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2014 年江苏省常州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2分）（2014•常州）﹣ 的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．﹣2 D．2
2．（2分）（2014•常州）下列运算正确的是（ ）
A．a•a3=a3 B．（ab）3=a3b C．（a3）2=a6 D．a8÷a4=a2
3．（2分）（2014•常州）下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）（2014•常州）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩平均
数均是9.2环，方差分别为S 2=0.56，S 2=0.60，S 2=0.50，S 2=0.45，则成绩最
甲 乙 丙 丁
稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2分）（2014•常州）已知两圆半径分别为3cm，5cm，圆心距为7cm，则这两圆
的位置关系为（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．外离
6．（2分）（2014•常州）已知反比例函数y= 的图象经过点P（﹣1，2），则这个函
数的图象位于（ ）
A．第二，三象限 B．第一，三象限 C．第三，四象限 D．第二，四象限
7．（2分）（2014•常州）甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参
加学习．图中l 、l 分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S（km）随时间t
甲 乙
（分）变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为
15千米/小时；③乙走了8km后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲．其中正确的有
（ ）
第1页（共28页）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（2分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（﹣3，0），点B
（0， ），点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左平移，
平移后得到⊙P（′ 点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的
点P′共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共9小题，每小题4分，满分20分.）
9．（4分）（2014•常州）计算：|﹣1|= ，2﹣2= ，（﹣3）2=
， = ．
10．（2分）（2014•常州）已知P（1，﹣2），则点P关于x轴的对称点的坐标是
．
11．（2分）（2014•常州）若∠α=30°，则∠α的余角等于 度，sinα的值
为 ．
12．（2分）（2014•常州）已知扇形的半径为3cm，此扇形的弧长是2πcm，则此扇形
的圆心角等于 度，扇形的面积是 ．（结果保留π）
13．（2分）（2014•常州）已知反比例函数y= ，则自变量x的取值范围是
；若式子 的值为0，则x= ．
14．（2分）（2014•常州）已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是1，则m=
，另一个根为 ．
15．（2分）（2014•常州）因式分解：x3﹣9xy2= ．
第2页（共28页）16．（2分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=10﹣x的图象与
函数y= （x＞0）的图象相交于点A，B．设点A的坐标为（x ，y ），那么长为x ，宽
1 1 1
为y 的矩形的面积为 ，周长为 ．
1
17．（2分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b（k≠0）
的图象过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO=3，那么点
A的坐标是 ．
三、计算题（本大题共2小题，满分18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤）
18．（8分）（2014•常州）计算与化简：
（1） ﹣（﹣ ）0+2tan45°；
（2）x（x﹣1）+（1﹣x）（1+x）．
19．（10分）（2014•常州）解不等式组和分式方程：
（1） ；
（2） ．
第3页（共28页）四、解答题（本大题共2小题，满分15分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤）
20．（7分）（2014•常州）为迎接“六一”儿童节的到来，某校学生参加献爱心捐款
活动，随机抽取该校部分学生的捐款数进行统计分析，相应数据的统计图如下：
（1）该样本的容量是 ，样本中捐款15元的学生有 人；
（2）若该校一共有500名学生，据此样本估计该校学生的捐款总数．
21．（8分）（2014•常州）一只不透明的箱子里共有3个球，把它们的分别编号为
1，2，3，这些球除编号不同外其余都相同．
（1）从箱子中随机摸出一个球，求摸出的球是编号为1的球的概率；
（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下编号后将它放回箱子，搅匀后再摸出一个
球并记录下编号，求两次摸出的球都是编号为3的球的概率．
第4页（共28页）五、证明题（本大题共2小题，共12分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出
证明过程）
22．（5分）（2014•常州）已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．
求证：△ACD≌△CBE．
23．（7分）（2014•常州）已知：如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，
AF=CE，连接DE，DF，BE，BF．四边形DEBF为平行四边形．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
第5页（共28页）六、画图与应用（本大题共5小题，请在答题卡指定区域内作答，共39分）
24．（7分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知Rt△DOE，
∠DOE=90°，OD=3，点D在y轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴
上，AC=5．∠ACB+∠ODE=180°，∠ABC=∠OED，BC=DE．按下列要求画图（保留
作图痕迹）：
（1）将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为
点M，点E的对应点为点N），画出△OMN；
（2）将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C（′ 其中点A，B，C的对应点分别为点
A′，B′，C′），使得B′C′与（1）中的△OMN的边NM重合；
（3）求OE的长．
25．（7分）（2014•常州）某小商场以每件20元的价格购进一种服装，先试销一周，
试销期间每天的销量（件）与每件的销售价x（元/件）如下表：
x（元/件） 38 36 34 32 30 28 26
t（件） 4 8 12 16 20 24 28
假定试销中每天的销售量t（件）与销售价x（元/件）之间满足一次函数．
（1）试求t与x之间的函数关系式；
（2）在商品不积压且不考虑其它因素的条件下，每件服装的销售定价为多少时，
该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？（注
每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价﹣每件服装的进货价）
第6页（共28页）26．（8分）（2014•常州）我们用[a 表示不大于a的最大整数，例如：[2.5 =2，[3 =3，
[﹣2.5 =﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞=3，＜4＞=5，＜﹣1.5
] ] ]
＞=﹣1
]
．解决下列问题：
（1）[﹣4.5 = ，＜3.5＞= ．
（2）若[x =2，则x的取值范围是 ；若＜y＞=﹣1，则y的取值范围是
]
．
]
（3）已知x，y满足方程组 ，求x，y的取值范围．
27．（7分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣ x2+ x+2的
图象与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．过动点H（0，m）
作平行于x轴的直线l，直线l与二次函数y=﹣ x2+ x+2的图象相交于点D，E．
（1）写出点A，点B的坐标；
（2）若m＞0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m的值；
（3）直线l上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值
若不存在，请说明理由．
第7页（共28页）28．（10分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，点M（ ， ），以点M为圆
心，OM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另
一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是 上的动点．
（1）写出∠AMB的度数；
（2）点Q在射线OP上，且OP•OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，
直线QC交x轴于点E．
①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；
②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S
的取值范围．
2014 年江苏省常州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2分）（2014•常州）﹣ 的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．﹣2D．2
【解答】解：﹣ 的相反数是 ，
故选：A．
第8页（共28页）2．（2分）（2014•常州）下列运算正确的是（ ）
A．a•a3=a3B．（ab）3=a3bC．（a3）2=a6D．a8÷a4=a2
【解答】解：A、a•a3=a4，故A选项错误；
B、（ab）3=a3b3，故B选项错误；
C、（a3）2=a6，故C选项正确；
D、a8÷a4=a4，故D选项错误．
故选：C．
3．（2分）（2014•常州）下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据圆锥的特征可知，侧面展开图是扇形的是圆锥．
故选：B．
4．（2分）（2014•常州）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩平均
数均是9.2环，方差分别为S 2=0.56，S 2=0.60，S 2=0.50，S 2=0.45，则成绩最
甲 乙 丙 丁
稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解；∵S 2=0.56，S 2=0.60，S 2=0.50，S 2=0.45，
甲 乙 丙 丁
∴S 2＜S 2＜S 2＜S 2，
丁 丙 甲 乙
∴成绩最稳定的是丁；
故选：D．
5．（2分）（2014•常州）已知两圆半径分别为3cm，5cm，圆心距为7cm，则这两圆
的位置关系为（ ）
A．相交B．外切C．内切D．外离
【解答】解：∵两圆的半径分别是3cm和5cm，圆心距为7cm，
5﹣3=2，3+5=8，
∴2＜7＜8，
第9页（共28页）∴两圆相交．
故选：A．
6．（2分）（2014•常州）已知反比例函数y= 的图象经过点P（﹣1，2），则这个函
数的图象位于（ ）
A．第二，三象限B．第一，三象限C．第三，四象限D．第二，四象限
【解答】解：由题意得，k=﹣1×2=﹣2＜0，
∴函数的图象位于第二，四象限．
故选：D．
7．（2分）（2014•常州）甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参
加学习．图中l 、l 分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S（km）随时间t
甲 乙
（分）变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为
15千米/小时；③乙走了8km后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲．其中正确的有
（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：①乙在28分时到达，甲在40分时到达，所以乙比甲提前了12分钟到
达；故①正确；
②根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度=10÷ =15千米/时；故
②正确；
④设乙出发x分钟后追上甲，则有： ×x= ×（18+x），解得x=6，故④正确
③由④知：乙第一次遇到甲时，所走的距离为：6× =6km，故③错误；
第10页（共28页）所以正确的结论有三个：①②④，
故选：B．
8．（2分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（﹣3，0），点B
（0， ），点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左平移，
平移后得到⊙P（′ 点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的
点P′共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：如图所示，∵点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O，
∴⊙P的半径是1，
若⊙P与AB相切时，设切点为D，由点A（﹣3，0），点B（0， ），
∴OA=3，OB= ，由勾股定理得：AB=2 ，∠DAM=30°，
设平移后圆与直线AB第一次相切时圆心为M（即对应的P′），
∴MD⊥AB，MD=1，又因为∠DAM=30°，
∴AM=2，M点的坐标为（﹣1，0），即对应的P′点的坐标为（﹣1，0），
同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为（﹣5，0），
所以当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横坐标可以是﹣2，﹣3，﹣4
共三个．
故选：C．
二、填空题（本大题共9小题，每小题4分，满分20分.）
9．（4分）（2014•常州）计算：|﹣1|= 1 ，2﹣2= ，（﹣3）2= 9 ， = ﹣
2 ．
【解答】解：：|﹣1|=1，
第11页（共28页）2﹣2= ，
（﹣3）2=9，
=﹣2．
故答案为：1， ，9，﹣2．
10．（2分）（2014•常州）已知P（1，﹣2），则点P关于x轴的对称点的坐标是 （ 1 ，
2 ） ．
【解答】解：∵P（1，﹣2），
∴点P关于x轴的对称点的坐标是：（1，2）．
故答案为：（1，2）．
11．（2分）（2014•常州）若∠α=30°，则∠α的余角等于 6 0 度，sinα的值为
．
【解答】6解：∵∠A=30°，
∴∠A的余角是：90°﹣30°=60°；
sinα=sin30°= ，
故答案为：60， ．
12．（2分）（2014•常州）已知扇形的半径为3cm，此扇形的弧长是2πcm，则此扇形
的圆心角等于 12 0 度，扇形的面积是 3πcm 2 ．（结果保留π）
【解答】解：设扇形的圆心角的度数是n°，则
=2π，
解得：n=120，
扇形的面积是： =3π（cm2）．
故答案是：120，3πcm2．
第12页（共28页）13．（2分）（2014•常州）已知反比例函数y= ，则自变量x的取值范围是 x≠ 0
；若式子 的值为0，则x= ﹣ 3 ．
【解答】解：反比例函数y= 的自变量x的取值范围是x≠0，
=0，
解得x=﹣3．
故答案为：x≠0，﹣3．
14．（2分）（2014•常州）已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是1，则m= 2
，另一个根为 2 ．
【解答】解：将x=1代入方程得：1﹣3+m=0，
解得：m=2，
方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，
解得：x=1或x=2，
则另一根为2．
故答案为：2，2．
15．（2分）（2014•常州）因式分解：x3﹣9xy2= x （ x+3 y ）（ x﹣3 y ） ．
【解答】解：x3﹣9xy2，
=x（x2﹣9y2），
=x（x+3y）（x﹣3y）．
16．（2分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=10﹣x的图象与
函数y= （x＞0）的图象相交于点A，B．设点A的坐标为（x ，y ），那么长为x ，宽
1 1 1
为y 的矩形的面积为 6 ，周长为 2 0 ．
1
第13页（共28页）【解答】解：∵点A在函数y= （x＞0）上，
∴x y =6，
1 1
又∵点A在函数y=10﹣x上，
∴x +y =10，
1 1
∴矩形的周长为2（x +y ）=20，
1 1
故答案为：6，20．
17．（2分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b（k≠0）
的图象过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO=3，那么点
A的坐标是 （﹣ 2 ， 0 ）或（ 4 ， 0 ） ．
【解答】解：在Rt△AOB中，由tan∠ABO=3，可得OA=3OB，则一次函数y=kx+b
中k=± ．
∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），
∴当k= 时，求可得b= ；
k=﹣ 时，求可得b= ．
即一次函数的解析式为y= x+ 或y=﹣ x+ ．
令y=0，则x=﹣2或4，
∴点A的坐标是（﹣2，0）或（4，0）．
故答案为：（﹣2，0）或（4，0）．
第14页（共28页）三、计算题（本大题共2小题，满分18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤）
18．（8分）（2014•常州）计算与化简：
（1） ﹣（﹣ ）0+2tan45°；
（2）x（x﹣1）+（1﹣x）（1+x）．
【解答】解：（1）原式=2﹣1+2×1
=2﹣1+2
=3；
（2）原式=x2﹣x+1﹣x2
=1﹣x．
19．（10分）（2014•常州）解不等式组和分式方程：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1） ，
由①得：x＞﹣1，
由②得：x＞﹣2，
则不等式组的解集为：x＞﹣1；
（2）去分母得：3x+2=x﹣1，
第15页（共28页）移项得：3x﹣x=﹣1﹣2，即2x=﹣3，
解得：x=﹣ ，
经检验x=﹣ 是分式方程的解．
四、解答题（本大题共2小题，满分15分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤）
20．（7分）（2014•常州）为迎接“六一”儿童节的到来，某校学生参加献爱心捐款
活动，随机抽取该校部分学生的捐款数进行统计分析，相应数据的统计图如下：
（1）该样本的容量是 5 0 ，样本中捐款15元的学生有 1 0 人；
（2）若该校一共有500名学生，据此样本估计该校学生的捐款总数．
【解答】解：（1）15÷30%=50（人），50﹣15﹣25=10（人），
故答案为：50，10；
（2）平均每人的捐款数为： ×（5×15+10×25+15×10）=9.5（元），
9.5×500=4750（元），
答：该校学生的捐款总数为4750元．
21．（8分）（2014•常州）一只不透明的箱子里共有3个球，把它们的分别编号为
1，2，3，这些球除编号不同外其余都相同．
（1）从箱子中随机摸出一个球，求摸出的球是编号为1的球的概率；
（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下编号后将它放回箱子，搅匀后再摸出一个
球并记录下编号，求两次摸出的球都是编号为3的球的概率．
第16页（共28页）【解答】解：（1）从箱子中随机摸出一个球，摸出的球是编号为1的球的概率为：
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是编号为3的球的概率为 ．
五、证明题（本大题共2小题，共12分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出
证明过程）
22．（5分）（2014•常州）已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．
求证：△ACD≌△CBE．
【解答】证明：∵C是AB的中点（已知），
∴AC=CB（线段中点的定义）．
∵CD∥BE（已知），
∴∠ACD=∠B（两直线平行，同位角相等）．
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS）．
23．（7分）（2014•常州）已知：如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，
AF=CE，连接DE，DF，BE，BF．四边形DEBF为平行四边形．
第17页（共28页）求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解答】证明：如图，连结BD交AC于点O．
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴OD=OB，OE=OF，
∵AF=CE，
∴AF﹣EF=CE﹣EF，即AE=CF，
∴AE+OE=CF+OF，即OA=OC
∴四边形ABCD是平行四边形．
六、画图与应用（本大题共5小题，请在答题卡指定区域内作答，共39分）
24．（7分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知Rt△DOE，
∠DOE=90°，OD=3，点D在y轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴
上，AC=5．∠ACB+∠ODE=180°，∠ABC=∠OED，BC=DE．按下列要求画图（保留
作图痕迹）：
（1）将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为
点M，点E的对应点为点N），画出△OMN；
第18页（共28页）（2）将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C（′ 其中点A，B，C的对应点分别为点
A′，B′，C′），使得B′C′与（1）中的△OMN的边NM重合；
（3）求OE的长．
【解答】解：（1）△OMN如图所示；
（2）△A′B′C′如图所示；
（3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A′B′于点F，
由作图可知：B′C′平分∠A′B′O，且C′O⊥O B′，
所以，B′F=B′O=OE=x，F C′=O C′=OD=3，
∵A′C′=AC=5，
∴A′F= =4，
∴A′B′=x+4，A′O=5+3=8，
在Rt△A′B′O中，x2+82=（4+x）2，
解得x=6，
即OE=6．
25．（7分）（2014•常州）某小商场以每件20元的价格购进一种服装，先试销一周，
试销期间每天的销量（件）与每件的销售价x（元/件）如下表：
x（元/件） 38 36 34 32 30 28 26
t（件） 4 8 12 16 20 24 28
假定试销中每天的销售量t（件）与销售价x（元/件）之间满足一次函数．
（1）试求t与x之间的函数关系式；
第19页（共28页）（2）在商品不积压且不考虑其它因素的条件下，每件服装的销售定价为多少时，
该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？（注
每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价﹣每件服装的进货价）
【解答】解：（1）设t与x之间的函数关系式为：t=kx+b，因为函数的图象经过（38，
4）和（36，8）两点，
∴ ，
解得： ．
故t=﹣2x+80．
（2）设每天的毛利润为W元，每件服装销售的毛利润为（x﹣20）元，每天售出（80
﹣2x）件，
则W=（x﹣20）（80﹣2x）=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，
当x=30时，获得的毛利润最大，最大毛利润为200元．
26．（8分）（2014•常州）我们用[a 表示不大于a的最大整数，例如：[2.5 =2，[3 =3，
[﹣2.5 =﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞=3，＜4＞=5，＜﹣1.5
] ] ]
＞=﹣1
]
．解决下列问题：
（1）[﹣4.5 = ﹣ 5 ，＜3.5＞= 4 ．
（2）若[x =2，则x的取值范围是 2≤ x ＜ 3 ；若＜y＞=﹣1，则y的取值范围是
]
﹣ 2≤ y ＜﹣ 1 ．
]
（3）已知x，y满足方程组 ，求x，y的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，[﹣4.5 =﹣5，＜3.5＞=4；
]
（2）∵[x =2，
∴x的取值范围是2≤x＜3；
]
∵＜y＞=﹣1，
∴y的取值范围是﹣2≤y＜﹣1；
第20页（共28页）（3）解方程组得： ，
∴x，y的取值范围分别为﹣1≤x＜0，2≤y＜3．
27．（7分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣ x2+ x+2的
图象与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．过动点H（0，m）
作平行于x轴的直线l，直线l与二次函数y=﹣ x2+ x+2的图象相交于点D，E．
（1）写出点A，点B的坐标；
（2）若m＞0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m的值；
（3）直线l上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值
若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当y=0时，有 ，
解得：x =4，x =﹣1，
1 2
∴A、B两点的坐标分别为（4，0）和（﹣1，0）．
（2）∵⊙Q与x轴相切，且与 交于D、E两点，
∴圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处，
第21页（共28页）∵抛物线的对称轴为 ，⊙Q的半径为H点的纵坐标m（m＞
0），
∴D、E两点的坐标分别为：（ ﹣m，m），（ +m，m）
∵E点在二次函数 的图象上，
∴ ，
解得 或 （不合题意，舍去）．
（3）存在．
①如图1，
当∠ACF=90°，AC=FC时，过点F作FG⊥y轴于G，
∴∠AOC=∠CGF=90°，
∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，
∴∠ACO=∠CFG，
∴△ACO≌△CFG，
第22页（共28页）∴CG=AO=4，
∵CO=2，
∴m=OG=2+4=6；
反向延长FC，使得CF=CF′，此时△ACF′亦为等腰直角三角形，
易得y ﹣y ′=CG=4，
C F
∴m=CO﹣4=2﹣4=﹣2．
②如图2，
当∠CAF=90°，AC=AF时，过点F作FP⊥x轴于P，
∵∠AOC=∠APF=90°，∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，
∴∠ACO=∠FAP，
∴△ACO≌△∠FAP，
∴FP=AO=4，
∴m=FP=4；
反向延长FA，使得AF=AF′，此时△ACF’亦为等腰直角三角形，
易得y ﹣y ′=FP=4，
A F
∴m=0﹣4=﹣4．
③如图3，
第23页（共28页）当∠AFC=90°，FA=FC时，则F点一定在AC的中垂线上，此时存在两个点分别记
为F，F′，
分别过F，F′两点作x轴、y轴的垂线，分别交于E，G，D，H．
∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°，
∴∠DFC=∠EFA，
∵∠CDF=∠AEF，CF=AF，
∴△CDF≌△AEF，
∴CD=AE，DF=EF，
∴四边形OEFD为正方形，
∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD，
∴4=2+2•CD，
∴CD=1，
∴m=OC+CD=2+1=3．
∵∠HF′C+∠CGF′=∠CF′G+∠GF′A，
∴∠HF′C=∠GF′A，
∵∠HF′C=∠GF′A，CF′=AF′，
∴△HF′C≌△GF′A，
∴HF′=GF′，CH=AG，
∴四边形OHF′G为正方形，
∴OH=CH﹣CO=AG﹣CO=AO﹣OG﹣CO=AO﹣OH﹣CO=4﹣OH﹣2，
∴OH=1，
第24页（共28页）∴m=﹣1．
∵y=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴y的最大值为 ．
∵直线l与抛物线有两个交点，∴m＜ ．
∴m可取值为：﹣4、﹣2、﹣1或3．
综上所述，直线l上存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形，m的值为﹣4、﹣
2、﹣1或3．
28．（10分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，点M（ ， ），以点M为圆
心，OM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另
一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是 上的动点．
（1）写出∠AMB的度数；
（2）点Q在射线OP上，且OP•OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，
直线QC交x轴于点E．
①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；
②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S
的取值范围．
【解答】解：（1）过点M作MH⊥OD于点H，
∵点M（ ， ），
∴OH=MH= ，
∴∠MOD=45°，
第25页（共28页）∵∠AOD=90°，
∴∠AOM=45°，
∵OM=AM，
∴∠OAM=∠AOM=45°，
∴∠AMO=90°，
∴∠AMB=90°；
（2）①∵OH=MH= ，MH⊥OD，
∴OM= =2，OD=2OH=2 ，
∴OB=4，
∵动点P与点B重合时，OP•OQ=20，
∴OQ=5，
∵∠OQE=90°，∠POE=45°，
∴OE=5 ，
∴E点坐标为（5 ，0）
②∵OD=2 ，Q的纵坐标为t，
∴S= ．
如图2，当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点，
∵OP=4，OP•OQ=20，
∴OQ=5，
∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，
∴t=QF= ，
此时S= ；
如图3，当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，
∴OP=2 ，
∵OP•OQ=20，
第26页（共28页）∴t=OQ=5 ，
此时S= ；
∴S的取值范围为5≤S≤10．
第27页（共28页）参与本试卷答题和审题的老师有：sd2011；wkd；HJJ；lantin；sjzx；星期八；郝老师；
MMCH；qingli；gbl210；wdzyzlhx；zhjh；HLing；wdxwwzy；zjx111；自由人；sks；
nhx600；wd1899；caicl；SPIDER；zcx（排名不分先后）
菁优网
2016年7月19日
第28页（共28页）
