文档内容
2012年湖南省娄底市中考数学试卷（教师版）
一、精心选一选，旗开得胜（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分.每道小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题设要求的）
1．（3分）2012的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．2012 D．﹣2012
【考点】17：倒数．
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【分析】根据倒数的定义直接解答即可．
【解答】解：∵2012× ＝1，
∴2012的倒数是 ．
故选：A．
【点评】本题主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就
称这两个数互为倒数．
2．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
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【分析】先求出两个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上即可进行选择．
【解答】解： ，
解不等式 得，x≤1，
解不等式①得，x＞﹣2，
②
第1页（共20页）在数轴上表示如下：
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需要把
每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时
“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＞”，“＜”要用空心圆点表示．
3．（3分）娄底市针对城区中小学日益突出的“大班额”问题，决定自 2012年起启动
《中心城区化解大班额四年（2012年～2015年）行动计划》，计划投入资金8.71亿元，
力争新增学位3.29万个．3.29万用科学记数法表示为（ ）
A．3.29×105 B．3.29×106 C．3.29×104 D．3.29×103
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3.29万＝3.29×104，
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列命题中，假命题是（ ）
A．平行四边形是中心对称图形
B．三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等
C．对于简单的随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差
D．若x2＝y2，则x＝y
【考点】1E：有理数的乘方；KG：线段垂直平分线的性质；O1：命题与定理；R5：中
心对称图形；V5：用样本估计总体．
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【分析】根据平行四边形的性质、三角形外心的性质以及用样本的数字特征估计总体的
数字特征和有理数乘方的运算逐项分析即可．
【解答】解：A、平行四边形是中心对称图形，它的中心对称点为两条对角线的交点，
故该命题是真命题；
B、三角形三边的垂直平分线相交于一点，为三角形的外心，这点到三角形三个顶点的
距离相等，故该命题是真命题；
第2页（共20页）C、用样本的数字特征估计总体的数字特征：主要数据有众数、中位数、平均数、标准
差与方差，故该命题是真命题；
D、若x2＝y2，则x＝±y，不是x＝y，故该命题是假命题；
故选：D．
【点评】本题考查了命题真假的判断，属于基础题．根据定义：符合事实真理的判断是
真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．
5．（3分）如图，正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相
切，AB与CD是大圆的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【考点π】MO：扇形面积的计π算；P2：轴对称的性质π． π
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【分析】由AB⊥CD，CD⊥MN可知阴影部分的面积恰好为正方形MNEF外接圆面积的
，再根据圆的面积公式进行解答即可．
【解答】解：∵AB⊥CD，CD⊥MN，
∴阴影部分的面积恰好为正方形MNEF外接圆面积的 ，
∵正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上，
∴S阴影 ＝ ×（ ）2＝ ．
π π
故选：D．
【点评】本题考查的是扇形的面积及轴对称的性质，根据题意得出阴影部分的面积恰好
为正方形MNEF外接圆面积的 是解答此题的关键．
6．（3分）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论错误的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而减小
B．函数的图象不经过第三象限
第3页（共20页）C．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象
D．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）
【考点】F5：一次函数的性质；F9：一次函数图象与几何变换．
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【分析】分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：A、因为一次函数y＝﹣2x+4中k＝﹣2＜0，因此函数值随x的增大而减小，
故A选项正确；
B、因为一次函数y＝﹣2x+4中k＝﹣2＜0，b＝4＞0，因此此函数的图象经过一、二、
四象限，不经过第三象限，故B选项正确；
C、由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象
故C选项正确；
D、令y＝0，则x＝2，因此函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故D选项错误．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数的
性质及函数图象平移的法则是解答此题的关键．
7．（3分）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药
品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确
的是（ ）
A．289（1﹣x）2＝256 B．256（1﹣x）2＝289
C．289（1﹣2x）＝256 D．256（1﹣2x）＝289
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．
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【分析】设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是289（1﹣x）2，根据关
键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程289（1﹣x）2＝256．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价售价为289（1﹣x），则第
二次售价为289（1﹣x）2，由题意得：
289（1﹣x）2＝256．
故选：A．
【点评】此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为 a，变化后的量为b，
平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
8．（3分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是（ ）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝
第4页（共20页）【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式．
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【分析】设解析式为 ，由于反比例函数的图象经过点（﹣1，2），代入反比例函数
即可求得k的值．
【解答】解：设反比例函数图象设解析式为 ，
将点（﹣1，2）代入 得，
k＝﹣1×2＝﹣2，
则函数解析式为y＝﹣ ．
故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，将点（﹣1，2）代入反比例函数，求出
系数k是解题的关键．
9．（3分）一组数据为：2，2，3，4，5，5，5，6，则下列说法正确的是（ ）
A．这组数据的众数是2 B．这组数据的平均数是3
C．这组数据的极差是4 D．这组数据的中位数是5
【考点】W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数；W6：极差．
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【分析】分别根据众数、平均数、极差、中位数的定义解答．
【解答】解：A、5出现了3次，在该组数据中出现的次数最多，是该组数据的众数，故
本选项错误；
B、这组数据的平均数为 ＝ （2+2+3+4+5+5+5+6）＝4，故本选项错误；
C、这组数据的最大值与最小值的差为6﹣2＝4，故极差为4，故本选项正确；
D、将改组数据从小到大排列：2，2，3，4，5，5，5，6，处于中间位置的数为4和
5，中位数为 ＝4.5，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了极差、算术平均数、中位数、众数，知道各统计量是解题的关键．
10．（3分）如图，矩形绕它的一条边MN所在的直线旋转一周形成的几何体是（ ）
第5页（共20页）A． B． C． D．
【考点】I2：点、线、面、体．
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【分析】矩形旋转一周得到的是圆柱，选择是圆柱的选项即可．
【解答】解：矩形绕一边所在的直线旋转一周得到的是圆柱．
故选：C．
【点评】本题考查了点、线、面、体的知识，熟记常见的平面图形转动所成的几何体是
解题的关键，此类题目主要考查同学们的空间想象能力．
二、细心填一填，一锤定音（本大题共8道小题，每小题4分，满分32分）
11．（4分）计算：|﹣2|+（﹣3）0﹣ ＝ 1 ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂．
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【分析】分别根据绝对值的性质、0指数幂及算术平方根的定义计算出各数，再根据实
数的运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝2+1﹣2
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质、0指数幂及算术平方根的定义
是解答此题的关键．
12．（4分）如图，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO＝28°，则∠MFE＝ 5 6 度．
【考点】IJ：角平分线的定义；JA：平行线的性质；K8：三角形的外角性质．
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【分析】先根据平行线的性质得出∠NOE＝∠FEO，再根据角平分线的性质得出∠NOE
＝∠EOF，由三角形外角的性质即可得出结论．
第6页（共20页）【解答】解：∵FE∥ON，∠FEO＝28°，
∴∠NOE＝∠FEO＝28°，
∵OE平分∠MON，
∴∠NOE＝∠EOF＝28°，
∵∠MFE是△EOF的外角，
∴∠MFE＝∠NOE+∠EOF＝28°+28°＝56°．
故答案为：56．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角
的和．
13．（4分）在﹣1，0， ，1， ， 中任取一个数，取到无理数的概率是 ．
【考点】26：无理数；X4：概率公式．
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【分析】由题意可得共有6种等可能的结果，其中无理数有： ， 共2种情况，则
可利用概率公式求解．
【解答】解：∵共有6种等可能的结果，无理数有： ， 共2种情况，
∴取到无理数的概率是： ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用与无理数的定义．此题比较简单，注意用到的知识
点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（4分）如图， O的直径CD垂直于AB，∠AOC＝48°，则∠BDC＝ 2 4 度．
⊙
【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理．
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【分析】连接OB，先根据 O的直径CD垂直于AB得出 ＝ ，由等弧所对的圆周
角相等可知∠BOC＝∠AOC⊙，再根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：连接OB，
∵ O的直径CD垂直于AB，
∴⊙ ＝ ，
第7页（共20页）∴∠BOC＝∠AOC＝48°，
∴∠BDC＝ ∠AOC＝ ×48°＝24°．
故答案为：24．
【点评】本题考查的是圆周角定理及垂径定理，根据题意得出 ＝ 是解答此题的关
键．
15．（4分）写出一个x的值，使|x﹣1|＝x﹣1成立，你写出的x的值是 2 （答案不唯一）
．
【考点】15：绝对值．
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【分析】根据非负数的绝对值等于它本身，那么可得x﹣1≥0，解得x≥1，故答案是2
（答案不唯一）．
【解答】解：∵|x﹣1|＝x﹣1成立，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1，
故答案是2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是知道负数的绝对值等于其相反数，非负数的
绝对值等于它本身．
16．（4分）如图，A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段 AB平移到至
A B ，A 、B 的坐标分别为（2，a）、（b，3），则a+b＝ 2 ．
1 1 1 1
【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．
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【分析】根据平移前后的坐标变化，得到平移方向，从而求出a、b的值．
第8页（共20页）【解答】解：∵A（1，0）转化为A （2，a）横坐标增加了1，
1
B（0，2）转化为B （b，3）纵坐标增加了1，
1
则a＝0+1＝1，b＝0+1＝1，
故a+b＝1+1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣﹣﹣平移，找到坐标的变化规律是解题的关键．
17．（4分）如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了
对方内的B点，已知网高OA＝1.52米，OB＝4米，OM＝5米，则林丹起跳后击球点N
离地面的距离NM＝ 3.4 2 米．
【考点】SA：相似三角形的应用．
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【分析】首先根据题意易得△ABO∽△NAM，然后根据相似三角形的对应边成比例，即
可求得答案．
【解答】解：根据题意得：AO⊥BM，NM⊥BM，
∴AO∥NM，
∴△ABO∽△NBM，
∴ ，
∵OA＝1.52米，OB＝4米，OM＝5米，
∴BM＝OB+OM＝4+5＝9（米），
∴ ，
解得：NM＝3.42（米），
∴林丹起跳后击球点N离地面的距离NM为3.42米．
故答案为：3.42．
【点评】此题考查了相似三角形的应用．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边
成比例定理的应用，注意把实际问题转化为数学问题求解．
18．（4分）如图，如图所示的图案是按一定规律排列的，照此规律，在第1至第2012个
图案中“♣”，共 50 3 个．
第9页（共20页）【考点】38：规律型：图形的变化类．
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【分析】本题的关键是要找出4个图形一循环，然后再求2012被4整除，从而确定是共
第503♣．
【解答】解：根据题意可知梅花是1，2，3，4即4个一循环．所以2012÷4＝503．
所以共有503个♣．
故选答案为503．
【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的
题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的
变化规律后直接利用规律求解．
三、用心做一做，慧眼识金（本大题共3道小题，每小题7分，满分21分）
19．（7分）先化简： ，再请你选择一个合适的数作为x的值代入求值．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】先通分计算括号里的，再计算括号外的，最后根据分式性质，找一个恰当的数
2（此数不唯一）代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：原式＝ × ＝x﹣1，
根据分式的意义可知，x≠0，且x≠±1，
当x＝2时，原式＝2﹣1＝1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是分子、分母的因式分解，以及通分、
约分．
20．（7分）如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG＝30°，
在E处测得∠AFG＝60°，CE＝8米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度（结果
保留两位有效数字， ≈1.732）．
第10页（共20页）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】首先根据题意可得GB＝EF＝CD＝1.5米，DF＝CE＝8米，然后设AG＝x米，
GF＝y米，则在Rt△AFG与Rt△ADG，利用正切函数，即可求得x与y的关系，解方程
组即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：四边形DCEF、DCBG是矩形，
∴GB＝EF＝CD＝1.5米，DF＝CE＝8米，
设AG＝x米，GF＝y米，
在Rt△AFG中，tan∠AFG＝tan60°＝ ＝ ＝ ，
在Rt△ADG中，tan∠ADG＝tan30°＝ ＝ ＝ ，
∴x＝4 ，y＝4，
∴AG＝4 米，FG＝4米，
∴AB＝AG+GB＝4 +1.5≈8.4（米）．
∴这棵树AB的高度约为8.4米．
【点评】本题考查仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此
题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．
21．（7分）学校为了调查学生对教学的满意度，随机抽取了部分学生作问卷调查：用
“A”表示“很满意“，“B”表示“满意”，“C”表示“比较满意”，“D”表示
“不满意”，如图甲、乙是工作人员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，
请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次问卷调查，共调查了多少名学生？
（2）将图甲中“B”部分的图形补充完整；
（3）如果该校有学生1000人，请你估计该校学生对教学感到“不满意”的约有多少人？
第11页（共20页）【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
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【分析】（1）根据C小组的频数和其所占的百分比求得总人数即可；
（2）用调查的人数乘以B小组所占的百分比即可求得B组的频数；
（3）用总人数乘以不满意人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）由条形统计图知：C小组的频数为40，
由扇形统计图知：C小组所占的百分比为20%，
故调查的总人数为：40÷20%＝200人；
（2）B小组的人数为：200×50%＝100人，
（3）1000×（1﹣50%﹣25%﹣20%）＝50人，
故该校对教学感到不满意的人数有50人．
【点评】本题考查了条形统计图的知识，解题的关键是仔细的读图并从图形中找到进一
步解题的有关信息．
四、综合用一用，马到成功（本大题共1道小题，满分8分）
22．（8分）体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如表，全部销售完后
共获利润260元．
篮球 排球
进价（元/个） 80 50
售价（元/个） 95 60
第12页（共20页）（1）购进篮球和排球各多少个？
（2）销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？
【考点】9A：二元一次方程组的应用．
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【分析】（1）设购进篮球x个，购进排球y个，根据等量关系： 篮球和排球共20个
全部销售完后共获利润260元可列方程组，解方程组即可； ①
②（2）设销售6个排球的利润与销售a个篮球的利润相等，根据题意可得等量关系：每
个排球的利润×6＝每个篮球的利润×a，列出方程，解可得答案．
【解答】解：（1）设购进篮球x个，购进排球y个，由题意得：
解得： ，
答：购进篮球12个，购进排球8个；
（2）设销售6个排球的利润与销售a个篮球的利润相等，由题意得：
6×（60﹣50）＝（95﹣80）a，
解得：a＝4，
答：销售6个排球的利润与销售4个篮球的利润相等．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，以及一元一次方程的应用，关键是弄
清题意，找出题目中的等量关系，列出方程组或方程．
五、耐心解一解，再接再厉（本大题共1道小题，满分9分）
23．（9分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、
DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KP：直角三角形斜边上的中线；L9：菱形的
判定；LB：矩形的性质．
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【分析】（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC；
第13页（共20页）（2）四边形MPNQ是菱形，连接AN，有（1）可得到BM＝DN，再有中点得到PM＝
NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ＝PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，
利用三角形中位线的性质可得：MP＝MQ，进而证明四边形MQNP是菱形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C＝90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，
∴AM＝ AD，CN＝ BC，
∴AM＝CN，
在△MAB和△NDC中，
∵ ，
∴△MBA≌△NDC（SAS）；
（2）四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，MN，
则四边形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
则A，P，N在同一条直线上，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN＝BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM＝DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM＝NQ，
∵ ，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
第14页（共20页）∴MQ＝ AN，
∴MQ＝ BM，
∵MP＝ BM，
∴MP＝MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和全等三角形的性质、三角形中位
线定理以及平行四边形的判定和菱形的判定方法，属于基础题目．
六、探究试一试，超越自我（本大题共2道小题，每小题10分，满分20分）
24．（10分）已知二次函数y＝x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x ，0）和点
1
B（x ，0），x ＜x ，与y轴交于点C，且满足 ．
2 1 2
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）探究：在直线y＝x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，
求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）欲求抛物线的解析式，关键是求得m的值．根据题中所给关系式，利用
一元二次方程根与系数的关系，可以求得m的值，从而问题得到解决．注意：解答中求
第15页（共20页）得两个m的值，需要进行检验，把不符合题意的m值舍去；
（2）利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P点的纵坐标，进而
得到P点的横坐标，从而求得P点坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x ，0）
1
和点B（x ，0），x ＜x ，
2 1 2
令y＝0，即x2﹣（m2﹣2）x﹣2m＝0 ，则有：
x 1 +x 2 ＝m2﹣2，x 1 x 2 ＝﹣2m． ①
∴ ＝ ＝ ＝ ，
化简得到：m2+m﹣2＝0，解得m ＝﹣2，m ＝1．
1 2
当m＝﹣2时，方程 为：x2﹣2x+4＝0，其判别式△＝b2﹣4ac＝﹣12＜0，此时抛物线
与x轴没有交点，不①符合题意，舍去；
当m＝1时，方程 为：x2+x﹣2＝0，其判别式△＝b2﹣4ac＝9＞0，此时抛物线与x轴
有两个不同的交点①，符合题意．
∴m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2．
（2）假设在直线y＝x+3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形．
如图所示，连接PA、PB、AC、BC，过点P作PD⊥x轴于D点．
∵抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，
∴A（﹣2，0），B（1，0），C（0，﹣2），∴OB＝1，OC＝2．
∵PACB为平行四边形，∴PA∥BC，PA＝BC，
∴∠PAD＝∠CBO，∴∠APD＝∠OCB．
在Rt△PAD与Rt△CBO中，
∵ ，
∴Rt△PAD≌Rt△CBO，
∴PD＝OC＝2，即y ＝2，
P
∵直线解析式为y＝x+3，
∴当y ＝2时，x ＝﹣1，
P P
第16页（共20页）∴P（﹣1，2）．
所以在直线y＝x+3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形，P点坐标为（﹣1，
2）．
【点评】本题是代数几何综合题，考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点、
一元二次方程根的解法及根与系数关系、一次函数、平行四边形的性质以及全等三角形
的判定与性质等方面的知识，涉及的考点较多，有一定的难度．
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，BC＝8，D在边BC上，E在线段
DC上，DE＝4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．
（1）求证：△BMD∽△CNE；
（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？
（3）设BD＝x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自
变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值．
【考点】H7：二次函数的最值；KK：等边三角形的性质；MC：切线的性质；S9：相
似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）由AB＝AC，∠B＝30°，根据等边对等角，可求得∠C＝∠B＝30°，又由
△DEF 是等边三角形，根据等边三角形的性质，易求得∠MDB＝∠NEC＝120°，
∠BMD＝∠B＝∠C＝∠CNE＝30°，即可判定：△BMD∽△CNE；
第17页（共20页）（2）首先过点M作MH⊥BC，设BD＝x，由以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相
切，可得MH＝MF＝4﹣x，由（1）可得MD＝BD，然后在Rt△DMH中，利用正弦函
数，即可求得答案；
（3）首先求得△ABC的面积，继而求得△BDM的面积，然后由相似三角形的性质，可
求得△CNE的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE＝∠FED＝60°，
∴∠MDB＝∠NEC＝120°，
∴∠BMD＝∠B＝∠C＝∠CNE＝30°，
∴△BMD∽△CNE；
（2）解：过点M作MH⊥BC，
∵以M为圆心，以MH为半径的圆，则与BC相切，
∴MH＝MF，
设BD＝x，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE＝60°，
∵∠B＝30°，
∴∠BMD＝∠FDE﹣∠B＝60°﹣30°＝30°＝∠B，
∴DM＝BD＝x，
∴MH＝MF＝DF﹣MD＝4﹣x，
在Rt△DMH中，sin∠MDH＝sin60°＝ ＝ ＝ ，
解得：x＝16﹣8 ，
∴当BD＝16﹣8 时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切；
（3）解：过点M作MH⊥BC于H，过点A作AK⊥BC于K，
∵AB＝AC，
∴BK＝ BC＝ ×8＝4，
第18页（共20页）∵∠B＝30°，
∴AK＝BK•tan∠B＝4× ＝ ，
∴S△ABC ＝ BC•AK＝ ×8× ＝ ，
由（2）得：MD＝BD＝x，
∴MH＝MD•sin∠MDH＝ x，
∴S△BDM ＝ •x• x＝ x2，
∵△DEF是等边三角形且DE＝4，BC＝8，
∴EC＝BC﹣BD﹣DE＝8﹣x﹣4＝4﹣x，
∵△BMD∽△CNE，
∴S△BDM ：S△CEN ＝（ ）2＝ ，
∴S△CEN ＝ （4﹣x）2，
∴y＝S△ABC ﹣S△CEN ﹣S△BDM ＝ ﹣ x2﹣ （4﹣x）2＝﹣ x2+2 x+ ＝
﹣ （x﹣2）2+ （ ＜x＜ ），
当x＝2时，y有最大值，最大值为 ．
第19页（共20页）【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、
二次函数的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想
与方程思想的应用．
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日期：2019/12/12 20:58:37；用户：初中数学；邮箱：sx0123@xyh.com；学号：30177373
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