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2002 年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1) = .
(2)已知函数 由方程 确定,则 = .
(3)微分方程 满足初始条件 的特解是 .
(4)已知实二次型 经正交变换
可化成标准型 ,则 = .
(5)设随机变量 服从正态分布 ,且二次方程 无实根的概率
为 ,则 ＝ .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目
要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)考虑二元函数 的下面4条性质:
① 在点 处连续; ② 在点 处的两个偏导数连续;
③ 在点 处可微; ④ 在点 处的两个偏导数存在．
若用“ ”表示可由性质 推出性质 ,则有
(A) ② ③ ①. (B) ③ ② ①.
(C) ③ ④ ①. (D) ③ ① ④.
(2)设 ,且 ,则级数
(A) 发散. (B) 绝对收敛.
(C) 条件收敛. (D) 收敛性根据所给条件不能判定.
数学(一)试题 第1页(共13页)(3)设函数 在 内有界且可导,则
(A) 当 时,必有 .
(B) 当 存在时,必有 .
(C) 当 时,必有 .
(D) 当 存在时,必有 .
(4)设有三张不同平面的方程 , ,它们所组成的线性方程组的系数
矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为
(5)设 和 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为 和 ,
分布函数分别为 和 ,则
(A) ＋ 必为某一随机变量的概率密度.
(B) 必为某一随机变量的概率密度.
(C) ＋ 必为某一随机变量的分布函数.
(D) 必为某一随机变量的分布函数.
三、(本题满分6分)
设 函 数 在 的 某 邻 域 内 具 有 一 阶 连 续 导 数 , 且 , 若
在 时是比 高阶的无穷小,试确定 的值.
数学(一)试题 第2页(共13页)四、(本题满分7分)
已知两曲线 与 在点 处的切线相同,写出此切线方程,并求极
限 .
五、(本题满分7分)
计算二重积分 ,其中 .
六、(本题满分8分)
设函数 在 内具有一阶连续导数, 是上半平面( ＞0)内的有向分段光滑曲线,其
起点为( ),终点为( ).记
(1)证明曲线积分 与路径 无关;
(2)当 时,求 的值.
七、(本题满分7分)
(1) 验 证 函 数 满 足 微 分 方 程
;
(2)利用(1)的结果求幂级数 的和函数.
八、(本题满分7分)
设有一小山,取它的底面所在的平面为 坐标面,其底部所占的区域为
,小山的高度函数为 .
(1)设 为区域 上一点,问 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?
若记此方向导数的最大值为 ,试写出 的表达式.
(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.
数学(一)试题 第3页(共13页)也就是说,要在 的边界线 上找出使(1)中 达到最大值的点.试确定攀登
起点的位置.
九、(本题满分6分)
已知四阶方阵 , 均为 维列向量,其中 线性无关,
,如果 ,求线性方程组 的通解.
十、(本题满分8分)
设 为同阶方阵,
(1)若 相似,证明 的特征多项式相等.
(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.
(3)当 均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.
十一、(本题满分7分)
设维随机变量 的概率密度为
对 独立地重复观察４次,用 表示观察值大于 的次数,求 的数学期望.
十二、(本题满分7分)
设总体 的概率分布为
0 1 2 3
其中 是未知参数,利用总体 的如下样本值
求 的矩估计值和最大似然估计值.
数学(一)试题 第4页(共13页)2002 年考研数学一试题答案与解析
一、填空题
(1)【分析】 原式
(2)【分析】 方程两边对 两次求导得
①
②
以 代入原方程得 ,以 代入①得 ,再以 代入②得
(3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程.
令 (以 为自变量),则
代入方程得 ,即 (或 ,但其不满足初始条件 ).
分离变量得
积分得 即 ( 对应 );
由 时 得 于是
积分得 .
又由 得 所求特解为
数学(一)试题 第5页(共13页)(4)【分析】 因为二次型 经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵
的特征值,所以 是 的特征值.
又因 ,故
(5)【分析】 设 事 件 表 示 “ 二 次 方 程 无 实 根 ” , 则
依题意,有
而
即
二、选择题
(1)【分析】 这是讨论函数 的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关
系.我们知道, 的两个偏导数连续是可微的充分条件,若 可微则必连续,故选(A).
(2)【分析】 由 充分大时即 时 ,且 不妨认为
因而所考虑级数是交错级数,但不能保证 的单调性.
按定义考察部分和
原级数收敛.
数学(一)试题 第6页(共13页)再考察取绝对值后的级数 .注意
发散 发散.因此选(C).
(3)【分析】 证明(B)对:反证法.假设 ,则由拉格朗日中值定理,
(当 时, ,因为 );但这与 矛盾
(4)【分析】 因为 ,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯
一,因此应选(B).
(A)表示方程组有唯一解,其充要条件是
(C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故 和
,且 中任两个平行向量都线性无关.
类似地,(D)中有两个平面平行,故 , ,且 中有两个平行向量共线.
(5)【分析】 首先可以否定选项(A)与(C),因
对于选项(B),若 则对任何
, 因此也应否定(C),综上分析,用排除法应选(D).
数学(一)试题 第7页(共13页)进一步分析可知,若令 ,而 则 的分布函数 恰是
三、【解】用洛必达法则.由题设条件知
由于 ,故必有
又由洛必达法则
及 ,则有 .
综上,得
四、【解】由已知条件得
故所求切线方程为 .由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得
五、【分析与求解】 是正方形区域如图.因在 上被积函数分块表示
于是要用分块积分法,用 将 分成两块:
数学(一)试题 第8页(共13页)( 关于 对称)
(选择积分顺序)
六、【分析与求解】(1)易知 原函数,
在 上 原函数,即 .
积分 在 与路径无关.
(2)因找到了原函数,立即可得
七、【证明】 与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数
的收敛域是 ,因而可在 上逐项求导数,得
,
,
所以 .
数学(一)试题 第9页(共13页)(2)与 相应的齐次微分方程为 ,
其特征方程为 ,特征根为 .
因此齐次微分方程的通解为 .
设非齐次微分方程的特解为 ,将 代入方程 可得
,即有 .
于是,方程通解为 .
当 时,有
于是幂级数 的和函数为
八、【分析与求解】(1)由梯度向量的重要性质:函数 在点 处沿该点的梯度方向
方向导数取最大值即 的模,
(2)按题意,即求 求在条件 下的最大值点
在条件 下的最大值点.
这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数
数学(一)试题 第10页(共13页)则有
解此方程组:将①式与②式相加得 或
若 ,则由③式得 即 若 由①或②均得 ,代入③式
得 即 于是得可能的条件极值点
现比较 在这些点的函数值:
因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在 中取到.因此 在
取到在 的边界上的最大值,即 可作为攀登的起点.
九、【解】由 线性无关及 知,向量组的秩 ,即矩阵
的秩为 因此 的基础解系中只包含一个向量.那么由
知, 的基础解系是
数学(一)试题 第11页(共13页)再由 知, 是 的一个特
解.故 的通解是 其中 为任意常数.
十、【解】(1)若 相似,那么存在可逆矩阵 ,使 故
(2)令 那么
但 不相似.否则,存在可逆矩阵 ,使 .从而 ,矛盾,亦可从
而知 与 不相似.
(3)由 均为实对称矩阵知, 均相似于对角阵,若 的特征多项式相等,记特征多项式
的根为 则有
相似于 也相似于
即存在可逆矩阵 ,使
于是 由 为可逆矩阵知, 与 相似.
数学(一)试题 第12页(共13页)十一、【解】 由于 依题意, 服从二项分布 ,则有
十二、【解】
的矩估计量为 根据给定的样本观察值计算
因此 的矩估计值
对于给定的样本值似然函数为
令 ,得方程 ,解得 ( 不合题意).
于是 的最大似然估计值为
数学(一)试题 第13页(共13页)
