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2024 年中考第一次模拟考试（重庆卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C D A B C D C D C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．10 12．x =0,x =3
1 2
5
13． 14．8
8
9
15．2π−4 16．
4
17．10 18. 5 9118
三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．(8分)解：（1）原式=a2+ab−3ab−3b2−4a2+2ab
=−3a2−3b2； （4分）
（2）原式 (m+2−m) (m−2) 2
= ÷
m+2 (m+2)(m−2)
2 m+2
= ×
m+2 m−2
2
= ． （8分）
m−2
20．（10分）（1）：如图所示
（6分）（2）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AB=CD， AB//CD ， （7分）
∴∠ABG=∠CDF．
∵AH⊥BC，CE⊥BC，
∴∠AHB=∠ECB= 90 度， （8分）
∴AG∥CF，
∴∠BGA=∠EFB．
又∵ ∠ EFB= ∠ DFC ， （9分）
∴∠BGA=∠DFC，
在 ABG和 CDF中，
¿，
△ △
∴ΔABG≌ΔCDF(AAS)．
∴ AG//CF ， （10分）
又∵AG∥CF，
∴四边形AGCF是平行四边形．
故答案为：AB∥CD，90，∠EFB=∠DFC，AG=CF.
21． （10分）（1）解：∵七年级中得分为90分的人数有4人，人数最多，
∴七年级的众数为90分，即a=90；
将八年级老师的成绩从低到高排列，处在第10名和第11名的成绩分别为85分，85分，
85+85
∴八年级的中位数为 =85分，即b=85；
2
∵八年级得分不低于90分的人数有6人，
6
∴八年级的优秀率为 ×100%=30%，即c=30，
20
故答案为：90，85，30； （6分）
（2）解：应选择七年级的教师，理由如下：
从平均数和中位数来看，两个年级的老师成绩的平均数和中位数都相同，但是七年级老师的众数比八
年级老师的高且方差比八年级老师的小，并且优秀率七年级也比八年级的高，
∴应选择七年级的教师； （8分）
9+6
（3）解：60×2× =45人，
20+20∴估计该校参加初赛的七、八两个年级的教师的成绩为优秀的共有45人． （10分）
22． （10分）（1）设去年5月A款玩具销售单价为x元，B款玩具销售单价为y元，
由题意得：¿，
解得：¿，
答：去年5月A款玩具销售单价为25元，B款玩具销售单价为40元； （5分）
（2）设一个A款玩具的成本为2a元，则一个B款玩具的成本为3a元，
1920 1440
由题意得： + =180，
2a 3a
解得：a=8，
经检验，a=8是原方程的解，且符合题意，
1440 1440
∴ = =60（套)，
3a 3×8
答：去年5月购进B款玩具60套． （10分）
23．（10分）（1）解：当0≤t≤4时，E未到达B点，
此时CE=t，
2t
∴y= =t；
2
当451.5，
∴小红先到达山顶C处．（10分）
25．（10分）（1）解：∵A(−1,0)，∴OA=1，
∵OB=OC=3OA，
∴BO=OC=3，
∴B(3,0)，C(0,−3)，
将点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,−3)代入y=ax2+bx+c，
∴ ¿，
解得¿，
∴ y=x2−2x−3；（3分）
1
（2）存在一点M，使得S = S ，理由如下：
△MBC 2 △ABC
连接AC，
∵A(−1,0)，C(0,−3)，
1 3
∴AC的中点为(− ,− )，
2 2
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴ ¿，
∴ ¿，
∴y=x−3，
∴过AC的中点与BC平行的直线解析式为y=x−1，
联立方程组¿，
解得¿或¿，
(3+√17 1+√17)或(3−√17 1−√17)；
∴ M , ,
2 2 2 2
又∵直线y=x−1关于直线BC对称的直线为y=x−5，
联立方程组¿，
解得¿或¿，
∴M(1,−4)或(2,−3)；综上所述： 点坐标为 或 或(3+√17 1+√17)或(3−√17 1−√17)；（7分）
M (1,−4) (2,−3) , ,
2 2 2 2
（3） ，
∵ y=x2−2x−3=(x−1) 2−4
∴D(1,−4)，
∵A(−1,0)，B(3,0)，C(0,−3)，
∴BC=3 √2，BD=2 √5，CD= √2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC=90°，
√2 1
∴tan∠CBD= = ，
3√2 3
过点P作PQ⊥x轴交于Q，
∵∠PBA=∠CBD，
PQ 1
∴ = ，
AB 3
∵点P(m,n)在第二象限内，，
∴3(m2−2m−3)=3−m
4
解得m=3(舍)或m=− ．（10分）
3
26．（10分）（1）解：证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
180°−90°
∴∠ABD=∠ACE= =45°，
2
在△ABD和△ACE中，
¿，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵∠BAC=90°，EH⊥AD于H交AB于K，
∴∠AKE=90°−∠BAD，∠KAE=90°−∠CAE，
∴∠AKE=∠KAE，
∴AE=EK；（4分）
（2）证明：如图，过点C作CH⊥AC，交FE的延长线于点P，
∴∠PCA=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠PCE=∠ABC=45°，
∵AD∥EF，
∴∠ADC=∠FEC，
∴∠ADB=∠FEC，
∵BD=CE，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，AB=PC=AC，
∴AD+EF=PE+EF=PF，过G作QG⊥GC，使GC=GQ，
∴△GCQ是等腰直角三角形，
∴ CQ=√2CG，
连接FQ，CQ，
∵GF⊥AG，GF=AG，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴△GAC≌△GFQ，
∴AC=FQ，∠GAC=∠GFQ=45°，
∴∠AFQ=∠AFG+∠GFQ=90°，
∴∠QFC=∠PCF=90°，
∴PC∥FQ，
∵AC=PC=FQ，
∴四边形FPCQ是平行四边形，
∴PF=CQ，
∵PF=AD+EF，
∴AD+EF=√2CG；（8分）
（3）如图，过点A作AG⊥BC于G，过点M作MP⊥BC延长线于P，连接MC，连接GN交AM于
H，过点N作NF∥AM交AB于F，
∵AE=ME，∠AEM=90°，
∴∠GAE+∠GEA=∠PEM+∠GEA=90°，
∴∠GAE=∠PEM，
在△GAE和△PEM中，
¿，
∴△GAE≌△PEM(AAS)，
∴AG=EP，¿=PM，
又∵AG=GC，
∴GC=EP，∴GC−EC=EP−EC，
∴≥=CP，
∴PM=CP，
∴∠MCP=45°
∵G为BC中点，N为BM中点，
∴GN∥CM，
∴∠NGC=45°，
∵N为BM中点，FN∥AM，
∴FN是△BAM的中位线，
1
∴F是AB的中点，FN= AM，
2
在△AGN和△CGN中，
¿，
∴△GNA≌△CGN(SAS)，
∴AN=CN，
1
∴AN+ AM=CN+NF，
2
∴如图，当C、N、F三点共线时，CN+NF的值最小（两点之间，线段最短），
1
此时AN+ AM取得最小值，
2
∵∠MCP=∠ABC=45°，
∴MC∥AF，
又∵NF∥AM，
∴四边形AFCM是平行四边形，
1
∴MC=FA= AB=2，
2
CM AB
∴MP=EG= =√2，AG=BG=CG= =2√2，
√2 √2∴BD=CE=2√2，CD=2√2+2√2=3√2，
1 1
∴S = ⋅CD⋅AG= −×3√2×2√2=6．（10分）
△ACD 2 2
