2019年考研数学一真题公众号：小乖考研免费分享_04.数学一历年真题_普通版本数学一_2019考研数学（一）真题+答案解析

2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要 求的 （1）当x0时，若xtanx与xk是同阶无穷小，则k=（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4  xx, x0 （2）设函数 f(x) ，则x0是 f(x)的（ ） xlnx,x0 (A)可导点，极值点 (B) 不可导点，极值点 (C)可导点，非极值点 (D) 不可导点，非极值点   （3）设 u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ） n  u  1 (A) n (B) (1) n u n1 n1 n  u  (C)(1 n ) (D) (u2 u2) n1 n u n1 n1 n1 x （4）设函数Q(x,y) .如果对上半平面(y 0)内的任意有向光滑封闭曲线C都有 y2  P(x,y)dxQ(x,y)dy 0,那么函数P(x,y)可取为（ ） C x2 1 x2 1 1 1 (A)y (B)  (C)  (D)x y3 y y3 x y y （5）设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若A2  A2E,且A 4，则二次型xTAx的规范为 （ ） (A) y2  y2  y2 (B)y2  y2  y2 1 2 3 1 2 3 (C)y2  y2  y2 (D)  y2  y2  y2 1 2 3 1 2 3   （6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程a xa ya z d i 1,2,3 组成的 i1 i2 i3 i 线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A,则（ ） (A) r(A)2,r(A)3 (B) r(A)2,r(A)2 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化(C)r(A)1,r(A)2 (D)r(A)1,r(A)1 （7） 设A,B为随机事件，则P(A) P(B)的充分必要条件是（ ） (A) P(AB) P(A)P(B) (B)P(AB) P(A)P(B) (C) P(AB) P(BA) (D)P(AB) P(AB)   （8）设随机变量X与Y相互独立，且都服从于正态分布N(,2)，则P X Y 1 （ ） (A) 与无关，而与2有关 (B) 与有关，而与2无关 (C) 与，2都有关 (D) 与，2都无关 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。 1 z 1 z （9）设函数f(u)可导，z  f  sin ysinx  xy,则    __________. cosx x cosy y （10）微分方程2yy y2 20满足条件y  0  1的特解y __________.  (1)n （11）幂级数 xn在(0,)内的和函数s(x) . (2n)! n0 （12）设为曲面x2  y2 4z2 4(z 0)的上侧，则 4x2 4z2dxdy  .  （13）设A  a,a ,a 为3阶矩阵，若a,a 线性无关，且a a 2a ,则线性方程组Ax0的 1 2 3 1 2 3 1 2 通解为 . x  , 0 x2 （14）设随机变量X的概率密度为f(x)2 ，F(x)为X的分布函数，EX为X  0, 其他 的数学期望，则P  F(X) EX 1   . 三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分） x2 设函数y  x 是微分方程yxy e  2满足条件y  0  0的特解.   （1）求 y x ;   （2）求曲线 y  y x 的凹凸区间及拐点. 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化（16）（本题满分10分） 设a,b为实数，函数z 2ax2 by2在点(3，4)处的方向导数中，沿方向l 3i4j的方向导数最 大，最大值为10. （1）求a,b； （2）求曲面z 2ax2 by2 z 0  的面积. （17）（本题满分10分） 求曲线y exsinx  x0 与x轴之间图形的面积. （18）（本题满分10分） 1 设a   xn 1x2dx(n0,1,2,) n 0 n1 （1）证明：数列 a 单调减少，且a  a (n2,3,) n n n2 n2 a （2）求lim n . na n1 （19）（本题满分10分） 设是由锥面在x2 (yz)2 (1z)2(0 z 1)与平面z 0围成的锥体，求的形心坐标. （20）（本题满分11分） 设向量组x (1,2,1)T x (1,3,2)T x (1,a,3)T为R3的一个基，(1,1,1)T在基下的坐标(b,c,1)T. 1 2 3 (1) 求a,b,c； (2) 证明a ,a ,为R3的一个基.并求a ,a ,到a ,a ,a的过渡矩阵. 2 3 2 3 1 2 3 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化（21）（本题满分11分） 2 2 1  2 1 0     已知矩阵A 2 x 2与B 0 1 0相似.      0 0 2 0 0 y (1) 求x、y; (2) 求可逆矩阵P，使得P1AP  B. （22）（本题满分11分） 设 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立 , X 服 从 参 数 为 1 的 指 数 分 布 . Y 的 概 率 分 布 为 P  Y 1   p,P  Y 1  1 p(0 p1),令Z  XY （1） 求Z的概率密度； （2） p为何值时，X与Y不相关； （3）X与Z是否相互独立. （23）（本题满分11分）  (x)2 A  设总体X的概率密度为f(x;2)   e 22 ,x.   0, x. 其中是已知参数，0是未知参数，A是常数，X ,X ,,X 是来自总体X 的简单随机样本. 1 2 n (1)求A； (2) 求2的最大似然估计量. 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化