2008考研数学一真题及答案解析公众号：小乖考研免费分享_04.数学一历年真题_普通版本数学一_1987-2016考研数学（一）真题答案与解析

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考 2008 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考答案和评分参考 数 学（一） 一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.) x2 （1）设函数 f(x)  ln(2t)dt，则 f(x)的零点个数为 （B） 0 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 x （2）函数 f(x,y)arctan 在点（0，1）处的梯度等于 （A） y （A）i （B）i （C） j （D） j （3）在下列微分方程中，以 yCex C cos2xC sin2x（C,C ,C 为任意常数）为 1 2 3 1 2 3 通解的是 （D） （A）y y4y4y 0. （B）y y4y4y 0 （C）y y4y4y 0. （D）y y4y4y 0 （4）设函数 f(x)在(,)内单调有界，{x }为数列，下列命题正确的是 （B） n （A）若{x }收敛，则{f(x )}收敛. (B) 若{x }单调，则{f(x )}收敛. n n n n (C) 若{f(x )}收敛，则{x }收敛. (D) 若{f(x )}单调，则{x }收敛. n n n n （5） 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3  0，则 （C） （A）EA不可逆，E A不可逆. （B）EA不可逆，E A可逆. （C）EA可逆，E A可逆. （D）EA可逆，E A不可逆 （6）设A为3阶非零矩阵，如果二次曲面方程 x   (x,y,z)A y 1在正交变换下的标准方程     z   的图形如图，则A的正特征值个数为 （B） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （7） 随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F(x)，则Z=max{X, Y}分布函数为 （ A） （A）F2(x)；（B）F(x)F(y)；（C）1[1F(x)]2；（D）[1F(x)][1F(y)] （8）随机变量X ~ N(0,1),Y ~ N(1,4)，且相关系数 1，则 （D） XY （A）P{Y 2X 1}1 （B）P{Y 2X 1}1 （C）P{Y 2X 1}1 （D）P{Y 2X 1}1 2008年 • 第1页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考 二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 微分方程xy'  y 0满足条件y(1)1的解是y  1/x (10) 曲线sin(xy)ln(yx) x在点（0，1）处的切线方程是 y  x1 .   (11) 已知幂级数a (x2)n在x0处收敛，在x4处发散，则幂级数a (x3)n的 n n n0 n0   收敛域为 1,5 (12) 设曲面是z  4x2 y2 的上侧，则xydydzxdzdxx2dxdy= 4  (13) 设A 为 2阶矩阵，, 为线性无关的 2维列向量，Aa 0,Aa 2a a 则A 的 1 2 1 2 1 2 非零特征值为__1___   1 (14) 设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P X  EX2 = 2e 三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分） [sinxsin(sinx)]sinx 求极限lim x0 x4      sinxsin sinx sinx sinxsin sinx 解： lim lim ……2分 x0 x4 x0 x3     cosxcossinx cosx 1cossinx ＝lim lim ……6分 x0 3x2 x0 3x2 1sin2 x 1 lim 2  ……9分 x0 3x2 6 (16)（本题满分9分） 计算曲线积分 sin2xdx2(x2 1)ydy，其中 L 是曲线y sinx上从点（0，0）到 L 点(,0)的一段.       解法1： sin2xdx2 x2 1 ydy  sin2x2 x2 1 sinxcosxdx L 0    x2sin2xdx ……4分 0 x2   cos2x  xcos2xdx ……6分 2 0 0 2 x 1  2   sin2x   sin2xdx ……9分 2 2 0 2 0 2 2008年 • 第2页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考 解法2：取L 为x轴上从点  ,0  到点  0,0  的一段，D是由L与L 围成的区域 1 1    sin2xdx2 x2 1 ydy sin2xdx2(x2 1)ydy sin2xdx2(x2 1)ydy……2分 L LL L 1 1 0 4xydxdy sin2xdx ……5分  D  sinx 1    dx 4xydy cos2x  2xsin2 xdx x(1cos2x)dx 0 0 2 0 0 0 x2 x 1  2    sin2x   sin2xdx ……9分 2 0 2 0 2 0 2 (17)（本题满分11分） x2  y2 2z2 0 已知曲线C: ，求C上距离xOy面最远的点和最近的点. x y3z 5 解：点(x,y,z)到xOy面的距离为 z ，故求C上距离xOy面最远点和最近点的坐标， 等价于求函数H  z2 在条件x2  y2 2z2 0与x y3z 5下的最大值点和最小值 点. ……3分 令L(x,y,z,,) z2 (x2  y2 2z2)(x y3z5) ……5分 L'  2x0 x  L'  2y0 y  由L'  2z4z30 ……7分 z  x2y2 2z2 0  x y3z 5  x  5 x 1 2x2 2z2 0   得x  y，从而 ，解得y  5或y 1 ……10 分 2x3z 5   z 5 z 1   根据几何意义，曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5) 和(1,1,1) ……11分 (18)（本题满分10分） 设 f(x)是连续函数， x (I) 利用定义证明函数F(x)   f(t)dt可导，且F(x) f(x)； 0 x 2 (II) 当 f(x)是以 2 为周期的周期函数时，证明函数G(x)  2 f(t)dtx f(t)dt也 0 0 是以2为周期的周期函数. 2008年 • 第3页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考 (I) 证：对任意的x，由于 f(x)是连续函数，所以 xx x xx  f(t)dt f(t)dt  f(t)dt F(xx)F(x) lim  lim 0 0  lim x ……2分 x0 x x0 x x0 x f()x  lim  lim f() （其中介于x与xx之间） x0 x x0 由 lim f() f(x)，可知函数F(x)在x处可导，且F'(x) f(x) ……5分 x0 (II) 证法1：要证明G(x)以2为周期，即要证明对任意的x，都有G(x2) G(x)， 记H(x) G(x2)G(x)，则     x2 2 x 2 H(x) 2 f(t)dt(x2) f(t)dt  2 f(t)dtx f(t)dt 0 0 0 0 2 2  2f(x2) f(t)dt2f(x) f(t)dt 0 ……8分 0 0  2 2  又因为H(0)G(2)G(0)2 f(t)dt2 f(t)dt00  0 0  所以H(x) 0，即G(x2) G(x) ……10分 证法2：由于 f(x)是以2为周期的连续函数，所以对任意的x，有 x2 2 x x G(x2)G(x)  2 f(t)dt(x2) f(t)dt2 f(t)dt x f(t)dt 0 0 0 0  2 x2 2 x   x x  2  f(t)dt f(t)dt f(t)dt f(t)dt 2  f(u2)du f(t)dt ……8分  0 2 0 0   0 0  x   2 f(t2) f(t) dt 0 0 即G(x)是以2为周期的周期函数. ……10分 (19)（本题满分11分） 将函数 f(x)1x2，(0 x )展开成余弦级数，并求级数  (1)n1 的和. n2 n1 解：由于a  2   (1x2)dx2 22 ……2分 0  0 3 2  4 a   (1x2)cosnxdx (1)n1,n1,2, ……5分 n  0 n2 a  2  (1)n1 所以 f(x) 0 a cosnx1 4 cosnx，0 x， ……7分 2 n 3 n2 n1 n1 2  (1)n1 令x 0，有 f(0) 1 4 ， 3 n2 n1  (1)n1 2 又 f(0) 1，所以  ……11分 n2 12 n1 2008年 • 第4页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考 (20)（本题满分10分） 设,为3维列向量，矩阵AT T,其中T ，T 为，的转置. 证明： (I) 秩r(A)2； (II) 若,线性相关，则秩r(A)2. 证：(I) r(A)r(T T) r(T)r(T) ……3分  r()r() 2 ……6分 (II) 由于,线性相关，不妨设 k， 于是r(A)r(T T)r((1k2)T)r()12 ……10分 (21)（本题满分12分） 2a 1     x  1 a2 2a 1 1       x 0 设n元线性方程Ax b，其中A  a2 2a 1  ,x   2 ，b                   a2 2a 1   x  0 n      a2 2a nn (I) 证明行列式 A (n1)an； (II) 当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x ； 1 (Ⅲ) 当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解. 2a 1 a2 2a 1 (I) 证法1：记D  A  a2 2a 1 n    a2 2a 1 a2 2a n 当n 1时，D  2a，结论成立， 1 2a 1 当n2时，D  3a2，结论成立 ……2分 2 a2 2a 假设结论对小于n的情况成立，将D 按第1行展开得 n D 2aD a2D 2anan1 a2(n1)an2 (n1)an，即 A (n1)an ……6分 n n1 n2 2008年 • 第5页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考 2a 1 2a 1 3 a2 2a 1 0 a 1 2 证法2： A  a2 2a 1 r  1 ar a2 2a 1 ……2分    2 2 1    a2 2a 1 a2 2a 1 a2 2a n a2 2a n 2a 1 3 0 a 1 2 4 2 0 a 1 ……4分 r  ar 3  3 3 2 a2 2a 1    a2 2a 1 a2 2a n 2a 1 3 0 a 1 2 4 0 a 1 r  n1 ar 3 (n1)an ……6分 n n n1    n 0 a 1 n1 n1 0 a n n (Ⅱ) 解：当a 0时，方程组系数行列式D 0，故方程组有唯一解. n 由克莱姆法则，将D 第1列换成b，得行列式为 n 1 1 2a 1 0 2a 1 a2 2a 1 a2 2a 1      D nan1    n1 a2 2a 1 a2 2a 1 a2 2a a2 2a n1 n D n 所以，x  n1  ……9分 1 D (n1)a n 2008年 • 第6页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考 0 1  x  1 1      0 1 x 0 (Ⅲ) 解：当a 0时，方程组为   2               0 1 x 0   n1         0 x  0 n 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n1，所以方程组有无穷多解，其通解为 x0 1 0  0T k1 0 0  0T ,其中k 为任意常数 ……12分 (22)（本题满分11分） 1 设随机变量X与Y相互独立，X概率分布为P{X i} (i1,0,1)，Y的概率密度 3 1 0 y1 为 f (y) ， 记 Z  X Y Y 0 其它 1 (I) 求P{Z  X 0}； (II) 求Z的概率密度 f (z). z 2 解：(I) P  Z  1 X 0  P  X Y  1 X 0  P  Y  1    1 ……4分  2   2   2 2     (II) F (z)  P Z  z  P X Y  z Z        P X Y  z,X  1 P X Y  z,X 0 P X Y  z,X 1        P Y  z1,X  1 P Y  z,X 0 P Y  z1,X 1              P Y  z1 P X  1 P Y  z P X 0 P Y  z1 P X 1  1  P  Y  z1  P  Y  z  P  Y  z1  3    1 F (z1)F (z)F (z1) ……7分 3 Y Y Y f (z)F(z)1f (z1) f (z) f (z1) ……9分 Z Z 3 Y Y Y 1,1 z  2   3 ……11分 0,其他 (23)（本题满分11分） 设X ,X ,,X 是总体为N(,2)的简单随机样本，记 1 2 n X  1  n X ，S2  1  n (X  X) 2 ，T  X 2  1 S2 n i n1 i n i1 i1 (I) 证明T是2的无偏估计量； (II) 当0,1时，求DT. (I) 证：因ET  E(X 2  1 S2) EX 2  1 ES2 (EX)2 DX  1 ES2 ……4分 n n n 2008年 • 第7页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考 2 2 2   2 n n 所以T 是2的无偏估计量 ……7分 (II) 解：当 0，1时，由于X 与S2独立 ，有 DT  D(X 2  1 S2)  DX 2  1 DS2 ……9分 n n2 1 1 1    D( n X)2   D(n1)S2 n2 n2 (n1)2 1 1 1 2  1  2  2  2(n1) 1  ……11分 n2 n2 (n1)2 n2  n1 n(n1) 2008年 • 第8页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考 数 学（二） 一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.) （1）设函数 f(x)x2(x1)(x2)，则 f(x)的零点个数为 （D） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）如图，曲线段的方程为y  f(x)， 函数在区间[0,a]上有连续导数， a 则定积分 xf(x)dx等于 （C） 0 （A）曲边梯形ABCD面积. （B）梯形ABCD面积. （C）曲边三角形ACD面积. （D）三角形ACD面积. （3）【 同数学一（3）题 】 ln x （4）判断函数 f(x)  sinx，则 f(x)有 （A） x1 （A）1个可去间断点，1个跳跃间断点； （B）1个跳跃间断点，1个无穷间断点. （C）2个跳跃间断点； （D）2个无穷间断点 （5）【 同数学一（4）题 】 f(x2  y2) （6）设函数 f 连续，若F(u,v)   dxdy， x2  y2 D uv 其中区域D 为图中阴影部分， uv F 则  （A） u v v （A）vf(u2) （B） f(u2) （C） vf(u) （D） f(u) u u （7）【 同数学一（5）题 】 1 2 （8）设A  ，则在实数域上与A合同的矩阵为 （D） 2 1 2 1   2 1 2 1  1 2 （A）  （B）  （C）   （D）           1 2 1 2  1 2 2 1  2008年 • 第9页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考 二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） 1cos[xf(x)] (9) 已知函数 f(x)连续，且lim 1，则 f(0)  2 . x0 (ex2 1)f(x) (10) 微分方程(yx2ex)dxxdy0的通解是y  x(Cex) . (11) 【 同数学一（10）题 】 2 (12) 曲线y  (x5)x3的拐点坐标为 (1,6) . x  yy z 2 (13) 已知z    ，则  (ln21) .  x x (1,2) 2 (14) 设3阶矩阵A的特征值是2,3,，若行列式 2A 48，则 1 . 三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分） 【 同数学一（15）题 】 (16)（本题满分10分） x  x(t)  设函数 y  y(x) 由参数方程  t2 确定，其中 x(t) 是初值问题 y   ln(1u)du  0 dx  2tex 0 d2y dt 的解，求 . dx2 x 0  t0 dx 解：由 2tex 0得exdx 2tdt，积分并由条件x 0，得ex 1t2， dt t0 即xln(1t2) ……4分 dy dy dt ln(1t2)2t   (1t2)ln(1t2) ……7分 dx dx 2t dt 1t2 d   (1t2)ln(1t2) d2y d dy dt 2tln(1t2)2t    ( )  (1t2)ln(1t2)1 ……10分 dx2 dx dx dx 2t dt 1t2 2008年 • 第10页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考 (17)（本题满分9分） 1x2arcsinx 计算  dx. 0 1x2 x2 arcsinx 1x2arcsinx 解：由于lim  ，故 dx是反常积分 x1 1x2 0 1x2 令arcsinx t，有x sint， t[0,  ) 2 1x2arcsinx tsin2t   dx 2 costdt  2tsin2tdt ……3 分 0 1x2 0 cost 0 2 tsin2t  1    2  2sin2tdt ……7分 16 4 0 4 0 2 1  2 1   cos2t 2   ……9分 16 8 0 16 4 (18)（本题满分11分） 计算max  xy,1  dxdy，其中D  (x,y)0 x2,0 y2  . D 解：曲线xy 1将区域D分成如图所示的两个区域D 和D ……3分 1 2 max  xy,1  dxdy xydxdydxdy ……5分 D D D 1 2 1 1 2 2 2 2   dx xydy2dx dy dxxdy ……8分 1 1 1 0 0 0 2 x 2 15 19  ln212ln2 ln2 ……11分 4 4 (19)（本题满分11分）   设 f(x) 是区间 0, 上具有连续导数的单调增加函数，且 f(0) 1，对任意的 t  0,  ，直线x  0,x t，曲线y  f(x)以及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生 成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数 f(x)的表达式. t t 解：旋转体的体积V  f 2(x)dx，侧面积S  2 f(x) 1 f '2(x)dx， 0 0 t t 由题设条件知 f 2(x)dx  f(x) 1 f ;2(x)dx ……4分 0 0 上式两端对t求导得： f 2(t) f(t) 1 f '2(t)， 即 y y2 1 ……6分 2008年 • 第11页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考 由分离变量法解得ln(y y2 1)tC ，即 y y2 1Cet ……9分 1 1 将y(0) 1代入知C 1，故y y2 1et，y  (et et) 2 1 于是所求函数为y  f(x) (ex ex) ……11分 2 (20)（本题满分11分）     (I) 证明积分中值定理：若函数 f(x)在闭区间 a,b 上连续，则至少存在一点 a,b ， b 使得 f(x)dx f()(ba)； a 3 (II) 若函数(x)具有二阶导数，且满足(2) (1)，(2)   (x)dx，则至少存在 2 一点(1,3)，使得()0   证：(I) 设M 与m是连续函数 f(x)在 a,b 上的最大值与最小值，即   m f(x) M ，x a,b b 1 b 由积分性质，有m(ba)  f(x)dx M(ba)，即m  f(x)dx M ……2分 a ba a   1 b 由连续函数介值定理，至少存在一点 a,b ，使得 f()   f(x)dx， ba a b 即 f(x)dx f()(ba) ……4分 a   3 (II) 由 (I) 知至少存在一点 2,3 ，使 (x)dx()(32) () ……6分 2 3 又由(2)   (x)dx()知，23，对(x)在[1,2]和[2,]上分别应用拉格朗日 2 中值定理，并注意到(2) (1)，(2) ()，得 (2)(1) ()(2) '() 0,1 2，'() 0,2 3 ……9分 1 21 1 2 2 2 在[, ]上对导函数(x)应用拉格朗日中值定理，有 1 2 ()() () 2 1 0,(,)(1,3) ……11分   1 2 2 1 (21)（本题满分11分） 求函数ux2 y2 z2在约束条件z  x2  y2和x yz 4下的最大值与最小值. 解：作拉格朗日函数F(x,y,z,,)x2 y2 z2 (x2 y2 z)(xyz4)……3分 2008年 • 第12页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考 F'  2x2x0 x  F'  2y2y0 y  令F'  2z0 ……6分 z  F'  x2  y2 z 0   F'  x y z40   解方程组得(x ,y ,z )  (1,1,2)，(x ,y ,z )  (2,2,8) ……9分 1 1 1 2 2 2 故所求的最大值为72，最小值为6. ……11分 (22)（本题满分12分） 【 同数学一（21）题 】 (23)（本题满分10分） 设 A 为 3 阶矩阵，,为 A 的分别属于特征值-1，1 的特征向量，向量 满足 1 2 3 A  ， 3 2 3 (I) 证明,,线性无关； 1 2 3 （Ⅱ）令P{,,}，求P1AP. 1 2 3 证明: (I) 设存在数k ,k ,k ，使得k k k 0 ○1 1 2 3 1 1 2 2 3 3 用A左乘○1 的两边，并由A  ，A  ，得： 1 1 2 2 k (k k ) k 0 ○2 ……3分 1 1 2 3 2 3 3 ○1 －○2 得：2k k 0 ○3 1 1 3 2 因为, 是A的属于不同特征值的特征向量，所以, 线性无关，从而k k 0 1 2 1 2 1 3 代入○1 得，k   0，又由于  0，所以k  0，故,,线性无关. ……7分 2 2 2 2 1 2 3 （Ⅱ）由题设，可得AP A(,,)(A,A,A) 1 2 3 1 2 3 1 0 0 1 0 0     (,,) 0 1 1 P 0 1 1 1 2 3     0 0 1 0 0 1     1 0 0   由(I)知，P为可逆矩阵，从而P1AP  0 1 1 ……10分   0 0 1   2008年 • 第13页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考 数 学（三） 一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.) x  f(t)dt （1）设函数 f(x)在区间[1,1]上连续，则x=0是函数g(x) 0 的 （B） x （A）跳跃间断点. （B）可去间断点. （C）无穷间断点. （D）振荡间断点. （2）【 同数学二（2）题 】 （3）已知 f(x,y)e x2y4 ，则 （B） （A） f (0,0)， f(0,0)都存在 （B） f (0,0)不存在， f(0,0)存在 x y x y （C） f (0,0)存在， f(0,0)不存在 （D） f (0,0) f(0,0)都不存在 x y x y （4）【 同数学二（6）题 】 （5）【 同数学一（5）题 】 （6）【 同数学二（8）题 】 （7）【 同数学一（7）题 】 （8）【 同数学一（8）题 】 二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） x2 1, x c  (9) 设函数 f(x) 2 在(,)内连续，则c  1 . , x c  x  (10) 函数 f   x 1   xx3 ，求积分 2 2 f(x)dx 1 ln3 .  x 1x4 2 2   (11) 设D (x,y)x2  y2 1 ，则(x2  y)dxdy /4 . D (12) 【 同数学一（9）题 】 (13) 设3阶矩阵A的特征值是1, 2, 2，E为3阶单位矩阵，则 4A1 E = _3___ . (14) 【 同数学一（14）题 】 2008年 • 第14页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考 三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分） 1 sin x 计算lim ln . x0 x2 x lnsinxlnx xcosxsinx 解：原式＝lim =lim ……4分 x0 x2 x0 2x2sinx xcosxsinx xsinx lim lim ……7分 x0 2x3 x0 6x2 1 ……9分   6 (16)（本题满分10分） 设z  z(x,y)是由方程x2y2z(xyz)所确定的函数，其中具有二阶导数 且1， 1 z z u (I) 求 dz； (II) 记 u(x,y) (  )，求 . xy x y x 解法1：(I) 设F(x,y,z) x2  y2 z(x yz) 则F 2x，F 2y，F 1 ……3分 x y z z F z F z 2x z 2y 由公式  x ，  y ，得  ，  x F y F x 1 y 1 z z z z 1 所以dz  dx dy (2x)dx(2y)dy ……7分 x y 1 2 u 2 z 2(2x1) (II) 由于u(x,y) ， 所以  (1 ) ……10分 1 x (1)2 x (1)3 解法2：(I) 对等式x2  y2 z (x yz)两端求微分,得 2xdx2ydydz (dxdydz) ……5分 2x 2y 解出dz得 dz  dx dy ……7分 1 1 (II) 同解法1 ……10分 (17)（本题满分11分） 【 同数学二（18）题 】 (18)（本题满分10分） f(x)是周期为2的连续函数， t2 2 (I) 证明对任意实数t，有 f(x)dx  f(x)dx； t 0 x t2 (II) 证明G(x)   [2f(t) f(s)ds]dt是周期为2的周期函数. 0 t 2008年 • 第15页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考 证法1：(I) 由积分的性质知对任意的实数t， t2 0 2 t2  f(x)dx  f(x)dx f(x)dx f(x)dx ……2分 t t 0 2 t2 t t 0 令s  x2，则有 f(x)dx  f(s2)ds  f(s)ds  f(x)dx 2 0 0 t t2 0 2 0 2 所以 f(x)dx  f(x)dx f(x)dx f(x)dx  f(x)dx ……5分 t t 0 t 0 t2 2 (II) 由 (I) 知对任意的t有 f(s)ds   f(s)ds t 0 2 x 记 f(s)ds  a，则G(x)  2 f(t)dtax 0 0 x2 x 因为对任意的x，G(x2)G(x)  2 f(t)dta(x2)2 f(t)dtax 0 0 x2  2 f(t)dt2a ……8分 x 2  2 f(t)dt2a 0 0 所以G(x)是周期为2的周期函数. ……10分 t2 证法2：(I) 设 F(t)   f(x)dx，由于F'(t) f(t2) f(t)0， ……2分 t 所以F(t)为常数，从而有F(t)  F(0) 2 2 t2 2 而F(0)   f(x)dx，所以F(t)   f(x)dx，即 f(x)dx  f(x)dx ……5分 0 0 t 0 t2 2 (II) 由 (I) 知对任意的t有 f(s)ds   f(s)ds t 0 2 x x2 记 f(s)ds a，则G(x)  2 f(t)dtax，G(x2)  2 f(t)dta(x2)……7分 0 0 0 由于对任意x，(G(x2))2f(x2)a2f(x)a，(G(x))2f(x)a 所以(G(x2)G(x))0，从而G(x2)G(x)是常数， 即有G(x2)G(x) G(2)G(0) 0，所以G(x)是周期为2的周期函数. ……10分 (19)（本题满分10分） 设银行存款的年利率为r 0.05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元实 现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取(109n)万元，并能按此规 律一直提取下去，问A至少应为多少万元？ 解：设A 为用于第n年提取(109n)万元的贴现值，则A (1r)n(109n) n n 2008年 • 第16页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考   109n 故AA  ……3分 n (1r)n n1 n1  1  9n  n 10  200 9 ……6分 (1r)n (1r)n (1r)n n1 n1 n1  设S(x) nxn ，x(1,1) n1  x x 因为S(x) x(xn)  x( )  ，x(1,1) ……9分 1x (1x)2 n1  1   1  所以S  S 420（万元） 1r 1.05 故A2009420 3980 （万元），即至少应存入3980万元. ……10分 (20) ( 本题满分12分 ) 【 同数学一（21）题 】 (21) ( 本题满分10分 ) 【 同数学二（23）题 】 (22) ( 本题满分11分 ) 【 同数学一（22）题 】 (23) ( 本题满分11分 ) 【 同数学一（23）题 】 2008年 • 第17页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考 数 学（四） 一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.) 1 （1）设0ab，则lim(an bn)n  （B） n （A）a. （B）a1. （C）b. （D）b1. （2）【 同数学三（1）题 】 （3）设 f(x)是连续的奇函数，g(x)是连续的偶函数，区域 D {(x,y)0 x1, x  y  x} 则以下结论正确的是 （A） （A） f(y)g(x)dxdy 0. （B） f(x)g(y)dxdy 0. D D （C）[f(x)g(y)]dxdy 0. （D）[f(y)g(x)]dxdy 0 D D （4）【 同数学二（2）题 】 （5）【 同数学一（5）题 】 （6）【 同数学二（8）题 】 （7）【 同数学一（7）题 】 （8）【 同数学一（8）题 】 二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 【 同数学三（9）题 】 f(x) (10) 已知函数 f(x) 连续且lim 2，则曲线 y  f(x)上对应x0 处切线方程是 x0 x y  2x . 2 1 (11)  dx xy ln xdy 1/2 . 1 0 (12) 【 同数学二（10）题 】 (13) 设3阶矩阵A的特征值互不相同，且行列式 A 0，则A的秩为___2___. (14) 【 同数学一（14）题 】 2008年 • 第18页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考 三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分） 【 同数学三（15）题 】 (16)（本题满分10分） 1 设函数 f(x)   t(tx)dt (0 x 1)，求 f(x)的极值、单调区间及曲线y  f(x)的 0 凹凸区间. x 1 1 x 1 解： f(x) t(xt)dt t(tx)dt  x3   ……4分 0 x 3 2 3 1 2 2 令 f(x)x2  0，得x  ,x   （舍去） 2 2 2 因 f(x)2x0（0 x 1） ……5分 2 2 1 2 故x  为 f(x)的极小值点，极小值 f( ) (1 )，且曲线y  f(x)在(0,1)内 2 2 3 2 是凹的. ……8分 1 2 2 由 f(x) x2  知， f(x)在(0, )内单调递减，在( ,1)内单调递增. ……10分 2 2 2 (17)（本题满分11分） 【 同数学二（21）题 】 (18)（本题满分10分） 【 同数学三（16）题 】 (19)（本题满分10分） 【 同数学三（18）题 】 (20)（本题满分12分） 【 同数学一（21）题 】 (21)（本题满分10分） 【 同数学二（23）题 】 (22)（本题满分11分） 【 同数学一（22）题 】 (23)（本题满分11分） 3 设某企业生产线上产品合格率为 0.96，不合格产品中只有 产品可进行再加工，且再 4 加工合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该 企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少应生产多少件产品？ 解：进行再加工后，产品的合格率 p 0.960.040.750.80.984 ……4分 记X 为n件产品中的合格产品数，T(n)为n件产品的利润，则 X ~ B(n,p),EX  np0.984n ……8分 T(n) 80X 20(n X)，ET(n)100EX 20n78.4n ……10分 要ET(n) 20000 ，则n256，即该企业每天至少应生产256件产品. ……11分 2008年 • 第19页