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2015年湖南省娄底市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．（3分）2015的倒数为（ ）
A．﹣2015 B．2015 C．﹣ D．
2．（3分）若|a﹣1|＝a﹣1，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a≤1 C．a＜1 D．a＞1
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．5a2﹣3a2＝2a
C．（a3）3＝a9 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
4．（3分）一元一次不等式组 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列命题中错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．菱形的对角线互相垂直
C．同旁内角互补
D．矩形的对角线相等
6．（3分）某中学女子足球队15名队员的年龄情况如下表：
年龄（岁） 13 14 15 16
队员（人） 2 3 6 4
这支球队队员的年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．14，15 B．14，14.5 C．15，15 D．15，14
7．（3分）已知a2+2a＝1，则代数式2a2+4a﹣1的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
8．（3分）如图，正三棱柱的主视图为（ ）A． B． C． D．
9．（3分）反比例函数y＝﹣ 的图象上有两点P （x ，y ），P （x ，y ），若x ＜0＜
1 1 1 2 2 2 1
x ，则下列结论正确的是（ ）
2
A．y ＜y ＜0 B．y ＜0＜y C．y ＞y ＞0 D．y ＞0＞y
1 2 1 2 1 2 1 2
10．（3分）如图，挂在弹簧秤上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧秤匀速上移，直至
铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧秤的读数 F（kg）与时间t（s）的函
数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）我国高速公路发展迅速，据报道，到目前为止，全国高速公路总里程约为
10.8万千米，10.8万用科学记数法表示为 ．12．（3分）从﹣1、0、 、0.3、 、 这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的概率
π
为 ．
13．（3分）如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条
件是 ．（只需写一个，不添加辅助线）
14．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是
．
15．（3分）下列数据是按一定规律排列的，则第7行的第一个数为 ．
16．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
17．（3分）如图，在 O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD＝
度． ⊙
18．（3分）一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为（0，1），直角顶点C的
坐标为（﹣3，0），∠B＝30°，则点B的坐标为 ．
三、解答题（本大题共2个小题，每小题6分，满分12分）
19．（6分）计算：（ ﹣1.414）0+（ ）﹣1﹣ +2cos30°．20．（6分）先化简，再求值： • + ，其中x是从﹣1、0、1、2中选取
的一个合适的数．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
21．（8分）今年5月，某校为了了解九年级学生的体育备考情况，随机抽取了部分学生
进行模拟测试，现将学生按模拟测试成绩 m 分成 A、B、C、D 四等（A 等：
90≤m≤100，B等：80≤m＜90，C等：60≤m＜80，D等：m＜60），并绘制出了如图
的两幅不完整的统计图：
（1）本次模拟测试共抽取了多少个学生？
（2）将图乙中条形统计图补充完整；
（3）如果该校今年有九年级学生1000人，试估计其中D等学生的人数．
22．（8分）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限
速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C
测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200
米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
23．（9分）假如娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为 0～1.5千米，超
过1.5千米的部分按每千米另收费．
小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米，付车费10.5元．”
小李说：“我乘出租车从市政府到娄底火车站走了6.5千米，付车费14.5元．”
问：（1）出租车的起步价是多少元？超过1.5千米后每千米收费多少元？（2）小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费多少元？
24．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作 A，交
AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交 A于点F，连⊙接AF，
BF，DF． ⊙
（1）求证：△ABC≌△ABF；
（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．
六、解答题（本大题共2道小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接
AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，
延长QC′交BA的延长线于点M．
（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；
（2）当AB＝3，BP＝2PC，求QM的长；
（3）当BP＝m，PC＝n时，求AM的长．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣ 经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于
点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的 A，求 A的半径；
（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点⊙P，连接⊙PB，PC，请问：△PBC的面积是否
存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
