文档内容
掺
数学历年真题
全精解析•提高篇
编署◎李永乐F.式安武忠祥宋浩姜晓『 硕歌薛威）刘厘波
章纪民 陈默中亚男毕生明朱杰I"鸣吴紫云
与《数学复习全书•提高篇》《数学基础过关660题》《数学强化通关330题》配合使用，学习更高效
2009-2023年的考试真题，逐题逐步解析
历年考题题型分类全汇总，解锁命题“套路”
内含答题区域，题目与解析分册，做题不受答案影响,
核对答案便捷易用
考试时看到题目，模糊地记得书上看到过同类题目，但清晰地记得自己没有做。
扫码看课
X中国农业出版社
V CHINAAGRICULTURE PRESS套傍忡
2009-2023
金榜时代考研数学系列IV研客及全国各大考研培训学校指定用书
数学历年真题
全精解析
•提高篇寸就
编著◎李永乐王式安武忠祥宋浩姜晓千硕哥（薛威）刘喜波
章纪民陈默申亚男毕生明朱杰王一鸣吴紫云
X中国农业出版社
CHINA AGRICULTURE PRESS
.北京.图书在版编目（CIP）数据
数学历年真题全精解析:提高篇.数学三/李永乐
等编著.一北京：中国农业出版社,2023. 1
（金榜时代考研数学系列）
ISBN 978-7-109-30414-7
i.①数… n.①李…ni.①高等数学一研究生一入
学考试一题解IV .①013-44
中国国家版本馆CIP数据核字（2023）第018064号
数学历年真题全精解析：提高篇.数学三
SHUXUE LINIAN ZHENTI QUANJING JIEXI：TIGAOPIAN. SHUXUE SAN
中国农业出版社出版
地址：北京市朝阳区麦子店街18号楼
邮编：100125
责任编辑：吕睿
责任校对：吴丽婷
印刷：河北正德印务有限公司
版次：2023年1月第1版
印次：2023年1月河北第1次印刷
发行:新华书店北京发行所
开本：787mm X 1092mm 1/16
印张：34
字数：806千字
定价：99.80元
版权所有-侵权必究
凡购买本社图书，如有印装质量问题，我社负责调换。
服务电话：010-59194952 010-59195115金葬味犬考研数学系列图书
GUST ■
内容简介及使用说明
考研数学满分150分，数学在考研成绩中所占的比重很大；同时又因数学学科本身的特点，考生
的考研数学成绩历年来千差万别，数学成绩好在考研中很占优势，因此有“得数学者考研成”之说。
既然数学成绩的高低对考研成功与否如此重要，那么就有必要探讨一下影响数学成绩的主要因素。
本系列图书作者根据多年的命题经验和阅卷经验，发现考研数学命题的灵活性非常大，不仅表
现在一个知识点与多个知识点的考查难度不同，更表现在对多个知识点的综合考查上，这些题目在
表达上多一个字或多一句话，难度都会变得截然不同。正是这些综合型题目拉开了考试成绩的差
距，而构成这些难点的主要因素，实际上是最基础的基本概念、定理和公式的综合。同时，从阅卷反
映的情况来看，考生答错题目的主要原因也是对基本概念、定理和公式记忆和掌握得不够熟练。总
结为一句话，那就是：要想数学拿高分，就必须熟练掌握、灵活运用基本概念、定理和公式。
基于此，李永乐考研数学辅导团队结合多年来考研辅导和研究的经验，精心编写了本系列图书,
目的在于帮助考生有计划、有步骤地完成数学复习，从基本概念、定理和公式的记忆，到对其的熟练运
用，循序渐进。以下介绍本系列图书的主要特点和使用说明，供考生复习时参考。
书名 本书特点 本书使用说明
内容基础-提炼精准-易学易懂（推荐使用时间：2022年7月一2022年12月）
《数学复习全 本书根据大纲的考试范围将考研所需复 考生复习过本校大学数学教材后，即可
书-基础篇》 习内容提炼出来，形成考研教学的基础内容 使用本书。如果大学没学过数学或者本校
和复习逻辑，实现大学数学同考研数学之间 课本是自编教材，与考研大纲差别较大，也
的顺利过渡，开启考研复习第一篇章。 可使用本书替代大学数学教材。
题目经典・体系完备・逻辑清晰（推荐使用时间：2022年7月一2023年4月）
本书是主编团队出版20多年的经典之 与《数学复习全书-基础篇》搭配使用，
作，一直被模仿，从未被超越。年销量达百万 在完成对基础知识的学习后，有针对性地做
余册，是当之无愧的考研数学头号畅销书，拥 一些练习。帮助考生熟练掌握定理、公式和
有许多甘当“自来水”的粉丝读者，口碑爆棚， 解题技巧，加强知识点的前后联系，将之体
《数学基础过 考研数学不可不入！ “660"也早已成为考研 系化、系统化，分清重难点，让复习周期尽量
关660题》 数学的年度关键词。 缩短。
本书重基础，重概念，重理论，一旦你拥 虽说书中都是选择题和填空题，同学们
有了《数学复习全书•基础篇》《数学基础过 不要轻视，也不要一开始就盲目做题。看到
关660题》教你的思维方式、知识逻辑、做题 一道题，要能分辨出是考哪个知识点，考什
方法，你就能基础稳固、思维灵活，对知识、定 么，然后在做题过程中看看自己是否掌握了
理、公式的建解提升到新的高度.避免陷入复 这个知识点，应用的定理、公式的条件是否
习中后期''基础不牢，地动山摇”的窘境。 熟悉，这样才算真正做好了一道题。
分类详解・注重基础-突出重点（推荐使用时间：2022年7月一2022年12月）
《数学历年真
本书精选精析1987—2008年考研数学 与《数学复习全书-基础篇》《数学基础
题全精解析 真题，帮助考生提前了解大学水平考试与考 过关660题》搭配使用，复习完一章，即可做
-基础篇》 研选拔考试的差别，不会盲目自信，也不会妄 相应的章节真题。不会做的题目做好笔记，
自菲薄，真正跨入考研的门槛。 第二轮复习时继续练习。
• I •书名 本书特点 本书使用说明
\ •':' ' -A *'*
系统全面•深入细致•结构科学（推荐使用时间：2023年2月…2023年7月）
本书为作者团队扛鼎之作，常年稳居各 利用《数学复习全书•基础篇》把基本
大平台考研图书畅销榜前列.主编之一的李 知识''捡''起来之后，再使用本书。本书有知
永乐老师更是入选2019年“当当20周年白 识点的详细讲解和相应的练习题，有利于同
金作家"，考研界仅两位作者获此称号。 学们建立考研知识体系和框架，打好基础。
本书从基本理论、基础知识、基本方法出 在《数学基础过关660题》中若遇到不会
《数学复习全
发，全面、深入、细致地讲解考研数学大纲要 做的题，可以放到这里来做。以章或节为单
书-提高篇》
求的所有考点，不提供花拳绣腿的不实用技 位，学习新内容前，要复习前面的内容，按照一
巧，也不提倡误人子弟的费时背书法，而是扎 定的规律来复习。基础薄弱或中等偏下的考
扎实实地带同学们深入每一个考点背后，找 生，务必要利用考研当年上半年的时间，整体
到它们之间的关联、逻辑，让同学们从知识点 吃透书中的理论知识，摸清例题设置的原理
零碎、概念不清楚、期末考试'过后即忘的"停 和必要性，特别是对大纲中要求的基本概念、
级''水平，提升到考研必需的箱度。
理论、方法要系统理解和掌握。
真题真练・总结规律・提升技巧（推荐使用时间：2023年7月一2023年11月）
/ 才 \ \
本书完整收录20p9—徵年考研数学的 .边做题、边总结，遇到"卡壳”的知识点、
全部试题，将真题按点分类，还精选了其他 题目，T到《数学复习全书•提高篇》和之前
《数学历年真 卷的试题作为练习.题。左争做_到考.点全覆盖， 听过的善础课、强化课中去补，争取把每个
题全精解析- 题型多样，重点突出,*简单重复。书中的每 真题知识点吃透、搞懂，不留死角。
提高篇》 道题给出的参考答案*.常用、典型的解法*也 通过做真题，进一步提高解题能力和技
有技巧性强的特殊解法』分析过程逻辑产谨、
巧，满足实际考试的要求。第一阶段，浏览
思路清晰，具有很强侮目操作性，通过学习，考 每年真题,:熟悉题型和常考点。第二阶段，
进,孝项复早。
生可以独立完成戏同类题的解答。
\__
经典讲义、专项突破•强化提高（推荐使用时间：2戒3年7月一2023年10月）
《高等数学辅
_ —____________La_________________
导讲义》
三本讲义分萸 作.者的教学讲稿改编而 哪科较薄弱.精研哪本。搭配《数学强
《线性代数辅
成，系统阐述了考研数学的基础知识。书中 化通关330飓》一起使用，先复习讲义上的
导讲义》
例题都经过严备筛选；归纳，是多年经验的总 知识点，做章节例题、练习，再去听相关章节
《概率论与数
结，对同学in的重点、难点的把握准确，有针 的强化课，做《数学强化通关330题》的相关
理统计辅导
对性。或容水神读，做到举一妲。 习题，更有有于知识的巩固和提高。
讲义》
综合训练.突破重点•强化提高（推荐使用时间：2023年5月一2023年10月）
强化阶'费的练习题，综合W皈必备。具 与《液.学基础过关660题》互为补充，包
《数学强化通
有典型性、针对性、技巧性、综合性等特点，可 含选择题、填空题和解答题。搭配《高等数
关330题》
以帮助同学们突破重点、难点，熟悉解题思路 学辅导讲义》《线性代数辅导讲义》《概率论
与数理统;十辅导讲义》使用，效果更佳。
和方法，增强应试能力。
查漏补缺-问题清零•从容应战（推荐使用时间：2023年10月-2023年12月）
本书是常用定理公式、基础知识的清单。
《数学临阵磨 最后阶段，大部分考生缺乏信心，感觉没复习
搭配《数学决胜冲刺6套卷》使用。上
枪》 完，本来会做的题目，因为紧张、压力，也容易
考场前，可以再次回忆、翻看本书。
出错。本书能帮助考生在考前查漏补缺，确
保基础•知识不丢分。
冲刺模拟・有的放矢•高效提分（推荐使用时间：2023年11月一2023年12月）
《数学决胜冲
通过整套题的训练，对所学知识进行系 在精研真题之后，用模拟卷练习，找漏
剌6套卷》
统总结和梳理。不同于对重点题型的练习， 洞，保持手感。不要掐时间、估分，遇到不会
《考研数学最
需要全面的知识，要综合应用。必要时应复 的题目，回归基础，翻看以前的学习笔记，把
后3套卷》
习基本概念、公式、定理，准确记忆。 每道题吃透。
n从真题中你能够了解真实的考研数学，找到考研数学的规律
真题是教育部教育考试院一届又一届命题老师们集体智慧的结晶，题目经典，又有规律
可循。为了帮助广大考生在较短的时间内，准确理解和熟练掌握研究生数学考试的出题方式
和解题规律，全面提高解题能力，进而更好地驾驭考试，本书编写团队依据十余年的命题与阅
卷经验，并结合二十多年的考研辅导和研究精华，精心编写了本书，以期起到帮助同学们提高
综合分析和综合解题能力的作用。
历年来，研究生数学考试的知识点没有太大变化，并且考查的重难点也比较稳定，都是往年
考试反复考查的内容，依据往年考题掌握了这些重难点，我们就等于成功了 一半。练真题，反复
揣摩是有效把握这些重难点的最佳途径。考生们可以思考考过的知识点会再从什么角度命题，
如何与没有考过的知识点结合起来考查，进而复习没有考过的知识点，这就可以有深度、有广度
地全方位把握知识点了。因此，真题能够更有效地暴露我们的不足和复习误区，提供更有效的
复习思路和策略，甚至可以说，真题就是最好的“辅导老师"，它告诉我们考试会考什么、怎么考,
反过来又指导我们思考如何应对，也只有真题准确体现了考试所要求的能力和方法。
真题对大部分考生来说都是“陌生"的。真题命制科学，经过命题人的反复推敲，是市面
上的练习题所无法比拟的，而这些练习题中难易适中、命制科学、贴近考试要求的也很少。做
真题，反复揣摩，能节省我们宝贵的复习时间，达到事半功倍的效果。紧紧抓住真题，在考试
时也可以使我们做到从容应对。
本书共分两篇。第一篇给出最新的真题和解析，目的是让读者了解最新考题的结构、形
式和难易程度，方便复习备考；第二篇是历年的真题分类解析，将真题按考点所属内容分类并
进行解析.第二篇是本书的精华部分，各章编排如下：
1. 本章导读
设置本部分的目的是使考生明白此章的考试内容和考试重点，从而复习时目标明确。
2. 试题特点
本部分总结此类知识的历年考试出题规律，分析可能的出题点。
3. 真题分类练习
本部分对历年真题的考点、题型进行归纳分类，总结各类题型的解题方法。今年对这部
. 1分做了调整，将解析与题目分开，便于同学们练习，不受答案的影响。答案册中的题目解法均
来自各位专家多年教学实践总结和长期命题阅卷经验。针对以往考生在解题过程中普遍存
在的问题及常犯的错误，我们给出相应的注意事项，对每一道真题都给出解题思路分析，以便
考生真正地理解和掌握解题方法。
1.解题加速度
数学复习离不开做题，只有做适量的练习'才能巩固所学的知识。为了，使考生更好地巩固
所学知识、提高实际解题能力，本书作者从历年其他卷别的试题中精心选取同类考题供考生
练习，以便使考生在熟练掌握基本知识的基础上，能够轻松解答真题。同时，每道题都配备了
详细的参考答案和解析，以便考生解答疑难问题时能及时得到最详尽的指导。
建议考生在使用本书时不要就题论题，而是要多动脑筋，通过对题目的练习、比较、思考，
总结并发现题目设置和解答的规律性。请大家一定要在今后的复习中，时刻想到将各个方面
的知识融会贯通，做好串联和总结，以检验自己对问题的把握程度，真正掌握应试解题的金钥
匙，从而迅速提高知识水平和应试能力，取得理想的分数。
使用本书的同时，也可以配合使用本书作者编写的《数学复习全书•基础篇》《教学基础
过关660题》《数学复习全书•提高篇》《数学强化通关330题》等.提高复习效率。
另外，为了更好地帮助同学们进行复习，“清华李永乐考研数学"特在新浪微博上开设答
疑专区，同学们在复习考研数学时，遇到问题，均可在线留言，团队老师将尽心为你解答。
希望本书能对同学们的复习备考带来更大的帮助。对书中的不足之处，恳请读者批评指正。
祝同学们复习顺利，心想事成，考研成功！
图书中的疏漏之处会即时更正
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编者
2023年1月
• 2 •第一篇最新真题
2023年全国硕士研究生招生考试数学（三）试题...........................................1
第二篇真题分类解析
第一部分微积分....... .................................................................. 5
第一章函数、极限、连续.................................................................5
第二章一元函数微分学.............................................................. 33
第三章一元函数积分学.............................................................. 66
第四章多元函数的微分学............................................................91
第五章二重积分......................................................................108
第六章无穷级数......................................................................125
第七章常微分方程与差分方程.......................................................140
第二部分线性代数......................................................................150
第一章行列式•'............................ 150
第二章矩阵...........................................................................157
第三章向量...........................................................................169
第四章线性方程组....................................................................177
第五章特征值与特征向量............. 190
• 1 •第六章二次型.........................................................................204
第三部分概率论与数理统计............................................................ 215
第一章随机事件和概率...............................................................215
第二章随机变量及其分布............................................................ 220
第三章多维随机变量的分布..................................'•.................... 223
第四章随机变量的数字特征..........................................................230
第五章大数定律和中心极限定理.....................................................239
第六章数理统计的基本概念..........................................................241
第七章参数估计......................................................................244
• 2 •最真题
绝密★启用前
2023年全国硕士研究生招生考试
数学（三）
（科目代码：303）
考生注意事项
1. 答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题
卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信
息点。
2. 选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必
须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效;
在草稿纸、试题册上答题无效。
3. 填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整，笔迹清楚；涂
写部分必须使用2B铅笔填涂。
4. 考试结束，将答题卡、试题册和草稿纸按规定交回。
考生编号
考生姓名
• 1 •数学历年真题全精解析• ■■(数学三)
一、选择题(1〜］。小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合
题目要求的.)
(1)已知函数 = ln(j/ +| zsin y | ),则
(A) 3 不存在，技 存在. (B)咨 存在联 不存在.
OX dx
(0.1) (0,1) (0,1) (0,1)
(o If 均存在. (D)孕 if 均，不存在.
dX "dy dx "dy
(0,1) (0,1) (0,1) (0,1)
- ]
•Z W 0,
(2)函数 y(z)= y； J] + 的一个原函数为
.(jr + l)cos x 1〉0
ln( Jl + z" — x), 1 W °，
(A)F&)=
(z + l)cos x — sin jc. 工〉0.
ln( _ z) + ], z < 0,
(B)F(z)
(z + Deos a: — sin j?, z〉0.
In ( Jl ++ z), •z W 0,
(C)F(z)
(z + 1 )sin
jc
+ cos x, z〉0.
In ( Jl + T + «z) + ], •z < 0,
(D)F(z)
(jc + 1) sin x + cos x, 工〉0・
(3)若微分方程y + ayf +如=0的解在(一00, + °°)上有界，则
(A)a V 03〉0. (B)q > 0, 6> 0.
(C)a = 0, 6 > 0. (D)a = 0, 6 < 0.
8 8 OO 8
(4)已知a„f + y2 ~ 4况. + 话—y}.
-2 -2023年全国硕士研究生招生考试数学(三)
r
1 2 2、
(7)已知向量ai = 2 ，血= ，仇= 5 ，“2 = 0 .若Y既可由,。2线性表示，也可由01，。2
、3 9 1,
线性表示，则y =
3 3 T 1]
(AM 3 ,k e r. (B以 5 以€ R. (C* ，k £ R. (DM 5 以 e r.
2
、4, 〔10, 2
(8) 设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则E(|X —EX|)=
1 1 9
(A) —. (B) (C) 4. (D)l.
e 2 e
(9) 设X】，X2,…，Xn为来自总体N(E)的简单随机样本，匕，丫2,…，匕„为来自总体N(“2,
2a2)的简单随机样本，且两样本相互独立.记工=.，〜 土£匕，Sf = 占2京,
-x)2, si = -^-rYcy.-y)2,则
加一1 W
(A)
(B)急〜F(n — 1 — 1).
(D)穿〜
(C)
(10) 设Xi,%为来自总体N(“，/)的简单随机样本，其中<7((7>0)是未知参数.记？ = a | Xi —
X2 | ,若 E(a) = s 则 a =
(A)季. (B)嘤. (C)&. (D)压
二、填空题(11〜16小题，每小题5分，共30分.)
(11) limx2(2 — xsin -----cos 上)= .
(12) 已知函数fg)满足dfa,y)=奕汪衅,/(1,1)=寺，则/(V3.3) =
z +/ 4
(14)设某公司在t时刻的资产为/(«)，从0时刻到t时刻的平均资产等于牛 一t,假设f(t)连续
且 /(0) = 0,则 f(t) =.
0X1 +x3 = 1,
a 0 1 lai
ax 2 +^3 = 0,
(15)已知线性方程组- 有解，其中a,b为常数.若1 a 1 =4,则1 2 a
11+ 2x2+ar3 = 0,
12a a b 0
ax\ + ba：2 — 2
-3 -►►数学历年真题全精解析• ■(数学三)
(16) 设随机变量X与丫相互独立，且X〜B(1,Q,Y〜B(2,p),p E(0,1),则X + 丫与X—Y的
相关系数为.
三、解答题(17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(17) (本题满分10分)
已知可导函数 y = N(h)满足 aeT + y2 + y— ln(l + x)cos y + b — 0,且 j/(0) = 0,j/(0) = 0.
(I) 求a, 6的值；
(II) 判断£ = 0是否为的极值点.
(18) (本题满分12分)
已知平面区域。=[(工,V)I。VvV―
( x VI 十 x }
(I)求D的面积；
(II )求D绕h轴旋转所成旋转体的体积.
(19) (本题满分12分)
已知平面区域。={(工，I (x-l)2+>2 算二重积分JJ I g + J — 1 | dxdy.
D
(20) (本题满分12分)
设函数/■(丁)在[—a,a]上具有2阶连续导数，证明：
(I)若 /(0) = 0,则存在? E (一 a, a),使得 /($) = ~[f(a)
a
(H)若/XG在(一a,a)内取得极值测存在？£(—1幻,使得| /(,) 12 土 I f(a)—f(—a) |,
(21) (本题满分12分)
Z1 + 二2 + 13
设矩阵A满足：对任意©，互，*3均有a 工七 = 2X1 一 12 + 及
x2—
(I )求 A;
(n )求可逆矩阵p与对角矩阵A ,使得P^ AP = A.
(22)(本题满分12分)
设随机变量X的概率密度为f(£)= 危%8 v*<+8,令丫 = ex.
(1 + e )
(I )求X的分布函数；
(U)求Y的概率密度；
(DI) Y的期望是否存在？
• 4 ,Mi
维 真题分类解析
第一部分微积分
第一章 西敬、枢馄、连渎
函数是微积分的研究对象，极限是建立微积分理论和方法的基础，连续性是函数的基本性态，
是函数可导和可积的基本条件，连续函数是微积分所讨论的函数的主要类型.因此，函数、极限与
函数连续性是微积分的理论基础，也是本章的主要内容.
其主要内容有
1, 函数的概念，基本性质及复合函数；
2, 极限的概念，性质，存在准则及求极限的方法；无穷小量的概念、性质及阶的比较；
3, 连续的概念，间断点及其分类，连续函数的性质（运算性质及有限闭区间上连续函数性质）.
本章是微积分的基础，每年必考.而本章的特点是基本概念和基本理论非常多，许多考题重点
考查这些基本概念和基本理论，从往年试卷分析情况来看，失分率比较高，因此，望考生们重视基
本概念和基本理论的复习.
本■常考题型
1. 求极限.
2. 无穷小量及其比'较.
3. 求间断点及判别间断点类型.
无穷小量比较实际上就是研究“ § ”型极限，而间断点类型判定的关键也是求极限，所以，本章
常考的三种题型的核心都是求极限.重点是求极限的常用方法（如有理运算、基本极限、等价无穷
小代换、洛必达法则等）.
• 5 •数学历年真题全精解析• ■■（数学三） 》
，僵分类练习
复舍通数及函数的几时畴推
-、
虽然有关复合函数和函数的几种特性（即有界性、单调性、奇偶性、周期性）的试题在近几年的
试卷中没有专门出过，但它是一个基本内容，也是本章第一部分函数中的重点内容.近几年其他类
型的考题考到了该内容，以前的考卷也曾多次专门出题考查,望读者重视.
d；解题加速度
1. （ 1987，数二.4 分）f（r） = | xsin x | eCOSI（— 8 V z <+ 8）是
（A）有界函数. （B）单调函数.
（C）周期函数. （D）偶函数.
2. （ 1988,41-、数二，5 分）设 f（H）= e? , f\_cp（.x}~\ = 1-x,且 p（z） 2。，求甲（工）及其定义域.
(1 I z IV ]
3. (2001.数二・3 分)设 /(x) = ' , '则 /{/[/(x)]}等于
[0, I x |> 1,
1, I z IW 1， 0, I a： I w 1,
(A)0. (B)l. (C) (D)
o, I z I > 1. 1, I z I > 1.
演髀可
-6 -• 《 第一章 函数、极限、连续
X
小结
这里主要有两类问题.
一、 复合函数
主要有两种题型：
1. 已知 /(X)和 g(z)，求 /tg(工)].
求复合函数的基本方法是将内层函数gGr)代入外层函数/(X).如果出现分段函数，内层函数
g(x)的函数值落在外层函数/(x)的定义域的哪个部分，就将g(z)代入相应的八工)的表达式中
即可求得Ag(x)].
2. 已知/Xh)和g(z)复合的结果，即/Ig(r)]=夕(工)，又知道f(x)和g(z)其中之一，求另
一个.
(1) 若已知/(x),且/(x)有反函数= 0(或<0),则函数在区间/上单调增加(或减少).
3. 奇偶性
(1) 利用奇偶性的定义.
(2) 利用奇偶函数的运算性质判定，即
奇函数士奇函数=奇函数；偶函数士偶函数=偶函数；
奇函数X奇函数=偶函数；奇函数X偶函数=奇函数；
偶函数X偶函数=偶函数.
4. 周期性
(1) 利用周期函数定义.
(2) 若六工)是以T为周期的函数，则r(*+6)(a 乂 0)是以」p为周期的函数.
I Q I
-7 -数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
二、极限的概念与樱质
n(2010,4 题，4 分)设 /(J7)= ln"z,g(z) = x,h(jc) = e10，则当工充分大时有
(A)g(z) < k(jc) V /(jc). (B)A(j；) V g(z)V f (工).
(C) f(jc) < g(z) V (D)g(z) V /Xz) V K(工).
答题区
0(2014,1题，4分)设limtz” = q,且a尹0,则当n充分大时有
“f 8
(A) | a」〉呼. (B) |a“|V 峥.
(C) Q” > q — — n ( n D) an V Q H—
答题区
0(2015,1题,4分)设｛%｝是数列，下列命题中不正确的是
(A)若lim
8
z” = q,贝l
n
j
—
l
*
i
o
m
o
rr2w =
"
l
f
i m
8
^n+i = Q・ (B)若
n
l
f
i
C
m
XI
a” =
n-
I
*
i
°
m
°
z2”+i = Q，贝0lim
8
j：n = a.
(C)若
n
l
—
i
»
m
oo
z” =
n—* oqo
,贝ljlimx
*
3
o
„
o
= limj：3n+1 = a.
n
(
—►
D
co
)若lima” — limj?3w+1 =
”一
»8q,贝Ulimz” = a.
答题区
• 8 •第一章 函数、极限、连续
|](2。22,2题，5分)已知劣，=缶-导以(”=1,2,…)，则也,｝
(A)有最大值，有最小值. (B)有最大值，没有最小值.
(C)没有最大值，有最小值. (D)没有最大值,没有最小值.
答题区
，解题加速度
1. (1999.数二，3分)“对•任意给定的(0,1),总存在正整数N,当n>N时，恒有| z,—a | V
2e”是数列｛*,｝收敛于a的
(A)充分非必要条件. (B)必要非充分条件.
(C)充分必要条件. (D)既非充分也非必要条件.
2. （2003 ,数一、数二，4 分）设{a„} ,{b„} ,{c„}均为非负数列，且lima” = 0,limb, = 1, lime* =
>OO 〃-A8 "—*8
8 ,则必有
(aA) n < bn对任意n成立. (6B„) < cn对任意〃成立.
(C)极限\imanc„不存在. (D)极限Y\xnbncn不存在.
3. (2012,数二，4分)设 q” >0(〃 = 1,2,…)，S” = a】++…+ Q”，则数列｛S”｝有界是数列
｛an｝收敛的
(A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.
(C)必要非充分条件. (D)既非充分也非必要条件.
-9 -"、数学历年真题全精解析• ■—(数学三) 》
I. (2022.数一、数二，5分)已知数列也｝,其中一奇(工.〈奇，则
/ 乙
(A) 当 limcos(sin x„)存在时»limx„ 存在.
8 8
(B) 当 limsin(cos xn)存在时,limx„ 存在.
”一»CO ”—8
(C) 当limcos(sin xn)存在时,limsin xn存在，但limz”不一定存在.
>|—8 ”f 8 8
(D) 当limsin(cos x„)存在时,limcos x„存在，但limx„不一定存在.
n-*oo 8 n-*o°
演鑫有
X
小结
(1) 极限的概念重点是理解数列极限的e-N定义和函数极限的€-8及e—X定义，而不是用
定义证明极限.
(2) 极限的性质重点是:有界性，保号性及有理运算性质.
(3) 极限的存在准则重点是：单调有界准则和夹逼原理.
=.联函数的极限
0（2009,9 题,4 分）lim 3,如％—
h f J1 + *2 — 1
答题区
0（2010,15 题，10 分）求极限 lim （1 - 1）上.
"" X—4-00
答题区
・10 -《 第一章 函数、极限、连续
+ 2sin z — — 1
0（2011,15 题，10 分）求极限lim
工―0 xln（ 1 + x）
答题区
^J（2012,9 题,4 分）lim（tan x）cosj~8inx
答题区
Q2012,15题，10分）求极限lim —X -4 —— —4COS X
X-0 X
答踵区
-11数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
(e+ — 1) —
皿（2014,15题，10分）求极限lim心-------fit
i° x2ln
答题区
圆（2015,9题,4分）1四略盘
答题区
函（2016,9题，4分）已知函数/（x）满足］im保王琴尊丘二1 = 2,则lim/XQ =_______ .
■■■• lo e — 1
答题区
[E(2016,15 题，10 分)求极限lim(cos 2x + 2«rsin z)‘ .
x-*0
答题区
・12・第一章 函数、极限、连续
\/x — tel
dz
E(2017,15 题,10 分)求 lim 0
答题区
[E(2020,l 题，4 分)设limf(z)=们则lim sin ~ sin Q
x-*a X — a x—a X — a
(5Asi)n a, (B)》cos a.
(C)6sin /(a). (D)Acos f(a).
答题区
画2022,11题,5分）职（飞勺""=.
答题区
-13 -数学历年真题全精解析•■—（数学三） 》
Q
解题加速度
1. （2000,数二，4 分） 若]im sin 6b + ”(寸) =0,则hm 6土砰为
x— .3 H-0 X
0
(A)0. (B)6. (036. (D)oo.
求极限lim〈1..二cos工）卫二!n（l.±］迎旻］
2. (2009,数二、9 分)
x-*0
演 SlrlBj
3. （2010,数一，4 分） 极限lim (1 - + 5)]
X-»oo
(A)l. (B)e. (C)eu-\ (D)e〜
・14・第一章函数、极限、连续
ln(l+x)伟
4. （2011 .数一，10 分）求极限lim
x
J：—0
5. (2014 ,数二，4 分)设函数 /(x) = arctan x.若 /(x) = "'(£)，则 lim 号=
x-0 x
9 11
(A)l. (B)吝. (C) -y. (D)
«J XU O
zln (1 + Zsin t)dt
o_______________
6. (2016,数一，4 分)lim
x—0 1 — cos x2
7. (2018,数二，4 分)lim x2Carctan(x + 1) — arctan x]=
_r—+8
・15・数学历年真题全精解析•(数学三)
2
8. （2019 ,数二，4 分）lim（T + 2J）7 =.
x-*0
9-(2°2。，数一，4 分)匝［上一成1\右］=--------- '
X
小结
1. 求函数的极限主要是求未定式(g,竺,8 — 8,0 • 8,广，8。，0。)的极限，这里的关键是
前两种，即”型和“竺”型，而后5种都可化为前两种，前两种当中特别是“g”型考得最多，求
0 8 u
“音”型极限主要是三种方法.
(1) 利用洛必达法则.在处理“音”型极限问题时，不要急于用洛必达法则，应先进行化简，常用
的方法有：极限为非零常数的因子先求出来极限，等价无穷小代换，有理化.化简完后再用洛必达
法则；
(2) 利用等价无穷小代换.
(3) 利用泰勒公式:其中sin x,ln( 1+ a:) ,ex ,cos x在h =。处的泰勒公式比较常用,考生应熟悉.
2. “广”型极限也是一种常考的类型，最简单的方法是利用结论：
若 lima(z) = 0,lim/?(x) = 8,且 lima(工)伙了)= A,则 lim(l +a(i))"" = eA.
或数到的极障
E (2016,10 题，4 分)极限 lim ( sin — + 2sin — H----+ nsin —}= .
”-8 n \ n n n / -----------
答踵区
・16 -[E(2017,17 题，10 分)求lim史 gln(l+勺.
8& = i n \ n /
答题区
[0（2018,19 题，10 分）设数列｛%｝满足：© =『•一 13= 1,2,…）.证明｛石｝收
敛，并求limz”.
答题区
[ni+rh+"'+^TT)
001(2019,9 题,4 分)lim 2+ 2^~3 + n(n + 1)
〃-*8
答题区
-17・> 数学历年真题全精解析•■—（数学三） 》.
即（2019,19 题，10 分）设 a„ = J x" ~ dx（n = 0,1,2, — ）.
（I）证明：数列修“｝单调减少，且a,= 壬= 2,3,…）；
〃十Z
（U）求 lim d
8 Qi
答题区
d；
解题加速度
1 1995,数一、数二,3分）四（日两+百^ +…+忒•再）=--------.
S
演肉
2. (2004 •数二，4 分)limln J(] —)—(1 +旦)…(1 +旦)—等于
(2Bj) In xdx.
(Aj ) ln2xdj?.
(C)2j：ln(l+z)dz. (D)£ln2(l+x)dx.
・18 ,第一章 函数、极限、连续
3. (2008.数四.4 分)设 0 0）求极限.
五、礴定极限中的秦数
§E（2010,l题,4分）若网［斗一（手一口）习=1,则 等于
q
（A）0. （B）l. （02. (D)3.
答题区
目& （2013,15题，10分）当时，1 — cos x • cos 2x • cos 3x与 q—为等价无穷小，求〃与
Q的值.
答题区
-21数学历年真题全精解析• ■■(数学三)
匣］（2018,15 题，10 分）已知实数 a,6 满足 lim ［（ar + - x］ = 2,求 a,A.
■ 工―+ce
答题区
函(2019,1题，4分)当时，若z — tan z与z"是同阶无穷小，则A =
(l.A) (B)2. (03. (D)4.
答题区
_i_
函2021,17题，10分)已知li吁 aarctanl + (1+1 X I)1］存在，求a的值.
z
答题区
・22 -《 第一章 函数、极限、连续
（|）解题加速度
ln(l +抄一(or +况2) = 2 则
1. （1994,数一、数二，4 分）设lim
X
x-*0
5
(aA) = 1,8 =——. (aB) = 0,b =— 2.
5
(aC) = 0,6 =—万. (D)a = 1,6 =— 2.
演尊空间
or — sin z
2. （1998.数一、数二，5分）确定常数a,b,c的值，使lim =cCc # 0).
x-*0
ln(l +『)d.
3. (2009,数一 ,4 分)当 1 — 0 时,f (工)=z —sin ax 与 g(z) = J72ln(l — )是等价无穷小量,
则
• 1 I
(aA) = 1,6 =— —
6
. (B)q = 1,A =云
6
. (C)a =— 1,6=—
6
. (D)a =— 1,6=—
6
.
-23 -> 数学历年真题全精解析•■—（数学三） 》
ln( 1 + Z2 )dz
4. （2011,数二，10分）已知函数F（z）= o______________ 设 lim F(z) = limF(z) = 0,试求 a
-xa •Tf+8 A+
x-*O
的取值范围.
演算空间
5. (2013,数一，4分)已知极限lim ~ ar^tan x = c,其中k,c为常数，且c # 0,则
X—0 X
(bA) = 2,c =— $・ (B)人=2,c = (C)& = 3,c =— (D)4 = 3,c 1
3
6. (2018,数一 ,4 分)若 1 im( , tan X V"= e,则 k = .
\ 1 十 tan x / ------------
lo
7. (2018,数二，4 分)若lim(e，+皿2 +如便=1,则
x-*0
(A)q = ¥，Q=—1. (B)q =—§,》=—1.
乙 乙
(C)q = * ,b = 1. (D)q =— * ,b = 1.
乙 Li
-24・< 第一章 函数、极限、连续
X
小结
对于确定极限中参数的问题，一般方法是求所给的极限，确定题中的参数.有些参数在求极
限的过程中可确定，有些参数在求得极限以后可确定出来•求极限的方法要根据题中所给极限
类型来确定.最常见的类型是“#"型，此类型常用的求解方法有三种：洛必达法则、等价无穷小
代换和泰勒公式.
六、羌客小菱及其阶的比较
国(
2009,2题,4分)当0时,f (工)=X —sin ax与g(x) = x2ln( 1 —6r)是等价无穷小量，则
(A) a = 1,6 =— (B)q = 1,6 = M・
6 6
(C)q =—1 ，6 =—#・ (D)q=—1，8=!・
6 6
答题区
国(2011,1题,4分)已知当时,f (工)=3sin x — sin 3x与cxk是等价无穷小，则
(Mk = 19c = 4. (B)A = l9c =— 4.
(C)久=3,c = 4. (D)为=3,c =— 4.
答题区
瓯(2013,1题,4分)，当1-0时，用％(z)”表示比z高阶的无穷小，则下列式子中费谬的是
(xA) ・ o(x2) = o(x3). (B)o(z) • o&2) = o(]3).
(C)o(j?2) +o(]2) = O&2). (D)o(z) + O&2) = O(X2).
答题区
・25・数学历年真题全精解析• （数学三）
^^(2014,3 题,4 分)设 p(jc) = a-\- bx + ex2 + dx3,当 z->0 时，若 p(工)—tan 1 是比 z' 高
阶的无穷小，则下列选项中章掌的是
(Aa ) = 0. (B)6 = 1.
(C)c = 0. (D)d =
b
答题区
顽(2015,15 题，10 分)设函数 /(x) = x + aln(l +j?) + Msin x,g(jr) = kx3,若 f(jc)与 g(z)
在z - 0时是等价无穷小，求a,b,E的值.
答题区
00（2020,15题，10分）已知a,b为常数，若（1 + §）”一。与号在n —oo时是等价无穷小，求
答题区
・26・<
第一章 函数、极限、连续
因2021,1 题，5 分)当 *-0 时，「(e，‘ -l)dr 是的
J 0
(A)低阶无穷小. (B)等价无穷小.
(C)高阶无穷小. (D)同阶但非等价无穷小.
答题区
更(2022,1题,5分)当z- 0时O,阳)是非零无穷小量，给出以下四个命题：
① 若 a(i) ~ /?(]),则 °2&) ~ 代&);
② 若a (x)〜牧(工),则 q(z) ~ B(jc);
③ 若 a(x) ~ .(工),则 a(z) — B(工)=o(Q(z));
④ 若 o(z) — B(工)=o(a&))，则 a(x)〜g(z).
其中所有真命题的序号是
(A)①③. (B)①④, (C)①③④. (D)②③④.
答题区
□解题加速度
1. (1997.数二，3分)设二―0时,etanx -ex与z”是同阶无穷小，则n为
(l.A) (B)2. (03. (D)4.
-27・数学历年真题全精解析• ■■(数学三) 1
2. (2004 ,数一、数二，4 分)把 t-*0+ 时的无穷小 a = J cos f2dt,/?= J tanj£d，，y = j sin t3dz
排列起来，使排在后面的一个是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
(aA,/3),y. (B)a，7，£. (C)£,a，7. (D)j3,y,a.
3. (2005 ,数二，4 分)当 z-> 0 时，a(z) = kx2 与(3(工)=+ zarcsin 工一/cos z 是等价无
穷小，则互=.
I. (2013 ,数二，4 分)设 cos z — 1 = xsin a(r),其中 | a(*) | V 寺，则当工—0 时,a(x)是
(A)比王高阶的无穷小. (B)比工低阶的无穷小.
(C)与x同阶但不等价的无穷小. (D)与x等价的无穷小.
5. (2014,数二，4分)当工―0+时，若lna(l+2x),(l -cos x)«均是比工高阶的无穷小，则a
的取值范围是
((2A,) +8). (B)(l,2)・ (C)(§,1). (D)(0, 1
2
-28 -第一章 函数、极限、连续
6. (2019,数一、数二，4分)当x -* 0时，若z — tan工与z*是同阶无穷小，则k =
(l.A) (B)2. (03. (D)4.
7. (2020,数一、数二，4分)当* —0+时，下列无穷小量中最高阶是
(£A(e) ,2 -l)dz.
(C)j：,sin t2dt.
8. (2021,数二，5 分)当了—0 时，，(e‘‘ -l)d« 是的
(A)低阶无穷小. (B)等价无穷小.
(C)高阶无穷小. (D)同阶但非等价无穷小.
X
小结
有关无穷小量及其阶的比较主要是两类问题：
1. 无穷小量的比较;也就是判断一个无穷小量是另外一个无穷小量的高阶，同阶，等价或低阶
无穷小.
2. 由两个无穷小量之间的关系(等价、同阶等)，转化为确定极限中的参数问题.
以上两类问题的实质是"骨”型极限问题，常用方法有以下三种：
(1) 洛必达法则.
(2) 等价无穷小代换.
(3) 泰勒公式.
. 29 .数学历年真题全精解析• ■(数学三) 》
七、函数连续樱及榆明益的类型
=兰二M的可去间断点的个数为
萤(2009,1题,4分)函数/(h)
sin izx
(A)l. (B)2. (03. (D)无穷多个.
答题％
(2013,2题,4分)函数心=技*盘富的可去间断点的个数为
(A)0. (B)l. (02. (D)3.
答题区
1 — cos 〜°
而(2017,1题,4分)若函数心 =< ax X '在x = 0处连续，则
b, z W 0
1
(A)泌=—. (B)沥=-j.
(aCb) = 0. CD)ab = 2.
答题区
-30・第一章 函数、极限、连续 ◄
§0(2020,2题,4分)函数/(x) = e*n I I的第二类间断点的个数为
(e—l)(z — Z)
(l.A) (B)2. (03. (D)4.
答题区
0
解题加速度
(e+ + e)tan
1. (2007,数二，4 分)函数 /(x) 二 ■^在E—穴,兀］上的第一类间断点是z =
x (eT — e)
(A)0. (B)l. (C) 一普. (D) 普.
2. (2008.数二，4 分)设函数 /(x) = ,ln 1 1. sin x,则 /(x)有
I x — 1 |
(A)l个可去间断点，1个跳跃间断点. (B)l个可去间断点，1个无穷间断点.
(02个跳跃间断点. (D)2个无穷间断点.
演胃甄
3. (2010,数二，4 分)，函数 /(x)= 的无穷间断点的个数为
(A)0. (B)l. (02. (D)3.
-31 -数学历年真题全精解析■（数学三）
z， z < 0,
4.（2016,数一，4分）已知函数 X 1^/1 . 9 则
———,72 =1,2,…，
n 死十1 n
（A）z = 0是，（z）的第一类间断点. (xB) = 0是，(z)的第二类间断点.
（C） f（i）在工=0处连续但不可导. (D) f(x)在x = 0处可导.
演尊空间
2 — az, 次一 1,
-1, ”＜。品）=
5. （2018,数二，4分）设函数f （工）= —1 V 1 <0,若
1, 工20，
X — by •T N °・
/(x) + g(x)在R上连续，则
(aA) = 3,》=1. (B)a = 3,6 = 2. (C)a =— 3 ,》=1. (D)a =— 3,5= 2.
演算箜间
X
小结
这里主要有以下三类问题：
1. 讨论函数的连续性.
常用的方法有
（1） 利用连续的定义（特别是分段函数的分界点）.
（2） 利用连续函数的运算法则（四则、复合及反函数）.
（3） 利用初等函数在其定义区间内都是连续的.
2. 求已知表达式函数的间断点并判别类型.
首先求出函数没有定义的点（必为间断点）和分段函数分界点（可疑间断点），再对以上点按间
断点的分类判别其类型.
3. 求由极限式定义的函数的间断点并判别其类型.
此类问题首先求出极限，得到所要讨论的函数/（x）的表达式，然后再求间断点并判别其
类型.
. 32 .《 第二章一元函数微分学
第二章一毛函数缴分线
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本章导谟
导数与微分是微分学的两个基本概念，是研究函数局部性质的基础.微分中值定理建立了函
数和导数之间的联系，是利用导数研究函数基本性质的理论基础.
其主要内容有：
(1) 导数与微分的概念及其几何意义.
(2) 连续、可导、可微之间的关系.
(3) 微分法(有理运算，复合函数，隐函数，参数方程等).
(4) 微分中值定理(罗尔，拉格朗日，柯西，泰勒).
(5) 函数基本性质及判定(单调性，极值与最值，曲线的凹凸性与拐点，渐近线).
就题特点
本章考试内容多，考题占比高(一般20分左右)，主要知识点有基本概念——导数与微分，基
本方法——微分法，基本理论——微分中值定理，应用一一函数性质.
本■常考圈型
(1) 导数概念.
(2) 微分法(复合函数，隐函数,参数方程).
(3) 函数的单调性与极值.
(4) 曲线的凹向与拐点.
(5) 方程的根.
(6) 证明函数不等式.
(7) 微分中值定理证明题.
后三种题型是难点，考研试卷上最难的题经常出在这一章，也就是与微分中值定理有关的证明题.
-、导数与做分的做会
0(2011,2题,4分)已知/(x)在工=0处可导，且f(0) = 0,则limf 愆)匚2/~(，)
(A) -2/(0). (B) -/(0).
. 33 •MM (
数学历年真题全精解析• 数学三) 》
(0/(0). (D)0.
答题区
0(2015,19题，10分)(I )设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明
= UZ(X)V(X)+ u( X)T»Z(J7).
(口)设函数 U] (x) ,u2(x)，•- ,u„(x)可导,f (工)=Ui (x)u2 (x) — u„(x),写出 /(x)的求
导公式.
答题区
(2018,1题,4分)下列函数中，在z = 0处不可导的是
(A)，&) = | z | sin | jc |. (B)f(工)=| x | sin y/\ x\
(C)/(jc) = cos | x |. (/(Dx)) = cos J| z | .
答题区
d；
解题加速度
1. (2004,数二，4分)设函数y(*)连续，且/(0) >0,则存在3>0,使得
(A)/(j:)在(0,3)内单调增加. (B)y&)在(一3,0)内单调减少.
(C)对任意工 e(0,8)有 /&)> /(0). (D)对任意 X e (-8,0)有 /(X)> /(0).
. 34 .第二章一元函数微分学
2. (2013 .数二，4 分)设函数 y = f{x)由方程 cos(巧)+ In y — x = 1 确定，则 limzzp(号)一1]=
(2A. ) (B)l. (0-1. (D)—2.
演尊箜间
JCa cos —z, X > 0, ., , .
3. (2015,数二.4 分)设函数 邳 (a>0,6>0),若，(丁)在工=0 处
o, z W o,
、
连续，则
(Aa ) --8> 1. (B)0 V a—RW 1. (C)a —夕> 2. (D)0 V a —臼W 2.
4. (2020,4分)设函数 六工)在区间(-1,1)内有定义，且lim/(x) = 0,则
X—0
(A)当= o,ya)在£ = 0处可导. (B)当1而写=0,/U)在* = 0处可导.
z /TTT
I 了
(C)当/(x)在z = 0处可导时,lim "*)= 0. (D)当f (工)在x = 0处可导时,lim= 0.
—/TTT z *
%小结
这里常见的是以下两种问题：
(1) 已知，(丁)在工。处可导，求与，&)在*。点导数定义f3)= lim /U)~/(Jo)有关的
z—工。 X Xq
极限.
(2) 上一种问题的反问题.即已知与心在工。点导数定义/(x0) = lim S.匚£(.此)有关
的极限存在，问/(X)在Xo处是否可导？
. 35 .数学历年真题全精解析• （数学三）
二、导数与粮分计算
□<2011,9 题,4 分）设 了（工）=lim工（1 + 3，对，则，'（*） =.
<—o
答题区
0(2012,2题,4分)设函数六工)=(W —l)(『一2)・"(e* — n),其中"为正整数，则/(0)=
((A) —l)i(n — l)!. (B)(-l)"(n-l)!.
(C)(一 l)f!. (D)(- l)"n|.
答题区 '
0(2012,10题，4分)设函数1，＞ = /(/(x)),则* _ =_________ ,
1 9 工 1 , x=e
答题区
环2021,11 题,5 分）若,=cos（5,则虬t =--------- ■
答题区
-36 -第二章一元函敬微分学
0(2022,13 题，5 分)已知函数 了危)=e血则 f(2n) =.
答题区
(J；
解题加速度
1. (2005,数二，4 分)设函数 /(x) = lim [1 +| * 爪，则 /(x)在(一 十8)内
JI—8 8,
(A)处处可导. (B)恰有一个不可导点.
(C)恰有两个不可导点. (D)至少有三个不可导点.
2. (2007,数二，10分)已知函数，(Q具有2阶导数，且r'(0) = 1,函数了 =火了)由方程了一
x^~x = 1 所确定.设 z = /(In y — sin x),求等 d2z
工=0 ，dx2
0
-37・数学历年真题全精解析，握础・(数学三) 》
3. (20()9,数二.1分)设y = :y(z)是由方程Jcy~V^ =z+l确定的隐函数，则:子|
x=0
演尊空间
1. ( 2013 .教二，1 分)设函数/'(*) = j 1 — e"dz,则 y = /"(*)的反函数工=。'(V)在;y =
0处的导数尊
d;y y=0
5. (2()1 1 .敬一、数二q分)设，(])是周期为4的可导奇函数，且/&) = 2& — 1),]£ [0,2],
则/(7) =________・
4^
演辑空间
6. ( 2() 16 ,数一・ 1 分)设函数 f3) = arctan x — ■，产~，且尸'(0) = 1,则々= .
]+ or
7. (2020,数一, I 分)已知函数，&) = x2ln(l -x),当 n>3 时，尸”)(0)=
(C)一公a. (D)(" — 2)!
(B)
n — Z n — z n
茶
・38 -《 第二章一元函数微分学
8. （2021,数一，5 分）设函数 yCr） =溶在'=°处的3次泰勒多项式为女+狎+…则
7 7
(aA) = 1,6 = O,c =—
6
(B)q = 1 ,b = 0 ,c =—
b
.
7
(C)a =— 19b =— 19c =----
6
(D)q =— 1 yb =— 1 ,c =—
b
.
x
小结
导数与微分计算属基本运算，几乎年年都考，主要有以下几种题型：
（1） 复合函数求导.
（2） 隐函数求导.
（3） 参数方程求导.
（4） 高阶导数计算.
（5） 分段函数的导数.
m、导数的几何意义
0（2011,11题,4分）曲线tan（* + y+于）=e,在点（0,0）处的切线方程为.
答题双
皿（2013,9题,4分）设曲线y = /（x）与y = x2 — x在点（1,0）处有公共切线，则
职江（击）=-------- •
答题区
-39 -数学历年真题全精解析• ■■(数学三)
d](2015,18题，10分)设函数/(x)在定义域I上的导数大于零.若对任意的xo 6 I,曲线
y = /(x)在点(x0,/(x„))处的切线与直线z =工。及工轴所围成区域的面积恒为4,且/(0) =2,
求/(x)的表达式.
答题区
[£(2020,10题,4分)曲线工+ ' +才邛=0在点(0, — 1)处的切线方程为.
答题区
(宙解题加速度
1. (2000,数二，7分)已知/(x)是周期为5的连续函数，它在x =。的某邻域内满足关系式
/(I + sin 二)一3/(1 — sin z) = 8* + a(z),
其中a(x)是当— 0时比1高阶的无穷小，且f(jc)在1= 1处可导，求曲线丁 = /(x)在点
(6,/(6))处的切线方程.
-40・第二章一元函数微分学
2. (2010,数二.4分)曲线y = x2与曲线3/ = aln 尹0)相切，则a =
(4Ae.) (B)3e. (C)2e. (D)e.
3. (2015,数二，10分)已知函数/(x)在区间［a, 4-oo)上具有2阶导数,/(a) = 09/(x) > 0,
f (z) >0.设b> a,曲线3/ = f (工)在点(b, f (b))处的切线与z轴的交点是(zo ,0),证明a < x0 ) = 0给出，则可用隐函数求导法求得以=/(xo).
* ^r* ( $ )
(^7*
—,、'给出，则曲线对应t = t。处切线斜率为
y = ><«)
k = ^y =彩姐
dx，一，
x = r(0)cos
(4)若曲线由极坐标方程r = r(0)给出，此时，可得到该曲线参数方程
y = r(0)sin 9,
尊=潟・
函数的拿调推、极值与量值
⑥、
曜(2010,3题,4分)设函数/&) ,g&)具有2阶导数，且g"&) V0.若g&。)= a是g(z)极
值，则/(g(x))在工。取极大值的一个充分条件是
(f(Aa))<0. (B)/(a) > 0.
(C)/(a) < 0. (D)/(a) > 0.
答题区
[E(2O16,17 题，10 分)设函数 fO) =J。I t2-x2 | dz(x>0),求，&)并求/&)的最小值.
答题区
. 42 .< 第三章—元函数微分学
旧(2017,3题，4分)设函数f(工)可导，且> 0,则
(/(Al)) >/(-!). (B)/(l)
(C)|/(l)|> |/(-l)|. (D)|/(l)|< |/(-l)|.
答题区
> 0
‘ '求，&),并求/•&)的极值.
xex + 1, z < 0,
答题区
ex — 1
］尹0,
[E(2021,2 题，5 分)函数 /(x) = * 在了 = 0处
19 X = 0
(A)连续且取得极大值. (B)连续且取得极小值.
(C)可导且导数等于零. (D)可导且导数不为零.
答题区
(I；解题加速度
1. (2000,数二.4分)设是恒大于零的可导函数，且7(x)g(^)-/(x)g，(x) <0,
-43・数学历年真题全精解析• （数学三）
则当a f(b)g(jc). (/(Bj?))g(a) > /(a)g(x).
(/XC)z)ga )> f(b)g(b). (D)r(z)g(z)> f(a)g(a).
2. （2009.数二.4分）函数丁 = 在区间（0,1］上的最小值为.
3. （2014,数一 •］（）分）设函数y = /（J7）由方程y + xy2 +^2、+ 6 = 0确定，求f（jc）的极值.
■1. （2014 ,数二，1（）分）已知函数;y = 满足微分方程
/ + y2y' = 1 — J
且丁（2） = 0.求jy（z）的极大值与极小值.
演第遂切
z | z | , •z W 0,
5. （2019,数一.4分）设函数fM）= 则x = 0是f(jc)的
zln J?, •z > 0,
・44 -《 第二章一元函数微分学
(A)可导点，极值点. (B)不可导点，极值点.
(C)可导点，非极值点. (D)不可导点，非极值点.
X小结
这里主要是三个基本问题.
1. 判断函数单调性的常用结论有：
(1) 设/(x)在［a,6］上连续，在(a,b)内可导
① 若在(a,b)内/(x) > 0« 0),则/'(*)在［a,3］上单调增加(减少).
② 若在(a,b)内/(x) N 0(< 0),且在(a,6)的任意子区间上/(x)尹0,则/(x)在上
单调增加(减少).
(2) 设八工)在区间I上可导，则/(x)在区间I上单调不减(增)0了'(工)2。(《0).
2. 求函数的极值
分两步进行：
(1) 求出可能的极值点，即驻点和导数不存在的点.
(2) 对以上两种点用极值充分条件作判定.
3. 求最大最小值
这里主要是两类问题：
(1) 求连续函数/(x)在闭区间［a,6］上的最值.
首先求出/(x)在(a,b)内可能的极值点，即驻点和导数不存在的点，然后将可能的极值点上
的函数值与两端点函数值比较，便可得到/(x)在［a,刀上的最值.
若了(工)在(a,6)内只有唯一的极值点，且在该点取得极值，则该极值必为/(x)在［a,6］上的最值.
(2) 最值的应用题.
首先建立目标函数并确定其定义域，此时问题转化为(1)进一步求解.
00
五、的 尚、端矗及渐近^
(E(2010,l2题，4分)若曲线 ) + ar2 + fez + 1 有拐点(—1,0),则 6 = ・
答题区
-45・数学垣年真题全精解析•—■(数学三) 》
[£(2012,1题,4分)曲线、=专圮的渐近线的条数为
(0A. ) (B)l. (02. (D)3.
答题这
巫(2012,19 题，10 分)已知函数 /(x)满足方程 fS +/(x) 一 2/(x) = 0 及 /(x) +/(x)=
(I)求/(z)的表达式；
(U)求曲线y = 的拐点.
答题区
团(2014,2题,4分)下列曲线中有渐近线的是
(A)jz = z + sin x. (B)j/ = *2 + sin x.
(j/C) = z + sin —. (D)_y = x2 4- sin —.
x
答题区
• 46・第二章一元函数微分学
圈(2015,2题,4分)设函数/&)在(一8,+8)内连续，其2阶导函数
Z(x)的图形如图所示，则曲线＞ =/(^)的拐点个数为
(A)0. (B)l.
(02. (D)3.
答题区
圉(2016,1题,4分)设函数/(*)在(一 8,+8)内连续，其导函数的图
形如图所示，则
(A) 函数/(x)有2个极值点，曲线＞ =f(工)有2个拐点.
(B) 函数/(x)有2个极值点，曲线v = /(x)有3个拐点.
(C) 函数/(x)有3个极值点，曲线、=/(x)有1个拐点.
(D) 函数/(x)有3个极值点，曲线、=/(x)有2个拐点.
答题以
3](2018,9题,4分)曲线v = +21n x在其拐点处的切线方程是.
答题区
£5(2019,10题，4分)曲线y = 了sin x + 2cos 了(---＜工 ＜ 胡)的拐点坐标为•
答题区
. 47 .数学历年真题全精解析• ■■(数学三)
□解题加速度
1.(2000.数二.3分)设函数f3 满足关系式/(x) + [/(x)]2 =工，且/(0) = 0,则
(A) /(0)是/'(z)的极大值.
(B) /(0)是―的极小值.
(C) 点(0/(0))是曲线y = /(x)的拐点.
(D) /(0)不是f(z)的极值，点(0,/(0))也不是曲线y = f(x)的拐点.
演辑箜间
2. (2008,数二，4 分) 曲线；y = (x — 5)工奇的拐点坐标为
3. (2011.数一 .4 分) 曲线;y= (z—1)(= — 2尸& — 3)3(= — 4尸的拐点是
(A)(l,0). (B)(2,0). (0(3,0). (D)(4,0).
曲线，=治+ arctan(l+0的斜渐近线方程为
•1. (2016,数二.4 分)
演情空间
・48 -第二章一元函数微分学
7 1+h
5.（2020,数二，10分）求曲线；y= — （工＞ 0）的斜渐近线方程.
（1 十 z）
6. （2。21,数二，12分）已知函数，&）=*,求曲线, =，&）的凹凸区间及渐近线.
《小结
这里主要是三个基本问题：
1. 确定曲线3- = /（x）的凹凸区间.
设f（工）在［a,》］上连续，在（a,6）内2阶可导，那么若在（a,6）内，（工）＞0（＜0）,则曲线V =
/（x）在区间也，危上是凹（凸）的.
2. 求曲线的拐点.
拐点只可能出现在两种点处，即2阶导数为零和2阶导数不存在的点处.
（1）设，（工。）=0或/（x0）不存在，若，&）在工。点两侧变号，则点（x0,/（x0））为曲线
＞ =/（x）的拐点；若，&）在x0点两侧不变号，则点6,了（工。））不是曲线、=/（x）的拐点.
. 49 .数学历年真题全精解析•—■(数学三) 》
(2)若f危0)= 0,尸(血)尹：0,则点Oo ,/(j?o))为曲线了 = /(X)的拐点.
3.求曲线的渐近线.
渐近线有三种：
(1) 铅直渐近线.若lim/(x) = 8(或lim f (工)=8,或lim fix) = 8),则工=工。为曲线
f —o T
、= /(”的一条铅直渐近线；
(2) 水平渐近线.若lim/Xz) = A(或 lim /(x) = A，或 lim /(x) =A),则 y = A 为曲线
X-»oo x—►—oo 工 A +，oo
y = f (工)的一条水平渐近线；
(3) 斜渐近线.若lim '&)• = <2,且lim[/(x) —ar]=们则 y = ax + b 为曲线'=/(x)的一
H~*8 JQ X-*OO
条斜渐近线.
六、证♦函数不等式
函2009,3题,4分)使不等式岑％ > In工成立的工的范围是
(A)(0,l). (B)(l,号). 0 时 J(工)< g(x).
(C)当 /(x) > 0 时,f(z) > g(Z). (D)当 fCG > 0 时,/(*) < g&).
答题区
围 (2018,2题，4分)设函数 g)在［0,1］上2阶可导，且j：/(z)& = 0,则
(A)当 /(X)< 0 时0. (B)当 /(X)< 0 时0.
(C)当 /(x) > 0 时0. (D)当 (工)> 0 时0.
答题区
(J；
解题加速度
1(1.993, 数二，9 分)设 x>0,常数 a > e.证明：(a+z). In 2- 1.证明：& 一 1）（z - In」+ 2姐n 了 一 1） > 0.
6. （2020.数二，4分）设函数/（x）在区间［-2,2］上可导，且/（x） > f（x） > 0,则
（A） f（ — 2）> ］ （B）户（°）> e （C）八1）. v e2 （D） < e3
x
小结
证明函数不等式常用的有以下五种方法：
1. 利用函数单调性.
2. 利用函数的最值.
3. 利用拉格朗日中值定理.
4. 利用泰勒公式.
5. 利用凹凸性（定义或性质）.
七、方稚幅的咨在推与个数
亚 （2011,18题，10分）证明：4arctan 工一* +晋一 = 0恰有两个实根.
答题区
. 53 .数学历年真题全精解析• ■■(数学三)
___________________________________
更1(2017,18题，10分)已知方程 ~ -— = -fe在区间(0,1)内有实根，确定常数&的取
ln(l + z) x
值范围.
答题区
§@(2019,2题,4分)已知方程Xs - 5x + = 0有3个不同的实根，则龙的取值范围是
(A)(—8, — 4). (B)(4, 4-oo).
(C){—4,4}. (D)(-4,4).
答题区
区(2021,3题，5分)设函数/(x) = ax-b\n工(a > 0)有2个零点，则立的取值范围是
(A)(e,+oo). (B)(0,e). (C)(0,§)・ (D)(§, +8).
答题区
,54・第二章一元函数微分学
（I;
解题加速度
1.（1996,数二，3 分）在区间 <—oo,+ co）内，方程 | x | 7 +| x 仔一 cos x = 0
（A）无实根. （B）有且仅有一个实根.
（C）有且仅有两个实根. （D）有无数多个实根.
演臆间
2. （2003,数二，12分）讨论曲线y = 41n jc + k与3/ = 4 j; + In4x的交点个数.
演
3. （2011,数一，10分）求方程^arctan x - x = 0不同实根的个数，其中k为参数.
4. （2012.数二，10分）（1）证明方程*■ +_|----- 工=1（〃为大于1的整数）在区间
§,1）内有且仅有一个实根；
・55・数学历年真题全精解析• ■■(数学三) >
(II )记(I)中的实根为乃，证明linvc,存在，并求此极限.
“—8
5. (2017.数一、数二.1()分)设函数，(工)在区间［0,1］上具有2阶导数，且/(l)>0,lim 区打
—o+ 工
< 0,证明：
(I )方程y(工)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根；
(n)方程/■(*)/&)+ = o在区间(o,i)内至少存在两个不同实根.
小结
i
方程根的问题通常是两个基本问题：
1. 根的存在性问题.解题方法有两种：
(1) 利用连续函数的零点定理.若f3 在也,们上连续，且/(a)与f〈b)异号，则方程=
0在(a,b)内至少有一个实根；
(2) 利用罗尔定理.若F(工)在［a,刀上满足罗尔定理条件，且F'(h)三(a,b),则方
程/(^) = 0在(a,b)内至少有一个实根.
2. 根的个数.解决方法有两种：
(1)利用函数的单调性.若/(x)在(a,b)内单调(可通过/(x) > 0或/(x) < 0判定)，则方
程f(x) = 0在(a,b)内最多有一个实根.
. 56 .第二章一元函数微分学 ◄
(2)利用罗尔定理的推论.若在区间(a,5)上/'3(抄乂 0,则方程y(*) = 0在(a,b)内至多有
儿个实根.
锹分中值定理有拧的证明密
八、
国(2009,18题，11分)(I )证明拉格朗日中值定理:若函数/&)在［a,刀上连续，在(a,b)内
可导，则存在点 (a,b),使得 f(b)_f(a) = f'0)(b — a)；
(U)证明渚函数/'(z)在x = 0处连续，在(0,的。>0)内可导，且lim/G) = A，则九(0)
x—0+
存在，且/；(0) = A.
答题区
萤(2010,19题，10分)设函数/(X)在［0,3］上连续，在(0,3)内存在2阶导数，且
2/(0) = J = /(2) + /(3).
(I)证明：存在(0,2),使 >7)) = /(0)；
(口)证明：存在 ££(0,3),使得 /(?) = 0.
答题区
・57 -► 数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
§0（2013,19题，10分）设函数f （工）在［0, +8）上可导,/（0） = 0且lim = 2,证明：
（I ）存在 a > 0,使得 f（a） = 1 ；
（!1）对（1）中的 a,存在 EC （0,a）,使得 /（?）=
a
答题区
血（2020,19题，10分）设函数/（^）在区间［0,2］上具有连续导数,/（0） = /（2） = 0,M =
max { | | }，证明：
-re［o,2］
（I）存在 （0,2）,使得 I f （Q I2M；
（口）若对任意的］£ （0,2）, | f'M） |0）.
（I） 证明定价模型为P =呈=;
1 —_
（II） 若该商品的成本函数为C（Q） = 1600+ <2气需求函数为Q= 40 —/>,试由（I ）中的定价
模型确定此商品的价格.
答题区
[£（2016,16题，10分）设某商品最大需求量为1 200件，该商品的需求函数Q = Q（p）,需求弹
性q= 凑 （r]>o），P为单价（万元）.
4
（I）求需求函数的表达式；
（H ）求p = 100万元时的边际收益，并说明其经济意义.
答题区
• 63・数学历年真题全精解析• ■■(数学三)
2)(2017,11题,4分)设生产某产品的平均成本C(Q) = l + e-Q,其中Q为产量，则边际成本为
答题区
[0(2018,4题,4分)设某产品的成本函数C(Q)可导，其中Q为产量.若产量为Q。时平均成本
最小，则
(A)C'(Qo)= 0. (B)C'(Q。)= C(Q0).
(C)C'(Qo)= Q°C(Q。). (D)QoC'(Q。)= C(Q°).
答题区
式(2019,12题,4分)以Pa ，Pb分别表示A,B两个商品的价格,设商品A的需求函数Q = 500
一处一以加+2遥，则当pA = 10,加=20时，商品A的需求量对自身价格弹性如(加＞ 0)=
答题区
斯(2020,11题,4分)设某厂家生产某产品的产量为Q,成本C(Q) = 100 + 13Q,设该产品的
单价为P，需求量＜73)=咎&一 2,则该厂家获得最大利润时的产量为_________.
P十3
答题区
・64 •第二章一元函数微分学
X
小结
这里的重点是两类问题.
1.有关弹性的概念与弹性计算.
在经济学中，变量y = ＞(x)对x的弹性是
Ey = z dy
Ex y (x) dx*
常讨论需求量对价格P的弹性E,,这里需注意，由于会＜ 0,则务寒＜ 0,故
dp Q dp
若题设中e, ＜0,则有公式
=Z施
Q dp'
若题设中勺＞0,则有公式
=_2蛆
Q Ap'
2.经济数学中的最值问题.
首先建立目标函数(即题中要求最大或最小的量)，然后用微分学中求最值的方法求解.
,65・►>数学历年真题全精解析•■■（数学三）
第三章一万函数枳分线
一元函数积分学是微积分的另一个主要内容.与微分学不同，积分是研究函数整体性质的.其中
不定积分是微分的逆运算，定积分是一种和式的极限，微积分基本定理和牛顿-莱布尼茨公式阐明了
微分学和积分学的内在联系，换元法和分部积分法是计算不定积分和定积分的两种主要方法，微元法
是用定积分解决几何等问题的一种常用的基本方法.一元函数积分是多元函数积分的基础.
其主要内容
（1） 不定积分与原函数的概念，求不定积分的两种主要方法----换元法，分部积分法.
（2） 定积分的概念、性质及计算方法（换元、分部），变上限积分及其导数.
（3） 反常积分的概念与计算.
（4） 定积分应用（几何）.
定积分与不定积分是积分学的两个基本概念，计算不定积分和定积分是微积分的一种基本运
算，是考研的一个重点，定积分应用是考研试卷中应用题考得最多的一个内容.
（1） 不定积分、定积分及反常积分的计算.
（2） 变上限积分及其应用.
（3） 用定积分计算几何量.
（4） 一元微积分学的综合题.
-、不定翔分的计算
U（2009,16题，10分）计算不定积分jln（l + 炉尹）dz（z > 0）.
答题区
・66・第三章 一元函数积分学 ◄◄
0（2011,17题，10分）求不定积分j arcsin E + In %工
答题区
反1（2018.10 题，4 分）exarcsin a/1 — e2xdx = .
答题区
d；
解题加速度
1•⑴94,数-，5分）求Jy浦Ajc 2sZ
间
・67 -►► 数学历年真题全精解析■（数学三）
2. （2000,数二，5 分）设了（Inx）=些土至，计算 f/（x）dx.
X J
3.⑵°】，数二，6分）求j中**T・
4. （2006,数二，10分）求j 气*生&.
・68・第三章一元函数积分学 ◄◄
2(二一1), •T V 1
5.（2016,数一、数二，4分）已知函数，（z） 则f (工)的一个原函数是
In x9 z N 1，
,(jt — l)?, z V 1, (X — 1)2 , z V 1,
(A)F(z)= (B)F(x)
Q(ln x — 1), •z > 1. x(ln z + 1) — 1, •z 2 1.
&一1)2, z V 1, &一 1)2, •r V 1,
(C)F(z)= (D)F(x)
x(ln z + 1) + 1, z > 1. x(ln x — 1) + 1, z 2 1.
6.（2019,数二，10分）求不定积分［——，、片t?
J（X— l）z（xz +二 + 1）
K小结
1. 不定积分的计算重点考察求不定积分的基本方法：
（1）分项积分法. （2）凑微分法.
（3）换元法. （4）分部积分法.
考生不应用大量时间在一些难题和偏题上.
2. 专门考不定积分的试题并不是很多，但计算不定积分是一种基本运算，在其他试题中经常
考（定积分、多元积分、微分方程），所以考生必须熟练掌握不定积分的基本方法•
. 69 .►► 数学历年真题全精解析•—（数学三）
二、定徐分的撤念、推质及几何恚义
?](2011,4 题，4 分)设 1= [ In (sin z)di, J = f In (cot z)dz,K = f In (cos Gdr,则 I, J ,
J 0 J 0 J 0
K的大小关系为
(A)I0，r&) V0,，&)〉0,记 s =j》(z)dz,
S2 = /(6) (b — a) ,S3 = + /(6)](6 — a),则
(A)Si V S2 V S3. (b)s2 vs Z2 > 1. (lB) > /, > I2.
(C)Z2 > L > 1. (D)l >I2> Ii.
4. (2012,数二，4 分)设 Z* ex sin xAx{k = 1,2,3),则有
(A)I, 数学历年真题全精解析•■■(数学三)
X
小结
1. 定积分是一种和式的极限= lim史/■怎)△£,•，利用定积分定义求某种和式极限是
考查定积分概念的一种常见题型，其关键是先提一个因子然后再确定被积函数和积分区间.一
n
种最常见的和式极限
2. 定积分的几何意义
定积分j，(z)dz在几何上表示曲线；y = /(x)，直线x = a,x — b及r轴在z轴上方所围面积
与在*轴下方所围面积之差.
3. 定积分的性质重点是不等式性质及积分中值定理.
(1) 不等式性质.
① 若在［a,3］上 /(x) W g(z),则［f(x)dx W f g(z)dz；
J a J a
特别的，若/Xz) NO,则,/■(*)& 20.
② 若，&)在［a,6］上连续,M和zn为f (工)在［a/］上的最大值和最小值，则
m(.b — a) J 了(了)dx < M(6 — a).
③ | ［ /(x)dj7 ［ I f(工)I dxCa < 6).
J a J a
(2) 积分中值定理
① 设 f(jc)在［。,们上连续，则j f(x)dx = f(c)(b — a),其中 V c V A.
q
② 设/(x)和g(z)都在［。,刀上连续，且g(z)不变号，则
［/(x)g(x)dj; = /(c) f g(x)dx(a < c W b).
J a J a
定靳分计算
三、
0(2014,11 题,4 分)设J x^xdx = §,则 q =・
答题区
-72・...__ ________ c
第三章一元函数积分学
口(2017,9 题，4 分)j (sin3x 4- ^/n2 — x2)dx =.
答题区
0(2018,3 题，4 分)设1 = 1干K侦N — 7 L±%,k = * (1 + Jcos z)dr,则
-f W ~T
(A)M> N> K. (B)M>K>N.
(KC>)M> N. (D)K> N>M.
答题区
0（2019,11题,4分）已知函数/（x）= a/1 + ? di，则J a:2 f(x)dx =
答题区
皿（2021,12 题，5 分）J； j f 9产=-
答题区
・73 -► 数学历年真题全精解析•■■（数学三）
QQ（2022,12 题,5 分）J：隽土& =
答题区
（f j
解题加速度
1. （ 1993.数二.5 分）求「——-dx.
J o 1 + cos 2x
2. （2001,数一、数二，3 分）J &3 + sin2 j：）cos2xdx =
・74 -第三章一元函数积分学
1点淄叩&
3. （2008,数二，9分）计算
o yi-x2
4. （2013.数一，10 分）计算
f（声）&,其中 f（x）= 1顷+写
t
o 1
5. （2015,数一，4 分） f1"—+1 i |）&
十 COS X /
・75・M
► 数学历年真题全精解析 (数学三)
6. (2018,数一',4分)设函数y(z)具有2阶连续导数，若曲线、= /&)过点(0,0)且与曲线v
=21 在点(1,2)处相切，则 j xf,r(x)dx = .
演
X
小结
计算定积分常用的有以下五种方法：
1. 利用牛顿-莱布尼茨公式：
= F(5) —F(a).
2. 利用定积分换元法.
3. 利用定积分的分部积分法.
4. 利用奇偶性，周期性计算定积分：
⑴£心&，心为连续的偶函数,
I 0, 了愆)为连续的奇函数.
(2)若/'(*)为周期为T的连续函数，则
'a+T
f{x}Ax,
0
5.利用已有公式计算定积分:
- n - - — -- - 1 - •-- n - - — --- - 3 — 1 •—7C "为正偶数，
•f rT n n — 2 2 2
(1) sin"zdz = cos'zdz = y
一
0 J 0 n — 1 n 3 2
〃为大于1的正奇数.
n n — 2 I
(2)若/(x)为［0,1］上的连续函数，则
”(sin x}Ax 7T /(sin Qdz.
2
0 o
⑥、雪上眼,只分通数度其应用
函(2009,4题,4分)设函数j, = f(x)在区间［—1,3］上的图形如图所示
. 76 .第三章一元函数积分学 ◄◄
答题区
[E（2010,9题，4分）设可导函数丁 = 丁&）由方程= j，sin t2dt确定，则冬|工=。=
答题区
[|]（2015,10 题,4 分）设函数 g）连续，甲（工）=j： "（z）dj 若甲（1） = b/（l） = 5,则
/（D =・
答题区
-77 -► 数学历年真题全精解析•■■（数学三）
函（2016,18题，10分）设函数，（z）连续，且满足打 & —用=匚&― 宵牌 +广一1,
求
答题区
皿（2020,3题,4分）设奇函数，（了）在（一8,+8）上具有连续导数，则
（A）j [cos /（«） + f'Ct^dt 是奇函数. (B)Jjcos /(z)+/(£)]d« 是偶函数.
（Ojjcos/（t）+/（t）]dr 是奇函数. (D)jjcos/(f)+/(z)]dr 是偶函数.
答题区
d；
解题加速度
1. （ 1997,数一、数二，8分）设，（工）连续仰（工）=「了（以）血且lim 区义=A（A为常数），求
oc
J o H—o
平'（工）并讨论武（工）在；c = 0处的连续性.
・78 -第三章一元函数积分学
2. (1998,数一，3分)设/Xz)连续，则£腆3 -产)由=
(A)x/ (x2). (B)—xf (x2).
(2C) ”(工2). (D) -2x/(x2).
3. （2006,数二,4分）设/'（£）是奇函数，除z = 0外处处连续，z = 0是其第一类间断点，则
£/（«）di 是
（A）连续的奇函数. （B）连续的偶函数.
（C）在工=0间断的奇函数. （D）在* = 0间断的偶函数.
4. (2007,数二，10分)设f(x)是区间［。，号］上的单调、可导函数，且满足
,/（X）/(t)dt= L cos 匚.si.n 我
J 0 J o sin t + cos t
其中尸是顶的反函数，求fS）.
-79・数学历年真题全精解析• ■■(数学三)
0 W z V只， 件
5. (2013,数二，4 分)设函数 _/&) = j 己, F(抄=fQ)ck,则
穴 W z W 2穴, J。
(A)x = 是函数F(x)的跳跃间断点. (B)J7 = 7T是函数F(Z)的可去间断点.
(C)F(jt)在X = 7T处连续但不可导. (FD(x)) 在z =穴处可导.
6. (2018,数二，10 分)已知连续函数 f (工)满足［+ ［ tf (x — t)dt = az2.
J
o J 0
(I )求—.
(II)若，(G在区间［0,1］上的平均值为1,求Q的值.
iSWlB]
7. (2020,数二，10 分)已知函数 /(x)连续且lim 八D = l9g(x) = f f(xt)dt9 求 g'(z)并证
x~»0 X J 0
明g'(z)在X = 0处连续.
x
小结
与变上限积分函数有关的考题在考研试卷中几乎年年都有，且题型变化也很多，而解决这些
问题的关键是变上限积分函数『/(£)&的三个性质，即连续性、可导性及奇偶性.
. 80 .第三章一元函数积分学
1. 连续性.
若/(x)在［a,W上可积，则F&) = fy(t)dt在［a,切上连续.
2. 可导性.
若 /(x)在［a,6］上连续，则 F(z) = J f(t)dt 在［a,5］上可导，且 F'(z) = /(x).
这两个性质是变上限积分求导的理论基础，虽然变上限积分求导题目很多，但常见的就以下
三种类型：
这种类型直接利用公式
(j — -/(甲&)澎(工)
求解，其中/(X)连续，欧&)和中(工)都可导.
(2)
这种类型的被积函数fM,t)中含有求导变量工，不能直接求导，通常是通过变量代换把
g,t)中的了换出来，或设法把工从积分号中提出来,然后再求导.
(3) (J7(x,f)d£)/.
事实上，(3)是(2)的特例S(z) = a,0(x) = 5),因此解题方法与(2)相同.
3. 奇偶性.
设，(工)连续，则
(1) 若/(x)是奇函数，则F(x) = £/(t)df是偶函数.
(2) 若/(x)是偶函数，则F(x) = 是奇函数.
五、与定赣分■井的证明露
逝(2010,18 题,10 分)
(I)比较 £ I In « | Eln(l + f)?dz 与［f* | In i | dt(n = 1,2,…)的大小，说明理由；
(II )记 un = \ | In i | [ln(l + t}~\nAt{n = 1,2,…)，求极限limu„.
J 0 n-*oo
答题区
・81 -►>数学历年真题全精解析■(数学三)
匮( 2014,19题，10分)设函数，(w),g&)在区间［aM］上连续，且，(Q单调增加，0 Wg(*)
< 1.证明：
(I) OVj g(i)dz x — a,x G [a,》];
rh
ra+f*g(0d/
(II) fix) Ax y(x)g(x)dx.
J a J a
答题区
解题加速度
1. (2003,数二，1。分)设函数了(工)在闭区间［a,6］上连续，在开区间(a,b)内可导，且/(x)>
0.若极限lim /. — a)存在，证明：
—+ x — a
(I )在(a,b)内 /(jc)〉0；
(II)在(a ,b)内存在点&使 -----—=;
J /(x)dx J 誓)
(DI)在(a,b)内存在与(H)中与E相异的点〃，使/z(?)(62 -a2) =
-82・第三章一元函数积分学 ◄◄
2. (2008,数二，11分)(1)证明积分中值定理：若函数/'(了)在闭区间[a，M上连续，则至少存
在一个点"£ [a,5],使得J f(x)dx = f(.r]) (b — a)；
(II)若函数甲(工)具有2阶导数，且满足甲(2) >甲(1),衣2) >]，&)&,则至少存在一个点
£ G(1,3),使得矿(Q < 0.
敬
演算空间
X
小结
有关定积分的证明题，常见两类问题，即证明与定积分有关的等式或不等式，在证明中常用的
结论是积分不等式性质和积分中值定理.
1. 证明积分等式的常用方法.
(1) 换元法.
(2) 分部积分法，特别是被积函数中出现/(x)的导数时.
(3) 利用积分中值定理.
2. 证明积分不等式的常用方法.
(1) 利用积分不等式的性质.
(2) 利用积分中值定理.
(3) 将积分上限换为工，转化为证明函数不等式.
. 83 .►► 数学历年真题全精解析（数学三）
六、辰第粽分的概念与计算
皿（2013,11 题,4 分）广dz =
™ J i （1 + xr ------------
答题区
（I;
解题加速度
1. （2010,数一、数二，4分）设m,n 正整数，则反常积分「血=兰海.）-如的收敛性
J0 \fx
（A）仅与m的取值有关. （B）仅与n的取值有关.
（C）与m,n的取值都有关. （D）与m9n的取值都无关.
2. (2013,数二，4分)设函数，Cz) ={ 若反常积分 /(x)dz收敛，则
] 、 J ]
« «4-i ， 工
(A)a<-2. (B)a> 2. (C) - 2 < a < 0. (D)0 < a < 2.
・84 -第三章一元函数积分学 ◄◄
3. （2。14,数二，4 分）积分J] =-------------'
斗8 1
4. （2016,数一，4分）若反常积分 o 1(1+K"收敛'则
(A)a< 1 且 b>l. (aB>) 1 且 b>l.
(C)a < 1 且 a + b> 1. (aD>) 1 且 a + b> 1.
5. (2020,数二，4 分)「arcsin匝=
Jo x)
(A) g. (B) E
(C)孕. (D)告.
4 8 o
p-|-oo
6. (2021,数二，5 分) | x | .
・85 -►► 数学历年真题全精解析■（数学三）
X
小结
反常积分有两种，即无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分，两种反常积分都定义为
变限定积分的极限.因此，计算反常积分就是先算一个定积分，再计算一个极限，在解题过程中这
两个步骤可一并进行，这就得到了计算反常积分的换元法和分部积分法，这两种方法是计算反常
积分的主要方法.
七、定粮分庄用
叨（2010,10题，4分）设位于曲线3, = ;.......\ __（e < oo）下方,r轴上方的无界区
丁工（1 +心）
域G,则G绕工轴旋转一周所得空间区域的体积为.
答题区
3）（2011,12题,4分）曲线y= =T,直线* = 2及z轴所围成的平面图形绕工轴旋转所
成的旋转体的体积为.
答题区
巫（2012,12题,4分）由曲线、=手和直线v =*及v = 4工在第一象限中围成的平面图形的
面积为.
答题区
. 86 .第三章一元函数积分学 ◄◄
圉（2013,16题，10分）设。是由曲线y =搭，直线工=a（a>0）及z轴所围成的平面图形,
分别是。绕工轴点轴旋转一周所得旋转体的体积，若V, = 10吃，求a的值•
答题区
3）（2014,10题,4分）设。是由曲线巧+ 1 = 0与直线、+ z = 0及、=2围成的有界区域,
则D的面积为.
答题区
困（2019,18题，10分）求曲线v = sin x（x 2。）与工轴之间图形的面积・
答题区
. 87 .►► 数学历年真题全精解析•■■(数学三)
@0(2020,12题,4分)设平面区域D= 诉,少|专9^曰占，0 0《牛则。绕了轴旋
转所成的旋转体的体积为.
答题区
§0(2021,13题,5分)设平面区域D由曲线段y = v^sin球(0 x2 必 V 3^2. (B)ii > x2 必 > y2-
(zCi ) < x2 ,少 < y2- (D)zi V x2 5 > y2-
5. （2017年，数二，4分）设/（w）具有1阶偏导数，且在任意的（W），都有^^>0,
籍冬<0,则
d y
(A),(0,0) >/(1,1). (B)/(0,0) /(1,0). (D)y(oa)(o,o) o x—o
-93 -数学历年真题全精解析（数学三）
其中正确的个数为
（A）4. (B)3. (02. (D)J.
4
小结
1. 求二元函数的极限是难点但不是重点，考试要求较低，一般来说可借助一元函数求极限的
方法解题.
2. 证明二元函数lim/（x,^）的极限不存在，通常可证两条不同的路径具有不同的极限或沿某
•Tf
条曲线的极限不存在.
3. 考查二元函数的连续性用定义= f（x0,y0）.
LH。
尸刈
4. 分块函数在分界点处的偏导数一般用定义.
5. 讨论二元函数fa,y）在（工。，义）的可微性，可从以下几个方面考虑.
（1） 若二元函数f（x,y）在Cr。，%）的偏导数至少有一个不存在，则函数不可微.
（2） 若二元函数f（r,y）在（工。，％）不连续，则函数不可微.
（3） 若二元函数/炬以）在（五，％）连续，两个偏导数存在，则考虑
[im — [£■（工0 必）△- + g&o，，0）3]
k。 P
其中 P= J（&r）2 +（3），
若极限为0,则函数在（他，V。）可微，否则不可微.
6. 注意一元函数微分学的有些结论不能照搬到多元函数中来.
二、求％元通数的偏导数及全做分
'+打'则%”
EJ （2011,10题，4分）设函数z =
答题区
・94・_ _____ M_______________________ 第四章多元函数的微分学
H（2012,ll题,4分）设连续函数z = /（x,＞）满足lim华辜一 = o,则&房＞
二；山+3—1）2
答题区
0（2013,10题,4分）设函数z = N（z,y）由方程Cz + yY = xy确定，则夺I =
OX I （1.2）
答题区
0（2015,11题,4分）若函数z = z（z,、）由方程e**，+可z = 1确定，则dz
（0,0）
答题区
❷（2016,2题,4分）已知函数六3）=黄项则
（A）《一 y；= 0. （B）《+f= 0.
（C）R-g= f. （D）A+f,= f.
答题区
・95・数学历年真题全精解析• ■—(数学三) 》
£1(2016,11 题，4 分)设函数 可微，z = z(x9y)由方程(z+l)z —寸=x2 f{x — z.y)
确定，则dz = ・
(0,1)
答题区
0(2017,12题,4分)设函数具有1阶连续偏导数，且 好&以)=兴、& + %(1 +
y)eydj;,/(0,0) = 0,则 f(x,y) = .
答题区
皿(2019,16题，10分)设函数f(u,p)具有2阶连续偏导数，函数g(z,jO = xy — f(.x + y,
=).求窘+警+翳
dx oxo y dy
答题区
血(2020,9 题，4 分)设之=arctanLr、+ sin(«r + jy)］，则 & | =
I (0,n)
答题区
-96 -第四章多元函数的微分学
[£(2021,4 题，5 分)设函数 f(x,y)可微，且 /(x+l,e") = xU+D2 3 = 2x2ln x,
则好(1,1)=
(A)dz + dy (B)dz —dy (C)dy (D) — dy.
答题区
(I;
解题加速度
1. (2009,数一，4分)设函数f(u,p)具有2阶连续偏导数次=/&,可)，则•寺 =
oxo y
2. (2010.数一，4分)设函数z = z(x,y)由方程F(L三)=0确定，其中F为可微函数，且
出尹o,则Z宰+ V穿=
ox dy
(A)x. (B)z.
(C) — t. (D) — z.
3. (2011,数一.4分)设函数F(x,y)=
o 1 + r2 , J3x2
. 97 .数学历年真题全精解析• （数学三）
4. （2011,数二，9分）设函数z = f{xy,yg（.x）'）,函数/■具有2阶连续偏导数，函数g（工）可导
且在L1处取得极值g（l） = l,求翥
x=l
，=1
5. （2012,数二.4分）设，=@了十+）,其中函数及）可微，则+ =--------- .
7
6. （2014・数二，4分）设z = 是由方程e2yz + x + y2 + z =—确定的函数，则
虬M)=
演薛空间
7. （2017.数一、数二，10分）设函数具有2阶连续偏导数，了 = f（e,cos x）,
. 98 .第四章多元函数的微分学
1 1 dz
8.（2019,数一，1分）设函数八“）可导,z = /Xsin> —sinz）+书，则云・/+云板.标
演算空间
9. （2021,数二，5 分）设函数 z = 由方程（z+l）z + j4n z — arctan（2xj>） = 1 确定，则
剖 =.
X
小结
本题型包括如下几个方面的问题:初等函数的偏导数和全微分，求抽象函数的复合函数的偏导
数，由方程所确定的隐函数的偏导数和全微分，含抽象函数的方程所确定的隐函数的偏导数和全微
分，由方程组所确定的隐函数的偏导数.主要使用的方法是直接求导法、公式法，以及利用微分形式不
变性.
此题型是常考的题型，复习时需注意：
1. 要做一定量的题目，从头到尾做下来，不要因为繁杂而放弃，对复杂题目的运算能力是研究
生考试的重要测试点.
2. 求抽象函数的高阶偏导数时,要做到不遗漏、不重复.
三、求含元通数的极值
[£（2009,15 题,9 分）求二元函数 /•&,、）= X\2 + y2）+y\n y 的极值.
答题区
. 99 .A 数学历年真题全精解析•—（数学三） 》 .
@（2010,17题，10分）求函数u = xy + 2yz在约束条件+/ 4-z2 = 10下的最大值和最
小值.
答题区
函（2011,16题，10分）已知函数f（u,p）具有2阶连续偏导数= 2是的极值,
^2
求定;
(1,1)
答题区
昵（2012,17题，10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000（万元）.
设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为了（件）和y（件），且这两种产品的边际成本分别为20 +
专（万元/件）与6+贝万元/件）.
（I）求生产甲、乙两种产品的总成本函数C&,/）（万元）；
（H）当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本；
（ID ）求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.
答题区
. 100 .第四章 多元函数的微分学
[E(2017,2题,4分)二元函数z =巧(3 — z — y)的极值点是
(A)(0,0). (B)(0,3). (0(3,0). (D)(l,l).
答题区
[E（2018,17题，10分）将长为2 m的铁丝分成三段，依次围成圆 正方形与正三角形.三个图
形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值.
答题区
国（2020,16题，10分）求函数f（T9y）=史+ 8y3 — xy的极值.
答题区
可（2021,18 题，12 分）求函数 = 21n | x |+ —）厂土 的极值.
乙JC
答题区
-101► 数学历年真题全精解析•■■(数学三)
明 (2022,18题，12分)设某产品的产量Q由资本投入量工和劳动投入量'决定，生产函数为Q
=，该产品的销售单价力与Q的关系为力=1160-1. 5Q.若单位资本投入和单位劳动投入
的价格分别为6和8,求利润最大时的产量.
答题区
(I ；
解题加速度
Lt?
1(2.003. 数一，1分)已知函数在点(0,0)的某个邻域内连续，且lim 舟即
1,则
(A) 点(0,0)不是的极值点.
(B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点.
(C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.
(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为/■&,))的极值点.
潢算空间
2. (2005.数二.10 分)已知函数 z = f(x9y)的全微分 dz = 2xdx~2ydy,并且 /(1,1) = 2.
求f (工，y)在椭圆域。=]&以) / + 上的最大值和最小值.
演
・102・《 第四章多元函数的微分学
3. （2008,数二，11分）求函数u = x2 + y + z2在约束条件z = x2 +y2和x + y + z = 4下的最
大和最小值.
演篝空间
4. （2012,数一、数二，10分）求函数f（.x,y）=上广半的极值.
旗尊空间
5. （2013,数一，10分）求函数f（x,y） = （丁 +号）广的极值.
. 103 .数学历年真题全精解析• ■■(数学三) 》
6. (2014,数二，4分)设函数在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导
数，且满足约-丰0及空 + 察 =0,则
dxdy 丑 dy6
(A) u(z,y)的最大值和最小值都在。的边界上取得.
(B) «(的最大值和最小值都在D的内部取得.
(C) M(^,j/)的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得.
(D) "(£,；y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得
演时间
7. (2015,数二，11 分)已知函数 f{x,y')满足 f'lx，y)= 2(>+ l)eJ = (j： + De1,
f(0,y) = y2 +2》，求 f(x,y)的极值.
8. (2016,数二，10 分)已知函数 z = z(x,y)由方程 )z + In z + 2(.r + j, + 1) = 0 确
定，求z = z(x,y)的极值.
-104 ・第四章多元函数的微分学
X
小结
1. 二元函数极值的求法.
（1） 解方程组 （^0,3-0）= O,/；（Xo,3,o）=。，得所有驻点.
（2） 对每一个驻点（zo ,、0）,求 A =乙（工0 ,y0）,B = fIy{x0 ,yo）,C = fyy（.x0 ,y0）的值.
（3） 由B2-AC的符号确定是否为极值点，是极大值点还是极小值点.
2. 条件极值的求法.
用拉格朗日乘数法.
3. 最值的求法.
闭区域上连续多元函数的最值可能在区域内部或边界上达到，先求出在区域内部的所有驻点
以及偏导数不存在的点，比较这些点与边界上点的函数值，最大者即为最大值，最小者即为最小
值.对于实际问题一般根据实际背景来确定是否取最值.如可能极值点唯一，则极小（大）值点即最
小（大）值点.
®,反间露
§@（2014,17题，10分）设函数/（«）具有连续导数，且z = yXbcos y）满足
3 n 3 7
cos y — — sin y — = （4z + eJcos j/）ex.
dx dy
若f（0） = 0,求/（w）的表达式.
答题区
-105 -数学历年真题全精解析•■■(数学三)
d
；解题加速度
〃 02
1. ( 1997年,数一.7分)已知八〃)具有2阶连续导数，而z = y(eJsinj/)满足方程尹+衣芝
a X d y
普玷，求/(u).
2. (2006年，数一，12分)设函数，(u)在(0,+8)内具有2阶导数，且之=，(仙+/2)满足
等式兰+竺=o
(I )验证= 0；
U
(II)若/XI) = o,/(l) = 1,求函数/(«)的表达式.
,106・第四章多元函数的微分学 4
3. （201。年，数二，11分）设函w = f{x,y）具有2阶连续偏导数，且满足等式4套？ +
dx
12 ■方;,+5 = 0,确定a,》的值，使等式在变换'=x + ay ,r）= x~\~ by下化简为^学=0.
x
小结
由已知满足的关系式或条件，利用多元函数微分学的方法和结论，求出待定的函数、参数等.
特别是已知偏导数或偏导数所满足的关系式（方程）求函数，主要有两种题型：
1. 已知偏导数，通过不定积分求函数.
设，（1，丁）有连续偏导数，且 f!（工,y） = g&,y） ,则有
+ = jg（z,y）dz + 9（3/）,
ro = + 0（ j?） ="（$,）） dy + 政（".
2. 已知多元函数的偏导数所满足的方程,通过变量变换，化为一元函数的导数所满足的方程,
即常微分方程，求解微分方程得到函数.
・107・► 数学历年真题全精解析■（数学三）
第五章 二重枳分
•童导・
本章考查的重点是二重积分的计算，除了掌握基本的计算方法，须注意对称性、拆分区域、拆
分函数、交换积分次序、交换积分坐标系等的应用.
二重积分是数学三重要的考试知识点，每年试题一般是一个大题、一个小题，分数约占试卷的
8%,题目主要集中在二重积分计算的考查上，往往在被积函数和积分区域上设置障碍，因而要掌
握一定的方法和技巧.另外，被积函数为抽象函数的二重积分值得关注.
■,分类练习
—,基本概念及姓屡
[＞（2013,3题,4分）设Q是圆域。=｛（T9y）言之+尸《i｝位于第人象限的部分，记九=
— x)dxdy{k = 1,2,3,4),则
%
(A)L > 0. (B) I2 > 0.
(C) L > 0. (B) L > 0.
答题区
-108 ・第五章二重积分 4
0(2016,3 题，4 分)设儿=JJ — yAxAy^i = 1,2,3),其中 口 = {(x9y) | OW^W】，
D{
OVvVl}，Dz = {&，N)I 1,0〈夕 <“},E)3 = {(z，v)| WvVl}，则
(A)Ji = 8围成，计算jjpdzdy.
D
答题区
0(2015,3 题,4 分)设 D= {怂,少 | x2+y ^2x,x2+y <2^},函数 在 D上连续,
则1['6，也心=
D
/(rcos 0,rsin 0)rdr + /(rcos 8,rsin 0)rdr.
(B)「de[ /(rcos 0,rsin 0)rdr +
f ( rcos 们 rsin 0) rdr.
J o J o
(C) 2 L dzj
f{x,y} Ay.
答题区
-111数学历年真题全精解析•■—（数学三） 》
0（2017,16题，10分）计算积分。 （】+3疗&侦其中D是第-象限中以曲线与
D
工轴为边界的无界区域.
答题区
0（2018,16题，10分）设平面区域D由曲线v = J3（l—狞）与直线）=辰及y轴围成，计
算二重积分■。渣如心.
D
答题区
]2020,18 题，10 分）设。={（z 以）|]2+/<1以20},连续函数 fdx,y）满足
= y a/1 — x2 +
D
求jpr f （x 9y）djcdy.
D
答题区
・112・第五章二重积分
皿（2021,19题，12分）设有界区域D是圆xz+y = 1和直线、=*以及工轴在第一象限围
成的部分,计算二重积分护&2 —/）dzdy
D
答题区
m（2022,14 题,5 分）已知函数 f（工）=。命 jl'则「8了&）/3 — z）d；y =
答题区
凰（2022,19题，12分）已知平面区域。={（工以）| v — 2 W JT二V，0<;y<2},计算
D
答颌区
-113 -► 数学历年真题全精解析■（数学三）
解题加速度
1.（2011,数一、数二，11分）已知函数了（1以）具有2阶连续偏导数，且/（l,^）,/（x,l） =0,
jj/（x，3/）dzdj/ = g,其中 D = {（x»>） | OWzWLOWyW 1},计算二重积分止'«（1,3/）&心.
D D
2. （2011,数二，4分）设平面区域。由直线；y = z,圆x2+y2 = 2y及丁轴所围成，则二重积分
3. （2012,数二.10分）计算二重积分JJcy&r,其中区域D由曲线r = l + cos0（0<0WQ与极
轴围成.
-114 ・第五章二重积分 ◄
4. (2016,数一，10 分)已知平面区域D= | 2 < r < 2(1 + cos(9), - y < 0 < j |,计
算二重积分］p1 dxdji.
D
5. (2018,数二，4 (1 — xy ) d_y + (1— xy)dy =
(A) 4- (B) (C)£ 7 (D) 4 7 ,
0 O 0
O
演祐可
6. （2021,数二，12分）设平面区域D由曲线（x2+y2）2 = x2（x > 0,j/ > 0）与飞轴围成,
计算二重积分J"） dxdy.
・ 115 -数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
X
小结
1. 计算二重积分的步骤为：
（1）画出积分区域D的示意图.（2）用不等式组表示积分区域D. （3）把二重积分表示为二次
积分.（4）计算二次积分.
2. 注意积分坐标及积分次序的选择，一般说:若积分区域为圆域或圆域的一部分，被积函数为
形如 /（y^2+y +）,f（于）等，可考虑采用在极坐标系下进行计算.
3. 利用直角坐标计算二重积分da = dxdy.
若 D：a V 工 W b,的（工）W § （*），则£
f(x,y)dy.
DD
若 Dtc w y < d,（pi（y） < x < 欧 2 3）,则£
f (z,jOdcr f(x9y)dx.
DD
4. 利用极坐标计算da = rdrdO,计算方法同直角坐标，一般先r后0.
若极点。在积分区域D的外部，D可以表示为D、a W G W B，甲13）< 了 <甲2（。），则
= f dd\ 2 /（rcos 0,rsin 0）rdr.
JJ J a J 灼（0）
若极点O在积分区域。的边界上，D可以表示为甲⑹，则
「8 3（。）
= d0\ forces。，厂sin O'）rdr.
J a J
0
D
若极点O在积分区域D的内部，D的边界方程为『=平（6）,则
C2n 仃3）
{x,y)Axdy = d。 /（rcos 9,rsin 0）rdr.
J o J o
D
5.注意利用二重积分的对称性化简运算.
1
三、利用 域的时衿推度通数的奇儒傩计算祝分
国（2010,16题，10分）计算二重积分诉了+疗心,其中D由曲线* = 了与直线
D
x+^/2y = 0及1 —显y = 0所围成.
答题区
-116 -第五章二重积分 ◄
[£（2014,16 题,10 分）设平面内区域 D= {（*, y） | l) | x2 + y2 <2丁},计算二重积分jpz +
D
I)2 dxdy.
渣
・ 119 -A 数学历年真题全精解析• ■—（数学三） 》"「"
X
小结
1 .下面的结论十分重要：
（1）若D关于z轴对称，D为D的上半平面部分，则
0, 当 /（a;, — y） =— 时，
2jJ/（x,j»）cl= ｛（工,少|0 V zW 1,0 Wv W »
D
4
小结
形如积分 JJ |/(7,了)| dr, JJmax{r(z，3/),g(z,;y)}d7, ，g(z,;y)}da, jJC/(z,jO]d<7,
D D D D
]Jsgn｛，G，v）—g&,y）｝&等的被积函数均应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分.
D
五、央掬秋分次序及坐标系
[fi(2012,3题，4分)设函数f.t)连续，则二次积分「的[/(r2)rdr =
J 0
0 J 2cos
「 2 f J4一工2 ____________ C2 f Vi-X2
(A) dz —— + y2 f(.x2 +y)dj;. (B) dz ---- f(x2 + y2)dy.
J J x
0 V 2j—x*5 J 0 J v 2 —
C2 r J4—} ,________ 「
2
r
y
4-yZ
(O d> _ Vx2+y2fCx2+y2)dT. (D) dy\ f^2+y2)dx.
J 0 J 1+ Vl-y J 0 J 14- Vl-y
答题区
-121数学历年真题全精解析二―（数学三） 》
[g（2014,12 题,4 分）二次积分—e竖）dz = ,
答题区
(|/解题加速度
1.(20()4.数一，4 分)设/&)为连续函数,F(i) = [dyj'/XGAr，则 F'(2)等于
(A)2/(2). (B)/(2). (C) - /(2). (D)0.
2. （2006,数一、数二，4分）设/（x,＞）为连续函数，则 「 | de[ /(rcos 0,rsin 0)rdr 等于
J J
6 o
(B) f2 dxi ~X f(.x,y}Ay.
(A) f{x,y)dy.
J J
0 0
(D) [2 dj/f* ~ f(x9y)dx.
f(x 9y)djc.
J J o
o
・ 122 -s
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数学历年真题全精解析• 数学三)
.（3）?（）.故二.1 分）
J
dy
J -fy
M + Idz =
0
演薛空间
小结
1. 交换积分次序是常考的题型，通常有如下两种情形.
(1) 题目本身要求交换积分次序.
(2) 计算时，按原积分次序计算比较复杂或无法计算，需交换积分次序，一•般可从被积函数的
类型看出，如含有形如成，主*等，应后对工积分.
X
2, 需注意的是一定要准确地画出积分区域.
3 .有些累次积分仅交换积分次序不能解决问题，此时应考虑交换坐标系.
4.极坐标系下的交换积分次序虽然没有考过 ，但需关注.
解含亲知函数的二重秋分的函数方襁
六、
［£(2011,19题，10分)设函数f(jc)在［0,1］上有连续导数,f(0) = 1,且
jjr (z + jOdzdy = jjy(t)dzd;y,
% d,
其中Dt = —公0《］《行(0＜：〈1).求fM)的表达式.
答题区
-124 -第穴章无穷级敬
第六章 元窍袱数
本章导读
本章主要考查以下两个内容：一是判别或证明数项级数的敛散性，特别是判定抽象级数的敛
散性；二是求幕级数的和函数；而求函数的幕级数展开式2009年开始要求降低.
域题特点)
2000-2023年，几乎每年试题都有涉及，可能是一个大题、一个小题，分数约占试卷的8%.
2009 年只考了一个填空题.2011、2012、2013、2015、2019 年都只考了一个选择题,2014.2018,2021.
2022年有一个大题,2016,2017,2020年是一大题、一小题.值得注意的是，数学三、四合并后对级数
的要求降低了不少.小题主要是抽象级数敛散性的判定，一般以选择题的形式出现，往往有一定难
度；大题主要涉及求嘉级数的和函数和把函数展开成蓦级数，题目难度不是很大.
《真阍分类练习)
一、敝嘻镇数敛故惚的判定
U(2011,3题,4分)设修”｝是数列，则下列命题正确的是
(A) 若、14”收敛，则+以2”)收敛.
n= 1 n= 1
oo oo
(B) 若+%,)收敛，则收敛.
n= 1 n— 1
oo oo
(C) 若、以”收敛，则、(“21 — «2n)收敛.
n= 1 n=1
oo oo
(D) 若、(U2n-1 — «2n)收敛 ，则、
Un
收敛.
n=1 n=1
答题区
・125・数学历年真题全精解析• ■■■（数学三）
❷(2012,4题,4分)已知级数吏(一1)'柘Tsin£绝对收敛，级数£ 条件收敛，则
n=\ n n=l 71
1 1 3 3
(A)0 "],则、（—收敛.
rt= 1
oo
（B） 若、（一 l）ia“ 收敛，则 a, > a*.
n= 1
（C） 若豆收敛，则存在常数P>1,使存在.
n=l L8
（D） 若存在常数p>\,使lim n"a,存在，则克a,收敛.
8 ,
M = 1
答题区
El（2015,4题,4分）下列级数中发散的是
(
(B)S> 1+H
（O 吏（.二 土 1.
% In 〃
答题区
・126・.《 第穴章无穷级数
£ (会一亮)血(”+服为常数)
0(2016,4题,4分)级数为
(A)绝对收敛. (B)条件收敛.
(O发散. (D)收敛性与4有关.
答题区
0(2017,4 题,4 分)若级数W[sin§— 妇n(l —§)]收敛，则 k =
(A)l. (B)2.
(0-1. (D) -2.
答题区
❷(2019,4题,4分)若、nu”绝对收敛，、—条件收敛，则
n—1 1 ”
(A)、以”条件收敛. (»BM) 绝对收敛.
n= 1 n— I
(D疙(响+q)发散.
(C) 2 (如+ S)收敛.
n— 1
答题区
-127 -数学历年真题全精解析• （数学三） 》
d；
解题加速度
1. （2004,4分）设为正项级数，下列结论中正确的是
n— 1
（A） 若limnan = 0,则级数收敛.
n=l
oo
（B） 若存在非零常数，使得limm„ =人，则级数、a“发散.
L8 “=]
（C） 若级数〉收敛，则lim—Q” = 0.
n=l n-»oo
（D） 若级数发散，则存在非零常数；l,使得limw” = A.
2. （2004.数一.11分）设有方程+ nr - 1 = 0,其中〃为正整数.证明此方程存在唯一正实
根£”，并证明：当a> 1时，级数吏*：收敛.
n= 1
3. （2009.数一，4分）设有两个数列{a, },{&.},若lima, = 0,则
rtf 8
3 8 OO OO
（A）当〉收敛时，»，如收敛. （B）当»”发散时发散.
n= 1 n~1 n=1 n=1
OO OO 8 OO
（C）当S | |收敛时，收敛. （D）当2 I I发散时，»说发散.
n= 1 n= 1 n= 1 n= 1
・ 128 -___ M
_________________________________________n 孽无穷级数
4. （2014,数一，1。分）设数列修”｝, 0｝满足 0 < q” V 告，0 V & V 普，cos an — a„ = cos bn,
乙 u
oo
且级数、九收敛.
n — \
（I ）证明:lima, = 0；
n—8
oo
CD）证明：级数2 ¥收敛.
演
5. （2019,数一，4分）设｛如｝是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是
OO 8-8 8
（A）^ -• （B）^（-l）n （c） 、（l 一生）. （D）、（弗一“；）.
n=l U»
n=l 71 n=l ' Mn+1 , n=l
4
小结
i.解题思路.
（1） 若临如夭0,则发散；否则进一步判断.
71—8 n= 11
8
（2） 若、如为正项级数，先化简“”，视其特点选择适当的判别法.
n=l
① 若“，中含有土（或航壬），则可与P级数（或对数力级数）比较.
② 若如中含有”的乘积的形式（包括”！），则可考虑用比值判别法.
③ 若““中含有形如a，（”>的因子，则可考虑用根值判别法.
④ 以上方法均失效，则可利用已知级数的敛散性质，结合敛散的定义和性质，考察其收敛性.
OO OO
（3） 若»“为任意项级数，则可用方法（1）和（2）判断S 的敛散性.
n=1 n=1
-129 -jM
数学历年真题全精解析• ■（数学三） 》
① 若2收敛，则、场绝对收敛.
n=1 n=1
oo
oo oo
② 若、I % I发散,则看习“”是否是交错级数，若是，用莱布尼兹判别法判断、“.是否条件收敛.
n= 1 n= 1 n= 1
2 .除了掌握以上判定级数敛散性的基本思路，熟悉以下结论有助于我们判定级数的敛散性.
（1） 对于三个级数土 "”）：
n=1 n—1 n=1
① 如果有两个收敛，则第三个收敛.
② 如果其中一个收敛，另一个发散，则第三个发散.
③ 如果有两个发散，则第三个的敛散性不能确定.
④ 如果有两个绝对收敛,则第三个绝对收敛.
⑤ 如果其中一个绝对收敛，另一个条件收敛,则第三个条件收敛.
⑥ 如果有两个条件收敛，则第三个收敛，但不能判定它是绝对收敛还是条件收敛.
OO
（2） 对于正项级数
n= 1
① S U,.收敛0 2 "21与虫W2n都收敛.
n—\ n— 1 ”= 1
② 况“.绝对收敛e S 1J1蓦土％与吏【.⑶一业都收敛.
n=l n=1 乙 n=1 乙
③ 克条件收敛=S 与立厂如都发散.
n=l n=l 乙 n=l 匕
④ 史呈q土％与豆 蓦二冬，一个收敛，一个发散。史““发散.
lh
”=1 乙 ”=1 乙 n—1
OO OO . OO 8 8
（3） 对于正项级数、如，若收敛，则、必3 2 I）一定收敛；若收敛，则 »2,,
n= 1 n= 1 n= 1 n= 1 n= 1
歹＞21等均收敛.
二、求零阪款的q«敛半象、q攵敛1榆及q攵敛峨
0（2009,11题,4分）藉函数£ 以二尸％ 的收敛半径为.
答题区
・130・_ 无穷级数
oo oo
0(2020,4题,4分)设慕级数、叽&— 2)， 的收敛区间为(一2,6),则、a’Cr+l)'”的收敛
n=
n=1 1
区间为
(A) (—2,6). (B) (—3,1).
(0(-5,3). (D)(-17,15).
答题区
□解题加速度
OO 8
1. （ 1997,数一.3分）设赛级数的收敛半径为3,则暴级数、必”（工一1）土的收敛区间
n=
”=0 1
为_________ ・
演摭懿
2. （2002.数一，3分）设暴级数吏与 ^b„xn的收敛半径分别为乎与§，则*■级数
n—
1 ”= 1
00 2
y吝工"的收敛半径为
念bl
（A）5, （B）卓. （C） !. （D）我
3 3 5
敬
i寅志间
-131数学历年真题全精解析• ■■(数学三) 》
3. (2008.数一，4分)已知卷级数蚓a,(x + 2)'在x = 0处收敛，在了 =一4处发散，则暴级数
n=O
习％(] — 3)”的收敛域为.
1. (2011.数一 .1分)设数列也”｝单调减少,lima„ = 0,S„ = ^akCn = 1,2,…)无界，则暴级
—8 k = i
数力a“(*—l)”的收敛域是
n=
1
(A)(-l,ll (B)[-1,1). (C)[0,2). (D)(0,2[.
5.(2020,数一，4分)设R为系级数^a„xn的收敛半径，r是实数，则
(A)当、％产发散时，| r I2R. (B)当 收敛时，| r |,(z),先求pa) = lim "之强)或PM) = lim 71如(功，则
”=1 8 Un^x) I “—8
8 OO
习必工)的收敛域为{x 6 R：P(z) V 1} U修e R：P(q) = 1且y]uw(a)收敛).
・132・< — 第六孽无穷级数
2. 对于蓦级数— xQy ,先求P = lim |角想|或P = lim [|q”|，则级数
a„
n=o 8 I I ”-8
oo
”（工一工。）“的收敛半径R =[，收敛区间为6—R,_r°+R）,收敛域为
P
”=o
Go —R,z（）+R） U {x = xQ +R, — jc0）n 收敛}.
n = 0
oo oo
3. 若a,》0,6,20（可以从某项开始），则2a“（z —上。）“与—心）“的收敛区间（域）的
n=0 n=0
交集就是豆（a,+6”）G 一瓦）”的收敛区间（域）.
n = 0
4. 蓦级数经过有限次的逐项求导或积分，不改变其收敛半径与收敛区间，但在收敛区间的端
点处的敛散性可能会改变.
三、求零银数的和通数及数琐^数的初
皿（2014,18题，10分）求幕级数去（" + 1）（” + 3）工"的收敛域及和函数.
n = 0
答题区
5）（2016,19题，1。分）求慕级数援3 + 1：（2” + 1）的收敛域及和函数•
答题区
-133 -MM
数色历年真题全精解析, （数学三） 〉
匣（2017,19 题，10 分）设 a。= 1 ,Qi = 0,5i = ― ）（n = 1,2,3,…），S （z）为
幕级数立 anxn的和函数.
n = 0
（I）证明慕级数史a/"的收敛半径不小于1.
n = 0
（n）证明（1 -z）s'&）— zs&）= ocz e（一 1,1））,并求 s（z）表达式.
答题这
四（2021,20题，12分）设n为正整数,y = yn（x）是微分方程xyf — （〃 + Djz = 0满足条件
必（1）= ~7-1讯的解.
n{n 十 1）
（I）求叫（z）;
（H ）求级数力M（z）的收敛域及和函数.
n= 1
答题区
-134 -第六章无穷级数
回澎2,2。题，】2分）求蓦级数"需洁孩的收敛域及和函数sq
答题区
Q
解题加速度
1. （2009,数一 .9分）设为曲线；y =z"与y = xM （n = 1,2,…）所围成区域的面积，记
OO OO
S1 =、，S2 = 2 "21，求 S1 与 S2 的值.
n= 1 n= 1
演胃？帛
2. （2010,数一.10分）求篆级数吏 侦^?工”的收敛域及和函数.
. 135 .数学历年真题全精解析•提高■（数学三） 》
3. （2012,数一，10分）求赛级数力侦尹刑+ 3/ 的收敛域及和函数.
仑 2如+ 1
4. (2013 ,数一，10 分)设数列修”}满足条件：a。= 3,Qi = 1 ,a„-2 — n{n — l)a„ = 0, (n 2),
S(z)是赛级数 ^anxn的和函数.
n = 0
(I )证明 g'(«r) — S(x) = 0；
(II)求S(z)的表达式.
5. (2018,数一，4 分)吏(一 1)” 2n + 3
n=0
(2〃+1)!
(A)sin 1 + cos 1. (B)2sin 1 + cos 1.
(2Csi)n 1 + 2cos 1. (D)2sin 1 + 3cos 1.
演算箜柘］
・ 136 -第六章无穷级数
6. (2019,数一，4分)幕级数力竺笔寸在(0, +8)内的和函数S(x)=
% <2n)!
7. (2020,数一，10 分)设数列｛a"｝满足 a】=1,(" + l)a^-i = (" + §)a“.
证明：当|*|V 1时，缪级数Ma,*'收敛，并求其和函数.
X
小结
1.求第级数的和函数S(x)主要有以下两种方法：
(1)先通过矗级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质,将其化为典型的藉级数求和问题,
(2)通过蓦级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质转化为关于和函数S(*)的微分方程
问题.
2.求数项级数的和主要有以下的思路与方法 ：
(1)构造幕级数法：即通过构造籍级数，将问题转化为藉级数求和函数问题.应先用级数的代
数运算等性质对级数进行适当变形，以便构造易于求和的幕级数形式.
OO OO
对于收敛级数£a,b”, 一般构造慕级数Ka."(显然要求它在工=b处收敛)，求出其和函数
n— n=
1 1
8 8 CO
S&),则有〉>切” =S(6).而级数相当于、却”当》=1时的特殊情形.
-137 ・数学历年真题全精解析•—(数学三)
(2) 利用收敛级数的定义及其性质.即求部分和数列的极限limS“，也经常将通项“，进行分解:
“—8
OO 00 8
皿=a“士幻，先求级数、a”与»”的和，再根据级数的运算性质得到级数、虬的和.
n— 1 ”=1 «= 1
(3) 利用常见函数的慕级数展开式.
函数的蓄鲂I数届开
OO
[£（2018,18 题，10 分）已知 cos I .展=Ya„x"（-1 < x < 1）,求 a”.
（1 十 n = o
X）
答题区
解题加速度
(g;
1. (2003.数一.12分)将函数f(i) = arctan 展开成z的器级数，并求级数》2 —的和.
1+ 2x 2n + l
・ 138 -第六章无穷级数
2. (2006.数一，12分)将函数/(£)= 一.展成w的幕级数.
2 十 z — x
4
小结
将函数在某点处展开成赛级数是重要的考试内容.蓦级数展开有直接法与间接法，一般考查
间接展开法，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，将函数转化为蓦级数展开式已知的函数•数
学三要求较低.
1. 求出展开式后，要写出展开式成立的区间.
幕级数经过有限次的逐项求导、积分不改变其收敛半径及收敛区间，但在收敛区间的端点处
的敛散性可能会改变.因此，需判别展开式在收敛区间的端点处是否收敛.
2. 幕级数展开式的两个简单应用.
(1) 利用暴级数展开式求数项级数的和.求出展开式，根据要求和的级数的特点，在展开式中
令x取某特殊值，即可得到所求级数的和.
(2) 求函数/(x)的n阶导数疔＞(了°),特别是舟＞(0).
求出函数g)的幕级数展开式了Cr) = ,又/(x)=吏日以工',根据函数蓦级数
”=o ”=o n •
展开式的唯一性，得曾gz" = a„x-,即f"＞(0) = a„ • n\.
n\
・ 139 -2
数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
羊七章 年微分方徨与罢分方篌
本章导读｝
本章内容是考试的重要组成部分，主要侧重于一阶微分方程及二阶常系数线性微分方程的求
解，微分方程的应用多涉及几何方面.
试题特点蕾
... ■-
每年试题一般是一个大题或一个小题，分数约占试卷的4%,难度不是很大.除了各种微分方
程的求解，对常系数线性微分方程解的结构及性质的考查也是测试的一个重要方面.
-、一阶锻分方程的求解
Q（2010,2题,4分）设,丁
2
是一阶线性非齐次微分方程y + = q（工）的两个特解.若
常数人，“使泌 +冷 是该方程的解曷 —冷 是对应的齐次方程的解，则
1 2 1 2
（A）A = §，// = §. （B）A =——
（C）A = -y = -y. （D）A =音，# = *・
答题睬
・140・第七章常微分方程与差分方程
@(2018,12 题,4 分)设函数，&)满足 f(x + ^x)-fCx) = 2x/(x)Ax + o(Ax)(Ax-»0),
且 f(0) = 2,则 /(I) =.
答题区
0(2022,17题，10分)设函数、(z)是微分方程J +日尸 =2+"满足条件*1) =3的
解，求曲线y = y(x)的渐近线.
答题区
d；
解题加速度
1. (2008,数二，4分)微分方程3 + 了2广，)&一*心=0的通解是.
2. (2011,数一、数二，4分)微分方程y +y = e^cos z满足条件y(0) = 0的解为.
• 141数学历年真题全精解析•—■（数学三） 》 ，一 ，
3. （2012,数二，1分）微分方程ydx + （z — 3y2）dy = 0满足条件y I =1的解为y =
X
I =1
4. （2016,数二，4分）以j/ = x2 — eJ和；y = x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为
5. （2019,数二.1分）微分方程2yy' — y2 — 2 = 0满足条件、（0） = 1的特解_y =
X
小结
1. 此类题解题步骤.
（1） 判断方程的类型，可将方程写成形式：* = f^x,y）或卷=gG,》）（这里将变量z看作函
数点看作自变量）.
（2） 若不能确定类型，考虑用适当的变量代换.
2. 应熟练掌握考试大纲所要求的一阶方程类型及其解法.
（1） 可分离变量方程.分离变量化为= g3）d、,两边积分得通解.
（2） 齐次方程.将方程化为尹=了（乏），令"=乏,有夕=口，宰=“ +工半代入方程并化为
ax \JC/ X ax ax
可分离变量方程 一=—.
J \U） — U X
（3） 一阶线性方程.将方程化为标准形式/ + P^）y = QCr），由通解公式得通解为
y = eT心心[jQ（w） . eJ心&dz + c].
. 142 .. 《 第七章常微分方程与差分方程
二、二阶常系数践推锻分方襁的求解
0（2013,12题,4分）微分方程y-y+~y = 0的通解为＞ =.
答题区
0（2015,12题,4分）设函数、=y（x）是微分方程y+y-2y = 0的解，且在工=0处、（工）
取得极值3,则y（x） =.
答迎区
0(2019,3题,4分)已知微分方程丁' +初'+如=cb的通解为v = (G+CzQef+ e\则
a,b,c依次为
(A)l,0,l. (B)l,0,2. (02,1,3. (D)2,l,4.
答题这
・143・► 数学历年真题全精解析•■■（数学三）
（3（2020,17 题，10 分）设函数 v = /（X）满足 /+2/+ 5y = 0,且，（0） = 1/（0） =-1.
（I ）求/（X）的表达式；
广+8 8
（口）设 ％ = 求、"
J “ “= 1
答题区
（I;
解题加速度
1. （2009年，数一，4分）若二阶常系数线性齐次微分方程y+ay+by = 0的通解为丁 =（G
+ C2J?）ex，则非齐次方程y + ayf +by = x满足条件）（0） = 2,y'（0） = 0的解为；y =.
2. （2010年，数一，10分）求微分方程yf-3y +2y = 2xex的通解.
・144・第七章常微分方程与差分方程
3. （2013 年，数一，4 分）已知 = e3x — xe2x 9y2 = ex — xe2x 9y3 = —xe2x 是某二阶常系数非齐
次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为丁 =・
4. (2015年，数一，4分)设＞=ye2i+(x-yje1是二阶常系数非齐次线性微分方程y" + ay'
+为=cex的一个特解，则
(A)a=—3,6 = 2,c=—1. (B)g = 3,5 = 2,c =— 1.
(C)a =—3,6 = 2,c = 1. (D)g = 3 0 = 2,c = 1.
5. (2017年，数二，4分)微分方程y'-4y+8y = e2x(l + cos 2x)的特解可设为=
(A)Ae2x + e2x(Bcos 2x + Csin 2x). (B)Aze2j + e2j(Bcos 2x + Csin 2x).
(C)Ae2x +xe2x(Bcos 2x + Csin 2x). (D)Aze2x +xe2x(Bcos 2x + Csin 2x).
x
小结
1. 求二阶常系数非齐次线性微分方程的解的步骤.
（1）求特征方程的根.（2）写出齐次线性微分方程的通解.（3）求出非齐次线性微分方程的一
个特解.（4）写出非齐次线性微分方程的通解.
2. 对于高阶线性微分方程，应掌握解的性质、叠加原理以及通解的结构.
3. 对于二阶常系数线性微分方程y+py' + qy = _f（了），应熟练掌握求通解的方法.
（1） 对于对应的齐次线性微分方程、" + 〃' + «> = 0,会根据其特征方程产+" + 9 = 0的根
的情况，写出齐次线性微分方程的通解.
（2） 当自由项阳）为多项式函数、指数函数、三角函数以及它们的和、差、积所得的函数时，应
熟练掌握用待定系数法确定特解.
4. 对于二阶常系数齐次线性微分方程yT + py'+qy = 0,函数Ae“是其解的充要条件为r =
. 145 .> 数学历年真题全精解析•■—（数学三） 》 .
a是特征方程r2 + pr + q = 0的根；函数Ae^sin jSr ,BeM cos伊或e*1 （Asin俄+ Bcos但:）是其解
的充要条件为r = a 士侦是特征方程/ +^+q = 0的根.利用以上结论,可由方程的解，确定其对
应的特征方程的根，从而得到特征方程及其对应的齐次线性微分方程.
三、卷分方襁
0（2017,10 题,4 分）差分方程 y,+1 一 2y, = 21 通解为 .
答题区
0（2018,11题，4分）差分方程△勺，一贝=5的通解是,
答题区
皿（2021,14题,5分）差分方程= t的通解为v, =.
答题区
微分方根的应用
[D（2009,19题，10分）设曲线y = /（x）,其中、=/（x）是可导函数，且/（x） > 0.已知曲线
y = fU）与直线、=0口 = 1及==",> 1）所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体
积值是曲边梯形面积值的m倍，求该曲线方程.
答题区
・146・第七章常微分方程与差分方程
的（2019,17题,10分）设函数伙了）是微分方程满足条件贝1）=在的
2蚯
特解.
（I）求 y（x）；
（H）设平面区域。=<（x,y） | ln时，必有行列式| AB |# 0. (B)当m〉n时，必有行列式| AB \ = 0.
(C)当n > m时，必有行列式| AB |丰0. (D)当m时，必有行列式| AB | = 0.
2. ( 1994 ,数一，6分)设A为阶非零矩阵,A *是A的伴随矩阵，4丁是A的转置矩阵，当
A* = AT 时，证明 | A | 7^ 0.
演
3. ( 1995.6 分)设 A 为〃阶矩阵，满足 AAT =e,|A|<0,求 |A + E|.
• 156 •第二章矩阵
第二辛 耗阵
■章导■
矩阵是线性代数的核心内容，矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.几乎年年都有单纯
的矩阵知识方面的考题，而且其他考题也回避不了矩阵方面的知识，矩阵的重要性不言而喻.
二十多年来，矩阵的解答题考得很少.复习时，对于填空与选择不要"大意失荆州
题分类壕
-、貌阵it算、相等变损
城题特点
试题简单、基础、但容易失误.由于矩阵乘法没有交换律、没有消去律，有零因子，这和大家熟
悉的算术运算有很大区别，试题往往就考查这里的基本功，因此复习时对于矩阵的运算要正确、熟
练,不要眼高手低犯低级失误.
矩阵的初等行变换是左乘初等矩阵、矩阵的初等列变换是右乘初等矩阵，在这里要分清左乘、
右乘，记住初等矩阵的逆矩阵.
-1 0 0-
()(2009,6题,4分)设A,P均为3阶矩阵,pT为P的转置矩阵,S.P7AP = 0 1 0 .若
0 0 2_
P = [(Xi ,口2 03 ] +口2，口2，。3]，则 为
一2 1 0- -1 1 0- 一 2 0 0- 一] 0 0-
(A) 1 1 0 ・ (B) 1 2 0 ・ (C) 0 1 0 . (D) 0 2 0
0 2_ 0 0 2_ 0 0 2_ _0 0 2.
答题区
-157 ・数学历年真题全精解析. （数学三） 》
❷（2011,5题,4分）设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B,再交换B的第2行
~1 0 0- -1 0 0'
与第3行得单位矩阵.记R = 1 1 0 R = 0 0 1 ，则A =
0 0 1_ 0 1 0.
(A)P P2・ (B)PTiP2. (C)P2P (D)P2PT
】 】. 】.
答题区
-1 0 0一
0（2012,6题,4分）设A为3阶矩阵『为3阶可逆矩阵，且= 0 1 。.若 P = [ai ,
0 0 2.
O>2 ,口 3 ] =3 +a2，过，则 2-1Ag =
~1 0 0一 ~1 0 0-
(A) 0 2 0 . (B) 0 1 0
0 0 1. _0 0 2_
~2 0 0- "2 0 0'
(C) 0 1 0 . (D) 0 2 0
.0 0 2_ 0 0 1_
答题区
o - r
0（2021,7题，5分）已知矩阵人=2 -1 1 .若下三角可逆矩阵 和上三角可逆矩阵
p
-1 2 — 5_
Q，使RH2为对角矩阵，则P,Q可以分别取
一 1 0 0一 一］ 0 0一
(B) 2 -1 0 0 1 0
-3 2 0 0 1_
-158 -第二章矩阵
一 1 0 0~ -1 0 r -1 0 0- ~1 2 -3-
(C) 2 -1 0 0 1 3 ・ (D) 0 1 0 0 _ 1 2
9 9
-3 2 1_ _0 0 1_ _1 3 1_ 0 0 1 _
答题区
0（2022,15题,5分）设A为三阶矩阵，交换A的第2行和第3行,再将第2列的一1倍加到第
-2 1 -T
1列，得到矩阵 1 -1 0 ，则 AT 的迹 tr(AT)=
-1 0 0 .
答题区
d；
解题加速度
_ 1 -1 1 '
1.（2003,数二，4分）设。为三维列向量，广是a的转置，若如= 一1 1 — 1 ,则 a1 a =
_ 1 -1 1 _
-159 -► 数学历年真题全精解析• ■■(数学三)
'0 一 1 0 _
2.(2004,数四，4 分)设4= 1 0 0 = 其中F为3阶可逆矩阵，则B2004 -2A2
0 0 -1_
2 -2-
3. (1997,数一，3 分)设4 = 4 t 3 ,B为3阶非零矩阵，且AB = O,则t
_3 _ 1 1 _
-0 0 0-
4. (2017,数二，4分)设A为三阶矩阵,P=[ai,a2,a3J^可逆矩阵，使得P^ AP = 0 1 0
0 0 2_
则 A(ai +a2 +a3)=
(A)ai + a2. (B)a2 + 2a3. (C)a2 + «3. (D)ai + 2a2.
旃
5. (2020.数一，4分)若矩阵A经初等列变换化成B,则
(A)存在矩阵P,使得PA = B. (B)存在矩阵P,使得BP = A.
(C)存在矩阵P,使得PB = A. (D)方程组Ax =0与Bx=0同解.
. 160 .第二章矩阵 ◄
二、伴随矩阵、可龙貌阵
伴随与可逆是矩阵中最重要的知识点，关键公式:AA* = A-A =| A | E,进而有
AT = * 或 A * = | A | A-1.
I A |
涉及伴随与可逆的试题非常多，要想到并灵活运用AA* = A-A =| A | E这一核心公式.
定义法，单位矩阵恒等变形，可逆的充要条件都是重要的考点.
0(2009,5题,4分)设均为2阶方阵,4, ,B'分别为A,B的伴随矩阵.若| A | = 2,| B |
=3,则分块矩阵，［的伴随矩阵为
-B O -
_ O 3B* - 「O 2B * • 「O 3A* - 「O 2A* 一
(A) (B) (C) (D)
-2A* O - L3A* O - L2B* O - L3B* O -
答题区
0(2017,5题,4分)设a为〃维单位列向量,E为n阶单位矩阵，则
(A)E-aaT不可逆. (B)E + aaT不可逆.
(EC) + 2aaT 不可逆. (D)E-2aaT 不可逆.
答题区
-161A 数学历年真题全精解析■—■(数学三) 》
d；
解题加速度
1.(2001,数一，3分)设矩阵A满足疽 + A — 4E = O,其中E为单位矩阵，则(A — EL =
一 1 0 0 0'
-2 3 0 0
2. (2000,数二，3 分)设人= .E为4阶单位矩阵，且B = (E+4)T (E-A),
0 -4 5 0
_ 0 0 -6 7_
则（E + B）T =,
3. (1991,数一，3分)设72阶方阵A,B,C满足关系式ABC = E,其中E是〃阶单位矩阵，则必有
(A)ACB = E. (B)CBA = E. (C)BAC = E. (D)BCA = E.
4. (1998,数二，3分)设A是任一〃(〃 2 3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又人为常数，且
k尹0, ± 1,则必有(姐)* =
(A)如技. (B)BA*. (CWA*. (D)LA*.
-162 ・第二章矩阵
5. （2002,数四，3分）设A,B为n阶矩阵,A* 分别为A,B对应的伴随矩阵，分块矩阵
「A O1
，则C的伴随矩阵C* =
LO BJ
…「I A | A* O -\ B \ B' O
L O | B | B- J L O | A | A* J
'I A | B- O _ ■| B | A, O _
O I B j A* J O |A | B* J
6. （1997,数一，5分）设A是n阶可逆方阵，将A的第，行和第顶行对换后得到的矩阵记为B.
（I）证明B可逆；（U）求AB
空间
7. （2002,数二，6分）已知4,B为3阶矩阵，且满足2A'B = B — 4E,其中E是3阶单位矩阵.
1 - 2 0~
（I）证明：矩阵A-2E可逆；（口）若8= 1 2 0，求矩阵A.
0 0 2.
• 163A 数学历年真题全精解析•—■(数学三)
8. (2022,数一 ，6分)已知矩阵A和E-A可逆，其中E为单位矩阵.若矩阵B满足(E— (E —
A)T )B = 4，则 B - A =.
M、貌阵的靴
矩阵的秩是重点也是难点，要正确理解矩阵的秩的概念.
r(A) = r 0 4中有r阶子式不为0,每个r+1阶子式(若还有)全为0.
在这里要分清“有一个”与“每一个"，当r(A) = r时,A中能否有r —1阶子式为0?能否有r+ 1
阶子式不为0?
你用行列式来如何描述r(A)〉r?如何描述r(A) < r?
要搞清矩阵的秩与向量组秩之间的关系，这种转换是重要的.在线性相关的判断与证明中往
往由矩阵的秩推导向量组的秩，而解方程组时往往由相关、无关推导矩阵的秩.
经初等变换矩阵的秩不变，这是求秩的最重要的方法，有时可以把定义法与初等变换法相结
合来分析推导矩阵的秩.
要会用I A |是否为0,相关、无关，方程组的解三项中的两个夹逼求出矩阵A的秩.
0(2018,6题,4分)设A ,B为押阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X Y)表示分块矩阵，则
(A)r(A AB) = r(A). (B)r(A BA) = r(A).
(C)r(A B) = max(r(A) ,r(B) }. (D)r(A B) = r(AT BT).
答题区
(|1
解题加速度
1. (1998,数二，3 分)设 z2(n>3)阶矩阵
"1 a a
ala a
A = a a 1
_ a a a 1 J
-164 ・第二章矩阵
若矩阵A的秩为〃一1,则a必为
]
(A)l. (B) (0-1. (D)
n — 1
2 3~
2. (1993,数一，3 分)已知 Q = 4 t /为3阶非零矩阵，且满足PQ = O,则
6 9_
(A)t = 6时P的秩必为1. (B# = 6时P的秩必为2.
(C)t尹6时P的秩必为1. (iD) # 6时P的秩必为2.
演算空间
-0 o r
3.(2003,数四，4分)设矩阵B= 0 1 0 ,已知矩阵A相似于B,则秩(A — 2E)与秩(A — E)
_1 0 0.
之和等于
(A)2. (B)3. (04. (D)5.
4. (2008,数四，4分)设3阶矩阵4的特征值互不相同，若行列式I A | = 0,则A的秩为
・165・" 数子历年真逾全*目解析（数学=） ■占1.况C-"^更麴
5. (2010,数一，4分)设A为mXn矩阵,B为nXm矩阵,E为m阶单位矩阵.若AB = E,则
(A)秩 r(A) = zzz,秩 r(B) = m. (B)秩 r(A) = m,秩 r(B) — n.
(C)秩 r(A) = i,秩 r(B) = m. (D)秩 r(A)="，秩 r(B) = n.
6. （2012,数一,4分）设a为三维单位列向量,E为3阶单位矩阵，则矩阵E-aaT的秩为.
矩阵方稚
解矩阵方程时，首先要根据矩阵的运算法则、性质把方程化简（特别要注意矩阵的乘法没有交
换律），化简之后有三种形式：
AX = B；XA = B；AXB = C.
对于前两个方程，若判断出A可逆，则有
X = A 'B；X = BA \
对于第三个方程，若A,B均可逆，则有X = A CB '，那么，再通过求逆等运算就可求出X.
近十年未考过矩阵方程，可以自行练习较早的考题.
a 1 0 -
0（2015,20 题，11 分）设矩阵 A = 1 a -1，且 A3 = O.
_0 1 a _
（I）求a的值；
（fl）若矩阵X满足X —XV - AX + AXA2 = E,其中E为3阶单位矩阵，求X.
答题区
. 166 .第二章矩阵
解题加速度
1. （1998.数二，5分）设（2E-（T1B）At = CT】，其中E是4阶单位矩阵,是4阶矩阵A的转
■1 2 -3 -2- ~1 2 0 r
0 1 2 -3 0 1 2 0
置矩阵，且B = ,C = ，求矩阵A
0 0 1 2 0 0 1 2
0 0 0 1 _ 0 0 0 1_
演事空间
2. （2001.数二，6 分） 已知矩阵
-1 0 0一 '0 1 r
A = 1 1 0 ,B = 1 0 1
_1 1 1_ _1 1 0_
且矩阵X满足AXA + BXB = AXB + BXA +E,其中E是3阶单位矩阵，求X.
-167 ・>______
► 数学历年真题全精解析■（数学三）
3. (2005,数四，4分)设A,B,C均为“阶矩阵,E^jn阶单位矩阵，若B = E + AB ,C = A + CA ,
则 B — C =
(A)E. (B) — E.
(C)A. (D) -A.
4. （2000,数一，6分）设矩阵A的伴随矩阵
■1 0 0 0-
0 1 0 0
1 0 1 0
_0 -3 0 8_
JL ABA 1 = BA 1 +3E,其中E是4阶单位矩阵，求矩阵B.
. 168 .第三章向量
第三章 向量
向量既是重点又是难点，由于考研在向量的抽象性及逻辑推理上有较高的要求，同学们在复
习时要迎难而上.
考研的重点首先是对线性相关、无关概念的理解与判断，要清晰选择、填空、证明等各类题型
的解题思路和技巧；其次，要把握线性表出问题的处理；第三，要理解向量组的极大线性无关组和
向量组秩的概念，会推导和计算.
分类
-、尚差的^性表出
向量P可以由线性表出
0 方程组 Zien + jc 2a2 H-------= P 有解
<=>r（ai ,a2，…，a，） = r（ai ,a2，…，a.，0）・
如果已知向量的坐标，那就通过判断方程组是否有解来回答向量能否线性表出的问题，不仅
要会判断一个向量P能否由线性表出，还要会分析、讨论一个向量组""，・・・，△能否
由％ ，…，a,线性表出的问题.
如果向量P的坐标是未知的，那就要能用秩、概念以及相关的定理来推理、分析.
H（2011,20题，11 分）设向量组％ = （1,0,1）t,O2 = （0,1,1）5 = （1,3,5）T 不能由向量组
01 = （1,1,1）项2 = （1,2,3）丁,怯=（3,4,a）T 线性表示.
（I）求Q的值；
（U）将,02 ,03 用，。3 线性表
答题区
-169 ・► 数学历年真题全精解析（数学三）
0（2013,5题，4分）设A,B,C均为〃阶矩阵，若AB =C，且B可逆，则
（A） 矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价.
（B） 矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价.
（C） 矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价.
（D） 矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价.
答题区
田| (2019,20题，11分)已知向量组
I ：ai = (1,1,4)T ,a2 = (1,0,4)T ,a3 = (1,2,a2 + 3)T.
II :A = (l,l,a + 3)T,& = (0,2,1 — a)F = (1,3,1 +3".
若向量组I与II等价，求a的取值，并将％用a, ,% ,a3线性表示.
答题区
[11 fl]- [1、
Bl (2022,7 题，5 分)设"1= 1 ,a2 = A ,a3 — 1 ,a4 = A .若向量组 ai ,a2 ,a3 与 ai,
Id '
⑴ iaj in
a2,a4等价，则义的取值范围是
(A){0,l}. (B)(A I 6 Ra 尹一2}.
a
(C) {A I A £ R,A 7^— 1 关一 2}. (d){a I a e r,a 尹一i}.
答题区
-170 .—■— 第三章向量 ♦
d；
解题加速度
1. (1998,数二，8 分)已知(Xi = (l,4,0,2)T,ct2 = (2,7,1,3)丁，(13 = (0,1, — 1, 齐次方程组［。1,如，…，a」［2 =0只有零解
<=>厂（。1 02，…，a。= s.
证明线性无关，若用定义法，就是设法证七=0,…，包=0；若用秩，就是设法证r（ai,a2, •,
a、）= s（这里要通过用矩阵秩的定理、公式转换推导出向量组秩的信息）.
・172・《 第三章向量 <
0(2010,5题，4分)设向量组I ：如，氏，…，a,可由向量组口：■，艮，…，A线性表示.下列命
题正确的是
(A)若向量组I线性无关，则rVs. (B)若向量组I线性相关，则r>s.
(C)若向量组H线性无关，则r<5. (D)若向量组n线性相关，则r〉s.
答题区
0 0 '1 -1
0(2012,5 题,4 分)设/ 0 ，0(2 = 1 ，口3 = -1 ，口4 = 1 ，其中 Cl ,C2 ,c3 ,c4 为任
<1, <2, .C4 ,
.意常数，则下列向量组线性相关的为
(A)ai ,a2 ,。 3. (B)a】，。 2 ,。 4. (0(X1 ,妫，口4. (aD) 2，皿，口4.
答题区
0(2014,6题，4分)设a】，血，口3均为3维向量，则对任意常数A,/,向量组ai + ka3 ,a2 + Za3
线性无关是向量组垢，处，。3线性无关的
(A)必要非充分条件. (B)充分非必要条件.
(C)充分必要条件. (D)既非充分也非必要条件.
答题区
・ 173 -> 数学历年真题全精解析• —■(数学三) 》；
13(2018,13题，4分)设A为3阶矩阵a ,a2 >a3是线性无关的向量组，若应Xi = ai +a2 »Aa2
=。2 + 口3，徵 3 =。1 +。3，则 I A | = ・
答题区
这里的选择题、证明题你能独立完成吗？你使用的思路和技巧应该是什么？
d；
解题加速度
1. (2004,数一，4分)设A,B为满足AB = O的任意两个非零矩阵，则必有
(A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关.
(B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关.
(C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.
(D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关.
2. (2003,数一，4分)设向量组I ：ai ,az,…，a,可由向量组！！：$,&,•••，△线性表示，则
(A)当r < 5时，向量组II必线性相关. (B)当r > s时，向量组口必线性相关.
(C)当r < 5时，向量组I必线性相关. (D)当r > 5时，向量组I必线性相关.
. 174 .第三章向量
3. （2001，数四.8分）设=Si皿2，…，如）丁（' = 1,2,•••,厂；厂V 〃）是〃维实向量，且,。2，
・・・，0线性无关.已知0=。】02,…，们）T是线性方程组
'Q11Z1 +。次2 + ••• + aXnxn = 0,
Q21Z1 +。22工2 + + CLln^n = °，
arXxx + ar2x2 ~\------ amTn = 0
的非零解向量.试判断向量组％ ,久，•••，％/的线性相关性.
M、向量纸的极关^推■黄鲤与林
向量组的极大线性无关组或向量组秩的考题虽不多，但是齐次方程组的基础解系实际上就是
解向量的极大线性无关组，这在方程组求解和求特征向量时是回避不了的，所以复习时这里的概
念、计算、证明仍然要认真对待.
'1 o 1*
0（2017,13 题,4 分）设矩阵 A= 1 1 2 ,a,,a2,a3为线性无关的3维列向量组，则向量组
0 1 1.
Aa\ fAa2，&3 的秩为
答题区
-175 ・►► 数学历年真题全精解析■(数学三)
(B；
解题加速度
1. (2006,数三、数四，13 分)设四维向量组=(1+q,1,1,1)t,o2 = (2,2 + q,2,2)t,o3 =
(3,3,3 +q,3)t ,a4 = (4,4,4,4 + &)T,问 q 为何值时,a2 ^a3 ,a4 线性相关？当 外 ,。2，。3，。4 线性
相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.
2. (1995,数三，9 分)已知向量组(I ) ：。1 ,。2，。3 ；( U)S1 ,。2，。3，。4 ；( DI)：口1，。2，。3，。5.如果
各向量组的秩分别为r( I ) = r( n)= 3 ,r( m ) = 4.证明向量组ai ,口2，。3，。5 —。4的秩为4.
3(2.000, 数二，7分)已知向量组
，§3 = 1
与向量组
3 99
2 0 6
-3 7
具有相同的秩，且夕3可由,。2，口3线性表示，求Q, 5的值.
・ 176 -第四章线性方程组 44
第四辛 伐性方枝低
线性方程组是否有解？若有解，那么一共有多少个解？有解时怎样求出其所有的解？如何求齐
次方程组的基础解系？
当给出具体的方程组时，如何加减消元化简(注意只用行变换)？如何求出所有的解(可能还涉
及对一些参数的讨论)？
没有具体的方程组时，如何利用解的结构(注意对矩阵秩的推断)分析、推导出通解？
面对两个方程组，如何处理公共解或同解问题？
这一切都是大家在复习方程组时要认真对待的，方程组历年来都是考试的重点，比重大、分值
高、解答题多，一定要好好复习.
,,分类毓.
-、布次方程纸、幕融解品
考查的主要定理是：
(1) 设A是nz X n矩阵，齐次方程组Ar = 0有非零解0秩r(A) < n.
(2) 齐次方程组Ax = 0如有非零解，则必有无穷多解,而线性无关的解向量个数为n - r(A).
求基础解系是重点.
n-r(A)既表示Ax = 0线性无关解向量的个数，也表示方程组中自由变量的个数.如何确定
自由变量，如何给自由变量赋值并求解，是这的基本功.
不论是Ax = 0还是Ax = b都要涉及求Ax = 0的基础解系，这里的计算一定要过关(正确、熟
练).
线性无关的证明题的另一种出题方法是证基础解系.
下面的考题既涉及如何加减消元求基础解系，也涉及如何判断矩阵的秩和基础解系的证明.
11(2019,5题,4分)设A是4阶矩阵,A，为A的伴随矩阵,若线性方程组Ax = 0的基础解系
中只有2个向量，则r(A-)=
(A)0. (B)l.
. 177 .► 数学历年真题全精解析•■■（数学三）
（02. (D)3.
答题区
H（2O2O,5题,4分）设四阶矩阵A =［殉］不可逆,引的代数余子式A12 0,a. ,a2 ,a3 ,at为
矩阵A的列向量组,A*为A的伴随矩阵，则方程组A'x = 0的通解为
（A） x = k1Ol +k2a2+k3a3,其中 kltk2,k3 为任意常数.
（B） x = klOl +k2a2 +k3at,其中 R、,k2 ,k3 为任意常数.
（C） x = k1O1 +k2a3 +k3at,其中 kx,k2,k3 为任意常数.
（D） x = kXa2 +&2。3 +&3。4，其中幻，&2以3为任意常数.
答题区
Q;
解题加速度
1.（2004,数一，9分）设有齐次线性方程组
'（1+。）幻 + x2 +・・・+z“=0,
2x}+ （2 + a）x2 +・・・+2z”=0,
s . （〃 2 2）
、 TiZi + 71x2+••• +（〃 +Q）z” = 0・
试问a为何值时，该方程组有非零解？并求其通解.
・ 178 -第四章线性方程组
2. (2011,数一、数二，4分)设A =［为,a2,a3,a4］是四阶矩阵,**为*的伴随矩阵.若(l,0,l,0)T
是方程组Ax = 0的一个基础解系，则A *x = 0的基础解系可为
(A)ai ,a3. (B)ai ,a2. (C)ai ,a2 »«3. (D)a2 ,a3 ,a4.
3. (2001,数一，6分)设di ,az»,,, ,as为线性方程组Ax = 0的一个基础解系：
fli = «iOi 4- t2a2 ,p2 = tia2 + t2a3，…，仇=tia,+ 如on ,
其中Zi，如为实常数.试问命,t2满足什么关系时,$，你，…/,也为Ax = 0的一个基础解系？
4. (2005,数一、数二，9分)已知三阶矩阵A的第1行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵
"1 2 3一
B = 2 4 6 (k为常数)
.3 6 k_
且AB = O,求线性方程组仙 =0的通解.
179 •数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
5. （2019,数一，4分）设A = [ai ,a2 为三阶矩阵.若ai ,a2线性无关，且ch =— a】+ 2az,
则线性方程组Ax = 0的通解为.
二、非亦次方祓缱的泉解
记住解的结构
a + — 邛 1 + ■现 +…+ k„-rtl^-r，
，邛
其中a是Ax = b的特解，m 2，…，是Ax = 0的基础解系.
往届考生在加减消元时计算错误较多（一定要多动手认真做）；讨论参数时不能丢三落四，要
严谨.
求A的秩、求特解、求基础解系、讨论参数是复习时要注意的知识点.
H（2OO9,2O 题，11 分）设
一 1 -1 -r -r
A = _ 1 1 1 ,$i = i
, 0 -4 -2_ -2_
（I）求满足戍2 = &，A%3 = &的所有向量&，金；
（口）对（I ）中的任意向量&，&，证明:&，景,<3线性无关.
答题区
. 180 .第四孽线性方程组
7 1 r a
0(2010,20 题，11 分)设4= 0 A-1 0 ,b = 1 .已知线性方程组Ax = b存在2个不
_1 1 A_ _1_
同的解，
(I)求顽；
(□)求方程组Ax =。的通解.
答题区
0(2011,6题,4分)设A为4X3矩阵，知，*,%是非齐次线性方程组仙=p的3个线性无
关的解，加以z为任意常数，则Ax=p的通解为
(A) 3^11 +四(地—知). (B)中)% + ^1 (1J2 — IJ1 ).
乙
(O ni+jii + 姒％ -m)+ 奶(衣 -m). (D)爪 2+ &1 (% — IJ1 ) + (可3 —可1 ).
答题区
0(2012,20 题，11 分)设 A =
(I )计算行列式I A | ；
(D)当实数a为何值时,方程组Ax =/J有无穷多解？并求其通解.
答题区
. 181 .►> 数学历年真题全精解析•■■■（数学三）
"1 Q- ■o r
0（2013,20 题，11 分）设 A = ,B = ,当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC 一
_1 0j -i b.
C4 =B?并求所有矩阵C.
答题区
'1 -2 3 一 ¥
0（2014,20 题，11 分）设4 = 0 1-11 ,E为三阶单位矩阵.
_1 2 0 — 3_
（I）求方程组Ax =0的一个基础解系；
（口）求满足期=E的所有矩阵B.
答题区
■1 1 一1 一
0（2015,5题,4分）设矩阵A = 1 2 a ,b = d ，若集合〃 {1,2},则线性方程组
_1 4 d2_
Ax = b有无穷多解的充分必要条件为
（A）g 任。. （B）q 冬 Q£ 12. （C）a 6 Q,d 5. （D）q E Q,d 6 n.
答题区
-182《 第四章线性方程组 ◄
_ 1 1 l-a~] r 0 '
[[[（2016,20题，11分）设矩阵A= 1 0
q
,0= 1 ，且方程组Ax=fi无解.
+ 1 1 a + 1_ 2 a — 2_
(I)求Q的值；
(n )求方程组ATAx = ATP的通解.
答题区
[f](2017,20题，11分)设三阶矩阵A = [01,0203]有3个不同的特征值，且她=+2处.
(I )证明:r(A) = 2 ；
(□)若P =+。2 +必，求方程组Ar = P的通解.
答题区
-183 -数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
-1 2 a -
[£（2018,21题，11分）已知a是常数，且矩阵A = 1 3 0可经初等列变换化为矩阵
7 — a_
_ 1 a 21
B = 0 1 1
-1 1 1
（I）求 G；
（H）求满足 ap = b的可逆矩阵p.
答题区
■1 0 -1 - 「°]
06（2019,13题,4分）已知矩阵4 = 1 1 -1 ，b = ，若线性方程组Ax = b有无穷
0 1 a2 - 1.
多解，则a = ,
答题区
圆（2021,6题，5分）设4 = 四阶正交矩阵.若矩阵8 =
示任意常数,则线性方程组Bx 的通解x =
（A）a2 +。3 +ka\. (B)ai +"3+(X4 + 妃2.
（C）（Xi + a2 +。4 +奴3. (D)(X1 + «2 ++虹4.
答题区
・ 184 -第四章线性方程组
一
1 1 1-
函( 2022,6题，5分)设矩阵A = 1 a a2 ,b = ，则线性方程组Ax = b解的情况为
_1 b b2_
(A)无解. (B)有解.
(O有无穷多解或无解. (D)有唯一解或无解.
答题区
(g；
解题加速度
1. (2000,数一，3分)已知方程组 无解，则a =
2. (1997,数四，3分)非齐次线性方程组Ax b中未知量个数为〃，方程个数为m,系数矩阵A
的秩为厂，则
(A)r = m时，方程组Ax = b有解. (B)r = n时，方程组Ax = b有唯一解.
(C)m = n时，方程组Ax = b有唯一解. (D)r 2xi + Xi + x3+ 2x4 = 0,
、3而+（2 + Qhz+ （4+“）*3+4工< =1.
已知（1, 一 1,1, 一 1）丁是该方程组的一个解.试求
（I ）方程组的全部解，并用对应的齐次方程组的基础解系表示全部解
（n）该方程组满足Zz = X3的全部解.
I. （2006,数一、数二，9分）已知非齐次线性方程组
■ X1 + 初 +了3 +z<=— 1,
〈4工1+3zz+5*3 —了4=—1,
,ax\ + 血+3丑+如4 = 1
有三个线性无关的解.
（I ）证明方程组系数矩阵A的秩r（A） = 2；
（II）求a,5的值及方程组的通解.
. 186 .《 ______第四草线性方程组
「11
■11 「。_
5.（2000,数二，6 分）设 a= 2 ,0= * ,y = 0 ,A =
"」［oJ U
其中俨是p的转置，求解方程2B2A2x = A4x + B4x + r.
三、公共解与同解
试题特点
如果已知两个方程组（I）和（U）,那么将其联立其联立方程组的解就是（I）与（口）
（（11 ）,
的公共解.
如果已知（I）与（口）的基础解系分别是«! ,a2 ,a3和Pi，则可设公共解为7，那么
y = k\CL\ + &2 口 2 + 为 3 。3 =+ 】202 ・
由此得kiai +k2a2 +奶皿一lipi —，202 = 0,解出ki腿,Ui 02可求出公共解y.
这两种常见的出题方法应当把握.
而处理同解的方法，往往是代入来处理，即把（I）的解代入（口），把（II）的解代入（I）.
Q;
解题加速度
1. （2002,数四，8分）设四元齐次线性方程组（I ）为
（2X1+ 3x2— -^3 — 0,
\ X1+ 2x2+ ^4 = 0.
而已知另一四元齐次线性方程组（U）的一个基础解系为
ai =（2,— 1,。+ 2,1）丁，％ = （一l,2,4,a + 8）T.
・ 187 -► 数学历年真题全精解析■(数学三) 房
(1) 求方程组(I)的一个基础解系；
(2) 当a为何值时，方程组(I)与(口)有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解.
标均间
2. (2003,数一，4分)设有齐次线性方程组Ax = 0和Bx = 0,其中A,B均mXn矩阵，现有4
个命题：
① 若Ax = 0的解均是Bx = 0的解，则r(A) r(B)；
② 若r(A) 2 r(B),则Ax = 0的解均是Bx = 0的解；
③ 若 Ax = 0 与 Bx = 0 同解，则 r(A) = r(B)；
④ 若r(A) = r(B)则Ax = 0与Bx = 0同解.
以上命题中正确的是
(A)①②. (B)①③. (C)②④. (D)③④.
3. (1998,数四，7分)已知下列非齐次线性方程组(I ),( H )
•11+*2 ― 2x4 =— 6, Xi+ mx2— 5,
(I)〈侦一五一*3 — *4 = 1， ( H )< nxz—乃一2x4 =— 11,
3zi— Xi— x3 = 3 ； 、 工3— 2*4=—。+1.
(1) 求解方程组(I),用其导出组的基础解系表示通解；
(2) 当方程组中的参数m,n,t为何值时，方程组(I )与(口)同解？
・ 188 -第四章线性方程组
4. (2021,数二，5 分)设三阶矩阵 A = [a] ,a2 ,a3] »B = ,fi2 ,jJ3],若向量组 ai ,a2 ,a3 可以由
向量组线性表出，则
(A)Ax = 0的解均为Bx = 0的解. (B)Atx = 0的解均为BTx = 0的解.
(C)Bx = 0的解均为仙=0的解. (D)BTx = 0的解均为A「x = 0的解.
5. (2022.数一，5分)设A,B为"阶矩阵，E为单位矩阵.若方程组Ax = 0与Bx = 0同解，则
O'
(A) 方程组 y=0只有零解.
-E B J
rE a 1 ,
(B) 方程组 y = 0只有零解.
-O AB J
「AB] rB Al
(C) 方程组 y=0与 y = o同解.
Lo bJ Lo a J
「AB B"1 VBA Al
(D) 方程组 L o aj y=0与 L o bJ y=o同解.
・ 189 -数学历年真题全精解析• ■■(数学三) 涉
第五个 特隹也与将任向量
本章导焕
特征值和特征向量是线性代数的重要内容之一，也是考研的重点之一，它涉及行列式，矩阵，
相关、无关，秩，基础解系等一系列问题，知识点多，综合性强，必须好好复习.
首先要掌握求特征值、特征向量的各种方法；第二是相似，要掌握和对角矩阵相似的充分必要
条件，会求可逆矩阵P;第三(可能更重要)，要学会利用实对称矩阵的隐含信息处理求特征值、特征
向量，用正交矩阵相似对角化等一系列方法.
4
真鹿分类嫁习
-、崎1E值、畴1E尚圣的概念与计算
♦题特点
常见的命题形式：
1. 用定义Aa = Xa ,a 0推理、分析、判断.
2. 由| AE — A | = 0和GUE-A)x = 0求基础解系.
3. 通过相似厂|庭=B.
(1) 如 Aa = Aa,则 B(P~'a)=义(P-'a).
(2) 如 Ba = Aa,则 A (Pa) = A(Ba).
特别地，如r(A) = 1,有
I AE-A | = A,-蚓a"-'，
Ai =寻6^，描=A3 = = A„ = 0.
请通过下面的考题,进一步体会在考场上如何求特征值、特征向量.
[J (2015,13题,4分)设3阶矩阵A的特征值为2, — 2,1,B = A2—A + E,其中E为3阶单位
矩阵，则行列式| B | = .
答题区
. 190 .第五章特征值与特征向量
(0
解题加速度
■ 0 -2 ~2~
1. (2002,数二，3分)矩阵 2 2 -2 的非零特征值是.
-2 -2 2 _
滴算空间
2. ( 1993,数四，3分)设;I = 2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵(yA2r,有一个特征值等于
(A)T (b)T (c)i (d)T
3. (2008,数一，4分)设A为2阶矩阵，a】,a2为线性无关的2维列向量,8i = 0,Aa2 = 2页+
az，则A的非零特征值为.
演算空间
・ 191 -数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
4. （2003,数一，10分）设矩阵A = ,B = P^ A 'P,求 B + 2E 的特
征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.
演算空间
5. （2009,数一，4分）若三维列向量a邢满足a”= 2,其中a1为a为转置，则矩阵伽『的非零
特征值为
「4 1 一 2] 「1】
6. （2017,数二，4分）设矩阵A = 1 2 a 的一个特征向量为 1 ，则Q =
_3 1 - 1_ _2_
. 192 .第五章特征值与特征向量
二、相似与相似时偷化
围绕相似定义= B、相似的性质设计试题，或者考查判断是否和对角矩阵相似.
A〜A0A有n个线性无关的特征向量
0如义是A的龙重特征值，则；I有互个线性无关的特征向量.
如A有抑个不同的特征值=>A〜A.
-3 0 0-
@（2009,13 题,4 分）设 a = （1,1,1）T“= （1,0以）七若矩阵 a/T 相似于 0 0 0，则=
0 0 0_
答题区
_] 1 … 1 一 ■0 … 0 1 -
1 1 1 0 ・•・ 0 2
0（2014,21题，11分）证明/阶矩阵 与 相似.
: :
_1 1 ・・・ 1_ _0 ・・・ 0 n _
答题区
-193 ・数学历年真题全精解析• ■■■(数学三)
EJ(2016,5题,4分)设A,B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是
(A)At 与BT相似. (B)A-1与B '相似.
(C)A+At 与 B + BT 相似. (D)A+AT 与B + B 1相似.
答题区
「2 0 0' "2 1 0一 1 0 0-
(2017,6题,4分)已知矩阵4 = 0 2 1 = 0 2 0 ,c = 0 2 0 ，则
0 0 1. 「0 0 1_ 0 0 2_
(A)A与C相似,B与C相似. (B)A与C相似,B与C不相似.
(C)A与C不相似,B与C相似. (D)A与C不相似,B与C不相似.
答题区
1 0'
(2018,5题,4分)下列矩阵中，与矩阵0 1 1相似的为
L0 0 1.
-1 1 _ r _1 0 _ r 1 _ r 一 1 0 -1-
(A) 0 1 1 ・ (B) 0 1 1 ・ (C) 0 1 0 ・ (D) 0 1 0
0 0 1 _ 0 0 1 _ 0 0 1 . 0 0 1 _
答题区
• 194第五章特征值与特征向量
团(2020,21题,11分)设A为二阶矩阵,P= [a,Ax],其中a是非零向量且不是A的特征向量.
(I )证明P为可逆矩阵；
(U)若A2a + Aa-6a =。.求P^AP,并判断A是否相似于对角矩阵.
答题区
7 1 0-
0(2021,21题,12分)设矩阵A= 1 2 0仅有两个不同的特征值.若A相似于对角矩阵,
.1 a b.
求a,5的值,并求可逆矩阵P,使P~ AP为对角矩阵.
答题区
-1 0 0"
0(2022,5题，5分)设A为三阶矩阵,A = 0 -1 0，则A的特征值为1, 一1,0的充分必
0 0 0.
要条件是
(A)存在可逆矩阵P,Q,使得A = PAQ. (B)存在可逆矩阵P,使得A = PAP
(C)存在正交矩阵Q，使得A = QAQ1. (D)存在可逆矩阵P,使得A = PAPt.
答题区
• 195数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
解题加速度
（^｝
1.（2001,数一，8分）已知三阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A2x线性无关，且满足
A3x = 3Ax — 2A2x.
（I ）记？ = lx,Ax,A2x^,求三阶矩阵B,使4 = PBP ' ； （II）计算行列式I A + E I.
■ 1 - -2 _ 1 2 -
2. （1997,数一，6 分）已知 g = 1 是矩阵A = 5 a 3 的一个特征向量.
-1. -1 b -2_
（I ）试确定参数a,6及特征向量g所对应的特征值;
（U）问A能否相似于对角阵？说明理由.
. 196 .第五章特征值与特征向量
* 1 2 -3-
3.（2004,数一，9 分）设矩阵 A = - 1 4 -3的特征方程有一个二重根，求Q的值，并讨论
1 a 5 _
A是否可相似对角化.
三、黄于4©似时可逆矩阵P
P^ AP= A时,A对角线元素是A的特征值,P是A的特征向量，要意识到这一类题目实际上就
是求矩阵A特征值和特征向量的另一种出题方法.这类试题往往会涉及处理一些参数.
解题加速度中1题和2题是常规题型，而3题是用含感的方法求可逆矩阵PCPT AP, = B,
P^1BP2 = C^p-^AP = C,P = P1P2）.
■ 0 2 -3- 1 -2 0-
皿（2015,21题，11分）设矩阵4 = -1 3 -3 相似于矩阵B = 0 b 0
_ 1 -2 a _ 0 3 1_
（I ）求a,6的值；
（n）求可逆矩阵p,使p^ap为对角矩阵.
答题区
. 197 .数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
［fJ（2016,21 题，11 分）已知矩阵 A = 2-30.
0 0 0_
（I ）求妒；
（H）设3阶矩阵B =［。】02，口3］满足房=BA,记B。。=［如如仇、将",氏分别表示
为a】,口3的线性组合.
答题区
~2 0"
［£（2019,21题，11分）已知矩阵4 = -2 与B = 0 _ 1 0 相似.
-2. 0 0
（［）求 x^yi
（n）求可逆矩阵 p,使得p-ap = b.
答题区
因2020,6题,4分）设A为三阶矩阵,a】,a2为A的属于特征值1的线性无关的特征向量,奶
-1 0 0-
为A的属于特征值一1的特征向量,则满足P- AP = 0-10的可逆矩阵P为
0 0 1.
（A）［ai +。3，。2, — a3〕. （B）［ai +a2 ^a2, — a3］.
-198 -第五章特征值与特征向量 ◄
(0［。1 +。3，— 口3，。2〕・ (D)[ai + a2 9 一 皿，。2〕.
答题区
(fl
解题加速度
1. ( 1992,数三，7分)设矩阵A与B相似，其中
—2 0 0- ―1 0 0-
A — 2 X 2 = 0 2 0
_ 3 1 L _ 0 0 y~
(I )求］和;y的值;
(n)求可逆矩阵p,使p~ap = b.
■ 3 2 一2一
2. (1999,数四，7分)设矩阵A = -k -1 k ，问当4为何值时，存在可逆矩阵P,使得
_ 4 2 ~3_
P- AP为对角矩阵？并求出P和相应的对角矩阵.
-199 ・> 数学历年真题全精解析•—（数学三） 》
3. （2005,数四，13分）设A为三阶矩阵，a ,a2 ,a3是线性无关的三维列向量，且满足
】
Aai = ai + a2 + a3 ,Aa2 = 2a2 + a3 ,Aa3 = 2az + 3a3.
（I ）求矩阵 B,使得 A[aj ,a2 ,a3] = [ai ,a2
（n）求矩阵A的特征值；
（Hl）求可逆矩阵P,使得P^'AP为对角矩阵.
投
实时衿矩阵
试题特点
实对称矩阵有几个重要的定理，例如：实对称矩阵一定和对角矩阵相似（不管特征值有没有重
根）；实对称矩阵特征值不同时特征向量必相互正交（由此有内积为0,从而可构造齐次方程组求特
征向量）；实对称矩阵可以用正交矩阵来相似对角化.试题就是围绕这些定理来设计的.此部分内
容是考研的重点，特别要复习好综合性强的解答题.
[E（2010,6题,4分）设4为4阶实对称矩阵，且A，+ A = O.若A的秩为3,则A相似于
一1 -1 -
1 1
(A) . (B)
1 _ 1
- 0_ _ 0_
-
_1 -1
-1 _ 1
(C) . (D)
_ 1 -1
0_ 0_
答题区
. 200 .第五章特征值与特征向量
■ 0 -1 4一
圈（2010,21 题，11 分）设4 = _ 1 3 a ，正交矩阵。使得qtaq为对角矩阵，若。的第
_ 4 a 0_
1 列为土(1,2,1)T,求 a,Q.
V6
答题区
H3（2O11,21题，11分）设A为三阶实对称矩阵,A的秩为2,且
一 1 r -1 r
A 0 0 = 0 0
-1 .1 1_
（I ）求A的所有特征值与特征向量
（口）求矩阵A.
答题区
・201・数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
（2013,6题，4分）矩阵 相似的充分必要条件为
(A)a = 0,6 = 2. （B）a = 0,5为任意常数.
(C)a = 2,6 = 0. （D）a = 2,6为任意常数.
答题区
，4
小结
通过这几个试题希望你很好地归纳一下，面对实对称矩阵都有哪些求特征值、特征向量的方
法技巧？
（|；解题加速度
a 1 1 -
1.（2002,数四，8分）设实对称矩阵A = 1 a - 1，求可逆矩阵P,使 为对角形矩
_1 - 1 a _
阵，并计算行列式| A-E |的值.
演算空间
・202・第五章特征值与特征向量
2. （2001,数三、数四，9分）设矩阵A = ，已知线性方程组Ax =0有解
但不唯一，试求：（I ）a的值；（口）正交矩阵Q,使QTqQ为对角矩阵.
一 a 1 - r
3. （2001,数一，12 分）设矩阵 A= 1 a -1 .
-1 -1 a 一
（I ）求正交矩阵P,使PT^P为对角矩阵；
（II）求正定矩阵C,使（a + 3）E —A,其中E为三阶单位矩阵.
. 203 .数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
第六章 二次型
本童导,
二次型实际上是特征值的几何应用，复习二次型就一定搞清它与特征值、特征向量之间的内
在联系.
考点主要有三个：第一个是二次型化标准形的正、反两方面的问题，依托的是特征值、特征向
量相似对角化的理论与方法；第二个是二次型的正定性，既有正定的判定，又有正定性质的运用，
也都会涉及特征值；第三个是合同，它是由二次型经坐标变换引申出来的概念.
一、二次q的概念与持推形
■题特点
用正交变换化二次型为标准形,求其标准就是求二次型矩阵A的特征值，求坐标变换就是求A
的特征向量.
若求二次型的表达式就是求矩阵A,这样的试题一般都是实对称矩阵试题的翻版.
fJ（2009,21题，11分）设二次型
f（ii ,x2，心）=OTi + （a — 1）药 + 2而工3 — 2x2x3.
（I ）求二次型f的矩阵的所有特征值；
（n）若二次型f的规范形为法+展，求a的值.
答题区
.204 .第六章二次型
回（2011,13题,4分）设二次型/（而，互，乃）=xTAx的秩为1,A的各行元素之和为3,则f在
正交变换x = Qy下的标准形为・
答题区
一 1 0 1 -
2012,21 题，11 分）已知 A =
0 1 1 ，二次型互，丁3）= *t（ATA）x 的秩为 2.
-1 0 a
_ 0 a -1
（I）求实数Q的值；
（n）求正交变换x = Qy将二次型f化为标准形.
答题区
¥1(2013,21 题，11 分)设二次型 f (工 1 口2 ,%3)= 2(aiXi + a2x2 4- a3x3)z + (5皿 + b2x2 +
63X3 )2,记
□ 1
a = a2 b2
_d 3_
力
-205 ・数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
（I ）证明：二次型/对应的矩阵为2aaT+ppT；
（□）若a,P正交且均为单位向量，证明/在正交变换下的标准形为2" +展.
答题区
一蒙
§ （2014,13题,4分）设二次型 g 口 2 ,了 3）= xf +2ax]i3 +4互心的负惯性指数为1,
则。的取值范围是.
答题区
0（2015,6题,4分）设二次型,互屹3）在正交变换x = Py下的标准形为2yl +境一犹,
其中P =命 ,e2 e],若Q =[跖，一久
“2
〕，则f （工' m ,%3）在正交变换x = Qy下的标准形为
（A）2j/f — y 2 + 3^3. （B）2j/i + y 2 ~ yl- （C）2“一展一奔 （D）2"+展+法・
答题区
・ 206 -第六章二次型
Q(201696 题，4 分)设二次型 /(xi ,x2 >x3) = a(xi +xl +xf) +2xix2 +2x2x3 +2x^x3 的正、
负惯性指数分别为1,2,则
(A)a > 1. (B)q V—2.
(C) — 2 V Q V L (D)a = 1 或 =— 2.
q
答题区
13（2017,21 题，11 分）设二次型 f （工1 ,x2 ,i3）= 2x| — xI +axl + 2xxx2 — 8xix3 +2x2x3 在
正交变换x = Qy下的标准形为扁"+人2展，求。的值及一个正交矩阵Q.
答题区
C1 （2018,20 题，11 分）设实二次型 f （工1 ,互）=（xi —Xi +x3）2 + （x2 +x3）2 + （xi +ar3 ）2,
其中。是参数.
（I）求 fZl ,二2，了3）=。的解；
（口）求f （工1 口2 口3）的规范形.
答题区
・207・> 数学历年真题全精解析•—■（数学三） 》
皿（2019,6题,4分）设4是三阶实对称矩阵,E是三阶单位矩阵.若A? +A = 2E,且| A | = 4,
则二次型xTAx的规范形为
（+ y2 + >3. （B）3；| + y2 ~ yl.
（C）“ — yl —展. （D） — yl — yl — yl.
答题区
dj（2020,20题，11分）设二次型,x2）=展一4工+4蓦经正交变换（：）=。（了 ）化为
二次型 g（/i 必）=ay\ +4^iy2 + byl，其中 a^b.
（I ）求 值；
（口）求正交矩阵0
答题区
幽（2021,5 题，5 分）二次型 /（心叫皿）=3 +x2）2 + （x2+^3）2-（^3-^i）2 的正惯性
指数与负惯性指数依次为
（A）2,0. （B）l,l. （02,1. （D）l,2.
答题区
-208 ・第六章二次型
圜(2022,21 题，12 分)已知二次型 /(xi ,x2,x3) = 3若 + 4云 + 3毯 + 2而了3.
(I )求正交变换x = Qy将f(H\ ,x2，了3)化为标准形；
(U)证明：min 华=2.
5 X X
答题区
囱解题加速度
1. (2005,数一，9分)已知二次型
/(j：i ,互 口3)=(1 — + (1 — a)xl + 2x1 + 2(1 + a)j?ijc2
的秩为2
(I )求 的值；
g
(II)求正交变换x = Qy，把f (工1 »x2 口3)化成标准形;
(HI )求方程/(xi ,x2 ,无)=0的解.
・ 209 -8W
数学历年真题全精解析'• (数学三) 》
2. (2010,数一，11分)已知二次型/(jfj 9x2 ,x3) = xTAx在正交变换x = Qy下的标准形为睛
+奖，且。的第3列为(亨,0,手)
(I )求矩阵4；
(II )证明A + E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵.
涵尊空间
3. （2020,数二，11 分）设二次型 ,x2 >x3 ）=药 + 蒙 +1? + 2ax\x2 + 2azi jc3 + 2ax2x3 经
© yi
可逆线性变换 12 =p 关 化为二次型g(>i ,y2必)=M +展+4况+2yTy2.
93,
(I )求Q的值；
(II)求可逆矩阵P.
演 wsiB]
-210 ・第穴章二次型
4. （2022,数一，12分）已知二次型/'（工1，工2,工3）= ijXiXj,
i= 1 j=l
（I ）写出/（X1 9x2 ,x3）对应的矩阵；
（II）求正交变换x = Qy将/（e ,x2 >x3）化为标准形；
（HI）求,x2,13）= 0 的解.
二、二次叟的正定
廨题特粉
围绕正定的定义“ Vx尹0必有xTAx > 0”设计的试题一般难度较大，其中需用特征值（参看
2010年数一试题）、顺序主子式的考题是容易的.
复习时，注意考定义法的题（参看下面的解题加速度）
®解题加速度
1. （1997 ,数三，3 分）若二次型 f （工1 口2，Z3）= 2x1 + X2 + 房 + 2X1X2 +&2了3 是正定的，则 t
的取值范围是・
-211数学历年真题全精解析• （数学三）
2. （ 1999,数一，6分）设A为m阶实对称矩阵且正定，B为mXn实矩阵，日丁为B的转置矩阵，
试证-BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r（B） = n.
3. （ 1999,数三，7分）设A为znX”实矩阵，E为“阶单位矩阵，已知矩阵B = AE+ATA,试证:
当A > 0时，矩阵B为正定矩阵.
4. （2000,数三，9分）设有n元实二次型
/（•Z1，互，…，而）=（勾 +<21力）2 + （x2 +%无）2 + + （x^-l +arlX„）2 + （x„ +a,Zi ）2 ,
其中a,（i = 1,2,•••,«）为实数.试问：当,a2 ,,a„满足何种条件时，二次型f6 ,h，•- ,x„）为
正定二次型.
. 212 .第穴童二次型
C
5. (2005,数三，11 分)设。= 为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，72阶对称矩阵,C为
B.
mXn阶矩阵.
'Em -ATC-
(I )计算PTDP,其中P =
-O E„ -
(II)利用(I)的结果判断矩阵B-CTA C是否为正定矩阵，并证明你的结论.
三、会同矩阵
斌题特点
不是重点，填空题、选择题为主.
A ~ B<^)pA = pB ,qA = qB.
通过什么来确定正、负惯性指数？特征值！有时也可用配方法.
注意相似与合同的联系和区别.
(J；解题加速度
ri 21
1. (2008,数四，4分)设A = ，则在实数域上与A合同的矩阵为
-2 1 -
r- 2 17 「2 —21 「2 11
(A) (B) (C)
-1 — 2 J -— 1 2 J L1 2 -
-213 -数学历年真题全精解析• ■■(数学三)
2. (2001,数一，3 分)设 A =
(A)合同且相似.
(C)不合同但相似. (D)不合同且不相似.
■0 1 0 o-
1 0 0 0
3. (1996,数三，8分)设矩阵A =
0 0 y 1
0 0 1 2-
(I )已知A的一个特征值为3,试求
(II)求可逆矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵.
. 214 .第一章随机事件和概率
第三部分概率论与数理统计
第一章 K的亭料加率
本童导谟*
本章是概率论与数理统计的基础，近几年本章单独出的考题较少，平均2 - 3年一个小题，更
多地是作为基本知识点出现在后面各章的考题中，应该将本章有关的重点的基本概念、基本理论
和基本方法理解透彻和熟练掌握.
《试题特点*
本章的考题大多是选择题或填空题，考核重点为事件的关系和运算、概率的性质、概率的五大
公式(加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式)、古典概型和伯努利概型.
一部分考生对古典概型中的难题感到困难，其实考试大纲对古典概型和几何概型只要求会计
算一般难度的题型，所以不必刻意去做各种复杂的题型.
本章的选择题或填空题一般会综合3〜4个考点，计算量不太大.
■题分类练习
-、手件关系，撤率推质“玉关公式
[J(2009,7题,4分)设事件A与事件B互不相容，则
(A)P(AB) = 0. (B)P(AB) = P(A)P(B).
(C)P(A) = l-P(B). (D)P(A U B) = 1.
答题区
-215 -数学历年真题全精解析■(数学三) 》 , 条
0(2012,14题，4分)设A,B,C是随机事件,A与C互不相容，P(AB) = P(C) = •，则
乙 O
PCAB | C) =.
答题区
gJ(2014,7题,4分)设随机事件A与B相互独立，且P(B) = 0.5,P(A-B) = 0.3,则
P(B-A)=
(A)0. 1. (B)0.2. (00.3. (D)0.4.
答题区
日(2015,7题,4分)若A,B为任意两个随机事件，则
(A)P(AB) < P(A)P(B). (B)P(AB) > F(A)P(B).
(C)P(AB) V P(A),P(B). (D)P(AB) ｝丝具-)尹(叫
Li 乙
答题区
目(2016,7题,4分)设A,B为两个随机事件，且0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1,如果
P(A | B) = 1,则
(A)P(B | A) = 1. (B)F(A | B) = 0.
(C)P(A U B) = 1. (D)P(B | A) = L
答题区
-216 -第一章随机事件和概率
0(2017,7题,4分)设A,B,C为三个随机事件，且A与C相互独立,B与C相互独立，则A \JB
与C相互独立的充分必要条件是
(A)A与B相互独立. (B)A与B互不相容.
(C)AB与C相互独立. (D)AB与C互不相容.
答题区
股(2018,14题，4分)随机事件A,B,C相互独立，且P(A) = P(B) = P(C) = ■，则
乙
P(AC | A U B) =.
答题区
0(2019,7题,4分)设A,B为随机事件，则P(A) = P(B)的充分必要条件是
(A)P(A U B) = P(A) + P(B). (B)P(AB) = F(A)P(B).
(C)P(AB) = P(BA). (D)P(AB) = P(AB).
答题区
Q(2020,7 题，4 分)设 A,B,C 为三个随机事件，且 P(A) = P(B) = P(C) = §,P(AB)=
0,P(AC) = P(BC) = L，则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为
答题区
・217・► 数学历年真题全精解析(数学三)
皿(2021,8题,5分)设A,B为随机事件，且0 V P(B) < 1.下列命题中为假命题的是
(A) 若 P(A | B) = P(A),则 P(A | B) = P(A).
(B) 若 P(A | B) > P(A),则 P(A | B) > P(A).
(C) 若 P(A | B) > P(A | 百)，则 P(A | B) > P(A).
(D) 若 P(A | A (J B) > P(A | A U B),则 P(A) > P(B).
答题区
[f](2022,16题，5分)设A,B,C为随机事件，且A与B互不相容,A与C互不相容,B与C相
互独立，P(A) = P(B) = P(C) = §，则 P(B (J C | A U B U C) =.
答题区
d；
解题加速度
1. (1998,数四，3分)设A,B,C是三个相互独立的随机事件，且0 0,F(A | B) = 1,则必有
(A)P(A U B) > P(A). (B)F(A U B)> P(B).
(C)P(A U B) = P(A). (D)P(A U B)= P(B).
演
・ 219 -数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
第二章 随机冬量女矣分布
本章导谟
本章作为基础，渗透到后面的各章考题中，尤其是第三章多维随机变量及其分布，近几年的考
题大多集中在多维随机变量这一章中，尤其是多维随机变量函数的分布的考题近年考得较多，不
过要先打好一维随机变量的基础才能掌握多维随机变量.
试题特点
本章的考点：分布函数、分布律、概率密度，常考的一些分布的性质.这些考点常以选择题或填
空题的形式来考查.
随机变量函数的分布常出现在较大的解答题中.
真逾分类练习
0, •r V 0,
1
。（2010,7题,4分）设随机变量X的分布函数F&）=< 0 W z V 1,
~2"
.1 — e~ J , z 2 1,
则 P{X = 1}=
(A)0. (B)
(C) e~'- (D)l-e--1
u
答题区
・ 220 -第二章随机变量及其分布
■（2010,8题,4分）设f3 为标准正态分布的概率密度，力（工）为［一 1,3］上均匀分布的概
率密度，若
afx (x) , rcWO,
/(x)= r ,、 (a>0,6>0)
bf z (x) , z > 0,
为概率密度，则a,6应满足
(A)2a + 36=4. (B)3a + 26 = 4.
(C)a + 5=1. (D)a + 6 = 2.
答题区
恐(2013,7 题,4 分)设 Xi, Xz, X3 是随机变量，且 Xi 〜N(0,l),Xz 〜N(0,22),X3 〜N(5,
32)，A = P{—2 < X. V 2}(i = 1,2,3),则
(A) P\ > > 03. (B) pl > pl p3 .
(C)/>3 > Pl > Pi. (D)/>! > p3> p2.
答题区
日(2018,7题,4分)设随机变量X的概率密度八工)满足/(1+x) = /(1-x),且
/(x) Ax =0. 6,则 P{X V 0}=
0
(A)0.2. (B)0.3. (C)0.4. (D)0.5.
答题区
・221・am
数学历年真题全精解析• (数学三)
0(2019,8题,4分)设随机变量X与丫相互独立，且都服从正态分布N(“,/),则P{ | X —
y i 数学历年真题全精解析•■—（数学三） 劾
®2（）11,23题,11分）设二维随机变量（X,Y）服从区域G上的均匀分布，其中G是由工一
y =0,x + y = 2与/ = 0所围成的三角形区域.
（I）求X的概率密度fx（工）;
（□）求条件概率密度膈丫危I们.
答题区
E（2013,22题，11分）设（X,V）是二维随机变量，X的边缘概率密度为
-.、 （3x2 0）;
（皿）求 P{X>2Y}.
答题区
・228・第三章多维随机变量的分布
d；
解题加速度
（2004.数四，13分）设随机变量X在区间（0,1）内服从均匀分布，在X = x（0 1}.
. 229 .数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
第四章 随也堂堂的薮学将隹
本章导读
本章是概率论的重点之一，有相当多的考题涉及这章的内容.随机变量的数字特征，包括数学期
望、方差、矩、协方差、相关系数等，所有求这些数字特征的题都是在求随机变量函数的数学期望.
斌题特点》
本章的试题除了求一些给定随机变量的数学期望外，很多题的数学期望或方差的计算都与常
用分布有关.应该牢记常用分布的参数和它们的概率意义，有些常用分布的参数就是该随机变量
的数学期望或方差.也应该会用数字特征的基本性质，会求一般随机变量函数的数学期望.大纲要
求掌握切比雪夫不等式，但一般不会像考数学期望那样经常考.
b
真题分类练习
数学期望E（X）与方卷D（X）
口（2011,14题,4分）设二维随机变量（X,Y）服从正态分布N（ a" / ；0），则E（xy）=
答题区
❷（2012,23题，11分）设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为1的指数分布，记U =
max{X,y},V= min{X,Y）.
（I）求V的概率密度fvM;
（H）求 E（U + V）.
答题区
. 230 .<第四章随机变量的数字特征 £
§（2013,14题,4分）设随机变量X服从标准正态分布N（0,l）,则E（Xe，x）=.
答题区
日（2014,22题,11分）设随机变量X的概率分布为P{X= 1} = P{X = 2} = 在给定
X = i的条件下，随机变量Y服从均匀分布UCO,i）（i = 1,2）.
（I）求Y的分布函数F『3）；
（H）求 E（y）.
答题区
0（2015,22题，11分）设随机变量X的概率密度为
（2-5 2, x>0,
f\x）= < ,
I 0,
对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数.
（I）求V的概率分布；
（n）求 E（y）.
答题区
-231数学历年真题全精解析• ■■(数学三)
0(2016,8题,4分)设随机变量X与Y相互独立，且X〜N(1,2),Y〜N(l,4),则D(XY)=
(A)6. (B)8. (014. (D)15.
答题区
0(2017,14题,4分)设随机变量X的概率分布为P{X=—2} = §,P{X = 1} = a,
P{X = 3}=们若 E(X) = 0,则 D(X) =.
答题区
&(2017,22题，11分)设随机变量X,丫相互独立，且X的概率分布为P{X=0} =P{X = 2}
i (2y,0VyVl,
=齐,Y的概率密度为心)=： 甘%
Z I 0, 其他.
(I )求 P{Y E(X)-1) =.
答题区
. 232 .<四章随机变量的数字特征
皿(2020,14题,4分)设随机变量X的概率分布为P{X =姐=j^,k = 1,2,3,-. V表示X
被3除的余数，则E(Y) =.
答题区
[D(2021,22题，12分)在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为
X,较长一段的长度记为Y.令Z = ¥•
(I)求X的概率密度；
(□)求Z的概率密度；
(皿)求E修).
答题区
幽(2022,8题，5分)设随机变量X〜N(0,4),随机变量丫〜B(3,§),且X与Y不相关，则
D(X-3Y+1)=
(A)2. (B)4. (06. (D)10.
答题区
. 233 .数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
（1）
解题加速度
（ 1999,数一'.3分）设随机变量= 1,2,3,独立同分布，E（XQ = 2,则行列式
x„ X12 …X1”
X2I X22 - &
的数学期望e（y）=
二，5 卷 Cov(X,Y)
■（2010,23题，11分）箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1,2,3个.现从箱中随
机地取出2个球，记X为取出的红球个数,Y为取出的白球个数.
（I）求随机变量（X,Y）概率分布；
（口）求 Cov（X,Y）.
答题区
圜（2012,22题，11分）设二维离散型随机变量（X,Y）的概率分布为
4
0
3
0
・234・《 第四章随机变量的数字特征
(I )求 P{X = 2Y}；
(U)求 Cov(X-Y,Y).
答题区
[£(2018,22题，11分)设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X= 1} = P{X =
-1}=号,Y服从参数为;I的泊松分布.令Z= XY.
(I )求 Cov(X.Z)；
(H)求Z的概率分布.
答题区
困2022,10题，5分)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
y
0 2
0. 1 0. 1 b
a 0. 1 0. 1
・ 235 -数学历年真题全精解析・■■（数学三） 》
若事件{max(X,y} = 2)与事件{min{X,Y} = 1}相互独立，则 Cov(X,Y)=
(A)-0.6. (B)-0.36. (C)0. (D)0.48.
答题区
（I;
解题加速度
（2004,M— ,4分）设随机变量Xi ,X2, — ,X„（n > 1）独立同分布，且其方差为a2 > 0,
令丫 = ；fx,,则
(A)Cov(X1,y)= (B)Cov(X】,Y)
n
=廿鸟 7-2 +- 2。
(C)D(Xi +Y) 2 (D)D(Xi -Y)
n n
三、梅共系数
PXY
囱（ 2011,22题，11分）设随机变量X与丫的概率分布分别为
X o 1 y -1 0 1
1 2 1_ _1
P §京力 3~ ~3 ~3
且 P{X2 = Y2} = 1.
（I）求二维随机变量（x,y）的概率分布
. 236 .第四章随机变量的数字特征
（口）求Z = XY的概率分布；
（皿）求X与Y的相关系数
答题区
[g（2014,23题,11分）设随机变量X,Y的概率分布相同，X的概率分布为P{X = 0} =
P{X= 1} = 且X与Y的相关系数
O 乙
（I）求（x,y）的概率分布； ，
（口）求 P{X + Y<1}・
答题区
・ 237 -数宇垣年真题垒精解近• （数学三） 》
皿（2020,22题，11分）设二维随机变量（X,Y）在区域D= （（x,>） | 0<>< JTf｝上服
从均匀分布，令
=11, X-Y>0, = 11, X + Y > 0,
1 -（0, X-Y<0, 2 -（0, X + Y<0.
（I ）求二维随机变量（乙，乙）的概率分布；
（H）求乙与Z2的相关系数.
答题区
巫（2021,16题，5分）甲、乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观
察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令X,V分别表示从甲盒和从乙盒中取到的红球个数,
则X与Y的相关系数为.
答题区
. 238 .第五章大数定律和中心极限定理
第五章 大数宏律加中心柢彼宏理
本章内容不是考试的重点,2001年考过一次中心极限定理,2003年.2022年考过大数定律，本
章内容包括三个大数定律即切比雪夫大数定律，伯努利大数定律，辛钦大数定律；二个中心极限定
理即棣莫弗-拉普拉斯定理，列维-林德伯格定理.
本章试题大多是简单的选择题和填空题，只要把这些定律和定理的条件与结论记住就可以
了.2001年曾经有用中心极限定理来近似计算的解答题，但考试时不能使用计算器，因计算量过
大,这类考题近几年也不太多出现了.
(2022,9题,5分)设随机变量序列，…，X,,…独立同分布，且X】的概率密度为了愆)=
「一厂|, I ^<1,则当”_8时招依概率收敛于
(A) (B) 4-- (O 4-- (D)丰.
o b o Z
答题区
d；
解题加速度
1. (2002,数四，3分)设随机变量X「X2,…，X”相互独立，S” = X】+X2 + ・・・+X”，
则根据列维-林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理，当n充分大时，S”近似服从正态分布，只要
X】，X2,・・・，X”
・ 239 -数学历年真题全精解析• (数学三)
(A)有相同的数学期望. (B)有相同的方差.
(C)服从同一指数分布. (D)服从同一离散分布.
2. (2005.数四，4分)设Xi ,X2,-X„…为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为;1(义＞1)
的指数分布，记0(X)为标准正态分布函数，则
如］Xi —心 y^Xj — nX
(A) n l — i * m oo F« j = 1_________________ =g). (B) i limPx 〔 _ 胸 ____ __v ' x J r 中(i)・
A y/n
— n 、X,—人
(C) limP< 心 C ⑦(z). (D) limP〈±" l - =g).
n-*oo
VW VwA
演算空间
・ 240 -第六章数理统计的基本概念
第六个 数理伉寸的哀本梢L全
本■导焕
本章是数理统计的基础，也是考试重点之一.数理统计的基本概念包括总体、简单随机样本、
统计量、样本均值、样本方差等.特别对正态总体的分布及其性质应予以充分的注意，对于f分布、
z分布和F分布，要掌握这些分布对应随机变量的典型模式和它们参数的确定.
近几年数三的数理统计都只考一个小题，也就是5分的一个填空题或选择题，这个小题大多是
属本章的一些基本概念.一般说数理统计是历届考生的薄弱点，很多考生感到公式多不好记，其实
只要熟记一个总体的X,S2,E(X),D(X),E(S2)和，分布”分布,F分布的典型模式和参数，尤其
是正态总体抽样分布的一些性质就可以了.
真题分类练习
□(2010,14题,4分)设Xi ,Xz,…，X”是来自总体N(")(°>0)的简单随机样本.记统计
量 丁 = ,则 E(T) =.
答题区
|(2011,8题,4分)设总体X服从参数为；IQ > 0)的泊松分布,Xi ,X2,-,Xn(n > 2)为来
-^X,和 = -^-7 关X, +【X”,有
自该总体的简单随机样本.则对于统计量T,=
〃一 1 W n
1 = 1
(A)E(T1) >E(T2),D(T1) >D(T2). (B)E(Ti)>E(T2),D(T】)VD(T2).
(OECTJ D(T2). (D)E(TD VE(T2)，D(T】)VD(T2).
答题区
・241・数学历年真题全精解析• ■■(数学三)
§(2012,8题,4分)设Xi ,X2 ,X3 ,X4为来自总体N(l,/)( 0)的简单随机样本,则统计
量| xU X% 2 |的分布为
(A)N(0,l). (B)z(l). (C)X 2(1). (D)F(1,1).
答题区
11(2014,8题,4分)设X】,X2,X3为来自正态总体N(0,/)的简单随机样本，则统计量S =
服从的分布为
V2 | X3 I
(A)F(1,1). (B)F(2,1). (C)t(l). (D)t(2).
答题区
0(2014,14题,4分)设总体X的概率密度为
2x
00）的简单随机样本，令
次= **x’,s = [ 土*x,—Ws =.梢（ x ， f ，
则
（A）段"）〜t（n）. （B）而（傀二/〜£（”—】）•
（c）VK（x^u）_z（n）_ ①）应言*一产）〜 心一i）.
答题区
0（2021,9题,5分）设（X】，匕）,（X2 ,y2）,•••, （X, ,Y„）为来自总体Ng ,心澎,d ;p）的简单
随机样本.令。= 印一再，次=-SX,«Y X-Y,则
〃 1=1
(A)E(0)=们£>(2)=就土就. (B)E(0) = = °’ 3 —2 伊皿,
n n
(C)E(而尹。,D(3)=卒. （d）e（2） 丰 o,d（2）=尿 +打 曷竺.
答题区
・243・HMI
数学历年真题全精解析• (数学三)
第七章 参数枯衬
本章导谟
本章要求了解点估计、估计量与估计值的概念，掌握矩估计法和最大似然估计法.
■题特点
要掌握离散型和连续型两种不同形式的处理方法，尤其要会写出似然函数.
统计量的无偏性不属考试范围，但应该会求统计量的数学期望.
■题分类练习»
□(2009,14题,4分)设Xi，K，…，X“为来自二项分布总体B(n,们的简单随机样本，彳和罗
分别为样本均值和样本方差.记统计量T=X-S2,则E(T) =.
答题区
0(2013,23题，11分)设总体X的概率密度为
俨工
~3e 工， x > 0,
fg)= 0是未知参数,A是常数.X】,X2，…,X,是来自总体X的简单随机样本.
(I)求 A；
(U )求竖的最大似然估计量.
- 答题区
0(2020,23题，11分)设某种元件的使用寿命T的分布函数为
1 -厂3广， z三o,
F(z)=
0, 其他，
其中Lm为参数且大于零.
(I)求概率 P{T>t}与 P{T>s + t \ T>s},其中 s>0,« >0；
(U)任取儿个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 g,…，如,若s已知，求。的最大
似然估计值a
答题区
-247 -数学历年真题全精解析•—（数学三） 》
0（2021,10 题，5 分）设总体 X 的概率分布为 P{X = 1} =q*,F{X = 2} =P{X = 3}=
甲.利用来自总体X的样本值1,3,2,2,1,3,1,2,可得。的最大似然估计值为
4
（A） 4-. （B） 4- （C） （D）
吝.
4 o Z o
答题区
皿（2022,22题，12分）设X】,X2,-,X„为来自均值为0的指数分布总体的简单随机样本，匕，
丫2,…,为来自均值为2。的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中。（。〉0）是
未知参数.利用样本幺，乂2，・・・，乂”,丫1，丫2，・・・，丫说，求。的最大似然估计量6,并求。（初・
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金尊 代考研数学系列
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