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2024 年中考第三次模拟考试（黑龙江哈尔滨卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的绝对值的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： 的绝对值为： ，
的相反数为： ，
∴ 的绝对值的相反数是为： ，
故选： ．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、 ，原计算错误，不符合题意；
B、 ，原计算错误，不符合题意；
C、 ，原计算正确，符合题意；
D、 ，原计算错误，不符合题意；
故选C．
3．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形．故C符合题意；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意；
故选：C．
4．如图所示的是由若干个棱长为1的小正方体搭成的一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（
）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【详解】解：由题意得：
几何模型底部有4个小正方体块，中间部分有2个正方体块，最上边有1个正方体块，共计7个正方体块，
∴体积为： ，
故选：C．
5．如图所示， 、 是 的两条切线，已知 的半径等于3， 则劣弧 的长度等于
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接 ， ，
、 是 的两条切线，
， ，
，
，
；
故选：C．
6．关于二次函数 ，下列结论中正确的是（ ）
A．图象的对称轴过点 B．当 时，y随x的增大而增大
C．图象与x轴有两个公共点 D．函数的最小值为5
【答案】A
【详解】解： ，
．对称轴是直线 ，则图象的对称轴过点 ，故本选项符合题意；
． ，对称轴 ，当 时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
． ，图象与x轴无交点，故本选项不符合题意；
．当 时，函数有最小值为1，故本选项不符合题意；
故选： ．
7．我们给出定义：如果两个锐角的和为 ，那么称这两个角互为半余角．如图，在 中， ，互为半余角，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点B作 ，交 的延长线于点D，
∵ ，
∴设 ， ，
， 互为半余角，
，
，
在 中， ， ，
，
，
在 中，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造
直角三角形是解题的关键．
8．现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正而花色分别为◆， ， ，若将这三张扑克牌背面朝上，
洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】解：三张扑克牌分别用A、B、C表示，列表如下：
A B C
A （A，A） （B，A） （C，A）
B （A，B） （B，B） （C，B）
C （A，C） （B，C） （C，C）
共有9种等可能的情况数，其中抽取的两张牌花色相同的有3种情况，
则抽取的两张牌花色相同的概率为 ．
故选：B．
9．如图，在 中，F是 上一点， 交 于点E， 的延长线交 的延长线于点G，
， ，则 的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【详解】解：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ， ，则 ， ，
∴ ， ，则 ，
设 为x，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，得 ，
∴ ．
故选：C．
10．明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等
时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的
距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： 第一次相遇两人共走了2800米，第二次相遇两人共走了 米，且二者速度不变，
（分），所以C正确；
当 时，出现拐点，显然此时亮亮到达A地，路程为2800米，
亮亮的速度为 （米 分），
两人的速度和为 （米 分），
明明的速度为 （米 分），
∴ ，所以A正确；
第三个拐点处应为明明到达B地，此时所用时间为 （分），所以D正确，此时
，所以B错误，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）11．春暖花开，科学兴趣小组发现一种花瓣的花粉颗粒的直径约为 ，将数据0.00065用科学记数
法表示为 ．
【答案】
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了科学记数法-表示绝对值较小的数，关键是用 为负整数）表示绝对
值较小的数．
12．在平面直角坐标系 中，若点 和 在反比例函数 的图象上，则 的值为
．
【答案】
【详解】解：把 代入 得： ，
解得，
∴反比例函数解析式为 ，
把 代入 ，得： ，
解得， ，
故答案为：
13．已知直线 ，则该直线一定经过第 象限．
【答案】一
【详解】解：直线 ，可化为： ，
即直线过定点 ，
位于第一象限，
则该直线一定经过第一象限，
故答案为：一．
14．计算 的结果是 ．【答案】
【详解】
，
故答案为： ．
15．不等式组 的整数解为 ．
【答案】0，1
【详解】解： ，
由① ，
由②得， ，
故此不等式组的解集为： ．
故它的所有整数解为：0，1．
故答案为：0，1．
16．若圆锥的底面圆半径为 ，侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则这个圆锥的母线长是
．
【答案】6
【详解】解：设这个圆锥的母线长是 ，
依题意得：圆锥的底面周长为： ，
则展开后扇形的弧长为 ，
即： ，
解得： ，
这个圆锥的母线长是 ，
故答案为：6．17．已知 ，则 ．
【答案】8
【详解】解：∵ ，
∴
故答案为：8．
18．如图甲，已知四边形 是梯形， ， ， ，按图乙所示的规律，用
个这样的梯形镶嵌而成的四边形的周长是 ．
【答案】
【详解】解：由图可知：当 时，即有1个这样的梯形组成的四边形的周长为：5，
当 时，即有2个这样的梯形组成的四边形的周长为： ，
当 时，即有3个这样的梯形组成的四边形的周长为： ，
，
∴可推导一般性规律为：用 个这样的梯形镶嵌而成的四边形的周长是 ；
∴当 时， ．
故答案为： ．
19．如图， ，点 ， 分别是边 ， 的中点，连接 ，若 ， ，则 的长是
．【答案】5
【详解】如图，连接 ，取 的中点 ，连接 ， ．
点 是 的中点，点 是 的中点，
是 的中位线．
∴ ， ．
同理， ， ．
又 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
在 中，由勾股定理，得 ．
故答案为： ．
20．如图， 、 是正方形 的边 、 上的动点，且 ，点 在 上，当 ，
时， 的最小值是 ．【答案】
【详解】解：如图所示，连接 交 于点 ，
∵正方形 ， ，
∴ ，则
∵
∴ ，
又
∴
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 上截取 ，则
∴四边形 是平行四边形
∴ ，
∴
作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，∴ 重合时 此时取得最小值，
∴ ，
又 ，
∴ 中，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，轴对称求
线段和的最值问题，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．（本小题满分7分）先化简，再求值 ，其中a= －2sin45°－
【详解】解：
=
=
=
= .....................................................................................................................................3分
a= = －2 －1= ...............................................5分
当a= 时，原式 ．.............................................................7分
22．（本小题满分7分）如图，在每个小正方形的边长都是1的方格纸中，点A、B都在小正方形的顶点上，
请按要求画出图形并计算：(1)以线段 为一边画 ，使得 ，点C在直线 左侧的小正方形的顶点上；
(2)以线段 为一边画 ，其面积为 面积的2倍，点D、E均在小正方形的顶点上；
(3)连接 ，请直接写出 的值．
【详解】（1）如图，点 即为所求；
..................................................................................1分
由勾股定理，得： ，
又 ，
∴ ，
∴ 为直角三角形， ；................................................................2分
（2）如图， 即为所求；........................................................................................3分
由图可知： 的面积 ，
∵ 的面积 ，
∴ 的面积是 的面积的2倍，
∴ 即为所求；..........................................................................................................5分
（3）如图，∵ ，
∴ ．............................................................................................................7分
23．（本小题满分8分）为了激发学生参与劳动的热情，某校开设了以“端午”为主题的手工课程：制熏
香、制糕点、做香囊和包粽子．要求每位学生选择一门进行学习，数学兴趣社同学随机调查了本校部分学
生的选课情况，绘制了两幅不完整的条形和扇形统计图如下．四门课修完后，学校开展包粽子大赛，七、
八、九年级各选10人参加比赛，得分情况如下所示．
参赛选手的得分（满分10分）记录如下：
七年级：6，7，8，8，8，9，10，10，10，10
八年级：7，7，8，8，8，8，9，9，10，10
九年级：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10
请根据上面的信息回答下列问题：
(1)本次被调查的学生有______人，并补全条形统计图；
(2)参赛的30名同学得分的众数是______，______年级参赛选手得分的中位数最大，九年级参赛10名同学
得分的方差是______；
(3)本校共有900名学生，“制糕点”课周三下午安排在食堂中，食堂的每张餐桌可安排6人学习制作，试
估计上“制糕点”课大约需要安排多少张餐桌？
【详解】（1）解：调查学生的人数为 （人），.......................................1分包粽子的人数为 （人），
制糕点的人数为 （人），
故答案为：60，
补全条形统计图如下：
.......................................................................................3分
（2）解：观察这30人的得分，得分为8的次数最多，有11次，
这30个数据的众数为8；..................................................................................................4分
七年级参赛选手得分的中位数为8.5，八、九年级参赛选手得分的中位数为8，
七年级参赛选手的中位数最大；......................................................................................5分
九年级参赛选手的得分的平均数为 ，
方差为 ，................................6分
（3）解： ，
答：“制糕点”课大约需要安排45张餐桌．....................................................................8分
24．（本小题满分8分）如图，在 中， 两点分别在边 上，连接 ，
且 ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)若 平分 ， ，且 ， ，求 的长．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，∴ ，.................................................................................................2分
∴ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 为平行四边形；..........................................................................................3分
（2）解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，则 ，.....................................................................................4分
∵ ，且四边形 为平行四边形，
∴平行四边形 是矩形，
∴ ，..........................................................................................................................6分
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，则 ，
∴ ，
∴ ，
解得， ，
∴ 的长为 ．...................................................................................................................8分
25．（本小题满分10分）某乡镇为倡导绿色生活，建设美丽家园，需购买A，B两种型号的垃圾处理设备，
已知1台A型设备和3台B型设备的日处理能力为44吨；3台A型设备和1台B型设备的日处理能力为60
吨．
(1)分别求1台A型设备、1台B型设备的日处理能力．
(2)根据实际情况，该乡镇需购买A，B两种型号的垃圾处理设备共8台，要求A型设备不超过5台，且购
回设备的日处理能力超过100吨．已知A型设备每台7万元，B型设备每台4万元，请你利用不等式的知
识为该乡镇设计出最省钱的购买方案．
【详解】（1）解：设1台A型设备的日处理能力为x吨，1台B型设备的日处理能力为y吨，根据题意得：..................................................................................................................................................1分
，
解得： ，.....................................................................................................................3分
答：1台A型设备的日处理能力为17吨，1台B型设备的日处理能力为9吨；..........4分
（2）解：设购买A型设备m台，根据题意得：
，
解得： ，.................................................................................................................6分
∵m为整数，
∴m取3，4，5，
购买费用为 元，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
∵ ，.....................................................................................................................9分
∴最省钱的购买方案为购买A型设备3台，B型设备5台．.........................................10分
26．（本小题满分10分）如图1，在 中， ，以线段 为直径作 交 于点
为 的中点，连接 ，过点 作 B交 的延长线于点 ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)如图2，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ，若 ， ，求 的长．
【详解】（1）连接 ， ，..........................................................................................1分∵ 为 的直径，
∴ ，
∵点E是 的中点，
∴ ，
∴∠ ，...........................................................................................................2分
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是半径，
∴直线 是 的切线；...................................................................................................4分
（2）解：如图所示，连接 ，作 于M，.......................................................5分
∵点D为 的中点，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，..............................................................................................................6分
∵ ， ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，..............................................................................................................7分
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ................................................................................................................9分
在 中， ， ，
∵
∴ ．...............................................................................................................10分
27．（本小题满分10分）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与x轴分别交于点A、
B(点A在点B左侧)，与y轴交于点 ，其对称轴为直线 ．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线 分别与y轴、线段 交于点D、E．
①当 时，求 的长；
②联结 ，如果 的面积是 面积的3倍，求点F的坐标．
【详解】（1）解：由题意得： ，解得： ，...................................................................................................................2分
则抛物线的表达式为： ；.......................................................................3分
（2）解：对于 ，当 时， ，
解得，
∴点 ，........................................................................................................4分
设点 ，
设直线 的解析式为 ，
由点 、F的坐标得，
解得，
∴直线 的表达式为： ，
当 时， ，
∴点 ，...................................................................................................................6分
①当 时，则点F在 的中垂线上，
则 ，即 ，
解得： (舍去)或5，
则 ；.................................................................................................7分
②过点D作 轴，作 ，过点F作 轴，则 ， ，
设直线 的解析式为 ，
把 代入得， ，解得， ，
∴直线 的表达式为： ，
联立上式和 的表达式得： ，
解得： ，
由 得， ，..........................................................................8分
∵ 的面积是 面积的3倍，
则
则∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： (舍去)或4，
当 时，
∴点 ．.......................................................................................................................10分
