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2024 年中考第一次模拟考试（甘肃卷）
数学·全解全析
一．选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a3÷a＝a3
C．a﹣（b﹣a）＝2a﹣b D．（﹣ a）3＝﹣ a3
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故A错误；
B、a3÷a＝a2，故B错误；
C、a﹣（b﹣a）＝2a﹣b，故C正确；
D、（﹣ a）3＝﹣ a3，故D错误．
故选：C．
2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：C．
3．没有稳固的国防，就没有人民的安宁，2023年，中国国防预算约为15537亿元，将15537亿元用科学
记数法表示为（ ）
A．1.5537×1012 B．15.537×1011
C．1.5537×1013 D．0.15537×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：因为15537亿＝1553700000000，所以15537亿＝1.5537×1012．
故选：A．
4．用配方法解方程x2﹣4x﹣22＝0时，配方结果正确的是（ ）A．（x﹣2）2＝24 B．（x+2）2＝25 C．（x﹣2）2＝26 D．（x﹣2）2＝27
【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：x2﹣4x﹣22＝0，移项得：x2﹣4x＝22，配方得：x2﹣4x+4＝22+4，整理得：（x﹣2）2＝
26，
故选：C．
5．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．|b|＞|a| B．a+c＞0 C．ac＞0 D．b﹣c＞0
【解答】解：观察数轴可知：c＜b＜0＜a，且|b|＜|a|＜|c|；
所以|b|＞|a|，a+c＞0，ac＞0错误；b﹣c＞0正确；
故选：D．
6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（ ）
A．27° B．108° C．116° D．128°
【解答】解：∵∠A＝54°，∴∠BOC＝2∠A＝108°，
故选：B．
7．如图，△OAB与△OA′B′位似，其中A、B的对应点分别为A′，B′，A′，B′均在图中正方形网格格点上，
若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（ ）
A．（ ） B．（m，n）C．（2m，2n） D．（2n，2m）
【解答】解：∵△ABO扩大后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中
在格点上，
即A点坐标为：（1，2），A′点坐标为：（2，4），∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：（2m，2n）．
故选：C．
8．已知反比例函数y＝ （k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象
上的为（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，0） D．（﹣3，0）
【分析】根据反比例函数的性质判断即可．
【解答】解：因为反比例函数y＝ （k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，
所以k＜0，
A．2×3＝6＞0，故本选项不符合题意；
B．﹣2×3＝﹣6＜0，故本选项符合题意；
C．3×0＝0，故本选项不符合题意；
D．﹣3×0＝0，故本选项不符合题意；
故选：B．
9．下面的三个问题中都有两个变量：
①正方形的周长y与边长x；
②汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x；
③水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y与放水时间x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】（1）根据正方形的周长公式判断即可；
（2）根据“路程＝速度×时间”判断即可；
（3）根据“水箱中的剩余水量＝水箱的水量﹣0.8x”判断即可．
【解答】解：正方形的周长y与边长x的关系式为y＝4x，故①符合题意；
汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x的关系式为y＝30x，故②符合题意；水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y与放水时间d关系式为：水箱中的剩余水量＝水
箱的水量﹣0.8x，故③不符合题意；
所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．
故选：A．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D→C方向匀速
运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一
个点也随之停止．设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），下列能大致反映S与t之间函数关
系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得：AP＝t，AQ＝2t，
①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，
S ＝ AP•AQ＝ ＝t2，故选项C、D不正确；
APQ
△
②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，
S ＝ AP•AB＝ ＝4t，故选项B不正确；故选：A．
APQ
△
二．填空题
11．已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x＞y，则k的取值范围为 ．【解答】解：∵ ，
∴ ，∵x＞y，∴2k+3＞﹣k﹣2，解得k＞﹣ ，故答案为：k＞﹣ ．
12．因式分解：4a2b﹣b＝ ．
【解答】解：4a2b﹣b＝b（4a2﹣1）＝b（2a+1）（2a﹣1），
故答案为：b（2a+1）（2a﹣1）．
13．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ＝ ﹣ 2 b ．
【分析】首先根据数轴确定a和b的符号以及a+b的符号，然后利用绝对值的性质化简．
【解答】解：根据数轴可得：a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a+b＜0．
则原式＝﹣b﹣（a+b）+a＝﹣b﹣a﹣b+a＝﹣2b．故答案是：﹣2b．
14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线
的交点上，则sin∠ACB的值是 ．
【分析】连接AO并延长交⊙O于D，根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB，根据勾股定理求出AD，根
据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，由圆周角定理得：∠ACB＝∠ADB，
由勾股定理得：AD＝ ＝2 ，∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝ ＝ ＝ ，故答案为：
．15．如图，将长方形纸片按如图所示折叠，若∠1＝55°，则∠2的度数为 7 0 °．
【解答】解：由折叠的性质可知，∠1＝∠3＝55°，∵长方形的上下对应的边平行，∴∠2+（∠1+∠3）
＝180°，∴∠2＝70°，故答案为：70．
16．如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交
AC，AB于点D△，E，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
【解答】解：连接CE，
∵∠A＝30°，∴∠CBA＝90°﹣∠A＝60°，∵CE＝CB，
∴△CBE为等边三角形，∴∠ECB＝60°，BE＝BC＝2，∴S ＝ ＝ π，
扇形CBE∵S ＝ BC2＝ ，∴阴影部分的面积为 π﹣ ．故答案为： π﹣ ．
BCE
△
∴阴影部分的面积＝S ﹣S ﹣S ＝ ×2×2 ﹣ ﹣ × ×2＝ ﹣ ，
ABC 扇形CDE BCE
△ △
故答案为： ﹣ ．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段
EF的长为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，∴△AFD∽△EBA，
∴ ，∵DF＝6，∴AF＝ ＝ ＝8，
∴ ，∴AE＝5，∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3，
故答案为：3．
18．观察下列关于x的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…，按照上述规律，第2021个单项式是
4041 x 2021 ．
【分析】根据题目中的单项式，可以发现单项式的系数是从1开始的一些连续的奇数，字母的指数幂是
从1开始的一些连续的整数，从而可以写出第n个单项式，然后即可得到第2021个单项式．
【解答】解：∵关于x的单项式为：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…，
∴第n个单项式为（2n﹣1）xn，∴当n＝2021时，这个单项式是（2×2021﹣1）x2021＝4041x2021，
故答案为：4041x2021．
三．解答题
19.计算：
【解答】解：（1）
＝﹣3+1﹣4× +2 ＝﹣3+1﹣2 +2 ＝﹣2；20．先化简： ，再给x在﹣2，0，2，4中取一个合适的值代入求值．
【解答】解：原式＝[ ﹣ ]• ＝ • ＝ ，
∵x（x﹣2）≠0且x﹣4≠0且x≠0，∴x≠0且x≠2且x≠4，则x＝﹣2，
∴原式＝ ＝ ．
21．【本小题满分8分 】 如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基
本作图：作出∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和
线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：如图：
猜想：DF＝3BF，
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OD＝OB，∵AC＝2AB，∴AO＝AB．
∵∠BAC的角平分线与BO交于点F，∴点F是BO的中点，即BF＝FO，∴OB＝OD＝2BF，
∴DF＝DO+OF＝3BF，即DF＝3BF．
22．【本小题满分8分】为测量图中的铁塔EF的高度，小明利用自制的测角仪在C点测得塔顶E的仰角
为45°，从点A向正前方行进20米到B处，再用测角仪在D点测得塔顶E的仰角为60°．已知测角仪
AC的高度为1.5米，求铁塔EF的高度（结果精确到1米， ≈1.73）．【解答】解：如图，作CG⊥EF于点G，则D在CG上，四边形ACGF为矩形，GF＝AC＝1.5米．
设EG＝x米，则CG＝x米，DG＝（x﹣20）米，
在Rt EDG中， ＝tan60°，∴ ＝ ，解得x＝30+10 ，
∴EF△＝EG+GF＝30+10 +1.5≈49（米）．
答：铁塔EF的高度约为49米．
23．依据闯关游戏规则，请你探究“闯关游戏”的奥秘．闯关游戏规则：如图所示的面板上，有左右两组
开关按钮，每组中的两个按钮均分别控制一个灯泡和一个发音装置，同时按下两组中各一个按钮，当两
个灯泡都亮时闯关成功；当按错一个按钮时，发音装置就会发出“闯关失败”的声音．
（1）请写出所有可能闯关情况；
（2）求出闯关成功的可能性．
【分析】用列举法列举出可能闯关的所有情况，再进行比较即可．【解答】解：（1）所有可能闯关的情况列表如下：
1 2
1 （1，1） （1，2）
2 （2，1） （2，2）
因此，共有4种等可能情况．
（2）闯关成功的可能性为 ．因此，共有4种等可能情况．（2）闯关成功的可能性为 ．
因此，共有4种等可能情况．
（2）闯关成功的可能性为 ．因此，共有4种等可能情况．（2）闯关成功的可能性为 ．
24．某校为了解七、八年级学生对“防新冠疫情”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学
生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a七年级成绩频数分布直方图
年级 平均数 中位数
七 76.9 m
八 79.2 79.5
b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年级成绩平均数、中位数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的人数有多少？
（2）表中m的值为多少？
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排
名谁更靠前，并说明理由．
【分析】（1）根据频数分布直方图可得七年级在80分以上（含80分）的人数；
（2）根据中位数的概念求解即可；（3）根据中位数的意义求解即可．
【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的人数有15+8＝23（人）；
（2）七年级学生成绩的中位数m＝ ＝77.5（分）；
（3）七年级学生甲的成绩更靠前，
因为七年级学生甲的成绩大于其中位数．
25．一次函数y＝﹣x﹣2的图象与反比例函数 的图象相交于A（﹣3，m），B（n，﹣3）两点．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围．
（3）若动点E在y轴上，且S ＝6，求动点E的坐标．
EBA
△
【分析】（1）将点A坐标代入直线表达式，求出m，得到具体坐标，再将点A坐标代入反比例函数表
达式，求出k值可；
（2）求出点B坐标，结合图像可得结果；
（3）设点E坐标为（0，a），求出直线AB与y轴交点F的坐标，再根据S ＝6，列出方程，解之可
EBA
△
得．
【解答】解：（1）将A（﹣3，m）代入y＝﹣x﹣2得：m＝﹣（﹣3）﹣2＝1，
∴A（﹣3，1），代入 中，
得：k＝（﹣3）×1＝﹣3，
∴ ；
（2）将B（n，﹣3）代入y＝﹣x﹣2中，
得﹣3＝﹣n﹣2，解得：n＝1，
∴B（1，﹣3），
由图像可知：当一次函数图像在反比例函数图像下方时，对应的x为﹣3≤x＜0或x＞1，
∴使一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围是﹣3≤x＜0或x≥1．
（3）设点E坐标为（0，a），直线AB与y轴交于点F，
在y＝﹣x﹣2中，令x＝0，则y＝﹣2，
∴F（0，﹣2），
∵S ＝6，
EBA
△
∴ ，即 ，
解得：a＝﹣5或a＝1，
∴点E的坐标为（0，﹣5）或（0，1）．
26．【本小题满分10分】如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别
为C，D，连接OP，CD．
（1）求证：OP⊥CD；
（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．
【解答】解：（1）连接OC，OD，∴OC＝OD，∵PD，PC是⊙O的切线，
∵∠ODP＝∠OCP＝90°，在Rt ODP和Rt OCP中， ，
∴Rt ODP≌Rt OCP（HL），△∴∠DOP＝△∠COP，∵OD＝OC，∴OP⊥CD；
（2）△如图，连接△OD，OC，
∴OA＝OD＝OC＝OB＝2，∴∠OCB＝∠CBA＝70°，∠ODA＝∠OAD＝50°，
∴∠BOC＝40°，∠AOD＝80°，∴∠COD＝180°﹣∠BOC﹣∠AOD＝60°，
∵∠ODP＝∠OCP＝90°，∵OD＝OC，∴△COD是等边三角形，
由（1）知，∠DOP＝∠COP＝30°，在Rt ODP中，OP＝ ＝ ．
△27．【本小题满分10分】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于O，AC平
分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB＝3 ，BD＝6，求OE的长．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，∴CD＝AB，
∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AD＝AB，∴ ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形▱ABCD是菱形，BD＝6，
∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝ BD＝3，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，
∴OE＝ AC＝OA＝OC，
在Rt AOB中，AB＝3 ，OB＝3，
∴OA △＝ ＝ ＝6，
∴OE＝OA＝6．
28．(12分)如图，抛物线 与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连
接AB，BC，对称轴PD交AB与点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，试探究：线段BC上是否存在点M，使∠EMO＝∠ABC，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，点Q是抛物线的对称轴PD上一点，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请
直接写出点Q纵坐标n的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）先求出 A（4，0），可得抛物线的对称轴为 x＝ ＝ ，证明∠ACB＝∠ABC，
△MCO∽△EBM，可得MC•BM＝BE•CO，求出MC，即可求解；
（3）当∠BAQ为直角时，求出直线BQ的表达式为y＝ x+3，得到n＝5；当∠BQA为直角时，利用解
直角三角形的方法求出n＝ ；当∠BAQ为直角时，同理可得，n＝﹣ ，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得： ，解得 ，故抛物线的表达式为y＝﹣ x2+ x+3；
（2）对于y＝﹣ x2+ x+3，令y＝﹣ x2+ x+3＝0，解得x＝4或﹣1，故点A的坐标为（4，0），
∵点A（4，0），B（0，3），C（﹣1，0），
∴抛物线的对称轴为x＝ ＝ ，直线AB的表达式为y＝﹣ x+3，AB＝ ＝5＝AC．
∴∠ACB＝∠ABC，点 E（ ， ），∵∠CME＝∠CMO+∠OME＝∠ABC+∠MEB，∠ABC＝
∠OME，
∴∠CMO＝∠BEM．∴△MCO∽△EBM，
∴ ，∴MC•BM＝BE•CO，
∵B（0，3），E（ ， ），∴BE＝ ＝ ，∴MC•BM＝ ，
∵MC+BM＝BC＝ ＝ ．∴MC＝ 或MC＝ ．∴ ＝ 或 ＝
，
如图，过M作MK⊥x轴于K，则MK∥y轴，
∴△CMK∽△CBO，∴ ＝ 或 ，即 ＝ 或 ，∴MK＝ 或 ，
∵B（0，3），C（﹣1，0），∴直线BC的解析式为y＝3x+3，∴M的﹣横坐标为﹣ 或﹣ ，
∴点M的坐标为（﹣ ， ）或（﹣ ， ）；
（3）设点Q的坐标为（ ，n），
（4）当∠ABQ为直角时，如图，
设BQ交x轴于点H，
∵∠ABQ＝90°，∴∠BAO+∠BHA＝90°，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BHA，
∵tan∠ABO＝ ，∴tan∠BHO＝ ，故设直线BQ的表达式为y＝ x+t，∵该直线过点B（0，3），
∴t＝3，∴直线BQ的表达式为y＝ x+3，
当x＝ 时，y＝ x+3＝5，即n＝5；
②当∠BQA为直角时，过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，
∵∠BQN+∠MQA＝90°，∠MQA+∠MAQ＝90°，∴∠BQN＝∠MAQ，
∴tan∠BQN＝tan∠MAQ，即 ，则 ，解得n＝ ；
③当∠BAQ为直角时，
同理可得，n＝﹣ ；
综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ不为直角三角形，
故点Q纵坐标n的取值范围为﹣ ＜n＜ 或 ＜n＜5．
