2018考研数学二真题公众号：小乖考研免费分享_05.数学二历年真题_普通版本数学二_2018年考研数学二真题及解析

2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1
（1）若lim(ex ax2 bx)x2 1,则（ ）
x0
1 1 1 1
(A)a  ，b1 (B)a  ,b1 (C)a ,b1 (D)a ,b1
2 2 2 2
（2）下列函数中，在x  0处不可导的是（ ）
(A) f x x sin x (B) f  x  x sin x
(C) f xcos x (D) f  x cos x
2ax,x1
1,x0 
（3）设函数f(x) ,g(x)x,1 x0 ,若f(x)g(x)在R上连续，则 （ ）
1,x0


xb,x0
(A)a 3,b1 (B) a 3,b2
(C) a 3,b1 (D) a 3,b2
1
（4）设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且 f(x)dx0,则（ ）
0
1 1
(A)当f(x)0时, f( )0 (B) 当f(x)0时, f( )0
2 2
1 1
(C) 当f(x)0时, f( )0 (D) 当f(x)0时, f( )0
2 2
  1x 2  1x   
（5）设M  2 dx,N  2 dx,K  2 1 cosx dx,则（ ）
  1x2   ex  
2 2 2
(A)M  N  K (B)M K  N
(C)K M  N (D)K  N M
0 2x2 1 2x2
（6） dx (1xy)dy dx (1xy)dy （ ）
1 x 0 x
5 5 7 7
(A) (B) (C) (D)
3 6 3 6
1 1 0
 
（7）下列矩阵中与矩阵 0 1 1 相似的为（ ）
 
 
0 0 1
1 1 1 1 0 1
   
(A) 0 1 1 (B) 0 1 1
   
   
0 0 1  0 0 1 1 1 1 1 0 1
   
(C) 0 1 0 (D) 0 1 0
   
   
0 0 1  0 0 1 
（8）设A,B为n阶矩阵，记r  X 为矩阵X的秩， X,Y 表示分块矩阵，则（ ）
(A) r

A,AB
r 
A

(B) r

A,BA
r 
A

(C) r  A,B max  r  A  ,r  B  (D) r  A,B r  ATBT 
二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.
（9） lim x2[arctan(x1)arctanx]
x
（10）曲线y  x2 2lnx在其拐点处的切线方程是
 1
（11） dx
5 x2 4x3
xcos3t 
（12）曲线 ，在t  对应点处的曲率为
y sin3t 4
z
（13）设函数z  x,y 由方程lnzez1 xy确定,则 1 
x (2, )
2
（14）设A为3阶矩阵,,,是线性无关的向量组,若A 2  ,A  2,A  ,
1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 3 2 3
则A的实特征值为 .
三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
求不定积分e2xarctan ex 1dx.
（16）（本题满分10分）
x x
已知连续函数f(x)满足 f(t)dt tf(xt)dt ax2
0 0
（I）求f(x)；
（II）若f(x)在区间[0,1]上的平均值为1,求a的值.
（17）（本题满分10分）
xtsint,
设平面区域D由曲线 (0t 2)与x轴围成,计算二重积分(x 2y)d.
y 1cost
D（18）（本题满分10分）
已知常数k ln21.证明：(x1)(xln2x2klnx1)0.
（19）（本题满分10分）
将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？
若存在，求出最小值.
（20）（本题满分11分）
4
已知曲线L: y  x2(x0),点O  0,0  ,点A  0,1  .设P是L上的动点，S是直线OA与直线AP及曲线L
9
所围成图形的面积，若P运动到点
3,4
时沿x轴正向的速度是4，求此时S关于时间t的变化率.
（21）（本题满分11分）
设数列 x 满足：x 0,x ex n1 ex n 1(n1,2,),证明 x 收敛，并求limx .
n 1 n n n
n
（22）（本题满分11分）
设实二次型f(x ,x ,x )(x ,x x )2 (x x )2 (x ax )2,其中a是参数.
1 2 3 1 2 3 2 3 1 3
(I) 求f(x ,x ,x ) 0的解；
1 2 3
(II) 求f(x ,x ,x )的规范形.
1 2 3
（23）（本题满分11分）
1 2 a   1 a 2
   
已知a是常数，且矩阵A= 1 3 0 可经初等列变换化为矩阵B= 0 1 1 .
   
   
2 7 a  1 1 1
(I) 求a;
(II) 求满足AP  B的可逆矩阵P.