）与清雪
时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（1）乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为 吨；
（2）求此次任务的清雪总量m；
（3）求乙队调离后y与x之间的函数关系式．
22．（9分）探究：如图①，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长
CB至点E，使BE=AD，连结CD，AE，求证：△ACE≌△CBD．
应用：如图②，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使
BE=AD，连结CD，EA，延长EA交CD于点G，求∠CGE的度数．
第6页（共34页）23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点（1，﹣1），且对
称轴为直线x=2，点P、Q均在抛物线上，点P位于对称轴右侧，点Q位于对称
轴左侧，PA垂直对称轴于点A，QB垂直对称轴于点B，且QB=PA+1，设点P的横
坐标为m．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）求点Q的坐标（用含m的式子表示）；
（3）请探究PA+QB=AB是否成立，并说明理由；
（4）抛物线y=a x2+b x+c（a ≠0）经过Q、B、P三点，若其对称轴把四边形PAQB分
1 1 1 1
成面积比为1：5的两部分，直接写出此时m的值．
第7页（共34页）24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从
点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当
点P与点 A不重合时，过点 P作PQ⊥AB 于点 Q，以 PQ 为边向右作正方形
PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P
运动的时间为t（秒）．
（1）求点N落在BD上时t的值；
（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；
（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．
第8页（共34页）2014 年吉林省长春市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣ 的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．7 D．﹣7
【考点】14：相反数．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：﹣ 的相反数是 ，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3分）下列图形中，是正方体表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】I6：几何体的展开图．
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【专题】1：常规题型．
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：A、B、D经过折叠后，下边没有面，所以不可以围成正方体，C能折成正
方体．
故选：C．
【点评】本题考查了正方体的展开图，解题时牢记正方体无盖展开图的各种情形．
3．（3分）计算（3ab）2的结果是（ ）
第9页（共34页）A．6ab B．6a2b C．9ab2 D．9a2b2
【考点】47：幂的乘方与积的乘方．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据积的乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘计算后直
接选择答案．
【解答】解：（3ab）2=32a2b2=9a2b2．
故选：D．
【点评】本题考查了积的乘方的性质，熟记运算性质并理清指数的变化是解题的
关键．
4．（3分）不等式组 的解集为（ ）
A．x≤2 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x≤2 D．﹣1≤x≤2
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【专题】11：计算题．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不
等式组的解集．
【解答】解： ，
解①得：x＞﹣1，
解②得：x≤2，
则不等式组的解集是：﹣1＜x≤2．
故选：C．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判
断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于
两数之间．
5．（3分）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=120°，∠2=45°，
若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（ ）
第10页（共34页）A．15° B．30° C．45° D．60°
【考点】J9：平行线的判定．
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【专题】121：几何图形问题．
【分析】先根据邻补角的定义得到∠3=60°，根据平行线的判定当b与a的夹角为
45°时，b∥c，由此得到直线b绕点A逆时针旋转60°﹣45°=15°．
【解答】解：∵∠1=120°，
∴∠3=60°，
∵∠2=45°，
∴当∠3=∠2=45°时，b∥c，
∴直线b绕点A逆时针旋转60°﹣45°=15°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线
平行；同旁内角互补，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条
直线平行．
6．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是 上任意一点．若AB=5，
BC=3，则AP的长不可能为（ ）
第11页（共34页）A．3 B．4 C． D．5
【考点】KQ：勾股定理；M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理．
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【专题】121：几何图形问题．
【分析】首先连接AC，由圆周角定理可得，可得∠C=90°，继而求得AC的长，然后
可求得AP的长的取值范围，继而求得答案．
【解答】解：连接AC，
∵在⊙O中，AB是直径，
∴∠C=90°，
∵AB=5，BC=3，
∴AC= =4，
∵点P是 上任意一点．
∴4≤AP≤5．
故选：A．
【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的
作法，注意掌握数形结合思想的应用．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在第一象限，若点A关于x轴的
对称点B在直线y=﹣x+1上，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
第12页（共34页）【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
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【专题】31：数形结合．
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点可得B（2，﹣m），然后再把B点坐标代
入y=﹣x+1可得m的值．
【解答】解：∵点A（2，m），
∴点A关于x轴的对称点B（2，﹣m），
∵B在直线y=﹣x+1上，
∴﹣m=﹣2+1=﹣1，
m=1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，以及一次函数图象上点的坐标特
点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能使解析式左右相等．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y= （k＞0，x＞0）的图象
上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是
⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，3） C．（3，2） D．（4， ）
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；MC：切线的性质．
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【专题】31：数形结合．
【分析】把B的坐标为（1，6）代入反比例函数解析式，根据⊙B与y轴相切，即可
求得⊙B的半径，则⊙A的半径即可求得，即得到B的纵坐标，代入函数解析式
即可求得横坐标．
【解答】解：把B的坐标为（1，6）代入反比例函数解析式得：k=6，
则函数的解析式是：y= ，
第13页（共34页）∵B的坐标为（1，6），⊙B与y轴相切，
∴⊙B的半径是1，
则⊙A是2，
把y=2代入y= 得：x=3，
则A的坐标是（3，2）．
故选：C．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及斜线的性质，圆的切线垂直
于经过切点的半径．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）计算： × = ．
【考点】75：二次根式的乘除法．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据 = 进行运算即可．
【解答】解：原式= = ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了二次根式的乘除法运算，属于基础题，注意掌握 = ．
10．（3分）为落实“阳光体育”工程，某校计划购买m个篮球和n个排球，已知
篮球每个 80 元，排球每个 60 元，购买这些篮球和排球的总费用为
（ 80m + 60n ） 元．
【考点】32：列代数式．
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【专题】124：销售问题．
【分析】用购买m个篮球的总价加上n个排球的总价即可．
【解答】解：购买这些篮球和排球的总费用为（80m+60n）元．
故答案为：（80m+60n）．
【点评】此题考查列代数式，根据题意，找出题目蕴含的数量关系解决问题．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若
CD=3，则△ABD的面积为 1 5 ．
第14页（共34页）【考点】KF：角平分线的性质．
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【专题】121：几何图形问题．
【分析】要求△ABD的面积，现有AB=10可作为三角形的底，只需求出该底上的高
即可，需作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解．
【解答】解：作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=CD=3．
∴△ABD的面积为 ×3×10=15．
故答案是：15．
【点评】此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要
的，作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键．
12．（3分）如图，在⊙O中，半径OA垂直弦于点D．若∠ACB=33°，则∠OBC的大小
为 2 4 度．
【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理．
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【专题】11：计算题．
第15页（共34页）【分析】先根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=66°，然后根据互余计算∠OBC的
大小．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴∠ODB=90°，
∵∠ACB=33°，
∴∠AOB=2∠ACB=66°，
∴∠OBC=90°﹣∠AOB=24°．
故答案为：24．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条
弧．也考查了圆周角定理．
13．（3分）如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与
AD延长线的交点．若DE=1，则DF的长为 ．
【考点】L8：菱形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】121：几何图形问题．
【分析】求出EC，根据菱形的性质得出AD∥BC，得出相似三角形，根据相似三角形
的性质得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵DE=1，DC=3，
∴EC=3﹣1=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，
∴ = ，
∴ = ，
第16页（共34页）∴DF= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：菱形的
对边互相平行．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经
过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x=﹣2，点C在抛物线上，且位于
点A、B之间（C不与A、B重合）．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长
为 a + 4 （用含a的式子表示）．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据抛物线的对称性得到：OB=4，AB=AO，则四边形AOBC的周长为
AO+AC+BC+OB=△ABC的周长+OB．
【解答】解：如图，∵对称轴为直线x=﹣2，抛物线经过原点、x轴负半轴交于点B，
∴OB=4，
∵由抛物线的对称性知AB=AO，
∴四边形AOBC的周长为AO+AC+BC+OB=△ABC的周长+OB=a+4．
故答案为：a+4．
【点评】本题考查了二次函数的性质．此题利用了抛物线的对称性，解题的技巧性
在于把求四边形AOBC的周长转化为求（△ABC的周长+OB）是值．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
第17页（共34页）15．（6分）先化简，再求值： • ﹣ ，其中x=10．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【专题】11：计算题．
【分析】原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将x
的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式= • ﹣
= ﹣
= ，
当x=10时，原式= ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（6分）在一个不透明的袋子里装有3个乒乓球，分别标有数字1，2，3，这些乒
乓球除所标数字不同外其余均相同．先从袋子里随机摸出1个乒乓球，记下标
号后放回，再从袋子里随机摸出1个乒乓球记下标号，请用画树状图（或列表）
的方法，求两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【专题】1：常规题型．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次
摸出的乒乓球标号乘积是偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的有5种情况，
∴两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的概率为： ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以
第18页（共34页）不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图
法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总
情况数之比．
17．（6分）某文具厂计划加工3000套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加
工画图工具的数量是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务，求该文具厂原
计划每天加工这种画图工具的数量．
【考点】B7：分式方程的应用．
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【专题】126：工程问题．
【分析】根据题意设出该文具厂原计划每天加工x套这种画图工具，再根据已知条
件列出方程即可求出答案．
【解答】解：设文具厂原计划每天加工x套这种画图工具．
根据题意，得 ﹣ =4．
解得 x=125．
经检验，x=125是原方程的解，且符合题意．
答：文具厂原计划每天加工125套这种画图工具．
【点评】本题主要考查了如何由实际问题抽象出分式方程，在解题时要能根据题
意找出等量关系列出方程是本题的关键．
18．（7分）如图，为测量某建筑物的高度AB，在离该建筑物底部24米的点C处，
目测建筑物顶端A处，视线与水平线夹角∠ADE为39°，且高CD为1.5米，求建
筑物的高度AB．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，
tan39°=0.81）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】121：几何图形问题．
【分析】过D作DE⊥AB于点E，继而可得出四边形BCDE为矩形，DE=BC=24米，
CD=BE=1.5米，根据∠ADE=39°，在Rt△ADE中利用三角函数求出AE的长度，继
第19页（共34页）而可求得AB的长度．
【解答】解：过D作DE⊥AB于点E，
∴四边形BCDE为矩形，
DE=BC=24米，CD=BE=1.5米，
在Rt△ADE中，
∵∠ADE=39°，
∴tan∠ADE= =tan39°=0.81，
∴AE=DE•tan39°=24×0.81=19.44（米），
∴AB=AE+EB=19.44+1.5=20.94≈20.9（米）．
答：建筑物的高度AB约为20.9米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用仰角构造直角
三角形，利用三角函数求解．
19．（7分）如图，在 ▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，
点F在BC的延长线上，且CF= BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．
【考点】KX：三角形中位线定理；L7：平行四边形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】利用三角形中位线定理判定OE∥BC，且OE= BC．结合已知条件CF=
BC，则OE CF，由“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”证得结
论．
【解答】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是BD的中点．
又∵点E是边CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥BC，且OE= BC．
第20页（共34页）又∵CF= BC，
∴OE=CF．
又∵点F在BC的延长线上，
∴OE∥CF，
∴四边形OCFE是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理．此题利用了“平行
四边形的对角线互相平分”的性质和“有一组对边平行且相等的四边形为平
行四边形”的判定定理．
20．（7分）某校学生会为了解本校学生每天做作业所用时间情况，采用问卷的方
式对一部分学生进行调查，在确定调查对象时，大家提出以下几种方案：
（A）对各班班长进行调查；
（B）对某班的全体学生进行调查；
（C）从全校每班随机抽取5名学生进行调查．
在问卷调查时，每位被调查的学生都选择了问卷中适合自己的一个时间，学生会
收集到的数据整理后绘制成如图所示的条形统计图．
（1）为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象时选择了方案 C
（填A、B或C）；
（2）被调查的学生每天做作业所用时间的众数为 1. 5 小时；
（3）根据以上统计结果，估计该校800名学生中每天做作业用1.5小时的人数．
【考点】V4：抽样调查的可靠性；V5：用样本估计总体；VC：条形统计图；W5：众数．
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【专题】27：图表型．
第21页（共34页）【分析】（1）收集的方法必须具有代表性，据此即可确定；
（2）根据众数的定义即可求解；
（3）利用总人数800乘以对应的比例即可求解．
【解答】解：（1）为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象时选择
了方案C；
（2）众数是：1.5小时；
（3）800× =304（人）．
则估计该校800名学生中每天做作业用1.5小时的人数是304人．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要
的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．（8分）甲、乙两支清雪队同时开始清理某路段积雪，一段时间后，乙队被调往
别处，甲队又用了3小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时的清雪量保
持不变，乙队每小时清雪50吨，甲、乙两队在此路段的清雪总量y（吨）与清雪
时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（1）乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为 27 0 吨；
（2）求此次任务的清雪总量m；
（3）求乙队调离后y与x之间的函数关系式．
【考点】FH：一次函数的应用．
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【专题】31：数形结合．
【分析】（1）由函数图象可以看出乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为
270吨；
（2）先求出甲队每小时的清雪量，再求出m．
（3）设乙队调离后y与x之间的函数关系式为：y=kx+b，把A，B两点代入求出函数
关系式．
第22页（共34页）【解答】解：（1）由函数图象可以看出乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为
270吨；
故答案为：270．
（2）乙队调离前，甲、乙两队每小时的清雪总量为 =90吨；
∵乙队每小时清雪50吨，
∴甲队每小时的清雪量为：90﹣50=40吨，
∴m=270+40×3=390吨，
∴此次任务的清雪总量为390吨．
（3）由（2）可知点B的坐标为（6，390），设乙队调离后y与x之间的函数关系式为：
y=kx+b（k≠0），
∵图象经过点A（3，270），B（6，390），
∴
解得
∴乙队调离后y与x之间的函数关系式：y=40x+150．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是甲队每小时的清雪量．
22．（9分）探究：如图①，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长
CB至点E，使BE=AD，连结CD，AE，求证：△ACE≌△CBD．
应用：如图②，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使
BE=AD，连结CD，EA，延长EA交CD于点G，求∠CGE的度数．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KM：等边三角形的判定与性质；L8：菱形的
第23页（共34页）性质．
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【专题】121：几何图形问题．
【分析】探究：先判断出△ABC 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得
BC=AC，∠ACB=∠ABC，再求出CE=BD，然后利用“边角边”证明即可；
应用：连接AC，易知△ABC是等边三角形，由探究可知△ACE和△CBD全等，根据
全等三角形对应角相等可得∠E=∠D，然后根据三角形的一个外角等于与它不
相邻的两个内角的和求出∠CGE=∠ABC即可．
【解答】解：探究：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=∠ABC，
∵BE=AD，
∴BE+BC=AD+AB，
即CE=BD，
在△ACE和△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD（SAS）；
应用：如图，连接AC，易知△ABC是等边三角形，
由探究可知△ACE≌△CBD，
∴∠E=∠D，
∵∠BAE=∠DAG，
∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG，
∴∠CGE=∠ABC，
∵∠ABC=60°，
∴∠CGE=60°．
第24页（共34页）【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的
性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键，（2）作辅助线构造
出探究的条件是解题的关键．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点（1，﹣1），且对
称轴为直线x=2，点P、Q均在抛物线上，点P位于对称轴右侧，点Q位于对称
轴左侧，PA垂直对称轴于点A，QB垂直对称轴于点B，且QB=PA+1，设点P的横
坐标为m．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）求点Q的坐标（用含m的式子表示）；
（3）请探究PA+QB=AB是否成立，并说明理由；
（4）抛物线y=a x2+b x+c（a ≠0）经过Q、B、P三点，若其对称轴把四边形PAQB分
1 1 1 1
成面积比为1：5的两部分，直接写出此时m的值．
【考点】HF：二次函数综合题；K3：三角形的面积．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）根据经过的点的坐标和对称轴列出关于b、c的方程组，然后求解得
到b、c的值，即可得解；
（2）根据点P在抛物线上表示点P的坐标，再求出PA，然后表示出QB，从而求出
点Q的横坐标，代入抛物线解析式求出点Q的纵坐标，从而得解；
（3）根据点P、Q的坐标表示出点A、B的坐标，然后分别求出PQ、BQ、AB，即可得
第25页（共34页）解；
（4）根据抛物线的对称性，抛物线y=a x2+b x+c 的对称轴为QB的垂直平分线，然
1 1 1
后根据四边形PAQB被分成的两个部分列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点（1，﹣1），且对称轴为在线x=2，
∴ ，
解得 ．
∴这条抛物线所对应的函数关系式y=x2﹣4x+2；
（2）∵抛物线上点P的横坐标为m，
∴P（m，m2﹣4m+2），
∴PA=m﹣2，
QB=PA+1=m﹣2+1=m﹣1，
∴点Q的横坐标为2﹣（m﹣1）=3﹣m，
点Q的纵坐标为（3﹣m）2﹣4（3﹣m）+2=m2﹣2m﹣1，
∴点Q的坐标为（3﹣m，m2﹣2m﹣1）；
（3）PA+QB=AB成立．
理由如下：∵P（m，m2﹣4m+2），Q（3﹣m，m2﹣2m﹣1），
∴A（2，m2﹣4m+2），B（2，m2﹣2m﹣1），
∴AB=（m2﹣2m﹣1）﹣（m2﹣4m+2）=2m﹣3，
又∵PA=m﹣2，QB=m﹣1，
∴PA+QB=m﹣2+m﹣1=2m﹣3，
∴PA+QB=AB；
（4）∵抛物线y=a x2+b x+c （a ≠0）经过Q、B、P三点，
1 1 1 1
∴抛物线y=a x2+b x+c 的对称轴为QB的垂直平分线，
1 1 1
∵对称轴把四边形PAQB分成面积为1：5的两部分，
第26页（共34页）∴ × × = × （2m﹣3）×（2m﹣3），
整理得，（2m﹣3）（m﹣3）=0，
∵点P位于对称轴右侧，
∴m＞2，
∴2m﹣3≠0，
∴m﹣3=0，
解得m=3．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，抛
物线上点的坐标特征，三角形的面积，难点在于（4）根据抛物线的对称性判断
出抛物线的对称轴为QB的垂直平分线．
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从
点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当
点P与点 A不重合时，过点 P作PQ⊥AB 于点 Q，以 PQ 为边向右作正方形
PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P
运动的时间为t（秒）．
（1）求点N落在BD上时t的值；
（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；
（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．
【考点】KQ：勾股定理；KX：三角形中位线定理；LB：矩形的性质；LE：正方形的性质；
S9：相似三角形的判定与性质；SO：相似形综合题；T1：锐角三角函数的定义．
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【专题】16：压轴题；32：分类讨论．
【分析】（1）可证△DPN∽△DQB，从而有 ，即可求出t的值．
（2）只需考虑两个临界位置（①MN经过点O，②点P与点O重合）下t的值，就可
第27页（共34页）得到点O在正方形PQMN内部时t的取值范围．
（3）根据正方形PQMN与△ABD重叠部分图形形状不同分成三类，如图4、图5、
图6，然后运用三角形相似、锐角三角函数等知识就可求出S与t之间的函数关
系式．
（4）由于点P在折线AD﹣DO﹣OC运动，可分点P在AD上，点P在DO上，点P在
OC上三种情况进行讨论，然后运用三角形相似等知识就可求出直线DN平分
△BCD面积时t的值．
【解答】解：（1）当点N落在BD上时，如图1．
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN∥QM，PN=PQ=t．
∴△DPN∽△DQB．
∴ ．
∵PN=PQ=PA=t，DP=3﹣t，QB=AB=4，
∴ ．
∴t= ．
∴当t= 时，点N落在BD上．
（2）①如图2，
则有QM=QP=t，MB=4﹣t．
∵四边形PQMN是正方形，
∴MN∥DQ．
∵点O是DB的中点，
∴QM=BM．
∴t=4﹣t．
∴t=2．
②如图3，
∵四边形ABCD是矩形，
第28页（共34页）∴∠A=90°．
∵AB=4，AD=3，
∴DB=5．
∵点O是DB的中点，
∴DO= ．
∴1×t=AD+DO=3+ ．
∴t= ．
∴当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是2＜t＜ ．
（3）①当0＜t≤ 时，如图4．
S=S =PQ2=PA2=t2．
正方形PQMN
②当 ＜t≤3时，如图5，
∵tan∠ADB= = ，
∴ = ．
∴PG=4﹣ t．
∴GN=PN﹣PG=t﹣（4﹣ t）= ﹣4．
∵tan∠NFG=tan∠ADB= ，
∴ ．
∴NF= GN= （ ﹣4）= t﹣3．
∴S=S ﹣S
正方形PQMN △GNF
=t2﹣ ×（ ﹣4）×（ t﹣3）
第29页（共34页）=﹣ t2+7t﹣6．
③当3＜t≤ 时，如图6，
∵四边形PQMN是正方形，四边形ABCD是矩形．
∴∠PQM=∠DAB=90°．
∴PQ∥AD．
∴△BQP∽△BAD．
∴ = = ．
∵BP=8﹣t，BD=5，BA=4，AD=3，
∴ ．
∴BQ= ，PQ= ．
∴QM=PQ= ．
∴BM=BQ﹣QM= ．
∵tan∠ABD= ，
∴FM= BM= ．
∴S=S = （PQ+FM）•QM
梯形PQMF
= [ + ]•
= （8﹣t）2
= t2﹣ t+ ．
综上所述：当0＜t≤ 时，S=t2．
当 ＜t≤3时，S=﹣ t2+7t﹣6．
第30页（共34页）当3＜t≤ 时，S= t2﹣ t+ ．
（4）设直线DN与BC交于点E，
∵直线DN平分△BCD面积，
∴BE=CE= ．
①点P在AD上，过点E作EH∥PN交AD于点H，如图7，
则有△DPN∽△DHE．
∴ ．
∵PN=PA=t，DP=3﹣t，DH=CE= ，EH=AB=4，
∴ ．
解得t= ．
②点P在DO上，连接OE，如图8，
则有OE=2，OE∥DC∥AB∥PN．
∴△DPN∽△DOE．
∴ ．
∵DP=t﹣3，DO= ，OE=2，
∴PN= （t﹣3）．
∵PQ= （8﹣t），PN=PQ，
∴ （t﹣3）= （8﹣t）．
解得：t= ．
③点P在OC上，设DE与OC交于点S，连接OE，交PQ于点R，如图9，
第31页（共34页）则有OE=2，OE∥DC．
∴△DSC∽△ESO．
∴ ．
∴SC=2SO．
∵OC= ，
∴SO= = ．
∵PN∥AB∥DC∥OE，
∴△SPN∽△SOE．
∴ ．
∵SP=3+ + ﹣t= ，SO= ，OE=2，
∴PN= ．
∵PR∥MN∥BC，
∴△ORP∽△OEC．
∴ ．
∵OP=t﹣ ，OC= ，EC= ，
∴PR= ．
∵QR=BE= ，
∴PQ=PR+QR= ．
∵PN=PQ，
∴ = ．
解得：t= ．
第32页（共34页）综上所述：当直线DN平分△BCD面积时，t的值为 、 、 ．
第33页（共34页）【点评】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角
三角函数的定义、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，考查了用割补法求
五边形的面积，考查了用临界值法求t的取值范围，考查了分类讨论的数学思
想，综合性较强，有一定的难度．
第34页（共34页）
