文档内容
2010 年普通高等学校招生全国统一考试 A 卷
文科数学（必修+选修Ⅱ）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 10小题，
每小题5分，共50分）.
1.集合 ， ,则A∩B=
(A) （B）
(C) （D）
2.复数z= 在复平面上对应的点位于
(A)第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
3.函数 是
(A)最小正周期为2π的奇函数 （B）最小正周期为2π的偶函数
(C)最小正周期为π的奇函数 （D）最小正周期为π的偶函数
4.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为 ,样本标准
差分别为 和 ,则
(A) ＞ ， ＞
(B) ＜ ， ＞
(C) ＞ ， ＜
(D) ＜ ， ＜
5.右图是求x,x，…，x 的乘积S的程序框图，图中空白框中应
1 2 10
填入的内容为
第1页 | 共13页(A)
(B)
(C)
(D)
6.“ ”是“ ＞0”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
7.下列四类函数中，具有性质“对任意的 ，函数 满足
”的是
（A）幂函数 （B）对数函数
（C）指数函数 （D）余弦函数
[来源:学科
8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
（A）2 （B）1
（C） （D）
9.已知抛物线 的准线与圆 相切，则p的值为
（A） （B）1 （C）2 （D）4
10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数
大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数 之间的函数关系用取整
函数 （[x]表示不大于 的最大整数）可以表示为
（A）y＝[ ] （B）y＝[ ] （C）y＝[ ] （D）y＝[ ]
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5小题，每小题5分，共25
第2页 | 共13页分）.
11.观察下列等式：
根据上述规律，第四个等式为 .
12.已知向量 若 ，则m＝ .
13.已知函数 若 ，则实数 ＝ .
14.设 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 .
15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A.（不等式选做题）不等式 的解集为 .
B.（几何证明选做题）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长
分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝ cm.
C.（坐标系与参数方程选做题）参数方程 （ 为参
数）
化成普通方程为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）.
16.（本小题满分12分）
已知{a}是公差不为零的等差数列，a＝1，且a，a，a 成等比数列.
n 1 1 3 9
（Ⅰ）求数列{a}的通项; （Ⅱ）求数列 的前n项和S.
n n
17.（本小题满分12分）
在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，
AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.
第3页 | 共13页.
[来源:Zxxk.Com]
18.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面
ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.
(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；
(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.
.
19 （本小题满分12分）
为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查，测得
身高情况的统计图如下：
[来源:学。
科。网Z。X。X。K]
（Ⅰ）估计该校男生的人数；
（Ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；
[来源:学.科.网]
（Ⅲ）从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm
之间的概率.
20.（本小题满分13分）
如 图 ， 椭 圆 的 顶 点 为 ， 焦 点 为 ，
.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设n 为过原点的直线， 是与 n垂直相交于 P点，与椭圆相交于 A, B 两点的直线，
.是否存在上述直线 使 成立？若存在，求出直线 的方程；并说出；若
不存在，请说明理由.
第4页 | 共13页21、(本小题满分14分)
已知函数 ， ， .
（Ⅰ）若曲线 与曲线 相交，且在交点处有相同的切线，求 的值及该切线
的方程；
（Ⅱ）设函数 ,当 存在最小值时，求其最小值 的解析式；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的 ，证明：当 时， .
[来源:学科网ZXXK]
第5页 | 共13页参考答案
17. 解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6,
由余弦定理得cos = ,
ADC=120°, ADB=60°
[来源:Z*xx*k.Com]
在△ABD中，AD=10, B=45°, ADB=60°，
由正弦定理得 ,
AB=
18. 解： (Ⅰ) 在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.
又BC∥AD，∴ EF∥AD,
又∵AD 平面PAD，EF 平面PAD,
[来源:学科网]
∴EF∥平面PAD.
(Ⅱ)连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G,
第6页 | 共13页19. 解 ：（Ⅰ）样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
（Ⅱ）由统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本
容量为70 ，所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率 故有 估计该校学
生身高在170~180cm之间的概率
（Ⅲ）样本中身高在180~185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，
样本中身高在185~190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，
从上述6人中任取2人的树状图为：
故从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身
高在185~190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率
20. 解 : (Ⅰ)由 知a2+b2=7, ①
由 知a=2c, ②
又b2=a2-c2 ③
由 ①，②，③解得a2=4,b2=3,
故椭圆C的方程为
(Ⅱ) 设A,B两点的坐标分别为
假设使 成立的直线l存在，
(i) 当l不垂直于x轴时，设l的方程为 ,
由l与n垂直相交于P点且 得
第7页 | 共13页将④，⑤代入上式并化简得
⑥
将 代入⑥并化简得 ，矛盾.
即此时直线 不存在.
[来源:学&科&网]
（ii）当 垂直于 轴时，满足 的直线 的方程为 ，
则A,B两点的坐标为 或
当 时，
当 时，
∴ 此时直线 也不存在.
综上可知，使 成立的直线 不存在.
21. 解： （Ⅰ） = 1 , =a (x>0),
2 x x
e
由已知得 解得a= ，x=e2,
2
第8页 | 共13页（i）当a>0时，令 解得 ，
∴ 当0 < < 时， ， 在（0， ）上递减；
4a2 4a2
当x> 时， ， 在 上递增.
4a2
∴ 是 在 上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是 的最小值点.
∴ 最小值
（ii）当 时， 在（0，+∞）上递增，无最小值。
故 的最小值 的解析式为
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
则 ，令 解得 .
当 时， ，∴ 在 上递增；
当 时， ，∴ 在 上递减.
∴ 在 处取得最大值
∵ 在 上有且只有一个极值点，所以 也是 的最大值.
∴当 时，总有
第9页 | 共13页选择填空解析：
1.集合A={x －1≤x≤2}，B＝｛x x＜1｝,则A∩B= [D]
(A){x x＜1} （B）{x －1≤x≤2}
(C) {x －1≤x≤1} (D) {x －1≤x＜1}
解析：本题考查集合的基本运算
由交集定义得{x －1≤x≤2}∩｛x x＜1｝={x －1≤x＜1}
2.复数z= 在复平面上对应的点位于 [A]
(A)第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
解析：本题考查复数的运算及几何意义
，所以点（ 位于第一象限
3.函数f (x)=2sinxcosx是 [C]
(A)最小正周期为2π的奇函数 （B）最小正周期为2π的偶函数
(C)最小正周期为π的奇函数 （D）最小正周期为π的偶函数
解析：本题考查三角函数的性质
f (x)=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数
4.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为 ,样本标准
差分别为s和s,则 [B]
A B
(A) ＞ ，s＞s ＜10＜ ；A的取值波动程度显然大于
A B
(B) ＜ ，s A ＞s B B，所以s A ＞s B
(C) ＞ ，s＜s
A B
(D) ＜ ，s＜s
A B
解析：本题考查样本分析中两个特征数的作
用
第10页 | 共13页5.右图是求 x,x，…，x 的乘积 S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为
1 2 10
[D]
(A)S=S*(n+1)
（B）S=S*x
n+1
(C)S=S*n
(D)S=S*x
n
解析：本题考查算法
S=S*x
n
6.“a＞0”是“ ＞0”的 [A]
(A)充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
解析：本题考查充要条件的判断
， a＞0”是“ ＞0”的充分不必要条件
7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f（x＋y）＝f（x）
f（y）”的是 [C]
（A）幂函数 （B）对数函数 （C）指数函数 （D）余弦函数
解析：本题考查幂的运算性质
8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
[B]
（A）2 （B）1
（C） （D）
2
2
解析：本题考查立体图形三视图及体积公式
如图，该立体图形为直三棱柱 1
所以其体积为
9.已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为
[C]
（A） （B）1 （C）2 （D）4
解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系
法一：抛物线y2＝2px（p>0）的准线方程为 ，因为抛物线y2＝2px（p>0）的准线与
第11页 | 共13页圆（x－3）2＋y2＝16相切，所以
法二：作图可知，抛物线 y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16 相切与点
（-1,0）
所以
10.某学校要招开学生代表大会，规定各班每 10人推选一名代表，当各班人数除以10
的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关
系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为 [B]
（A）y＝[ ] （B）y＝[ ] （C）y＝[ ] （D）y＝[
]
解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B
法二：设 ，
，所以选B
11.观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝
（1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式为 1 3 ＋ 2 3 ＋ 3 3 ＋ 4 3 ＋ 5 3 ＝（ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋
5 ） 2 （或 1 5 2 ） .
解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方
所以第四个等式为 1 3 ＋ 2 3 ＋ 3 3 ＋ 4 3 ＋ 5 3 ＝（ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ） 2 （或 1 5 2 ） .
12.已知向量a＝（2，－1），b＝（－1，m），c＝（－1，2）若（a＋b）∥c，则
m＝ － 1 .
解析： ，所以m=-1
13.已知函数f（x）＝ 若f（f（0））＝4a，则实数a＝ 2 .
解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2
14.设x，y满足约束条件 ，则目标函数z＝3x－y的最大值为 5 .
解析：不等式组表示的平面区域如图所示，
当直线z＝3x－y过点C（2,1）时，在y轴上截距最小
此时z取得最大值5
第12页 | 共13页15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A.（不等式选做题）不等式 <3的解集为 .
解析：
B.（几何证明选做题）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以
AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝ cm.
解析： ,由直角三角形射影定理可得
C.（坐标系与参数方程选做题）参数方程 （
为参数）化成普通方程为
x 2 ＋（ y － 1 ） 2 ＝ 1 .
解析：
[来源:Z。xx。k.Com]
第13页 | 共13页
