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2024年上半年中小学国家教师资格考试（初级中学）押题卷一
一、单项选择题（本大题共(cid:3)8 小题，每小题(cid:3)5 分，共(cid:3)40 分）
1.【答案】A
【考点】高等数学——极限与连续——函数的极限(cid:3)
【解析】本题主要考查极限的相关知识。由题，当𝑥 → 0时，𝑥3为无穷小，
1
cos 为有界函数，因此由“无穷小与有界函数的乘积”得该极限仍为无穷小。
𝑥2
故正确答案为 A。
2.【答案】C
【考点】高等数学——极限与连续——函数间断点及分类
𝑥−𝑥3
【解析】本题主要考查函数间断点的相关知识。由于𝑓(𝑥) = ，则当𝑥取
𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥
任何整数时，𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥 = 0，此时𝑓(𝑥)无意义，因此𝑓(𝑥)有无穷多个间断点，但是
可去间断点为极限存在的点，因此该点为𝑥−𝑥3 = 0的解，解得𝑥 = 0或±1。
𝑥−𝑥3 1−3𝑥2 1
lim = lim = ；
𝑥→0𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥 𝑥→0𝜋𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥 𝜋
𝑥−𝑥3 1−3𝑥2 2
lim = lim = ；
𝑥→−1𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥 𝑥→−1𝜋𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥 𝜋
𝑥−𝑥3 1−3𝑥2 2
lim = lim = ；
𝑥→1𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥 𝑥→1𝜋𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥 𝜋
故正确答案为 C。
3.【答案】B
【考点】高等数学——导数与微分——导数的概念
【 解 析 】 本 题 主 要 考 查 导 数 的 相 关 知 识 。 由 题 𝑓’(𝑥 ) = 𝐴 ， 则
0
lim
𝑓(𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0−ℎ)
= 𝐴，因此lim
𝑓(𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0−ℎ)
= 2lim
𝑓(𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0−ℎ)
= 2𝐴。
ℎ→0 2ℎ ℎ→0 ℎ ℎ→0 2ℎ
故正确答案为 B。
4.【答案】C
【考点】线性代数——行列式——行列式的性质
𝑎 𝑎 𝑎
11 12 13
【解析】本题主要考查行列式的相关知识。由题|𝑎 𝑎 𝑎 | = 𝑎，因此
21 22 23
𝑎 𝑎 𝑎
31 32 33
2𝑎 2𝑎 2𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
11 12 13 11 12 13
| −𝑎 −𝑎 −𝑎 | = 2| −𝑎 −𝑎 −𝑎 | =
21 22 23 21 22 23
𝑎 +𝑎 𝑎 +𝑎 𝑎 +𝑎 𝑎 +𝑎 𝑎 +𝑎 𝑎 +𝑎
11 31 12 32 13 33 11 31 12 32 13 33𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
11 12 13 11 12 13
−2| 𝑎 𝑎 𝑎 | = −2|𝑎 𝑎 𝑎 | = −2𝑎。
21 22 23 21 22 23
𝑎 +𝑎 𝑎 +𝑎 𝑎 +𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
11 31 12 32 13 33 31 32 33
故正确答案为 C。
5.【答案】D
【考点】空间与图形——解析几何——空间平面与直线
𝑥−1 𝑦−2 𝑧−3
【解析】本题主要考查直线方程的相关知识。由题，令直线 = =
1 2 3
的方向向量为𝑠⃗⃗⃗ ，则𝑠⃗⃗⃗ = (1,2,3)，并且直线经过点𝑀(1,2,3)。设平面𝜋的法向量
1 1
𝑖 𝑗 𝑘⃗
为𝑛⃗ ，则𝑛⃗ ⊥𝑠⃗⃗⃗ 1 ，𝑛⃗ ⊥𝑀⃗⃗⃗⃗⃗𝑄⃗ ，𝑀⃗⃗⃗⃗⃗𝑄⃗ = (1,1,1,)，因此𝑛⃗ = 𝑠⃗⃗⃗ 1 ×𝑀⃗⃗⃗⃗⃗𝑄⃗ = |1 2 3| = −𝑖 +
1 1 1
2𝑗 −𝑘⃗ = (−1,2,−1)，设𝑠⃗⃗⃗ 为 𝑥−2 = 𝑦−3 = 𝑧−4 的方向向量，则𝑠⃗⃗⃗ = (1,−1,−1)，令
2 2
1 −1 −1
𝑖 𝑗 𝑘⃗
所求直线的方向向量为𝑠 ，则𝑠 ⊥𝑛⃗ ，𝑠 ⊥𝑠⃗⃗⃗ 2 ，因此𝑠 = 𝑛⃗ ×𝑠⃗⃗⃗ 2 = |−1 2 −1| =
1 −1 −1
−3𝑖 −2𝑗 −𝑘⃗ = (−3,−2,−1)。又直线经过点(3,4,5)，则所求直线方程为 𝑥−3 =
−3
𝑦−4 𝑧−5
= 。
−2 −1
故正确答案为 D。
6.【答案】B
【考点】高等数学——级数——幂级数
1 1
【解析】本题主要考查级数的相关知识。令𝑢 = ，𝑢 = ，
𝑛 (𝑛+2)∙2𝑛 𝑛+1 (𝑛+3)∙2𝑛+1
1
则𝑅 = lim |
𝑢𝑛
| = lim |
(𝑛+2)∙2𝑛
| = lim |
2(𝑛+3)
| = 2，因此收敛半径为 2。
𝑛→∞ 𝑢𝑛+1 𝑛→∞
(𝑛+3)
1
∙2𝑛+1
𝑛→∞ 𝑛+2
∞ ∞
(−2)𝑛−1 (−1)𝑛−1
当𝑥 = −2时，级数为∑ = ∑ ，由莱布尼兹判别法可知
(𝑛+2)∙2𝑛 2(𝑛+2)
𝑛=1 𝑛=1
∞ ∞ ∞
2𝑛−1 1 1 1
级数收敛；当𝑥 = 2时，级数为∑ = ∑ = ∑ ，由𝑃
(𝑛+2)∙2𝑛 2(𝑛+2) 2 𝑛+2
𝑛=1 𝑛=1 𝑛=1
级数的性质可知级数发散；因此收敛域为[−2,2)。
故正确答案为 B。
7.【答案】D
【考点】教材教法——数学课程标准——课标内容与理念
【解析】本题考查的是教学知识的相关知识。学生评价不是为了满足家长需求为目的的。
故正确答案为 D。
8.【答案】C
【考点】教材教法——数学课程标准——课标内容与理念
【解析】本题主要考查课程标准的相关知识。《义务教育数学课程标准（2011
年版）》指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以
把复杂的数学 问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
故正确答案为 C。
二、简答题（本大题共 5小题，每小题 7分，共 35分）
9.【参考答案】
【考点】高等数学——导数与微分——导数的概念
𝑓′(𝑥) = lim 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) = lim 𝑠𝑖𝑛(𝑥+ℎ)−𝑠𝑖𝑛𝑥 = lim 1 ∙2𝑐𝑜𝑠(𝑥+ ℎ )𝑠𝑖𝑛 ℎ =
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ ℎ→0ℎ 2 2
ℎ
ℎ 𝑠𝑖𝑛
lim𝑐𝑜𝑠(𝑥 + )∙ 2 = 𝑐𝑜𝑠𝑥。
ℎ→0 2 ℎ
2
10.【参考答案】
【考点】高等数学——积分——定积分
1 1
设∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐴，则𝑓(𝑥) = 𝑥+2𝐴，等式两边同时积分得∫ (𝑥 +2𝐴)𝑑𝑥 =
0 0
1
∫ 1 𝑓(𝑡)𝑑𝑡。又∫ 1 (𝑥+2𝐴)𝑑𝑥 = ( 1 𝑥2 +2𝐴𝑥)| = 1 +2𝐴，故 1 +2𝐴 = 𝐴，解得𝐴 =
0 0 2 0 2 2
1
− ，所以𝑓(𝑥) = 𝑥 −1。
2
11.【参考答案】
【考点】高等数学——导数与微分——微分学基本定理
3−𝑥2 1
由题可知分段点为𝑥 = 1，因为 lim = 1，lim = 1，𝑓(1) = 1，所以
𝑥→1− 2 𝑥→1+𝑥
lim𝑓(𝑥) = 𝑓(1) = 1，因此函数在𝑥 = 1处连续。函数在[0,2]的非分段点处均为
𝑥→1
初等函数，因此函数𝑓(𝑥)在区间[0,2]上连续。又𝑓′(1) = lim
𝑓(𝑥)−𝑓(1)
=
−
𝑥→1− 𝑥−1
3−𝑥2 1
lim 2
−1
= lim
3−𝑥2−2
= −1，𝑓′(1) = lim
𝑓(𝑥)−𝑓(1)
= lim 𝑥
−1
== −1，所以
+
𝑥→1− 𝑥−1 𝑥→1− 2(𝑥−1) 𝑥→1+ 𝑥−1 𝑥→1+𝑥−1
𝑓′(1) = 𝑓′(1)，函数𝑓(𝑥)在𝑥 = 1处可导，则函数𝑓(𝑥)在区间[0,2]上可导。
− +
综上，函数𝑓(𝑥)在区间[0,2]上满足拉格朗日定理条件。12.【参考答案】
新课程改革是近几年来教育改革不断深入的一个重要方面，而改革后的新课
程应具有时代性，生长性和创新性等。因此，课堂教学方法也要相应紧紧跟随新
课程地实施进行不断创新发展。就数学教学方法的创新而言，应该注意以下几点：
第一、时时注意教学活动要与实际问题情境相结合，积极营造良好的教学氛
围。学生乐于学习是确保教学有效性的重要因素，也是教学是否成功的一个标志。
例如学习锐角三角函数时，可以通过呈现测量山高的生活情境，提出问题，引发
学生思考。
第二、数学教学方法要在“生活问题数学化”中创新，这样数学教学才能更形
象有味。例如：在学习一元二次方程时，教师应精心设计教学学习情境，通过一
些生活中常见的实例，提出问题，学生列出关系式，引出课题。
第三、要注意积极引导学生主动投入学习进行研究性活动。这样，学生在情
境的激励下和问题的互动中才能真正的理解老师所教授的知识。例如在学习一次
函数时，教师通过几何画板展示不同函数图象，引导学生小组讨论图象的性质。
第四、更重视现代化教学技术在课堂教学中的应用，使数学教学通过现代化
手段，变静态为动态，变抽象为直观，变复杂为简单。
13.【参考答案】
【考点】教学技能——教学原则——巩固与发展
（1）遵循记忆的规律，巩固所学知识。
①通过加深理解，增强识记和保持。
②通过归纳、类比、联想，促进再认、再现。
（2）掌握遗忘的规律，复习所学知识。
（3）巩固知识要着眼于发展能力。
①基础知识的复习，要注重数学思想的培养和数学方法的训练。
②综合知识的复习，要有计划、有步骤地进行题组训练。
三、解答题（本大题 1小题，10分）
14.【参考答案】
【考点】高等数学——极限与连续——函数的连续
证明：因为函数𝑓(𝑥)在开区间(𝑎,𝑏)内连续，𝑎 < 𝑥 < 𝑥 < 𝑏，所以𝑓(𝑥)在
1 2[𝑥 ,𝑥 ]上连续，由闭区间上连续函数的性质可得，𝑓(𝑥)在[𝑥 ,𝑥 ]上存在最大值𝑀
1 2 1 2
与最小值𝑚，即在[𝑥 ,𝑥 ]上，𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀，所以(𝑡 +𝑡 )𝑚 ≤ 𝑡 𝑓(𝑥 )+
1 2 1 2 1 1
𝑡 𝑓(𝑥 ) ≤ (𝑡 +𝑡 )𝑀，又因为𝑡 +𝑡 > 0，所以𝑚 ≤
𝑡1𝑓(𝑥1 )+𝑡2𝑓(𝑥2 )
≤ 𝑀，由连续
2 2 1 2 1 2
𝑡1+𝑡2
函数的介值定理可得，存在𝑐 ∈ [𝑥 ,𝑥 ]，使得
𝑡1𝑓(𝑥1 )+𝑡2𝑓(𝑥2 )
= 𝑓(𝑐)，即𝑡 𝑓(𝑥 )+
1 2 1 1
𝑡1+𝑡2
𝑡 𝑓(𝑥 ) = (𝑡 +𝑡 )𝑓(𝑐)，(𝑡 > 0,𝑡 > 0)。
2 2 1 2 1 2
得证。
四、论述题（本大题 1小题，15分）
15．【参考答案】
所谓数形结合思想，就是在研究问题时把数和形结合考虑，把问题的数量关
系转化为图形性质，或把图形性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽
象问题具体化．解题中的数形结合，是指对问题既进行几何直观的呈现，又进行
代数抽象的揭示，两个方面相辅相成，而不是简单地代数问题用几何方法或几何
问题用代数方法，两方面有机结合才是完整的数形结合．
求函数最值问题是一个代数问题，如果能画出函数图象便可以将抽象的代数
问题转化成直观的几何问题．例如二次函数求值域，需要先引导学生画出二次函
数的图象，然后引导学生找到要求最值的区间，将区间与函数图象对应起来，如
果正函数自变量取值范围之内函数是单调函数，那么便可以看出来在区间端点处
取得最值，如果二次函数的对称轴在自变量区间之内，那么要看函数的开口方向，
开口向上，则对称轴处取得最小值，反之对称轴处取得最大值．在解决问题之后
要引导学生总结数形结合思想方法的便利之处，并找到数形结合思想方法的限
制．最后多利用练习题巩固数形结合的思想方法．
五、案例分析题（本大题 1小题，20分）
16.【参考答案】
【考点】教学技能——教学评价——课堂教学评价
（1）教学优点：①新课程标准指出数学教学活动应激发学生的兴趣，调动
学生积极性，引发学生思考，以上材料中采用了讲故事的方法引入新课，该教学
方法适应学生的认知发展水平和已有的经验，能较好地激发学生学习兴趣。②丰
富的教学方法和与实际结合的内容选取，较好地落实了本节课的教学目标，尤其对于在探究活动中，培养合作交流意识和探索精神这一情感目标的达成特别到位。
（2）需改进的方面：新课标要求教师不仅要教会学生知识，还要教会学生
学习方法，所以在教学过程中要注意使用启发式的教学方法，能更大程度上地拓
宽学生的思考范围，增强学生各方面能力的提升。
改进方法：为了达到启发学生的目的，在学生进行探究性活动的时候可以设
置一些问题串来引导学生，让所有的学生都能达到较好的学习效果。
六、教学设计题（本大题 1小题，30分）
17.【参考答案】
【考点】教学技能——教学设计——教学设计工作
（1）教学目标
知识与技能目标：掌握多边形内角和公式，并能运用公式解决简单问题。
过程与方法目标：通过探究多边形内角和公式，体会化归思想以及从具体到
抽象的研究问题的方法。
情感态度与价值观目标：通过公式的猜想、归纳、推断一系列过程，体验数
学活动
充满着探索性和创造性，增强学习数学的兴趣和勇于创新的精神。
（2）教学重难点
教学重点：多边形内角和公式的探究过程。
教学难点：获得将多边形分割成三角形来解决问题的思路，确定分割后的三
角形的个数。
（3）教学过程
一、导入新课
教师活动：通过复习导入的方式，复习三角形内角和与矩形内角和，提问：
任意四边形、五边形、六边形……的内角和是多少？
学生活动：就教师的提问展开独立思考或进行讨论。
教师活动：教师顺势引出课题——多边形的内角和。
二、探索新知
1.任意四边形内角和
教师活动：请学生在纸上画长方形和任意四边形，并提问：长方形和正方形的内角和都是 360°，那么是否任意四边形的内角和都等于 360°？能否证明？组
织学生同桌之间交流，教师进行巡视指导，找学生回答讨论结果并进行适当的评
价。
学生活动：预设学生回答：只需连接一条对角线，将一个四边形分割为两个
三角形，即可求出四边形的内角和。
教师活动：给出证明过程，并板书，注意强调两个三角形的内角全部加起来
刚好是四边形的内角和。
2.探究多边形内角和
教师活动：教师提问：类似地，你能知道五边形、六边形的内角和是多少度
吗？并将得到的结果记录在表格中。组织学生以四人为一小组进行讨论，讨论结
束之后请小组代表分享成果，教师给予积极的评价。
学生活动：预设学生利用分割四边形的方法，探究五边形、六边形的内角和。
前后四人为一组，合作完成表格的前两行。
3.总结归纳，得出结论
教师活动：继续提问：如果是𝑛边形，内角和又是多少呢？怎么利用分割法
求𝑛边形的内角和？引导学生观察四边形、五边形、六边形对应的数据，进行归
纳猜想。
学生活动：预设学生根据四边形、五边形、六边形的内角和得出规律：𝑛边
形从一顶点出发的对角线条数为(𝑛−3)条、分割成的三角形个数为(𝑛−2)个，
内角和为180°×(𝑛−2)，完成表格。
三、巩固提高
教师活动：教师通过多媒体出示相关题目，引导学生在练习本上进行练习或
找学生代表到黑板进行板演，针对结果进行相应评价。1.八边形的内角和是多少度？
2.已知一个多边形的内角和是(cid:3)1980°，则这个多边形是几边形？(cid:3)
学生活动：学生进行相关练习，展示结果。
四、课堂小结
教师活动：教师利用课件展示以下几个问题：(cid:3)
（1）本节课学习了哪些主要内容？(cid:3)
（2）我们是怎样得到多边形内角和公式的？(cid:3)
（3）在探究多边形内角和公式的过程中，连接对角线起到什么作用？(cid:3)
学生活动：学生畅谈本节课收获。
五、布置作业
你能否想到其他分割方法推导出多边形的内角和公式？
2024年上半年中小学国家教师资格考试（初级中学）押题卷二
一、单项选择题（本大题共(cid:3)8 小题，每小题(cid:3)5 分，共(cid:3)40 分）(cid:3)
1.【答案】D
【考点】高等数学——极限与连续——函数的极限
𝑥2+𝑎𝑥+𝑏
【解析】本题主要考查极限的相关知识。由题可得lim = 3，又因为
𝑥→2 𝑥−2
lim(𝑥−2) = 0，因此lim(𝑥2 +𝑎𝑥+𝑏) = 0，令𝑥2 +𝑎𝑥 +𝑏 = (𝑥−2)(𝑥+𝑚)，
𝑥→2 𝑥→2
则lim(𝑥+𝑚) = 3，因此𝑚 = 1，𝑥2 +𝑎𝑥+𝑏 = (𝑥−2)(𝑥+1) = 𝑥2 −𝑥 −2，所
𝑥→2
以𝑎 = −1，𝑏 = −2。
故正确答案为 D。
2.【答案】B
【考点】高等数学——导数与微分——导数的运算
【解析】本题主要考查导数的相关知识。由题，𝑓′(2) = lim
𝑓(𝑥)−𝑓(2)
=
𝑥→2 𝑥−2
(𝑥−1)(𝑥−2)∙∙∙(𝑥−100)
lim = 1∙(−1)∙(−2)⋯(−98) = 98!。
𝑥→2 𝑥−2
故正确答案为 B。
3.【答案】C
【考点】高等数学——极限与连续——渐近线2𝑥+1
【解析】本题主要考查渐近线的相关知识。由题，因为lim = 0，所以
𝑥→∞(𝑥−1)2
2𝑥+1
𝑦 = 0是其水平渐近线；又因为lim = ∞，所以𝑥 = 1是其垂直渐近线。
𝑥→1(𝑥−1)2
故正确答案为 C。
4.【答案】A
【考点】线性代数——矩阵——矩阵的运算
1 0
1 2 3
【解析】本题主要考查矩阵的相关知识。由题𝐴 = ( )，𝐵 = (2 −1)，
2 1 0
0 2
5 4
则𝐴𝐵 = ( )。
4 −1
故正确答案为 A。
5.【答案】B
【考点】空间与图形——解析几何——空间平面与直线
【解析】本题主要考查点到平面距离公式的相关知识。由题，利用点到平面
|6+4+0|
的距离公式可得𝑑 = = √2。
√9+16+25
故正确答案为 B。
6.【答案】B
【考点】高等数学——级数——幂级数
1 1
【解析】本题主要考查级数的相关知识。令𝑢 = ，𝑢 = ，则
𝑛 𝑛∙3𝑛 𝑛+1 (𝑛+1)∙3𝑛+1
1
𝑅 = lim | 𝑢𝑛 | = lim | 𝑛∙3𝑛 | = lim | 3(𝑛+1) | = 3，因此收敛半径为 3，所以
𝑛→∞ 𝑢𝑛+1 𝑛→∞
(𝑛+1)
1
∙3𝑛+1
𝑛→∞ 𝑛
|𝑥+2| < 3，−5 < 𝑥 < 1。
∞ ∞
(−3)𝑛 (−1)𝑛
当𝑥 = −5时，级数为∑ = ∑ ，由莱布尼兹判别法可知级
𝑛∙3𝑛 𝑛
𝑛=1 𝑛=1
∞ ∞
3𝑛 1
数收敛；当𝑥 = 1时，级数为∑ = ∑ ，由𝑃级数的性质可知级数发
𝑛∙3𝑛 𝑛
𝑛=1 𝑛=1
散；因此收敛域为[−5,1)。
故正确答案为 B。
7.【答案】B
【考点】课程知识——数学史——中国古代数学
【解析】本题主要考查数学史的相关知识。《数书九章》论述了自然数、分数、小数、负数，还第一次用小数表示无理根的近似值。
故正确答案为 B。
8.【答案】C
【考点】教材教法——数学课程标准——课标内容与理念
【解析】本题主要考查课程标准的相关知识。《义务教育数学课程标准（2011
年版）》指出：符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变
化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号
意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。故正确
答案为C。
二、简答题（本大题共 5小题，每小题 7分，共 35分）
9.【参考答案】
【考点】高等数学——导数与微分——导数的意义与应用
左右同时对𝑥求导得 1 ∙(1+𝑦′) = 𝑒𝑦 ∙𝑦′，当𝑥 = 0，𝑦 = 0时， 1 ∙
[𝑐𝑜𝑠(𝑥+𝑦+ 𝜋 )] 2 ( √2 ) 2
4 2
[1+𝑦′(0)] = 𝑦′(0)，2[1+𝑦′(0)] = 𝑦′(0)，解得𝑦′(0) = −2。
故切线方程为𝑦−0 = −2(𝑥−0)，即𝑦 = −2𝑥。
10.【参考答案】
【考点】高等数学——积分——积分的应用
由题意作出平面图形，绕𝑥轴旋转一周所生成的旋转体的体积，则𝑉 = 𝑉 −
𝑥 1
𝑉 = 𝜋×12 ×2−∫ 2 𝜋( 𝑥2 ) 2 𝑑𝑥 = 2𝜋− 𝜋 ∫ 2 𝑥4𝑑𝑥 = 2𝜋− 𝜋 × 𝑥5 | 2 = 8𝜋 ；绕𝑦轴
2 0 4 16 0 16 5 0 5
1 2 1
旋转一周所生成的旋转体的体积，则𝑉 = ∫ 𝜋(√4𝑦) 𝑑𝑦 = 4𝜋∫ 𝑦𝑑𝑦 =
𝑦 0 0
𝑦2 1
4𝜋× | = 2𝜋。
2 0
11.【参考答案】
【考点】空间与图形——解析几何——空间平面与直线
𝑥+2𝑦 = 4 𝑥 = 2
对于直线𝑙 ，令𝑧 = 0，则{ ，解得{ ，因此点(2,1,0)在直线𝑙
1 2𝑥 −2𝑦 = 2 𝑦 = 1 1
上，也在平面𝜋上。
𝑖 𝑗 𝑘⃗
令直线𝑙 1 的方向向量为𝑠⃗⃗⃗ 1 ，则𝑠⃗⃗⃗ 1 = |1 2 3| = 8𝑖 +5𝑗 −6𝑘⃗ = (8,5,−6)。
2 −2 1又令直线𝑙 的方向向量为𝑠⃗⃗⃗ ，则𝑠⃗⃗⃗ = (2,1,−1)，设平面𝜋的法向量为𝑛⃗ ，则𝑛⃗ ⊥
2 2 2
𝑖 𝑗 𝑘⃗
𝑠⃗⃗⃗ 1 ，𝑛⃗ ⊥𝑠⃗⃗⃗ 2 ，因此𝑛⃗ = 𝑠⃗⃗⃗ 1 ×𝑠⃗⃗⃗ 2 = |8 5 −6| = 𝑖 −4𝑗 −2𝑘⃗ = (1,−4,−2)。
2 1 −1
故平面𝜋的方程为(𝑥−2)−4(𝑦−1)−2(𝑧−0) = 0，即𝑥−4𝑦−2𝑧+2 = 0。
12.【参考答案】
【考点】课程知识——高中数学课程知识——课程概述
数学抽象是指通过数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。
主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系抽象出数学概念及概念之间
的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。
数学抽象表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方
法与思想，认识数学结构与体系。
通过高中数学课程的学习，学生能够在情境中抽象出数学概念、命题、方法
和体系，积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和事件中一般性思考问
题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方式思考并解决问
题。
举例：函数单调性概念的教学中，结合实例，经历从具体的直观描述到形式
的符号表达的抽象过程，加深对函数单调性概念的理解，体会用符号表达数学定
义的必要性。
13.【参考答案】
【考点】课程知识——高中数学课程知识——课程实施
兴趣是一个人积极探究某种事物或进行活动的意识倾向。学习兴趣是学生对
学习活动或学习对象的一种力求认识或趋近的意识倾向。兴趣是入门的向导，是
感情的体现，能促使动机的产生。学习兴趣是一种学习动机，是学习积极性中很
现实、很活跃的心理成分。总是积极主动，心情愉快的进行学习，不会产生负担。
例如：在学习一元二次方程时，教师应精心设计教学学习情境，通过一些生
活中常见的实例，提出问题，将学生置于该情境之中，激发学习兴趣，千方百计
的诱发学生的求知欲，使学生有一种力求认识世界，渴望获得知识，不断追求真
理的欲望，产生学习的自觉性，迸发出极大的学习热情。
三、解答题（本大题 1小题，10分）14.【参考答案】
【考点】高等数学——导数与微分——微分学基本定理
证明：（1）由于𝑓(𝑥)在[−1,1]上是奇函数，则𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)，且𝑓(0) = 0。
令𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥)−𝑥，则𝐹(𝑥)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且𝐹(0) = 𝑓(0)−0 =
0，𝐹(1) = 𝑓(1)−1 = 0，满足罗尔定理，因此存在𝜉 ∈ (0,1)，使得𝐹′(𝜉) = 0，
即𝑓′(𝜉)−1 = 0，𝑓′(𝜉) = 1。
得证。
（2）由于𝑓(𝑥)在[−1,1]上是奇函数，则𝑓′(𝑥)在[−1,1]上是偶函数，因此由
（1）可得，存在𝜉 ∈ (0,1)，𝑓′(−𝜉) = 𝑓′(𝜉) = 1。
令𝐺(𝑥) = 𝑒𝑥[𝑓′(𝑥)−1]，则𝐺(𝑥)在[−1,1]上连续，在(−1,1)上可导，且𝐺(𝜉) =
𝐺(−𝜉) = 0，由罗尔定理可得，存在𝜂 ∈ (−𝜉,𝜉)，即存在𝜂 ∈ (−1,1)，使得𝐺′(𝜂) = 0，
即𝑓′′(𝜂)+𝑓′(𝜂) = 1。
得证。
四、论述题（本大题 1小题，15分）
15.【参考答案】
【考点】课程知识——高中数学课程知识——课程内容
解析几何是这样一个数学学科，在采用坐标法的同时，运用代数方法来研究
几何对象。
（1）解析几何使得数学的研究方向发生了一次重大的转折：以几何为主导
的数学转变为以代数和分析为主导的数学；
（2）解析几何使得以常量为主的数学转变为以变量为主的数学为微积分到
的诞生奠定了基础；
（3）解析几何使代数与几何融为一体，实现了几何图形的数字化，是数学
化时代的先声；
（4）代数的几何化和几何的代数化，使得人们摆脱了现实的束缚，它带来
了认识新空间的需要，帮助人们从现实空间进入虚拟空间，从三维空间进入更高
维的空间。
五、案例分析题（本大题 1小题，20分）
16.【参考答案】【考点】教学技能——教学评价——课堂教学评价
（1）上述教学片段中，教师的教学行为值得肯定之处有：①教师先让学生
画出一次函数𝑦 = 2𝑥 −3的图象，既复习了旧知，又为反比例函数图象的画法打
下了基础，符合《义务教育数学课程标准》中提到的数学教学活动必须建立在学
生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上；②当学生3和学生4 回答出问题
后，教师及时给予肯定，并鼓励学生，激发了学生的学习兴趣，符合《义务教育
数学课程标准》中提到的全面评价学生在知识技能、数学思考、问题解决和情感
态度等方面的表现；③在教学过程中，教师一直充当着组织者、引导者与合作者
的角色，充分体现了学生是学习的主体。
学生的学习行为值得肯定之处有：①学生对旧知的掌握非常扎实；②在课堂
上，学生积极踊跃进行思考，并回答教师的问题，答案多样化。
（2）存在的问题：①在整个教学过程中，在提问回答的交流中，针对学生
出现的错误答案教师没有及时引导，只对回答正确的同学进行了关注，违背了《义
务教育数学课程标准》中提到的要全面评价学生在知识技能、数学思考、问题解
决和情感态度等方面的表现；②最后的一个问题太过笼统，缺少目的性、启发性。
改进方案：①当学生回答的答案出现错误时，教师应该给予一定的引导，解
决学生的疑惑；②在教学过程中，教师应该关注每一位学生，关注学生的学习过
程，不仅要评价学生的学习结果，也要评价学生的学习过程；③教师要对学生出
现的问题进行总结，并引导、启发学生注意一次函数和反比例函数的区别，以及
如何画反比例函数的图象。
六、教学设计题（本大题 1小题，30分）
17.【参考答案】
【考点】教学技能——教学设计——教学设计工作
（1）教学目标
知识与技能目标：能用列表法计算概率，并解决实际问题。
过程与方法目标：通过操作、探究等活动，体会用列表法求概率的优点和作
用，提高分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：在求概率的数学活动中，感受数学来源于生活也可
解决生活中的实际问题。（2）教学重点和难点
教学重点：列表法的概念。
教学难点：列表法求概率的步骤方法。
（3）教学过程
环节一：问题导入
教师活动：向学生展示课前准备的骰子，提出问题：抛掷一枚骰子，点数为
奇数的概率是多少？如何得出结果呢？如果同时抛掷两枚骰子，点数相同的概率
又怎样计算呢？引导学生思考。
学生活动：就教师的问题进行思考。
教师活动：教师顺势引出课题——列表法求概率。
环节二：探究新知
①合作探究，得出结论
教师活动：再次抛出问题：同时抛掷两枚质地均匀的骰子，要求点数相同的
情况，我们应该不重不漏地得到所有可能出现的结果，列表法是通用的方法，那
么你会列出下列表格所有可能的结果吗？组织学生根据目标问题四人一组进行
讨论，给小组同学发放骰子，教师进行巡视指导，交流讨论结束后，请学生派代
表回答结果，教师评价。
学生活动：通过自主探究，学生列出表格。②总结归纳，知识应用
教师活动：组织学生观察表格，说一说一共有多少种情况。如果把点数相同
的情况记为事件 A，你能求出事件 A 的概率吗？如果把两枚骰子的点数和是 9
记为事件B，你能求出事件 B 的概率吗？如果把至少有一枚骰子的点数是 2记为
事件 C，你能求出事件 C 的概率吗？给予一定的时间，组织学生思考并抢答或
自主探究再回答，教师针对学生的回答结果作相应评价。
学生活动：采取“圈一圈”的方法得到所有可能出现的结果有 36 种，满足事
6 1 1
件A的结果有6种，因此所求概率为𝑃(𝐴) = = ，采取同样方法可求得𝑃(𝐵) = ，
36 6 9
11
𝑃(𝐴) = 。
36
教师总结：列表的方法不会遗漏，比较直观。有些问题无法列式计算，只能
采用列表法推演，列表法表达简洁，不易出错。也就是说，当我们的研究对象是
2个时，为了不重不漏地列出所有的可能性，我们就可以采用列表的方法来解决
问题。
环节三：巩固提升
教师活动：多媒体展示有关本节课知识点的不同类型、不同层次的练习题目。
引导学生独立思考并作答，或者找学生代表在黑板上进行板演，完成后教师针对
结果给予评价并总结。
环节四：课堂小结
教师利用课件展示以下问题：
①今天你学会了什么？
②你要提醒大家注意什么？让学生以小组为单位，每位学生充分发言，交流学习所得。(cid:3)
环节五：布置作业
完成课后练习第(cid:3)1、3 题。
2024年上半年中小学国家教师资格考试（高级中学）押题卷一
一、单项选择题（本大题共(cid:3)8 小题，每小题(cid:3)5 分，共(cid:3)40 分）(cid:3)
1.【答案】C
【考点】高等数学——极限与连续——函数的连续
1
【解析】本题主要考查连续的相关知识。由题，lim 𝑓(𝑥) = lim(1+2𝑥)𝑥 =
𝑥→0 𝑥→0
1
lim(1+2𝑥)2𝑥 ∙2 = 𝑒2，𝑓(0) = 𝑘，又𝑓(𝑥)在𝑥 = 0处连续，所以lim𝑓(𝑥) = 𝑓(0)，
𝑥→0 𝑥→0
即𝑘 = 𝑒2。
故正确答案为 C。
2.【答案】C
【考点】高等数学——导数与微分——微分学基本定理
【解析】本题主要考查罗尔定理的相关知识。由题，函数𝑓(𝑥)在区间[1,5]上
连续，在(1,5)内可导，且𝑓(1) = 𝑓(5) = 0，所以𝑓(𝑥)在区间[1,5]上满足罗尔定
理，由𝑓′(𝑥) = 2𝑥 −6，可知在(1,5)内存在一点𝜉 = 3，使得𝑓′(𝜉) = 0。
故正确答案为 C。
3.【答案】C
【考点】线性代数——矩阵——矩阵的初等变换
【解析】本题主要考查秩的相关知识。由题，对矩阵进行初等行变换可得
1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2
2 −1 3 0 −1 −1 0 −1 −1 0 −1 −1
( ) → ( ) → ( ) → ( )，非零行的
2 4 5 0 4 1 0 0 −3 0 0 −3
3 6 2 0 6 −4 0 0 −10 0 0 0
行数为3，因此𝑅(𝐴) = 3。
故正确答案为 C。
4.【答案】C
【考点】线性代数——线性方程组——一般线性方程组
【解析】本题主要考查特征值的相关知识。矩阵为三阶矩阵，因此由三个特
征值。故正确答案为 C。
5.【答案】D
【考点】空间与图形——解析几何——空间平面与直线
【解析】本题主要考查直线与平面位置关系的相关知识。由题，令直线𝑙：
𝑥 +3𝑦+2𝑧+1 = 0
{ 的 方 向 向 量 为 𝑠⃗⃗⃗ ， 则 𝑠⃗⃗⃗ = (1,3,2)×(2,−1,−10) =
2𝑥 −𝑦−10𝑧+3 = 0 1 1
𝑖 𝑗 𝑘⃗
|1 3 2 | = −28𝑖 +14𝑗 −7𝑘⃗ = (−28,14,−7)。令平面𝜋的法向量为𝑛⃗ ，则
2 −1 −10
𝑛⃗ = (4,−2,1)。因为𝑠⃗⃗⃗ //𝑛⃗ ，所以直线𝑙⊥平面𝜋。
1
故正确答案为 D。
6.【答案】C
【考点】概率论与数理统计——概率——随机事件的概率
【解析】本题主要考查概率的相关知识。由题，甲乙丙三人每人射击一次，
1
没有射中靶心，说明甲乙丙三人都没有射中靶心，因此概率为(1− )(1−
2
1 1 1
)(1− ) = 。
3 4 4
故正确答案为 C。
7.【答案】A
【考点】课程知识——数学史——几何作图三大难题
【解析】本题主要考查数学史的相关知识。几何作图三大难题为：三等分角
问题、立方倍积问题、化圆为方问题。
故正确答案为 A。
8.【答案】D
【考点】课程知识——高中数学课程知识——教学与评价建议
【解析】本题主要考查学业质量水平的相关知识。情境主要是指现实情境、
数学情境、科学情境；问题是指在情境中提出的数学问题。
故正确答案为 D。
二、简答题（本大题共 5小题，每小题 7分，共 35分）
9.【参考答案】
【考点】高等数学——极限与连续——函数的极限；高等数学——导数与微分——导数的运算；
2
由方程𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦)−𝑙𝑛𝑦+𝑥 = 1可知，当𝑥 = 0时，𝑓(0) = 1。又lim 𝑛[𝑓( )−
𝑛→∞ 𝑛
2 2 2
𝑓( )−1 𝑓(0+ )−𝑓(0) 𝑓(0+ )−𝑓(0)
1] = lim 𝑛 = 2lim 𝑛 = 2lim 𝑛 = 2𝑓′(0)，方程𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦)−
𝑛→∞ 𝑛 1 𝑛→∞ 𝑛 2 𝑛 2 →0 𝑛 2
𝑙𝑛𝑦+𝑥 = 1两边同时对𝑥进行求导得−𝑠𝑖𝑛(𝑥𝑦)(𝑦+𝑥𝑦′)− 1 ∙𝑦′ +1 = 0，将𝑥 = 0，
𝑦
𝑦 = 1代入得𝑦′(0) = 1。
故原式lim 𝑛[𝑓( 2 )−1] = 2𝑓′(0) = 2𝑦′(0) = 2。
𝑛→∞ 𝑛
10.【参考答案】
【考点】高等数学——导数与微分——导数的意义与应用
由题，可得函数的定义域为(0,+∞)，对函数求导得𝑓′(𝑥) = 1 − 1 ，令𝑓′(𝑥) =
𝑥 𝑒
0，解得𝑥 = 𝑒。当0 < 𝑥 < 𝑒，𝑓′(𝑥) > 0，所以𝑓(𝑥)在(0,𝑒)上单调递增。当𝑥 > 𝑒
时，𝑓′(𝑥) < 0，所以𝑓(𝑥)在(𝑒,+∞)上单调递减。因此𝑓(𝑥)在𝑥 = 𝑒处取得极大值
为𝑓(𝑒) = 𝑘 > 0。
又lim𝑓(𝑥) = −∞， lim 𝑓(𝑥) = −∞，因此𝑓(𝑥)有两个零点。
𝑥→0 𝑥→+∞
11.【参考答案】
【考点】概率论与数理统计——概率——随机事件的概率
+∞ 1 2
（1）由∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1，得∫ 𝑥𝑑𝑥+∫ (𝑘𝑥−1)𝑑𝑥 = 1，解得𝑘 = 1。
−∞ 0 1
𝑥 0 ≤ 𝑥 < 1
（2）由（1）可知𝑋具有概率密度函数𝑓(𝑥) = {𝑥−1 1 ≤ 𝑥 < 2，则𝑋的分
0 其它
0 𝑥 < 0
𝑥
∫ 𝑥𝑑𝑥 0 ≤ 𝑥 < 1
布 函 数 𝐹(𝑥) = 0 ， 即 𝐹(𝑥) =
1 𝑥
∫ 𝑥𝑑𝑥 +∫ (𝑥−1)𝑑𝑥 1 ≤ 𝑥 < 2
0 1
{ 1 𝑥 ≥ 2
0 𝑥 < 0
1 𝑥2 0 ≤ 𝑥 < 1
2 。
1 𝑥2 −𝑥 +1 1 ≤ 𝑥 < 2
2
{ 1 𝑥 ≥ 2
1 3 3 1 1
（3）𝑃{ < 𝑥 < } = 𝐹( )−𝐹( ) = 。
2 2 2 2 212.【参考答案】
【考点】课程知识——高中数学课程知识——课程概述
（1）属加种差定义法（最常用的定义方式），对某一概念有若干属概念，从
最邻近的属概念出发来定义，即把被定义的概念归入另一个较为普遍的概念（属
概念）。被定义的概念=最邻近的属概念+种差。概念的种差，就是在同一个属概
念里，一个种概念与其他种概念之间本质属性的差别。
例如：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
例如：一组对边平行并且相等的四边形叫做平行四边形。
邻近的属加种差的定义方法有两种特殊形式：
①发生式定义方法。它是以被定义概念所反映的对象产生或形成的过程作为
种差来下定义的。
例如，“在平面内，一个动点与一个定点等距离运动所成的轨迹叫做圆”即
是发生式定义。在其中，种差是描述圆的发生过程。
②关系定义法。它是以被定义概念所反映的对象与另一对象之间关系或它与
另一对象对第三者的关系作为种差的一种定义方式。
例如，若𝑎𝑏 = 𝑁，则log 𝑁 = 𝑏（𝑎 > 0，𝑎 ≠ 1）
𝑎
（2）揭示外延式定义：数学中有些概念，不易揭示其内涵，可直接指出概
念的外延作为它的定义。也就是列举“被定义概念所属的、所有互不相容的种概
念”的方式下定义。
①逆式定义法，
例如：实数是有理数和无理数的总称；整数和分数统称为有理数；正弦、余
弦、正切和余切函数叫做三角函数；椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；逻辑
的和、非、积运算叫做逻辑运算等等
②约定定义法，例如：𝑎0 = 1（𝑎 ≠ 0），0! = 1。
13.【参考答案】
【考点】课程知识——高中数学课程知识——教学与评价建议
体现数学学科核心素养的四个方面如下：
（1）情境与问题
情境主要是指现实情境、数学情境、科学情境，问题是指在情境中提出的数学问题；
（2）知识与技能
主要是指能够帮助学生形成相应数学学科核心素养的知识与技能；
（3）思维与表达
主要是指数学活动过程中反映的思维品质、表述的严谨性和准确性；
（4）交流与反思
主要是指能够用数学语言直观地解释和交流数学的概念、结论、应用和思想
方法，并能进行评价、总结与拓展。
三、解答题（本大题 1小题，10分）
14.【参考答案】
【考点】线性代数——线性方程组——线性方程组解的结构
1 0 2 3 1
对 增 广 矩 阵 𝐵 = (𝐴,𝑏) = (2 1 3 0 5) 进 行 初 等 变 换 ， 有
3 0 1 2 4
1 0 2 3 1 1 0 2 3 1
𝑟2−2𝑟1;𝑟3−3𝑟1
(2 1 3 0 5)→ (0 1 −1 −6 3)
3 0 1 2 4 0 0 −5 −7 1
1 7
1 0 0
1 0 2 3 1
1 5 5
𝑟 → 3 × ( − 5 ) ( 0 1 −1 −6 3 ) 𝑟 → 2 + 𝑟 3 ; 𝑟1 − 2 𝑟3 0 1 0 − 23 14 ， 可 知 𝑅(𝐴) =
7 1 5 5
0 0 1 −
7 1
5 5 0 0 1 −
( 5 5 )
1 7
𝑥
1
= − 𝑥
4
+
5 5
23 14
𝑅(𝐴,𝑏) = 3，方程组有解，同解方程组为 𝑥 = 𝑥 + ，可得方程的一个特解
2 4
5 5
𝑥 = −
7
𝑥 −
1
{ 1 5 4 5
7 1
−
5 5 𝑥 1
14 23 𝑥
为𝜂 = 5 ，基础解系为𝜉 = 5 ，故所求方程组得通解为( 𝑥 2 ) =
1 7 3
− −
𝑥
5 5 4
( 0 ) ( 1 )
1 7
−
5 5
23 14
𝑘 5 + 5 ，其中𝑘为任意常数。
7 1
− −
5 5
( 1 ) ( 0 )
四、论述题（本大题 1小题，15分）15.【参考答案】
【考点】教学技能——教学实施——有效数学教学
①在知识形成过程中培养
数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有“形”的，
而数学思想方法却隐含在数学知识体系里，是无“形”的，并且不成体系地分散
在教材各章节之中。因此数学思想方法的培养必须通过具体的教学过程加以实现。
在教学中，要重视概念的形成过程；引导学生对定理、公式进行探索、发现、推
导；最后再引导学生归纳得出结论。
②在问题解决过程中培养
数学思想方法存在于问题的解决过程中，数学问题的步步转化无不遵循着数
学思想方法的指导。数学思想方法在解决数学问题的过程中具有举足轻重的地位。
渗透数学思想方法，不仅可以加快和优化问题解决的过程，而且还可以达到会一
题而明一路、通一类的效果。通过渗透，尽量让学生将数学思想方法内化为独立
获取知识和独立解决问题的能力。
③在反复运用过程中培养
在抓住学习重点、突破学习难点及解决具体数学问题中，数学思想方法是处
理这些问题的精髓，这些问题的解决过程，无一不是数学思想方法反复运用的过
程，因此，时时注意数学思想方法的运用条件，这是进行数学思想方法教学行之
有效的普遍途径，数学思想方法也只有在反复运用中，才能得到巩固与深化。
总之，重视并加强对学生进行数学思想方法的渗透不但有利于提高课堂教学
效率，而且有利于提高学生的数学文化素养和思维能力。但是，对学生进行数学
思想方法的渗透，效果不是一朝一夕就能见到的，而是需要一个过程。因此，在
教学过程中，要有机地结合数学知识的内容，做到持之以恒、循序渐进和反复训
练，才能使学生真正地领悟数学思想方法，实现能力的提升。
五、案例分析题（本大题 1小题，20分）
16.【参考答案】
【考点】教学技能——教学评价——课堂教学评价
（1）解题过程中的错误之处在于：没有讨论𝑎 = 0时的情形，忽视了抛物线
开口方向对题目的影响。
（2）一方面学生在解决不等式的过程中出现了计算上的错误，属于知识方面的原因，是对于二次函数与不等式之间关系的理解不清，忽视了二次项系数对
于二次函数的影响；另一方面也属于心理方面的原因，可能是因为粗心大意所导
致的。
（3）正确答案选 D 项。不等式𝑎𝑥2 +𝑥 +𝑎 < 0的解集为空集，若𝑎 = 0，
则不等式为𝑥 < 0，解集不符合已知条件，则𝑎 ≠ 0。若𝑎𝑥2 +𝑥+𝑎 < 0的解集为
空集，则需二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2 +𝑥 +𝑎的开口向上且与𝑥轴无交点，所以𝑎 > 0且∆≤
1
0，解得𝑎 ≥ 。
2
教学措施：
①知识呈现的改进建议。
要认真分析学生出错的原因，找准错误的根源，对症施教。加强二次项系数
为参数的不等式题目的教学，注意解题过程中思路的严谨，并将数形结合的思想
运用在解题过程中。
②教学方式的改进建议。
教师要认真了解和研究学生，树立正确的学生观。由于不含参数的不等式在
学生以往的学习中已经接触，因此可以利用旧知引出新知，遵循款生思维发展的
规律，并且重视创设情境和知识总结，帮助学生构建数学体系。
③必要的巩固练习。
在学生掌握该知识的基础上要进行分层练习，形式多样，讲究实效，做到能
围绕教学重点、难点强化练习，针对易混、易错点对比练习。
六、教学设计题（本大题 1小题，30分）
17.【参考答案】
【考点】教学技能——教学设计——教学设计工作
（1）由定义可知，𝑎 −𝑎 = 𝑑，因此
𝑛+1 𝑛
𝑎 −𝑎 = 𝑑；
2 1
𝑎 −𝑎 = 𝑑；
3 2
𝑎 −𝑎 = 𝑑；
4 3
⋯⋯；
𝑎 −𝑎 = 𝑑；
𝑛 𝑛−1
左右累加得𝑎 −𝑎 = (𝑛−1)𝑑，故𝑎 = 𝑎 +(𝑛−1)𝑑。
𝑛 1 𝑛 1（2）教学目标
知识与技能目标：理解并掌握等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的
推导过程及思想。
过程与方法目标：在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移
来研究数列，提高知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和
解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：通过对等差数列的研究，养成主动探索、勇于发现
的求知精神与细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
（3）教学过程
一、导入新课
教师活动：教师 PPT展示几道题目：
1.我们经常这样数数，从 0 开始，每隔 5 数一个数，可以得到数列：0，5，
10，15，20，25。
2.小明目前会 100 个单词，他她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉
地每天忘掉 2 个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为：100，
98，96，94，92。
3.2000 年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重正式列为比赛项目，
该项目共设置了7个级别，其中较轻的 4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，
53，58，63。
教师提出问题：这几组数有什么特点？
学生活动：预设学生回答从第二项开始，每一项与前一项的差都等于一个常
数。
教师活动：教师顺势引入新课——等差数列。
二、探索新知
环节一
教师活动：教师给出等差数列的概念，并提出问题：等差数列的概念中，我
们应该注意哪些细节呢？能否将等差数列满足的关系式用数学符号进行表示呢？
组织学生同桌之间进行讨论，讨论结束后找学生代表回答讨论结果
学生活动：预设学生回答“从第二项起”满足条件；公差𝑑一定是由后项减前项所得；每一项与它的前一项的差必须是同一个常数；数学表达式：𝑎 −𝑎 =
𝑛+1 𝑛
𝑑（𝑛 ≥ 1）。
教师活动：教师再次提问：公差𝑑一定是大于 0的吗？给予一定的时间，组
织学生思考并抢答，教师针对学生的回答结果做相应评价。
学生活动：预设学生得出结论公差可以是正数、负数，也可以是 0。
环节二
教师活动：教师提出问题：同学们可以根据等差数列的定义推导出等差数列
的通项公式嘛？教师组织学生根据目标问题四人一组进行讨论，教师进行巡视指
导，交流讨论结束后，找学生代表回答讨论结果，教师评价。
学生活动：经过小组讨论，预设学生给出通项公式的推导过程：
根据等差数列的定义可得𝑎 −𝑎 = 𝑑，所以𝑎 −𝑎 = 𝑑，𝑎 −𝑎 = 𝑑，
𝑛+1 𝑛 2 1 3 2
𝑎 −𝑎 = 𝑑，⋯，于是𝑎 = 𝑎 +𝑑，𝑎 = 𝑎 +𝑑 = 𝑎 +2𝑑，𝑎 = 𝑎 +𝑑 = 𝑎 +
4 3 2 1 3 2 1 4 3 1
3𝑑，⋯，以此类推𝑎 = 𝑎 +(𝑛−1)𝑑。
𝑛 1
环节三
教师活动：教师组织学生梳理和总结本节新课的重难点并展示相关例题，引
导学生完成并展示。
学生活动：学生利用所学在练习册上完成例题。
三、巩固练习
教师通过多媒体展示不同类型不同层次的练习题目，引导学生独自思考并作
答，或者找同学代表到黑板上进行板演，完成后教师针对结果给予评价并总结。
四、课堂小结。
教师引导学生可以从知识方面，能力方面或情感等方面畅谈本节课的收获，
针对学生的回答，相机评价并总结。
五、作业布置。
学生完成书后剩余练习题或者自主设计一道能用本节课知识解决的生活实
际问题。
2024年上半年中小学国家教师资格考试（高级中学）押题卷二
一、单项选择题（本大题共(cid:3)8 小题，每小题(cid:3)5 分，共(cid:3)40 分）1.【答案】D
【考点】高等数学——导数与微分——导数的概念
【解析】本题主要考查可导的相关知识。因为𝑓(𝑥)在𝑥 = 1处可导，所以𝑓′(𝑥) =
lim 𝑓(𝑥)−𝑓(1) = lim
(𝑥−1)𝑎𝑠𝑖𝑛
2(1
1
−𝑥) = lim(𝑥−1)𝑎−1𝑠𝑖𝑛 1 存在，又𝑠𝑖𝑛 1 是有
𝑥→1 𝑥−1 𝑥→1 𝑥−1 𝑥→1 2(1−𝑥) 2(1−𝑥)
界函数，因此要使得极限存在，则有lim(𝑥−1)𝑎−1 = 0，所以𝑎 −1 > 0，即𝑎 > 1。
𝑥→1
故正确答案为D。
2.【答案】C
【考点】线性代数——矩阵——矩阵的运算
1 0 2 1 0 0
【解析】本题主要考查逆矩阵的相关知识。由题，(2 1 3 0 1 0) →
3 2 5 0 0 1
1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0
(0 1 −1 −2 1 0) → (0 1 −1 −2 1 0) →
0 2 −1 −3 0 1 0 0 1 1 −2 1
1 0 0 −1 4 −2 −1 4 −2
(0 1 0 −1 −1 1 )，所以𝐴−1 = (−1 −1 1 )。
0 0 1 1 −2 1 1 −2 1
故正确答案为C。
3.【答案】B
【考点】高等数学——积分——定积分
𝑒𝑥
【解析】本题主要考查积分上限函数的相关知识。由题，𝑓(𝑥) = ∫ (𝑡+1)𝑑𝑡，
1
𝑥
′
则𝑓′(𝑥) = (𝑒𝑥 +1)(𝑒𝑥)′−( 1 +1)( 1 ) = 𝑒2𝑥 +𝑒𝑥 + 1 + 1 。
𝑥 𝑥 𝑥2 𝑥3
故正确答案为B。
4.【答案】C
【考点】高等数学——导数与微分——微分学基本定理
𝑥2 𝑥4
【解析】本题主要考查泰勒公式的相关知识。由题，𝑓(𝑥) = 1− + −⋯+
2! 4!
(−1)𝑛
𝑥2𝑛
，则𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥，因此𝑓(2) = 𝑐𝑜𝑠2。
(2𝑛)!
故正确答案为C。
5.【答案】C
【考点】空间与图形——解析几何——空间平面与直线【解析】本题主要考查直线与平面位置关系的相关知识。由题，令直线𝑙 、𝑙 的
1 2
𝑖 𝑗 𝑘⃗
方向向量分别为𝑠⃗⃗⃗ 1 、𝑠⃗⃗⃗ 2 ，则𝑠⃗⃗⃗ 1 = (1,−2,1)，𝑠⃗⃗⃗ 2 = |1 −1 0| = −𝑖 −𝑗 +2𝑘⃗ =
0 2 1
(−1,−1,2)，所以直线𝑙 与直线𝑙 夹角𝜑的余弦值𝑐𝑜𝑠𝜑 = |𝑠⃗⃗⃗⃗ 1 ∙𝑠⃗⃗⃗⃗ 2 | = 1 ，因此夹角𝜑 =
1 2
|𝑠⃗⃗⃗⃗ 1 ||𝑠⃗⃗⃗⃗ 2 | 2
𝜋
。
3
故正确答案为C。
6.【答案】A
【考点】线性代数——二次型——正定二次型和正定矩阵
【解析】本题主要考查二次型的相关知识。由题，二次型2𝑥2 +𝑥𝑦+𝑦2对应矩
1
2
阵的一阶顺序主子式为|2| > 0，二阶顺序主子式为| 2| = 7 > 0，所以二次型
1 1 4
2
2𝑥2 +𝑥𝑦+𝑦2是正定的。
故正确答案为A。
7.【答案】A
【考点】教学知识——教学方法——常用的教学方法
【解析】本题主要考查教学方法的相关知识。讲练结合法是教师讲授知识，学生
在教师的指导下进行独立作业，通过独立作业掌握基础知识与基本技能，培养能
力，发展智力的方法。
故正确答案为A。
8.【答案】D
【考点】课程知识——高中数学课程知识——教学与评价建议
【解析】本题主要考查评价建议的相关知识。评价的目的是考查学生学习的成效，
进而也考查教师教学的成效。 通过考查，诊断学生学习过程中的优势与不足，
进而诊断教师教学过程中的优势与不足；通过诊断，改进学生的学习行为，进而
改进教师的教学行为，促进学生数学学科核心素养的达成。
故正确答案为D。
二、简答题（本大题共 5小题，每小题 7分，共 35分）
9.【参考答案】
【考点】高等数学——导数与微分——导数的意义与应用𝑥2 𝑦2 4𝑎2 3𝑏2
将点(2𝑎,√3𝑏)代入方程得 − = − = 1，即点(2𝑎,√3𝑏)在双曲线上且是
𝑎2 𝑏2 𝑎2 𝑏2
切点。
方程左右两边同时对𝑥求导得 2𝑥 − 2𝑦𝑦′ = 0，得𝑦′ = 𝑏2𝑥 ，因此过点(2𝑎,√3𝑏)得切
𝑎2 𝑏2 𝑎2𝑦
线斜率𝑘 =
2𝑎𝑏2
=
2𝑏
=
2√3𝑏
。
√3𝑏𝑎2 √3𝑎 3𝑎
所以过点(2𝑎,√3𝑏)的切线方程为𝑦−√3𝑏 =
2√3𝑏
(𝑥−2𝑎)，即2𝑏𝑥 −√3𝑎𝑦−
3𝑎
𝑎𝑏 = 0；法线方程为𝑦−√3𝑏 = − 3𝑎 (𝑥−2𝑎)，即√3𝑎𝑥 +2𝑏𝑦−2√3(𝑎2 +𝑏2) =
2√3𝑏
0。
10.【参考答案】
【考点】高等数学——导数与微分——导数的运算
（1）由题得，𝑓(𝑥)的定义域为𝑅，𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 −12𝑥 −18 = 6(𝑥−3)(𝑥+1)，
令𝑓′(𝑥) = 0，解得𝑥 = −1或3。
因此𝑓(𝑥)在(−∞,−1)或(3,+∞)单调递增，在(−1,3)单调递减，所以𝑓(𝑥)在𝑥 = −1
处取得极大值𝑓(−1) = 13，在𝑥 = 3处取得极小值𝑓(3) = −51。
综上𝑓(𝑥)的单调递增区间为(−∞,−1)，(3,+∞)，单调递减区间为(−1,3)，极大
值为𝑓(−1) = 13，极小值为𝑓(3) = −51。
（2）由（1）可得𝑓(𝑥)在[−2,1]上先增后减，又𝑓(−2) = −1，𝑓(−1) = 13，𝑓(1) =
−19，所以函数𝑓(𝑥)在[−2,1]上的最大值𝑓(−1) = 13，最小值为𝑓(1) = −19。
11.【参考答案】
【考点】线性代数——线性变换——线性变换的运算
2 0 2 0 3 0
（1）若𝑎 = 2，𝑏 = 3，则𝑀 = ( )，|𝑀| = | | = 6，𝑀∗ = ( )，因此
0 3 0 3 0 2
1
0
𝑀−1 =
𝑀∗
= (2 )。
|𝑀| 0 1
3
（2）设曲线𝐶：𝑥2 +𝑦2 = 1上任意一点𝑃(𝑥,𝑦)，它在矩阵𝑀所对应的线性变换
𝑎 0 𝑥 𝑥′ 𝑥′ = 𝑎𝑥
作用下得到点𝑃′(𝑥′,𝑦′)，则( )( ) = ( )，即{ ，又点𝑃′(𝑥′,𝑦′)在曲
0 𝑏 𝑦 𝑦′ 𝑦′ = 𝑏𝑦
线𝐶′上，所以 𝑥′2 +𝑦′2 = 1，即 𝑎2𝑥2 +𝑏2𝑦2 = 1，又点𝑃(𝑥,𝑦)满足𝑥2 +𝑦2 = 1，
4 4
𝑎2 = 4 𝑎 = 2
因此{ ，因为𝑎 > 0，𝑏 > 0，所以{ 。
𝑏2 = 1 𝑏 = 112.【参考答案】
课堂气氛的优劣直接制约和影响师生关系，教学过程和结果，双方信息与情感的
交流。良好的课堂教学气氛可以促进教师和学生有效的互动活动，使师生双方精
神焕发，思维活跃，在课堂教学过程中，使教师教和学生学的最佳心理状态互相
吻合，激发了师生潜能的充分发挥，从而较好地完成教学任务。而消极的课堂气
氛是一种消沉的、紧张的氛围，会使师生态度消极，思维反映迟钝，注意力不够
集中，从而严重制约师生教与学的积极性、创造性，使得正常的教学任务难以完
成，教学效益更是无从谈起。
13.【参考答案】
模型思想是是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型
的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、
不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的
意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应
用意识。培养学生的模型思想需要：
第一，模型思想需要教师在教学中逐步渗透和引导学生不断感悟。模型思想的感
悟应该蕴涵于概念、命题、公式、法则的教学中，并与数感、符号意识、空间观
念等的培养紧密结合.
第二，使学生经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学教学活动过程。
“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动体现了课程标准中模型思
想的基本要求，也有利于学生在过程中理解、掌握有关知识技能，积累数学活动
经验，感悟模型思想的本质，这一过程更有利于学生去发现、提出、分析、解决
问题，培养创新意识。
第三，结合综合实践活动的开展，进一步发展学生的数学建模能力。
第四，通过数学建模改善学习方式。
三、解答题（本大题 1小题，10分）
14.【参考答案】
【考点】高等数学——极限与连续——函数的连续
令𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+𝑎)−𝑓(𝑥+2𝑎)，则𝑔(0) = 𝑓(𝑎)−𝑓(2𝑎)，由题当𝑥 < 2𝑎时
𝑓′(𝑥) > 0，𝑓(𝑥)单增，因此𝑓(𝑎) < 𝑓(2𝑎)，𝑔(0) < 0；𝑔(𝑎) = 𝑓(2𝑎)−𝑓(3𝑎)，由题当𝑥 > 2𝑎时𝑓′(𝑥) < 0，𝑓(𝑥)单减，因此𝑓(2𝑎) > 𝑓(3𝑎)，
𝑔(𝑎) > 0；
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+𝑎)−𝑓(𝑥+2𝑎)，则𝑔(𝑥)可导且连续，由于𝑔(0)∙𝑔(𝑎) < 0，因此
根据零点定理可知𝑔(𝑥)在(0,𝑎)内至少存在一点𝜉使得𝑔(𝑥) = 0，即𝑓(𝜉+𝑎)−
𝑓(𝜉 +2𝑎) = 0，故(0,𝑎)内至少存在一点𝜉使得𝑓(𝜉 +𝑎) = 𝑓(𝜉+2𝑎)。
四、论述题（本大题 1小题，15分）
15.【参考答案】
【考点】课程知识——高中数学课程知识——课程概述
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用空间形式特
别是图形，理解和解决数学问题的素养，主要包括：借助空间形式认识事物的位
置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联
系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。
直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思
路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。
直观想象主要表现为建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观
理解问题，运用空间想象认识事物。
通过高中数学课程的学习，学生能提升数形结合能力，发展结合直观和空间想象
力，增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识；形成数学直观，在具体的情
境中感悟事物的本质。
五、案例分析题（本大题 1小题，20分）
16.【参考答案】
【考点】教学技能——教学评价——课堂教学评价
（1）教学片段中，教师的教学行为值得肯定之处有：①教师带领学生复习之前
学习的旧知，既检验了学生对之前知识的掌握情况，又通过旧知引出新知。
②教师运用多媒体进行教学，体现了《义务教育数学课程标准（ 2011 年版）》
中提出的数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注
意信息技术与课程内容的整合。
（2）教学过程中存在的问题：①《义务教育数学课程标准（ 2011 年版）》中指
出教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。应采用多样化的评价方式，恰当呈现并合理利用评价结果，发挥评价的激励作用，保护学生的自尊心
和自信心。而案例中，针对学生的回答以及讨论，教师并没有及时作出相应的评
价。②《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出学生是主体，教师是引导者、
组织者、合作者，而案例中，教师未组织学生进行讨论，对于本节课较难的知识
点未做好循序渐进的过渡，最后提出的问题太过笼统，缺少目的性和启发性，导
致学生思维跨越太大，无法解答。
改进方案：①在教学过程中，教师应该关注每一位学生，关注学生的学习过程，
不仅要评价学生的学习结果，也要评价学习的过程。②对于本节课的重点或难点
知识，教师在备课时应该做好预设，对于难点知识要注意循序渐进式的引导，通
过图形可以直观得到直线与圆的位置关系，而如果给定的是直线和圆的方程，应
该引导学生思考，如何根据给定的直线和圆的方程找到𝑑和𝑟的关系，或找到二
者交点个数的情况，从而总结出直线与圆的位置关系的判定方法。
六、教学设计题（本大题 1小题，30分）
17.【参考答案】
【考点】教学技能——教学设计——教学设计工作
（1）解析几何是数学的一个重要分支，它沟通了数学中数与形、代数与几何等
最基本对象之间的联系。在之前的学习中学生已初步掌握了解析几何研究问题的
主要方法，并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形。在后
面的学习中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。
之前学生已经具备了观察、操作、讨论等教学活动经验，分类活动经验及抽象、
归纳的经验。
（2）教学重难点
教学重点：椭圆的定义及标准方程，坐标法的基本思想。
教学难点：椭圆标准方程的推导与化简。
（3）教学过程
一、导入新课
教师活动：教师在大屏幕上展示椭圆的相关图片，引导学生进行观察，并提问：
圆有圆的标准方程，猜想一下椭圆有没有标准方程呢？学生活动：预设学生回答：椭圆应该也有标准方程。
教师活动：教师再次提问：椭圆方程长什么样子呢？顺势引出课题——椭圆及其
标准方程。
二、新课讲授
1.初步感知，以旧引新
教师活动：教师提出问题：在上一章圆的学习中我们知道，平面内到一定点的距
离为定长的点的轨迹是圆。那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什
么呢？组织学生动手操作将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点𝐹 ，
1
𝐹 处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的又是什么图形呢？给予学生一定
2
的时间自主探究再回答，教师针对学生的回答结果让学生自评或互评。
学生活动：学生动手操作，有的画出了椭圆，有的画出了直线，有的什么也没画
出来。
教师活动：教师再次抛出问题：为什么会这样呢？在画出一个椭圆的过程中，细
绳的两端的位置是固定的还是运动的？在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？
在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离的大小有怎样的关系？改变绳子长度
与两定点的距离的大小，轨迹又是什么？将你的发现分享给其他同学。组织学生
根据目标问题四人一组进行讨论，教师进行巡视指导，交流讨论结束后，找学生
代表回答讨论结果，教师针对学生的回答结果作评价。
学生活动：预设学生通过动手实践总结出绳子的长度与两定点的距离的大小的关
系对轨迹的影响，并总结规律。𝐹 、𝐹 为两定点，|𝑀𝐹 |、|𝑀𝐹 |为绳子长度。|𝑀𝐹 |+
1 2 1 2 1
|𝑀𝐹 | > |𝐹 𝐹 |，轨迹为椭圆；|𝑀𝐹 |+|𝑀𝐹 | = |𝐹 𝐹 |，轨迹为线段；|𝑀𝐹 |+
2 1 2 1 2 1 2 1
|𝑀𝐹 | < |𝐹 𝐹 |，轨迹不存在。
2 1 2
2.自主探究，得到结论
教师活动：教师总结出椭圆的定义：平面内与两个定点𝐹 、𝐹 的距离之和等于常
1 2
数（大于|𝐹 𝐹 |）的点的轨迹叫做椭圆。提出问题：若我们把𝐹 、𝐹 建在𝑥轴上，
1 2 1 2
以𝐹 𝐹 的中点为原点，此时能不能得到椭圆的标准方程呢？组织学生四人一组进
1 2
行讨论，教师进行巡视指导，交流讨论结束后，找学生代表回答讨论结果，教师
针对学生的回答结果作相应评价。
学生活动：预设学生回答：设|𝐹 𝐹 | = 2𝑥（𝑐 > 0），点𝑀(𝑥,𝑦)为椭圆上任意一点，
1 2则𝑃 = {𝑀|𝑀𝐹 +𝑀𝐹 = 2𝑎}，可得√(𝑥−𝑐)2 +𝑦2 +√(𝑥−𝑐)2 +𝑦2 = 2𝑎。
1 2
教师活动：教师提出问题：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好，
还是整理后再平方好呢？给予一定的时间学生自主探究再回答，教师针对学生的
回答结果让学生自评或互评。
学生活动：预设学生化简得到(𝑎2 −𝑐2)𝑥2 +𝑎2𝑦2 = 𝑎2(𝑎2 −𝑐2)。
教师活动：教师引进𝑏 > 0，设𝑏2 = 𝑎2 −𝑐2，于是得𝑏2𝑥2 +𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2，两边
同时除以𝑎2𝑏2，得到方程
𝑥2
+
𝑦2
= 1（𝑎 > 𝑏 > 0），称为椭圆的标准方程。
𝑎2 𝑏2
3.总结归纳，知识应用
教师活动：教师组织学生梳理和总结本节新课的重难点，引导学生完成并展示。
学生活动： 学生自主梳理总结重难点：
①椭圆标准方程形式：都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1。
②椭圆标准方程中三个参数𝑎，𝑏，𝑐的关系：𝑏2 = 𝑎2 −𝑐2（𝑎 > 𝑏 > 0）。
③椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定。
三、巩固练习
教师活动：教师通过多媒体展示相关例题，引导学生独立思考并作答，或者找学
生代表在黑板上进行板演，完成后教师针对结果给予评价并总结。
学生活动：学生进行相关练习，展示结果。
四、课堂小结
教师活动：教师引导学生从知识、能力和情感等方面畅谈本节课的收获，针对学
生的回答，采用多种方式进行评价并总结。
学生活动：学生畅谈本节课收获。
五、布置作业
学生自己动手推导焦点在 y 轴上的椭圆标准方程，思考如何通过椭圆的标准方
程判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上
