2018考研数学三试题及答案解析公众号：小乖考研免费分享_06.数学三历年真题_普通版本数学三_2018考研数学三真题及解析

2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及答案解析 一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的. (1) 下列函数中，在x 0处不可导的是（ ） (A) f  x  x sin x (B) f  x  x sin x (C) f  x cos x (D) f  x cos x 【答案】（D） 【解析】根据导数的定义： x sin x xx lim lim 0,可导； （A）x0 x x0 x x sin x x x lim lim 0,可导； （B） x0 x x0 x 1  x cos x 1 lim lim 2 0,可导； （C）x0 x x0 x 1 2 1  x  x cos x 1 lim lim 2 lim 2 ,极限不存在， （D）x0 x x0 x x0 x 故选D。 (2)设函数f  x 在 0,1 上二阶可导，且 1 f  x  dx 0,则（ ） 0 1 1 (A)当f(x)0时, f( )0 (B) 当f(x)0时, f( )0 2 2 1 1 (C) 当f(x)0时, f( )0 (D) 当f(x)0时, f( )0 2 2 【答案】（D） 1 1 1 f() 1 1 f(x) f( ) f( )(x ) (x )2,介于 ，x之间，故 【解析】 2 2 2 2! 2 2 1 1 1 1 1 1 f() 1 1 1 f() 1 0= f(x)dx f( ) f( )(x )dx (x )2dx f( ) (x )2dx 0 2 0 2 2 0 2! 2 2 0 2! 2 1 f() 1 1 由于f(x)0  (x )2dx0,所以，f( )0.应选D. 0 2! 2 2   1x 2  1x    (3) 设M  2 dx,N  2 dx,K  2 1 cosx dx,则（ ）   1x2   ex   2 2 2 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化(A)M  N  K (B)M K  N (C)K M  N (D)K  N M 【答案】（C）  (1x)2  1x2 2x  2x M=2 dx 2 dx 2 (1 )dx . 【解析】   1x2   1x2   1x2 2 2 2 1x 1x  1xex(x0) 1 N  2 dx 21dx  M e2   ex   2 2   K=2（1 cosx)dx 2 1dx M     2 2 故K M  N,应选C。 (4)设某产品的成本函数C(Q)可导，其中Q为产量.若产量为Q时平均成本最小，则( ) 0 (A) C(Q )0 (B) C(Q )C(Q ) 0 0 0 (C) C(Q )Q C(Q ) (D) Q C(Q )C(Q ) 0 0 0 0 0 0 【答案】（D） C(Q) C(Q )Q C(Q ) 平均成本C= ,由已知得：C(Q ) 0 0 0 0，故C(Q )Q C(Q ).应选D. 【解析】 Q 0 Q2 0 0 0 0 1 1 0   (5) 下列矩阵中，与矩阵 0 1 1 相似的为（ ）     0 0 1 1 1 1 1 0 1     (A) 0 1 1 (B) 0 1 1         0 0 1  0 0 1  1 1 1 1 0 1     (C) 0 1 0 (D) 0 1 0         0 0 1  0 0 1  【答案】（A） 1 1 0 1 1 0   令J  0 1 1 ，则特征值EJ  0 1 1 （-1）3=0，   【解析】   0 0 1 0 0 1 则特征值为===1. 1 2 3 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化0 1 0    当=1时，EJ  0 0 1 ，可知（r EJ) 2.     0 0 0  1 1 1 1 1 1   A选项，令A= 0 1 1 ，则由E A  0 1 1  1 30解得===1.   1 2 3   0 0 1  0 0 1 0 1 1    此时当=1时，EA= 0 0 1 ，可知e  EA 2.     0 0 0  1 0 1   B选项，令B= 0 1 1 ，则同理显然可知矩阵B所有的特征值为1,1,1.当=1时，r（E B) 1.     0 0 1  1 0 1   C选项，令C= 0 1 1 ，则同理显然可知矩阵C所有的特征值为1,1,1.当=1时，r（E C) 1.     0 0 1  1 0 1   D选项，令D= 0 1 1 ，则同理显然可知矩阵D所有的特征值为1,1,1.当=1时，r（E D) 1.     0 0 1  由于矩阵相似，则相关矩阵EA与EJ也相似，则r(E-A)=r(E-J). 可知答案选A。 (6) 设A、B为n阶矩阵，记r  X 为矩阵X的秩， X ,Y 表示分块矩阵，则（ ） (A) r  A,AB r  A  (B) r  A,BA r  A  (C) r  A,B max  r  A  ,r  B  (D) r  A,B r  ATBT  【答案】（A） 设C  AB，则可知C的列向量可以由A的列向量线性表示，则r (A,C )r (A,AB)r (A). 【解析】 （7）设随机变量X 的概率密度 f  x 满足f  1x  f  1x  ,且 2 f  x  dx 0.6,则P  X 0  （ ） 0 (A) 0.2 (B)0.3 (C)0.4 (D)0.5 【答案】（A） 由f(1x) f(1x)知，f(x)关于x 1对称，故P  X 0  P  X 2  【解析】 P  X 0 P  0 X 2 P  X 2 1，P  0 X 2   2 f (x)dx 0.6 0 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化2P  X 0 0.4 P  X 0 0.2 1 n (8)设X ,X ,...,X (n 2) 为来自总体N(,2)(0)的简单随机样本，令X  X , 1 2 n n i i1 1 n 1 n S  (X X)2,S* (X )2, 则（ ） n1 i n i i1 i1 n(X ) n(X ) (A) ~t(n) (B) ~t(n1) S S n(X ) n(X ) (C) ~t(n) (D) ~t(n1) S* S* 【答案】（B） 2 X  【解析】X ~ N(,2),X ~ N(, ) ~ N(0,1), n / n (n1)S2 X  (n1)S2 ~2(n1),且 与 相互独立. 2 / n 2 X  / n n(X )   ~t(n1), (n1)S2 S (n1) 2 所以选B. 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分. (9) 曲线y  x2 2lnx在其拐点处的切线方程是 ________. 【答案】 y4x3 2 【解析】 y2x x 2 y2 =0 x2 1,x1,(x1舍) x2 拐点 1,1  y(1)224 切线方程：y14(x1),即y 4x3 (10) exarcsin 1e2xdx ________. 【答案】exarccosex  1e2x C 【解析】 原积分=arcsin 1e2xdex. 令ex cost,dex sintdt, 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化则原积分=arcsinsintdcost tdcost tcostsintC, 代入还原得原积分=exarccosex  1e2x C. (11)差分方程2y  y 5的通解是 ________. x x 5 【答案】 y C C 1 x x x 1 2 2 【解析】（1）对应的齐次方程为：2y  y  0, x x 于是2 1=0，故=1，=1， 1 2 故齐次通解为y C C 1 x ; x 1 2 （2）非齐次方程的特解形式为： y * kx, x 5 代入非齐次方程解得：k  . 2 5 所以非齐次方程通解为： y C C 1 x x. x 1 2 2 (12) 设函数f  x 满足f  xx  f  x 2xf  x xo x x0  ,且f  0 2,则f  1  ______. 2e 【答案】 f(xx) f(x) (x) 【解析】 2xf(x) x x x0时，可得f (x) 2xf (x) f (x)2xf (x)0. 由公式得：f(x)Ce (2x)dx =Cex2 , f(0)2C 2. 故f(x)=2ex2  f(1) 2e. (13) 设A为3阶矩阵,a ,a ,a 是线性无关的向量组, 若Aa a a ,Aa a a ,Aa a a , 1 2 3 1 1 2 2 2 3 3 1 3 则 A = __________. 【答案】2. 1 0 1   由A(,,) (,,) 1 1 0 ,令P=(,,)可知矩阵P可逆，令系数矩阵 【解析】 1 2 3 1 2 3   1 2 3   0 1 1 1 0 1 1 0 1   B= 1 1 0 ，可知矩阵A和B相似，则它们有相同的行列式，则A B 1 1 0 2.     0 1 1 0 1 1 1 (14) 随机事件A,B,C相互独立,且PAP BP C  , 则P  AC A B   2 __________. 1 【答案】 3 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化1 1   P  (AB)(AC)  P(ACABC) P(AC) 2  2 1 【解析】P AC AB      P(AB) P(A)P(A)P(AB) 1 1 1 1 1 1 1 1 3       2 2 2 2 2 2 2 2 1 P(C) P(A)P(C) 1 1 1 2     P(C) . P(A)P(B)P(C)P(ABC) 4 1 1 4 4  P(C)0 2 2 三、解答题：15～23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)  1  已知实数a,b满足 lim   axb  ex x 2,求a,b. x  1  1  (abt)et 1 【解】令 t,则lim (axb)ex x lim 2. x x  t0 t 由limt 0知，lim(abt)et1a10,则a=1;代入得 t0 t0 (1bt)et 1 et 1 btet 2=lim lim lim 1b, t0 t t0 t t0 t 从而b1. 综上，a 1,b1. (16)(本题满分10分) 设平面区域D由曲线y  3  1x2 与直线y  3x及y轴围成,计算二重积分x2dxdy. D 2 3  1x2 【解】原式= 2 dx x2dy 0 3x = 2 2 x2y 3  1x2 dx 0 3x 2       2 x2 3 1x2  3x dx 0   2 2     2 x2 3 1x2 dx 2 3x3dx 0 0  I I , 1 2 其中I   2 2 x2 3  1x2  dxxsint  3  4sin2tcos2tdt  3   4 1cos4t dt  3 , 1 0 0 4 0 2 32 2 3 I = 2 3x3dx  . 2 0 16 3 故原式I= 2  . 32 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化(17)(本题满分10分) 将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？ 若存在，求出最小值. 【解析】设圆的半径为x，正方形的边长为y，正三角形的边长为z，则2x 4y 3z 2,其面积和 3 3 S(x,y,z) x2 y2  z3,即是求S(x,y,z) x2 y2  z3在约束条件24y3z 2下的最小值是否存在. 4 4 3 设L(x,y,z,) x2 y2  z2 (2x4y3z2), 4  1  L 2x20 x x   x43 3 L 2y40   y  2  3 ,解得y  (唯一驻点).由实际问题可知，最小值一定存在，  L  z30  43 3 z 2   2 3 L 2x4y3z20 z  x  43 3 1 2 2 3 1 在点（ ， ， ）处取得最小值，且最小值为 . 43 3 43 3 43 3 43 3 (18)(本题满分10分) 1  已知cos2x  a xn(1 x1),求a . (1x)2 n n n0  (2x)2n  22n 1  【解】当1 x1时，cos2x (1)n  (1)n x2n,  (1)nxn, 所以 (2n)! (2n)! 1x n0 n0 n0 1 1     ( ) 1 n nxn1 1 n1 (n1)xn. (1x)2 1x n1 n0   22n  所以a xn 1 n x2n 1 n1 (n1)xn. n (2n)! n0 n0 n0 n 2n 故当n为偶数时，a (1)2( n1);当n为奇数时，a (1)n1(n1). n n! n (19)(本题满分10分) 设数列 x 满足：x 0,x ex n1 ex n 1(n 1,2,),证明 x 收敛，并求limx . n 1 n n n n 【解析】x 0,假设x 0, 1 k ex k 1 由x0,ex 1 x0可知x 1n 1n10. k1 x k 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化故数列 x 有下界. n ex n 1 ex n 1 x x 1n x 1n n1 n x n x ex n n n 令f  x  xex   ex 1  ,则f  x  xex  0,故f  x 单调增加. ex 1 当x0时，f  x  f  0 0,故0 1,所以x x 0 xex n1 n 数列 x 单调减少 n 所以limx 存在，设为A，则limx ex n1 lim  ex n 1  n n n n n AeA eA 1,解得A=0，即limx =0. n n (20)(本题满分11分) 设实二次型f(x ,x ,x ) (x ,x x )2(x x )2(x ax )2, 其中a是参数. 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 (I) 求f(x ,x ,x ) 0的解； 1 2 3 (II) 求f(x ,x ,x )的规范形. 1 2 3 由f(x ,x ,x )=(x x x )2(x x )2(x ax )2 0,则应有 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 x x x =0 1 1 1 x  1 2 3 1       x x =0 .令A= 0 1 1 ,x  x . 2 3    2        x ax =0 1 0 a x  1 3 3 即Ax 0. 1 1 1 1 1 1  1 1 1  【解析】(I)       由A= 0 1 1  0 1 1  0 1 1 .             1 0 a 0 1 a1 0 0 a2 2   可知当a 2时，方程组有非零解xk 1 ,其中k为任意常数.      1  当a  2时，方程组只有零解. 当a  2时，此时显然可知二次型正定，则此时对应的规范形为： f(y ,y ,y )  y2 y2 y2. 1 2 3 1 2 3 当a 2时，  2 1 3   (II) 方法一：（正交变换法）令二次型对应的实对称矩阵为B= 1 2 0 ，则由      3 0 6 2 1 3 EB  1 2 0 (21018)0, 3 0 6 解得=5 7，=5 7，=0. 1 2 3 则可知规范形为：f(z ,z ,z ) z2 z2. 1 2 3 1 2 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化方法二：（配方法）由于 1 3 3 f(x ,x ,x ) 2(x2x x 3x x )22x26x2 2(x  x  x )2 (x x )2. 1 2 3 1 1 2 1 3 2 3 1 2 2 2 3 2 2 3  1 3 z  2(x  x  x )  1 1 2 2 2 3   3 令 z  (x x ) ,得规范形为f (z ,z ,z ) z2z2. 2 2 2 3 1 2 3 1 2   z  x 3 3   (21)(本题满分11分) 1 2 a   1 a 2     已知a是常数，且矩阵A= 1 3 0 可经初等列变换化为矩阵B= 0 1 1 .         2 7 a  1 1 1 (I) 求a; (II) 求满足AP  B的可逆矩阵P. 1 2 a 1 a 2 【解析】(I) 由于 A  1 3 0 0,则可知B  0 1 1 1a210,a 2. 2 7 a 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2       由(AB)  1 3 0 0 1 1    0 1 2 0 1 1    0 1 2 0 1 1  .       2 7 2 1 1 1 0 3 6 0 3 3 0 0 0 0 0 0       6  3  6  4  6  4              (II) 解得p k 2  1 ,p k 2  1 ,p k 2  1 . 1 1    2 2    3 3                 1   0   1   0   1   0   36k 46k 46k  1 2 3   故解得可逆矩阵P= 12k 12k 12k ,其中k k .  1 2 3 2 3    k k k  1 2 3 (22)(本题满分11 分) 1 设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为PX 1 PX 1 ,Y服从参数为的泊松分布. 2 令Z  XY. (I) 求Cov  X,Z  ; (II) 求Z的概率分布. 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化Cov  X,Z  =E  XZ EXEZ 【解析】(I) EX 0，EX2 1，EY E  XZ E  X2Y   Cov  X,Z  =E  XZ EXEZ . Z的取值为0，1，2，， 1 1 P  Z 0 P  X 1，Y 0 P  X 1，Y 0  P  Y 0  P  Y 0 e  2 2 (II) 1 1 ke P  Z k P  X 1，Y k  P  Y k  2 2 k! 1 1 ke P  Z k P  X 1，Y k  P  Y k  ,其中k 1,2,. 2 2 k! (23)(本题满分11 分) 设总体X的概率密度为 1  x f(x,) e , x, (I) 2 其中(0,)为未知参数，X ,X ,,X 为来自总体X的简单随机样本记. 的最大似然估计量为. 1 2 n 求ˆ； (II) 求Eˆ和D(ˆ). n 1  x i 设L= e ,x ,则 2 i i1 n 1 x lnL(ln ln i ) 【解析】(I) 2  i1 dlnL n 1 x 1 n 令  (  i ) 0ˆ  X d  2 n i i1 i1 1 n  x  x  x  x Eˆ= E X E X   e dx   e dx  n i  2 0  i1 1 n 1 1 1  x2  x (II) Dˆ  D X  D X  (EX 2E2 X ) ( e dx2) n2 i n n n  2 i1 1  x2  x 2  ( e dx2) . n 0  n 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化