2018考研数学二真题公众号：小乖考研免费分享_05.数学二历年真题_普通版本数学二_2018年考研数学二真题及解析

2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1 （1）若lim(ex ax2 bx)x2 1,则（ ） x0 1 1 1 1 (A)a  ，b1 (B)a  ,b1 (C)a ,b1 (D)a ,b1 2 2 2 2 （2）下列函数中，在x  0处不可导的是（ ） (A) f x x sin x (B) f  x  x sin x (C) f xcos x (D) f  x cos x 2ax,x1 1,x0  （3）设函数f(x) ,g(x)x,1 x0 ,若f(x)g(x)在R上连续，则 （ ） 1,x0   xb,x0 (A)a 3,b1 (B) a 3,b2 (C) a 3,b1 (D) a 3,b2 1 （4）设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且 f(x)dx0,则（ ） 0 1 1 (A)当f(x)0时, f( )0 (B) 当f(x)0时, f( )0 2 2 1 1 (C) 当f(x)0时, f( )0 (D) 当f(x)0时, f( )0 2 2   1x 2  1x    （5）设M  2 dx,N  2 dx,K  2 1 cosx dx,则（ ）   1x2   ex   2 2 2 (A)M  N  K (B)M K  N (C)K M  N (D)K  N M 0 2x2 1 2x2 （6） dx (1xy)dy dx (1xy)dy （ ） 1 x 0 x 5 5 7 7 (A) (B) (C) (D) 3 6 3 6 1 1 0   （7）下列矩阵中与矩阵 0 1 1 相似的为（ ）     0 0 1 1 1 1 1 0 1     (A) 0 1 1 (B) 0 1 1         0 0 1  0 0 1 1 1 1 1 0 1     (C) 0 1 0 (D) 0 1 0         0 0 1  0 0 1  （8）设A,B为n阶矩阵，记r  X 为矩阵X的秩， X,Y 表示分块矩阵，则（ ） (A) r  A,AB r  A  (B) r  A,BA r  A  (C) r  A,B max  r  A  ,r  B  (D) r  A,B r  ATBT  二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分. （9） lim x2[arctan(x1)arctanx] x （10）曲线y  x2 2lnx在其拐点处的切线方程是  1 （11） dx 5 x2 4x3 xcos3t  （12）曲线 ，在t  对应点处的曲率为 y sin3t 4 z （13）设函数z  x,y 由方程lnzez1 xy确定,则 1  x (2, ) 2 （14）设A为3阶矩阵,,,是线性无关的向量组,若A 2  ,A  2,A  , 1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 3 2 3 则A的实特征值为 . 三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 求不定积分e2xarctan ex 1dx. （16）（本题满分10分） x x 已知连续函数f(x)满足 f(t)dt tf(xt)dt ax2 0 0 （I）求f(x)； （II）若f(x)在区间[0,1]上的平均值为1,求a的值. （17）（本题满分10分） xtsint, 设平面区域D由曲线 (0t 2)与x轴围成,计算二重积分(x 2y)d. y 1cost D（18）（本题满分10分） 已知常数k ln21.证明：(x1)(xln2x2klnx1)0. （19）（本题满分10分） 将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？ 若存在，求出最小值. （20）（本题满分11分） 4 已知曲线L: y  x2(x0),点O  0,0  ,点A  0,1  .设P是L上的动点，S是直线OA与直线AP及曲线L 9 所围成图形的面积，若P运动到点 3,4 时沿x轴正向的速度是4，求此时S关于时间t的变化率. （21）（本题满分11分） 设数列 x 满足：x 0,x ex n1 ex n 1(n1,2,),证明 x 收敛，并求limx . n 1 n n n n （22）（本题满分11分） 设实二次型f(x ,x ,x )(x ,x x )2 (x x )2 (x ax )2,其中a是参数. 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 (I) 求f(x ,x ,x ) 0的解； 1 2 3 (II) 求f(x ,x ,x )的规范形. 1 2 3 （23）（本题满分11分） 1 2 a   1 a 2     已知a是常数，且矩阵A= 1 3 0 可经初等列变换化为矩阵B= 0 1 1 .         2 7 a  1 1 1 (I) 求a; (II) 求满足AP  B的可逆矩阵P.