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2017 年山东省青岛市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣ 的相反数是（ ）
A．8B．﹣8 C． D．﹣
2．（3分）下列四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中
错误的（ ）
A．众数是6吨 B．平均数是5吨 C．中位数是5吨 D．方差是
4．（3分）计算6m6÷（﹣2m2）3的结果为（ ）
A．﹣mB．﹣1 C． D．﹣
5．（3分）如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°，则顶点B的对应点B 的坐标
1
为（ ）
第1页（共34页）A．（﹣4，2）B．（﹣2，4）C．（4，﹣2）D．（2，﹣4）
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的
度数为（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
7．（3分）如图， ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB=
，AC=2，BD=4，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（﹣1，﹣4），B（2，2）两点，P为反
比例函数y= 图象上一动点，O为坐标原点，过点P作y轴的垂线，垂足为C，则
△PCO的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．不确定
第2页（共34页）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）近年来，国家重视精准扶贫，收效显著，据统计约65000000人脱贫，
65000000用科学记数法可表示为 ．
10．（3分）计算：（ + ）× = ．
11．（3分）若抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是 ．
12．（3分）如图，直线AB，CD分别与⊙O相切于B，D两点，且AB⊥CD，垂足为P，
连接BD，若BD=4，则阴影部分的面积为 ．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连
接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为 度．
14．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何
体的表面积为 ．
第3页（共34页）三、解答题（本大题共4分）
15．（4分）已知：四边形ABCD．
求作：点P，使∠PCB=∠B，且点P到边AD和CD的距离相等．
三、解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（8分）（1）解不等式组：
（2）化简：（ ﹣a）÷ ．
17．（6分）小华和小军做摸球游戏：A袋装有编号为1，2，3的三个小球，B袋装有
编号为4，5，6的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同．从两个袋子中分
别随机摸出一个小球，若B袋摸出小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为偶数
则小华胜，否则小军胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
18．（6分）某中学开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生
进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①
②的统计图，已知“查资料”的人数是40人．
第4页（共34页）请你根据以上信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角度数是 度；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有学生1200人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）
的人数．
19．（6分）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B
地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°
方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．
（结果保留整数）
（参考数据：sin67°≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈ ， ≈1.73）
第5页（共34页）20．（8分）A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中
l ，l 表示两人离A地的距离（s km）与时间（t h）的关系，请结合图象解答下列问题：
1 2
（1）表示乙离A地的距离与时间关系的图象是 （填l 或l ）；
1 2
甲的速度是 km/h，乙的速度是 km/h；
（2）甲出发多少小时两人恰好相距5km？
21．（8分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连
接CE，CF，OE，OF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
22．（10分）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格
第6页（共34页）比淡季上涨 ．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：
淡季 旺季
未入住房间数 10 0
日总收入（元） 24000 40000
（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？
（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去
年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入
住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪
华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？
23．（10分）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转
化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在
解决代数问题中的应用．
探究一：求不等式|x﹣1|＜2的解集
（1）探究|x﹣1|的几何意义
如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应的数是x﹣1，有绝对值的定义可知，
点A′与点O的距离为|x﹣1|，可记为A′O=|x﹣1|．将线段A′O向右平移1个单位
得到线段AB，此时点A对应的数是x，点B对应的数是1．因为AB=A′O，所以AB=|
x﹣1|，因此，|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的
点B之间的距离AB．
（2）求方程|x﹣1|=2的解
因为数轴上3和﹣1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为 2，所以方程的
解为3，﹣1．
（3）求不等式|x﹣1|＜2的解集
第7页（共34页）因为|x﹣1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式
解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围．
请在图②的数轴上表示|x﹣1|＜2的解集，并写出这个解集．
探究二：探究 的几何意义
（1）探究 的几何意义
如图③，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作
MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为（x，0），Q点坐标为（0，y），OP=|x|，OQ=|y|，在
Rt△OPM中，PM=OQ=|y|，则MO= = = ，因此，
的几何意义可以理解为点M（x，y）与点O（0，0）之间的距离MO．
（2）探究 的几何意义
如图④，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究二（1）可知，A′O=
，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到
线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），因为AB=A′O，所以AB=
，因此 的几何意义可以理解为点A（x，y）与点
B（1，5）之间的距离AB．
（3）探究 的几何意义
请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程．
（4） 的几何意义可以理解为： ．
拓展应用：
（1） + 的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点
E（2，﹣1）的距离和点A（x，y）与点F （填写坐标）的距离之和．
第8页（共34页）（2） + 的最小值为 （直接写出结果）
24．（12分）已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B
（P），C在同一直线上，AB=EF=6cm，BC=FP=8cm，∠EFP=90°，如图②，△EFP从图①
的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，EP与AB交于点G；同时，点Q
从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM⊥BD，垂足为H，
交AD于点M，连接AF，FQ，当点Q停止运动时，△EFQ也停止运动．设运动时间
为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BD？
（2）设五边形AFPQM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S ：S =9：8？若存在，求
五边形AFPQM 矩形ABCD
第9页（共34页）出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段PG的垂直平分线上？若
存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2017 年山东省青岛市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2017•青岛）﹣ 的相反数是（ ）
A．8B．﹣8 C． D．﹣
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣ 的相反数是 ，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上
“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是
0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（3分）（2017•青岛）下列四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的
是（ ）
第10页（共34页）A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键
是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋
转180度后两部分重合．
3．（3分）（2017•青岛）小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，
下列说法中错误的（ ）
A．众数是6吨 B．平均数是5吨 C．中位数是5吨 D．方差是
【分析】根据众数、平均数、中位数和方差的定义计算各量，然后对各选项进行判
断．
【解答】解：这组数据的众数为6吨，平均数为5吨，中位数为5.5吨，方差为 ．
故选C．
【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，
则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越
小，稳定性越好．也考查了平均数、众数、中位数．
第11页（共34页）4．（3分）（2017•青岛）计算6m6÷（﹣2m2）3的结果为（ ）
A．﹣mB．﹣1 C． D．﹣
【分析】根据整式的除法法则即可求出答案．
【解答】解：原式=6m6÷（﹣8m6）
=﹣
故选（D）
【点评】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的除法法则，本题属于
基础题型．
5．（3分）（2017•青岛）如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°，则顶点B的对应
点B 的坐标为（ ）
1
A．（﹣4，2）B．（﹣2，4）C．（4，﹣2）D．（2，﹣4）
【分析】利用网格特征和旋转的性质，分别作出A、B、C的对应点A 、B 、C ，于是得
1 1 1
到结论．
【解答】解：如图，点B 的坐标为（﹣2，4），
1
故选B．
第12页（共34页）【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于
旋转角，对应线段也相等．
6．（3分）（2017•青岛）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若
∠AED=20°，则∠BCD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
【分析】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB=90°，∠ACD=20°，即可求
∠BCD的度数．
【解答】解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠AED=20°，
∴∠ACD=20°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°，
故选B．
第13页（共34页）【点评】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角
相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．（3分）（2017•青岛）如图， ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂
足为E，AB= ，AC=2，BD=4，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，所以平行四边形ABCD
的面积即可求出．
【解答】解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO= AC=1，BO= BD=2，
∵AB= ，
∴AB2+AO2=BO2，
∴∠BAC=90°，
∵在Rt△BAC中，BC= = =
S = ×AB×AC= ×BC×AE，
△BAC
∴ ×2= AE，
∴AE= ，
故选D．
第14页（共34页）【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角
三角形是解此题的关键．
8．（3分）（2017•青岛）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（﹣1，﹣4），B（2，2）
两点，P为反比例函数y= 图象上一动点，O为坐标原点，过点P作y轴的垂线，
垂足为C，则△PCO的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．不确定
【分析】根据待定系数法，可得k，b，根据反比例函数图象上的点垂直于坐标轴得
到的三角形的面积等于|k|的一半，可得答案．
【解答】解：将A（﹣1，﹣4），B（2，2）代入函数解析式，得
，
解得 ，
P为反比例函数y= 图象上一动点，
反比例函数的解析式y= ，
P为反比例函数y= 图象上一动点，O为坐标原点，过点P作y轴的垂线，垂足为
C，
则△PCO的面积为 |k|=2，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上的
点垂直于坐标轴得到的三角形的面积等于|k|的一半
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）（2017•青岛）近年来，国家重视精准扶贫，收效显著，据统计约
65000000人脱贫，65000000用科学记数法可表示为 6. 5 × 1 0 7 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
第15页（共34页）定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：65000000=6.5×107，
故答案为：6.5×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（3分）（2017•青岛）计算：（ + ）× = 1 3 ．
【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根
式的乘法运算即可．
【解答】解：原式=（2 + ）×
= ×
=13．
故答案为13．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，
然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
11．（3分）（2017•青岛）若抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围
是 m ＞ 9 ．
【分析】利用根的判别式△＜0列不等式求解即可．
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点，
∴△=b2﹣4ac＜0，
∴（﹣6）2﹣4×1•m＜0，
解得m＞9，
∴m的取值范围是m＞9．
故答案为：m＞9．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题
的关键．
第16页（共34页）12．（3分）（2017•青岛）如图，直线AB，CD分别与⊙O相切于B，D两点，且
AB⊥CD，垂足为P，连接BD，若BD=4，则阴影部分的面积为 2π﹣ 4 ．
【分析】连接OB、OD，根据切线的性质和垂直得出∠OBP=∠P=∠ODP=90°，求出四
边形 BODP 是正方形，根据正方形的性质得出∠BOD=90°，求出扇形 BOD 和
△BOD的面积，即可得出答案．
【解答】解：
连接OB、OD，
∵直线AB，CD分别与⊙O相切于B，D两点，AB⊥CD，
∴∠OBP=∠P=∠ODP=90°，
∵OB=OD，
∴四边形BODP是正方形，
∴∠BOD=90°，
∵BD=4，
∴OB= =2 ，
∴阴影部分的面积S=S ﹣S = ﹣ =2π﹣4，
扇形BOD △BOD
故答案为：2π﹣4．
【点评】本题考查了切线的性质、扇形的面积计算等知识点，能分别求出扇形BOD
和△BOD的面积是解此题的关键．
第17页（共34页）13．（3分）（2017•青岛）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线
AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为 3 2 度．
【分析】根据已知条件得到点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，
根据圆周角定理得到∠DEB=116°，根据直角三角形的性质得到DE=BE= AC，根据
等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，
∵∠BAD=58°，
∴∠DEB=116°，
∵DE=BE= AC，
∴∠EBD=∠EDB=32°，
故答案为：32．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，圆周角定理，推出A，B，C，D
四点共圆是解题的关键．
14．（3分）（2017•青岛）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边
形，则该几何体的表面积为 4 8 + 1 2 ．
第18页（共34页）【分析】观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱，然后根据提供的尺寸
求得其表面积即可．
【解答】解：观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱，其底面边长为2，
高为4，
故其边心距为 ，
所以其表面积为2×4×6+2× ×6×2× =48+12 ，
故答案为：48+12 ．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够根据三视图
判断几何体的形状及各部分的尺寸，难度不大．
三、解答题（本大题共4分）
15．（4分）（2017•青岛）已知：四边形ABCD．
求作：点P，使∠PCB=∠B，且点P到边AD和CD的距离相等．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知：到边AD和CD的距离相
等的点在∠ADC 的平分线上，所以第一步作∠ADC 的平分线 DE，要想满足
∠PCB=∠B，则作CP∥AB，得到点P．
【解答】解：作法：①作∠ADC的平分线DE，
②过C作CP∥AB，交DE于点P，
则点P就是所求作的点；
第19页（共34页）【点评】本题是作图题，考查了角平分线的性质、平行线的性质，熟练掌握角平分
线上的点到角两边距离相等是关键．
三、解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（8分）（2017•青岛）（1）解不等式组：
（2）化简：（ ﹣a）÷ ．
【分析】（1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可；
（2）先算减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）∵解不等式①得：x＜﹣ ，
解不等式②得：x＜﹣10，
∴不等式组的解集为x＜﹣10；
（2）原式= ÷
= •
= ．
【点评】本题考查了分式的混合运算和解一元一次不等式组，能根据不等式的解
第20页（共34页）集找出不等式组的解集是解（1）的关键，能灵活运用分式的运算法则进行化简是
解（2）的关键，注意运算顺序．
17．（6分）（2017•青岛）小华和小军做摸球游戏：A袋装有编号为1，2，3的三个小
球，B袋装有编号为4，5，6的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同．从两
个袋子中分别随机摸出一个小球，若B袋摸出小球的编号与A袋摸出小球的编号
之差为偶数，则小华胜，否则小军胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字
的差为偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：不公平，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，数字的差为偶数的有4种情况，
∴P = ，P = ，
（小华胜） （小军胜）
∵ ≠ ，
∴这个游戏对双方不公平．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法
适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
18．（6分）（2017•青岛）某中学开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机
抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并
绘制成如图①，②的统计图，已知“查资料”的人数是40人．
第21页（共34页）请你根据以上信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角度数是 12 6 度；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有学生1200人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）
的人数．
【分析】（1）由扇形统计图其他的百分比求出“玩游戏”的百分比，乘以360即
可得到结果；
（2）求出3小时以上的人数，补全条形统计图即可；
（3）由每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的百分比乘以1200即可得
到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：1﹣（40%+18%+7%）=35%，
则“玩游戏”对应的圆心角度数是360°×35%=126°；
故答案为：126；
（2）根据题意得：40÷40%=100（人），
∴3小时以上的人数为100﹣（2+16+18+32）=32（人），
补全条形统计图，如图所示：
第22页（共34页）（3）根据题意得：1200×64%=768（人），
则每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数约有768人．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的
数据是解本题的关键．
19．（6分）（2017•青岛）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C
地需绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B
地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁
线路的长．（结果保留整数）
（参考数据：sin67°≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈ ， ≈1.73）
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，
进而可得出结论．
【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，
第23页（共34页）∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，
∴∠ABD=67°，
∴AD=AB•sin67°=520× = =480km，
BD=AB•cos67°=520× = =200km．
∵C地位于B地南偏东30°方向，
∴∠CBD=30°，
∴CD=BD•tan30°=200× = ，
∴AC=AD+CD=480+ ≈480+115=595（km）．
答：A地到C地之间高铁线路的长为595km．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟记锐角三角函数的
定义是解答此题的关键．
20．（8分）（2017•青岛）A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲
先出发，图中l ，l 表示两人离A地的距离s（km）与时间（t h）的关系，请结合图象
1 2
解答下列问题：
（1）表示乙离A地的距离与时间关系的图象是 l （填l 或l ）；
2 1 2
甲的速度是 3 0 km/h，乙的速度是 2 0 km/h；
（2）甲出发多少小时两人恰好相距5km？
第24页（共34页）【分析】（1）观察图象即可知道乙的函数图象为l ，根据速度= ，利用图中信
2
息即可解决问题；
（2）分相遇前或相遇后两种情形分别列出方程即可解决问题；
【解答】解：（1）由题意可知，乙的函数图象是l ，
2
甲的速度是 =30km/h，乙的速度是 =20km/h．
故答案为l ，30，20．
2
（2）设甲出发多少小时两人恰好相距5km．
由题意30x+20（x﹣0.5）+5=60或30x+20（x﹣0.5）﹣5=60
解得x=1.3或1.5，
答：甲出发1.3小时或1.5小时两人恰好相距5km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活应用速度、
路程、时间之间的关系解决问题．
21．（8分）（2017•青岛）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD
的中点，连接CE，CF，OE，OF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
第25页（共34页）【分析】（1）由菱形的性质得出∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，由已知和三角形中位线
定理证出AE=BE=DF=AF，OF= DC，OE= BC，OE∥BC，由SAS证明△BCE≌△DCF
即可；
（2）由（1）得：AE=OE=OF=AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO=90°，四边
形AEOF是正方形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴AE=BE=DF=AF，OF= DC，OE= BC，OE∥BC，
在△BCE和△DCF中， ，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：
由（1）得：AE=OE=OF=AF，
∴四边形AEOF是菱形，
∵AB⊥BC，OE∥BC，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO=90°，
∴四边形AEOF是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、
三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定是解决问题
的关键．
第26页（共34页）22．（10分）（2017•青岛）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，
旺季每间价格比淡季上涨 ．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：
淡季 旺季
未入住房间数 10 0
日总收入（元） 24000 40000
（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？
（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去
年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入
住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪
华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店豪华间的间数和
旺季每间的价格；
（2）根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即
可解答本题．
【解答】解：（1）设淡季每间的价格为x元，酒店豪华间有y间，
，
解得， ，
∴x+ x=600+ =800，
答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；
（2）设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元，
y=（800+x）（50﹣ ）= 42025，
∴当x=225时，y取得最大值，此时y=42025，
答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收
入是42025元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需
要的条件，利用二次函数的性质解答．
第27页（共34页）23．（10分）（2017•青岛）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形
结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助
数”的方法在解决代数问题中的应用．
探究一：求不等式|x﹣1|＜2的解集
（1）探究|x﹣1|的几何意义
如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应的数是x﹣1，有绝对值的定义可知，
点A′与点O的距离为|x﹣1|，可记为A′O=|x﹣1|．将线段A′O向右平移1个单位
得到线段AB，此时点A对应的数是x，点B对应的数是1．因为AB=A′O，所以AB=|
x﹣1|，因此，|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的
点B之间的距离AB．
（2）求方程|x﹣1|=2的解
因为数轴上3和﹣1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为 2，所以方程的
解为3，﹣1．
（3）求不等式|x﹣1|＜2的解集
因为|x﹣1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式
解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围．
请在图②的数轴上表示|x﹣1|＜2的解集，并写出这个解集．
探究二：探究 的几何意义
（1）探究 的几何意义
如图③，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作
MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为（x，0），Q点坐标为（0，y），OP=|x|，OQ=|y|，在
Rt△OPM中，PM=OQ=|y|，则MO= = = ，因此，
的几何意义可以理解为点M（x，y）与点O（0，0）之间的距离MO．
（2）探究 的几何意义
如图④，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究二（1）可知，A′O=
第28页（共34页），将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到
线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），因为AB=A′O，所以AB=
，因此 的几何意义可以理解为点A（x，y）与点
B（1，5）之间的距离AB．
（3）探究 的几何意义
请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程．
（4） 的几何意义可以理解为： 点（ x ， y ）与点（ a ， b ）之间的距离
．
拓展应用：
（1） + 的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点
E（2，﹣1）的距离和点A（x，y）与点F （﹣ 1 ，﹣ 5 ） （填写坐标）的距离之和．
（2） + 的最小值为 5 （直接写出结果）
【分析】探究一（3）由于|x﹣1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距
离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围，从而
画出数轴即可．
探究二（3）由于 的几何意义是：点A（x，y）与B（﹣3，4）之间的
第29页（共34页）距离，所以构造直角三角形利用勾股定理即可得出答案．
（4）根据前面的探究可知 的几何意义是表示点（x，y）与点（a，
b）之间的距离；
拓展研究（1）根据探究二（4）可知点F的坐标；
（2）根据三角形的三边关系即可求出答案．
【解答】解：探究一：（3）如图所示，
∴|x﹣1|＜2的解集是﹣1＜x＜3，
探究二：（3） 的几何意义是：点A（x，y）与B（﹣3，4）之间的距离，
∴过点B作BD⊥x轴于D，过点A作AC⊥BD于点C，
∴AC=|x+3|，BC=|y﹣4|，
∴由勾股定理可知：AB2=AC2+BC2，
∴AB= ，
（4）根据前面的探究可知 的几何意义是表示点（x，y）与点（a，
b）之间的距离；
拓展研究：（1）由探究二（4）可知 表示点（x，y）与（﹣1，﹣5）之
间的距离，
故F（﹣1，﹣5），
（2）由（1）可知： + 表示点A（x，y）与点E（2，﹣
1）的距离和点A（x，y）与点F（﹣1，﹣5）的距离之和，
当A（x，y）位于直线EF外时，
此时点A、E、F三点组成△AEF，
∴由三角形三边关系可知：EF＜AF+AE，
当点A位置线段EF之间时，此时EF=AF+AE，
第30页（共34页）∴ + 的最小值为EF的距离，
∴EF= =5
故答案为：探究二（4）点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
拓展研究（1）（﹣1，﹣5）；（2）5．
【点评】本题考查学生的阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求
出答案，本题考查学生综合能力，属于中等题型．
24．（12分）（2017•青岛）已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重
合），点F，B（P），C在同一直线上，AB=EF=6cm，BC=FP=8cm，∠EFP=90°，如图②，
△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，EP与AB交于点
G；同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CD 方向匀速运动，速度为 1cm/s．过点 Q 作
QM⊥BD，垂足为H，交AD于点M，连接AF，FQ，当点Q停止运动时，△EFQ也停
止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BD？
（2）设五边形AFPQM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S ：S =9：8？若存在，求
五边形AFPQM 矩形ABCD
出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段PG的垂直平分线上？若
存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
第31页（共34页）【分析】（1）如图1中，当PQ∥BD时， = ，可得 = ，解方程即可；
（2）如图2中，当0＜t＜6时，S =S ﹣S ﹣S ，由此计算即可解
五边形AFPQM 梯形AFCD △DMQ △PQC
决问题；
（3）假设存在，根据题意列出方程即可解决问题；
（4）如图3中，连接MG、MP，作MK⊥BC于K．理由勾股定理，根据MG=MP，列出
方程即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，
当PQ∥BD时， = ，
∴ = ，
∴t= ，
∴t= s时，PQ∥BD．
（2）如图2中，
第32页（共34页）当0＜t＜6时，S =S ﹣S ﹣S
五边形AFPQM 梯形AFCD △DMQ △PQC
= （8+8﹣t+8）•6﹣ •（6﹣t）• （6﹣t）﹣ •（8﹣t）•t
= t2﹣ t+ ．
（3）如图2中，假设存在，则有（ t2﹣ t+ ．）：48=9：8，
解得t=2或18（舍弃），
∴t=2s时，S ：S =9：8．
五边形AFPQM 矩形ABCD
（4）存在．
理由：如图3中，连接MG、MP，作MK⊥BC于K．
易知：AG=6﹣ t．DQ=6﹣t，DM=KC= （6﹣t），PK=8﹣t﹣ （6﹣t），MK=CD=6，
∵点M在PG的垂直平分线上，
∴MG=MP，
∴AG2+AM2=PK2+MK2，
第33页（共34页）∴（6﹣ t）2+[8﹣ （6﹣t）]2=62+[8﹣t﹣ （6﹣t）]2，
解得t= 或0（舍弃），
∴t= s时，点M在线段PG的垂直平分线上
【点评】本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、多边形的
面积等知识，解题的关键是学会理由分割法求多边形面积，学会用方程的思想思
考问题，属于中考压轴题．
参与本试卷答题和审题的老师有：2300680618；sd2011；gsls；神龙杉；王学峰；
733599；zjx111；gbl210；星期八；sjzx；tcm123；三界无我；sks；ZJX；弯弯的小河；家
有儿女；zgm666（排名不分先后）
菁优网
2017年7月7日
第34页（共34页）
