文档内容
2015 年江苏省宿迁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1． 的倒数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
2．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（ ）
A． 9 B．12 C．7或9 D．9或12
3．计算（﹣a3）2的结果是（ ）
A．﹣a5 B．a5 C．﹣a6 D．a6
4．（3分）（2015•宿迁）如图所示，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
5．（3分）（2015•宿迁）函数y= ，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
6．（3分）（2015•宿迁）已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形
的边数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）（2015•宿迁）在平面直角坐标系中，若直线y=kx+b经过第一、三、四象
限，则直线y=bx+k不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（3分）（2015•宿迁）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（3，
0），点P在反比例函数y= 的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P
的个数为（ ）
A．2个 B．4个 C．5个 D．6个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2015•宿迁）某市今年参加中考的学生大约为45000人，将数45000用
科学记数法可以表示为 ．
10．（3分）（2015•宿迁）关于x的不等式组 的解集为1＜x＜3，则a的值
为 ．
11．（3分）（2015•宿迁）因式分解：x3﹣4x= ．
12．（3分）（2015•宿迁）方程 ﹣ =0的解是 ．
13．（3分）（2015•宿迁）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，
则∠BOD= °．
14．（3分）（2015•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，
AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为 ．
15．（3分）（2015•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线
y= x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长
的最小值为 ．16．（3分）（2015•宿迁）当x=m或x=n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，则
x=m+n时，代数式x2﹣2x+3的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共72分，解答时应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤）
17．（6分）（2015•宿迁）计算：cos60°﹣2﹣1+ ﹣（π﹣3）0．
18．（6分）（2015•宿迁）（1）解方程：x2+2x=3；
（2）解方程组： ．19．（6分）（2015•宿迁）某校为了了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从
该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组
（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并
依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 ，并补全频数分布直方图；
（2）C组学生的频率为 ，在扇形统计图中D组的圆心角是 度；
（3）请你估计该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名？
20．（6分）（2015•宿迁）一只不透明的袋子中装有1个白球、1个蓝球和2个红球，
这些球除颜色外都相同．
（1）从袋中随机摸出1个球，摸出红球的概率为 ；
（2）从袋中随机摸出1个球（不放回）后，再从袋中余下的3个球中随机摸出1个
球．求两次摸到的球颜色不相同的概率．21．（6分）（2015•宿迁）如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
22．（6分）（2015•宿迁）如图，观测点A、旗杆DE的底端D、某楼房CB的底端C
三点在一条直线上，从点A处测得楼顶端B的仰角为22°，此时点E恰好在AB
上，从点D处测得楼顶端B的仰角为38.5°．已知旗杆DE的高度为12米，试求楼
房CB的高度．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，
cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80）
23．（8分）（2015•宿迁）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E
是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．24．（8分）（2015•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），
反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A，动直线x=（t 0＜t＜8）与反比例函数的图
象交于点M，与直线AB交于点N．
（1）求k的值；
（2）求△BMN面积的最大值；
（3）若MA⊥AB，求t的值．
25．（10分）（2015•宿迁）已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD
交于点E．
（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；
（2）如图2，若 = ，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；
（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．26．（10分）（2015•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD和正方形
DEFG的边长分别为2a，2b，点A，D，G在y轴上，坐标原点O为AD的中点，抛
物线y=mx2过C，F两点，连接FD并延长交抛物线于点M．
（1）若a=1，求m和b的值；
（2）求 的值；
（3）判断以FM为直径的圆与AB所在直线的位置关系，并说明理由．2015 年江苏省宿迁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1． 的倒数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
考点：倒数．
分析：根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
解答： 解： 的倒数是﹣2，
故选：A．
点评：本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（ ）
A． 9 B．12 C．7或9 D．9或12
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析：题目给出等腰三角形有两条边长为5和2，而没有明确腰、底分别是多少，
所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解答： 解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12；
当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
所以这个三角形的周长是12．
故选：B．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底
边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三
角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
3．计算（﹣a3）2的结果是（ ）
A．﹣a5 B．a5 C．﹣a6 D．a6
考点：幂的乘方与积的乘方．分析：根据幂的乘方计算即可．
解答： 解：（﹣a3）2=a6，
故选D
点评：此题考查幂的乘方问题，关键是根据法则进行计算．
4．（3分）（2015•宿迁）如图所示，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
考点：同位角、内错角、同旁内角．
分析：根据三线八角的概念，以及同位角的定义作答即可．
解答：解：如图所示，∠1和∠2两个角都在两被截直线直线b和a同侧，并且在第三条直
线c（截线）的同旁，故∠1和∠2是直线b、a被c所截而成的同位角．
故选A．
点评：本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义．在截线的同旁找同位角和同旁内
角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特
点，比较它们的区别与联系．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有四
对同位角，两对内错角，两对同旁内角．
5．（3分）（2015•宿迁）函数y= ，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
考点：函数自变量的取值范围．
分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解答：解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：C．
点评：本题考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是二次根式的被开方数是非负数．
6．（3分）（2015•宿迁）已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形
的边数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点：多边形内角与外角．
分析：设多边形的边数为n，则根据多边形的内角和公式与多边形的外角和为
360°，列方程解答．
解答：解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，
（n﹣2）•180°=360°，
n﹣2=2，
n=4．
故选B．
点评：本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是利用多边形的内角和公式
并熟悉多边形的外角和为360°．
7．（3分）（2015•宿迁）在平面直角坐标系中，若直线y=kx+b经过第一、三、四象
限，则直线y=bx+k不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点：一次函数图象与系数的关系．
分析：根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
解答：解：由一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，b＜0，
∴直线y=bx+k经过第一、二、四象限，
∴直线y=bx+k不经过第三象限，
故选C．
点评：本题考查一次函数图象与系数的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所
在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k
＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，
直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．8．（3分）（2015•宿迁）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（3，
0），点P在反比例函数y= 的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P
的个数为（ ）
A．2个 B．4个 C．5个 D．6个
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；圆周角定理．
分析：分类讨论：①当∠PAB=90°时，则P点的横坐标为﹣3，根据反比例函数图象
上点的坐标特征易得P点有1个；②当∠APB=90°，设P（x，），根据两点间
的距离公式和勾股定理可得（x+3）2+（ ）2+（x﹣3）2+（ ）2=36，此时P点有
4个，③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，此时P点有1个．
解答：
解：①当∠PAB=90°时，P点的横坐标为﹣3，把x=﹣3代入y= 得y=﹣ ，所
以此时P点有1个；
②当∠APB=90°，设P（x，），PA2=（x+3）2+（ ）2，PB2=（x﹣3）2+（ ）2，AB2=
（3+3）2=36，
因为PA2+PB2=AB2，
所以（x+3）2+（ ）2+（x﹣3）2+（ ）2=36，
整理得x4﹣9x2+4=0，所以x2= ，或x2= ，
所以此时P点有4个，
③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，把x=3代入y= 得y= ，所以此时P
点有1个；
综上所述，满足条件的P点有6个．
故选D．
点评：
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，
k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即
xy=k．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2015•宿迁）某市今年参加中考的学生大约为45000人，将数45000用
科学记数法可以表示为 4.5×10 4 ．
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n
是负数．
解答：解：将45000用科学记数法表示为4.5×104．
故答案为：4.5×104．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（3分）（2015•宿迁）关于x的不等式组 的解集为1＜x＜3，则a的值
为 4 ．
考点：解一元一次不等式组．
分析：求出不等式组的解集，根据已知得出a﹣1=3，从而求出a的值．
解答：
解：
∵解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＜a﹣1，
∵不等式组 的解集为1＜x＜3，
∴a﹣1=3，
∴a=4
故答案为：4．
点评：本题考查了一元一次不等式组，解一元一次方程的应用，关键是能求出a﹣
1=3．11．（3分）（2015•宿迁）因式分解：x3﹣4x= x （ x+2 ）（ x﹣2 ） ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
分析：首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
解答：解：x3﹣4x
=x（x2﹣4）
=x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
点评：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式
是解题关键．
12．（3分）（2015•宿迁）方程 ﹣ =0的解是 x=6 ．
考点：解分式方程．
专题：计算题．
分析：先去分母，然后求出整式方程的解，继而代入检验即可得出方程的根．
解答：解：去分母得：3（x﹣2）﹣2x=0，
去括号得：3x﹣6﹣2x=0，
整理得：x=6，
经检验得x=6是方程的根．
故答案为：x=6．
点评：此题考查了解分式方程的知识，注意分式方程要化为整式方程求解，求得
结果后一定要检验．
13．（3分）（2015•宿迁）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，
则∠BOD= 100 °．考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质．
专题：计算题．
分析：先根据圆内接四边形的性质得到∠A=180°﹣∠C=50°，然后根据圆周角定理
求∠BOD．
解答：解：∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°﹣130°=50°，
∴∠BOD=2∠A=100°．
故答案为100．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是
直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．
14．（3分）（2015•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，
AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为 5 ．
考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
分析：已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位
线，则EF应等于AB的一半．
解答：解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，
∴CD= AB，
又∵EF是△ABC的中位线，
∴AB=2CD=2×5=10cm，
∴EF= ×10=5cm．
故答案为：5．
点评：此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，
用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半．
15．（3分）（2015•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线
y= x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长
的最小值为 ．
考点：一次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短．
分析：认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、
OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案．
解答：解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°，
当PM⊥AB时，PM最短，
因为直线y= x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，
可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3），
在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB= =5，
∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7，
∴△PBM∽△ABO，∴ = ，
即： ，
所以可得：PM= ．
点评：本题主要考查了垂线段最短，以及三角形相似的性质与判定等知识点，是
综合性比较强的题目，注意认真总结．
16．（3分）（2015•宿迁）当x=m或x=n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，则
x=m+n时，代数式x2﹣2x+3的值为 3 ．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
分析：设y=x2﹣2x+3由当x=m或x=n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，得到
抛物线的对称轴等于 =﹣ ，求得m+n=2，再把m+n=2代入即可求得
结果．
解答：解：设y=x2﹣2x+3，
∵当x=m或x=n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，
∴ =﹣ ，
∴m+n=2，
∴当x=m+n时，
即x=2时，x2﹣2x+3=（2）2﹣2×（2）+3=3，
故答案为：3．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记抛物线的对称轴公式是解
题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共72分，解答时应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤）
17．（6分）（2015•宿迁）计算：cos60°﹣2﹣1+ ﹣（π﹣3）0．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．
分析：原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用负整数指数幂法则
计算，第三项利用二次根式性质化简，最后一项利用零指数幂法则计算即
可得到结果．
解答：
解：原式= ﹣ +2﹣1
=1．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）（2015•宿迁）（1）解方程：x2+2x=3；
（2）解方程组： ．
考点：解一元二次方程-因式分解法；解二元一次方程组．
分析：（1）先移项，然后利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解，然后解方
程；
（2）利用“加减消元法”进行解答．
解答：解：（1）由原方程，得
x2+2x﹣3=0，
整理，得
（x+3）（x﹣1）=0，
则x+3=0或x﹣1=0，
解得x =﹣3，x =1；
1 2
（2） ，
由①×2+②，得
5x=5，
解得x=1，
将其代入①，解得y=﹣1．
故原方程组的解集是： ．
点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法、解一元二次方程．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②
将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到
两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的
解．
19．（6分）（2015•宿迁）某校为了了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从
该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组
（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并
依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 50 ，并补全频数分布直方图；
（2）C组学生的频率为 0.32 ，在扇形统计图中D组的圆心角是 72 度；
（3）请你估计该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名？
考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析：（1）根据A组的百分比和频数得出样本容量，并计算出B组的频数补全频
数分布直方图即可；
（2）由图表得出C组学生的频率，并计算出D组的圆心角即可；
（3）根据样本估计总体即可．
解答：解：（1）这次抽样调查的样本容量是4÷8%=50，B组的频数=50﹣4﹣16﹣10
﹣8=12，
补全频数分布直方图，如图：（2）C组学生的频率是0.32；D组的圆心角= ；
（3）样本中体重超过60kg的学生是10+8=18人，
该校初三年级体重超过60kg的学生= 人，
故答案为：（1）50；（2）0.32；72．
点评：此题考查频数分布直方图，关键是根据频数分布直方图得出信息进行计
算．
20．（6分）（2015•宿迁）一只不透明的袋子中装有1个白球、1个蓝球和2个红球，
这些球除颜色外都相同．
（1）从袋中随机摸出1个球，摸出红球的概率为 ；
（2）从袋中随机摸出1个球（不放回）后，再从袋中余下的3个球中随机摸出1个
球．求两次摸到的球颜色不相同的概率．
考点：列表法与树状图法．
分析：（1）直接利用概率公式求出摸出红球的概率；
（2）利用树状图得出所有符合题意的情况，进而理概率公式求出即可．
解答：
解：（1）从袋中随机摸出1个球，摸出红球的概率为： = ；
故答案为： ；
（2）如图所示：
，所有的可能有12种，符合题意的有10种，故两次摸到的球颜色不相同的
概率为： = ．
点评：此题主要考查了树状图法求概率，根据题意利用树状图得出所有情况是解
题关键．
21．（6分）（2015•宿迁）如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
考点：等腰三角形的性质；平行线的性质．
专题：证明题．
分析：首先根据AB=AC=AD，可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；
然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据
∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D．
解答：证明：∵AB=AC=AD，
∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD+∠D，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠D，
∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，
又∵∠C=∠ABC，
∴∠C=2∠D．
点评：（1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应
用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②
等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高相互重合．
（2）此题还考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要
明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两
直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内
角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
22．（6分）（2015•宿迁）如图，观测点A、旗杆DE的底端D、某楼房CB的底端C
三点在一条直线上，从点A处测得楼顶端B的仰角为22°，此时点E恰好在AB
上，从点D处测得楼顶端B的仰角为38.5°．已知旗杆DE的高度为12米，试求楼
房CB的高度．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，
cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：应用题．
分析：由ED与BC都和AC垂直，得到ED与BC平行，得到三角形AED与三角
形ABC相似，由相似得比例，在直角三角形AED中，利用锐角三角函数定
义求出AD的长，在直角三角形BDC中，利用锐角三角函数定义求出BC
的长即可．
解答：解：∵ED⊥AC，BC⊥AC，
∴ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴ = ，
在Rt△AED中，DE=12米，∠A=22°，
∴tan22°= ，即AD= =30米，
在Rt△BDC中，tan∠BDC= ，即tan38.5°= =0.8①，
∵tan22°= = =0.4②，
联立①②得：BC=24米．
点评：此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，涉及的知识有：相似三
角形的判定与性质，锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解
本题的关键．23．（8分）（2015•宿迁）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E
是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
考点：平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．
分析：（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错
角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根
据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形
是平行四边形证明即可；
（2）分①BC=BD时，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的
面积公式列式计算即可得解；②BC=CD时，过点C作CG⊥AF于G，判断
出四边形AGCB是矩形，再根据矩形的对边相等可得AG=BC=3，然后求出
DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四边形的面积列式计算
即可得解；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到
BC=2AD=2，矛盾．
解答：（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE=∠DFE，
在△BEC与△FED中，
，
∴△BEC≌△FED，
∴BE=FE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE=DE，∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）①BC=BD=3时，由勾股定理得，AB= = =2 ，
所以，四边形BDFC的面积=3×2 =6 ；
②BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，
所以，AG=BC=3，
所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，
由勾股定理得，CG= = = ，
所以，四边形BDFC的面积=3× =3 ；
③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛
盾，此时不成了；
综上所述，四边形BDFC的面积是6 或3 ．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的
判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨
论．
24．（8分）（2015•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），
反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A，动直线x=（t 0＜t＜8）与反比例函数的图
象交于点M，与直线AB交于点N．
（1）求k的值；
（2）求△BMN面积的最大值；
（3）若MA⊥AB，求t的值．考点：反比例函数综合题．
分析：
（1）把点A坐标代入y= （x＞0），即可求出k的值；
（2）先求出直线AB的解析式，设M（t，），N（t，t﹣3），则MN= ﹣ t+3，
由三角形的面积公式得出△BMN的面积是t的二次函数，即可得出面积的
最大值；
（3）求出直线AM的解析式，由反比例函数解析式和直线AM的解析式组
成方程组，解方程组求出M的坐标，即可得出结果．
解答：
解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数y= （x＞0）得：
k=1×8=8，y= ，
∴k=8；
（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
根据题意得： ，
解得：k= ，b=﹣3，
∴直线AB的解析式为：y= x﹣3；
设M（t， ），N（t， t﹣3），
则MN= ﹣ t+3，
∴△BMN的面积S= （ ﹣ t+3）t=﹣ t2+ t+4=﹣ （t﹣3）2+ ，
∴△BMN的面积S是t的二次函数，∵﹣ ＜0，
∴S有最大值，
当t=3时，△BMN的面积的最大值为 ；
（3）∵MA⊥AB，
∴设直线MA的解析式为：y=﹣2x+c，
把点A（8，1）代入得：c=17，
∴直线AM的解析式为：y=﹣2x+17，
解方程组 得： 或 （舍去），
∴M的坐标为（ ，16），
∴t= ．
点评：本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求反比例函数和一次函
数的解析式、二次函数的最值问题、垂线的性质等知识；本题难度较大，综
合性强，特别是（3）中，需要确定一次函数的解析式，由反比例函数解析式
和直线AM的解析式组成方程组，解方程组才能得出结果．
25．（10分）（2015•宿迁）已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD
交于点E．
（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；
（2）如图2，若 = ，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；
（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．考点：圆的综合题．
分析：（1）根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，从而证得三角形相似，于是得
到结论；
（2）如图2，连接CD，OB交AC于点F由B是弧AC的中点得到
∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．证得△CBF∽△ABD．即可得到结
论；
（3）如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF得到AF为⊙O的直径于
是得到∠ADF=90°，过O作OH⊥AD于H，根据三角形的中位线定理得到
DF=2OH=4，通过△ABE∽△ADF，得到1=∠2，于是结论可得．
解答：（1）证明：∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，
∴△AED∽△BEC，
∴ ，
∴EA•EC=EB•ED；
（2）证明：如图2，连接CD，OB交AC于点F
∵B是弧AC的中点，
∴∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．
又∵AD为⊙O直径，
∴∠ABC=90°，又∠CFB=90°．
∴△CBF∽△ABD．
∴ ，故CF•AD=BD•BC．
∴AC•AD=2BD•CD；
（3）解：如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF，
∴AF为⊙O的直径，
∴∠ADF=90°，
过O作OH⊥AD于H，
∴AH=DH，OH∥DF，
∵AO=OF，
∴DF=2OH=4，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=∠ADF=90°，∵∠ABD=∠F，
∴△ABE∽△ADF，
∴∠1=∠2，
∴ ，
∴BC=DF=4．
点评：本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中
位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
26．（10分）（2015•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD和正方形
DEFG的边长分别为2a，2b，点A，D，G在y轴上，坐标原点O为AD的中点，抛
物线y=mx2过C，F两点，连接FD并延长交抛物线于点M．
（1）若a=1，求m和b的值；
（2）求 的值；
（3）判断以FM为直径的圆与AB所在直线的位置关系，并说明理由．考点：二次函数综合题．
分析：（1）由a=1，根据正方形的性质及已知条件得出C（2，1）．将C点坐标代入
y=mx2，求出m= ，则抛物线解析式为y= x2，再将F（2b，2b+1）代入y=
x2，即可求出b的值；
（2）由正方形ABCD的边长为2a，坐标原点O为AD的中点，得出C（2a，
a）．将C点坐标代入y=mx2，求出m= ，则抛物线解析式为y= x2，再将F
（2b，2b+a）代入y= x2，整理得出方程b2﹣2ab﹣a2=0，把a看作常数，利用
求根公式得出b=（1± ）a（负值舍去），那么 =1+ ；
（3）先利用待定系数法求出直线FD的解析式为y=x+a．再求出M点坐标
为（2a﹣2 a，3a﹣2 a）．又F（2a+2 a，3a+2 a），利用中点坐标公式
得到以FM为直径的圆的圆心O′的坐标为（2a，3a），再求出O′到直线AB
（y=﹣a）的距离d的值，以FM为直径的圆的半径r 的值，由d=r，根据直线
与圆的位置关系可得以FM为直径的圆与AB所在直线相切．
解答：解：（1）∵a=1，
∴正方形ABCD的边长为2，
∵坐标原点O为AD的中点，
∴C（2，1）．
∵抛物线y=mx2过C点，
∴1=4m，解得m= ，
∴抛物线解析式为y= x2，将F（2b，2b+1）代入y= x2，
得2b+1= ×（2b）2，b=1± （负值舍去）．
故m= ，b=1+ ；
（2）∵正方形ABCD的边长为2a，坐标原点O为AD的中点，
∴C（2a，a）．
∵抛物线y=mx2过C点，
∴a=m•4a2，解得m= ，
∴抛物线解析式为y= x2，
将F（2b，2b+a）代入y= x2，
得2b+a= ×（2b）2，
整理得b2﹣2ab﹣a2=0，
解得b=（1± ）a（负值舍去），
∴ =1+ ；
（3）以FM为直径的圆与AB所在直线相切．理由如下：
∵D（0，a），
∴可设直线FD的解析式为y=kx+a，
∵F（2b，2b+a），
∴2b+a=k•2b+a，解得k=1，
∴直线FD的解析式为y=x+a．
将y=x+a代入y= x2，
得x+a= x2，解得x=2a±2 a（正值舍去），
∴M点坐标为（2a﹣2 a，3a﹣2 a）．
∵F（2b，2b+a），b=（1+ ）a，
∴F（2a+2 a，3a+2 a），
∴以FM为直径的圆的圆心O′的坐标为（2a，3a），∴O′到直线AB（y=﹣a）的距离d=3a﹣（﹣a）=4a，
∵以FM为直径的圆的半径r=O′F=
=4a，
∴d=r，
∴以FM为直径的圆与AB所在直线相切．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到正方形的性质，待定系数法求二
次函数、一次函数的解析式，一元二次方程的求根公式，直线与抛物线交点
坐标的求法，直线与圆的位置关系．综合性较强，难度适中．正确求出抛物
线的解析式是解题的关键．
