文档内容
2015 年湖南省娄底市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2015•娄底）2015的倒数为（ ）
A． ﹣2015 B． 2015 C． ﹣ D．
2．（3分）（2015•娄底）若|a﹣1|=a﹣1，则a的取值范围是（ ）
A． a≥1 B． a≤1 C． a＜1 D． a＞1
3．（3分）（2015•娄底）下列运算正确的是（ ）
A． a6÷a3=a2 B． 5a2﹣3a2=2a C． （a3）3=a9 D． （a﹣b）2=a2﹣b2
4．（3分）（2015•娄底）一元一次不等式组 的解集在数轴上表示出来，正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2015•娄底）下列命题中错误的是（ ）
A． 平行四边形的对角线互相平分
B． 菱形的对角线互相垂直
C． 同旁内角互补
D． 矩形的对角线相等
6．（3分）（2015•娄底）某中学女子足球队15名队员的年龄情况如下表：
年龄（岁） 13 14 15 16
队员（人） 2 3 6 4
这支球队队员的年龄的众数和中位数分别是（ ）
A． 14，15 B． 14，14.5 C． 15，15 D． 15，14
7．（3分）（2015•娄底）已知a2+2a=1，则代数式2a2+4a﹣1的值为（ ）
A． 0 B． 1 C． ﹣1 D． ﹣2
8．（3分）（2015•娄底）如图，正三棱柱的主视图为（ ）A． B． C． D．
9．（3分）（2015•娄底）反比例函数y=﹣ 的图象上有两点P（x ，y ），P（x ，y ），
1 1 1 2 2 2
若x ＜0＜x ，则下列结论正确的是（ ）
1 2
A． y ＜y ＜0 B． y ＜0＜y C． y ＞y ＞0 D． y ＞0＞y
1 2 1 2 1 2 1 2
10．（3分）（2015•娄底）如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧
称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧称的读数F
（kg）与时间t（s）的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）（2015•娄底）我国高速公路发展迅速，据报道，到目前为止，全国高速
公路总里程约为10.8万千米，10.8万用科学记数法表示为 ．
12．（3分）（2015•娄底）从﹣1、0、 、0.3、π、这六个数中任意抽取一个，抽取到
无理数的概率为 ．13．（3分）（2015•娄底）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条
件，你添加的条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线）
14．（3分）（2015•娄底）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m
的取值范围是 ．
15．（3分）（2015•娄底）下列数据是按一定规律排列的，则第7行的第一个数为
．
16．（3分）（2015•娄底）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边
数为 ．
17．（3分）（2015•娄底）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD=40°，
则∠BAD= 度．
18．（3分）（2015•娄底）一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为（0，
1），直角顶点C的坐标为（﹣3，0），∠B=30°，则点B的坐标为 ．三、解答题（本大题共2个小题，每小题6分，满分12分）
19．（6分）（2015•娄底）计算：（ ﹣1.414）0+（ ）﹣1﹣ +2cos30°．
20．（6分）（2015•娄底）先化简，再求值： • + ，其中x是从﹣
1、0、1、2中选取的一个合适的数．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
21．（8分）（2015•娄底）今年5月，某校为了了解九年级学生的体育备考情况，随
机抽取了部分学生进行模拟测试，现将学生按模拟测试成绩m分成A、B、C、D
四等（A等：90≤m≤100，B等：80≤m＜90，C等：60≤m＜80，D等：m＜60），并绘制
出了如图的两幅不完整的统计图：
（1）本次模拟测试共抽取了多少个学生？
（2）将图乙中条形统计图补充完整；
（3）如果该校今年有九年级学生1000人，试估计其中D等学生的人数．22．（8分）（2015•娄底）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某
直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了
观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知
∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：
≈1.41， ≈1.73）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
23．（9分）（2015•娄底）假如娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程
为0～1.5千米，超过1.5千米的部分按每千米另收费．
小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米，付车费10.5元．”
小李说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了6.5千米，付车费14.5元．”
问：（1）出租车的起步价是多少元？超过1.5千米后每千米收费多少元？
（2）小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费多
少元？24．（9分）（2015•娄底）如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为
△
半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF
交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．
（1）求证：△ABC≌△ABF；
（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．
六、解答题（本大题共2道小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）（2015•娄底）如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不
重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线
对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．
（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；
（2）当AB=3，BP=2PC，求QM的长；
（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．26．（10分）（2015•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx﹣ 经过点A（1，0）和点B（5，0），
与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，求⊙A的半径；
（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB，PC，请问：△PBC的面积是
否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P的坐标；若不存在，请说明
理由．2015 年湖南省娄底市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2015•娄底）2015的倒数为（ ）
A． ﹣2015 B． 2015 C． ﹣ D．
考点： 倒数．
分析： 利用倒数的定义求解即可．
解答： 解：2015的倒数为 ．
故选：D．
点评： 本题主要考查了倒数的定义，解题的关键是熟记倒数的定义．
2．（3分）（2015•娄底）若|a﹣1|=a﹣1，则a的取值范围是（ ）
A． a≥1 B． a≤1 C． a＜1 D． a＞1
考点： 绝对值．
分析： 根据|a|=a时，a≥0，因此|a﹣1|=a﹣1，则a﹣1≥0，即可求得a的取值范围．
解答： 解：因为|a﹣1|=a﹣1，则a﹣1≥0，
解得：a≥1，
故选A
点评： 此题考查绝对值，只要熟知绝对值的性质即可解答．一个正数的绝对值是
它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
3．（3分）（2015•娄底）下列运算正确的是（ ）
A． a6÷a3=a2 B． 5a2﹣3a2=2a C． （a3）3=a9 D． （a﹣b）2=a2﹣b2考点： 同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
专题： 计算题．
分析： A、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；[来源:学
科网]
B、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；
C、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；[来源:Z。xx。
k.Com]
D、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
解答： 解：A、原式=a3，错误；
B、原式=2a2，错误；
C、原式=a9，正确；
D、原式=a2+b2﹣2ab，错误，
故选C．
点评： 此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完
全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（3分）（2015•娄底）一元一次不等式组 的解集在数轴上表示出来，正
确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
专题： 计算题．
分析： 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等
式组的解集，表示在数轴上即可．解答： 解： ，
由①得：x≤1；
由②得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1，
表示在数轴上，如图所示：
，
故选B．
点评： 此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上
表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数
轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式
组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；
“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．（3分）（2015•娄底）下列命题中错误的是（ ）
A． 平行四边形的对角线互相平分
B． 菱形的对角线互相垂直
C． 同旁内角互补
D． 矩形的对角线相等
考点： 命题与定理．
分析： 根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根
据平行线的性质对C进行判断；根据矩形的性质对D进行判断．
解答： 解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项为真命题；
B、菱形的对角线互相垂直，所以B选项为真命题；
C、两直线平行，同旁内角互补，所以C选项为假命题；
D、矩形的对角线相等，所以D选项为真命题．
故选C．点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是
由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一
个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这
样的真命题叫做定理．
6．（3分）（2015•娄底）某中学女子足球队15名队员的年龄情况如下表：
年龄（岁） 13 14 15 16
队员（人） 2 3 6 4
这支球队队员的年龄的众数和中位数分别是（ ）
A． 14，15 B． 14，14.5 C． 15，15 D． 15，14
考点： 众数；中位数．
分析： 根据众数与中位数的意义分别进行解答即可．
解答： 解：15出现了6次，出现的次数最多，则众数是15，
把这组数据从小到大排列，最中间的数是15；
故选C．
点评： 本题考查了众数与中位数的意义，众数是一组数据中出现次数最多的数；
中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中
间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不
把数据按要求重新排列，就会出错．
7．（3分）（2015•娄底）已知a2+2a=1，则代数式2a2+4a﹣1的值为（ ）
A． 0 B． 1 C． ﹣1 D． ﹣2
考点： 代数式求值．
专题： 计算题．
分析： 原式前两项提取变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
解答： 解：∵a2+2a=1，
∴原式=2（a2+2a）﹣1=2﹣1=1，故选B
点评： 此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解
本题的关键．
8．（3分）（2015•娄底）如图，正三棱柱的主视图为（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单几何体的三视图．
分析： 根据正三棱柱的主视图是矩形，主视图中间有竖着的实线，即可解答．
解答： 解：正三棱柱的主视图是矩形，主视图中间有竖着的实线．
故选：B．
点评： 本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体
现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
9．（3分）（2015•娄底）反比例函数y=﹣ 的图象上有两点P（x ，y ），P（x ，y ），
1 1 1 2 2 2
若x ＜0＜x ，则下列结论正确的是（ ）
1 2
A． y ＜y ＜0 B． y ＜0＜y C． y ＞y ＞0 D． y ＞0＞y
1 2 1 2 1 2 1 2
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．分析： 先根据反比例函数y=﹣ 中k=﹣2＜0可判断出此函数图象在二、四象限，
再根据x ＜0＜x ，可判断出A、B两点所在的象限，根据各象限内点的坐标特点
1 2
即可判断出y 与y 的大小关系．
1 2
解答： 解：∵反比例函数y=﹣ 中k=﹣2＜0，
∴此函数图象在二、四象限，
∵x ＜0＜x ，
1 2
∴A（x ，y ）在第二象限；点B（x ，y ）在第四象限，
1 1 2 2
∴y ＞0＞y ，
1 2
故选D．
点评： 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及各象限内点的坐标特点，
先根据k＜0判断出该函数图象所在象限是解答此题的关键．
10．（3分）（2015•娄底）如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧
称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧称的读数F
（kg）与时间t（s）的函数图象大致是（ ）A． B． C． D．
考点： 函数的图象．
分析： 开始一段的弹簧称的读数保持不变，当铁块进入空气中的过程中，弹簧称
的读数逐渐增大，直到全部进入空气，重量保持不变．
解答： 解：根据铁块的一点过程可知，弹簧称的读数由保持不变﹣逐渐增大﹣保
持不变．
故选：A．
点评： 本题考查了函数的概念及其图象．关键是根据弹簧称的读数变化情况得
出函数的图象．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）（2015•娄底）我国高速公路发展迅速，据报道，到目前为止，全国高速
公路总里程约为10.8万千米，10.8万用科学记数法表示为 1.08×1 0 5 ．
考点： 科学记数法—表示较大的数．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的
位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数
解答： 解：10.8万=1.08×105．
故答案为：1.08×105．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（3分）（2015•娄底）从﹣1、0、 、0.3、π、这六个数中任意抽取一个，抽取到
无理数的概率为 ．
考点： 概率公式．
分析： 由从﹣1、0、 、0.3、π、 这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的有2
种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答： 解：∵从﹣1、0、 、0.3、π、这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的有
2种情况，即： 、π；
∴抽取到无理数的概率为： = ．
故答案为： ．
点评： 此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
13．（3分）（2015•娄底）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条
件，你添加的条件是 ∠ ABD= ∠ CBD 或 AD=CD ． ．（只需写一个，不添加辅助
线）
考点： 全等三角形的判定．
专题： 开放型．分析： 由已知AB=BC，及公共边BD=BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了
两个S了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，
②SSS．所以可添∠ABD=∠CBD或AD=CD．
解答： 解：答案不唯一．
①∠ABD=∠CBD．
在△ABD和△CBD中，
∵ ，
∴△ABD≌△CBD（SAS）；
②AD=CD．
在△ABD和△CBD中，
∵ ，
∴△ABD≌△CBD（SSS）．
故答案为：∠ABD=∠CBD或AD=CD．
点评： 本题主要考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用判定进行证明是解
此题的关键．熟记全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS．
14．（3分）（2015•娄底）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m
的取值范围是 m≤ 1 ．
考点： 根的判别式．
专题： 探究型．
分析： 先根据一元二次方程x2+2x+m=0得出a、b、c的值，再根据方程有实数根
列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．解答： 解：由一元二次方程x2+2x+m=0可知a=1，b=2，c=m，
∵方程有实数根，
∴△=22﹣4m≥0，解得m≤1．
故答案为：m≤1．
点评： 本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于m的不等式
是解答此题的关键．
15．（3分）（2015•娄底）下列数据是按一定规律排列的，则第7行的第一个数为
22 ．
考点： 规律型：数字的变化类．
分析： 先找到数的排列规律，求出第n﹣1行结束的时候一共出现的数的个数，
再求第n行的第1个数，即可求出第7行的第1个数．
解答： 解：由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候排了1+2+3+…+n﹣1= n（n
﹣1）个数．
所以第n行的第1个数 n（n﹣1）+1．
所以n=7时，第7行的第1个数为22．
故答案为：22．
点评： 此题主要考查了数字的变化规律，找出数字排列的规律是解决问题的关
键．
16．（3分）（2015•娄底）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边
数为 6 ．考点： 多边形内角与外角．
专题： 计算题．
分析： 利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
解答： 解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，[来源:Zxxk.Com]
720÷180+2=6，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：6．
点评： 本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解
题的关键．
17．（3分）（2015•娄底）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD=40°，
则∠BAD= 5 0 度．
考点： 圆周角定理．
分析： 由在⊙O中，AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得
∠ADB=90°，又由圆周角定理，可求得∠B=∠ACD=40°，继而求得答案．
解答： 解：∵在⊙O中，AB为直径，
∴∠ADB=90°，∵∠B=∠ACD=40°，
∴∠BAD=90°﹣∠B=50°．
故答案为：50．
点评： 此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角
相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角．
18．（3分）（2015•娄底）一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为（0，
1），直角顶点C的坐标为（﹣3，0），∠B=30°，则点B的坐标为 （﹣ 3﹣ ， 3 ）
．
考点： 相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质．
分析： 过点B作BD⊥OD于点D，根据△ABC为直角三角形可证明
△BCD∽△COA，设点B坐标为（x，y），根据相似三角形的性质即可求解．
解答： 解：过点B作BD⊥OD于点D，
∵△ABC为直角三角形，
∴∠BCD+∠CAO=90°，
∴△BCD∽△COA，
∴ = ，设点B坐标为（x，y），
则 = ，
y=﹣3x﹣9，
∴BC= = ，
AC= = ，
∵∠B=30°，
∴ = = ，
解得：x=﹣3﹣ ，
则y=3 ．
即点B的坐标为（﹣3﹣ ，3 ）．
故答案为：（﹣3﹣ ，3 ）．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质，解答本题
的关键是作出合适的辅助线，证明三角形的相似，进而求解．
三、解答题（本大题共2个小题，每小题6分，满分12分）
19．（6分）（2015•娄底）计算：（ ﹣1.414）0+（ ）﹣1﹣ +2cos30°．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，
最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答： 解：原式=1+3﹣ +2×
=4．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．[来源:学_科
_网Z_X_X_K]
20．（6分）（2015•娄底）先化简，再求值： • + ，其中x是从﹣
1、0、1、2中选取的一个合适的数．
考点： 分式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 先把分子分母因式分解，约分后进行通分化为同分母，再进行同分母的加
法运算，然后再约分得到原式= ，由于x不能取±1，2，所以把x=0代入计算即
可．
解答： 解：原式= • +
= +
=
= ，
当x=0时，原式= =﹣ ．
点评： 本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的
值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最
后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）21．（8分）（2015•娄底）今年5月，某校为了了解九年级学生的体育备考情况，随
机抽取了部分学生进行模拟测试，现将学生按模拟测试成绩m分成A、B、C、D
四等（A等：90≤m≤100，B等：80≤m＜90，C等：60≤m＜80，D等：m＜60），并绘制
出了如图的两幅不完整的统计图：
（1）本次模拟测试共抽取了多少个学生？
（2）将图乙中条形统计图补充完整；
（3）如果该校今年有九年级学生1000人，试估计其中D等学生的人数．
考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析： （1）抽查人数可由B等所占的比例为50%，根据总数=某等人数÷比例来计
算；
（2）可由总数减去A、B、D的人数求得C等的人数，再画直方图；
（3）用样本估计总体，先计算出D等学生所占的百分比，再乘以1000即可解答．
解答： 解：（1）∵B等人数为100人，所占比例为50%，
∴抽取的学生数=100÷50%=200（名）；
（2）C等的人数=200﹣100﹣40﹣10=50（人）；
如图所示：（3）D等学生所占的百分比为： =5%，
故该校今年有九年级学生1000人，其中D等学生的人数为：1000×5%=50（人）．
点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．会画条形统计图．
22．（8分）（2015•娄底）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某
直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了
观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知
∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：
≈1.41， ≈1.73）
考点： 勾股定理的应用．
分析： 根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长进而求出汽车的
速度，进而得出答案．
解答： 解：此车没有超速．
理由：过C作CH⊥MN，
∵∠CBN=60°，BC=200米，
∴CH=BC•sin60°=200× =100 （米），
BH=BC•cos60°=100（米），
∵∠CAN=45°，
∴AH=CH=100 米，∴AB=100 ﹣100≈73（m），
∵60千米/小时= m/s，
∴ =14.6（m/s）＜ ≈16.7（m/s），
∴此车没有超速．
点评： 此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出AB的长是
解题关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
23．（9分）（2015•娄底）假如娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程
为0～1.5千米，超过1.5千米的部分按每千米另收费．
小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米，付车费10.5元．”
小李说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了6.5千米，付车费14.5元．”
问：（1）出租车的起步价是多少元？超过1.5千米后每千米收费多少元？
（2）小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费多
少元？
考点： 二元一次方程组的应用．
分析： （1）设出租车的起步价是x元，超过1.5千米后每千米收费y元．根据他们
的对话列出方程组并解答；
（2）5.5千米分两段收费：1.5千米、（5.5﹣1.5）千米．根据（1）中的单价进行计算．
解答： 解：（1）设出租车的起步价是x元，超过1.5千米后每千米收费y元．
依题意得， ，解得 ．
答：出租车的起步价是 元，超过1.5千米后每千米收费2元；
（2） +（5.5﹣1.5）×2=12.5（元）．
答：小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费12.5元．
点评： 本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据
题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程
组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用
方程组表示出来是解题的关键．
24．（9分）（2015•娄底）如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为
△
半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF
交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．
（1）求证：△ABC≌△ABF；
（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．
考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；圆周角定理．分析： （1）首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS证得两三角
形全等即可；
（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，根据∠CAB=60°，得到
∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，从而得到EF=AD=AE，利用邻边相等的平行四边形是
菱形进行判断四边形ADFE是菱形．
解答： 解：（1）证明：∵EF∥AB，
∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，
∵∠E=∠EFA，
∴∠FAB=∠CAB，
在△ABC和△ABF中，
，[来源:Z*xx*k.Com]
∴△ABC≌△ABF；
（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形．
证明：∵∠CAB=60°，
∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，
∴EF=AD=AE，
∴四边形ADFE是菱形．点评： 本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识，
解题的关键是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，难度不大．
六、解答题（本大题共2道小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）（2015•娄底）如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不
重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线
对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．
（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；
（2）当AB=3，BP=2PC，求QM的长；
（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．
考点： 四边形综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；轴对
称的性质．
专题： 综合题．
分析： （1）要证AP=BQ，只需证△PBA≌△QCB即可；
（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图．易得QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1，然后运用
勾股定理可求得AP（即BQ）= ，BH=2．易得DC∥AB，从而有∠CQB=∠QBA．
由折叠可得∠C′QB=∠CQB，即可得到∠QBA=∠C′QB，即可得到MQ=MB．设
QM=x，则有MB=x，MH=x﹣2．在Rt MHQ中运用勾股定理就可解决问题；
△（3）过点Q作QH⊥AB于H，如图，同（2）的方法求出QM的长，就可得到AM的
长．
解答： 解：（1）AP=BQ．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∴∠ABQ+∠CBQ=90°．
∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA=90°，
∴∠PAB=∠CBQ．
在△PBA和△QCB中，
，
∴△PBA≌△QCB，
∴AP=BQ；
（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图．
∵四边形ABCD是正方形，
∴QH=BC=AB=3．
∵BP=2PC，
∴BP=2，PC=1，
∴BQ=AP= = = ，∴BH= = =2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，
∴∠CQB=∠QBA．
由折叠可得∠C′QB=∠CQB，
∴∠QBA=∠C′QB，
∴MQ=MB．
设QM=x，则有MB=x，MH=x﹣2．
在Rt MHQ中，
根据勾股定理可得x2=（x﹣2）2+32，
△
解得x= ．
∴QM的长为 ；
（3）过点Q作QH⊥AB于H，如图．
∵四边形ABCD是正方形，BP=m，PC=n，
∴QH=BC=AB=m+n．
∴BQ2=AP2=AB2+PB2，
∴BH2=BQ2﹣QH2=AB2+PB2﹣AB2=PB2，
∴BH=PB=m．
设QM=x，则有MB=QM=x，MH=x﹣m．在Rt MHQ中，
根据勾股定理可得x2=（x﹣m）2+（m+n）2，
△
解得x=m+n+ ，
∴AM=MB﹣AB=m+n+ ﹣m﹣n= ．
∴AM的长为 ．
点评： 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴
对称的性质等知识，设未知数，然后运用勾股定理建立方程，是求线段长度常用
的方法，应熟练掌握．
26．（10分）（2015•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx﹣ 经过点A（1，0）和点B（5，0），
与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，求⊙A的半径；
（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB，PC，请问：△PBC的面积是
否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P的坐标；若不存在，请说明
理由．考点： 二次函数综合题．
分析： （1）把A、B两点分别代入抛物线解析可求得a和b，可求得抛物线解析式；
（2）过A作AD⊥BC于点D，则AD为⊙A的半径，由条件可证明
△ABD∽△CBO，利用相似三角形的性质可求得AD的长，可求得半径；
（3）由待定系数法可求得直线BC解析式，过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，
交x轴于点E，可设出P、Q的坐标，可表示出△PQC和△PQB的面积，可表示出
△PBC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，容易求得P点坐标．
解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣ 经过点A（1，0）和点B（5，0），
∴把A、B两点坐标代入可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+2x﹣ ；
（2）过A作AD⊥BC于点D，如图1，
∵⊙A与BC相切，
∴AD为⊙A的半径，
由（1）可知C（0，﹣ ），且A（1，0），B（5，0），
∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC= ，在Rt OBC中，由勾股定理可得BC= = = ，
△
∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO，
∴△ABD∽△CBO，
∴ = ，即 = ，解得AD= ，
即⊙A的半径为 ；
（3）∵C（0，﹣ ），
∴可设直线BC解析式为y=kx﹣ ，
把B点坐标代入可求得k= ，
∴直线BC的解析式为y= x﹣ ，
过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，如图2，
设P（x，﹣ x2+2x﹣ ），则Q（x， x﹣ ），
∴PQ=（﹣ x2+2x﹣ ）﹣（ x﹣ ）=﹣ x2+ x=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴S =S +S = PQ•OE+ PQ•BE= PQ（OE+BE）= PQ•OB= PQ=﹣ （x﹣
PBC PCQ PBQ
△ △ △
）2+ ，∴当x= 时，S 有最大值 ，此时P点坐标为（ ， ），
PBC
△
∴当P点坐标为（ ， ）时，△PBC的面积有最大值．
点评： 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、切线的性质、相似
三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识．在（1）中注意待定系数法的应用
步骤，在（2）中确定出⊙A的半径是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出
△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，计算量大，综合性较强．
