文档内容
宿迁市 2022 年初中学业水平考试数学
答题注意事项：
1．本试卷共6页，考试时间为120分钟．
2．答案全部写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，请用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，
在对应题号的答题区域书写答案，注意不要答错位置，也不要超界．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共8小题，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符
合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. -2的绝对值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．
【详解】在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，
故选：A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由合并同类项可判断A，由同底数幂的乘法可判断B，由积的乘方运算可判断
C，由幂的乘方运算可判断D，从而可得答案．
【详解】解： ， 故A不符合题意；
， 故B不符合题意；
， 故C符合题意；
， 故D不符合题意；
故选：C
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，掌
握以上基础运算是解本题的关键．
3. 如图，AB∥ED，若∠1=70°，则∠2的度数是（ ）
A. 70° B. 80° C. 100° D. 110°
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行线的性质，对顶角的性质计算即可．
【详解】解：∵AB∥ED，
∴∠3+∠2=180°，
∵∠3=∠1，∠1=70°，
∴∠2=180°-∠3=180°-∠1=180°-70°=110°，
故选：D．
．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，对顶角的性质，解题的关键熟练掌握平行线的性质，
找到互补的两个角．
4. 下列展开图中，是正方体展开图的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据正方体的表面展开图共有11种情况，A，D是“田”型，对折不能折成正方
体，B是“凹”型，不能围成正方体，由此可进行选择．
【详解】解：根据正方体展开图特点可得C答案可以围成正方体，
故选：C．
【点睛】此题考查了正方体的平面展开图．关键是掌握正方体展开图特点．
5. 若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A. 8cm B. 13cm C. 8cm或13cm D. 11cm
或13cm
【答案】D
【解析】
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以
要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当3是腰时，
∵3＋3＞5，
∴3，3，5能组成三角形，
此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），
当5是腰时，
∵3＋5＞5，
5，5，3能够组成三角形，
此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），
则三角形的周长为11cm或13cm．
故选：D
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一
定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点
非常重要，也是解题的关键．
6. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七
客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人
无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，
则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出
方程组即可．
【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键．
7. 如果 ，那么下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、由x＜y可得： ，故选项成立；
B、由x＜y可得： ，故选项不成立；
C、由x＜y可得： ，故选项不成立；
D、由x＜y可得： ，故选项不成立；
故选A.
【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不
等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
8. 如图，点A在反比例函数 的图像上，以 为一边作等腰直角三角形
，其中∠ =90°， ，则线段 长的最小值是（ ）
A. 1 B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】如图，过 作 轴，交y轴于M，过 作 轴，垂足为D，交MA
学科网（北京）股份有限公司于H，则 证明 可得
设 则 可得
再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案．
【详解】解：如图，过 作 轴，交y轴于M，过 作 轴，垂足为D，交
MA于H，则
设 则
而当 时，则
∴ 的最小值是8，
∴ 的最小值是
故选：C．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的
性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“ 的变形公式”是
解本题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题
卡相应位置上)
9. 分解因式：3a2﹣12=___．
【答案】3（a+2）（a﹣2）
【解析】
【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，
则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分
解因式．因此，
3a2﹣12=3（a2﹣4）=3（a+2）（a﹣2）．
10. 2022年5月，国家林业和草原局湿地管理司在第二季度侧行发布会上表示，到“十四
五”末，我国力争将湿地保护率提高到55%，其中修复红树林146200亩，请将146200用
科学记数法表示是____．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法就是把绝对值大于1的数表示成 的形式，
其中n就等于原数的位数减1．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，牢记科学记数法的定义并准确求出 中的n是
做出本题的关键．
11. 已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是___．
【答案】5
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据众数的定义求解即可．
【详解】解：这组数据中5出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数是5，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．熟练掌握众数的
定义是解题的关键．
12. 满足 的最大整数 是_______．
【答案】3
【解析】
【分析】先判断 从而可得答案．
【详解】解：
满足 的最大整数 是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键．
13. 若关于 的一元二次方程 有实数根，则实数k的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由关于 的一元二次方程 有实数根，可得 再解不等式
可得答案．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ ， 即
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当
Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
14. 将半径为6cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径
为______cm．
【答案】2
【解析】
【分析】根据弧长公式、圆锥的性质分析，即可得到答案．
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：根据题意，得圆锥底面周长 cm，
∴这个圆锥底面圆的半径 cm，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了扇形、圆锥的知识；解题的关键是熟练掌握弧长公式、圆锥的性质，
从而完成求解．
15. 按规律排列的单项式： ， ， ， ， ，…，则第20个单项式是_____．
【答案】
【解析】
【分析】观察一列单项式发现偶数个单项式的系数为： 奇数个单项式的系数为： 而
单项式的指数是奇数，从而可得答案．
【详解】解： ， ， ， ， ，…，
由偶数个单项式的系数为： 所以第20个单项式的系数为
第1个指数为：
第2个指数为：
第3个指数为：
指数为
所以第20个单项式是：
故答案为：
【点睛】本题考查的是单项式的系数与次数的含义，数字的规律探究，掌握“从具体到一
般的探究方法”是解本题的关键．
16. 甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；
乙：“函数图像经过点(0，2)”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是
____．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意的要求，结合常见的函数，写出函数解析式即可，最好找有代表性的、
特殊的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等．
【详解】解：根据题意，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；
可设函数为：
又满足乙：“函数图像经过点(0，2)”，
学科网（北京）股份有限公司则函数关系式为 ，
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】本题考查学生对函数图象的掌握程度与灵活运用的能力，属于开放性题．
17. 如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直
线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，
由正六边形是轴对称图形可得： 由正六边形是中心对称图形可得：
可得直线MH平分正六边形的面积，O为正
六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于
P，
由正六边形是轴对称图形可得：
由正六边形是中心对称图形可得：
∴直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，
由正六边形的性质可得： 为等边三角形， 而
则
故答案为：
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正六边形既是轴对称图形也是中心对
称图形”是解本题的关键．
18. 如图，在矩形 中， =6， =8，点 、 分别是边 、 的中点，
某一时刻，动点 从点 出发，沿 方向以每秒2个单位长度的速度向点 匀速运动；
同时，动点 从点 出发，沿 方向以每秒1个单位长度的速度向点 匀速运动，其
中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接 ，过点 作 的垂线，垂足为
．在这一运动过程中，点 所经过的路径长是_____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，且
点H在以BQ为直径的 上运动，运动路径长为 的长，求出BQ及
的圆角，运用弧长公式进行计算即可得到结果．
【详解】解：∵点 、 分别是边 、 的中点，
连接MN，则四边形ABNM是矩形，
学科网（北京）股份有限公司∴MN=AB=6，AM=BN= AD==4，
根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴
∴
∴
当点E与点A重合时，则NF= ，
∴BF=BN+NF=4+2=6，
∴AB=BF=6
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∵BP⊥AF，
∴
由题意得，点H在以BQ为直径的 上运动，运动路径长为 长，取BQ中点O，连接
PO，NO，
∴∠PON=90°，
又
∴ ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∴ 的长为 =
故答案为：
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及弧长等
知识，判断出点H运动的路径长为 长是解答本题的关键．
三、简答题（本大题共10小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必
要的文字说明，证明过程或演算步骤)
19. 计算： 4 °．
【答案】2
【解析】
【分析】先计算负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，再计算乘法，再
合并即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，负整数指数幂的含义，二次根式的化
简，掌握“运算基础运算”是解本题的关键．
20. 解方程： ．
【答案】x＝﹣1
【解析】
【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检
验即可．
【详解】解： ，
2x＝x﹣2+1，
x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是原方程的解，
则原方程的解是x＝﹣1．
【点睛】本题考查解分式方程，得出方程的解之后一定要验根．
学科网（北京）股份有限公司21. 如图，在平行四边形 中，点 、 分别是 、 的中点．求证：
．
【答案】见详解
【解析】
【分析】根据“平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质”证得四边形AECF为平行四
边形，然后由“平行四边形的对边相等”的性质证得结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC；
又∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE∥CF，AE=CF= AD，
∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），
∴AF=CE（平行四边形的对边相等）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时
要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
22. 为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽样调查了该校 名九年级
学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如下尚不完整
的两幅统计图．根据图表信息，解答下列问题：
（1） ， ；
（2）补全条形统计图；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实
践”活动4天及以上的人数．
【答案】（1）200，30
（2）补全图形见解析 （3）1600人
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用活动天数为2天的人数占比 ，可得总人数，再扇形图的信息可得n
的值；
（2）先求解活动3天的人数，再补全图形即可；
（3）由2000乘以活动4天及以上部分所占的百分比即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可得： （人），
故答案为：200，30
【小问2详解】
活动3天的人数为： （人），
补全图形如下：
【小问3详解】
该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的人数为：
（人）．
答：估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的有1600
人．
【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，补全条形图，利用样本估计总体，
理解题意，获取两个图中相关联的信息是解本题的关键．
23. 从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的
概率．
（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ；
（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用例举法例举所有 等的可能的情况数，再利用概率公式进行计算即可；
（2）先列表得到所有的等可能的情况数以及符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算
即可．
学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
解：由甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、
丁三种等可能，符合条件的情况数有1种，
∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是
【小问2详解】
列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲、乙 甲、丙 甲、丁
乙 乙、甲 乙、丙 乙、丁
丙 丙、甲 丙、乙 丙、丁
丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙
所有所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种，
所以一定有乙的概率为：
【点睛】本题考查的是利用例举法，列表的方法求解简单随机事件的概率，概率公式的应
用，掌握“例举法与列表法求解概率”是解本题的关键．
24. 如图，某学习小组在教学楼 的顶部观测信号塔 底部的俯角为30°，信号塔顶部
的仰角为45°．已知教学楼 的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保冒根号）．
【答案】（20 ＋20）m．
【解析】
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，则四边形ABDE是矩形，DE＝AB＝20m，在Rt ADE
中，求出AE的长，在Rt ACE中，∠AEC＝90°，求出CE的长，即可得到CD的长，得到
△
△
学科网（北京）股份有限公司信号塔的高度．
【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，
由题意可知，∠B＝∠BDE＝∠AED＝90°，
∴四边形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝20m，
在Rt ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，DE＝20m，
△
∵tan∠DAE＝ ，
∴ m，
在Rt ACE中，∠AEC＝90°，∠CAE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
△
∴ m，
∴CD＝CE＋DE＝（20 ＋20）m，
∴信号塔的高度为（20 ＋20）m．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、矩形的判定和性质、等腰直角三
角形的判定和性质、特殊角的锐角三角函数等知识，借助仰角俯角构造直角三角形与矩形
是解题的关键．
25. 如图，在 中，∠ =45°， ，以 为直径的⊙ 与边 交于
点 ．
（1）判断直线 与⊙ 的位置关系，并说明理由；
学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明 从而可得结
论；
（2）如图，记BC与 的交点为M，连接OM，先证明
再利用阴影部分的面积等于三角形ABC的面积减去三角形BOM的面积，
减去扇形AOM的面积即可．
【小问1详解】
证明： ∠ =45°， ，
即
在 上，
为 的切线．
【小问2详解】
如图，记BC与 的交点为M，连接OM，
，
，
，
， ，
，
．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，切线的判定，扇形面积的计算，掌握“切线的
判定方法与割补法求解不规则图形面积的方法”是解本题的关键．
26. 某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市
的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按
标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．
（1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 元；乙超市的
购物金额为 元；
（2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
【答案】（1）300，240
（2）当 时，选择乙超市更优惠，当 时，两家超市的优惠一样，当
时，选择乙超市更优惠，当 时，选择甲超市更优惠．
【解析】
【分析】（1）根据甲、乙两家超市的优惠方案分别进行计算即可；
（2）设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元， 可得当 时，
显然此时选择乙超市更优惠，当 时
再分三种情况讨论即可．
【小问1详解】
解： 甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售
卖；
∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 （元），
∵乙超市全部按标价的8折售卖，
∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为
（元），
故答案 为：
【小问2详解】
设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元，又当10x=400时，可得
当 时，
显然此时选择乙超市更优惠，
当 时，
当 时，则 解得：
∴当 时，两家超市的优惠一样，
当 时，则 解得：
学科网（北京）股份有限公司∴当 时，选择乙超市更优惠，
当 时，则 解得：
∴当 时，选择甲超市更优惠．
【点睛】本题考查的是列代数式，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，清
晰的分类讨论是解本题的关键．
27. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点 、
、 、 、 均为格点．
【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互
相垂直的线段 、 ，相交于点 并给出部分说理过程，请你补充完整：
解：在网格中取格点 ，构建两个直角三角形，分别是 ABC和 CDE．
△ △
在Rt ABC中，
△
在Rt CDE中， ，
所以△ ．
所以∠ =∠ ．
因为∠ ∠ =∠ =90°，
所以∠ +∠ =90°，
所以∠ =90°，
即 ⊥ ．
（1）【拓展应用】如图②是以格点 为圆心， 为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，
在 上找出一点P，使 = ，写出作法，并给出证明：
（2）【拓展应用】如图③是以格点 为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦 上找
出一点P．使 = · ，写出作法，不用证明．
【答案】（1） ；见解析
（2）见解析
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）取BM的中点Q，作射线OQ交 于点P，点P即为所求作，利用全等三
角形的判定和性质证得MO=BO，再利用等腰三角形的性质即可证明；
（2）取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作．利用正切函数证得
∠FMI=∠MNA，利用圆周角定理证得∠B=∠MNA，再推出 PAM∽△MAB，即可证明结论．
【小问1详解】
△
解：【操作探究】在网格中取格点 ，构建两个直角三角形，分别是 ABC和 CDE．
△ △
在Rt ABC中，
△
在Rt CDE中， ，
△
所以 ．
所以∠ =∠ ．
因为∠ ∠ =∠ =90°，
所以∠ +∠ =90°，
所以∠ =90°，
即 ⊥ ．
故答案为： ；
取BM的中点Q，作射线OQ交 于点P，点P即为所求作；
证明：在 OGM和 OHB中，
OG=OH=1，∠OGM=∠OHB=90°，MG=BH=3，
△ △
∴ OGM≌ OHB，
∴MO=BO，
△ △
∵点Q是BM的中点，
∴OQ平分∠MOB，即∠POM=∠POB，
∴ = ；
【小问2详解】
解：取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作；
学科网（北京）股份有限公司证明：作直径AN，连接BM、MN，
在Rt FMI中， ，
△
在Rt MNA中， ，
△
所以 ．
∴∠FMI=∠MNA，
∵∠B=∠MNA，
∴∠AMP=∠B，
∵∠PAM=∠MAB，
∴ PAM∽△MAB，
△
∴ ，
∴ = · ．
【点睛】本题考查作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角
形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
28. 如图，二次函数 与 轴交于 (0，0)， (4，0)两点，顶点为 ，
连接 、 ，若点 是线段 上一动点，连接 ，将 沿 折叠后，点
落在点 的位置，线段 与 轴交于点 ，且点 与 、 点不重合．
（1）求二次函数的表达式；
学科网（北京）股份有限公司（2）①求证： ；
②求 ；
（3）当 时，求直线 与二次函数的交点横坐标．
【答案】（1）
（2）①证明见解析，②
（3） 或 ．
【解析】
【分析】（1）二次函数 与 轴交于 (0，0)，A(4，0)两点，代入求得
b，c的值，即可得到二次函数的表达式；
（2）①由 ＝ ，得到顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线和对
称轴为直线x＝2，由抛物线的对称性可知OC＝AC，得到∠CAB＝∠COD，由折叠的性质
得到 ABC≌△ BC，得∠CAB＝∠ ，AB＝ B，进一步得到∠COD＝∠ ，由对顶
角相等得∠ODC＝∠BD ，证得结论；
△
②由 ，得到 ，设点D的坐标为（d，0），由两点间
距离公式得DC＝ ，在0＜d＜4的范围内，当d＝2时，
DC有最小值为 ，得到 的最小值，进一步得到 的最小值；
（3）由 和 得到 ，求得 B＝AB＝
1，进一步得到点B的坐标是（3，0），设直线BC的解析式为y＝ x＋ ，把点B（3，
0），C（2，﹣2）代人求出直线BC的解析式为y＝2x－6，设点 的坐标是（p，q），则
线段 A的中点为（ ， ），由折叠的性质知点（ ， ）在直线BC上，求
得q＝2p－4，由两点间距离公式得 B＝ ，解得p＝2或p＝ ，求得点 的坐标，设直
线 的解析式为y＝ x＋ ，由待定系数法求得直线 的解析式为y＝ x＋4，联
学科网（北京）股份有限公司立直线 和抛物线 ，解方程组即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵二次函数 与 轴交于 (0，0)， (4，0)两点，
∴代入 (0，0)， (4，0)得， ，
解得： ，
∴二次函数的表达式为 ；
【小问2详解】
①证明：∵ ＝ ，
∴顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线 的对称轴为直线x＝2，
∵二次函数 与 轴交于 (0，0)， (4，0)两点，
∴由抛物线的对称性可知OC＝AC，
∴∠CAB＝∠COD，
∵ 沿 折叠后，点 落在点 的位置，线段 与 轴交于点 ，
∴ △ABC≌△ BC，
∴∠CAB＝∠ ，AB＝ B，
∴∠COD＝∠ ，
∵∠ODC＝∠BD ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
设点D的坐标为（d，0），
由两点间距离公式得DC＝ ，
∵点 与 、 点不重合，
∴0＜d＜4，
对于 ＝ 来说，
学科网（北京）股份有限公司∵ a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，在顶点处取最小值，当d＝2时， 的最小值是4，
∴当d＝2时，DC有最小值为 ，
由两点间距离公式得OC＝ ，
∴ 有最小值为 ，
∴ 的最小值为 ；
【小问3详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵OC＝2 ，
∴ B＝AB＝1，
∴点B的坐标是（3，0），
设直线BC的解析式为y＝ x＋ ，
把点B（3，0），C（2，﹣2）代人得 ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝2x－6，
设点 的坐标是（p，q），
∴线段 A的中点为（ ， ），
由折叠的性质知点（ ， ）在直线BC上，
∴ ＝2× －6，
解得q＝2p－4，
学科网（北京）股份有限公司由两点间距离公式得 B＝ ，
整理得 ＝1，
解得p＝2或p＝ ，
当p＝2时，q＝2p－4＝0，此时点 （2，0），很显然不符合题意，
当p＝ 时，q＝2p－4＝ ，此时点 （ ， ），符合题意，
设直线 的解析式为y＝ x＋ ，
把点B（3，0）， （ ， ）代人得， ，
解得 ，
∴直线 的解析式为y＝ x＋4，
联立直线 和抛物线 得到， ，
解得 ， ，
∴直线 与二次函数的交点横坐标为 或 ．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数求函数的表达式、两点间距离公式、
相似三角形的判定和性质、中点坐标公式、一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性
质、图形的折叠等知识，难度较大，属于中考压轴题，数形结合是解决此问题的关键．
学科网（北京）股份有限公司
