数学历年真题全精解析•数学三
一、选择题(1〜10小题，每小题5分，共50分.下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的•)
(1) 当工―0时,aQ),0Q)是非零无穷小量，则以下四命题
① 若a(z)〜0(g),则/(z)〜俘(工).
② 若 a? (x)〜& (z),则 a(z)〜0(z).
③ 若 a(z)〜0(h),则 aQ) — B(工)=o(a(z)).
④ 若a(工)一卜工)=o(a(z)),则a (z)〜0(工).
真命题的序号是
(A)①③. (E)①④. (C)①③④. (D)②③④.
(2) 已知 q” =眉一-— (n = 1,2,…)，则{a”}
(A)有最大值，有最小值. (B)有最大值，无最小值.
(C)无最大值，有最小值. (D)无最大值，无最小值.
f
(3)已知 f(t)连续，令 F(_r,y) = j Cx — y — t) 则
小、°F _ 3F d2F _ d2F 小、3F _ dF d2F _ d2F
(A)^==^,^? = ay- ⑻石=石，左=一亏，
OF _ 3F 32F _ d2F ‘门、bf _ dF d2F _ a2F
(D)議=—石，狂=一
(4)已知人 =£ 2(l+：os工严仏 ln( 1 + a?) dx,I3 £ 也，则
1 + cos x
(A)h <I2< I3. (BI ) 2 <h< I3.
o-
(CM < I3 < I2. (DM < /2 < A.
-1 0
(5)设A为3阶矩阵,A = 0 -1 0，则A的特征值为1,-1,0的充要条件是
_0 0 0_
(A)存在可逆矩阵P,Q,使得A = PAQ. (B)存在可逆矩阵P,使得A = PAP \
(C)存在正交矩阵Q，使得A = QAQ }. (D)存在可逆矩阵P,使得A = PAP\
~1 1 r
(6)设矩阵A = 1 a a2 ，则线性方程组Ax =b解的情况为
1 b b2
(A)无解. (B)有解.
(C)有无穷多解或无解. (D)有唯一解或无解.
1
A ，若向量组«! ,a2 ,a3与血心心等价，则入的取
A2,
值范围是
(A){A | A 6 R}. (b){a I a e Ra 工一2}.
(C){A I A e R，A 工一 1,A 工一 2}. (D)u I A 6 Ra 工一 1}.2022年全国硕士研究生招生考试数学(三)试题
(8)设随机变量X〜N(0,4),随机变量Y~B(3,y),且X,Y不相关，则D(X-3Y+1)=
(A)2. (B)4. (06. (D)10.
(9)设随机变量序列独立同分布且X的概率密度为*工)=5
I O： 其他，
当 n —► oo 时£疋依概率收敛于
(*A. ) (E)*. (C) y. (D)*.
(10)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
X
0 1 2
-1 0. 1 0. 1 b
1 a 0. 1 0. 1
若事件{max{X,Y} = 2}与事件{min{X,Y} = 1}相互独立，则 Cov(X,Y)=
(0A. ) 6. (B) -0. 36. (C)0. (D)0. 4&
二、填空题(11〜16小题，每小题5分，共30分.)
(11) lim(气兰
X—0 \ /
(12)lo
r■—;”"c……；~山
•a? + 2z + 4
(13)已知函数 _/(工)=esinx + e-sinS则厂(2兀)=
to,其他，则「少匸心汕―皿=
(14)已知函数S = <
(15)设A为3阶矩阵，交换A的第2行和第3行，再将第2列的一1倍加到第1列，得到矩阵
--2 1 -1-
1 - 1 0 ,则 A-1 的迹 tr(AT) = ________.
―1 0 0 _
(16)设A,B,C为三个随机事件,A与B互不相容,A与C互不相容，£与C相互独立，且P(A)=
P(B) = P(C)=寺，则 P(B U C 丨 A U E U C) =________.
三、解答题(17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•)
(17)(本题满分10分)
设函数y =夕(工)是微分方程y = 2+后满足夕(1) = 3的解，求曲线夕=夕(工)的
2 a/
渐近线.数学历年真题全精解析•数学三
(18)(本题满分12分)
设某产品的产量Q由资本投入量工和劳动投入量夕决定，生产函数Q= 12工寺•我，该产品的
出售单价P与Q关系为P = 1160-1. 5Q.若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为6和
8,求利润最大时的产量.
(19) (本题满分12分)
已知平面区域D = {&,》)|歹一2 £工冬扬二7,0 £夕£2},计算/ =JJ号亍耳dzdy.
(20) (本题满分12分)
求2 爲)占 g”的收敛域及和函数SQ).
缶 4 (2n + 1)
(21)(本题满分12分)
已知二次型 /(xi，工2，工3)= 3xi + 4x| + 3& +
2xxx3.
(I)求正交变换x = Qy，将于(心，工2,帀)化为标准形;
(D )证明：min 心叮"3)= 2.
xHO X X
(22)(本题满分12分)
设Xi,X2,…，X”为来自均值为0的指数分布总体X的简单随机样本为来自均
值为20的指数分布总体Y的简单随机样本,且两个样本相互独立，其中0(0>0)为未知参数.
利用样本X】，X2,…，X”和Yi工，…，丫,”.
(I)求0的最大似然估计量8；
A
(II)求D⑹.
