25上数学学科-理论精讲-高中基础知识3-高峰_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_初中_初中数学-通关资科包_2025年FB学科-数学

微信公众号：文采学社 2 0 2 5 年 全 国 教 师 资 格 理论精讲—高中基础知识3 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 主讲老师 高峰 粉笔教师教育 粉笔教师 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 根据分段函数的单调性求参数范围 1、每一段函数在各自的“定义域”内都具有同样的单调性，分别求参数满足的条件； 2、整个函数在总的定义域内是单调的，即在两段函数的分界点处也要满足单调性，上面的 函数值要≥下面的函数值（或上面的函数值要≤下面的函数值）； 社 学 3、取上面几个参数的范围的交集，即整个函数在定义域内单调时参数的取值范围。 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 增函数+增函数 =增函数 减函数+减函数 =减函数 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 增函数−唯 减公函数 =增函数 信 微 减函数−增函数 =减函数 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P14 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P14 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P15 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 𝑔 𝑥 为奇函数，𝑓 𝑔 𝑥 为奇函数 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 𝑔 𝑥 为奇函数，𝑓 𝑔 𝑥 为偶函数 唯 信 微 𝑔 𝑥 为偶函数，𝑓 𝑔 𝑥 为奇函数 𝑔 𝑥 为偶函数，𝑓 𝑔 𝑥 为偶函数 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P15 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P16 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P16 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 𝜋 微 𝑠𝑖𝑛 + 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝜋 + 𝛼 2 𝑐𝑜𝑠 𝜋 + 𝛼 𝜋 𝑐𝑜𝑠 + 𝛼 20225FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 𝜋 微 𝑠𝑖𝑛 − 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝜋 − 𝛼 2 𝑐𝑜𝑠 𝜋 − 𝛼 𝜋 𝑐𝑜𝑠 − 𝛼 20225FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P16 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 公式1 如图，角𝐴的终边与单位圆的交点坐标为𝑃 𝑐𝑜𝑠𝐴, 𝑠𝑖𝑛𝐴 ，角𝐵的终边与单位圆的交点坐标为 𝑄 𝑐𝑜𝑠𝐵, 𝑠𝑖𝑛𝐵 ， 根 据 向 量 数 量 积 可 知 ， 𝑂𝑃 ∙ 𝑂𝑄 = 𝑂𝑃 𝑂𝑄 𝑐𝑜𝑠 𝐴 − 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 + 社 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵，因为 𝑂𝑃 = 𝑂𝑄 = 1，所以𝑐𝑜𝑠 𝐴 − 𝐵 = 学𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵，得到公式1 采 道 文 渠 ： 新 𝑐𝑜𝑠 𝐴 − 𝐵 = 𝑐更𝑜𝑠𝐴号𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 公式2 因为𝐴 + 𝐵 = 𝐴 − −𝐵 ，所以𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 𝐴 − −𝐵 ，利用公式1可得𝑐𝑜𝑠 𝐴 − −𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠 −𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛 −𝐵 ， 再 利 用 诱 导 公 式 可 得 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠 −𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛 −𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 − 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵，得到公式2 社 学 采 道 𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠渠𝐴𝑐𝑜文𝑠𝐵 − 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 公式3 𝜋 𝜋 𝜋 由诱导公式可得𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 − 𝛼 ，则𝑠𝑖𝑛 𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 − 𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 − 𝐴 − 𝐵 = 2 2 2 𝜋 𝜋 𝜋 𝑐𝑜𝑠 − 𝐴 − 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 − 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑠𝑖𝑛 − 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴，得到公式3 2 2 2 社 学 采 道 𝑠𝑖𝑛 𝐴 + 𝐵 = 𝑠𝑖𝑛𝐴渠𝑐𝑜𝑠文𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 公式4 因为𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + −𝐵 ，所以𝑠𝑖𝑛 𝐴 − 𝐵 = 𝑠𝑖𝑛 𝐴 + −𝐵 ，利用公式3可得𝑠𝑖𝑛 𝐴 + −𝐵 = 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠 −𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛 −𝐵 ， 再 利 用 诱 导 公 式 可 得 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠 −𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛 −𝐵 = 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 − 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵，得到公式4 社 学 采 道 𝑠𝑖𝑛 𝐴 − 𝐵 = 𝑠𝑖𝑛渠𝐴𝑐𝑜文𝑠𝐵 − 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 公式5 𝑠𝑖𝑛 𝐴+𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑡𝑎𝑛 𝐴 + 𝐵 = = ，分子分母同时除以𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵得， 𝑐𝑜𝑠 𝐴+𝐵 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑡𝑎𝑛𝐴+𝑡𝑎𝑛𝐵 = ，得到公式5 社 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 1−𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵 学 采 道 文 渠 ： 新 𝑡𝑎𝑛𝐴 +号𝑡𝑎𝑛𝐵 更 众 𝑡𝑎𝑛 𝐴 + 𝐵 = 一 公 唯 1 −信𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 公式6 𝑠𝑖𝑛 𝐴−𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑡𝑎𝑛 𝐴 − 𝐵 = = ，分子分母同时除以𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵得， 𝑐𝑜𝑠 𝐴−𝐵 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑡𝑎𝑛𝐴−𝑡𝑎𝑛𝐵 = ，得到公式6 社 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 1+𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵 学 采 道 文 渠 ： 新 𝑡𝑎𝑛𝐴 − 𝑡号𝑎𝑛𝐵 更 众 𝑡𝑎𝑛 𝐴 − 𝐵 = 一 公 唯 1 +信𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P16 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P16 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P16 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P16 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P16 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P17 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P17 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P17 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P17 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P18 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 不等式 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P19 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P19 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P19 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P19 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P19 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P20 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P20 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 思路： 角度1：基本形式 角度2：消元法 社 角度3：常数代换法 学 采 道 文 渠 ： 新 号 角度4：配凑法 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 例题：𝑥 + 𝑦 = 1，求𝑥 2 + 𝑦 2的取值范围 补充 思路： 角度1：基本形式 角度2：消元法 社 角度3：常数代换法 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 角度4：配凑法 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 1 1 例题：𝑥 + 𝑦 = 1（𝑥 > 0，𝑦 > 0），求 + 的取值范围 补充 𝑥 𝑦 思路： 角度1：基本形式 角度2：消元法 社 角度3：常数代换法 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 角度4：配凑法 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 1 例题：求 + 𝑦（𝑦 > 1）的范围 补充 𝑦 − 1 思路： 角度1：基本形式 角度2：消元法 社 角度3：常数代换法 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 角度4：配凑法 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P20 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P21 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P21 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 2 𝑥 − 3𝑥 − 4 > 0 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P21 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 穿针引线法 补充 ①运用不等式的性质使得不等式的右侧为0（注意：保证最高次项的系数为正） ②将不等号换成等号解出所有根（一般采用因式分解） ③在数轴上从左到右按照大小依次标出各根 ④画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上 去，一上一下依次穿过各根。 社 学 采 ⑤观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方道，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”，则取 文 渠 ： 新 号 更 数轴下方，穿根线以内的范围。 众 一 公 唯 信 微 自上而下，从右到左，奇穿偶不穿 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P21 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 𝑥 > 3 𝑥 − 2 > 3 𝑥 + 1 > 4 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 在 粉 笔 ， 社 学 采 道 文 渠 遇 见 不 一 样 的 自 己 ：! 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 粉笔教师教育 粉笔教师 微信公众号：文采学社