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目 录
第一章 倍数特性........................................................................................2
补充考点1：神奇的1764（五位数字连乘之积1764）...............................11
第二章 方程问题......................................................................................12
补充考点2：普通方程：A和非A思想在数量中的运用................................18
补充考点3：方程中的排比句...................................................................19
补充考点4：鸡兔同笼............................................................................22
第三章 工程问题......................................................................................23
补充考点5：暑假作业型.........................................................................33
补充考点6：同时开始同时结束...............................................................34
第四章 几何问题......................................................................................37
补充考点7：切长最短............................................................................49
第五章 经济问题......................................................................................51
补充考点8：合并付费............................................................................60
第六章 行程问题......................................................................................62
补充考点9：等距离平均速度做猜............................................................67
补充考点10：多次相遇，每人都有事做................................................... 67
补充考点11：多次相遇比例类比.............................................................68
补充考点12：漂流瓶.............................................................................69
第七章 周期问题......................................................................................71
第八章 等差数列......................................................................................76
补充考点13：等差数列中的倍数特性.......................................................79
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第九章 容斥问题......................................................................................81
补充考点14：常识公式..........................................................................87
第十章 年龄问题......................................................................................88
第十一章 最值问题...................................................................................93
补充考点15：最值思维..........................................................................98
第十二章 溶液问题...................................................................................99
第十三章 排列组合.................................................................................103
补充考点16：平均分组........................................................................107
补充考点17：描点法...........................................................................108
第十四章 概率问题.................................................................................109
参考答案..................................................................................................115
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公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸
数量关系题库-夸夸刷-必考题型专项拔高
前言
恭喜你，悄悄的我们走到了数量的夸夸刷。真正的勇者是，敢于面对自己的弱项，敢于查
漏补缺。你是上岸的孤勇者。
不要害怕数量，数量是我们拿高分的关键。没有数量学不好，只有不学和不做。
听不懂，见的题少，或者一听就会、一做就废，找不到这样点对点的练习。我们归还学习
本来的样子：“讲练结合”，这次夸夸刷希望对你有帮助，我们又增加了一些补充考点或者小
技巧，是对理论课的补充和拓展，我们只是为了上岸，特别希望你能坚持下来，要是累了坚持
不住了，你可以听回放，你一定会用到的。
如果没有天赋，
那就一直重复，
当你快到本能反应的时候，
你的重复，
就是别人眼里的天赋。
加油，祝你又有新的收获，闯关成功。
数量题做题步骤：先读问题，再读题干。
数量题学习步骤：先做再听。（有时间全听，没时间，只听错题）
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第一章 倍数特性
【例1】（2025湖北选调）甲、乙、丙三个单位共有100多名职工，甲单位职工比乙单位
多14%；丙单位职工比甲单位少3人。问三个单位共有多少人？
A.158
B.159
C.160
D.161
【例2】（2021上海）公司购买某设备24套，现要登记单价，但是数据上没有标注单价，
且总价第一位和最后一位模糊不清，只看到是☆579△元。则☆可能是（ ）。
A.3
B.5
C.7
D.9
【例3】（2022辽宁事业单位）1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字各用一次，组成
3个能被9整除的三位数，这3个数的和最大是（ ）。
A.2007
B.2394
C.2448
D.2556
【例4】（2025江苏）某配送中心负责若干个货箱的分配，如果将货箱平均分配给6个配
送点，有3个无法分配；如果将货箱平均分配给11个配送点，恰好分完；如果将货箱平均分配
给13个配送点，有2个无法分配。该配送中心负责分配的货箱总共可能有：
A.231个
B.429个
C.561个
D.759个
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【例5】（2023广东）某社区计划组建多支社工团队，为此招募了一批社工。如果每支团
队由3名社工组成，则剩余2名社工；如果每支团队由4名社工组成，同样剩余2名社工，则
该社区可能招募了（ ）名社工。
A.32
B.34
C.36
D.38
【例6】（2023联考）某单位员工集中核酸检测，18人一组混检，需m（m为正整数）个
组，但会多余1人，如果分成m-1个组，人数刚好平均分配。问该单位有多少员工？
A.325
B.361
C.415
D.469
【例7】（2022全国事业单位）学校要发放100本书，要求分多次发放，且保证每次发放
的书本数量一样多，则学校最多有多少种发放方法？
A.6
B.7
C.8
D.9
【例8】（2024联考）现针对50岁（含）以上的一批老人进行为期两年的跟踪调查，在人
员不变的情况下，第二年50~60岁的占比降低5％，61~70岁的占比降低4％，则71岁的人员
数量为：
A.4
B.5
C.8
D.9
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【例9】（2025四川）在一次团体操表演中，演员方阵的成员需要贴上红色、黄色和白色
1
三种颜色之一的背贴。一位演员看到贴红色背贴的演员是除自己之外所有演员的 ，另一位演
5
2
员则看到贴红色背贴的演员是除自己之外所有演员的 。问这次团体操的演员有多少人？
11
A.55
B.56
C.110
D.111
【例10】（2019江苏）某地区有甲、乙、丙、丁4个派出所。已知上月甲、乙2个派出所
的合计出警次数是95次，乙、丙、丁3个派出所的合计出警次数是140次，乙派出所的出警次
7
数占4个派出所合计出警次数的 ，则上月甲派出所的出警次数是：
40
A.55次
B.60次
C.68次
D.75次
1
【例11】（2019黑龙江边境）学校买来四种教材，语文教材是其余三种的 ，数学教材是
4
3 7
其余三种的 ，英语教材是其余三种的 ，科学教材比数学教材少30本，则数学教材有：
7 13
A.30本
B.60本
C.100本
D.200本
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【例12】（2020上海）甲、乙、丙、丁四人一起去踏青，甲带的钱是另外三个人总和的一
1 1
半，乙带的钱是另外三个人的 ，丙带的钱是另外三个人的 ，丁带了91元，他们一共带了多
3 4
少元？
A.364
B.380
C.420
D.495
【例13】（2020联考）甲、乙、丙三人去超市买了100元的商品，如果甲付钱，那么甲剩
2 9
下的钱是乙、丙两人钱数之和的 ；如果乙付钱，则乙剩下的钱是甲、丙两人钱数之和的 ；
13 16
1
如果丙付钱，丙用他的会员卡可享受9折优惠，结果丙剩下的钱是甲、乙两人钱数之和的 ；
3
那么，甲、乙、丙三人开始时一共带了多少钱？
A.850元
B.900元
C.950元
D.1000元
【例14】（2022全国事业单位）某幼儿园的育才班和育人班两个班级的图书数量比为7∶
9，当育人班拿出18本书给育才班后，育才班和育人班两个班级的图书数量比为9∶7，问两个
班级共有图书多少本？
A.144
B.153
C.171
D.189
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【例15】（2022全国事业单位）某水质实验室已有烧杯和三角瓶的数量比为7∶4，若再
买进若干个烧杯，这时烧杯与三角瓶的数量比变为3∶1，接着又买进相同数量的三角瓶，此时
烧杯与三角瓶的比为4∶3。问实验室原有三角瓶的个数是新增三角瓶个数的多少倍？
A.0.5
B.0.8
C.1.25
D.2
【例16】（2024联考）运动会招募志愿者，第一次招募了不到100人，其中男女比例为
11∶7；补招若干女性志愿者后，男女比例变为4∶3。问最多可能补招了多少名女性志愿者？
A.3
B.5
C.6
D.10
【例17】（2022国考）高校某专业70多名毕业生中，有96%在毕业后去西部省区支援国
家建设。其中去偏远中小学支教的毕业生占该专业毕业生总数的20%，比任职大学生村官的毕
业生少2人，比在西部地区参军入伍的毕业生多1人，其余的毕业生选择去国有企业西部边远
岗位工作。问去国有企业西部边远岗位工作的毕业生有多少人？
A.32
B.29
C.26
D.23
【例18】（2024浙江）某公司招聘员工，来应聘的男女人数比是18∶17，最后被录取的
有280人，其中男女人数比是3∶4，未被录取的男女人数比是6∶5。同来应聘的共有多少人？
A.630
B.720
C.1050
D.1400
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【例19】（2024全国事业单位）某高科技企业新成立的研发中心共有1000名员工，分为
基础研究人员、应用研究人员和非研究人员，已知研究人员占所有员工的 90%，应用研究人员
是非研究人员的5倍，问该研发中心有多少名基础研究人员？
A.400
B.500
C.600
D.900
【例20】（2024全国事业单位）公司300名职工中有15%是售后服务人员，公司决定新招
聘一批售后服务人员，使其占比提高到25%，问新招聘了多少人？
A.30
B.35
C.40
D.45
【例21】（2019联考）现有5盒动画卡片，各盒卡片张数分别为：7、9、11、14、17。卡
片按图案分为米老鼠、葫芦娃、喜羊羊和灰太狼4种，每个盒内装的是同图案的卡片。已知米
老鼠的卡片只有一盒，而喜羊羊、灰太狼图案的卡片数之和比葫芦娃图案的多1倍。据此可知，
图案为米老鼠的卡片张数为：
A.7
B.9
C.14
D.17
【例22】（2018联考）某储蓄所两名工作人员，一天内共办理了122件业务，其中小王经
手的有84%是现金业务，小李经手的有25%为非现金业务，小李当天办理了多少件现金业务？
A.36
B.42
C.48
D.54
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【例23】（2019联考）某农户饲养有肉兔和宠物兔两种不同用途的兔子共计2200只，所
有兔子的毛色分为黑、白两种。肉兔中有87.5%的毛色为黑色，宠物兔中有23%的毛色为白色。
据此可知，毛色为白色的肉兔至少有多少只？
A.25
B.50
C.100
D.200
【例24】（2020联考）某手机厂商生产甲、乙、丙三种机型，其中甲产量的2倍与乙产量
的5倍之和等于丙产量的4倍，丙产量与甲产量的2倍之和等于乙产量的5倍。甲、乙、丙产
量之比为：
A.2∶1∶3
B.2∶3∶4
C.3∶2∶1
D.3∶2∶4
【例25】（2019江苏）一只密码箱的密码是一个三位数，满足3个数字之和为19，十位
上的数比个位上的数大2。若将百位上的数与个位上的数对调，得到一个新密码，且新密码数
比原密码的数大99，则原密码数是：
A.397
B.586
C.675
D.964
【例26】（2024联考）有一组数按如下规律排列：第一个数是1，第二个数是2，从第三个
数起，每一个数恰好是其前两个数之和。问这列数中第2024个数除以4所得的余数是（ ）。
A.3
B.2
C.1
D.0
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【例27】（2023江苏）在下表中，小方格中的字母均为整数。若各行之和、各列之和、各
对角线之和均相等，则a的值为：
a 4 8 m
3 17 b 11
11 y 5 e
x 14 z 2
A.17
B.18
C.19
D.20
【例28】（2024联考）某企业向银行申请A、B两种贷款共6000万元，假设A种贷款年
利率为8%，B种贷款年利率为9%，那么每年共需付利息500万元，问该企业申请的A、B两
种贷款相差（ ）万元。
A.4000
B.3000
C.2000
D.1000
【例29】（2022全国事业单位）甲和乙两个企业2020年的销售额共3200万元，2021年
甲乙企业的销售额分别增长10%和30%，两企业销售额总计增长800万元，问2021年甲企业
的销售额比乙企业：
A.低2000万元以上
B.低不到2000万元
C.高不到2000万元
D.高2000万元以上
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【例30】（2022北京）甲、乙两条生产线每小时分别可以生产15000件和9000件某种零
件，产品合格率分别为99%和99.8%。现接到36万件这种零件的生产任务，要求合格率不得低
于99.5%，则两条生产线合作，至少需要多少小时完成？
A.15
B.18
C.24
D.25
【例31】（2022山东）甲乙两个部门举办党史答题评比活动，一共96人。甲部门的平均
分比乙部门多1.2分，比总人数的平均分多0.5分，求甲部门比乙部门：
A.少10人以下
B.多10人以下
C.多10人以上
D.少10人以上
【例32】（2021浙江）某俱乐部选拔优秀选手参加游泳比赛，选手在规定时间内游完全程，
就能获得参赛资格。已知有四分之一的选手获得了参赛资格，获得参赛资格选手的平均完成时
间比规定时间快6秒，未获得参赛资格选手的平均完成时间比规定时间慢10秒，所有选手的平
均完成时间为140秒，则本次选拔的规定时间为多少秒？
A.116
B.125
C.134
D.139
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补充考点 1：神奇的 1764（五位数字连乘之积 1764）
方法：1764=---77
特点：（1）五位数字和为24-28；（2）数字和最大比最小多4
5位数字，五位数字连乘之积等于1764=---77
【例33】（2014河北）小刘和小李进行射箭比赛，射不中记零环，射中按离靶心距离得1～
10环。2人各射5箭，所得环数之积都是1764，但小刘的总环数比小李多4环，那么小刘得了
多少环？
A.24
B.26
C.28
D.30
【例34】（2020联考）甲、乙两名运动员参加射箭比赛，每一箭的环数是不超过10的自
然数，甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭的环数乘积均为1764，但乙的总环数比甲的少
4环，则甲、乙两名运动员的总环数各是多少？
A.26、22
B.27、23
C.28、24
D.32、28
【例35】（2021北京）某工厂的工号为5位数字。甲乙两个工人工号五位数字连乘之积都
等于1764，但是甲的工号五位连加之和比乙的大4。问乙的工号为：
A.13677
B.22779
C.23677
D.33477
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第二章 方程问题
【例1】（2025联考）某展览馆最多可以容纳1040人。该展览馆有A、B、C三个逃生出
口，其中A出口每分钟可以通过150人，B出口每分钟可以通过100人，C出口每分钟可以通
过80人，从A、B、C出口到达安全疏散点分别还需要1分钟、3分钟、2分钟。那么展览馆在
满员情况下，全部人员紧急疏散到安全疏散点至少需要多少分钟？
A.7
B.6
C.5
D.4
【例2】（2025联考）甲、乙、丙3名研究生本学期已阅读了159篇本专业的学术论文。
已知甲的阅读量比乙的一半多28篇，丙的阅读量比甲和乙的平均阅读量多18篇。问乙本学期
至少还要再阅读多少篇，阅读量才能比丙多50%以上？
A.42
B.48
C.54
D.60
【例3】（2022山东）部门预评选一名年度优秀工作者，候选人为甲、乙、丙。有效票89
张，在58张中，甲34票，乙9票，丙15票。甲要想保证当选，在剩余的选票中至少需要再得：
A.16票
B.11票
C.9票
D.7票
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【例4】（2024联考）某农场有一批水稻收割任务，第一天收割了计划的 ，第二天收割
10
2
了余下的 ，若第三天收割50公顷，则这三天收割的水稻将比计划多15公顷。问计划收割水
3
稻（ ）公顷。
A.50
B.100
C.120
D.150
【例5】（2024北京）社区干部对所辖社区内的独居老人进行走访，计划用三周走访完毕，
每户走访一次,第一周走访30户，第二周是第三周的一半，比第一周多十户，问该社区有多少
户独居老人？
A.150
B.140
C.130
D.120
【例6】（2021国考）社区工作人员小张连续4天为独居老人采买生活必需品，已知前三
天共采买65次，其中第二天采买次数比第一天多50%，第三天采买次数比前两天采买次数的和
少15次，第四天采买次数比第一天的2倍少5次。问这4天中，小张为独居老人采买次数最多
和最少的日子，单日采买次数相差多少次？
A.9
B.10
C.11
D.12
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【例7】（2021浙江）甲队参加四场篮球比赛，前两场场均得分为第三场得分的 ，第四
4
场得72分，是第三场得分的0.9倍。问甲队所有比赛平均每场得多少分？
A.64
B.66
C.68
D.72
【例8】（2021新疆）甲、乙、丙、丁四人捐款，甲、乙、丙共捐款240元，甲、丙、丁
共捐款190元，甲捐款额是丙的两倍，甲比乙少捐款40元。问丁捐款多少元？
A.70
B.80
C.90
D.120
【例9】（2022联考）某单位四个党史宣讲小组各有若干组员，现增加2人并重新分配，使
得四个小组人数相等。此时与原先相比，第一小组人数增加10人，第二小组人数减少1人，第
三小组人数增加一倍，第四小组人数减半。则原先人数最多的小组与人数最少的小组之间相差：
A.15人
B.21人
C.24人
D.32人
【例10】（2019上海）踢毽子有内踢、直踢、外踢、膝击、叉踢、背踢、倒勾和踹毽八种
基本动作。在一次踢毽子比赛中规定：前五种基本动作每次记1分；后三种基本动作由于难度
较高，每次记3分。方华在1分钟内完成了35个基本动作，总分为69分。那么方华完成了
（ ）个3分动作。
A.16
B.17
C.18
D.19
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【例11】（2023全国事业单位）某创业团队为方便员工通勤，在单位附近租赁了公寓供员
工休息，租赁费用为每月280元/人。今年新招聘4名员工，在租赁费用总额不变的情况下，租
赁费用降至每月240元/人。问该团队租赁公寓每月花费多少元？
A.1120
B.3360
C.6720
D.7840
【例12】（2019全国事业单位）年终时，某班组集体获得一笔奖金，班长决定平均分配这
笔钱。如果每人5万元，则剩余m万元；如果每人6万元，则剩余n万元；如果每人7万元，
则刚好够平均分配给（m-n）人。则下列关系正确的是：
A.6m=5n
B.5m=6n
C.m=2n
D.2m=n
【例13】（2023联考）某学校组织学生分组参观红色教育基地，租赁了若干辆客车。其
中，一辆大型客车可容纳5个小组，一辆中型客车可容纳3个小组，大型客车比中型客车多容
纳16个小组，那么至少租赁了大型客车和中型客车各多少辆？
A.3；5
B.5；3
C.4；3
D.5；6
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【例14】（2020浙江）某会务组租了20多辆车将2220名参会者从酒店接到活动现场。大
车每次能送50人，小车每次能送36人，所有车辆送2趟，且所有车辆均满员，正好送完，则
大车比小车（ ）。
A.多5辆
B.多2辆
C.少2辆
D.少5辆
【例15】（2019联考）某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则
为：一等奖得9分，二等奖得5分，三等奖得2分。甲队共有10位选手参赛，均获奖。现知甲
队最后总分为61分，问该队最多有几位选手获得一等奖？
A.3
B.4
C.5
D.6
【例16】（2023上海）足球比赛在每个半场结束时都有一段时间的伤停补时，这是由当值
主裁判决定的。某场比赛的主裁判确定伤停补时的规则为：每次处理受伤增加30秒，每次换
人增加20秒，其他情况每次增加10秒。在下半场即将结束时，主裁判确定伤停补时的时长
为4分30秒。若已知下半场比赛时间内，处理受伤、换人和其他情况都存在且共计有 10次，
那么下半场两队总共换了（ ）人。
A.1
B.2
C.3
D.4
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【例17】（2024江苏）某商场为回馈消费者，奖金有3种：一等奖888元，二等奖88元，
三等奖8元。若100个中奖者的奖金总额为2480元，则其中获得三等奖的最少（ ）。
A.95人
B.89人
C.79人
D.75人
【例18】（2017江苏）某地遭受大自然灾害后，A公司立即组织捐款救灾。已知该公司有
100名员工捐款，捐款额有300元、500元和2000元三种，捐款总额为36000元，则捐款500元
的员工数是：
A.11人
B.12人
C.13人
D.14人
【例19】（2008国考）甲、乙、丙三种货物，如果购买甲3件、乙7件、丙1件需花3.15
元，如果购买甲4件、乙10件、丙1件需花4.20元，那么购买甲、乙、丙各1件需花多少钱？
A.1.05元
B.1.40元
C.1.85元
D.2.10元
【例20】（2009国考）甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买
了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、
铅笔各买一支，共用多少钱？
A.21元
B.11元
C.10元
D.17元
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【例21】（2016江苏）若买6个订书机、4个计算器和6个文件夹共需504元，买3个订
书机、1个计算器和3个文件夹共需207元，则购买订书机、计算器和文件夹各5个所需的费
用是：
A.465元
B.475元
C.485元
D.495元
补充考点 2：普通方程：A 和非 A 思想在数量中的运用
重点：识别题型
方法一：列式，解方程
方法二：
公式：
非B+非C−非A
A=
2
【例22】（2020深圳）某快递集散点有一批包裹，由甲、乙、丙三名快递员各自独立完
成送达。其中有93件不是甲派送的，92件不是乙派送的，91件不是丙派送的，则甲派送了
多少件？
A.44
B.45
C.46
D.47
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【例23】（2017江西）某人雇佣了甲、乙、丙三名工人加工一些零件，其中有 87个零
件不是甲加工的，有86个零件不是乙加工的，有 85个零件不是丙加工的，那么甲加工的零
件数是：
A.42个
B.43个
C.44个
D.45个
【例24】（2020联考）春节期间，省图书馆邀请多位书法老师免费为读者书写春联。现场
书写的春联中有188幅不是A老师书写的，有219幅不是B老师书写的，A、B两位老师今年
一共书写了311幅春联。问B老师今年一共书写了多少幅春联？
A.208
B.171
C.140
D.126
补充考点 3：方程中的排比句
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基本型
【例25】（2018联考）老师拿来一箱笔记本让班长负责给同学们分发，如果每人发 2本，
还剩22本，如果每人发3本，就少15本，该班共有多少学生？
A.37
B.34
C.23
D.17
【例26】（2015广东乡镇）某车队运输一批蔬菜。如果每辆汽车运3500千克。那么还剩
下5000千克；如果每辆汽车运4000千克，那么还剩下500千克，则该车队有（ ）辆汽车。
A.8
B.9
C.10
D.11
【例27】（2020联考）某企业员工组织周末自驾游。集合后发现，如果每辆小车坐 5人，
则空出4个座位；如果每辆小车少坐1人，则有8人没坐上车。那么，参加自驾游的小车有：
A.9辆
B.10辆
C.11辆
D.12辆
多一步
【例28】（2016北京）村官小刘负责将村委会购买的一批煤分给村中的困难户，如果给每
个困难户分300千克煤，则缺500千克；如果给每个困难户分250千克煤，则剩余250千克。
为帮助困难户，村委会购买了多少煤？
A.5500千克
B.5000千克
C.4500千克
D.4000千克
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【例29】（2019联考）林先生要将从故乡带回的一包泥土分成小包装送给占其朋友总数
30%的老年朋友。在分包装过程中发现，如果每包200克，则缺少500克，如果每包150克，
则多余250克。那么，林先生的朋友共有多少人？
A.15
B.30
C.50
D.100
【例30】（2016吉林）正值毕业季，班长小李组织大家聚餐，费用均摊，结账时，如果每
人付300元，则多出100元；如果每人付290元，小李自己要多付80元才刚好，那么，这次活
动的人均费用大约是：
A.293
B.296
C.295
D.294
【例31】（2016江苏）某志愿服务小组购买一批牛奶到一敬老院慰问老人。如果送给每位
老人4盒牛奶，那么还剩28盒；如果送给每位老人5盒，那么最后一位老人又不足4盒，则该
敬老院的老人人数至少是：
A.27
B.29
C.30
D.33
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【例32】（2022国考）某企业职工筹款给甲村学龄儿童购买学习用具，如按100元/人的
标准执行则资金剩余550元，如按120元/人的标准执行则还需筹集630元。现额外筹集2510
元，且最终按80元/人的标准，正好能给甲、乙两村的学龄儿童购买学习用具。问乙村学龄儿
童有多少人？
A.50
B.53
C.56
D.59
补充考点 4：鸡兔同笼
【例33】（2023北京）28名运动员在羽毛球馆打比赛，馆内共有10块羽毛球场地，所有
运动员都要上场比赛，或者参加单打比赛，或者参加双打比赛。如果保证每名运动员都在打比
赛，且每块羽毛球场地上都有运动员在打比赛，则有多少名运动员参加双打比赛？
A.20
B.24
C.12
D.16
【例34】（2022北京）某测试共有100道题，答对一道题得3分，不答或答错一道题扣
2分，小张测试成绩为285分，则他一共答对了多少道题？
A.85
B.90
C.95
D.97
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第三章 工程问题
1 1 1 1
【例1】（2017江苏）若将一项工程的 、 、 和 依次分配给甲、乙、丙、丁四家工
6 4 3 4
程队，分别需要15天、15天、30天和9天完成，则他们合作完成该项工程需要的时间是：
A.12天
B.15天
C.18天
D.20天
【例2】（2017国考）工厂有5条效率不同的生产线。某个生产项目如果任选3条生产线
一起加工，最快需要6天整，最慢需要12天整；5条生产线一起加工，则需要5天整。问如果
所有生产线的产能都扩大一倍，任选2条生产线一起加工最多需要多少天完成？
A.11
B.13
C.15
D.30
【例3】（2022上半年事业单位）为保障冬奥会比赛顺利进行，各场馆需对设施设备进行
测评，合格后交付使用。现对一赛道进行检测，已知检测时匀速作业，如甲机构单独检测需要
90分钟，乙机构单独检测需要135分钟，现两机构同时协作检测45分钟后，甲单独完成剩余
部分，问甲机构一共检测了多少分钟？
A.55
B.60
C.65
D.70
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【例4】（2021广东）为支持“一带一路”建设，某公司派出甲、乙两队工程人员出国参
与一个高铁建设项目。如果由甲队单独施工，200天可完成该项目；如果由乙队单独施工，则
需要300天。甲、乙两队共同施工60天后，甲队被临时调离，由乙队单独完成剩余任务，则完
成该项目共需（ ）天。
A.120
B.150
C.180
D.210
【例5】（2019江苏）一项工程由甲、乙工程队单独完成，分别需50天和80天。若甲、
乙工程队合作20天后，剩余工程量由乙、丙工程队合作需12天完成，则丙工程队单独完成此
项工程所需的时间是：
A.40天
B.45天
C.50天
D.60天
【例6】（2021联考）社区居委会张阿姨为表达对志愿者的感谢，买了一些毛线，准备织
帽子和手套。这些毛线如果全部织帽子可织15个，全部织手套可织20只，现将一个帽子和两
只手套做成一个“爱心礼包”。这些毛线最多可做成几个“爱心礼包”？
A.4
B.5
C.6
D.7
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【例7】（2019河北）甲、乙两队单独完成某项工程分别需要10天、17天。甲队与乙队
按天轮流做这项工程，甲队先做，最后是哪队第几天完工？
A.甲队第11天
B.甲队第13天
C.乙队第12天
D.乙队第14天
【例8】（2017天津下）单独修筑某条乡村公路，甲工程队需18天，乙工程队需24天，
丙工程队需30天。现甲、乙、丙按如下顺序轮流施工：甲、乙、丙、乙、丙、甲、丙、甲、乙……
每个工程队工作一天换班，直到工程完成。当工程完成时，乙工程队干了多少天？
A.8天
B.11天
C.9天
D.7天
【例9】（2016深圳）两根同样长的木炭，燃烧完一根粗的木炭需要2小时，燃烧完一根
细的木炭需要1小时。现同时点燃这两根木炭，若干分钟后将两根木炭同时熄灭，发现粗木炭
的剩余长度是细木炭的剩余长度的2倍，则燃烧了（ ）分钟。
A.35
B.40
C.45
D.50
【例10】（2017广东）有两支蜡烛，粗细不同，长度相同，粗蜡烛燃尽需要2小时，细蜡
烛燃尽需要1小时。一天晚上停电，同时点燃两支蜡烛，若干分钟来电，将两支蜡烛同时熄灭，
此时粗蜡烛的长度是细蜡烛的2倍，则停电了几分钟？
A.30
B.35
C.40
D.45
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【例11】（2013浙江）两根同样长的蜡烛，点完粗蜡烛要3小时，点完细蜡烛要1小时。
同时点燃两根蜡烛，一段时间后，同时熄灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的 3倍。问两根蜡烛
燃烧了多长时间？
A.30分钟
B.35分钟
C.40分钟
D.45分钟
【例12】（2024联考）某餐饮店接到一份粽子订单，张师傅与李师傅同时工作8小时可完
11
成。现张师傅先独自包粽子3小时，李师傅接着独自包了1小时，还剩订单总数的 没完成。
16
已知张师傅每小时比李师傅多包14个粽子。问这份订单粽子的总数是多少个？
A.224
B.296
C.320
D.416
1
【例13】（2019广东）甲施工队每天能完成某项工程的 ，乙施工队施工效率是甲施工队
9
的两倍。则甲、乙两队共同施工（ ）天就能完成该工程。
A.2
B.3
C.4
D.5
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【例14】（2016国考）某浇水装置可根据天气阴晴调节浇水量，晴天浇水量为阴雨天的
2.5倍。灌满该装置的水箱后，在连续晴天的情况下可为植物自动浇水18天。小李6月1日0:00
灌满水箱后，7月1日0:00正好用完。问6月有多少个阴雨天？
A.10
B.16
C.18
D.20
【例15】（2020江苏）师徒二人在非遗展馆现场为游客剪纸，有6名游客各自挑选了心
仪的花样。已知徒弟制作这6种剪纸的时间分别为2、6、10、12、15、25（单位：分钟），
师傅的工作效率是徒弟的1.5倍，则这6名游客中最后一个拿到剪纸的游客，需要等待的时间
至少是：
A.25分钟
B.27分钟
C.28分钟
D.30分钟
【例16】（2020联考）某医疗器械公司为完成一批口罩订单生产任务，先期投产了A和B
两条生产线，A和B的工作效率之比是2∶3，计划8天可完成订单生产任务。两天后公司又投
产了生产线C，A和C的工作效率之比为2∶1。问该批口罩订单任务将提前几天完成？
A.1
B.2
C.3
D.4
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【例17】（2021联考）一个工程的实施有甲、乙、丙和丁四个工程队供选择。已知甲、乙、
丙的效率比为5∶4∶3，如果由丁单独实施，比由甲单独实施用时长4天，比由乙单独实施用
时短5天。问四个队共同实施，多少天可以完成（不足1天的部分算1天）？
A.10
B.11
C.12
D.13
【例18】（2021北京）甲、乙、丙三条生产线生产某种零件，效率比为3∶4∶5，甲和乙
生产线共同生产A订单，完成时甲比乙少生产250个。乙和丙共同生产B订单，完成时乙生产
了720个。问A订单的零件个数比B订单：
A.少不到100个
B.少100个以上
C.多不到100个
D.多100个以上
【例19】（2021北京）农场使用甲、乙两款收割机各1台收割一片麦田。已知甲的效率
比乙高25%，如安排甲先工作3小时后乙加入，则再工作18小时就可以完成收割任务。问如
果增加1台效率比甲高40%的丙，3台收割机同时开始工作，完成收割任务的用时在以下哪
个范围内？
A.8小时以内
B.8—10小时之间
C.10—12小时之间
D.12小时以上
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【例20】（2023国考）甲和乙两个工程队共同承担某项工程的施工任务。两队合作时各自
的效率均比单独施工时高20%。已知两队合作施工需要25天完工；如甲先施工15天后乙加入，
两队合作15天后剩余工作乙单独施工还需要10天完成。问甲队的效率是乙队的多少倍？
3
A.
2
4
B.
3
1
C.
2
2
D.
3
【例21】（2023联考）在某应急救援作业中，假设每台机器工作效率相同，如果两台机器
配合作业，效率分别提高25%，而三台机器同时合作，每台效率各自提高50%。甲、乙、丙三
台机器依次投入救援，直到救援完成。已知甲救援时间为 60分钟，乙救援时间为甲的1/2，而
丙救援时间为乙的1/3，问仅有一台机器完成该救援作业需要多少分钟？
A.120
B.125
C.130
D.150
【例22】（2024山东）甲、乙、丙三个工程队共同承担一项市政工程。甲队独立完成需要
30天，乙队效率比甲队高20%。丙队仅提供技术支持，即能够为其他队伍提高效率，其与甲或
乙队合作时效率可提高120%，三个队伍合作时效率可提高200%。甲乙两队合作3天后，丙队
加入，最后两天乙队休息。问该工程耗时约多少天？
A.7
B.8
C.9
D.10
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【例23】（2024国考）某工程队接到一项任务，甲、乙合作6天后完成总任务量的25%，
2
乙、丙合作15天后又完成剩余任务量的 ，剩下全部任务由乙单独工作11天完成。已知乙与
3
他人合作时效率比其单独工作时高10%，问甲、乙、丙合作完成这项任务需要多少天？
A.24
B.28
C.16
D.20
【例24】（2019黑龙江）某地计划修筑一条道路。如果该道路交由甲施工队先单独施工
6天，乙施工队再单独施工15天即可完工；如果交由乙施工队先单独施工6天，那么甲施工队还
需要单独施工24天才能修筑完成。如果这条道路交由甲施工队单独施工，道路修筑完成需要：
A.30天
B.32天
C.36天
D.40天
【例25】（2018全国事业单位）甲、乙两个工程队合作完成某工程需36天，若甲工程队
先做10天，剩下的工程再由两队合作30天完成。问乙工程队的工作效率是甲工程队的：
2
A.
3
4
B.
5
3
C.
4
1
D.
2
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【例26】（2024江苏）甲、乙、丙三人合作完成一项任务。乙先做9天，再和甲合作6天，
完成了任务的60%，剩下任务若由乙单独做需要15天，由丙单独做则需要10天完成，则甲、
乙、丙三人的工作效率之比是：
A.5∶4∶6
B.6∶4∶5
C.10∶15∶12
D.12∶15∶10
【例27】（2024浙江）甲、乙两个施工队共同完成一项工程需要 20 天。甲乙两队合作
4天后，乙队因故退出6天后回归，回归时工程总量已完成40%。为保证按时完工，乙队回归
时带来了丙施工队，甲、乙、丙三队共同工作10天后刚好完成工程。问甲、乙、丙队的效率比
为多少？
A.3∶6∶10
B.4∶8∶15
C.6∶3∶2
D.10∶5∶3
【例28】（2024联考）甲、乙两工厂共同完成某个生产订单需要12天。现两工厂共同生
产8天后，再由乙单独生产7天，一共完成了订单总量的90%。若整个订单由乙单独生产，那
么需要多少天完成？
A.20
B.23
C.26
D.30
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【例29】（2024全国事业单位联考）一项工程，若由甲、乙一起施工7天，乙又单独施工
1
7天，可完成工程总量的 ；若由乙、丙一起施工7天，丙又单独施工7天，可完成工程总量
3
1
的 。由此可得：
6
1
A.甲的效率是丙的
4
1
B.甲的效率是丙的
2
C.甲的效率是丙的2倍
D.甲的效率是丙的4倍
【例30】（2018山东选调）某火车站的始发车一般是提前若干分钟进行检票，假设每分钟
到车站检票的乘客数一样多。从开始检票到等候队伍消失，若同时开启2个检票口需要30分钟；
若同时开启3个检票口需要15分钟。问：若同时开启4个检票口需要几分钟？
A.9
B.10
C.11
D.12
【例31】（2020广东）某政务服务大厅开始办理业务前，已经有部分人在排队等候领取证
书，且每分钟新增的人数一样多。从开始办理业务到排队等候的人全部领到证书，若同时开
5个发证窗口就需要1个小时，若同时开6个发证窗口就需要40分钟。按照每个窗口给每个
人发证书需要1分钟计算，如果想要在20分钟内将排队等候的人的证书全部发完，则需同时
开（ ）个发证窗口。
A.7
B.8
C.9
D.10
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32
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补充考点 5：暑假作业型
小时候，暑假的作业，你是怎么完成的？
情景+方法：开始乖，中间玩，所有未完成的工作量，在更短时间内加班加点完成。
计算技巧：约分
【例32】（2018国考）工程队接到一项工程，投入80台挖掘机。如连续施工30天，每天
工作10小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇大暴雨，有10天时间无法施工，工期还剩
8天时，工程队增派70台挖掘机并加班施工。问工程队若想按期完成，平均每天需多工作多少
个小时？
A.2.5
B.3
C.1.5
D.2
【例33】（2019辽宁）某工程50人进行施工。如果连续施工20天，每天工作10小时，
正好按期完成。但施工过程中遭遇原料短缺，有5天时间无法施工，工期还剩8天时，工程队
增派15人并加班施工。若工程队想按期完成，则平均每天需工作（ ）小时。
A.12.5
B.11
C.13.5
D.11.5
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33
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补充考点 6：同时开始同时结束
题型特征：
N个人完成（N-1）项工作，有一个人打游击帮工，同时开始同时结束
解题套路：
工作总量
①整体分析：先求出总的完工时间，完工时间=
效率和
②抓住问题
老大（31） 老二（29） 老三
5 4 3
【例34】（2015广东县级）有两箱数量相同的文件需要整理。小张单独整理好一箱文件要
用4.5小时，小钱要用9小时，小周要用3小时。小周和小张一起整理第一箱文件，小钱同时
开始整理第二箱文件。一段时间后，小周又转去和小钱一起整理第二箱文件，最后两箱文件同
时整理完毕。则小周和小张、小钱一起整理文件的时间分别是：
A.1小时，2小时
B.1.5小时，1.5小时
C.2小时，1小时
D.1.2小时，1.8小时
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【例35】（2018江西）甲、乙、丙三人工作的效率比为7∶9∶8，现将A、B两项工作量
相同的工程交给这三个人，甲负责A工程，乙负责B工程，丙作为机动参与A工程若干天后转
而参与B工程，两项工程同时开工，耗时8天同时结束，问丙在A工程中参与施工多少天？
A.3
B.4
C.5
D.6
【例36】（2020江苏）某小微企业接到三个相同的订单，赵、钱、孙、李四位师傅单独完
成一个，分别需20小时、20小时、15小时和12小时。现钱、孙、李各负责一个订单，赵根据
需要协助他们完成任务。若要三个订单同时完工且用时最短，则赵协助钱的时间是：
A.8小时
B.7小时
C.6小时
D.5小时
【例37】（2022山东）甲乙丙三个工程队，甲的效率比乙高20%，乙的效率比丙高25%。
A的工作量是B的1.5倍。现将两项工程交给三个工程队，甲队负责A工程，乙队负责B工程，
丙队参加A工程若干天后转而参与B工程。两项工程同时开工，180天同时完成。问丙在B工
程施工多少天？
A.45
B.75
C.105
D.135
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【例38】（2019贵州事业单位）A、B、C三个挖渠小分队负责2700米的挖渠任务，将任
务分成等额甲、乙两份，A队和C队分别负责，B队则在两队之间帮忙，A、B、C三个工程队
的效率分别是100米/小时、150米/小时、200米/小时，B队先在A队帮忙再去C队帮忙，最后
任务同时开始并同时结束，那么B队在C队帮忙（ ）小时。
A.1
B.2
C.3
D.4
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第四章 几何问题
几何属于超级高频题型，值得花时间，多会一道，就多增加上岸的机会。
做题方法：做、量、猜。
【例1】（2019江苏）长方形花坛的周长为20米，若长与宽各增加3米，则增加的面积是：
A.42平方米
B.24平方米
C.28平方米
D.39平方米
【例2】（2024陕西事业单位）某公园为满足市民需求，准备对公园进行扩建，一个长方形
的草坪周长是120米，如果长和宽都增加8米，那么扩建后这个草坪的面积将增加多少平方米？
A.480
B.544
C.640
D.700
【例3】（2025天津事业单位）某公司在团建时，设计了一个推正方体泡沫块儿的游戏，
游戏的参与者需要让2米高的泡沫块儿翻滚向前移动。翻滚过程中，当泡沫块儿底边与地面夹
角45°时，侧面示意图如右图所示。已知边MN与边AC相交于点F，求图中阴影部分四边形
COMF的面积为（ ）平方米。
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A.2
B.4-2 2
C. 4 2-4
D. 2 2-2
【例4】（2024广东深圳事业单位）有一块平行四边形的菜地（如图所示）如果只把底增
加6米，或只把高增加5米，菜地的面积都增加30平方米。这块菜地原来的面积为（ ）平
方米。
A.30
B.40
C.50
D.60
【例5】（2023广东事业单位）长方体的表面积是88，长、宽、高之比为3∶2∶1，则长
方体的体积是（ ）。
A.3072
B.45
C.384
D.48
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【例6】（2024联考）一个白色圆柱体零件的底面半径是高的1.5倍，现将其表面涂上黑
漆之后，沿下图所示虚线方向切割为4个完全相同的部分。问单个部分的黑色面积是白色面积
的多少倍？（π≈3.14）
A.不到1.1倍
B.1.1-1.2倍之间
C.1.2-1.3倍之间
D.1.3倍以上
【例7】（2024联考）莱洛三角形是以等边三角形三个顶点为圆心，边长为半径，在顶点
的对边画弧所得的封闭图形，这种形状的钻头可钻出四角为圆弧的正方形的孔洞（如左下图所
示）。现将某莱洛三角形钻头所钻孔洞近似为正方形，测得该正方形孔洞截面积为25cm2（如
右下图所示），则该钻头的截面积为：（高照提示：此题别做，就是猜，根据选项形式猜猜猜。）
A.（ 25π − 25 3 ）cm2
6 6
B.（ 25π − 25 3 ）cm2
4 4
C.（ 25π − 25 3 ）cm2
3 3
D.（ 25π − 25 3 ）cm2
2 2
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【例8】（2020国考）一个无盖长方体饮料盒如下图所示，其底面为正方形，高为23厘米，
若插入一根足够细的不可弯折的吸管与底部接触，已知插入饮料盒内的吸管长度最大为27厘
米，问饮料盒底面边长为多少厘米？
A. 5 2
B.8
C.10
D. 10 2
【例9】（2023国考）一个圆柱体零件A和一个圆锥体零件B分别用甲、乙两种合金铸造
而成。A的底面半径和高相同，B的底面半径是高的2倍，两个零件的高相同，质量也相同。
问甲合金的密度是乙合金的多少倍？
4
A.
3
3
B.
4
2
C.
3
3
D.
2
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【例10】（2021联考）边长为整数且成等差数列的三个正方形，面积之和不大于5000，
其中有两个正方形的面积之和等于第3个正方形的面积，这样的正方形存在多少组？
A.6
B.7
C.9
D.10
【例11】（2023国考）在一块正方形土地中，画一条经过某个顶点的规划线，将其分割为
三角形和梯形两块土地，且梯形土地的面积正好是三角形土地的2倍。问三角形和梯形土地的
周长之比是多少？
A.1∶2
B.5∶7
C.（1+ 5）∶（2+ 5）
D.（5+ 13）∶（7+ 13）
【例12】（2022北京）一个圆形水库的半径为1千米。一艘船从水库边的A点出发，直线
行驶1千米后到达水库边的B点，又从B点出发直线行驶2千米后到达水库边的C点。则C点
与A点的直线距离最短可能为多少千米？
A.不到1千米
B.1—1.3千米之间
C.1.3—1.6千米之间
D.超过1.6千米
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【例13】（2017联考）如图所示，甲和乙在面积为54π平方米的半圆形游泳池内游泳，
他们分别从位置A和B同时出发，沿直线同时游到位置C。若甲的速度为乙的2倍，则原来甲、
乙两人相距：
A. 9 2米
B.15米
C. 9 3米
D.18米
【例14】（2023浙江）某地打算在绿地上建两个圆形花坛，如下图所示，大圆的直径为
6米，小圆的直径为2米，修建期间暂时在外围设置围栏。已知围栏呈矩形，大圆与围栏的三
条边相切，小圆与围栏的两条边相切，且两圆相切，那么矩形围栏的面积是多少平方米？
A.12（2+ 3）
B.12（1+2 3）
C. 12 13
D.6（3+ 13）
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【例15】（2020上海）某游乐园在一个平地中央挖了一个球形下沉广场，广场直径为200
米，最深处50米，那么这个球形的直径为（ ）米。
A.125
B.200
C.225
D.250
【例16】（2023联考）厦门鼓浪屿海滨覆鼎岩上屹立着一尊郑成功雕像。为了测量石像的
高度，某测量小组选取的测量点A与覆鼎岩底部D在同一水平线上，如下图所示。已知覆鼎
岩高CD为24米，在A处测得石像头顶部B的仰角为45°，石像底部C的仰角为31°（参考数
据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60），则石像BC的高度约为：
A.20米
B.18米
C.16米
D.14米
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【例17】（2024河北事业单位）小明步行从起点向正东走130米，然后向正南走50米后
再向正西走10米，这时小明距离起点直线距离多少米？
A.50
B.120
C.130
D.190
【例18】（2024山东）某巡逻艇所在A海域正南方30千米 B处有一个可疑船只，正向
1
正西方向行驶，已知巡逻船的速度比可疑船只快 ，两船在C相遇，请问 BC的距离大约是
3
多少？
A.26
B.28
C.30
D.34
【例19】（2025浙江事业单位）一艘科考船从钻井平台A的正西方向240千米处出发，
以50千米/小时的速度向东偏南30°方向匀速航行。已知科考船上配备的雷达可以探测200千
米范围内的海上建筑，那么科考船在航行过程中，可以探测到 A的时长在以下哪个范围内？
A.小于4小时
B.4-5小时
C.5-6小时
D.大于6小时
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【例20】（2017广东）如图所示，公园有一块四边形的草坪，由四块三角形的小草坪组成。
已知四边形草坪的面积为480平方米，其中两个小三角形草坪的面积分别为70平方米和90平
方米，则四块三角形小草坪中最大的一块面积为多少平方米？
A.120
B.150
C.180
D.210
【例21】（2019江苏）某民营企业新建一个四边形的厂区，按对角线将整个厂区分为四个
功能区，如图所示。已知生产、仓储和营销三个功能区的面积分别为26亩、18亩和13亩，若
保留休闲区的12亩天然小湖泊，则休闲区可利用的陆地面积是：
A.36亩
B.26亩
C.24亩
D.23亩
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6
【例22】（2024 江苏事业单位）有一个圆柱形的木桩，圆的直径为 米，木桩的高为
π
4米（如图）。现有一只蚂蚁从B点沿着木桩表面爬到A点，蚂蚁爬行的最短距离是（ ）。
A.10米
36
B. 16+ 米
π2
C. 2 13米
D.5米
【例23】（2019浙江）A点、B点与墙的位置如右图所示，现从A点出发以5米/秒的速
度跑向墙，接触到墙后再跑到B点，问最少要多少秒到达B点？
A.30
B.34
C.38
D.42
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【例24】（2017联考）如右图所示，某条河流一侧有A、B两家工厂，与河岸的距离分别
为4km和5km，且A与B的直线距离为11km。为了处理这两家工厂的污水，需要在距离河岸
1km处建造一个污水处理厂，分别铺设管道连接A、B两家工厂。假定河岸是一条直线，则排
污管道总长最短是：
A.12km
B.13km
C.14km
D.15km
【例25】（2017江苏）某市规划建设的4个小区，分别位于直角梯形ABCD的4个顶点处
（如图），AD=4千米，CD=BC=12千米。欲在CD上选一点S建幼儿园，使其与4个小区的直
线距离之和为最小，则S与C的距离是：
A.3千米
B.4千米
C.6千米
D.9千米
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【例26】（2020联考）某演播大厅的地面形状是边长为100米的正三角形，现要用边长为
2米的正三角形砖铺满（如图所示）。问需要用多少块砖？
A.2763
B.2500
C.2340
D.2300
【例27】（2020浙江）用边长为0.2m的正三角形地砖铺满一块边长为1m的正六边形地
面，需要多少块地砖？
A.30
B.60
C.150
D.180
【例28】（2018联考）某地市区有一个长方形广场，其面积为1600平方米。由此可知，
这个广场的周长至少有：
A.160米
B.200米
C.240米
D.320米
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【例29】（2023联考）某村拟建造一个容积为144立方米，深度为4米的长方体无盖蓄水
池。为节约成本，侧面积最小为多少平方米？
A.24
B.36
C.96
D.132
【例30】（2019联考）将一个表面积为72平方米的正方体平分为两个长方体，再将这两
个长方体拼成一个大长方体，则大长方体的表面积是多少平方米？
A.56
B.64
C.72
D.84
【例31】（2018江西）设a、b、c、d分别代表四棱台、圆柱、正方体和球体，已知这四
个几何体的表面积相同，则体积最小与体积最大的几何体分别是：
A.d和a
B.c和d
C.a和d
D.d和b
补充考点 7：切长最短
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【例32】（2006江西）右图为长、宽、高分别是4cm、3cm、5cm的长方体，如果一只小
虫从顶点A爬到顶点B。其爬行的最短距离为：
A. 4 5
B. 74
C. 3 10
D. 70
【例33】（2019河北）长、宽、高分别为12cm、4cm、3cm的长方体ABCD－ABCD 上，
1 1 1 1
有一个蚂蚁从A出发沿长方体表面爬行到C 获取食物，其路程最小值是多少cm？
1
A.13
B. 193
C. 241
D.17
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第五章 经济问题
【例1】（2025湖北选调）一种商品按标价打八折出售时，每件利润比打七折出售时高
40%；比打六五折出售时高54元。问该商品标价每件多少元？
A.340
B.350
C.360
D.370
【例2】（2025天津事业单位）一件商品先后打了九折和八五折，两次打折后的售价为
612元，已知折后的售价比进价低了38元，求商品原来的利润率为多少？
A.17%
B.20%
C.23%
D.25%
【例3】（2023四川雅安事业单位）某运动品专卖店以990元的价格分别出售了两个不同
品牌的网球拍，其中一个获利10%，另一个获利25%，那么该专卖店销售这两个网球拍一共获
利（ ）元。
A.168
B.188
C.268
D.288
【例4】（2025广东事业单位）某款影音设备的定价为3.6万元，如打九折销售，则销售
10台的利润与以原价销售7台的利润相同。如打八折销售，要使利润不低于10万元，至少要
售出（ ）台。
A.19
B.20
C.21
D.22
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【例5】（2021北京）一种设备打九折出售，销售12件与原价出售销售10件时获利相同。
已知这种设备的进价为50元/件，其他成本为10元/件。问如打八折出售，1万元最多可以买多
少件？
A.80
B.83
C.86
D.90
【例6】（2024江苏）元旦期间，某超市开展促销活动，甲、乙两种商品的单价之和为
25元，购买甲商品2件及以上可享受八折优惠，购买乙商品4件及以上可享受六折优惠。小王
下单购买了2件甲商品和4件乙商品，共优惠16元，则甲商品的单价是：
A.5元
B.10元
C.15元
D.20元
【例7】（2022上海）某水果店销售水果有三种方式：
（1）直接出售，每公斤价格10元，1吨水果一周时间可以全部卖完；
（2）对水果进行粗加工（例如去皮等）后出售，每公斤价格15元，每天能够售出100公斤；
（3）对水果进行精加工（例如制作水果捞等）后出售，每公斤价格30元，每天能够售出
10公斤。
该水果店进了1吨水果，一周内需要卖完，否则水果就会腐烂。如果上述三种销售方式可
同时组合使用，那么该水果店出售这1吨水果的销售额最大为（ ）元。
A.10000
B.14900
C.15000
D.30000
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【例8】（2021四川）商店采购了一种水果，第一天在进货成本基础上加价 40%销售，从
第二天开始，每天的销售价格都比前一天低10%。已知第三天这种水果的售价比第一天降低了
13.3元/千克。问这种水果的进货成本为多少元/千克？
A.35
B.40
C.45
D.50
【例9】（2025浙江事业单位）2017年，老王花费5万元购买了甲、乙2件艺术品。到
2020年，甲的价格下降20%，乙的价格变为原来的2倍。今年，2件艺术品价格均比2020年
上涨50%，老王卖出这2件艺术品共盈利4.6万元。问老王购买时甲的价格比乙（ ）。
A.高1万元
B.低1万元
C.高0.6万元
D.低0.6万元
【例10】（2019四川）某助农项目从农民手中以1元/斤的价格收购一批芒果，通过网络
平台销售，定价30元/10斤包邮，售出芒果的60%后调价为35元/10斤，售完全部芒果的总收
入比调价前预计的多20万元。问这批芒果总重量为多少吨？
A.50
B.100
C.500
D.1000
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【例11】（2021广东）某帮扶项目以每公斤9元的价格从农民手中收购了一批苹果，并以
每公斤12元（包邮）的价格在网上销售。售出总量的80%后，价格下调为每公斤10元（包邮）。
运费成本为每公斤0.1元。全部售完后，扣除收购成本和运费的总收益为2.5万元，则这批苹果
为（ ）吨。
A.5
B.10
C.15
D.20
【例12】（2022联考）小张、小林与小王加入合作社种植水蜜桃和李子，收获的水果由合
作社统一销售。今年小张收获了4000斤桃子与2000斤李子，小林收获了3000斤桃子与3000斤
李子。合作社给小张结算了17200元，给小林结算了15300元。能干的小王收获了10000斤桃
子，8000斤李子，他将从合作社中获得多少收入？
A.50000元
B.47800元
C.32500元
D.31600元
【例13】（2021浙江）超市采购一批食用油，其中玉米油每桶进价比花生油低20%，若花
生油利润定为进价的24%，玉米油利润定为进价的30%，则花生油比玉米油每桶售价高10元。
问玉米油每桶比花生油进价低多少元？
A.10
B.15
C.24
D.25
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【例14】（2020联考）某药材公司以每千克8元的价格收购了5000千克药材，深加工后
得到合格品和废料，合格品分为一、二、三等品，其比例为1∶3∶6，每千克售价分别为80元、
50元、20元，废料价值为零。公司在加工中需投入其他成本20000元，最终获利108000元。
问加工中药材的废品率是多少？
A.1%
B.4%
C.6%
D.8%
【例15】（2025天津）某超市销售甲、乙两种相同单价的商品。第一天甲的销量是乙的
1.5倍，第二天乙打八折销售，销量比甲多500件。已知甲、乙两种商品两天的总销售额相等，
甲两天共销售1400件，问乙第一天销售多少件？
A.600
B.700
C.800
D.900
【例16】（2024福建事业单位）小李以标价的九折买下一幅名画，此后每年支付买入价格
的4%用于此画的保养。五年后他卖掉了这幅画，所获利润正好是原标价的30%，那么他出售
此画的价格是原标价的多少倍？
A.1.36
B.1.38
C.1.46
D.1.50
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【例17】（2021江苏）超市销售某种水果，第一天按原价售出总量的60%，第二天原价打
8折售出剩下的一半，第三天按成本价全部售出。若销售全部该水果的利润率为34%，则该水
果按原价销售的利润率为：
A.68%
B.51%
C.50%
D.36%
【例18】（2022北京）商店销售某种商品，先按定价卖了300件，打七五折卖了200件，
2
后在此基础上再打八折卖完了剩下的100件，总利润为总成本的 。单件成本相当于单件定价的：
3
A.57%
B.54%
C.51%
D.48%
【例19】（2017江苏）李教授受某单位邀请作一次学术报告，得到劳务费1760元。按规
定，一次性劳务费超过800元的部分需要扣缴20%的税，则李教授的税前劳务费是：
A.2200元
B.2000元
C.1950元
D.1900元
【例20】（2018吉林）某市出租车采用分段计价办法：2.5公里及以内收费5元，超过2.5
公里按每公里1.5元计价，每次加收1元燃油附加费。某位乘客有22.5元零钱，最多能走的距
离是：
A.12公里
B.15.5公里
C.14公里
D.13.5公里
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【例21】（2021联考）假设个人出版著作所得稿费纳税方法如下：（1）稿费不超过800元
不纳税；（2）超过800元但不超过4000元的部分纳税10%；（3）超过4000元的部分纳税15%。
已知张教授出版一部著作，纳税620元，则张教授的这笔稿费是多少元？
A.9000
B.8000
C.7000
D.6000
【例22】（2020联考）某市出租车价格为：2公里以内8元，超过2公里不足5公里的部
分，每公里2元；超过5公里不足8公里的部分，每公里3元；8公里以上的部分，每公里4元；
不足1公里按1公里计算。某位乘客乘坐出租车花了20元，该出租车最多行驶了多少公里？
A.7
B.8
C.9
D.10
【例23】（2019北京）王先生购买的医疗保险报销规定为：当年花费1300元（含）以内
的部分全部自付，超出1300元部分自付10%，其余部分由保险支付。王先生在2018年第一次
到医院看病时，自己支付了960元，第二次看病自付了520元，则王先生第二次看病时医院共
收费：
A.1800元
B.1960元
C.2140元
D.2600元
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【例24】（2024河北事业单位）老刘享受的医疗保险报销规定为：当年花费800元（含）
以内的部分全部自付，超出800元部分自付20%，其余部分由医保支付。老刘2024年第一次到
医院看病时，自付了600元，第二次看病自付了300元。老刘第二次看病时医院收费多少元？
A.500
B.600
C.700
D.800
【例25】（2016联考）某种商品原价25元，每半天可销售20个。现知道每降价1元，销
量即增加5个。某日上午将该商品打八折，下午在上午价格的基础上再打八折出售，问其全天
销售额为多少元？
A.1760
B.1940
C.2160
D.2560
【例 26】（2017 辽宁招警）某商业银行的总利润 P 与贷款量 Q 之间的函数关系为：
P=10000+400Q-Q2。当贷款数量为（ ）万元时，总利润最大。
A.100
B.150
C.200
D.250
【例27】（2006黑龙江）将进货单价为90元的某商品按100元一个出售时，能卖出500
个，已知这种商品如果每个涨价1元，其销量就会减少10个，为了获得最大利润，售价应定为：
A.110元
B.120元
C.130元
D.150元
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【例28】（2015天津）某汽车坐垫加工厂生产一种汽车座垫，每套成本是144元，售价是
200元。一个经销商订购了120套这种汽车座垫，并提出：如果每套座垫的售价每降低2元，
就多订购6套。按经销商的要求，该加工厂获得最大利润需售出的套数是：
A.144
B.136
C.128
D.142
【例29】（2022联考）某地的一种特色纪念品在旅游旺季十分畅销，有商家发现，进价为
每个40元的纪念品，当售价定为44元时，每天可售出300个，售价每上涨1元，每天销量减
少10个。现商家决定提价销售，若要使销售利润达到最大，则售价应为：
A.51
B.52
C.54
D.57
【例30】（2019重庆法检）某网站销售 10个不同档次的衬衣，其中最高档的每年销售
500 件，每件利润为 300 元。往下每降低 1个档次，每年销量增加 1000 件，每件利润降低
30元。问全年总利润最高的3个档次的衬衣，全年销量之和为多少万件？
A.1.05
B.1.50
C.1.65
D.1.80
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补充考点 8：合并付费
合并付费：“省”多少钱
识别：某商场开展购物优惠活动：一次购买300元及以下的商品九折优惠；一次购买300元
以上的商品，其中300元九折优惠，超过的部分八折优惠。
（1）穷+富（省穷的原价的折扣差）
（2）富+富（省临界值的折扣差）
【例31】（2013联考）某商场开展购物优惠活动：一次购买300元及以下的商品九折优惠；
一次购买300元以上的商品，其中300元九折优惠，超过的部分八折优惠。小王购物第一次付
款144元，第二次又付款310元。如果他一次购买并付款，可以节省多少元？
A.16
B.22.4
C.30.6
D.48
【例32】（2019四川下）某商场做促销活动，一次性购物不超过500元的打九折优惠；超
过500元的，其中500元打九折优惠，超过500元部分打八折优惠。小张购买的商品需付款
490元，小李购买的商品比原价优惠了120元。如两人一起结账，比分别结账可节省多少元钱？
A.10
B.20
C.30
D.50
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【例33】（2024山西）某电商平台包邮销售整箱装的苹果，一次购买不少于3箱可在定价
基础上打九折、一次购买不少于5箱可在九折基础上再打九折。张某分3次购买这种苹果2箱、
3箱和5箱，共花费770元。若他一次性购买可比分3次购买节省多少元？
A.57.2
B.67.5
C.72.9
D.81.0
【例34】（2024四川）某店开展打折促销活动：满488元打8折，满688元打7折，满
988元打6折。小张两次购物分别实际支付400元和630元。问他如一次性购买所有商品最多
可能比分两次购买节省多少元？
A.100
B.190
C.250
D.412
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第六章 行程问题
【例1】（2020新疆）A、B两地相距600千米，甲车上午9时从A地开往B地，乙车上
午10时从B地开往A地，到中午13时，两辆车恰好在A、B两地的中点相遇。如果甲、乙两
辆车都从上午9时由两地相向开出，速度不变，到上午11时，两车还相距多少千米？
A.100
B.150
C.200
D.250
【例2】（2018下半年事业单位）甲计划12:15出发以45千米/小时的速度开车前往A市，
并于15:45抵达。但他因故延迟到13:05才出发，并于15:35抵达。问他实际的行驶速度为多少
千米/小时？
A.54
B.57
C.60
D.63
【例3】（2021上半年事业单位）某趣味极速竞赛中有跨栏、匍匐、独木桥三段，其路程
1
比为3∶1∶2，参赛者甲匍匐路段的爬行速度是跨栏速度的 ，通过独木桥的速度又是跨栏速
3
1
度的 ，问甲通过独木桥路段的时间是匍匐路段时间的多少倍？
6
A.2
B.3
C.4
D.5
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【例4】（2017联考）某地举办铁人三项比赛，全程为51.5千米，游泳、自行车、长跑的
路程之比为3︰80︰20。小陈在这三个项目花费的时间之比为3︰8︰4，比赛中他长跑的平均速
度是15千米/小时，且两次换项共耗时4分钟，那么他完成比赛共耗时多少？
A.2小时14分钟
B.2小时24分钟
C.2小时34分钟
D.2小时44分钟
【例5】（2022广东）小李开车从甲市到乙市，需要走一段高速公路和一段国道。已知在
高速公路上汽车油耗为0.05升/公里，在国道上油耗比在高速公路上多 0.03升/公里。小李在
高速公路上行驶了200公里，是在国道上行驶路程的4倍，则从甲市到乙市，小李汽车的油
耗为（ ）升。
A.15
B.14
C.12
D.10
【例6】（2021浙江）AB两地间有县道连接，BC两地间有高速公路连接，且AB间路程
3
是BC间路程的 。郭某从A地开车匀速前往B地，到B地后以AB间2倍的速度开往C地，
4
1
共用时2小时30分。由C地返回A地时高速公路行驶速度不变，县道行驶速度比去程降低 ，
3
则返程用时为：
A.2小时45分
B.2小时50分
C.3小时10分
D.3小时15分
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【例7】（2021北京）小张开车经高速公路从甲地前往乙地。该高速公路限速为120千米/
1
小时。返程时发现有 的路段正在维修，且维修路段限速降为60千米/小时。已知小张全程均
3
按最高限速行驶，且返程用时比去程用时多30分钟，则甲、乙两地距离为多少千米？
A.150
B.160
C.180
D.200
【例8】（2019河南司法所）某隧道长1500米，有一列长150米的火车通过这条隧道，从
车头进入隧道到完全通过隧道花费的时间为50秒，整列火车完全在隧道中的时间是：
A.43.2秒
B.40.9秒
C.38.3秒
D.37.5秒
【例9】（2025湖北选调）一辆汽车从A地开往B地，匀速行驶60%的路程后开始匀加速，
又用了1小时到达B地，且到达时的速度最快，是出发时的2倍。问全程用了多长时间？
A.3小时
B.3小时15分钟
C.3小时25分钟
D.3小时30分钟
【例10】（2024江苏）列长为210米的动车以180千米/小时的度行驶。某乘客拍窗外风
景时，恰好拍到平行铁轨上一列420米相向而行的高速列车，该列车进过窗户的时间是3.6秒。
若不计窗户长度，则该高速列车的速度为（ ）。
A.210千米/小时
B.240千米/小时
C.450千米/小时
D.630千米/小时
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【例11】（2024山东）小王和小李同时从山脚A点出发匀速登山，小王距山顶还有1/2路
3
程时小李刚走完上山路程的 ，小王到达山顶后立即原路返回，10分钟后遇到上山途中的小李。
8
已知两人下山的速度为各自上山速度的1.5倍，问小李比小王晚多少分钟到达山脚A点？
A.30
B.40
C.50
D.60
【例12】（2020联考）甲乙两人在相距1200米的直线道路上相向而行，一条狗与甲同时
出发跑向乙，遇到乙后立即调头跑向甲，遇到甲后再跑向乙，如此反复，已知甲的速度为
40米/分钟，乙为60米/分钟，狗为80米/分钟。不考虑狗调头所耗时间，当甲乙相距100米时
狗跑了多少米？
A.1100
B.1000
C.960
D.880
【例13】（2023湖北事业单位）小谢下班后，以2米/秒的速度在家附近公园的圆形跑道
上慢跑。他发现邻居小钟和小崔也在该跑道上跑步，且某一时刻，他们三人在该跑道上的某处
相遇，此后小钟每6分钟与小谢迎面擦身而过，小崔每12分钟从小谢身后跑过，假设小钟和小
崔跑步的速度大小相同且恒定，则该圆形跑道的长度为（ ）米。
A.2380
B.2880
C.4760
D.6480
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【例14】（2023北京）从A地到B地是下坡路，一辆车从A地开往B地需要三小时，从
B地开往A地需要四小时。已知这辆车下坡速度比上坡速度快15千米/小时，则A、B两地之间
的距离是多少千米？
A.120
B.180
C.240
D.300
【例15】（2022江苏）某人以每小时10公里的速度从甲地骑车前往乙地，中午12:30到
达。若以每小时15公里的速度行驶，上午11:00到达，则他出发的时间是：
A.上午7:15
B.上午7:30
C.上午7:45
D.上午8:00
【例16】（2021北京）小张开车经高速公路从甲地前往乙地。该高速公路限速为120千米
/小时。返程时发现有1/3的路段正在维修，且维修路段限速降为60千米/小时。已知小张全程
均按最高限速行驶，且返程用时比去程用时多30分钟，则甲、乙两地距离为多少千米？
A.150
B.160
C.180
D.200
【例17】（2021广东）小王和小李沿着绿道往返运动，绿道总长度为3公里。小王每小时
走2公里；小李每小时跑4公里。如果两人同时从绿道的一端出发，则当两人第7次相遇时，
距离出发点（ ）公里。
A.0
B.1
C.1.5
D.2
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补充考点 9：等距离平均速度做猜
4 2
【例18】（2024天津河西区事业单位）从甲地到乙地539千米，其中有 是平路， 是上
7 7
1
坡路， 是下坡路。假定一辆车在平路的速度是21千米/小时，上坡的速度是15千米/小时，下
7
坡的速度是35千米/小时。则该车由甲地到乙地往返一趟的平均速度是多少千米/小时？
A.20
B.21
C.23.75
D.25.25
【例19】（2023广东）某地举办了“铁人三项”体育活动，先进行蛙跳，后游泳，最后竞
走到达终点。一位选手在上午7点出发，9点到达了终点，全程未休息，其蛙跳、游泳和竞走
的速度分别为每小时2千米、3千米和6千米。如果蛙跳和竞走的路程相同，则所有项目的总
路程是（ ）。
A.无法计算
B.6千米
C.8千米
D.12千米
补充考点 10：多次相遇，每人都有事做
快速做题：行走时间相同，做事时间相同，总时间也相同。
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【例20】（2018联考）甲乙两车早上分别同时从A、B两地出发，驶向对方所在城市，
在分别到达对方城市并各自花费一小时卸货后，立刻出发以原速返回出发地。甲车的速度为
60千米/小时，乙车的速度为40千米/小时。两地之间相距480千米。两车第二次相遇距离两车
早上出发经过了多少个小时？
A.13.4
B.14.4
C.15.4
D.16.4
【例21】（2019江西）甲、乙两公司相距2000米，某日上午8:30小明从甲公司出发到乙
公司，小华同时从乙公司出发到甲公司，两人到达对方公司后分别用8分钟时间办事，然后原
路返回。假设小明的速度为4km/h，小华的速度为5km/h，则两人第二次相遇的时间是几点？
A.9:18
B.9:22
C.9:24
D.9:28
补充考点 11：多次相遇比例类比
【例22】（2017联考）甲车从A地、乙车从B地同时出发匀速相向行驶，第一次相遇距
A地100千米，两车继续前进到达对方起点后立即以原速度返回，在距离A地80千米的位置第
二次相遇，则AB两地相距多少千米？
A.170
B.180
C.190
D.200
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【例23】（2019四川下）AB两点间有一条直线跑道，甲从A点出发，乙从B点出发，两
人同时开始匀速在两点之间往返跑步。第1次迎面相遇时离A点1000米，第三次迎面相遇时
离B点200米，此时甲到达B点2次，乙到达A点1次，问AB两点间跑道的长度是多少米？
A.1400
B.1500
C.1600
D.1700
【例24】（2020国考）丙地为甲、乙两地之间高速公路上的一个测速点，其与甲地之间的
距离是与乙地之间距离的一半，A、B两车分别从甲地和乙地同时出发匀速相向而行，第一次迎
面相遇的位置距离丙地500米，两车到达对方出发地后立刻原路返回，第二次两车相遇也为迎
面相遇，问第二次相遇的位置一定：
A.距离甲地1500米
B.距离乙地1500米
C.距离丙地1500米
D.距离乙、丙中点1500米
补充考点 12：漂流瓶
公式：
2T T
T = 1 2
漂流瓶 T −T
1 2
【例25】（2005浙江）一艘游轮逆流而行，从A地到B地需6天；顺流而行，从B地到
A地需4天。问若不考虑其他因素，一块塑料漂浮物从B地漂流到A地需要多少天？
A.12
B.16
C.18
D.24
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【例26】（2012上海）一艘船从A地行驶到B地需要5天，而该船从B地行驶到A地则
需要7天。假设船速、水流速度不变，并具备漂流条件，那么船从A地漂流到B地需要多少天？
A.40
B.35
C.12
D.2
【例27】（2013江苏）长江上游的A港与下游S港相距270千米，一轮船以恒定速度从
A港到S港需6.75小时，返回需9小时。如果一只漂流瓶从A港顺水漂流到S港，则需要的时
间是（ ）小时。
A.84
B.50
C.54
D.81
【例28】（2014黑龙江）一艘船往返于甲乙两港口之间，已知水速为8千米/时，该船从
甲到乙需6小时，从乙返回甲需9小时，问甲乙两港口的距离为多少千米？
A.216
B.256
C.288
D.196
【例29】（2020新疆）一艘轮船顺流而行，从甲地到乙地需要6天；逆流而行，从乙地到
甲地需要8天。若不考虑其他因素，一个漂流瓶从甲地到乙地需要多少天？
A.24
B.36
C.48
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第七章 周期问题
【例1】（2020四川）某支部的每名党员均以 5天为周期，在每个周期的最后 1天提交
1篇学习心得。某年的1月1日是周日，在1月1日—5日的5天内，支部分别收到2篇、3篇、
3篇、1篇和1篇学习心得。问当年前12周（每周从周日开始计算）内，支部共收到多少篇学
习心得？
A.170
B.169
C.120
D.119
【例2】（2016国考）某新建小区计划在小区主干道两侧种植银杏树和梧桐树绿化环境，
一侧每隔3棵银杏树种1棵梧桐树，另一侧每隔4棵梧桐树种1棵银杏树，最终两侧各种植了
35棵树，问最多栽种了多少棵银杏树？
A.33
B.34
C.36
D.37
【例3】（2024四川事业单位）在一场盛大的节目现场，共有200名热情的观众参与。为
了增加节目的趣味性，主办方决定进行一场特别的抽奖活动。抽奖的规则是从1号开始，每次都
会跳过两个号码来抽取下一个幸运观众，也就是说，第一次会抽取1号观众作为幸运观众，第二
次则抽取4号观众，第三次抽取7号观众，以此类推。则最后一个被抽中的幸运观众是：
A.197号
B.198号
C.199号
D.200号
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【例4】（2025深圳）M、N两部电视剧于2025年3月20日（周四）同日开播，M剧周
四至周六每天播出3集，N剧周一至周五每天播出2集，但清明节期间（4月4日、4月5日、
4月6日）两部剧都停播。若至2025年4月21日，M、N两部剧均未播完，则期间共有（ ）
天两部剧都有播出。
A.8
B.9
C.10
D.11
【例5】（2019文职）甲、乙、丙、丁四名干部因工作需要经常去团部开会，甲每隔5天
去一次，乙每隔7天去一次，丙每隔9天去一次，丁每隔11天去一次。如果他们四人相遇过一
次后，距离他们下次一起相遇需要等待的天数是（ ）天。
A.100
B.120
C.80
D.60
【例6】（2019广东选调）某超市的食品供货商每2天送货一次，日用品供货商每5天送
货一次，办公用品供货商每10天送货一次。已知这三家供货商在10月1日这天同时送货，那
么下次他们同时送货的日期是：
A.10月10日
B.10月11日
C.10月16日
D.10月20日
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【例7】（2023浙江选调）A、B、C3个志愿队分别下乡帮扶，A队每隔5天去一次，B队
每8天去一次，C队每隔6天去一次，3个队伍周四第一次同时下乡，那么第二次同时下乡后
A队周几再去？
A.周三
B.周四
C.周五
D.周六
【例8】（2019辽宁）公司的门卫岗与消防岗均采用轮班制，门卫岗每隔两天值一天班，消
防岗每4天值一天班，节假日无休息。小张是门卫，小王是消防员，则小张和小王在2019年中
一个自然月里同时上班最多有（ ）天。
A.8
B.4
C.3
D.2
【例9】（2025湖北选调）小张、小王、小李是3名健身爱好者，按以下规律坚持健身：
小张每健身2天休息1天；小王每健身3天休息2天；小李每健身5天休息3天。某年3月，
小张、小王、小李分别从2日、3日、4日开始健身。问当年3月，三人均健身的日子有几天？
A.7
B.8
C.9
D.10
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【例10】（2022青海）2021年7月1日是中国共产党建党100周年的纪念日，这一天是
星期四，那么建党110周年纪念日是：
A.星期一
B.星期二
C.星期三
D.星期四
【例11】（2018浙江）某工厂员工周一到周五每天工作8小时，周六工作5小时，周日休
息。小王某年6月下旬到该工厂上班，某天下班后算得已到该工厂上班500小时。如当年7月
1日是星期六，问小王到该工厂上班的日期是：
A.6月21日
B.6月22日
C.6月23日
D.6月24日
【例12】（2021广东）7月的某一天，小张制定了一个读书计划：从今天开始，在每周的
周一至周五晚上读党史系列丛书。如果小张每晚读20页，到7月28日刚好能读完第一卷，如
果每天读30页，则到7月20日刚好能读完第一卷。如果7月1日是星期三，则小张是在7月
（ ）日制定的读书计划。
A.2
B.3
C.5
D.7
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【例13】（2023深圳）博物馆员工周二至周六上班，周日、周一休息。某月有31天，员
工小王工作了22天，则该月的4号是周几？
A.周一
B.周二
C.周一或周四
D.周四或周日
【例14】（2021上半年事业单位）若某月周六、周日共9天，并且这个月的最后一天为周
六，那么该月可能是：
A.第一天为周四的9月
B.第一天为周四的5月
C.第一天为周五的7月
D.第一天为周三的2月
【例15】（2024吉林）某一年的元旦是星期二，这一年共有53个星期三，则3月27日这
一天为：
A.星期二
B.星期三
C.星期四
D.星期五
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第八章 等差数列
【例1】（2023深圳）某书的页码是从1开始的连续自然数，1，2，3，4，……莎莎将该
书页码全部相加时，不小心将其中某页码多加了1次，结果和为2003，则被多加的页码为：
A.45
B.50
C.56
D.62
【例2】（2022广东）某市举行庆典活动，将依次升空105架无人机，升空方式如下：每
架无人机间距均相等，第一次升空n架，第二次升空n-1架，以此类推，最终在夜空中组成一
个近似等边三角形背景的灯光秀，那么第10次升空的无人机数量是：
A.3架
B.5架
C.8架
D.10架
【例3】（2021联考）送奶工人给11楼住户送牛奶，由于小区停电导致电梯无法使用。如
果他走楼梯从第1层到第2层需要5秒，以后每多走一层需多花2秒，其中走到5层以后每多
走一层需多休息5秒，那么他走到11层需要多少秒？
A.210
B.215
C.220
D.235
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【例4】（2024山东）若干职员参加某次强国知识竞赛，每人的得分均不相同且为整数，
分数排名相邻的2人分差均为5分。已知有3人成绩低于70分，且超过70分的职员平均分为
82分。问所有职员中竞赛成绩超过70分的人数占比在下列哪个范围内？
A.低于50%
B.50%—60%之间
C.60%—70%之间
D.高于70%
【例5】（2022四川）商场6月6日开始销售某种电器，从6月7日起，每天这种电器的销
量都比前一天多1台。已知6月16日卖了22台这种电器，问其6月共卖了多少台这种电器？
A.555
B.600
C.645
D.690
【例6】（2025湖北选调）研究生小张从去年1月开始阅读学术论文，每个月阅读的学术
论文都比上个月多6篇。已知他去年第三季度的学术论文阅读量比上半年少33篇，问去年第四
季度他读了多少篇学术论文？
A.249
B.250
C.252
D.255
【例7】（2025国考）甲乙两条生产线同一天开始生产某种产品，甲每天比前一天多生产
m件，乙每天比前一天少生产2m件，第5天两条生产线的当日产量相同，且前5天乙的累计
产量是甲的2倍。问第一天乙的产量是甲的多少倍？
A.6
B.7
C.4
D.5
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【例8】（2021浙江）某企业在“十二五”期间第一年的营业额比上一年增长了1.5亿元，
且往后每年的营业额增量都保持1.5亿元不变。已知该企业在“十四五”期间的营业额将是“十
二五”和“十三五”期间营业额之和的80%。问该企业在“十二五”到“十四五”期间的总营
业额在以下哪个范围内？
A.不到300亿元
B.300—330亿元
C.330—360亿元
D.超过360亿元
【例9】（2024黑龙江公安）某工厂生产一批零件，已知第1天每名工人只能生产10个，
往后每天都比前一天多生产1个。若安排100名工人生产，25天正好完成这项生产任务。问若
要在15天内完成这项生产任务，至少需要安排多少名工人？
A.256
B.243
C.225
D.216
【例10】（2024湖北选调）某森林有三棵树A、B、C，其树龄成等比数列（树龄都为整
数且A＜B＜C），已知它们的树龄之和为129，且公比为整数。请问多少年后C的树龄是B的
树龄的2倍？
A.72
B.80
C.98
D.100
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【例11】（2020联考）红星中学高二年级在本次期末考试中竞争激烈，年级前7名的三科
（语文、数学、英语）平均成绩构成公差为1的等差数列；第7、8、9名的平均成绩既构成等
差数列，又构成等比数列。张龙位列第10，与第9名相差1分；张龙的英语成绩为121分，但
老师登记为112分。问张龙本应排在第几名？
A.4
B.5
C.7
D.8
补充考点 13：等差数列中的倍数特性
【例12】（2022联考）某市对下辖9个文艺表演团体去年新创节目的数量进行统计分析，
发现9个团体新创节目的数量恰好成等差数列，其中前5个团体的新创节目总数是60，前7个
团体的新创节目总数是70。那么这9个文艺表演团体去年新创节目的总数是：
A.72
B.76
C.78
D.80
【例13】（2020深圳）王老师的日历如下图所示。他每天清晨撕下前一天的那页日历，某
天下午，王老师将最近撕下的10页日历中的阿拉伯数字相加，算得总和为244。则当天该日历
展示为（ ）日。
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A.29
B.30
C.1
D.2
【例14】（2022深圳）小王从图书馆借了一本书，书共204页，阅读时，他发现书的前半
部分有连续的4个页码被墨水污染，将其余200个页码加总，其和刚好可以被85整除，则被污
染的4个页码中最小的数是：
A.100
B.95
C.75
D.41
【例15】（2022广东）如图，仓库有一堆管材，每一层的数量都比上一层多1根。搬运工
人将管材逐根搬离，搬了 99根后发现，管材堆少了 3层，且剩余每层的管材数量都减少了
3根。如果这堆管材刚好还剩10层，则剩下的管材共有（ ）根。
A.245
B.265
C.305
D.325
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第九章 容斥问题
【例1】（2022联考）某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格的人数占全班的
14%，物理及格的人数比化学及格的人数多10人，且化学及格的人数占全班人数的60%。已知
全班人数不超过70人，问物理及格的人中化学也及格的有多少人？
A.25
B.26
C.27
D.28
【例2】（2019国考）有100名员工去年和今年均参加考核，考核结果分为优、良、中、
差四个等次。今年考核结果为优的人数是去年的1.2倍，今年考核结果为良及以下的人员占比
比去年低15个百分点。问两年考核结果均为优的人数至少为多少人？
A.55
B.65
C.75
D.85
【例3】（2025国考）某研发小组员工中，60％的人参与了A项目，45％的人参与了B项
目，两个项目都参与的人比两个项目都不参与的多2人。问该研发小组有多少人？
A.100
B.50
C.40
D.20
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【例4】（2023国考）农科院在某村287名淡水鱼养殖人员中开展防病培训和育种培训。
已知参加防病培训的养殖人员中，参加育种培训的人数比未参加的多21%；参加育种培训的养
殖人员中，参加防病培训的人数比未参加的多76人。问共有多少人未参加任何一项培训？
A.21
B.23
C.25
D.27
【例5】（2022深圳）某翻译团队中，每名译员都擅长英语、日语、俄语中的至少一门语
言。经统计，擅长英语的有17人，擅长日语的有21人，擅长俄语的有23人；擅长英语和日语
的有7人，擅长英语和俄语的有6人，擅长日语和俄语的有6人；擅长三门语言的仅占总人数
的十五分之一，则仅擅长英语的译员有（ ）人。
A.4
B.5
C.6
D.7
【例6】（2024四川事业单位）某社区为了丰富老年人的精神文化生活，成立了三个不同
的兴趣小组，即书法小组、园艺小组和舞蹈小组。已知社区内有26位老年人参与了至少一个兴
趣小组的活动。其中参加书法小组的老年人有20人，参加园艺小组的老年人有12人，参加舞
蹈小组的老年人有10人，同时参加书法小组和园艺小组的老年人有8人，同时参加书法小组和
舞蹈小组的老年人有5人，同时参加园艺小组和舞蹈小组的老年人有4人。则同时参加三个兴
趣小组的老年人有：
A.1人
B.2人
C.3人
D.4人
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【例7】（2019新疆兵团）某机关开展红色教育月活动，三个时间段分别安排了三场讲座。
该机关共有139人，有42人报名参加第一场讲座，51人报名参加第二场讲座，88人报名参加
第三场讲座，三场讲座都报名的有12人，只报名参加两场讲座的有30人。问没有报名参加其
中任何一场讲座的有多少人？
A.12
B.14
C.24
D.28
【例8】（2020深圳）某科学家做了一项实验，通过向若干只狒狒提供不限量的香蕉和
香肠以研究其食性。结果表明，90%的狒狒有进食，其中吃香蕉的狒狒是吃香肠的狒狒数量
2
的3倍，而两种食物都吃的狒狒是只吃香肠的狒狒数量的 ，则未进食的狒狒是只吃香蕉的
3
狒狒数量的：
1
A.
5
3
B.
10
2
C.
13
4
D.
15
【例9】（2025全国事业单位联考）某公司统计员工对绘图、编程、剪辑这3种技能的掌
握情况。掌握编程技能的有60人，3种技能中只有1种未掌握的有23人，3种技能都掌握的有
3人，仅编程1种技能未掌握的有7人。问仅掌握编程一种技能的有多少人？
A.41
B.44
C.47
D.50
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【例10】（2025江苏事业单位）某地派遣的援建干部中，有12人去过西藏，10人去过新
疆，10人去过青海；有6人既去过西藏也去过新疆，4人既去过新疆也去过青海，4人既去过
青海也去过西藏。若有2人三个地方都去过，则只去过其中一个地方的人数是：
A.7人
B.9人
C.10人
D.12人
【例11】（2025国考）某单位65名职工中，拥有甲、乙、丙三项认证中至少一项的职工
正好占80%，没有甲认证的职工与有乙认证的职工人数一样多，仅有丙认证的职工有 3人，三
项认证都有的职工有6人，问有多少人仅拥有甲、乙两项认证？
A.10
B.13
C.16
D.19
【例12】（2017天津选调）某生物项目工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人
会说法语，5人会说西班牙语；有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班
牙语，有2人既会说西班牙语又会说英语；有1人这三种语言都会说。则只会说一种语言的人
比一种语言都不会说的人多：
A.1人
B.2人
C.3人
D.5人
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【例13】（2024国考）某高校外国语学院中，会俄语的学生都会英语，其中一半还会法
语；会英语的学生中有一半会法语；这三种语言都会的学生有50人，只会其中两种语言的有
100人，只会其中一种语言的有150人。问会法语的学生有多少人？
A.50
B.100
C.150
D.200
【例14】（2019辽宁）某班在筹备联欢会时发现很多同学都会唱歌和乐器演奏，但有部分
同学这2种才艺都不会。具体有4种情况：只会唱歌，只会乐器演奏，唱歌和乐器演奏都会，
唱歌和乐器演奏都不会。现知会唱歌的有22人，会乐器演奏的有15人，两种都会的人数是两
种都不会的5倍。这个班至多有（ ）人。
A.27
B.30
C.33
D.36
【例15】（2019联考）一次期末考试，某班同学成绩统计如下表：
三门功课
数学 语文 英语 数学和英语 数学和语文 语文和英语
没有一门
90分以上 90分以上 90分以上 90分以上 90分以上 90分以上
90分以上
23人 21人 20人 8人 6人 10人 5人
求：这个班最多有多少人？
A.45
B.51
C.53
D.55
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【例16】（2021四川）为实现产业振兴，农科院对某县的所有自然村进行了调研，结果发
4
现，适合种植A作物的自然村占 。适合种植B作物的自然村有25个，同时适合种植两种作
13
1
物的自然村占总数的 ，则在该县，不适合种植两种作物的自然村至少有多少个？
14
A.57
B.67
C.114
D.134
【例17】（2020广东选调）某展览使用了序号为1—100的100盏灯，现在有两个开关，
开关A能切换所有序号为偶数的灯的开关状态，开关B能切换所有序号为3的倍数的灯的开
关状态。若在100盏灯都打开的状态下，先后按下开关 A和B，则还有（ ）盏灯处于打
开状态。
A.33
B.34
C.49
D.50
【例18】（2016四川）某工厂有3条无人值守生产线a、b和c。a生产线每生产2天检修
1天，b生产线每生产3天检修1天，c生产线每生产4天检修1天。2017年（不是闰年）元旦
三条生产线正好都检修，则当年3月有多少天只有1条生产线保持生产状态？
A.3
B.4
C.5
D.6
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补充考点 14：常识公式
【例19】（2025湖北选调）3家企业在校招活动中共收到476份简历。若向3家企业均投
出简历的学生人数是仅向2家企业投出简历人数的1.5倍，且仅向1家企业投出简历的学生人
数比简历总数的一半少9。问总共有多少名学生投出了简历？
A.364
B.347
C.324
D.247
【例20】（2024深圳）某高校法学院对学生毕业后就职于司法机关、律所、企业的意愿进
行调查，共725名学生参与调查，可选其中0至3项。结果显示，选择司法机关、律所、企业
的学生分别有360人、380人、237人，3项都选的学生有60人，3项都不选的学生有8人，则
仅选择其中1项的学生有（ ）人。
A.517
B.516
C.515
D.514
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第十章 年龄问题
【例1】（2018联考）一家三口，妈妈比儿子大26岁，爸爸比儿子大33岁。1995年，一
家三口的年龄之和为62。那么，2018年儿子、妈妈和爸爸的年龄分别是：
A.23，51，57
B.24，50，57
C.25，51，57
D.26，52，58
【例2】（2022广东事业单位）1999年，一个青年说：“今年我的生日已经过了，我现在
的年龄正好是我出生的年份的四个数之和”，这个青年是哪年出生的？
A.1975
B.1977
C.1976
D.1978
【例3】（2023浙江选调）兄弟姐妹四人年龄各不相同，大哥和小妹的年龄之和正好是三
弟年龄的两倍，大哥和二姐年龄之和比三弟和小妹年龄之和的两倍大2岁，三弟15岁。那么二
姐最大多少岁？
A.18
B.19
C.20
D.21
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【例4】（2025全国事业单位联考）今年，甲与乙的年龄和等于丙的年龄，三人年龄均小
于30岁且平均年龄小于20岁。5年后，乙年龄的2倍比甲和丙年龄之和少10岁。问今年三人
年龄之和可能的最大值为：
A.46
B.52
C.58
D.64
【例5】（2022广东事业单位）2014年父亲、母亲的年龄之和是年龄之差的23倍，年龄
之差是儿子年龄的1/5，5年后母亲和儿子的年龄都是平方数。问2014年父亲的年龄是多少？
（年龄都按整数计算）
A.44岁
B.40岁
C.36岁
D.48岁
【例6】（2015辽宁选调）一家4口人，爸爸比妈妈大3岁，哥哥比妹妹大5岁。妹妹屈
指一算，发现4年之后，兄妹二人的岁数之和、父母二人的岁数之和都能开方得到个位整数，
则今年一家4口的岁数之和为：
A.90
B.94
C.98
D.102
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【例7】（2018联考）姐弟俩相差3岁，2000年姐弟两人年龄之和是妈妈年龄的四分之
一，2006年姐弟两人年龄之和是妈妈年龄的二分之一。问哪一年姐弟两人年龄之和等于妈妈
的年龄？
A.2012
B.2018
C.2024
D.2027
【例8】（2024全国事业单位联考）2024年，某家庭大女儿的年龄是小女儿年龄的2倍，
2028年，小女儿的年龄是2024年时的2倍，2029年，两个女儿的年龄之和是母亲年龄的一半。
问母亲比大女儿大几岁？
A.29
B.30
C.31
D.32
【例9】（2025国考）张、王、李、赵4人的平均年龄为28岁，张、王的年龄之和比李大
25岁，李、赵的年龄之和比张大27岁。已知张比王大2岁，问他们4人中年龄最大的比最小
的大几岁？
A.5
B.6
C.3
D.4
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【例10】（2022联考）2020年时，李某的年龄是自己工龄的4倍，且正好是张某年龄的
2/3。到2024年时，张某的年龄正好是自己工龄的2倍。已知张某参加工作时李某10岁，那么
李某参加工作时的年龄是多少？
A.18岁
B.21岁
C.24岁
D.27岁
【例11】（2024河南事业单位）爷爷和孙子的属相相同。孙子今年13岁，此后5年内的
某一年，爷爷年龄恰好是孙子年龄的4倍，则爷爷比孙子大（ ）岁。
A.60
B.72
C.36
D.48
【例12】（2023联考）一家三口年龄各不相同，今年爸爸与妈妈年龄之和是孩子年龄的
8倍，而10年后，爸爸与妈妈年龄之和为孩子年龄的5倍。今年爸爸、妈妈的年龄在各种可能
组合中乘积最大，问今年妈妈的年龄可能是多少岁？
A.39
B.40
C.50
D.51
【例13】（2019国考）某单位有2个处室，甲处室有12人，乙处室有20人。现在将甲处
室最年轻的4人调入乙处室，则乙处室的平均年龄增加了1岁，甲处室的平均年龄增加了3岁。
问在调动之前，两个处室的平均年龄相差多少岁？
A.8
B.12
C.14
D.15
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【例14】（2022联考）有一个20世纪八九十年代出生的人，在21世纪，恰好有一年，他
年龄的平方数等于那一年的年份。这个人是哪年出生的？
A.1995年
B.1990年
C.1985年
D.1980年
【例15】（2017事业单位）一家四口，父亲、母亲、儿子、女儿，年龄之和为71岁，父
亲比母亲大三岁，女儿比儿子大两岁，4年前年龄之和为56岁，问今年父亲的年龄是多少岁？
A.42
B.33
C.36
D.30
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第十一章 最值问题
【例1】（2020浙江选调）箱子内有标号分别为1、2、3……25的25个乒乓球，问至少需
要取出多少个乒乓球才能保证有两个的标号之差为6的倍数？
A.6
B.7
C.9
D.10
【例2】（2017辽宁）某高校举办一次读书会共有37位同学报名参加，其中中文，历史、
哲学专业各有10位同学报名参加此次读书会，另外还有4位化学专业学生和3位物理专业学生
也报名参加此次读书会，那么一次至少选出（ ）位学生，能保证选出的学生中至少有5位
学生是同一专业的。
A.17
B.20
C.19
D.39
【例3】（2023重庆选调）某中学计划从10名一线教师候选人中投票选出2名优秀教师予
以表彰，规定每位投票人只能从10名候选人中选2名。那么该校至少应有多少人参加投票，才
能够保证其中至少有2人投了2名相同的候选人？
A.46
B.48
C.50
D.52
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【例4】（2024浙江选调）幼儿园给小朋友送贴纸，包括动物类贴纸3种、卡通人物类贴
纸4种、水果类贴纸4种，每种贴纸各不相同。已知每位小朋友每类贴纸各选择2种，那么这
个幼儿园至少有多少个小朋友，才能保证有3个小朋友的贴纸完全相同？
A.109
B.110
C.216
D.217
【例5】（2024四川）某单位每名党员每周六都被随机安排到甲、乙、丙三个社区中的
一个开展志愿服务（同一个社区可以连续前往）。已知任意连续的3个周六中，都能保证至
少3名党员的志愿服务行程完全相同。问该单位至少有多少名党员？
A.55
B.52
C.24
D.21
【例6】（2021上海）有一座13.2万人口的城市，需要划分为11个投票区，任何一个区
的人口不得超过其他区人口的10%，那么人口最少的地区可能有多少人？
A.9800
B.10500
C.10700
D.11000
【例7】（2017江苏）在一次竞标中，评标小组对参加竞标的公司进行评分，满分120分，
按得分排名，前5名的平均分为115分，且得分是互不相同的整数，则第三名得分至少是：
A.112分
B.113分
C.115分
D.116分
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【例8】（2022上海）某单位进行了一次绩效考评打分，满分为100分。有5位员工的平
均分为90分，而且他们的分数各不相同，其中分数最低的员工得分为77分，那么排第二名的
员工至少得（ ）分。（员工分数取整数）
A.90
B.92
C.94
D.96
【例9】（2024广东事业单位）某单位组织职工进行技能考试，满分是100分，7位职工
在这次考试中平均成绩是81分，这7位职工得分互不相同且均为整数，其中一位职工仅得了
50分，那么得分排在第5名的那位职工至少得（ ）分？
A.65
B.64
C.63
D.62
【例10】（2021国考）某地10户贫困农户共申请扶贫小额信贷25万元。已知每人申请金
额都是1000元的整数倍，申请金额最高的农户申请金额不超过申请金额最低农户的2倍，且任
意2户农户的申请金额都不相同。问申请金额最低的农户最少可能申请多少万元信贷？
A.1.5
B.1.6
C.1.7
D.1.8
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【例11】（2025浙江事业单位）小张等5人的数学考试成绩之和为392分。排名第2的分
数是排名第4的分数的1.3倍。已知每人分数均为0至100之间的整数，且各不相同，那么排
名第5的分数最高可能是多少？
A.66
B.67
C.68
D.69
【例12】（2021广东）某街道服务中心的80名职工通过相互投票选出6名年度优秀职工，
每人都只投一票，最终A、B、C、D、E、F这6人当选。已知A票数最多，共获得20张选票；
B、C两人的票数相同，并列第2；D、E两人票数也相同，并列第3；F获得10张选票，排在
第4。那么B、C获得的选票最多为（ ）张。
A.11
B.12
C.13
D.14
【例13】（2023联考）某小区物业准备了230盒口罩免费派发给10栋楼，要求任意两栋
楼派发的口罩数量都不相同，但最多相差不超过1倍。假设口罩不拆盒发放，那么派发口罩数
量最少的那栋楼最少可派发口罩：
A.18盒
B.15盒
C.14盒
D.12盒
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【例14】（2015广东）阅览室有100本杂志，小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，
小刘借阅过60本，则三人共同借阅过的杂志最少有（ ）本。
A.5
B.10
C.15
D.30
【例15】（2020西藏事业单位）某市一中高二进行了四次数学摸底考，高二（1）班60人，
80分以上的人数比例分别为80％、82％、83％、75％。请问每次都在80分以上的人至少有：
A.48人
B.36人
C.24人
D.12人
【例16】（2024广东事业单位）某知识竞赛共有60人参加，其中答对第一题的有45人，
答对第二题的有36人，答对第三题的有54人，答对第四题的有48人，答对第五题的有52人。
如果有4人一道题都没有答对，则至少有（ ）人五道题都答对了。
A.7
B.9
C.11
D.13
【例17】（2024福建事业单位）某班学生中，有 45人会骑自行车，39人会打乒乓球，
37人会打羽毛球，38人会游泳，要保证这个班级至少有5人这四项运动都会，那么该班至多有
多少人？
A.45
B.50
C.51
D.52
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补充考点 15：最值思维
【例18】（2025天津）乡村振兴文明实践积分制度中，基础积分50分；民主评议活动积
分中3项为每项10分，2项为每项5分；贡献积分有5项，每项10分。每项积分仅加一次。
小李去年在民主评议活动和贡献积分中都有收获，总积分为130分。问小李至少获得了几项民
主评议活动积分？
A.1
B.2
C.3
D.4
【例19】（2025深圳）某商场举行消费满额抽奖活动，现场共布置了50个礼盒，每个礼
盒中均放有1张奖品券或1张现金券，每名消费达标顾客有2次抽奖机会。某日恰好有25名顾
客参与抽奖，礼盒全部抽完。已知至少有20%的顾客2次都抽中现金券，至多有60%的顾客
2次都抽中同种类券，则一共至少有（ ）张现金券。
A.10
B.15
C.20
D.25
【例20】（2025浙江）某年级从A、B、C、D四个班招募96名志愿者，其中A班志愿者
1
人数占总数的 ，B班志愿者人数比C班多4人，D班志愿者人数比其他三个班都少。问D班
3
最多能有多少名志愿者？
A.18
B.19
C.20
D.21
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第十二章 溶液问题
【例1】（2025湖北选调）一瓶浓度为n%的酒精中加入1千克水，浓度变为0.6n%；又加
入1.5千克浓度为50%的酒精后，浓度变为0.9n%。问n的值在以下哪个范围内？
A.n≤35
B.35＜n≤37.5
C.37.5＜n≤40
D.n＞40
【例2】（2024广东事业单位）甲、乙两个相同的烧杯中分别装满了浓度为24%和40%的
同种溶液，将甲杯中倒出一半溶液，用乙杯中的溶液将甲杯加满混合，再将甲杯倒出一半溶液，
又用乙杯中的溶液将甲杯加满，最后甲杯中溶液的浓度是：
A.25%
B.32%
C.36%
D.40%
【例3】（2024江苏）甲瓶中有50克浓度为80%的溶液，加水50克混合后倒出40克至空
瓶乙中；再往甲瓶中加水40克，混合后又倒出40克至乙瓶中。最终乙瓶中溶液的浓度是：
A.38%
B.32%
C.26%
D.20%
【例4】（2024山西纪委）某装有酒精溶液的容器中，若再倒入浓度为5%的酒精溶液
800克后，浓度会变为20%。实际操作时先倒入800克水，之后又倒入第三种酒精溶液400克，
浓度也变为20%。则第三种酒精溶液的浓度是多少？
A.24%
B.30%
C.36%
D.42%
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【例5】（2025江苏）甲、乙两瓶质量和浓度均相同的酒精溶液，在甲瓶中加入 20克水、
乙瓶中加入50克浓度为30%的酒精溶液后，浓度仍然相等。若继续在甲瓶中加入30克纯酒精，
溶液又恢复到最初浓度，则乙瓶酒精溶液最初的质量是：
A.100克
B.110克
C.120克
D.150克
【例6】（2024黑龙江）有三种浓度分别为30%、50%、80%的酒精溶液。现在要用这三
种溶液调配出150克浓度为60%的酒精溶液，要求每种溶液至少用30克，问80%的溶液最多
使用多少克？
A.70
B.72
C.78
D.90
【例7】（2024广东事业单位）研究员需要调制浓度35%的营养液1100克，现有浓度50%、
45%和15%的三种营养液各500克可取用，则至少需要浓度50%的营养液（ ）克。
A.200
B.225
C.250
D.300
【例8】（2018联考）将浓度为15%和5%的盐水各1000克，分别倒出若干配置成浓度为
10%的盐水1200克，将剩下的盐水全部混合在一起，得到的盐水浓度为：
A.10%
B.8.25%
C.8%
D.7.25%
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【例9】（2024天津事业单位）现有浓度为32%和48%的苹果汁各若干克，将其混合后加
入150克纯净水，配制成了浓度为40%的苹果汁1200克，则原来32%和48%的苹果汁质量之
比是：
A.2∶5
B.3∶8
C.2∶7
D.1∶6
【例10】（2023江苏）浓度分别为68%、72%、78%的三种酒精溶液的总质量为240克。
若将它们全部混合，则可得浓度为74%的酒精溶液；若只将浓度为72%和78%的酒精溶液混合，
则可得浓度为76%的酒精溶液。这三种酒精溶液中，浓度为72%的酒精溶液质量为：
A.30克
B.40克
C.48克
D.60克
【例11】（2024福建事业单位）在浓度为15%的盐水中加入20千克水后，浓度变为10%，
这时再加入（ ）千克盐，可使浓度变为20%。
A.5
B.7.5
C.10
D.15
【例12】（2014河北）浓度为15%的盐水若干克，加入一些水后浓度变为10%，再加入
同样多的水后，浓度为多少？
A.9%
B.7.5%
C.6%
D.4.5%
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【例13】（2024联考）现有一容器，装有100克浓度为75%的盐水，从中倒出40克盐水
后，再加入40克纯净水，如此反复三次。问此时盐水的浓度是：
A.16.20%
B.9%
C.1.62%
D.0.90%
【例14】（2023四川事业单位）某容器内装满了浓度为64%的酒精，现倒出2升该溶液后
再加水注满容器，搅拌均匀后又倒出2升溶液后加水注满容器，此时溶液浓度变为36%。则该
容器的容积为（ ）升。
A.8
B.9
C.10
D.12
【例15】（2024四川）现有浓度为70%的盐水100克。从中倒出40克，再加入40克浓度
为20%的盐水，如此操作共5次后，问盐水的浓度在以下哪个范围内？
A.低于23%
B.在23%到25%之间
C.在25%到27%之间
D.高于27%
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第十三章 排列组合
【例1】（2024联考）安排A、B、C、D共4个研发团队参与甲、乙、丙3个课题的研究，
要求每个课题至少有1个团队参与，每个团队必须且只能参与1个课题，如甲课题参与的团队
数超过1个，则A、B都不参与甲课题。问共有多少种不同的安排方式？
A.24
B.26
C.36
D.42
【例2】（2023四川事业单位）从7名女生和4名男生中选出3名志愿者参加暑期支教活
动，若要求至少有1名男生参加，则不同的选择方式有（ ）种。
A.130
B.156
C.169
D.184
【例3】（2022联考）滑雪和滑冰是冬奥会的两大项赛事，其中高山滑雪、自由式滑雪、
单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和北欧两项是滑雪大项中的6个分项，短道速滑、速度滑冰和
花样滑冰是滑冰大项中的3个分项。小林打算去现场观看比赛，共选择6个项目，并且每个大
项不少于1个，若所有项目比赛时间均不交叉，则不同的观赛方式有：
A.83种
B.84种
C.92种
D.102种
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【例4】（2023国考）某次会议邀请4所高校每所各2位学者作报告。在某日上午、下午
和晚上的三个时间段分别安排3位、3位和2位学者依次作报告，且同一所高校的2位学者不
安排在同一时间段内作报告。问8人的报告次序有多少种不同的安排方式？
A.不到5000种
B.5000—10000种之间
C.10001—20000种之间
D.超过20000种
【例5】（2025联考）某地军工驿站就业直通车送6名工人到A、B、C三个开发区务工，
实现从“家门”直达“厂门”就业。若A开发区至少需要2名工人，B、C开发区至少各安排
1名工人，每名工人只能去其中的一个开发区，则共有多少种不同的安排方法？
A.180
B.320
C.345
D.360
【例6】（2024联考）某单位从所有职工中选出若干人参加培训，如果选择4人，可能的
选择方式正好是选择3人时的10倍，问该单位有多少名职工？
A.32
B.33
C.42
D.43
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【例7】（2022联考）某健身房近期推出甲、乙、丙、丁4项课程，每项课程的一次消费
分别为200元、300元、400元、500元，会员可根据充值卡内余额自行进行消费。会员小李充
值卡内还剩2200元，打算在有效期内每项课程都至少消费1次，且将充值卡内余额恰好用完，
问他消费这4项课程的组合有多少种不同的可能性？
A.3
B.4
C.5
D.6
【例8】（2019联考）小明计划到商店为自己购买衣服和鞋子，预算不超过800元，已知
衣服每套的售价是99元，每双鞋子的售价是67元，如果小明至少要买4套衣服和3双鞋。那
么他有多少种不同的购买方式？
A.5
B.7
C.8
D.4
【例9】（2020联考）某美术馆计划展出12幅不同的画，其中有3幅油画、4幅国画、5幅
水彩画，排成一行陈列，要求同一种类的画必须连在一起，并且油画不放在两端，问有多少种
不同的陈列方式？
A.不到1万种
B.1万—2万种之间
C.2万—3万种之间
D.超过3万种
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【例10】（2020国考）扶贫干部某日需要走访村内6个贫困户甲、乙、丙、丁、戊和己。
已知甲和乙的走访次序要相邻，丙要在丁之前走访，戊要在丙之前走访，己只能在第一个或最
后一个走访。问走访顺序有多少种不同的安排方式？
A.32
B.48
C.16
D.24
【例11】（2017江苏）两公司为召开联欢晚会，分别编排了3个和2个节目，要求同一公
司的节目不能连续出场，则安排节目出场顺序的方案共有：
A.12种
B.18种
C.24种
D.30种
【例12】（2017联考）某兴趣组有男女生各5名，他们都准备了表演节目。现在需要选出
4名学生各自表演1个节目，这4人中既要有男生、也要有女生，且不能由男生连续表演节目。
那么，不同的节目安排有多少种？
A.1200
B.2400
C.3000
D.3600
【例13】（2020广东事业单位）某公司秘书部门准备将30份纸质文件发放给3个不同的
部门，每个部门至少发放9份纸质文件，则共有（ ）种不同的发放方法。
A.10
B.11
C.12
D.13
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【例14】（2022广东）甲、乙、丙3个单位订阅同一款报刊，已知3个单位共订了12份，
其中，每个单位订阅数量不少于3份，但不超过5份，则这3个单位的报刊订阅数量可能有
（ ）种组合。
A.2
B.6
C.7
D.9
【例15】（2024天津事业单位）某专业147名学生乘坐3辆ZK6117BEV型大客车去实习，
每辆客车最少承载48名学生，最多承载50名学生，则每辆车承载的人数共有多少种分配方案？
A.5
B.6
C.7
D.8
【例16】（2023浙江选调）单排队列有5个人，现重新安排他们的位置，要保证至少有1个
人的位置与原来不同，且至少有两个原来相邻的人位置不变。那么共有多少种不同的安排法？
A.11
B.14
C.17
D.18
补充考点 16：平均分组
【例17】（2018浙江）某班共有8名战士，现在从中挑出4人平均分成两个战斗小组分别
参加射击和格斗考核，问共有多少种不同的方案？
A.210
B.420
C.630
D.840
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【例18】（2015联考）将10名运动员平均分成两组进行对抗赛，问有多少种不同的分法？
A.120
B.126
C.240
D.252
补充考点 17：描点法
【例19】（2019联考）小赵从家出发去单位上班要经过多条街道（如图），假如他只能向
西或向南行走。则他上班有多少种不同的走法？
A.6
B.24
C.32
D.35
【例20】（2015联考）从A地到B地的道路如图所示，所有转弯均为直角，问如果要以
最短距离从A地到达B地，有多少种不同的走法可以选择？
A.14
B.15
C.18
D.21
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第十四章 概率问题
【例1】（2025联考）棒球队招募两个位置的队员，分别为击球手和投球手，共有10人报
名，其中5人只报名击球手，3人只报名投手，另外两人既报名击球手又报名投手。若球队在
报名人员中随机抽取2人，则此2人报名相同位置的概率为：
1
A.
3
1
B.
2
2
C.
3
3
D.
4
【例2】（2025深圳）阿哥、阿姐请小妹帮忙买奶茶，每杯奶茶都有4个必选定制项（如
下图所示）。小妹在途中把阿哥、阿姐不同的定制要求忘了，如果她随意购买3杯不同的奶茶，
则恰有1杯刚好满足阿哥或阿姐定制要求的概率是：
杯型 甜度 茶底 温度
□ 中杯 □ 多糖 □ 红茶 □ 标准冰
□ 大杯 □ 标准糖 □ 绿茶 □ 少冰
□ 少糖 □ 乌龙茶 □ 常温
□ 微糖 □ 温热
□ 不另外加糖
47
A.
1144
59
B.
1190
71
C.
1716
117
D.
2380
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【例3】（2022联考）为了加强环境治理和生态修复，某市派出4位专家（甲、乙、丙、
丁）前往某山区3个勘探点进行环境检测，要求每个勘探点至少安排一名专家。那么甲、乙两
名专家去了不同勘探点的概率是：
3
A.
4
1
B.
6
5
C.
6
1
D.
4
【例4】（2022广东）某街道对辖内6个社区的垃圾分类情况进行考核评估，结果显示，
有2个社区的垃圾分类考核不通过。如果从6个社区中随机抽取3个进行现场检查，则抽取的
社区中，既有考核通过的又有考核不通过的社区的概率为：
1
A.
5
1
B.
2
2
C.
3
4
D.
5
【例5】（2025联考）21分制的羽毛球比赛，每赢一球得1分，下一球由上一球得分方发
球，20∶20平局以后，先多得2分的一方获胜，若甲发球时甲得分的概率为0.6、乙发球时乙
得分的概率为0.7，各球的结果相互独立，乙将比分追成20∶20平后，甲最终以23∶21的比分
获胜的概率在以下哪个范围？
A.0.05—0.1
B.0.1—0.15
C.0.15—0.2
D.0.2—0.25
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【例6】（2025天津）甲和乙参加知识竞赛，每人均需作答1道理工类问题和1道人文类
问题。甲作答两类问题的正确率分别为60%和40%，乙作答两类问题的正确率分别为50%和
75%。问甲答对问题数量比乙多的概率在以下哪个范围内？
A.22%以下
B.22%—25%之间
C.25—28%之间
D.28%以上
【例7】（2024浙江选调）纸牌游戏斗地主有3个人参加，包括1个地主和2个农民，结
果只有地主获胜或农民获胜。某游戏平台十万场比赛数据显示，所有玩家平均胜率为 47%，那
么这十万场比赛的玩家“抢”到地主时的胜率在以下哪个区间？
A.35%—45%
B.45%—55%
C.55%—65%
D.65%—75%
【例8】（2024湖北选调）某篮球联赛总决赛采取5场3胜制，即首先获得3场比赛胜利
的球队获得冠军。已知甲、乙两队参加总决赛，假设每场比赛甲队赢得比赛的事件是相互独立
的，且概率为40%，请问甲队获得冠军的概率在以下哪个范围内？
A.20%—25%
B.25%—30%
C.30%—35%
D.35%—40%
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【例9】（2018重庆）甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙
队的概率均为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，且比赛到此结束。如果各
局比赛相互间没有影响，现已知前两局双方战成平手，则甲队获得这场比赛胜利的概率为：
9
A.
25
63
B.
125
81
C.
125
101
D.
125
【例10】（2018吉林）一位乒乓球学员手中拿着装有7只乒乓球的不透明口袋，其中3只
黄球，4只白球。他随机取出一只乒乓球，观察颜色后放回袋中，同时放入2只与取出的球同
色的球，这样连续取2次，则他取出的两只球中第1次取出的是白球，第2次取出的是黄球的
概率是：
8
A.
77
4
B.
21
2
C.
11
4
D.
7
【例11】（2024山西纪委）在一块边长为20米的正方形土地中随机选择1个点，则选中
的点与这块土地4个顶点的距离均大于10米的概率在以下哪个范围内？
A.不到0.2
B.0.2—0.25之间
C.0.25—0.3之间
D.超过0.3
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【例12】（2018联考）小波通过往圆圈里投掷米粒（米粒本身长度不计，视为一个点）的
方式决定自己的周末活动。经过试验，他将米粒投进圆圈内的成功率达到100%，但投掷在圆内
的位置随机。如果米粒到圆心的距离大于圆半径的一半，那么他周末去看电影；若米粒到圆心
的距离小于半径的1/4，他会去打篮球；否则，他将在家看书。据此可知小波周末不在家看书的
概率为：
13
A.
16
2
B.
5
3
C.
5
1
D.
16
【例13】（2019联考）某学校举行迎新篝火晚会，100名新生随机围坐在篝火四周。其中，
小张与小李是同桌，他俩坐在一起的概率为：
2
A.
97
2
B.
98
2
C.
99
2
D.
100
【例14】（2018联考）A、B两地间有三种类型列车运行，其中高速铁路动车组列车每天
6车次，普通动车组列车每天5车次，快速旅客列车每天4车次。甲、乙两人要同一天从A地
出发前往B地，假设他们买票前没有互通信息，而且火车票票源充足，问他们买到同一趟列车
车票的概率有多大？
A.小于10%
B.10%到20%之间
C.20%到25%之间
D.25%到30%之间
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【例15】（2025上海）小李在游乐园娃娃机上抓玩偶玩，目前抓到玩偶的频率是 ，接
16
1
下来小李又抓了两次，运气特别好都抓到了，这时小李抓到玩偶的频率提升到了 ，则小李一
10
共抓了多少次？
A.30
B.40
C.50
D.60
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参考答案
第一章 倍数特性
1~5：DCCCD 6~10：BCDBB 11~15：BCAAB 16~20：BCCAC
21~25：ADADB 26~30：BDCAD 31~35：CCCCD
第二章 方程问题
1~5：CCDDA 6~10：CCACB 11~15：CCBAC 16~20：ABCAC
21~25：DBACA 26~30：BDDCD 31~34：CBDD
第三章 工程问题
1~5：BCBDD 6~10：CBABC 11~15：DABDC 16~20：ABDCD
21~25：BBDCA 26~30：ADDDB 31~35：CDAAC 36~38：AAA
第四章 几何问题
1~5：DBCAD 6~10：BDCAD 11~15：DDDAD 16~20：CCDDC
21~25：CDABD 26~30：BCACD 31~33：CBB
第五章 经济问题
1~5：CCDCB 6~10：DBDAC 11~15：BBABA 16~20：BCCBD
21~25：DACCB 26~30：CBADC 31~34：ADAC
第六章 行程问题
1~5：DDCCB 6~10：DCBBB 11~15：CDBBD 16~20：CDBBC
21~25：ACCBD 26~29：BCCC
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第七章 周期问题
1~5：BBCBB 6~10：BACCB 11~15：DBCBC
第八章 等差数列
1~5：BBBCB 6~10：ACCDA 11~15：BADDB
第九章 容斥问题
1~5：CBCAD 6~10：AACAC 11~15：ACDCB 16~20：CCBCA
第十章 年龄问题
1~5：BCCCD 6~10：ADCBC 11~15：DABDB
第十一章 最值问题
1~5：BBADA 6~10：DBBDB 11~15：CDCAD 16~20：CCCCA
第十二章 溶液问题
1~5：BCBBA 6~10：CAADD 11~15：BBAAB
第十三章 排列组合
1~5：BAACD 6~10：DCBDC 11~15：ABACC 16~20：CBBDB
第十四章 概率问题
1~5：CDCDA 6~10：ACCCB 11~15：BACAC
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