文档内容
2016年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．2015年12月6日第十届全球孔子学院大会在上海召开，截止到会前，网络孔子学院注册
用户达800万人，数据800万人用科学记数法表示为 人．
2．在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
3．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一
个条件 ，使四边形DBCE是矩形．
4．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的4个红球，3个白球，2个绿球，则摸出
绿球的概率是 ．
5．不等式组 有3个整数解，则m的取值范围是 ．
6．一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是
元．
7．如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上
的一个动点，则PA+PB的最小值为 ．
8．小丽在手工制作课上，想用扇形卡纸制作一个圣诞帽，卡纸的半径为30cm，面积为
300πcm2，则这个圣诞帽的底面半径为 cm．
9．已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE= AD，连接CE交BD于点F，则
EF：FC的值是 ．
10．如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平
移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标
为 ．
第1页（共28页）二、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
11．下列运算中，计算正确的是（ ）
A．2a•3a=6a B．（3a2）3=27a6
C．a4÷a2=2a D．（a+b）2=a2+ab+b2
12．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，由5块完全相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在
该位置小正方体的个数，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
14．一次招聘活动中，共有8人进入复试，他们的复试成绩（百分制）如下：70，100，90，80，
70，90，90，80．对于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是80 B．众数是90 C．中位数是80 D．极差是70
15．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水
平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴
影部分），则s与t的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
第2页（共28页）16．关于x的分式方程 =3的解是正数，则字母m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＞﹣3 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3
17．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的面积为（ ）
A．2+ B． C．2+ 或2﹣ D．4+2 或2﹣
18．已知反比例函数y= ，当1＜x＜3时，y的最小整数值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
19．为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把5m长的彩绳截成
2m或1m的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
20．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF
沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（ ）
①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP= ；④S =2S ．
四边形ECFG △BGE
A．4 B．3 C．2 D．1
三、解答题（满分60分）
21．先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中x=4﹣tan45°．
22．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（﹣1，3）、（﹣4，1）（﹣2，1），先将
△ABC沿一确定方向平移得到△A B C ，点B的对应点B 的坐标是（1，2），再将△A B C
1 1 1 1 1 1 1
绕原点O顺时针旋转90°得到△A B C ，点A 的对应点为点A ．
2 2 2 1 2
（1）画出△A B C ；
1 1 1
（2）画出△A B C ；
2 2 2
（3）求出在这两次变换过程中，点A经过点A 到达A 的路径总长．
1 2
第3页（共28页）23．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛
物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及
点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．
24．某学校为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑
体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）求本次测试共调查了多少名学生？
（2）求本次测试结果为B等级的学生数，并补全条形统计图；
（3）若该中学八年级共有900名学生，请你估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生
有多少人？
25．甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，两车离开A城的距离y与t的对应关系
如图所示：
（1）A、B两城之间距离是多少千米？
（2）求乙车出发多长时间追上甲车？
（3）直接写出甲车出发多长时间，两车相距20千米．
第4页（共28页）26．已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重
合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．
（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）
（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、
AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．
27．某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的
足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A钟品牌的足球多花
30元．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元．
（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50
个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足
球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过
第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购
买方案？
（3）请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
28．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C
在第四象限，点B在x轴的正半轴上．∠OAB=90°且OA=AB，OB，OC的长分别是一元二次
方程x2﹣11x+30=0的两个根（OB＞OC）．
（1）求点A和点B的坐标．
（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直
线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长
度为m．已知t=4时，直线l恰好过点C．当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式．
（3）当m=3.5时，请直接写出点P的坐标．
第5页（共28页）第6页（共28页）2016 年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．2015年12月6日第十届全球孔子学院大会在上海召开，截止到会前，网络孔子学院注册
用户达800万人，数据800万人用科学记数法表示为 8×1 0 6 人．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将800万用科学记数法表示为：8×106．
故答案为：8×106．
2．在函数y= 中，自变量x的取值范围是 x≥ 2 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
3x﹣6≥0，
解得x≥2，
故答案为：x≥2．
3．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一
个条件 EB=DC ，使四边形DBCE是矩形．
【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．
【分析】利用平行四边形的判定与性质得到四边形DBCE为平行四边形，结合“对角线相等
的平行四边形为矩形”来添加条件即可．
【解答】解：添加EB=DC．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴DE∥BC，
又∵DE=AD，
∴DE=BC，
∴四边形DBCE为平行四边形．
又∵EB=DC，
∴四边形DBCE是矩形．
故答案是：EB=DC．
第7页（共28页）4．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的4个红球，3个白球，2个绿球，则摸出
绿球的概率是 ．
【考点】概率公式．
【分析】由在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的4个红球，3个白球，2个绿球，
直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的4个红球，3个白球，2个绿
球，
∴摸出绿球的概率是： = ．
故答案为： ．
5．不等式组 有3个整数解，则m的取值范围是 2 ＜ x≤ 3 ．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】首先确定不等式组的整数解，然后根据只有这三个整数解即可确定．
【解答】解：不等式的整数解是0，1，2．则m的取值范围是2＜x≤3．
故答案是：2＜x≤3．
6．一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是 18 0 元．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设该件服装的成本价是x元．根据“利润=标价×折扣﹣进价”即可得出关于x的一
元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设该件服装的成本价是x元，
依题意得：300× ﹣x=60，
解得：x=180．
∴该件服装的成本价是180元．
故答案为：180．
7．如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上
的一个动点，则PA+PB的最小值为 2 ．
第8页（共28页）【考点】轴对称-最短路线问题；圆周角定理．
【分析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB
的最小值，由对称的性质可知 = ，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股
定理即可求解．
【解答】解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为
PA+PB的最小值，
连接OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线MN对称，
∴ = ，
∵∠AMN=40°，
∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，
∴∠A′OB=120°，
过O作OQ⊥A′B于Q，
在Rt△A′OQ中，OA′=2，
∴A′B=2A′Q=2 ，
即PA+PB的最小值2 ．
故答案为：2 ．
8．小丽在手工制作课上，想用扇形卡纸制作一个圣诞帽，卡纸的半径为30cm，面积为
300πcm2，则这个圣诞帽的底面半径为 1 0 cm．
【考点】圆锥的计算．
【分析】由圆锥的几何特征，我们可得用半径为30cm，面积为300πcm2的扇形卡纸制作一个
圣诞帽，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求得圆锥的底面圆的半径．
【解答】解：设卡纸扇形的半径和弧长分别为R、l，圣诞帽底面半径为r，
则由题意得R=30，由 Rl=300π得l=20π；
第9页（共28页）由2πr=l得r=10cm．
故答案是：10．
9．已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE= AD，连接CE交BD于点F，则
EF：FC的值是 或 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】分两种情况：①当点E在线段AD上时，由四边形ABCD是平行四边形，可证得
△EFD∽△CFB，求出DE：BC=2：3，即可求得EF：FC的值；
②当当点E在射线DA上时，同①得：△EFD∽△CFB，求出DE：BC=4：3，即可求得EF：FC的
值．
【解答】解：∵AE= AD，
∴分两种情况：
①当点E在线段AD上时，如图1所示
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△EFD∽△CFB，
∴EF：FC=DE：BC，
∵AE= AD，
∴DE=2AE= AD= BC，
∴DE：BC=2：3，
∴EF：FC=2：3；
②当点E在线段DA的延长线上时，如图2所示：
同①得：△EFD∽△CFB，
∴EF：FC=DE：BC，
∵AE= AD，
∴DE=4AE= AD= BC，
∴DE：BC=4：3，
∴EF：FC=4：3；
第10页（共28页）综上所述：EF：FC的值是 或 ；
故答案为： 或 ．
10．如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平
移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标
为 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移．
【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴上方，然后求出点A纵坐标，再根据平移的距离求
出点A变换后的横坐标，最后写出即可．
【解答】解：解：∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2，
∴点C到x轴的距离为1+2× = +1，
横坐标为2，
∴A（2， +1），
第2016次变换后的三角形在x轴上方，
点A的纵坐标为 +1，
横坐标为2+2016×1=2018，
所以，点A的对应点A′的坐标是，
第11页（共28页）故答案为：．
二、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
11．下列运算中，计算正确的是（ ）
A．2a•3a=6a B．（3a2）3=27a6
C．a4÷a2=2a D．（a+b）2=a2+ab+b2
【考点】整式的混合运算．
【分析】分别利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、完全平方公式、单项式乘
以单项式运算法则化简求出答案．
【解答】解：A、2a•3a=6a2，故此选项错误；
B、（3a2）3=27a6，正确；
C、a4÷a2=2a2，故此选项错误；
D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；
故选：B．
12．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度
后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；
B、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部
分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，又是中心对称图形．故此选项正确．
故选：D．
13．如图，由5块完全相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在
该位置小正方体的个数，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．
【分析】由已知条件可知，主视图有2列，每列小正方数形数目分别为3，1，从而确定正确的
选项．
第12页（共28页）【解答】解：由分析得该组合体的主视图为：
故选B．
14．一次招聘活动中，共有8人进入复试，他们的复试成绩（百分制）如下：70，100，90，80，
70，90，90，80．对于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是80 B．众数是90 C．中位数是80 D．极差是70
【考点】极差；算术平均数；中位数；众数．
【分析】根据表中数据，分别利用中位数、众数、极差、平均数的定义即可求出它们，然后就可
以作出判断．
【解答】解：依题意得众数为90；
中位数为 （80+90）=85；
极差为100﹣70=30；
平均数为 （70×2+80×2+90×3+100）=83.75．故B正确．
故选B．
15．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水
平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴
影部分），则s与t的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿
水平线从左向右匀速穿过正方形可知，当0≤t≤ 时，以及当 ＜t≤2时，当2＜t≤3时，求出
函数关系式，即可得出答案．
【解答】解：∵直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形
沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为
s，
∴s关于t的函数大致图象应为：三角形进入正方形以前s增大，
第13页（共28页）当0≤t≤ 时，s= ×1×1+2×2﹣ = ﹣ t2；
当 ＜t≤2时，s= ×12= ；
当2＜t≤3时，s= ﹣ （3﹣t）2= t2﹣3t，
∴A符合要求，故选A．
16．关于x的分式方程 =3的解是正数，则字母m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＞﹣3 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m的范围即可．
【解答】解：分式方程去分母得：2x﹣m=3x+3，
解得：x=﹣m﹣3，
由分式方程的解为正数，得到﹣m﹣3＞0，且﹣m﹣3≠﹣1，
解得：m＜﹣3，
故选D
17．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的面积为（ ）
A．2+ B． C．2+ 或2﹣ D．4+2 或2﹣
【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质．
【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可以
求出不同情况下△ABC的面积，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，如右图所示，
存在两种情况，
当△ABC为△A BC时，连接OB、OC，
1
∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA ⊥BC于点D，
1
∴CD=1，OD= ，
∴ =2﹣ ，
当△ABC为△A BC时，连接OB、OC，
2
∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA ⊥BC于点D，
1
第14页（共28页）∴CD=1，OD= ，
∴S = = =2+ ，
△A2BC
由上可得，△ABC的面积为 或2+ ，
故选C．
18．已知反比例函数y= ，当1＜x＜3时，y的最小整数值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数系数k＞0，结合反比例函数的性质即可得知该反比例函数在x＞0中
单调递减，再结合x的取值范围，可得出y的取值范围，取其内的最小整数，本题得解．
【解答】解：在反比例函数y= 中k=6＞0，
∴该反比例函数在x＞0内，y随x的增大而减小，
当x=3时，y= =2；当x=1时，y= =6．
∴当1＜x＜3时，2＜y＜6．
∴y的最小整数值是3．
故选A．
19．为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把5m长的彩绳截成
2m或1m的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二元一次方程的应用．
【分析】截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长9米时，不造成浪费，设截成2米长
的彩绳x根，1米长的y根，由题意得到关于x与y的方程，求出方程的正整数解即可得到结
果．
【解答】解：截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长5米时，不造成浪费，
设截成2米长的彩绳x根，1米长的y根，
由题意得，2x+y=5，
第15页（共28页）因为x，y都是正整数，所以符合条件的解为：
、 、 ，
则共有3种不同截法，
故选：C．
20．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF
沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（ ）
①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP= ；④S =2S ．
四边形ECFG △BGE
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】四边形综合题．
【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到①AE=BF；
②AE⊥BF；△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QB，根据
正弦的定义即可求解；根据AA可证△BGE与△BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似
三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF=BE，
在△ABE和△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正确；
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
令PF=k（k＞0），则PB=2k
第16页（共28页）在Rt△BPQ中，设QB=x，
∴x2=（x﹣k）2+4k2，
∴x= ，
∴sin=∠BQP= = ，故③正确；
∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，
∴△BGE∽△BCF，
∵BE= BC，BF= BC，
∴BE：BF=1： ，
∴△BGE的面积：△BCF的面积=1：5，
∴S =4S ，故④错误．
四边形ECFG △BGE
故选：B．
三、解答题（满分60分）
21．先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中x=4﹣tan45°．
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．
【分析】先算括号里面的，再算除法，求出x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式= •
= ，
当x=4﹣tan45°=4﹣1=3时，原式= = ．
22．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（﹣1，3）、（﹣4，1）（﹣2，1），先将
△ABC沿一确定方向平移得到△A B C ，点B的对应点B 的坐标是（1，2），再将△A B C
1 1 1 1 1 1 1
绕原点O顺时针旋转90°得到△A B C ，点A 的对应点为点A ．
2 2 2 1 2
（1）画出△A B C ；
1 1 1
（2）画出△A B C ；
2 2 2
（3）求出在这两次变换过程中，点A经过点A 到达A 的路径总长．
1 2
第17页（共28页）【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【分析】（1）由B点坐标和B 的坐标得到△ABC向右平移5个单位，再向上平移1个单位得
1
到△A B C ，则根据点平移的规律写出A 和C 的坐标，然后描点即可得到△A B C ；
1 1 1 1 1 1 1 1
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A 的对应点为点A ，点B 的对应点为点B ，点C 的
1 2 1 2 1
对应点为点C ，从而得到△A B C ；
2 2 2 2
（3）先利用勾股定理计算平移的距离，再计算以OA 为半径，圆心角为90°的弧长，然后把它
1
们相加即可得到这两次变换过程中，点A经过点A 到达A 的路径总长．
1 2
【解答】解：（1）如图，△A B C 为所作；
1 1 1
（2）如图，△A B C 为所作；
2 2 2
（3）OA= =4 ，
点A经过点A 到达A 的路径总长= + = +2 π．
1 2
23．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛
物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及
点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．
第18页（共28页）【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析
式．
【分析】（1）先利用待定系数法先求出m，再求出点B坐标，利用方程组求出太阳还是解析式．
（2）根据二次函数的图象在一次函数的图象上面即可写出自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），
∴0=1+m，
∴m=﹣1，
∴抛物线解析式为y=（x+2）2﹣1=x2+4x+3，
∴点C坐标（0，3），
∵对称轴x=﹣2，B、C关于对称轴对称，
∴点B坐标（﹣4，3），
∵y=kx+b经过点A、B，
∴ ，解得 ，
∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1，
（2）由图象可知，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x＜﹣4或x＞﹣1．
24．某学校为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑
体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）求本次测试共调查了多少名学生？
第19页（共28页）（2）求本次测试结果为B等级的学生数，并补全条形统计图；
（3）若该中学八年级共有900名学生，请你估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生
有多少人？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）设本次测试共调查了x名学生，根据总体、个体、百分比之间的关系列出方程即
可解决．
（2）用总数减去A、C、D中的人数，即可解决，画出条形图即可．
（3）用样本估计总体的思想解决问题．
【解答】解：（1）设本次测试共调查了x名学生．
由题意x•20%=10，
x=50．
∴本次测试共调查了50名学生．
（2）测试结果为B等级的学生数=50﹣10﹣16﹣6=18人．
条形统计图如图所示，
（3）∵本次测试等级为D所占的百分比为 =12%，
∴该中学八年级共有900名学生中测试结果为D等级的学生有900×12%=108人．
25．甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，两车离开A城的距离y与t的对应关系
如图所示：
（1）A、B两城之间距离是多少千米？
（2）求乙车出发多长时间追上甲车？
（3）直接写出甲车出发多长时间，两车相距20千米．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据图象即可得出结论．
（2）先求出甲乙两人的速度，再列出方程即可解决问题．
第20页（共28页）（3）根据y ﹣y =20或y ﹣y =20，列出方程即可解决．
甲 乙 乙 甲
【解答】解：（1）由图象可知A、B两城之间距离是300千米．
（2）设乙车出发x小时追上甲车．
由图象可知，甲的速度= =60千米/小时．
乙的速度= =75千米/小时．
由题意（75﹣60）x=60
解得x=4小时．
（3）设y =kx+b，则 解得 ，
甲
∴y =60x﹣300，
甲
设y =k′x+b′，则 ，解得 ，
乙
∴y =100x﹣600，
乙
∵两车相距20千米，
∴y ﹣y =20或y ﹣y =20或y =20或y =280，
甲 乙 乙 甲 甲 甲
即60x﹣300﹣=20或100x﹣600﹣（60x﹣300）=20或60x﹣300=20或60x﹣300=280
解得x=7或8或 或 ，
∵7﹣5=2，8﹣5=3， ﹣5= ， ﹣ 5=
∴甲车出发2小时或3小时或 小时或 小时，两车相距20千米．
26．已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重
合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．
（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）
第21页（共28页）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、
AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．
（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG
是等边三角形，即可解决问题．
图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．
【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF．
（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．
图3中的结论为：CF=OE﹣AE．
选图2中的结论证明如下：
延长EO交CF于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠GCO，
在△EOA和△GOC中，
，
∴△EOA≌△GOC，
∴EO=GO，AE=CG，
在RT△EFG中，∵EO=OG，
∴OE=OF=GO，
∵∠OFE=30°，
∴∠OFG=90°﹣30°=60°，
∴△OFG是等边三角形，
∴OF=GF，
第22页（共28页）∵OE=OF，
∴OE=FG，
∵CF=FG+CG，
∴CF=OE+AE．
选图3的结论证明如下：
延长EO交FC的延长线于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠AEO=∠G，
在△AOE和△COG中，
，
∴△AOE≌△COG，
∴OE=OG，AE=CG，
在RT△EFG中，∵OE=OG，
∴OE=OF=OG，
∵∠OFE=30°，
∴∠OFG=90°﹣30°=60°，
∴△OFG是等边三角形，
∴OF=FG，
∵OE=OF，
∴OE=FG，
∵CF=FG﹣CG，
∴CF=OE﹣AE．
第23页（共28页）27．某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的
足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A钟品牌的足球多花
30元．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元．
（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50
个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足
球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过
第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购
买方案？
（3）请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据“总费用=买
A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球单价比A种足球贵30元”可得出关于x、y
的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B中足球（50﹣m）个，根据“总费用=买A种足球
费用+买B种足球费用，以及B种足球不小于23个”可得出关于m的一元一次不等式组，解
不等式组可得出m的取值范围，由此即可得出结论；
（3）分析第二次购买时，A、B种足球的单价，即可得出那种方案花钱最多，求出花费最大值
即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，
依题意得： ，解得： ．
答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元．
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B中足球（50﹣m）个，
依题意得： ，
解得：25≤m≤27．
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买A种足球25个，B种足球25个；
方案二：购买A种足球26个，B种足球24个；
方案三：购买A种足球27个，B种足球23个．
（3）∵第二次购买足球时，A种足球单价为50+4=54（元），B种足球单价为80×0.9=72（元），
∴当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多．
∴25×54+25×72=3150（元）．
答：学校在第二次购买活动中最多需要3150元资金．
28．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C
在第四象限，点B在x轴的正半轴上．∠OAB=90°且OA=AB，OB，OC的长分别是一元二次
方程x2﹣11x+30=0的两个根（OB＞OC）．
（1）求点A和点B的坐标．
第24页（共28页）（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直
线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长
度为m．已知t=4时，直线l恰好过点C．当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式．
（3）当m=3.5时，请直接写出点P的坐标．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）先利用因式分解法解方程x2﹣11x+30=0可得到OB=6，OC=5，则B点坐标为（6，
0），作AM⊥x轴于M，如图，利用等腰直角三角形的性质得OM=BM=AM= OB=3，于是可
写出B点坐标；
（2）作CN⊥x轴于N，如图，先利用勾股定理计算出CN得到C点坐标为（4，﹣3），再利用待
定系数法分别求出直线OC的解析式为y=﹣ x，直线OA的解析式为y=x，则根据一次函数
图象上点的坐标特征得到Q（t，t），R（t，﹣ t），所以QR=t﹣（﹣ t），从而得到m关于t的函
数关系式．
（3）利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣x+6，直线BC的解析式为y= x﹣9，然后
分类讨论：当0＜t＜3时，利用 t=3.5可求出t得到P点坐标；
当3≤t＜4时，则Q（t，﹣t+6），R（t，﹣ t），于是得到﹣t+6﹣（﹣ t）=3.5，解得t=10，不满足t
的范围舍去；当4≤t＜6时，则Q（t，﹣t+6），R（t， t﹣9），所以﹣t+6﹣（ t﹣9）=3.5，然后解
方程求出t得到P点坐标．
【解答】解：（1）∵方程x2﹣11x+30=0的解为x =5，x =6，
1 2
∴OB=6，OC=5，
第25页（共28页）∴B点坐标为（6，0），
作AM⊥x轴于M，如图，
∵∠OAB=90°且OA=AB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴OM=BM=AM= OB=3，
∴B点坐标为（3，3）；
（2）作CN⊥x轴于N，如图，
∵t=4时，直线l恰好过点C，
∴ON=4，
在Rt△OCN中，CN= = =3，
∴C点坐标为（4，﹣3），
设直线OC的解析式为y=kx，
把C（4，﹣3）代入得4k=﹣3，解得k=﹣ ，
∴直线OC的解析式为y=﹣ x，
设直线OA的解析式为y=ax，
把A（3，3）代入得3a=3，解得a=1，
∴直线OA的解析式为y=x，
∵P（t，0）（0＜t＜3），
∴Q（t，t），R（t，﹣ t），
∴QR=t﹣（﹣ t）= t，
即m= t（0＜t＜3）；
（3）设直线AB的解析式为y=px+q，
把A（3，3），B（6，0）代入得 ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6，
同理可得直线BC的解析式为y= x﹣9，
第26页（共28页）当0＜t＜3时，m= t，若m=3.5，则 t=3.5，解得t=2，此时P点坐标为（2，0）；
当3≤t＜4时，Q（t，﹣t+6），R（t，﹣ t），
∴m=﹣t+6﹣（﹣ t）=﹣ t+6，若m=3.5，则﹣ t+6=3.5，解得t=10（不合题意舍去）；
当4≤t＜6时，Q（t，﹣t+6），R（t， t﹣9），
∴m=﹣t+6﹣（ t﹣9）=﹣ t+15，若m=3.5，则﹣ t+15=3.5，解得t= ，此时P点坐标为（
，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（2，0）或（ ，0）．
第27页（共28页）2016年7月12日
第28页（共28页）
