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Born to win
2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)
(1) 设常数 ，则
(2) 交换积分次序： .
(3) 设三阶矩阵 ，三维列向量 .已知 与 线性相关，则
.
(4) 设随机变量 和 的联合概率分布为
-1 0 1
0 0.07 0.18 0.15
1 0.08 0.32 0.20
则 和 的协方差 .
(5) 设总体 的概率密度为
而 是来自总体 的简单随机样本，则未知参数 的矩估计量为
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设函数 在闭区间 上有定义，在开区间 内可导，则 ( )
(A)当 时，存在 ，使 .
(B)对任何 ，有 .
(C)当 时，存在 ，使 .
(D)存在 ，使 .Born to win
(2) 设幂级数 与 的收敛半径分别为 与 ，则幂级数 的收敛半
径为 ( )
(A) 5 (B) (C) (D)
(3) 设 是 矩阵， 是 矩阵，则线性方程组 ( )
(A)当 时仅有零解 (B)当 时必有非零解
(C)当 时仅有零解 (D)当 时必有非零解
(4) 设 是 阶实对称矩阵， 是 阶可逆矩阵，已知 维列向量 是 的属于特征值 的
特征向量，则矩阵 属于特征值 的特征向量是 ( )
(A) (B) (C) (D)
(5) 设随机变量 和 都服从标准正态分布，则 ( )
(A) 服从正态分布 (B) 服从 分布
(C) 和 都服从 分布 (D) 服从 分布
三、(本题满分5分)
求极限
四、(本题满分7分)
设函数 有连续偏导数，且 由方程 所确定，求 .
五、(本题满分6分)
设 求 .
六、(本题满分7分)
设 是由抛物线 和直线 及 所围成的平面区域； 是由抛物
线 和直线 所围成的平面区域，其中 .
(1)试求 绕 轴旋转而成的旋转体体积 ； 绕 轴旋转而成的旋转体体积 ；Born to win
(2)问当 为何值时， 取得最大值？试求此最大值.
七、(本题满分7分)
(1)验证函数 满足微分方程
(2)利用(1)的结果求幂级数 的和函数.
八、(本题满分6分)
设函数 在 上连续，且 .利用闭区间上连续函数性质，证明存在
一点 ，使 .
九、(本题满分8分)
设齐次线性方程组
其中 ，试讨论 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷
多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.
十、(本题满分8分)
设 为三阶实对称矩阵，且满足条件 ，已知 的秩
(1)求 的全部特征值
(2)当 为何值时，矩阵 为正定矩阵，其中 为三阶单位矩阵.
十一、(本题满分8分)
假设随机变量 在区间 上服从均匀分布，随机变量
试求：(1) 和 的联合概率分布；(2) .
十二、(本题满分8分)
假设一设备开机后无故障工作的时间 服从指数分布，平均无故障工作的时间
为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求Born to win
该设备每次开机无故障工作的时间 的分布函数 .
2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题
(1)【答案】
【详解】 里面为 型，通过凑成重要极限形式来求极限，
．
(2)【答案】
【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域 与 ，将它们的并集记为 ．
于是 ．
再将后者根据积分定义化为如下形式，即 ，所以Born to win
(3)【答案】
【详解】
由于 与 线性相关，(两个非零向量线性相关，则对应分量成比例)，所以有
，得
或 (两个非零向量线性相关，则其中一个可以由另一个线性表出)
即 ，得 ，得
(4)【答案】 ．
【详解】 、 和 都是 分布，而 分布的期望值恰为取 时的概率 ．
由离散型随机变量 和 的联合概率分布表可得 的可能取值为0和1，且 的可
能取值也为0和1，且 和 的边缘分布为
； ；
； ；
；
故有Born to win
而边缘分布律：
， ，
，
所以， 的联合分布及其边缘分布为
0 1
0 0．18 0．22 0．40
1 0．32 0．28 0．60
0．50 0．50 1
由上表同理可求得 的分布律为
0 1
0．72 0．28
所以由 分布的期望值恰为取1时的概率 得到：
(5)【答案】 ．
【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需
要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)
期望
样本均值
用样本均值估计期望有 ，即 ，Born to win
解得未知参数 的矩估计量为 ．
二、选择题
(1)【答案】(B)
【详解】方法1：论证法．由题设 在开区间 内可导，所以 在 内连续，因
此，对于 内的任意一点 ，必有 即有 ．故选
(B)．
方法2：排除法．
(A)的反例： ，有 ，
但 在 内无零点．
(C)与(D)的反例， ，但 (当
)，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论．故选(B)．
(2)【答案】(D)
【详解】方法1： 是 矩阵， 是 矩阵，则 是 阶方阵，因
．
当 时，有 ．(系数矩阵的秩小于未知数的
个数)方程组 必有非零解，故应选(D)．
方法2： 是 矩阵, 当 时,，则 ，(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程
组 必有非零解，即存在 ，使得 ，两边左乘 ，得 ，即
有非零解，故选(D)．
(3)【答案】(B)
【详解】方法1：由题设根据特征值和特征向量的定义， ， 是 阶实对称矩阵，故
．设 ，则Born to win
上式左乘 ，右乘 ，得
，即 ，
所以
两边左乘 ，得 得
根据特征值和特征向量的定义，知 的对应于特征值 的特征向量为
，即应选(B)．
方法2：逐个验算(A)，(B)，(C)，(D)中哪个选项满足，由题设根据特征值和特征向量的定义，
， 是 阶实对称矩阵，故 ．设 属于特征值 的特征向量
为 ，即 ，其中
对(A)，即令 ，代入
对(B)，
成立．故应选(B)．
(4)【答案】C
【分析】(i) 变量的典型模式是： ，其中 要求满足： 相互独立，
．称 为参数为 的 变量．
(ii) 变量的典型模式是： ，其中 要求满足： 与 相互独立，
，称 为参数为 的 变量．
【详解】方法1：根据题设条件， 和 均服从 ．故 和 都服从 分布，答案
应选(C)．
方法2：题设条件只有 和 服从 ，没有 与 的相互独立条件．因此， 与 的
独立条件不存在，选(B)、(D)项均不正确．
题中条件既没有 与 独立，也没有 正态，这样就不能推出 服从正
态分布的选项(A)．根据排除法，正确选项必为(C)．
三【详解】Born to win
．
四【详解】方法1：用一阶微分形式不变性求全微分．
由 所确定，两边求全微分，有
，
解出
所以
方法2： (根据多元函数偏导数的链式法则)
下面通过隐函数求导得到 ， ．由 两边对 求偏导数，有
得 ， ．类似可得， ，代入 表达式
，
再代入 中，得Born to win
．
五【详解】首先要从 求出 ．
命 ，则有 ， ，于是 ．(通过换元求
出函数的表达式)
(换元积分法)
(分部积分法)
．
六【分析】旋转体的体积公式：设有连续曲线 ， 与直线
及 轴围成平面图形绕 轴旋转一周产生旋转体的体积 .
【详解】(1)
．
(2)
根据一元函数最值的求法要求驻点，令
,
得 . 当 时 ，当 时 ，因此 是 的唯一极值点且是
极大值点，所以是 的最大值点， ．
七【解】(1) ，
由收敛半径的求法知收敛半径为 ，故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得Born to win
，
同理得
从而
(由 的麦克劳林展开式)
这说明， 是微分方程 的解，并且满足初始条件
， .
(2)微分方程 对应的齐次线性方程为 ，其特征方程为
，其特征根为 ，所以其通解为
.
另外，该非齐次方程的特解形式为 ，代入原非齐次方程得 ，
所以 .故微分方程 的通解为
.
故
由初始条件 得Born to win
解得
，
于是得到惟一的一组解： 从而得到满足微分方程 及初
始条件 的解，只有一个，为
另一方面，由(1)已知 也是微分方程 及初始条件
的解，由微分方程解的唯一性，知
八【详解】方法1：因为 与 在 上连续，所以存在 使得
， ，
满足 ．又 ，故根据不等式的性质
根据定积分的不等式性质有Born to win
所以
由连续函数的介值定理知，存在 ，使
即有 ．
方法2：因为 与 在 上连续，且 ，故 与 都
存在，且
记 ，于是 即
因此必存在 使 ．不然，则在 内由连续函数的零点定理知要么
恒为正，从而根据积分的基本性质得 ；要么
恒为负，同理得 ，均与 不符．由此推
知存在 使 ，从而
．
九【详解】方法1：对系数矩阵记为 作初等行变换
当 时， 的同解方程组为 ，基础解
系中含有 个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取 为自
由 未 知 量 ， 分 别 取 ， ， … ,Born to win
得方程组 个线性无关的解
，
为基础解系，方程组 的全部解为 ，其中
是任意常数．
当 时，
当 且 时， ， 仅有零解.
当 时， 的同解方程组是
基础解系中含有 个线性无关的解向量，取 为自由未知量，取 ，得方程组 个非
零解 ，即其基础解系，故方程组的全部解为
，其中 是任意常数．
方法2：方程组的系数行列式Born to win
(1)当 且 时， ， 方程组只有零解．
(2)当 时，
方程组的同解方程组为
基础解系中含有 个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取
为自由未知量，分别取 ， ，…,
得方程组 个线性无关的解
，
为基础解系，方程组 的全部解为 ，其中
是任意常数．
(1)当 时，Born to win
，其同解方程组是
基础解系中含有 个线性无关的解向量，取 为自由未知量，取 ，得方程组 个非
零解 ，即其基础解系，故方程组的全部解为
，其中 是任意常数．
十【详解】(1) 设 是 的任意特征值， 是 的属于 的特征向量，根据特征值、特征向量
的定义，有 ①
两边左乘 ，得 ②
②+2*①得
因 ， ，从而上式 ，
所以有 ，故 的特征值 的取值范围为 ．
因为 是实对称矩阵，所以必相似于对角阵 ，且 的主对角线上元素由 的特征值Born to win
组成，且 ，故 的特征值中有且只有一个0.
(若没有0，则 ，故 与已知矛盾；若有两个0，则 ，故
与已知矛盾；若三个全为0，则 ，故 与已知矛
盾). 故
即 有特征值 ．
(2) 是实对称矩阵， 有特征值 ，知 的特征值为
．因为矩阵正定的充要条件是它的所有的特征值均大于零，故
正定
故 时 是正定矩阵．
十一【分析】 有四个可能值，可以逐个求出．在计算过程中要注意到取值与 的值有
关． 的分布为均匀分布，计算概率不用积分都行，可以直接看所占区间的长度比例即可．
【详解】 只有四个可能值 ．依照题意，有
于是， 分布为Born to win
(2) 因为 ，所以我们应该知道 和
的分布律．
对离散型随机变量， 的取值可能有 的取值可能有0和4；
．
和 的分布律分别为
0 4
0 2
和
所以由离散型随机变量的数学期望计算公式有：
所以有， ．
十二【详解】首先找出随机变量 的表达式． 由 和2(小时)来确定，所以 ．
指数分布的 的分布参数为 其密度函数为：Born to win
其中 是参数
由分布函数的定义：
(1) 当 时， (因为 ，其中 和2都大于0，那么小于0是不
可能事件)
(2) 当 时， (因为 最大也就取到2，所以小于等于2是一定
发生的，是必然事件)
(3) 当 时,
所以
