文档内容
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皮咄虹
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学
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四
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试
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分t
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①
北
京
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大
学
出
版"答案速查
一、 填空题
(01.) (2)(—oo,1)(或(一8,1]).⑶方(4)2. (5)、=§£+7^. (6)*.
二、 选择题
((B7)). (8)(0. (9)(B). (10)(0. (11)(A). (12)(D). (13)(D). (14)(A).
三、 解答题,
■\15)-y. (16)( I )/(x)=^(;r+2)a+4). (口*=一七.(17)(1)证明略.(口)[2—^厢.
((18) I )2. (11)1. (19)证明略.(20)1.05 km.
(21) || = 2工K + *吁;，春=一 +xezyf,2,
= —yUi + 2 (/ — 丁)e" +^^^22 + e* (1 +zy) &.
(22) 当a=0时，方程组有非零解，通解为+妫功+丁现,其中华= ( — l,l,0,0)T，m =(-l，0，l，0)T，
功=(一1,0,0,1)，/,用，志为任意常数.
当。=一10时，方程组也有非零解，通解为x=%其中4=(1,2,3,4尸以为任意常数.
9
(23) a = — 2时,A可相似对角化.a=-y时,A不可相似对角化.
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
姓名 分数
一、填空题：1〜6小题,每小题4分，共24分.
⑴设yCz) = lim々W甘，则/(工)的间断点为工=_________.
lcq nx 十 1
(2)设函数yCr)由参数方程了― , 确定,则曲线y=y(X)向上凸的Z的取值范围为________.
ly=r—3z+l
⑶广—.
J 1 xjf —]
(4)设函数z=z(3)由方程z=e2j~32 + 2j/确定，则3 ||+亲=・
⑸微分方程(了+/)&—2zdy=0满足y | =~|■的特解为.
'2 1 0'
(6)设矩阵A= 1 2 0，矩阵B满足ABA*=2BA,+E,其中A*为A的伴随矩阵,E是单位矩阵，则出| =
.0 0 1,
二、选择题：7〜14小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
⑺把0+时的无穷小量a = J。cos Z2dz,/?= J。tanVF dr,y = [ sin /dt排列起来,使排在后面的是前一个的高
阶无穷小量,则正确的排列次序是
(aA,0),y. (B)a,y,j9.
(C)0,a,y. (D)0,y,a.
(8) 设 /(x)=|x(l-x)|,则
(A) r=0是rCz)的极值点，但(0,0)不是曲线y=y(Q的拐点.
(B) 工=0不是六工)的极值点，但(0,0)是曲线v=y&)的拐点.
(C) H=0是/'(h)的极值点，且(0,0)是曲线的拐点.
(D) m=0不是以工)的极值点<(0,0)也不是曲线y= f(x)的拐点.
(9) lim lnA/(l+—)2(1+—)Z-(1+—)2于 k
(JA) ln&&. (B)2 j In xdr.
(C)2 j： ln(l+z)&. (D)j' ln2(l+x)dz.
(10) 设函数六工)连续，且/(0)>0,则存在0>0,使得
(A) /(x)在(0,8)内单调增加.
(B) f(£)在(一&0)内单调减少.
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案速查
一、 填空题
(-41.) (2)上一y=0. (3)--nP-. (4)7-(e4--l). (5)3. (6)4-
n! 4a 2
二、 选择题
((7D)). (8)(B). (9)(A). (10)(0. (11)(B). (12)(D).
»
三、 解答题
W13)当a=~l时顶J)在z=。处连续;当a=~2时口=0是六了)的可去间断点.
mf(l+；ln2)"(⑸匕裕 +C,其中C为任意常数.
((16) I )y〃一y=sin x. ( II )j>(x) = eJ —e-x— sin x.
(17)当AV4时，无交点；当％ = 4时,有一个交点；当&>4时，有两个交点・
(18XI)f+2寸=1. (n)s=争.
(19)( I)£=、(少一4. (fl )z=2e*(j/20).
'0 1 1
(20)证明略.(21)q=0；P= 0 2 -2 . (22)证明略.
.1 0 0 ,
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
姓名 分数
一、填空题：1〜6小题,每小题4分，共24分.
⑴若jt—O时，(1—皿2)+ —1与zsin x是等价无穷小，则a=.
⑵设函数 尸fS)由方程巧+21nz=J所确定，则曲线、=/(])在点(1,1)处的切线方程是・
(3) 丁=2,的麦克劳林公式中z”项的系数是・
(4) 设曲线的极坐标方程为p=e^(a>0)，则该曲线上相应于。从0变到2k的一段弧与极轴所围成的图形的面积
为.
，1 -1 1 '
⑸设a为3维列向量,犷是口的转置.若aaT= -1 1 -1，则aTa=・
、1 -1 1 ,
'1 0 r
(6)设3阶方阵A,B满足A2B-A-B=E,其中E为3阶单位矩阵，若4= 0 2 0，则|B|=.
、—2 0 1,
二、选择题：7〜12小题,每小题4分，共24分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
⑺设0} ,0} ,{&}均为非负数歹L且li呼”=0,li砂” = 1,1皿& =8,则必有
n-^oo
(aA) ”V九对任意〃成立. (B)A”V&对任意〃成立.
(C)极限hmaM不存在. (D)极限不存在.
n-^oo
(8)设 a„ = y * "T Jl+z”dz,则极限limg,等于
0 rr-^°°
(A)(l+e)3 +1. ((Bl ) + eT)E—l.
(C)(l + eT)*+l. (D)(l+e)分 一1.
(9) 已知是微分方程了^砂+认"")的解，则平(弓)的表达式为
(-Aj.) (B)g
(C)-* (D 亏.
(10) 设函数 八r)在(一8,+8)内连续，其导函数的图形如右图所示，则yu)有
(A) 一个极小值点和两个极大值点.
(B) 两个极小值点和一个极大值点.
(C) 两个极小值点和两个极大值点.
(D) 三个极小值点和一个极大值点.
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案速查
一、 填空题
(I) -2. (2)1. (3)3/= 71+1. (4)籍.(5)4.
二、 选择题
(6)(D). (7)(D). (8)(0. (9)(B). (10)(A).
三、 解答题
(II) z+y+十-乎=0.
［寻+了2— , — 1<>tV0,
(F1(2z))={ 工
Un 昂-弄l + ln2-土，OVWL
(13)/(^)=e _1 了. (1 4为=工一岛(15)2 米.(16 证明略.
■ 0 2 0 '
(17)证明略 (18)证明略.(19)(1 )证明略.(口) -1 -1 0
.0 0 -2.
'0、 1 '
3 -2
(20)x= -\~k ，其中&为任意实数.
0 1
.1> 、0 .
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
姓名 分数
一、 填空题：1〜5小题.每小题3分，共15分.
1 _ tanx
—, x>0,
(1) 设函数/(z)=< arcsin亏 在z=0处连续，则q=.
(2) 位于曲线y=jce x (0/+(/)2= 0满足初始条件y| =1,/| =夺的特解是__________ .
I x=0 I x=0 乙
(4) lim-^- (" 1 + cos 己 +" 1 +cos 亨+ …+" 1 + cos 号)=•
，0 -2 -2'
(5) 矩阵2 2 —2的非零特征值是.
.-2 -2 2 .
二、 选择题：6~10小题,每小题3分，共15分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
(6) 设函数/(")可导点=六/),当自变量$在工=一1处取得增量&r= —0. 1时，相应的函数增量的线性主
部为0.1，则/(1)=
(-Al.) (B)0. 1.
(C)l. (D)0.5.
(7) 设函数/(上)连续,则下列函数中，必为偶函数的是
(A) [X/(r2)dz.
J 0
(B)
J 0
(C) I,
J 0
(D) 「
J 0
(8) 设y=y(工)是二阶常系数微分方程y+py+qy=^满足初始条件y(O)=J(O)=。的特解，则当£-0咳，函
数ln(l+《.)的极限
(A)不存在. (B)等于1.
(C)等于2. (D)等于3.
(9) 设函数y=f(.x)在(0,+8)内有界且可导，则
(A) 当 lim/(j)=0 时，必有 lim/(j)=0.
j
» -|-ca j*+oc
(B) 当lim/愆)存在时，必有lim/(x)=0.
_r~* +，/*> X-* + 8
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案速查
一、 填空题
(I) —专.(2)z—2y+2 = 0. (3)-^-. (4)^ • arcsin x=x— . (5) — 2.
二、 选择题
(6)(B). (7HB). (8)(0. (9)(A). (10)(D).
解答题
(II) arctan(^==)+C,其中C为任意常数
(12) 7=0是，Cr)的可去间断点;而卫=如以=±1,士2,…)均为无穷间断点.
(13) 9. ( 14)/(j?) — (jr+De^ — 1. (15):七。.(16)(］以=—/. ( 口)y= X ~~I-.
1 I 7t 4 5 5
(17) 6小时.
(18) (1)，(工)=/(0)了+萼/，其中£介于0与工之间.(n )证明略.
1 2 5
(19) 0 1 2 ・(20)1 夭士1.
.0 0 1.
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
姓名 分数.
一、填空题：1〜5小题,每小题3分，共15分.
(1)lim/3E^=/i+7=
»-i x2-\-x—2 ■
(2)设函数y=f(^由方程e"+>-cos xy=e~l所确定，则曲线y=f(x)在点(0,1)处的法线方程为
(〃 + sin2 z) cos2 zdr=
(4)过点(4-0)且满足关系式y'arcsin z+ 产；=1的曲线方程为
乙 vl—J：
a 1 1 r 1 i
(5)设方程 1 a 1 了2 1 有无穷多解，则。=
1 1 a 1-2J
二、选择题：6〜10小题,每小题3分，共15分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
:'则，{心(了)]}=
(6)设 f6D =
0, |x|>l,
(A)0. (B)l.
1, 0, |工|<1,
(C) (D)
0, |x|>l. 1, \x\>l.
(7)设当 l0时,(l-cosx)ln(l+^)是比工血廿高阶的无穷小，而xsin y是比#一1高阶的无穷小，则正整数n
等于
(A)l. (B)2.
(03. (D)4.
⑻曲线y=(工一 1行工一3)2的拐点个数为
(A)0. (B)l.
(02. (D)3.
⑼已知函数/'(了)在区间(1一家1+8)内具有二阶导数,/S)严格单调减少，且六1)=/(1) = 1,则
(A) 在(1-3,1)和(1,1+3)内均有 /(x)x.
(C) 在(1-5,1)内，/(x)z.
(D) 在(1-5,1)内,f(.x)>x,在(1,1+3)内,/(xXx.
(10)已知函数 U)在其定义域内可导,它的图形如右图所示，则其导函数y=/(z)
的图形为
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案速查
一、填空题
，1 0 0
-1 2 0
(1)-土(2)(ln2-1)&. (3)专.(4)y=2z+l.⑸
0 -2 3
、0 0 -3
具、选择题
(6)(D). (7)(0. (8)(A). (9)(0. (10)(B).
三、解答题
(ll) — e—ilnd+eO+z—lnd+eD+C,其中 C为任意常数.
6 '
(12) S(QcU=y
——x~\-- , ]Vx^2,
0
2・
(14)(1)证明略.(U)4. (15)61n3 年. (16)证明略. (17)2]—了一12=0.
7t
(a18) = 4,其最大体积为魅m
((19) I)/(z) =—昂.(H)证明略.
0 、
1
0
(20)x=^ 2 + (R为任意常数).
__1_
1 ~~2)
(21)a=15,6=5.
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2000年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
姓名 分数
一、填空题：1~5小题,每小题3分，共15分.
arctan z—z
(l)lim
l0 ln(l + 2/ )
(2)设函数y=y(x)由方程2邛=z+y所确定，则dy\ =___________.
I T=0
(3) r =
L (了+7)刁H ----------•
(4) 曲线y=(2工一l)e+的斜渐近线方程为.
1 0 0 0、
-2 3 0 0
⑸设A = ,E 为 4 阶单位矩阵，且 B=(E+A)-'(E—A),则(E+B)T =
0 -4 5 0
0 0 -6 7 ,
二、选择题：6〜10小题,每小题3分，共15分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
(6) 设函数，(工)=:&在(一8,+8)内连续，且lim/(j：)=O,则常数a,5满足
q I e j-*—o
(aA<0),6<0. (B)a>0,6>0.
(aC<)0,Z>>0. (D)a〉0,心.
(7) 设函数/(工)满足关系式/'(Q+LAQT =工,且/(0) = 0,则
(A) /(0)是yCr)的极大值.
(B) /(0)是/危)的极小值.
(C) 点(o,/(o))是曲线v=y(工)的拐点.
(d)/(o)不是ya)的极值，点(o,/(o))也不是曲线的拐点.
⑻设函数/'(■r),g&)是大于零的可导函数，且/(QgCri—yCQg'CzXO,则当af(b)g3). (B)y(j)g(a)>/(a)g(j：).
(C) f3)g(:c)>f(b)g(b). (D)/(z)g(工)>/(a)g(a).
⑼若临血6吒#@=o,则临吐*为
X X
l0
(A)0, (B)6.
(036. (D)8.
(10)具有特解乂 =e—*=2工广，，队=3e，的三阶常系数齐次线性微分方程是
(yA") —y”—J+y=O.
CB>)y，+y—y—y=O.
(C) y — f>yr-\~Wy—6y=0.
(D) Z-2/-y + 23，=0.
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案速查
一、 填空题
1 -r——Q
(I) 了+2了一1=0. (2)1. (3)万liKF — 6z+13) + 4arctan—— C(C 为任意常数).
(4)籍言^兀(5)y=G*+(G ~~ jr)e是(Gq 为任意常数).
二、 选择题,
次6)(D). (7)(0. (8)(A). (9)(0. (10)(B).
三、 解答题
(II) — . (12)奇■■ In 2. (13)j/=-^-j72 . (14)91 500 J.
97
(15) ( I )单调增加区间为(一8,1)和(3,+8),单调减少区间为(1,3)；极小值为号.
(□)在区间(-00,0)内是凸的,在区间(0,1),(1,+8)内是凹的，拐点为点(0,0).
(皿处=1是函数图形的铅直渐近线w=/+2是函数图形的斜渐近线.
ri 1 o、
(16) 证明略.(17);y=b&20)・ (18)证明略.(19)j 0 11.
11 0 1,
((20) I ”尹2时，向量组线性无关.a=2ai+亨二+-，其中G ,G为任意常数.
cos X ocos X
(14) -?-+ ln(2 4-5/3).
Z
/•,!>、 dv o , m Bp) i mg—Bp—kp
(15) mu 矿 mg-Bp->n .
(16) 证明略.(17)-^(1175-1).
0
(18) 曲线方程为 y=ln| cos(学一z) I +l-F-^-ln 2,极大值为 jy(奇)F+^ln 2.
'1 0 0 0、
—2 1 0 0
(19) 证明略.(20)
1-210
、0 1 -2 L
((21) I )蚌2・(II)当 时垢+2口2；当 6=2,口=1 时 /= —(2 为+1)始+以+2)血+姒3,其
中k为任意常数.
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题1998年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
姓名 分数
一、 填空题：1 ~5小题,每小题3分，共15分.
,1/l+z+ y/1—x—2
(1) lim------------5-------------=__________・
j—o jc
(2) 曲线3/=-x3+^2+2^与z轴所围成的图形的面积人=.
(3) r Usin^)
J sin x
⑷设六工)连续，则£「—户)&=__________.
CLZ J o
(5) 曲线v=Hn(e+*)(工>0)的渐近线方程为.
二、 选择题:6〜10小题,每小题3分，共15分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
(6) 设数列々,｝与｛“｝满足lim^„=0,则下列断言正确的是
n-*oo
(A) 若伐｝发散，则⑶,｝必发散.
(B) 若｛石｝无界,则｛知必有界.
(C) 若S｝有界，则｛时必为无穷小.
(D) 若(』｝为无穷小，则｛叫｝必为无穷小•
(7) 函数/(J7)=(JT2 ~JC—2) \x3 —x \的不可导点的个数为
(0A.) (B)l.
(02. (D)3.
(8) 已知函数_y=v(z)在任意点z处的增量3=球伶+。，其中。是比心(8*0)高阶的无穷小，且火0)=入，则
火1)=
(A) 7te^. (B)2tt.
(C)k. (D)e4.
⑼设函数，Cz)在x=a的某个邻域内连续，且f(a)为其极大值，则存在3>0,当(。一乱。+3)时，必有
(A) (i—a) [/"(])
(B) (x—a)C/(x)—/(a)]^0.
(C) lin/(：)y)NOEa).
(D) lin/(P 二财毫 Ea)・
t~*a (t — X)
(10)设A是任一 ”323)阶方阵,A，是其伴随矩阵，又4为常数，且友尹0, 士 1,则必有(M)- =
(A)姐，.
(C)以，. (D)^-'A".
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案速查
一、 填空题
(De-7. (2)— . (3)2arcsin季+C或 arcsinjN+C,其中 C为任意常数. ⑷夸.(5)3.
Z Z Z o
二、 选择题
((06.) ，(7)(B). (8)(B). (9)(A). (10)(D).
■三、解答题
(11.1) (12)或］()(?./). (13)e2，tanz+C,其中 C 为任意常数.
2(1—ZjO
(14) y-^-x2=c^-* 或 * 一了2、—/ =c,其中 C 为任意常数.
‘0 2 1、
(15) /-y-2y=eJ-2xe\ (16)B= 0 0 0.
.0 0 0,
(17)当人关1且A^-y时，方程组有唯一解；
，了1 = 1,
当A=1时，原方程组有无穷多解,其通解为(及=一1+加以为任意常数)；
、工3=k
当A=-y时，原方程组无解.
(18)讦面=2.
Q
(⑼/任)=-^-皿2 + (4—Q)z;a= — 5.
xf(x) — I* f(u)du
(20)甲'&)=< z ,危)在z=0处连续.
A n
成 £ = °，
(21)当或为)0时，没有根;当人=北时，有唯一根;当kE(y0,0)时，恰有两个不同的根.理由略.
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
姓名 分数
一、填空题：1~5小题,每小题3分，共15分.
{(LCQ 于 ,:/ 0
' '在］=0处连续，则a=__________.
a, z=0
⑵设 ，则 /L-o=.
dr
(3)
刀(4 — z)
(4) 广 2 普 4 .
J o x' + 4z + 8
(5) 已知向量组 8=(1,2, — 1,1),地=(2,0*,0),<13 = (0,—4,5,—2)的秩为 2,则1=.
二、选择题：6〜10小题,每小题3分，共15分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的•
⑹设 L0时,eg，一e，与工”是同阶无穷小，则n为
(A)l. (B)2.
(03. (D)4.
⑺设在区间［T］上函数了(工)>0/(工)<0/(工)>0.令S = J：y(z)dx,金=/W(》一a),S3 =土［及)+
/(6)](6-a),则
(A)S10； —x, zNO，
2+了2, «zVO, 2—x2 > zVO,
(A)
2—x, zNO. 2+rc, z'O.
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题1996年全国硕士研究生入学统一考试数学试题1996年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
姓名 分数
in)
(试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
(1)设 ^=(x+e~"2 )'3 ,则 .
I工=0
(2) &+/1一纪)2&=.
(3) 微分方程J'+2y' + 5v=0的通解为
(sin[ln(l+乎)]-sin[ln(l + +)]}=
(4)limr
(5)由曲线y=x+^ ,t=2及y=2所围图形的面积S=.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
(1) 设当L0时0 — (。/+如+1)是比化高阶的无穷小，则
(Aa=)-|- ,6=1. (B)a=l ,6=1.
(C)a=—■ ,6= —1. (D)a= —1,6=1.
(2) 设函数/U)在区间(一MS)内有定义，若当工€(—8,8)时，恒有顷工)|<^,则工=。必是/U)的
(A)间断点. (B)连续而不可导的点.
(C)可导的点，且/(0)=0. (D)可导的点，且/(0)#0.
(3) 设/Cz)处处可导，则
(A) 当 lim_/(z) = —8时，必有 lim f (x) = —oo.
» — oo —8
(B) 当 lim f (z) = —8时，必有 lim /(x) = —8.
x ►—8
J »—8
(C) 当 lim /(j：) = +oo时，必有 lim f (z) = +8.
jr-»+°o j~*+8
(D) 当 lim f (工)=+8时，必有 lim /(j:) = +oo.
J-»4-OO x-*4-oo
(4) 在区间(—oo,+oo)内，方程 |招+ + |招+ — cos z=0 _
(A)无实根. (B)有且仅有一个实根.
(C)有且仅有两个实根. (D)有无穷多个实根. *
(5) 设 /(x) ,g(jr)在区间[。,们上连续，且 g(QVf(J：)=—■. (D)a = l,6=-2.
(工3
设 /■(•!)={ 3 ' f '则/'(工)在 Z=1 处的
x2, %〉1,
(A) 左、右导数都存在.
(B) 左导数存在，但右导数不存在.
(C) 左导数不存在，但右导数存在.
(D) 左、右导数都不存在.
⑶设V=/Cr)是满足微分方程y+y'~^=0的解，且，6) = 0,则/U)在
(A)x„某邻域内单调增加. (B)z。某邻域内单调减少.
(C)五处取得极小值. (D)工。处取得极大值.
(4) 曲线y=e^ arctan (二勿的渐近线有
(lA) 条. (B)2 条.
(03 条. (D)4 条.
(5) 设河=f2 Sj2 X2 cos* j：dr, N= f2 (sin3x+cos4j)dr,P=(X1 sin3a：—cos4x)dr测有
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com1993年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
姓名 分数
(试卷皿)
一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
(1) limjcln x—・
(2) 函数由方程sinCx2 )+ex= 0所确定，则柴=
(3)设F(工)=j：(2—才)击(工>0),则函数FG)的单调减少区间是
(4) f 羿&&=_____ .
J v cos X
⑸已知曲线y=fdx)过点(0,~|),且其上任一点(3)处的切线斜率为招n(l+F),则，&)=
二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
(1)当 D 时，变量p-siny是
(A)无穷小. (B)无穷大.
(C)有界的，但不是无穷小的. (D)无界的，但不是无穷大.
mi蛙］
(2)设 /(x) = ］一1 ' '则在点z=i处函数了(工)
2, z=l,
(A)不连续. (B)连续，但不可导.
(C)可导，但导数不连续. (D)可导,且导数连续.
(3)已知 /•«)=［''。三 设 F(z)= r /(t)dz(0
(C) (D)
■x—1, X—1 9
⑷设常数 QO,函数/(x) = ln x-^+k在(0, +8)内零点个数为
(A) 3. (B)2.
(C)l. (D)0.
(5)若 /(x) = -/(-x),在(0,+8)内，(了)>0,广(工)>0,则/'(工)在(一8,0)内
1993年全国硕士研究生入学统一考试教学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com1992年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
姓名 分数
in)
(试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
⑴设(二岩二；,其w可导，且和)如则虬。=——
(2)函数y=z+2cos工在区间号］上的最大值为.
⑶lim牛巨=
z e —cos x
(4)「
J 1 zd 十 1)
(5)由曲线与直线y = ex所围成图形的面积S=
二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
(1)当 时 9x— sin z 是 了2 的
(A)低阶无穷小. (B)高阶无穷小.
(C)等价无穷小. (D)同阶但非等价无穷小.
(x2, .
(2)设，怂)=2 1 、八则
\X2 Z>0,
(—x2, zWO, (—(x2 -Fjc) ♦ zVO,
(A) /(—x)= { , (B)O= _ 2 >n
\ — (F +z), z〉。.
(J：2， —x «zVO,
(0/(-X)= *
\jcz—Xy z>0.
⑶当 Ll时，函数出的极限
(A)等于2. (B)等于0.
(C)为8・ (D)不存在但不为8. k
(4)设，(z)连续,FCr)= j： 则 FCr)等于 e
(A)/(x4). (B)/y(r).
(C)2x/(x4). (Dm/S.
(5)若，(z)的导函数是sin z,则/■&)有一个原函数为
(A)l+sin x. (B)l — sin x.
(014-cos x. (D) 1 — cos x.
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com1991年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com1991年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
姓名 分数
ni)
(试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
(1) 设 ^=ln(14-3-x),则 dy=・
(2) 曲线3；=厂'的凸区间是.
⑶『毋&=——.
(4)质点以速度tsin /米/秒作直线运动，则从时刻七、=展秒到如=灰秒内质点所经过的路程等于 米.
⑸linU二咛
f+ e+
二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
(1)若曲线-\-ax~\~b和2y= — 1 ~\~xy3在点(1,-1)处相切，其中Q,5是常数，则
(aA=0),5= —2. (aB=)l ,6=—3.
(C)c=—3,》=1. (aD=) —1,6= —1.
(x2 ， OWzWl, fx
(2)设函数 /(x) = c 1 , -c 记 F(i)= ，(£)dz,OWrW2,则
12—x, l ll,
二、 选择题(本题共4小题,每小题3分，满分12分)
⑴已知lim(专^一心一》)=0,其中a/是常数，则
(A)a=l ,6=1. (B)a= —1,6=1.
(aC) = l,A=-l・ (D)a=-1,6=-1.
(2) 设函数_/(])在(一8,+8)上连续，则d[j /(x)drj等于
(A) f(jc)・ (B)/(x)dz.
(C)/(jt)4-C. (D)/(x)dr.
(3) 已知/(z)在工=0的某个邻域内连续，且临]/贸；=2,则在点工=0处六工)
x-*0 1 COS Jb
(A)不可导. (B)可导且/(0) 乂 0.
(C)取得极大值. (D)取得极小值•
|Y&)蛙 0
⑷设F(z)=〈 x ' '其中六工)在工=。处可导,/(0)^0,/(0)=0,则工=0是F(z)的
'/(0), x=0,
(A) 连续点. ,
(B) 第一类间断点.
(C) 第二类间断点.
(D) 连续点或间断点不能由此确定.
三、 (本题共5小题,每小题5分，满分25分)
(1)已知lim(f^)I=9'求常数 a.
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com答案速查
一、填空题
(l)y. (2)z. (3)y=2z. (4)〃！ . (5)x—1. (6)a=6. (7)cot2ydx.
-____(2)-点+C,其中C为任意常数.⑶e2. (4梏=寿常=-审.
2 Jz(i_eS
(05.)
W、选择题
((1A)). (2)(B). (3)(0. (4)(D). (5)(B). (6)(D).
四、尸旦(b—e).
x
3E^/(jr)=-^-sin z+亏 cos x.
六、 证明略.
七、
单调减区间 (—8, — 2), (0,4-oo) 凹区间 ( — 3,0), (0, +8)
单调增区间 ( — 2,0) 凸区间 ( — oo,—3)
极值点 -2 拐点 （-3，-音）
__1_
极 值 渐近线 x=0 和 丁=0
T
.1 5,3 n
八、a=—~ ;5=w；c=0・
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com1989年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
姓名 分数
DI)
(试卷
一、 填空题(本题共7小题,每小题3分，满分21分)
(1) limzcot 2z=.
(2) Lsin tdt=________・
J 0
(3) 曲线j：(Ll)(L2)dz在点(0,0)处的切线方程是.
(4) 设 /'(■r)=z(z+l)(z+2)・・・(>r+〃),则 f (0)=•
⑸设了(工)是连续函数，且/a)=x+z£六,)&,则fs)=•
⑹设/(^)=S sin bx 在处连续，则常数Q与6应满足的关系是________•
-------,z>0
I x
⑺设 tan y=x~\~y,则 dy=・
二、 (本题共5小题,每小题4分，满分20分)
(1) 已知 j/=arcsin 求 y .
(2) 求［* -冉
J xln jc
(3) 求lim(2sin z+cos z)+ .
⑷已知urn’求鼠黯
(5) 已知 /(2)=y,/(2)=0 及 £ y(z)dr=l,求 J； ^/'(2工)&.
三、 选择题(本题共6小题,每小题3分，满分18分)
(1) 当工>0时，曲线>=xsin
(A) 有且仅有水平渐近线.
(B) 有且仅有铅直渐近线. .
(C) 既有水平渐近线，也有铅直渐近线.
(D) 既无水平渐近线，也无铅直渐近线.
(2) 若 -5b<0,则方程 £ +2aj? +3%4~4c=0
(A) 无实根.
(B) 有唯一实根.
(C) 有三个不同实根.
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com1988年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
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姓名 分数
(试卷皿)
一、 填空题(本题共5小题,每小题4分，满分20分)
{2x~\~a^ zM。，工 .一…,
(1) 设/(^)= 在(一8,+8)内连续，则Q =________ ・
〔eNsin z+cos z), z〉0
(2) 设 /(z) = limz(l+y )2",则/«)=.
(3) 设六工)连续，且 /1,则/X7)=.
⑷四(*广=--------.
(5) J" e'/7dr= .
二、 选择题(本题共5小题,每小题4分，满分20分)
⑴，(工)=号了3+3_/+6工+1的图形在点(0,1)处的切线与工轴交点坐标是
(A)(-y,0). (B)(-l,0).
(0(£,0). (D)(l,0).
\ b 7
(2) 设，(z)与甘(])在(一8,+8)上皆可导，且f(z)Vg(z),则必有
(A)/(-x)>g(-x). (B)/(x)=sin^x(0=0围成的曲边梯形，求D绕工轴旋转一周所生成的旋转体
的体积， —
六、 证明题(本题满分10分) .
(1)若/■(£)在(a/)内可导，且导数/S)恒大于零，则/Xz)在(a/)内单调增加.
⑵若gCz)在z=c处二阶导数存在，且g'(c)=0,g"(c)<0,则g(c)为g(z)的一个极大值•
七、 (本题满分10分)
计算不定积分
j a2 sin2 x+62 cos2 *
1987年全国硕士研完生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com其中是不全为0的非负数.
八、 (本题满分10分)
(1) 求微分方程工^=x-3/满足条件/ Ly = 0的特解•
(2) 求微分方程y+2y +y=xe的通解.
九、 选择题(本题共4小题,每小题4分，满分16分)
(1) f(.x) — Izsin 工|eg'(—8<了<+8)是
(A)有界函数. (B)单调函数. (C)周期函数. (D)偶函数.
(2) 函数 /(j：J=xsin x
当z—8时为无穷大. (B)在(一8,+8)内有界.
(C)在(一8,+8 )内无界. (D)当L8时有有限极限.
(3)设 /在 x=a 处可导，则G等于
x.
■^■*0
(A)/(a). (B)2/(a). (C)0. (D)/(2a).
⑷设I=t '/(rx)dz,其中/Xz)连续,5>0,t>0,则 I 的值
0
(A)依赖于s". (B)依赖于S,t,H.
(C)依赖于不依赖于5. (D)依赖于s,不依赖于£.
十、(本题满分10分)
在第一象限内求曲线
y=—xl+l
上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积•
1987年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
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一、填空题
⑴念，-(11，"(2)尸土工+宁①=-2z+字.
(3) /(x)在虞的上连续;在［a,。］上至少存在一点&使jy(z)&=/'(Q(6—a).
(4) ef (5)/(x)+C,其中 C为任意常»;yC/(2«-/(2a)l
_ ］ = dy= sin t (F.=1
—2 * —'dr 1 —cos/dr2 5(1 —cos 02*
四、号.五、夸(8+3tv).
o 乙
六、 证明略.
七、 当必0,必。时击击& =£arctan(知anz)+c；
当a=0,砂0时」/血纭"缶&& =务tan工+ C;
当必0,6=0时」击纭&。土& =一土以工 + C,
其中C为任意常数.
八、 (1)/=苛一(2)通解为；y=(G+Gz)ef++(r—l)e*,其中 G,G 为任意常数.
九、 选择题
((D1)). (2)(0. (3)(B). (4)(D).
十、所求点为(肯，M)，最小面积为号(2疗一3).
1987年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com(A) 有一组不全为0的数k\ ,k2,-,k,,使打a】 +k2a2-\----包a,尹0.
(B) a】，az，…,a,中任意两个向量都线性无关.
(C) a】，a2,…,a,中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示.
(D) a】，az,…,a,中任意一个向量都不能用其余向量线性表示.
三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)
(1) 已知/■(•!)=]',兀么了)]=1—工且9&)>0,求pCr)并写出它的定义域.
(2) 已知 y=l +衣",求 J L=o 及 y"|,=o.
(3) 求微分方程、'+土 =工(；+])的通解(一般解).
面、(本题满分12分)
作函数 尸厂如的图形，并填写下表•
单调增加区间 凹(U)区间
单调减少区间 凸(ri)区间
极值点 拐点
极值 渐近线
五、 (本题满分8分)
将长为。的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各长为多少时,正方形与圆形的面积
之和为最小.
六、 (本题满分10分)
设函数、=火1)满足微分方程
3y+2j/=2eJ,
且其图形在点(0,1)处的切线与曲线v=z2-z+l在该点的切线重合,求函数y=Mc).
七、 (本题满分7分)
设了〉一 1,求 j ] (1—|z|)ck.
八、 (本题满分8分)
设/&)在(-00,4-00)上有连续导数，且
(1) 求lim^2 J [/(t+a)—Q)]d“
(2) 证明 | | 0).
1988年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
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一、 填空题
(11.) (2)(l+2i)e2*. (3)*. (4)1. (5)2(e2+l).
二、 选择题
((A1)). (2)(0. (3)(B). (4)(B). (5)(D).
三、 ⑴g)= Jln(l—z),定义域为{*|了＜0}. (2)y | I=o = 1 ；y L=o=2. (3)y=*(arctan x+C'),其中
C为任意常数.
四、
单调增加区间 (—00,1)
单调减少区间 (1,4-00)
极值点 1
极值 2
凹(U)区间 (—8,0)及(2,+8)
凸(Cl)区间 (0,2)
拐点
(0,号)及(2,3)
渐近线 y=0
函数图形如右图所示.
五、围成正方形和圆形的两段铁丝各长为洋和黑六、y=(l—2z)e，.
七、当一1W 0时，原式= y(l+^)2;当心0时，原式=1一身(1—z)\ 八,(1)/(0). (2)证明略.
1988年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com(D)有五个不同实根.
⑶曲线尸cos工(一号亏)与z轴所围成的图形绕z轴旋转一周所成旋转体的体积为
(A)奇. (B)k. (C)号. (D)k2.
(4) 设两函数，(z)和g(r)都在x=a处取得极大值，则函数F(工)=y(z)g(工)在x=a处
(A) 必取极大值.
(B) 必取极小值.
(C) 不可能取极值.
(D) 是否取极值不能确定.
(5) 微分方程/~y=e + l的一个特解应具有形式(式中a,b为常数)
(A)aeJ+6. (B)axex+6.
(aCe) x+ bx. ( D) + bx.
⑹设/&)在点的某个邻域内有定义，则f(z)在z=Q处可导的一个充分条件是
(A) f(a+* ) —f(a)］存在.
(B) iim应±2咋应+*)存在.
A—o n
(C) HmEA铲* 存在.
hf。 乙"
(D) lin/(a)~Y(D 存在.
h-o n.
四、 (本题满分6分)
求微分方程
z J + (1—z) V=十(00,又已知该抛物线与*轴及直线z = l所围图形的面积为
试确定a,b,c的值，使此图形绕z轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
• 6
考研电子版网站：www. pdf2book. com(2) 求由方程2y~x= {x—y}ln(x—3/)所确定的函数y=y(x')的微分dy.
(3) 求曲线N=eM(z>0)的拐点.
(4) 计算j(］巴源&•
(5) 求微分方程tin jrdj/+(^—In x)dr=O满足条件y I =1的特解•
I x=e
四、 (本题满分9分)
在椭圆专+若=1的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小(其中
a>0,6>0).
五、 (本题满分9分)
证明：当x>0时，有不等式arctan ］+手>专,
六、 (本题满分10分)
设 f(z)= L 若^击,其中 QO,求 y(x)+/(-|-).
七、 (本题满分10分)
过点P(1,O)作抛物线的切线，该切线与上述抛物线及］轴围成一平面图形，求此图形绕Z轴旋转一周
所成旋转体的体积.
八、 (本题满分10分)
求微分方程
jz"+4j/+ 4/=萨
的通解，其中G为实数.
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
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一、 填空题
(l)5/=-/3x—1. (2)—^2 (sec?手sin * + cos 土 ).
4
(3)靠.(4)>. (5)1.
lb 、
二、 选择题
((01.) (2)(B). (3)(D). (4)(B).
三、 ⑴Q=ln3. (2)d尸万土产.(3)(寿辛).(4)烷+ln旦尹+C,其中C为任意常数.
四、 P曙斜
五、 证明略.
六、 yln2x.
七—
(Ci +C2jc)e-2j+, ' 。尹一2,
八、'={ “ 其中G,G为任意常数.
(G+Gz ~~ x2 ) e-2x, a = —2,
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com(C)4jJ (巧 + cos zsin jOdzdy (D)0.
D、
(5)如图,z轴上的一线密度为常数用长度为I的细杆，若质量为m的质点到杆右端的距离
为Q ,已知引力系数为加则质点和细杆之间引力的大小为 x
'° kmfi& ，z &冲&
(A) (B)
-l(Q — o (a-X)2*
，0 .m/zdz ‘2 ，冲&
(02 -■f (q+z)" (D)2 o (g+z)"
三、(本题共5'小题,每小题5分，满分25分)
一没*• x=tcos z,
(15设
j/=rsin Z, '
4 &
(2)计算
1 «z(l +Zz)
zox_p.r sin x
(3) 2*7i、.
Lole1-1)
(4) 求 jxsin2 zdz.
(5) 求微分方程xy+y=xe满足火1) = 1的特解・
四、(本题满分9分)
利用导数证明：当z>l时，唱了>走.
五、 (本题满分9分)
求微分方程y"+;y=z+cos x的通解.
六、 (本题满分9分)
曲线了=&一1)(了一2)和1轴围成一平面图形，求此平面图形绕、轴旋转一
周所成的旋转体的体积.
七、 (本题满分9分)
如图,A,D分别是曲线y = e，和y = e—2H上的点,AB和DC均垂直z轴，且
\AB\ : \DC\=2 - 1,|AB|<1.求点B和C的横坐标,使梯形ABCD的面积
最大.
八、(本题满分9分)
设函数/(了)在(-00,4-00)上满足
/(2)=六］—7t) + sin 1,
且 /(j：)=x,jc€E0,7t)»计算 J f(.Jc)(Lc.
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一、 填空题
(l)-^pjdx. (2)( 一条季).(3)1. (4)y. (5)-1.
二、 选择题
(1)(D). (2)(B). (3)(B). (4)(A). (5)(A).
三、 (1) -----— . (2)21n£. (3)4-. (4)弓—工sin 2z— cos 2x+C,其中 C为任意常数.
(cos Ltsin t) 3 6 4 4 o
(_5y)= e。--.
x x
四、 证明略.
五、 v=Gcos z+Gsin ~~ jrsin z,其中 G ,G 为任意常数.
/、、2
七、点B和C的横坐标分别为§ln 2-1和y+yln 2.
八'K2—2.
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com三、（本题共5小题,每小题5分，满分25分）
⑴求四（涪）之.
（2）设函数y=y（工）由方程y一圮=1所确定，求合| 。的值.
(3)求]—
（4）求 \/l —sin xdx.
J o
求微分方程（y—jc3 ）dz—2jcd^=0的通解.
四、（本题满分9分）
设
1 +]2 , ,
，&)=
]>0,
求 j /（X-2）dr.
五、 （本题满分9分）
求微分方程y-^y-\-2y=x^的通解.
六、 （本题满分9分）
计算曲线j^=ln（l-x2）上相应于0（^3■的一段弧的长度.
七、 （本题满分9分）
求曲线y=^的一条切线Z,使该曲线与切线I及直线z=0,z=2所围成图形面积最小.
八、 （本题满分9分）
设 f （x）<0,/（0）=0,证明对任何 xi>0,x2>0,有 +x2）0,证明:任<芸
四、(本题满分9分)
设当z>0时，方程
fcr+j = l
有且仅有一个解，求k的取值范围.
五、 (本题满分9分)
设尸守'求
(1) 函数的增减区间及极值；
(2) 函数图像的凹凸区间及拐点；
(3) 渐近线；
(4) 作出其图形.
六、 (本题满分9分)
求微分方程
y +a2 j>=sin x
的通解，其中常数a>0.
七、 (本题满分9分)
设，(抄在［0,1〕上连续且递减，证明：当OVI<1时，「/(x)dz^A ［' /'(z)dr.
J 0 Jo
八、 (本题满分9分)
求曲线
j>=3—lx2 —1|
与X轴围成的封闭图形绕直线y = 3旋转所得的旋转体体积.
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
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一、 填空题
(1) — 2. (2)+(6,+5)(,+1). ⑶一3,(cos 3工)sin 3z. (4)~|~(/—De，+C,其中 C为任意常数.
(5)(z—4)y'=Cx,其中C为任意常数.
二、 选择题
(1) (A). (2)(B). (3)(0. (4)(B). (5)(D).
三、 ⑴(1£沪(2)盖.(3)e*.
(4)ltan2f+lln|tanf I +C或『；*参+4(1+二q+C，其中C为任意常数.⑸证明略.
四dWO或h=宇.
五、 (1)(一8,0)及(2,+8)为增区间，(0,2)为减区间，极小值为y=3.
(2) (—8,0),(0,+8)均为凹区间，无拐点.
(3) z=0为铅直渐近线为斜渐近线・
(4) 如右图所示.
六、 当 a夭 1 时,通解为 y=Gcos ax+Gsin sin x;
当a=l时，通解为y = Ci cos z + G sin x —? xcos 其中G，G为任意
常数.
七、 证明略.
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com（oy（o）+/（o）=o. （d）/（o）-/（o）=o.
三、（本题共6小题,每小题5分，满分30分）
⑴求lim 1-肩
L0 x（l—cos V J：）
（2） 设函数、=火了）由方程了职少确定,其中/具有二阶导数，且/V1,求群.
（3） 设 /Xi? — 1） = In 了2七2，且 = z,求 J ^（x）（Lc.
>
（时设/•Cr）={*arctan/，工*°，试讨论/&）在了=o处的连续性.
lo, z=0,
（jq ］ — cos t.
一拱（00,又MT.MP分别为该曲线在点M&。,
北）处的切线和法线.已知线段MP的长度为（1+诺幻‘（其中乂 =J（z°）,
No
Vo =加。）），试推导出点P（& rj）的坐标表达式.
七、 （本题满分8分）
设
六z）=「西兰也，
J Jo K—t
计算［/（QcLz.
J 0
八、 （本题满分8分）
设lim心=1,且 /（了） >0,证明 /（］）
x—0 X '
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com答案速查
一、 填空题
(1) — 2xsin x2 sin2s^n 号cos x2. (2以=—Zz+Gcos x+Qsin «r,其中 G »C2 为任意常数.
(3) 3z—y—7=0. (4)~^-・(5)_y=0.-
二、 选择题
(1)(D). (2)(0. (3)(D). (4)(B). (5)(A).
三、 ⑴身. ②产攀日当看乎了，(3)21nCz—l)+z+C,其中C为任意常数.
(4) /(x)在z=0处是连续的.(5)8. (6)i=ln3；所经过的路程为言功.
四、 最大值为1+广气最小值是0.
五、 》=e' —寸土.六、P1 ° ).七、2.八、证明略.
\ yo yo '
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com(C) T^jn—+g(x)]Ey(x)—g(x)]dr.
（D） | 7t［w—/（j?）—g（x）］［/（j?）—g（x）］dz.
三、 （本题共6小题,每小题5分，满分30分）
fln2 .__________
（1 ）计算 J1—厂2了&.
J 0
⑵求I" 1卢-.
J 1 十 sin,z
（外=L，3）血，其中/（,）具有二阶导数，且/（"）尹o,求书.
〔尸［/（迎，
（4） 求函数/•（•!）=旱在点了=0处带拉格朗日型余项的"阶泰勒展开式.
（5） 求微分方程y"+y=Xz的通解.
（6） 设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为2a,25,用过此柱体底面的短轴且
与底面成«角（0＜a＜专）的平面截此柱体，得一楔形体（如图）,求此楔形体的
体积V.
四、 （本题满分8分）
计算不定积分J 羔卷丑•
五、 （本题满分8分）
（1一2/, z＜—1,
设函数八工）=〈£, -Kx＜2,
112工一16,工＞2.
（1） 写出/'（工）的反函数gCr）的表达式；
（2） g（z）是否有间断点、不可导点？若有,指出这些点.
六、 （本题满分8分）
设函数y=y（x'）由方程
2y3—2yl + Zxy—i? = 1
所确定，试求y=V（z）的驻点，并判别它是否为极值点.
七、 （本题满分8分）
设/Xz）在区间［a/］上具有二阶导数，且
f（a）=f（b）=0, /（a）/（6）＞0,
证明:存在 ee （a,5）和 7e（"），使y（Q=o 及 r（〃）=o.
八、 （本题满分8分）
设，危）为连续函数.
（yr~\~ay=f（.x'）,
（1）求初值问题, 的解y（z）,其中a是正常数；
顷,=。=。
⑵若|/（工）|（诳为常数），证明当瘁0时，有顷工）|＜考（1一井）.
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com答案速查
一、 填空题
(1)#. (2)2. (3)j/=e-I(C1cos 2^+Qsin 2^：),其中 G,G 为任意常数.(4)2. (5)ln2—^・
6 乙
二、 选择题
(1)(A). (2)(0. (3)(D). (4)(0. (5)(B).
三、 (1)—g+ln(2+yj).(2)tan x----------C或-------------C,其中 C为任意常数.
2 “si 1 + tanf
一、4[//。2)+2打'。2)]
⑶ fdt2)
(4) /U) = l-2z+2z2 + ..・ + (-l)”2" + ( — l)”+】^^^,0Vkl.
(5) 了=~|"了3 —j；2+2z+G+Ge",其中 G ,G 为任意常数.(6)气^tana.
四、 _眄？_ (arctan x)2 4-^-ln +C,其中 C 为任意常数.
/1—x
iV—l,
五、⑴ g(Q=〈W,
— 1(x^8,
z+16
x>3.
(2)没有间断点，不可导点为刀=0及1=一1.
六、 驻点z=l;z=l是极小值点.
七、 证明略.
八、 ⑴川)=L&«)eW. (2)证明略.
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com(2~x2 9 zVO, 12-f-jc2, zVO,
(C) (D)< , 、
12—Xy x^O. l2+z, x^O.
三、解答题：11〜21小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(11) (本题满分5分)
求极限lim ”£危一1+空1.
l-8 4-sin x
(12) (本题满分5分)
设函数y^=y(x)由
(x= arctan t-,
12y—时 +e，= 5
所确定，求*.
(13) (本题满分5分)
计算je2x(tan z+1)2dz.
(14) (本题满分5分)
求微分方程(3^+2^—y )ir+(x2 ~2xy')dy=0 的通解.
(15) (本题满分5分)
已知
yi = xex + eZl, y2 = xex + e-1 ,>3 = ze，+ eZl — e-1
是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，求此微分方程.
(16) (本题满分5分)
已知矩阵
1 1 -r
A= 0 1 1 ,
、o 0 一1,
且A2-AB=E,其中E是3阶单位矩阵,求矩阵B.
(17) (本题满分8分)
义取何值时,方程组
'2工1+义工2—工3=1,
〈4勾 ~Xz +工3 =2,
.4x1 +5而—5心=—1
无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解.
(18) (本题满分8分)
设曲线L的极坐标方程为r=r⑹为L上任一点,M (2,0)为L上一定点.若极径OH ,OM与曲线L
所围成的曲边扇形面积值等于L上,M两点间孤长值的一半，求曲线L的方程.
(19) (本题满分8分)
设函数户>)在闭区间［0,1］上连续，在开区间(0,1)内大于零，'并满足
xf &)=/■&)+ 考x2(a 为常数)，
又曲线y=/(工)与z=l ,y=O所围的图形S的面积值为2,求函数y=，(z)，并问a为何值时，图形S绕z轴
旋转一周所得的旋转体的体积最小.
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com(20) (本题满分8分)
设函数六工)连续，
甲&)= J； f(xt)dt,且町写=A(A为常数)，
求"(z)并讨论#(z)在工=0处的连续性.
(21) (本题满分8分)
就k的不同取值情况，确定方程z一号sin x=k在开区间(0,专)内根的个数，并证明你的结论.
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com三、解答题小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(11) (本题满分5分)
求函数
/■(■!)= (1+工)，面(，-十)
在区间(0,22内的间断点，并判断其类型.
(12) (本题满分5分)
确定常数a,b,c的值，使
1血 一=c(c 尹 0).
工 ln(l + F) &
Jt t
(13) (本题满分5分)
利用代换了=矗将方程
ycos x—2y'sin z+3ycos x=ex
化简，并求出原方程的通解.
(14) (本题满分6分)
3
- 2 dr
1
-
2
(15) (本题满分6分)
从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度。之间的
函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始垂直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设
仪器的质量为巾,体积为B,海水比重为p,仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为Kk>0).试建立y
与p所满足的微分方程，并求出函数关系式y=yM.
(16) (本题满分8分)
设 U)是区间［0,口上的任一非负连续函数.
(I)试证存在工。€(0,1),使得在区间［0,瓦］上以/(x0)为高的矩形面积，等于在区间［如1］上以y=f(»为
曲边的曲边梯形面积；
(H )又设在区间(。，1)内可导，且/&)>一勿羿，证明(I)中的五是唯一的.
(17) (本题满分8分)
设有曲线
y=
过原点作其切线，求由此曲线、切线及工轴围成的平面图形绕工轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.
(18) (本题满分8分)
设y=y(Q是一向上凸的连续曲线，其上任意一点&，少处的曲率为十昌且此曲线上点(0，1)处的切
vi + (y )
线方程为y=z+l,求该曲线的方程，并求函数y=火工)的极值.
(19) (本题满分8分)
设工£(0,1),证明:
(1)(1+£>肝(1+了)
求A.
((21)本题满分6分)
已知 ai=(l,4,0,2)T,a2 = (2,7,l,3)T,a3 = (0,l,—l,a)T,p=(3,10/,4)T,问:
(l)a,b取何值时,/»不能由ai ,a2 ,a3线性表示？
(II )a,b取何值时,0可由ai ,az ,03线性表示？并写出此表示式.
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
考研电子版网站：www. pdf2book. comx—2 X—1 x~2 X—3
(10)记行列式
2jc—2 2x—1 2x—2 2x—3
为r(z)，则方程r(z)=o的根的个数为
3工一3 3了一2 4x—5 3«z—5
4z 4了一 3 5x—7 4了一 3
(A)l. (B)2.
(03. (D)4.
三、解答题：11-20小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
((11) 本题满分5分)
/l + taW?— Jl + sin z
己求lim
zln(l+z)—
(12) (本题满分6分)
计、_l於
算J
严
:
arctan x A
(13) (本题满分7分)
求初值问题
(j»+ JX + J )dr—工心=0(工＞0),
3-1 ,-1=0
的解.
((14)本题满分7分)
为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(如图).已知井深
30 m,抓斗自重400 N,缆绳每米重50 N,抓斗抓起的污泥重2 000 N,提升速度为
3 m/s.在提升过程中，污泥以20 N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗
提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？
(说明:①1 NX1 m=l J；m,N,s,J分别表示米，牛顿，秒,焦耳;②抓斗的高度及位于
井口上方的缆绳长度忽略不计.)
((15) 本题满分8分)
已知函数二厅求
(I)函数的增减区间及极值；
(n)函数图形的凹凸区间及拐点；
(Hl)函数图形的渐近线.
(16) (本题满分8分)
设函数/'(h)在闭区间［一1,1］上具有三阶连续导数，且/(-1)=0,/(1) = 1,/(0)=0,证明:在开区间(-1,1)
内至少存在一点&使<(?) = 3,
(17) (本题满分8分)
设函数y(z)SNO)二阶可导，且J(z)>0,y(0) = l.过曲线y=y(z)上任意一点P&,y)作该曲线的切线及z
轴的垂线,上述两直线与工轴所围成的三角形的面积记为S3区间［0,工］上以y=yCx)为曲边的曲边梯形面积
记为S,并设2S 一金恒为1,求此曲线、=*工)的方程.
(18) (本题满分7分)
设六工)是区间［0，+8)上单调减少且非负的连续函数，
a”= . f〈k)— j /(Qdr 3=1,2,…)，
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
考研电子版网站： www. pdf2book. com证明数列｛a“｝的极限存在.
(19) (本题满分6分)
1 1 -r
设矩阵A= -1 1 1 ，矩阵X满足A'X=A~',+2X,其中A*是A的伴随矩阵,求矩阵X.
.1 -1 1 .
(20) (本题满分8分)
设向量组
a】=(l,l,l,3)T,az = ( — l, — 3,5,l)T,
Oi = (3,2, —l,p+2)T,a< = ( —2,—6,10,p)T.
(l)p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量a=(4,l,6,10)T用衡，血,«3 ,«4线性表示;
(n ”为何值时,该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com三、解答题：11〜21小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
((11) 本题满分5分)
设y(in工)=虽性E，计算j六工)&.
((12) 本题满分5分)
设 My 平面上有正方形 D={ Cr,y) | }及直线 l-X+y=t{t^
0).若S")表示正方形D位于直线/左下方部分的面积(如图)，试求j： S(t)dt
&2o)・’
(功(本题满分5分)
求函数
/(x)=^ln(H-jr)
在jc=0处的n阶导数(0)323).
(14)(本题满分6分)
设函数 S(z)= [ | cos d dt.
J 0
(1 )当n为正整数，且"7<工<3+1成时，证明2"0,工20)与了=1 一交于点A,过坐标原点O和点A的直线与曲
线y=a^2围成一平面图形(如图).问a为何值时，该图形绕工轴旋转一周所得的旋 之/
转体体积最大，最大体积是多少. ------------------X
(19) (本题满分8分) 1
函数/■(£)在[0,+8)上可导,/10)=1,且满足等式 f(z)+/'Cz)—±I]'：ye)dz=o.
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com（I）求导数r（x）；
（n）证明当x＞o时，成立不等式:厂＜，怎）＜1.
（20）（本题满分6分）
,A=apT,B=pTa,其中俨是。的转置，求解方程
2B2A2x=Aix+Btx+y.
(21)(本题满分7分)
0 '(2、 化］ '1 3 ,9
已知向量组A= 1 ，庞= 2 ，怯=1与向量组。1 = 2 ,<12 = 0 ,口3 = 6 具有相同的秩，且两
< —1. loj < —3, .1. < —7.
可由tti 1U2 9（X3线性表7K,求a,》的值.
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com(A) (D)
三、解答题：11〜20小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
((11) 本题满芬6分)
f求
(2^+i)y?+T
((12) 本题满分7分)
求极限
■T
y ( sin t \ sin r—sin x
—' sin W
记此极限为/(z),求函数六z)的间断点并指出其类型.
((13) 本题满分7分)
设p=p(z)是抛物线、=&上任一点M(zu)QrNl)处的曲率半径,s=s(z)是抛物线上介于点A(l,l)与M之
间的弧长，计算3p滞一(坐】的值.(在直角坐标系下曲率公式为4=口+"；子)
(14) (本题满分7分)
r/(x)
设函数/■&)在［0,+8)上可导，/'(0)=0,且其反函数为gG),若L g(«)dJ=x2ei,求/Lr).
(15) (本题满分7分)
设函数f3>,g3)满足
f (x)=g(x),g，(x)=2ei—y(x),
且/(o)=o,g(o)=2,求£ ［fg-冶号丑.
(16) (本题满分9分)
设L是一条平面曲线,其上任意一点PCr,少(工>0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在'轴上的截
距，且L经过点(y,0).
(1)试求曲线心的方程；
(口)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.
(17) (本题满分7分)
一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数K>0.假设在融化过程中雪堆始
终保持半球体状，已知半径为的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的成，问雪堆全部融化需要多
少小时？
((18) 本题满分8分)
设/U)在区间［-a,a］(a>0)上具有二阶连续导^,/(0)=0.
(I )写出六了)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
(口)证明:在［—a,a］上至少存在一点？，使a3/(7) = 3£y(x)dz.
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com((19) 本题满分6分)
已知矩阵
1 0 0、 o i r
A= 1 1 0 ,B= 1 0 1
.1 1 1> .1 I 0.
且矩阵X满足AXA +BXB=AXB+BXA+E,其中E是3阶单位矩阵，求X.
((20)本题满分6分) -
已知 ai ,a2 ,a3 皿 是线性方程组 AX=O 的一个基础解系，若0 =ai +ta2 ,P2=a2+ta3 ,P3=a3+tat ,fit =a4 +
tat，讨论实数t满足什么关系时,R ，人,A也是AX=0的一个基础解系.
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com(C) 当lim/(了)= 0 时，必有lim/(^)=O.
(D) 当 lin)/ &)存在时，必有 lim/(j-)=0.
J~-»0 JT-*0*
(10) 设向量ai ,a2 ,a3线性无关，向量仇可由a】，az ,a3线性表示，而向量龙不能由向量ai，a? ,a3线性表示，则对
于任意常数妇必有
(A) a),血,Ch 'kfli +艮线性无关.
(B) ai ,阪03，硕+A线性相关.
(C) a),«2 ,＜X3，A +邮2 线性无关.
JD)a, ,a2 ,a3，A +破 线性相关.
三［解答题：11〜20小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(11) (本题满分6分)
已知曲线的极坐标方程是r=l — cos仇求该曲线上对应于。=言处的切线与法线的直角坐标方程.
((12) 本题满分7分)
设
2]+*了2, — IWzVO,
*）=<
j：eJ
〔（e，+ l）2‘
求函数F(z)= 的表达式.
((13) 本题满分7分)
已知函数/"(])在(0,+8)内可导,/(jc)>0, lim f(x) = l9且满足
x-*+oo
匝.+妃]七e+
lim f(H)」
A—0
求 /(x).
((14) 本题满分7分)
求微分方程工心+(工一2少&=0的一个解y=y(z)，使得由曲线y=y(z)与直线工=1 ,工=2以及x轴所围成
的平面图形绕h轴旋转一周的旋转体体积最小.
(15) (本题满分7分)
某闸门的形状与大小如图所示，其中直线Z为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD,
下部由二次抛物线与线段AB所围成.当水面与闸门的上端相平时,欲使闸门矩形
部分承受的水压力与下部承受的水压力之比为5 ： 4.闸门矩形部分的高人应为多
少米？
(16) (本题满分8分)
设0＜巧＜3,
z”+i = Vxn(3—j：„) (〃=1,2,…),
证明数列a”｝的极限存在,并求此极限.
(17) (本题满分8分)
设OVqVA证明不等式
2a ^ln 6—In 1
纣广b—a芬.
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com(18) (本题满分8分)
设函数y&)在工=0的某个邻域内具有二阶连续导数，且/(0)^0,/(0)^0,/(0)^0.证明：存在唯一的一
组实数A，义z ,A3，使得当/i—0时,A,/(A)+A2/(2A)4-A3/(3h)-/(0)是比A2高阶的无穷小.
(19) (本题满分6分)
已知A,B为3阶矩阵，且满足2A-：B=B—4E,其中E是3阶单位矩阵.
(I)证明：矩阵A-2E可逆|
1 -2 0、
(口)若8= 1 2 0 ，求矩阵4
0 0 2J
((20) 本题满分6分)
已知4阶方阵A=(a, ,a2 ,a3 ,a(),ai ,a2 ,a3 均为4维列向量，其中a2 ,a3 线性无关,ai =2a2—a3.如果。=
a> +a2 +a3 +a<,求线性方程组Ax=fi的通解.
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
考研电子版网站：ww. pdf2book. com(11)设 L=「tan xAjc,I2 =「 M则
Jo x Jo tan x
(A)I1>I2>1. (B)l>A>/2.
(C)I2>I1>1. (D)l>l2>L.
(12) 设向量组I ：ai ,口2 ,・・・0可由向量组II :fli，&，…,A线性表示，则
(A) 当 Ys时，向量组II必线性相关.
(B) 当r>5时，向量组II必线性相关.
(C) 当r<5时，向量组I必线性相关.
2)当r>s时,向量组I必线性相关.
三、解答题:13〜22小题，共102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(13) (本题满分10分)
设函数
f lnC+技)
• ， •X1)
y = ——du
J i u
所确定,求器［=，•
(15) (本题满分9分)
「 -.^arctan x
计算不定积分J (1L严&.
(16) (本题满分12分)
设函数v=y(r)在(一8,+8)内具有二阶导数，且y^0,j：=x(.y)是y=y(x)的反函数.
(I )试将工=工(仞所满足的微分方程籽+ (y+sin工)(柴)'=0变换为y=y(^满足的微分方程;
(H )求变换后的微分方程满足初始条件>(0)=0,/(0)=-|的解.
(17) (本题满分12分)
讨论曲线y=41n x-Yk与j/ = 4x+ln4jc的交点个数.
(18) (本题满分12分)
设位于第一象限的曲线y=/(z)过点(¥，土"其上任一点PS，少处的法线与y轴的交点为Q，且线段FQ
被z轴平分.
(I)求曲线U)的方程；
(U)已知曲线3，= sin X在［0,q上的弧长为Z,试用I表示曲线y = 的弧长S.
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com（19） （本题满分10分）
有一平底容器，其内侧壁是由曲线M=p（y）（y20）绕y轴旋转而成的旋转
曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m根据设计要求，当以3 m，/min
的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以k m2/min的速率均匀扩
大（假设注入液体前，容器内无液体）.
（I ）根据t时刻液面的面积，写出，与衣了）之间的关系式；
（口）求曲线T=0.若极限liny捋兰尹存在，证明：
（I）在（。,6）内 y（x）>-o；
（口）在（。0）内存在点&使3 _* = 羔；
（ni）在（山&）内存在与（n）中$相异的点"，使/（/（任一^）=当「/■（”丑.
S 。J a
（21） （本题满分10分）
'2 2 0'
若矩阵A= 8 2 a相似于对角矩阵A,试确定常数。的值;并求可逆矩阵P使P AP=A.
、0 0 6,
（22） （本题满分8分）
已知平面上三条不同直线的方程分别为
1\: az+2如+3c=0,
lz: bx~\~ 2cy~\~ 3a=0,
Z3 ：cx-\~2ay-\-2>b—0.
试证:这三条直线交于一点的充分必要条件为q+A+c=0.
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com(C) 对任意的 *€(0,5),有
(D) 对任意的工€(―s,o),有 /(x)>y(o).
(11) 微分方程y"+y=£+ l + sin工的特解形式可设为
(A) y* =心2+M+c+z(Asin z+Bcos x).
(B) j/* =jc(aj^ +Az+c+Asin z+Bcos x).
(C) y* =aj^ +A;r+c+Asin x.
(D) j/"=皿2+Aj；+c+Acos x.
(12) 设函数六心连续，区域D= {Cz,y) |工②+寸<2y},则]]/(巧)等于
(A)j f l dr J f(j：y)dy. (B)2 j 「 2 dy J f >/2y-y y(xj/)dz.
「 。 「 。
fn 2sin fir 2sin
(C) d。 /(r2 sin ^cos 0)dr. (D) d。 /(r2 sin 0cos 0) rdr.
Jo Jo Jo Jo
(13) 设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足4Q=C的可逆矩
阵。为
‘0 1 0 0 1 0、 0 1 0、 '0 11、
(A) 1 0 0 ・ (B) 1 0 1 ・ (C) 1 0 0 ・ (D) 1 0 0
.1 0 1. 0 0 1. <0 1 L 0 0 1,
(14) 设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有
(A) A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.
(B) A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关.
(04的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.
(D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.
三、解答题：15-23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分)
求极限 lirn^[(2+3°S-)J~l]-
(16) (本题满分10分)
设函数/U)在(一8,+8)内有定义，在区间E0,2]±,/a)=x(^-4),若对任意的m都满足f(^=kf(x+2),
其中k为常数.
(I)写出/'(工)在]—2,0)上的表达式；
(口)问*为何值时,/(工)在±=0处可导.
(17) (本题满分11分)
设 /(x)= | 2 | sin Z | d/,
(I )证明六Z)是以7T为周期的周期函数；
(n)« /(X)的值域
(18) (本题满分12分)
曲线顼与直线^=0,^=/(/>0)及>=0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕工轴旋转一周得一旋转体,
其体积为V(z),侧面积为S(Q,在工=£处的底面积为F(Q.
(I)求湍的值；
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com（口）计算极限慌.
（19）（本题满分12分）
设 eVaVXe?，证明 ln26—ln2a>p-(6—a).
（20） （本题满分11分）
某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减
速并停下.现有一质量为9 000 kg的飞机，着陆时的水平速度为700 km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受
的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为&=6.0X106）.问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少.
（21） （本题满分10分）
设z=/（j：2—y，酩），其中y具有连续二阶偏导数，求奈,||,余翕.
（22）（本题满分9分）
设有齐次线性方程组
'(l+a)zi +乃 +%3 +z4 =0,
2xi +(2+(2)互 +2i3 +2工4 =0,
3zi +3万 +(3+a)j：3 +3z4 =0,
、4zi +4x2 +4j：3 + (4+。)工4 =0,
试问«取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.
（23）（本题满分9分）
，］ 2 -3'
设矩阵A= -1 4 -3的特征方程有一个二重根，求。的值，并讨论A是否可相似对角化.
、1 5 ,
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
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图书在版编目（CIP）数据
张宇考研数学真题大全解.试题分册.数学二/张
宇，高昆轮主编.一北京：北京理工大学出版社，
2022. 5（2023. 6 重印）
ISBN 978 - 7 - 5763 - 1322 - 2
I.①张…！!.①张… ②高… 叽①高等数学-研
究生-入学考试-习题集 M①013-44
中国版本图书馆CIP数据核字（2022）第079271号
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版 次/ 2022年5月第1版2023年6月第2次印刷 责任校对/周瑞红
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张宇考研数学真题大全解（分数学-、数学二、数学三）
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