2013考研数学一真题及答案解析公众号：小乖考研免费分享_04.数学一历年真题_普通版本数学一_1987-2016考研数学（一）真题答案与解析

2013 年年年年全全全全国国国国硕硕硕硕士士士士研研研研究究究究生生生生入入入入学学学学统统统统一一一一考考考考试试试试数数数数学学学学一一一一试试试试题题题题 （（（（万万万万学学学学····海海海海文文文文提提提提供供供供）））） 一一一一、、、、选选选选择择择择题题题题::::1111~~~~8888小小小小题题题题,,,,每每每每小小小小题题题题4444分分分分,,,,共共共共33332222分分分分....下下下下列列列列每每每每题题题题给给给给出出出出的的的的四四四四个个个个选选选选项项项项中中中中,,,,只只只只有有有有一一一一个个个个选选选选项项项项符符符符合合合合题题题题 目目目目要要要要求求求求的的的的,,,,请请请请将将将将所所所所选选选选项项项项前前前前的的的的字字字字母母母母填填填填在在在在答答答答题题题题纸纸纸纸指指指指定定定定位位位位置置置置上上上上.... ．．． x-arctanx (1)已知lim = c，其中k, c为常数，且c„ 0，则 （ ） xfi 0 xk - 1 1 - 1 (A)k=2,c= (B) k=2,c= (C) k=3,c= (D) 2 2 3 1 k=3,c= 3 【答案】D 【解析】因为c„ 0 1 1- c=lim x- arctanx洛 =lim 1+x2 =lim x2 =lim x2 = 1 limx3- k xfi 0 xk fi x 0 kxk- 1 fi x 0 kxk- 1(1+x2)fi x 0 kx- k 1fi k x 0 1 1 所以3- k= 0,k= 3,c= = ,故选D k 3 (2) 曲面x2 +cos(xy)+ yz+x=0在点 ( 0,1,- 1 ) 的切平面方程为 （ ） （A)x- y+ z=- 2 (B)x+ y+z =0 (C) x- 2y+ z=- 3 (D)x- y- =z 0 【答案】A 【解析】曲面在点(0,1,-1)处的法向量为 fi ¢ ¢ ¢ n=(F ,F ,F ) =(2x-ysin(xy)+1,-xsin(xy)+z,y) =(1,-1,1) x y z (0,1,-1) (0,1,-1) 故曲面在点(0,1,-1)处的切面方程为 1(cid:215) (x-0)-(y-1)+(z+1)=0, 即 x- y+ z=- 2，选A (3) 设 f(x)= x- 1 ,b= 2∫1 f(x)sinnp xdx(n= 1,2,L) . 令 s(x)=∑ ¥ b sinnp x , 则 2 n 0 n n=1 9 s(- )= 4 （ ） 3 1 1 3 (A) (B) (C) - (D) - 4 4 4 4 【答案】C1  1  -x, x˛  0,  1 2  2 【解析】 f(x)= x- = 2  x- 1 , x˛ 1 ,1      2 2  将 f(x)作奇延拓，得周期函数F(x)，周期T=2 9 则F(x)在点x=- 处连续，从而 4 9 9 1 1 1 1 S(- )=F-( =) F- ( - )= F(- )= -f( )= 4 4 4 4 4 4 故选C (4) 设 L :x2 + y2 =1,L :x2 + y2 =2,L :x2 +2y2 =2,L :2x2 + y2 =2为四条逆时针方向 1 2 3 4 的 平 面 曲 线 ， 记 I =(cid:2)∫ (y+ y3 )dx+(2x- x3 )dy(=i 1,2,3,4) . 则 max { I ,I ,I ,I }= i L 6 3 1 2 3 4 i （ ） （A）I （B）I （C）I (D)I 1 2 3 4 【答案】D y3 x3 ¶ Q ¶ P y2  y2  【解析】记P= y+ ,Q=2x- ，则 - = 2- -x2- 1 - =1 x2+ ， 6 3 ¶ x ¶ y 2  2   y3   x3  ¶ Q ¶ P   y2  I =(cid:2)∫ y+ dx+2x- dy=∫∫  - dxdy=∫∫- 1 x2+ dxdy. i  6   3   ¶ x ¶ y    2  L D D i i i 5 1 3 2 2 用D 表示L 所围区域，则有I = p ,I = p ,I = ,I = p ,I > I > I > I . i i 1 8 2 2 3 8 4 2 4 1 3 2 故选D (5)设A,B,C均为n阶矩阵，若AB =C,且B可逆，则 （ ） (A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 (B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 (C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 (D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 【答案】B 【解析】将A,C 按列分块，A=(a ,..a., ),Cg=( g,..., ) 1 n 1 n 由于AB =C,故 b ... b  11 1n   (a ,..a., ) . ... . g=( g,..., ) 1 n   1 n   b ... b  n1 nn即g =ba +...+ab g,..., a=b +a...+b 1 11 1 n1 n n 1n 1 nn n 即C的列向量组可由A的列向量线性表示 由于B可逆，故A=CB- 1，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，选B 1 a 1 2 0 0     (6) 矩阵  a b a  与  0 b 0  相似的充要条件为 （ ）     1 a 1 0 0 0 (A) a =0,b=2 (B) a =0,b为任意常数 (C) a =2,b=0 (D) a =2,b为任意常数 【答案】B 1 a 1 2 0 0     【解析】令A=  a b a  ，B=  0 b 0  ，     1 a 1 0 0 0 因为A为实对称矩阵，B为对角阵，则A与B相似的充要条件是A的特征值分别为2,b,0 l - 1 - a - 1 l - a- 1 A的特征方程 l E- A= a l - b- =a 0l- - b a - 1 - a - l 1- l- -a l 1 l - a - 1 = 0 l - b - a = l   l( - 2l)( - -b ) 2a2  ， 0 - a l- 1 因为l =2是A的特征值，所以 2E- A= 0 所以- 2a2= 0，即a =0. 当a =0时， l E- A=ll ( - l2 )(- b ) ， A的特征值分别为2,b,0所以b为任意常数即可. 故选B. (7) 设X ,X ,X 是随机变量，且X ~ N(0,1),X ~ N(0,22),X ~ N(5,32)， 1 2 3 1 2 3 p = P {- 2£ X£ 2=} (i 1,2,3),则 （ ） i i (A) p > p > p (B) p > p > p (C) p > p > p (D) p > p > p 1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 3 2【答案】A 【解析】 p = P{- 2£ X£ =2F} -F - (2=) F (- 2) 2 (2) 1, 1 1 - 2- 0 X - 0 - 2 0 p = P{- 2£ X£ =2} P £ £2 =F -  F - = (1F) - ( 1) 2 (1) 1, 2 2  2 2 2  - 2- 5 X - 5 - 2 5  7 7 p = P{- 2£ X£ =2} P £ £3 =F -  -F - (=F1) -F     (1), 3 3  3 3 3   3 3 由下图可知， p > p > p ,选A. 1 2 3 y y =j (x) O 1 2 7/3 x (8) 设随机变量X ~t(n)，Y ~ F(1,n)，给定a (0c }=a ， { } 则P Y >c2 =（ ） (A) a (B) 1- a (C) 2a (D)1- 2a 【答案】C 【解析】X ~t(n)，则X2 ~ F(1,n) P { Y >c2 } = P { X2 >c2 } = P { X >c }+P { X <- c }= 2P { X> c }= 2a ,选C. 二二二二、、、、填填填填空空空空题题题题：：：：9999(cid:2) 11114444小小小小题题题题,,,,每每每每小小小小题题题题4444分分分分,,,,共共共共22224444分分分分....请请请请将将将将答答答答案案案案写写写写在在在在答答答答题题题题纸纸纸纸指指指指定定定定位位位位置置置置上上上上.... ．．．  1  (9) 设函数y = f(x)由方程y- x= ex(1- y)确定，则limn  f( )- 1  = ___________ nfi¥  n  【答案】1 【解析】 x=0时，y =1 方程两边对x求导得y ¢ - 1= ex(1- y)(1- - y xy ¢ )所以y ¢ (0)=11 f( )- f(0) limn  f( 1 )- 1  = lim n = f ¢ (0)= 1   nfi¥  n  fi¥ n 1 n （10）已知y =e3x - xe2x,y= e-x xe2x,=y - xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3 1 2 3 个解，则该方程的通解y = __________ 【答案】y =c (e3x - ex+) c e-x xe2x 1 2 【解析】 y - y= e3-x ex,-y =y ex, 1 2 2 3 对应齐次微分方程的通解y2 =c (e3x - ex+) c ex 1 2 非齐次微分方程的通解y =c (e3x - ex+) c e-x xe2x 1 2 { x=sint d2y (11) 设 （t为常数），则 =__________ y =tsint+cost dx2 t= p 4 【答案】 2 dy dy 1 sint+tcost- sint 【解析】 = (cid:215) = = t ， dx dt dx cost dt dy d  d2y dx dt 1 1 d2y 1 = (cid:215) = = , = = 2 dx2 dt dx dx cost dx2 t= p p 4 cos dt 4 +¥ lnx (12) ∫ dx= . 1 (1+x)2 【答案】ln2 +¥ lnx lnx +¥ dx x 【解析】∫ dx=- +¥+ ∫ = ln +¥= ln2 1 (1+x)2 (1+x) 1 1 x(1+x) (1+x) 1 (13) 设 A=(a ) 是 3 阶非零矩阵， A 为 A 的行列式， A 为 a 的代数余子式，若 ij ij ij a + A =0(i, j =1,2,3) 则 A =___________ ij ij 【答案】- 1.1 0 0   【解析】方法一：取矩阵A= 0 - 1 0 ，满足题设条件， A =- 1.     0 0 1 方法二：A* =- AT ，则 A* = - AT ，整理得到 A 3- 1 =(- 1)3 A ，即 A =- 1或者 A =0. ( ) A =a A +a A +a A =- a2+ a2+ a2 £ 0 i1 i1 i2 i2 i3 i3 i1 i2 i3 又因为A„ O，所以至少有一个a „ 0，所以 ij ( ) A =a A +a A +a A =- a2+ a2+ a2 < 0 i1 i1 i2 i2 i3 i3 i1 i2 i3 从而 A =- 1. (14) 设随机变量Y 服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则 { } P Y £ a+ 1Y> a= ____. 1 【答案】1- e e- y， y>0， 【解析】 f(y)=  0， y£ 0， P { Y £ a+ 1Y> a }= P { Y P > { a Y ,Y > £ a } a+ 1 } = ∫ ∫ a a + + ¥ 1 f f ( ( y y ) ) d d y y = e- a - e- e- a +(a 1) = 1- 1 e a 三三三三、、、、解解解解答答答答题题题题：：：：11115555～～～～22223333小小小小题题题题,,,,共共共共99994444分分分分....请请请请将将将将解解解解答答答答写写写写在在在在答答答答题题题题纸纸纸纸指指指指定定定定位位位位置置置置上上上上....解解解解答答答答应应应应写写写写出出出出文文文文字字字字说说说说明明明明、、、、证证证证 ．．． 明明明明过过过过程程程程或或或或演演演演算算算算步步步步骤骤骤骤.... (15)(本题满分10分) 计算∫1 f(x) dx，其中 f(x)= ∫xln(t+1) dt 0 x 1 t 【解析】 f(x)= ∫xln(t+1) dt，则 f ¢ (x)= ln(x+1) , f(1)=0 1 t x ∫1 f(x) dx=2∫1 f(x)d x =2 f(x) x 1 - 2∫1 xf ¢ (x)dx   0 0 x 0 0 =2f(1)- 2∫1ln(x+1) xdx=- 2∫1ln(x+1) d=x- 4∫1 l+n(x 1)d x 0 x 0 x 0 =- 4  ln(x+ 1) x 1- ∫1 x dx=   - 4+ln2 4∫1 x dx  0 01+x  01+x其中 ∫1 x dx = x=t ∫1 t .2tdt =2∫1 t2 dt =2∫1 dt- 2∫1 1 dt 01+x 01+t2 01+t2 0 01+t2 x=t2 dx=2tdt p =2 [ t- arctant ]1= 2(1- ) 0 4 p 所以原式=- 4ln2+ 8(1- ) =8- p2- 4ln2 4 (16)(本题满分10分) ¥ 设数列 { a } 满足条件：a =3,a =1,a - n(n- 1)a= 0‡(n 2), S(x)是幂级数 ∑ a xn n 0 1 n- 2 n n n=0 的和函数 (I)证明：S ¢¢ (x)- S(x)= 0 (II)求S(x)的表达式 ¥ ¥ 【解析】 S(x)=∑ a xn,S ¢ (x)=∑ na xn- 1, n n n=0 n=1 ¥ ¥ S ¢¢ (x)=∑ n(n- 1)a xn- 2= ∑ (n+ 2)(n+ 1)a xn n n+2 n=2 n=0 ¥ S ¢¢ (x)- S(x)= ∑[ (n+ 2)(n+ 1)a - a ] xn n+2 n n=0 因为n(n- 1)a- a= 0‡,n 2，所以(n+2)(n+1)a - a= 0(n‡ 0). n n- 2 n+2 n S ¢¢ (x)- S(x)= 0,  所以S(0)=a =3, 0  S ¢ (0)=a =1. 1 （II）l 2 - 1= 0l, = l1, =- 1，所以S(x)=Ce- x +C ex. 1 2 1 2 又S(0)=3,S ¢ (0)=1，所以C =1,C =2,S(x)=e- x +2ex. 1 2 (17)(本题满分10分) x3 求函数 f(x,y)=(y+ )ex+y的极值 3 x3 x3 【解析】令 f ¢ =ex+y(x2 + y+ )=0， f ¢ =ex+y(1+ y+ )=0 x 3 y 3 x=1 x=- 1   解得  4或 2 y =- y =-  3  3x3 x3 x3 f ¢¢ =ex+y(2x+2x2 + y+ ) f ¢¢ =ex+y(1+x2 + y+ ) f ¢¢ =ex+y(2+ y+ ) xx 3 xy 3 yy 3 - 1 - 1 - 1 A= f ¢¢ =3e3 ，B= f ¢¢ =e3 ，C = f ¢¢ =e3 xx    1,- 4 3    xy    1,- 4 3    yy    1,- 4 3    - 2 - 2 - 2 AC- B2= 3e3- e=3 2e>3 0 又A>0  4  4 - 1 所以1,- 为 f(x,y)的极小值点，极小值为 f 1,-  =- e3  3  3 - 5 - 5 - 5 A= f ¢¢ =- e3 ，B= f ¢¢ =e3 ，C = f ¢¢ =e3 xx    1,- 2 3    xy    1,- 2 3    yy    1,- 2 3    2 因为AC- B2< 0，所以(- 1-, )不是 f(x,y)的极值点. 3 (18)(本题满分10分) 设奇函数 f(x)在[- 1,1]上具有2阶导数，且 f(1)=1. 证明：（I）存在x ˛ (0,1)，使得 f ¢ (x )=1. （II）存在h ˛ - ( 1,1)，使得 f ¢¢ (h )+ f ¢ h( )=1. 【解析】（I）由于 f(x)在[- 1,1]上为奇函数，故 f(- x)=- f(x)，则 f(0)=0 令F(x)= f(x)- x，则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且F(1)= f(1)- 1= 0 F(0)= f(0)- 0= 0，由罗尔定理，存在x ˛ (0,1)，使得F ¢ (x )=0,即 f ¢ (x )=1. （II）由于 f(x)在[- 1,1]上为奇函数，则 f ¢ (x)在[- 1,1]上为偶函数，所以由（1） f ¢ (- x )= f ¢ x( )= 1. 令G(x)=ex [ f ¢ (x)- 1 ] ，则G(x)在[- 1,1]上连续，在 (- 1,1 ) 内可导，且 G(x )=G(-x )= 0，由罗尔定理存在h ˛ - (xx ,(cid:204) ) (0,1)，使得G ¢ (h )=0 即 f ¢¢ (h )+ f ¢ h( )=1. (19)(本题满分10分) 设直线 L 过 A(1,0,0)， B(0,1,1)两点，将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面S ，S 与平面z =0,z =2所围成的立体为W .(I)求曲面S 的方程，(II)求W 的形心坐标. 【解析】 uuur x- 1 = y = z (I)AB =(- 1,1,1) ， 所以直线L方程 - 1 1 1 S 设 上任一点y由直线L上的点F(y)绕z轴旋转一周得到，则 x2 + y2 = x 2 + y 2  0 0 z = z 0 x - 1 y z 又 0 = 0 = 0 ，所以 S 方程为x2 + y2 =(1- z)2+ z2= 2z2- 2+z 1 - 1 1 1 1 1 (II)x2 + y2 - 2(z- =)2 2 2 设形心坐标(x,y,z)，几何体关于xoz,yoz对称，x = y =0 ∫∫∫zdv ∫ 0 2 zdz ∫∫ dxdy p ∫2 (2z3 - z2+ z)dz 7 z = W = x2+y2£ 2z-2 +2z 1 = 0 = . ∫∫∫dv ∫2 dz ∫∫ dxdy p ∫2 (2z2 - 2z+ 1)dz 5 W 0 0 x2+y2£ 2z-2 +2z 1 (20)(本题满分11分) 1 a  0 1 设A=  ,B= ，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC- CA= B.并求所 1 0  1 b 有矩阵C. x x  【解析】设C =  1 2 ,由于AC- CA= B,故 x x  3 4 1 a x x  x x 1 a 0 1    1 2  -  1 2   =  , 1 0 x x  x x 1 0 1 b 3 4 3 4 x +ax x +ax  x +x ax  0 1 即 1 3 2 4  -  1 2 1  =  .  x x  x +x ax  1 b 1 2 3 4 3 - x+ ax= 0 2 3   - ax+ x+ ax= 1  1 2 4 (I) x - x- =x 1  1 3 4   x - ax= b 2 3 由于矩阵C存在，故方程组(I)有解.对(I)的增广矩阵进行初等行变换：  0 - 1 a 0 M 0 1 0 - 1- 1 M 1  1 0 - 1 - 1 M 1        - a 1 0 a M 1 0 1 - a 0 M 0 0 1 - a 0 M 0  fi   fi    1 0 - 1 - 1 M 1 0 1- a 0 M+ a 1 0 0 0 0 M a+1        0 1 - a 0 M b 0 0 0 0 M b  0 0 0 0 M b  方程组有解，故a+1=0,b=0，即a =- 1,b= 0，此时存在矩阵C使得AC- CA= B. 1 0 - 1 - 1 M 1   0 1 1 0 M 0 当a =- 1,b= 0时，增广矩阵变为   0 0 0 0 M 0   0 0 0 0 M 0 x ,x 为自由变量，令x =1,x =0，代为相应齐次方程组，得x =- 1,x= 1. 3 4 3 4 2 1 令x =0,x =1，代为相应齐次方程组，得x =0,x =1. 3 4 2 1 故x =( 1,- 1,1,0 )T ,x =( 1,0,0,1 )T ,令x =0,x =0，得特解h =( 1,0,0,0 )T ，方程组的通解 1 2 3 4 k +k +1 - k  为x =kx +kx h+ =(k +k +1,-k ,k ,k )T ,所以C =  1 2 1 . 1 1 2 2 1 2 1 1 2  k k  1 2 (21)(本题满分11分) 设二次型 f(x x ,x )=(a x +a x +a x )2 +(bx +b x +b x )2，记 1, 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 a  b  1 1     a =  a  ，b =  b  2 2     a  b  3 3 （I） 证明二次型 f 对应的矩阵为2aa Tbb+ T ； （II） 若ab, 正交且为单位向量，证明 f 在正交交换下的标准形为2y2 + y2. 1 2 【解析】证明：(I) f(x ,x ,x )=2(a x +a x +a x )2 +(bx +b x +b x )2 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3a  x  b  x  1 1 1 1         =2(x ,x ,x ) a (a ,a ,a ) x + (x ,x ,x ) b (b,b ,b ) x 1 2 3  2 1 2 3  2 1 2 3  2 1 2 3  2         a  x  b  x  3 3 3 3 x  ( ) 1  = (x ,x ,x ) 2aa Tbb+ T x 1 2 3  2   x  3 = xTAx，其中A=2aa Tbb+ T ，其中x =(x ,x ,x )T . 1 2 3 所以二次型 f 对应的矩阵为2aa Tbb+ T . (II)由于A=2aa Tbb+ T ,a 与b 正交,故abT =0，a ,b 为单位向量,故 a =aa T =1, 故aaT =1,同样b bT =1. Aa = (2aa Tbb+a T) = 2aaa Tbba + a T =2 ,由于a „ 0,故A有特征值l =2. 1 Ab = (2aa Tbb+b T) = b ,由于b „ 0,故A有特征值l =1. 2 r(A)= r(2aa Tbb+ T) £ r(2aa T+) bbr( T) = r(aa T)+bbr( T)=1+1=2<3. 所以 A =0,故l =0. 3 因此, f 在正交变换下的标准形为2y2 + y 2. 1 2 (22)(本题满分11 分) 1 2, X £ 1  x2, 0< x<3  设随机变量X 的概率密度为 f(x)= 9 ，令随机变量Y = X,1< X <2    0, 其他, 1, X ‡ 2 （I）求Y 的分布函数; （II）求概率P { X £ Y } . 【解析】设y的分布函数为F(y)，则 F(y)= P{Y £ y}= P{Y£ y,£X +1} P£ {Y < y,1< X+ 2} £ P{Y ‡ y,X 2} = P{2£ y,X£ +1} P{£X 0, 设总体 X 的概率密度为 f(x;q )= x3 其中q 为未知参数且大于零，   0, 其他, X ,X ,(cid:215)(cid:215)(cid:215) X 为来自总体X 的简单随机样本 1 2 n (I)求q 的矩估计量； (II)求q 的最大似然估计量. 【解析】 +¥ +¥ q 2 - q +¥ q 2 - q +¥ - q q  (I)E(X)=∫ xf(x;q )dx=∫ x(cid:215) (cid:215) e xdx= ∫ (cid:215) e xd=x q ∫ e xd-  =  - q ¥- 0 x3 0 x2 0  x 1 n 令X = E(X)，则X =- q ，即q 的矩估计量为q =- X ，其中X = ∑ X n i i=1  (cid:213) n q 2 - q (cid:213) n  ( e x i),x >0(i =1,2,Ln) (II)L(q )= f(xq; )=  x3 i i i=1 i i=1  0， 其它 (cid:213) n q 2 - q 当x >0(i =1,2,Ln)时，L(q )= ( (cid:215) e x i) i x3 i=1 i n q lnL(q）= ∑ [2lnq - lnx-3 ] i x i=1 i dlnL(q ) n 2 1 2n n 1 =∑ ( - )= - ∑= 0 dq q x q x i=1 i i=1 i ) 2n 2n 解得q = 所以q 的最大似然估计量q = n 1 n 1 ∑ ∑ x X i=1 i i=1 i