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第24课时 平行四边形
1.(2024·石家庄桥西区一模)在如图的网格中,以格点A,B,C,D,E,F中的4个点为顶点,你能画出平
行四边形的个数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(2024·邯郸广平县一模)如图,若再增加“某条线段的长度为5”这个条件后,可证明四边形ABCD
为平行四边形,则这条线段为( )
A.a B.b C.c D.d
3.(2024·贵州)如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是 ( )
A.AB=BC B.AD=BC C.OA=OB D.AC⊥BD
4.(2024·邯郸二模)如图,已知点A在直线a上,C,B两点在直线b上,且a∥b,∠ABC是个钝角,若
AB=5,则a,b两直线的距离可以是 ( )
A.8 B.6 C.5 D.4
5.如图是嘉淇不完整的推理过程,为了使嘉淇的推理成立,需在四边形ABCD中添加条件,下列添
加的条件正确的是 ( )∵∠A+∠D=180°,
∴AB∥CD,
又∵ ,
∴四边形ABCD是平行四边形.
A.∠B+∠C=180°
B.AB=CD
C.∠A=∠B
D.AD=BC
6.(2024·邯郸邯山区二模)如图,甲、乙二人给出了条件来证明四边形ABCD为平行四边形,下列判
断正确的是 ( )
甲:AB∥CD,AD=BC;
乙:∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶2∶1
A.甲可以,乙不可以
B.甲不可以,乙可以
C.两人都可以
D.两人都不可以
7.(2024·辽宁)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD,若AC=3,BD=5,则四边
形OCED的周长为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.16
8.(2024·唐山古冶区二模)如图,已知△ABD,用尺规进行如下操作:①以点B为圆心,AD长为半径画
弧;②以点D为圆心,AB长为半径画弧;③两弧在BD上方交于点C,连接BC,DC.可直接判定四边
形ABCD为平行四边形的条件是 ( )A.两组对边分别平行
B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分
D.一组对边平行且相等
9.(2024·巴中)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是BC的中点,AC=4.若▱ABCD的周
长为12,则△COE的周长为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.8
10.(2024·泸州)如图,在▱ABCD中,E,F是对角线BD上的点,且DE=BF.求证:∠1=∠2.
11.(2024·湖南)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上, .
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填
序号),再解决下列问题.
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形.
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
12.(2024·雅安)如图,点O是▱ABCD对角线的交点,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:△ODE≌△OBF.(2)当EF⊥BD时,DE=15 cm,分别连接BE,DF.求此时四边形BEDF的周长.
1.(2024·眉山)如图,在▱ABCD中,点O是BD的中点,EF过点O,下列结论:①AB∥DC;②EO=ED;
③∠A=∠C;④S =S ,其中正确结论的个数为 ( )
四边形ABOE 四边形CDOF
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2024·河北二模)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,∠A=55°.则∠C的度数为 ( )
A.55° B.35° C.55°或125° D.35°或145°
3.(2024·邯郸模拟)阅读下面的材料:
定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
已知:如图1,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点.
1
求证:DE∥BC,且DE= BC.
2
图1 图2 图3
证明:延长DE到点F,使EF=DE,连接CF,……
甲、乙两人后续证明的部分思路如下:
甲:如图2,先证明△ADE≌△CFE,再推理得出四边形DBCF是平行四边形.
乙:如图3,连接DC,AF.先后证明四边形ADCF,DBCF分别是平行四边形.
下列判断正确的是 ( )
A.甲思路正确,乙思路错误
B.甲思路错误,乙思路正确C.甲、乙两人思路都正确
D.甲、乙两人思路都错误【详解答案】
基础夯实
1.B 解析:由题图可知,图中平行四边形有▱ABEC,▱BDEC,▱BEFC,共3个.故选B.
2.A 解析:这条线段为a,理由:∵∠DAC=∠ACB=55°,∴AD∥BC,∵AD=a=5,BC=5,∴AD=BC,∴四边形ABCD为
平行四边形.故选A.
3.B 解析:A.平行四边形的邻边不一定相等,无法得到AB=BC,故此选项不合题意;
B.因为平行四边形的对边相等,故AD=BC,故此选项符合题意;
C.平行四边形的对角线不一定相等,无法得出AO=BO,故此选项不合题意;
D.平行四边形的对角线不一定垂直,无法得到AC⊥BD,故此选项不合题意.故选B.
4.D 解析:根据平行线之间的距离的定义可得a,b两直线的距离应该小于5.故选D.
5.B 解析:∵∠A+∠D=180°,
∴AB∥CD,
∵AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.故选B.
6.B 解析:甲:由AB∥CD,AD=BC,不能判断四边形ABCD为平行四边形,故甲不可以;
乙:∵∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶2∶1,
∴∠A=∠C,∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形,故乙可以.故选B.
7.C 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,
1 3 1 5
∴OC= AC= ,OD= BD= ,
2 2 2 2
∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形,
∴四边形OCED的周长=2(OC+OD)=2×(3 5)=8.故选C.
+
2 2
8.B 解析:由作图知,BC=AD,CD=AB,
∴四边形ABCD为平行四边形,
故判定四边形ABCD为平行四边形的条件是两组对边分别相等.故选B.
9.B 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,AC=4,
1
∴AB=CD,BC=AD,OC=OA= AC=2,
2
∵点E是BC的中点,1 1
∴CE=BE= BC,OE是△ABC的中位线,∴OE= AB,
2 2
1
∴CE+OE= (BC+AB),
2
∵▱ABCD的周长为12,
∴2BC+2AB=12,
1
∴ (BC+AB)=3,
2
∴CE+OE=3,
∴CE+OE+OC=3+2=5,
∴△COE的周长为5.故选B.
10.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠ADE=∠CBF.
{
AD=BC,
在△ADE和△CBF中, ∠ADE=∠CBF,
DE=BF,
∴△ADE≌△CBF(SAS),
∴∠1=∠2.
11.解:(1)选择①或②,证明如下:
选择①,∵∠B=∠AED,
∴BC∥DE,
∵AB∥CD,
∴四边形BCDE为平行四边形;
选择②,∵AE=BE,AE=CD,
∴BE=CD,
∵AB∥CD,
∴四边形BCDE为平行四边形.
(2)由(1)可知,四边形BCDE为平行四边形,
∴DE=BC=10,
∵AD⊥AB,
∴∠A=90°,
∴AE= =6,
√DE2-AD2=√102-82即线段AE的长为6.
12.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∵AD∥CB,
∴∠OED=∠OFB,
∵点O是▱ABCD对角线的交点,
∴OD=OB,
{∠OED=∠OFB
在△ODE和△OBF中, ∠DOE=∠BOF,
OD=OB
∴△ODE≌△OBF(AAS).
(2)如图,连接BE,DF,
由(1)得△ODE≌△OBF,
∴DE=BF,
∵DE∥BF,
∴四边形BEDF是平行四边形,
∵EF⊥BD,
∴四边形BEDF是菱形,
∴DF=BF=BE=DE=15 cm,
∴DF+BF+BE+DE=4DE=4×15=60(cm),
∴四边形BEDF的周长为60 cm.
能力提升
1.C 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AD∥BC,∠A=∠C,故①③正确,
1
∴S =S = S ,
△ABD △CDB 2 ▱ABCD
∠ODE=∠OBF,
∵点O是BD的中点,
∴OD=OB,
又∵∠DOE=∠BOF,
∴△ODE≌△OBF(ASA),
∴S =S ,EO=FO≠ED,故②不正确,
△ODE △OBF∵S =S ,S =S ,
△ABD △CDB △ODE △OBF
∴S -S =S -S ,
△ABD △ODE △CDB △OBF
即S =S ,故④正确,
四边形ABOE 四边形CDOF
综上所述,正确结论的个数为3.故选C.
2.C 解析:如图1,
图1
过B作BN∥CD交DA于点N,
∵AD∥BC,
∴四边形BCDN是平行四边形,
∴BN=CD,
∵AB=CD,
∴AB=BN,
∴A与N重合,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴∠C=∠A=55°;
图2
如图2,
过B作BM∥CD交AD于点M,
∵AD∥BC,
∴四边形BCDM是平行四边形,
∴MB=CD,∠C=∠BMD,
∵AB=CD,
∴AB=MB,
∴∠AMB=∠A=55°,
∴∠BMD=180°-55°=125°,
∴∠C=125°,
∴∠C的度数是55°或125°.故选C.
3.C 解析:甲:∵E是AC的中点,∴AE=CE,
∵∠AED=∠CEF,DE=FE,
∴△ADE≌△CFE(SAS),
∴AD=CF,∠A=∠ECF,
∴AB∥CF,
∵D是AB的中点,
∴AD=BD,
∴BD=CF,
∴四边形DBCF是平行四边形,
∴DE∥BC,BC=DF,
1
∵DE= DF,
2
1
∴DE= BC,故甲的思路正确;
2
乙:∵E是AC的中点,
∴AE=CE,
∵EF=DE,
∴四边形ADCF是平行四边形,
∴AD∥CF,AD=CF,
∵D是AB的中点,
∴AD=BD,
∴BD=CF,
∴四边形DBCF是平行四边形,
∴DE∥BC,BC=DF,
1
∵DE= DF,
2
1
∴DE= BC,故乙的思路正确.故选C.
2
