文档内容
2017 年江苏省镇江市中考数学试卷
一、填空题（每小题2分，共24分）
1．（2分）3的倒数是 ．
2．（2分）计算：a5÷a3= ．
3．（2分）分解因式：9﹣b2= ．
x-5
4．（2分）当x= 时，分式 的值为零．
2x+3
5．（2分）如图，转盘中6个扇形的面积都相等，任意转动转盘一次，当转盘
停止转动时，指针指向奇数的概率是 ．
6．（2分）圆锥底面圆的半径为2，母线长为5，它的侧面积等于 （结
果保留π）．
7．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB的中点，过AC的
中点E作EF∥CD交AB于点F，则EF= ．
8．（2分）若二次函数y=x2﹣4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=
．
9．（2 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，CO 交⊙O 于点 D．若
∠CAD=30°，则∠BOD= °．1 3
10．（2分）若实数a满足|a﹣ |= ，则a对应于图中数轴上的点可以是A、
2 2
B、C三点中的点 ．
11．（2分）如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得
到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为
．
19
12．（2 分）已知实数 m 满足 m2﹣3m+1=0，则代数式 m2+ 的值等于
m2+2
．
二、选择题（每小题3分，共15分）
13．（3分）我国对“一带一路”沿线国家不断加大投资，目前已为有关国家
创造了近 1100000000 美元税收，其中 1100000000 用科学记数法表示应为（
）
A．0.11×108 B．1.1×109C．1.1×1010 D．11×108
14．（3分）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是
（ ）A． B． C． D．
2
15．（3分）a、b是实数，点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数y=﹣ 的图
x
象上，则（ ）
A．a＜b＜0B．b＜a＜0C．a＜0＜bD．b＜0＜a
16．（3分）根据下表中的信息解决问题：
数据 37 38 39 40 41
频数 8 4 5 a 1
若该组数据的中位数不大于38，则符合条件的正整数a的取值共有（ ）
A．3个B．4个 C．5个 D．6个
17．（3分）点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，BE=DF，点P在
边AB上，AP：PB=1：n（n＞1），过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面
积为S 、S 的两部分，将△CDF分成面积为S 、S 的两部分（如图），下列四个
1 2 3 4
等式：
①S ：S =1：n
1 3
②S ：S =1：（2n+1）
1 4
③（S +S ）：（S +S ）=1：n
1 4 2 3
④（S ﹣S ）：（S ﹣S ）=n：（n+1）
3 1 2 4
其中成立的有（ ）
A．①②④ B．②③ C．②③④ D．③④
三、解答题（本大题共11小题，满分81分）
18．（8分）（1）计算：（﹣2）2+tan45°﹣（√3﹣2）0
（2）化简：x（x+1）﹣（x+1）（x﹣2）{&x- y=4
19．（10分）（1）解方程组：
&2x+ y=5
x x-2
（2）解不等式： ＞1﹣ ．
3 2
20．（6分）为了解射击运动员小杰的集训效果，教练统计了他集训前后的两
次测试成绩（每次测试射击10次），制作了如图所示的条形统计图．
（1）集训前小杰射击成绩的众数为 ；
（2）分别计算小杰集训前后射击的平均成绩；
（3）请用一句话评价小杰这次集训的效果．
21．（6分）某校5月份举行了八年级生物实验考查，有A和B两个考查实验，
规定每位学生只参加其中一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查
实验，小明、小丽、小华都参加了本次考查．
（1）小丽参加实验A考查的概率是 ；
（2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验A考查的概率；
（3）他们三人都参加实验A考查的概率是 ．
22．（6分）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，
∠A=∠F，∠1=∠2．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．23．（6分）如图，小明在教学楼 A处分别观测对面实验楼 CD底部的俯角为
45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的
垂直高度AB为15m，求实验楼的垂直高度即CD长（精确到1m）
参考值：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75．
24．（6分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，
AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C
的路径匀速运动．两点同时出发，在 B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒
提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原
路径匀速运动，两点在 D 点处再次相遇后停止运动，设点 P 原来的速度为
xcm/s．
（1）点Q的速度为 cm/s（用含x的代数式表示）．
（2）求点P原来的速度．
k
25．（6分）如图1，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y= （k≠0）的图象交于
xk
点 A（1，3），B（m，1），与 x 轴交于点 D，直线 OA 与反比例函数 y=
x
（k≠0）的图象的另一支交于点C，过点B作直线l垂直于x轴，点E是点D关
于直线l的对称点．
（1）k= ；
（2）判断点B、E、C是否在同一条直线上，并说明理由；
3 k
（3）如图 2，已知点 F 在 x 轴正半轴上，OF= ，点 P 是反比例函数 y=
2 x
（k≠0）的图象位于第一象限部分上的点（点 P 在点 A 的上方），
∠ABP=∠EBF，则点P的坐标为（ ， ）．
26．（8分）如图 1，Rt△ACB 中，∠C=90°，点 D在AC 上，∠CBD=∠A，过
A、D两点的圆的圆心O在AB上．
（1）利用直尺和圆规在图1中画出⊙O（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色
水笔把线条描清楚）；
（2）判断BD所在直线与（1）中所作的⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）设⊙O交AB于点E，连接DE，过点E作EF⊥BC，F为垂足，若点D是线
DC AD
段AC的黄金分割点（即 = ），如图2，试说明四边形DEFC是正方形）．
AD AC27．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、
y轴上，点B坐标为（4，t）（t＞0），二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象经过点
B，顶点为点D．
（1）当t=12时，顶点D到x轴的距离等于 ；
（2）点E是二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O
不重合），求OE•EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；
（3）矩形OABC 的对角线OB、AC 交于点 F，直线 l 平行于 x轴，交二次函数
y=x2+bx（b＜0）的图象于点M、N，连接DM、DN，当△DMN≌△FOC时，求t
的值．
28．（11分）【回顾】
如图1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，则△ABC的面积等于 ．
【探究】
图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a；另
一个含有45°的角，直角边长为b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边
形 ABCD（如图 3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出 sin75°=
√6+√2
，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形 EFGH（如图4），也推出
4
√6+√2 √6+√2
sin75°= ，请你写出小明或小丽推出sin75°= 的具体说理过程．
4 4
【应用】在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如图5）
（1）点E在AD上，设t=BE+CE，求t2的最小值；
（2）点F在AB上，将△BCF沿CF翻折，点B落在AD上的点G处，点G是AD
的中点吗？说明理由．2017 年江苏省镇江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题2分，共24分）
1
1．（2分）（2017•镇江）3的倒数是 ．
3
【考点】17：倒数．
【分析】根据倒数的定义可知．
1
【解答】解：3的倒数是 ．
3
1
故答案为： ．
3
【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（2分）（2017•镇江）计算：a5÷a3= a 2 ．
【考点】48：同底数幂的除法．
【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可．
【解答】解：a5÷a3=a5﹣3=a2．
故填a2．
【点评】本题考查同底数幂的除法法则．
3．（2分）（2017•镇江）分解因式：9﹣b2= （ 3 + b ）（ 3﹣b ） ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=（3+b）（3﹣b），
故答案为：（3+b）（3﹣b）
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的
关键．x-5
4．（2分）（2017•镇江）当x= 5 时，分式 的值为零．
2x+3
【考点】63：分式的值为零的条件．
【分析】根据分式值为零的条件可得x﹣5=0且2x+3≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣5=0且2x+3≠0，
解得：x=5，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是
分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
5．（2分）（2017•镇江）如图，转盘中6个扇形的面积都相等，任意转动转
2
盘一次，当转盘停止转动时，指针指向奇数的概率是 ．
3
【考点】X4：概率公式．
【分析】让奇数的个数除以数的总数即可得出答案．
【解答】解：图中共有6个相等的区域，含奇数的有1，1，3，3共4个，
4 2
转盘停止时指针指向奇数的概率是 = ．
6 3
2
故答案为： ．
3
【点评】此题主要考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件
m
的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
n
6．（2分）（2017•镇江）圆锥底面圆的半径为2，母线长为5，它的侧面积等
于 10π （结果保留π）．【考点】MP：圆锥的计算．
【分析】根据圆锥的底面半径为4，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求
出它的侧面积．
【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×5=10π，
故答案为：10π．
【点评】此题主要考查了圆锥侧面积公式．掌握圆锥侧面积公式：S =πrl是解
侧
决问题的关键．
7．（2分）（2017•镇江）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB
的中点，过AC的中点E作EF∥CD交AB于点F，则EF= 1. 5 ．
【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线．
【分析】由直角三角形的性质求出CD=3，中由三角形中位线定理得出EF的长
即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB的中点，
1
∴CD= AB=3，
2
∵过AC的中点E作EF∥CD交AB于点F，
∴EF是△ACD的中位线，
1
∴EF= CD=1.5；
2
故答案为：1.5．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理，熟练
掌握直角三角形的性质和三角形中位线定理是关键．
8．（2分）（2017•镇江）若二次函数y=x2﹣4x+n的图象与x轴只有一个公共点，
则实数n= 4 ．【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
【分析】二次函数y=x2﹣4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则 b2﹣4ac=0，据
此即可求得．
【解答】解：y=x2﹣4x+n中，a=1，b=﹣4，c=n，
b2﹣4ac=16﹣4n=0，
解得n=4．
故答案是：4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常
数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2﹣4ac决定
抛物线与x轴的交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2
﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交
点．
9．（2分）（2017•镇江）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O
于点D．若∠CAD=30°，则∠BOD= 12 0 °．
【考点】MC：切线的性质．
【分析】根据切线的性质求出∠BAC=90°，求出∠OAD=60°，根据圆周角定理得
出∠BOD=2∠BAD，代入求出即可．
【解答】解：∵AC与⊙O相切，
∴∠BAC=90°，
∵∠CAD=30°，
∴∠OAD=60°，
∴∠BOD=2∠BAD=120°，
故答案为：120．
【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理，能根据定理得出∠BAC=90°和∠BOD=2∠BAD是解此题的关键．
1 3
10．（2分）（2017•镇江）若实数a满足|a﹣ |= ，则a对应于图中数轴上的
2 2
点可以是A、B、C三点中的点 B ．
【考点】29：实数与数轴．
1 3
【分析】由|a﹣ |= ，可求出a值，对应数轴上的点即可得出结论．
2 2
1 3
【解答】解：∵|a﹣ |= ，
2 2
∴a=﹣1或a=2．
故答案为：B．
【点评】本题考查了实数与数轴以及解含绝对值符号的一元一次方程，解方程
求出a值是解题的关键．
11．（2分）（2017•镇江）如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B
顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则
BC的长为 2 +√34 ．
【考点】R2：旋转的性质；JA：平行线的性质．
【分析】根据旋转可得BE=BE'=5，BD=BD'，进而得到BD=BC﹣4，再根据平行线
BD BE BC-4 5
分线段成比例定理，即可得到 = ，即 = ，即可得出BC的长．
BA BC 6 BC
【解答】解：由旋转可得，BE=BE'=5，BD=BD'，
∵D'C=4，
∴BD'=BC﹣4，即BD=BC﹣4，
∵DE∥AC，BD BE BC-4 5
∴ = ，即 = ，
BA BC 6 BC
解得BC=2+√34（负值已舍去），
即BC的长为2+√34．
故答案为：2+√34．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，解一元二次方程以及平行线分线段成比
例定理的运用，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等．解决问题的关键
是依据平行线分线段成比例定理，列方程求解．
19
12．（2分）（2017•镇江）已知实数m满足m2﹣3m+1=0，则代数式m2+
m2+2
的值等于 9 ．
【考点】A3：一元二次方程的解．
【分析】先表示出m2=3m﹣1代入代数式，通分，化简即可得出结论．
【解答】解：∵m2﹣3m+1=0，
∴m2=3m﹣1，
19
∴m2+
m2+2
19
=3m﹣1+
3m-1+2
19
=3m﹣1+
3m+1
9m2-1+19
=
3m+1
9m2+18
=
3m+1
9(3m-1)+18
=
3m+19(3m+1)
=
3m+1
=9，
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了代数式的化简求值，分式的通分，约分，解本题的关
键是得出m2=3m﹣1．
二、选择题（每小题3分，共15分）
13．（3分）（2017•镇江）我国对“一带一路”沿线国家不断加大投资，目前
已为有关国家创造了近 1100000000美元税收，其中 1100000000用科学记数法
表示应为（ ）
A．0.11×108 B．1.1×109C．1.1×1010 D．11×108
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数
点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，
n是负数．
【解答】解：1100000000用科学记数法表示应为1.1×109，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的
形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（3分）（2017•镇江）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，
它的主视图是（ ）
A． B． C． D．【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】根据组合体的形状即可求出答案．
【解答】解：该主视图是：底层是3个正方形横放，右上角有一个正方形，
故选（C）
【点评】本题考查三视图，解题的关键是根据组合体的形状进行判断，本题属
于基础题型．
15．（3分）（2017•镇江）a、b是实数，点A（2，a）、B（3，b）在反比例
2
函数y=﹣ 的图象上，则（ ）
x
A．a＜b＜0B．b＜a＜0C．a＜0＜bD．b＜0＜a
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数的性质可以判断a、b的大小，从而可以解答本题．
2
【解答】解：∵y=﹣ ，
x
2
∴反比例函数y=﹣ 的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而
x
增大，
2
∵点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数y=﹣ 的图象上，
x
∴a＜b＜0，
故选A．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反
比例函数的性质．
16．（3分）（2017•镇江）根据下表中的信息解决问题：
数据 37 38 39 40 41
频数 8 4 5 a 1
若该组数据的中位数不大于38，则符合条件的正整数a的取值共有（ ）
A．3个B．4个 C．5个 D．6个
【考点】W4：中位数；V7：频数（率）分布表．【分析】直接利用a=1、2、3、4、5、6分别得出中位数，进而得出符合题意的
答案．
【解答】解：当a=1时，有19个数据，最中间是：第10个数据，则中位数是
38；
当a=2时，有20个数据，最中间是：第10和11个数据，则中位数是38；
当a=3时，有21个数据，最中间是：第11个数据，则中位数是38；
当a=4时，有22个数据，最中间是：第11和12个数据，则中位数是38；
当a=5时，有23个数据，最中间是：第12个数据，则中位数是38；
当a=6时，有24个数据，最中间是：第12和13个数据，则中位数是38.5；
故该组数据的中位数不大于38，则符合条件的正整数a的取值共有：5个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中位数以及频数分布表，正确把握中位数的定义是解
题关键．
17．（3分）（2017•镇江）点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，
BE=DF，点P在边AB上，AP：PB=1：n（n＞1），过点P且平行于AD的直线l
将△ABE分成面积为S 、S 的两部分，将△CDF分成面积为S 、S 的两部分（如
1 2 3 4
图），下列四个等式：
①S ：S =1：n
1 3
②S ：S =1：（2n+1）
1 4
③（S +S ）：（S +S ）=1：n
1 4 2 3
④（S ﹣S ）：（S ﹣S ）=n：（n+1）
3 1 2 4
其中成立的有（ ）
A．①②④ B．②③ C．②③④ D．③④
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．S 1
【分析】根据平行线的性质，相似三角形的性质可知 1 =（ ）2，
S +S n+1
1 2
S n
S =n2S ， 3 =（ ）2，求出S ，S ，S （用S ，n表示），即可解决问题．
3 1 S +S n+1 2 3 4 1
3 4
【解答】解：由题意∵AP：PB=1：n（n＞1），AD∥l∥BC，
S 1 S n
∴ 1 =（ ）2，S =n2S ， 3 =（ ）2，
S +S n+1 3 1 S +S n+1
1 2 3 4
整理得：S =n（n+2）S ，S =（2n+1）S ，
2 1 4 1
∴S ：S =1：（2n+1），故①错误，②正确，
1 4
∴（S +S ）：（S +S ）=[S +（2n+1）S ]：[n（n+2）S +n2S ]=1：n，故③正确，
1 4 2 3 1 1 1 1
∴（S ﹣S ）：（S ﹣S ）=[n2S ﹣S ]：[n（n+2）S ﹣（2n+1）S ]=1：1，故④
3 1 2 4 1 1 1 1
错误，
故选B．
【点评】本题考查平行四边形的性质．相似三角形的性质等知识，解题的关键
是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
三、解答题（本大题共11小题，满分81分）
18．（8分）（2017•镇江）（1）计算：（﹣2）2+tan45°﹣（√3﹣2）0
（2）化简：x（x+1）﹣（x+1）（x﹣2）
【考点】4B：多项式乘多项式；2C：实数的运算；4A：单项式乘多项式；6E：
零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】（1）根据特殊角三角函数值，零指数幂，可得答案．
（2）原式去括号合并得到最简结果即可．
【解答】解：（1）原式=4+1﹣1=4；
（2）原式=x2+x﹣x2+x+2=2x+2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．{&x- y=4
19．（10分）（2017•镇江）（1）解方程组：
&2x+ y=5
x x-2
（2）解不等式： ＞1﹣ ．
3 2
【考点】C6：解一元一次不等式；98：解二元一次方程组．
【分析】（1）用加减消元法求出方程组的解．
（2）根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并，系数化为 1
即可得解．
{&x- y=4①
【解答】解：（1） ，
&2x+ y=5②
①+②得：3x=9，
x=3，
代入①得：3﹣y=4，
y=﹣1．
{&x=3
则原方程组的解为 ．
& y=-1
（2）去分母得，2x＞6﹣3（x﹣2），
去括号得，2x＞6﹣3x+6，
移项、合并得，5x＞12，
12
系数化为1得，x＞ ．
5
【点评】此题主要考查了二元一次方程组合解一元一次不等式，掌握解一元一
次不等式的一般步骤和解方程组的方法上解题得关键．
20．（6分）（2017•镇江）为了解射击运动员小杰的集训效果，教练统计了他
集训前后的两次测试成绩（每次测试射击 10次），制作了如图所示的条形统计
图．
（1）集训前小杰射击成绩的众数为 8 ；
（2）分别计算小杰集训前后射击的平均成绩；
（3）请用一句话评价小杰这次集训的效果．【考点】VC：条形统计图；W2：加权平均数；W5：众数．
【分析】（1）根据众数的定义可得；
（2）根据加权平均数的定义可得答案；
（3）由（2）中答案可得答案．
【解答】解：（1）集训前小杰射击成绩的众数为为8环，
故答案为：8；
8×6+9×3+10×1
（2）小杰集训前射击的平均成绩为 =8.5（环），
10
8×3+9×5+10×2
小杰集训后射击的平均成绩为 =8.9（环）；
10
（3）由集训前后平均环数的变化可知，小杰这次集训后的命中环数明显增加．
【点评】本题主要考查众数和平均数及条形统计图，熟练掌握众数和平均数的
定义是解题的关键．
21．（6分）（2017•镇江）某校5月份举行了八年级生物实验考查，有 A和B
两个考查实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考查，并由学生自己抽签
决定具体的考查实验，小明、小丽、小华都参加了本次考查．
1
（1）小丽参加实验A考查的概率是 ；
2
（2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验A考查的概率；
1
（3）他们三人都参加实验A考查的概率是 ．
8
【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．
【分析】（1）由可参加实验考查只有两个，可得出小丽参加实验 A考查的概率1
是 ；
2
（2）画出树状图，结合树状图得出结论；
1
（3）由每人选择实验A考查的概率为 ，利用概率公式即可求出三人都参加实
2
验A考查的概率．
1
【解答】解：（1）小丽参加实验A考查的概率是 ．
2
1
故答案为： ．
2
（2）画树状图如图所示．
∵两人的参加实验考查共有四种等可能结果，而两人均参加实验A考查有1种，
1
∴小明、小丽都参加实验A考查的概率为 ．
4
1 1 1 1
（3）他们三人都参加实验A考查的概率是 × × = ．
2 2 2 8
1
故答案为： ．
8
【点评】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，解题的关键是：（1）根
据可参加的实验考查的个数，求出小丽参加实验 A考查的概率；（2）画出树状
图；（3）套用概率公式求出三人都参加实验A考查的概率．
22．（6分）（2017•镇江）如图，点 B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、
CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．【考点】L7：平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）由已知角相等，利用对顶角相等，等量代换得到同位角相等，进
而得出DB与EC平行，再由内错角相等两直线平行得到DE与BC平行，即可得
证；
（2）由角平分线得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换得到
一对角相等，再利用等角对等边得到CN=BC，再由平行四边形对边相等即可确
定出所求．
【解答】（1）证明：∵∠A=∠F，
∴DE∥BC，
∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF，
∴∠DMF=∠2，
∴DB∥EC，
则四边形BCED为平行四边形；
（2）解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN=∠CBN，
∵EC∥DB，
∴∠CNB=∠DBN，
∴∠CNB=∠CBN，
∴CN=BC=DE=2．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与
性质是解本题的关键．
23．（6分）（2017•镇江）如图，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD
底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观
测点距地面的垂直高度AB为15m，求实验楼的垂直高度即CD长（精确到1m）
参考值：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】作AE⊥CD于E，根据正切的定义求出CE和AE，计算即可．
【解答】解：作AE⊥CD于E，
∵AB=15m，
∴DE=AB=15m，
∵∠DAE=45°，
∴AE=DE=15m，
CE
在Rt△ACE中，tan∠CAE= ，
AE
则CE=AE•tan37°=15×0.75≈11cm，
∴AB=CE+DE=11+15=26m．
答：实验楼的垂直高度即CD长为26m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决此类问题要
了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直
角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的
形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题
加以解决．
24．（6分）（2017•镇江）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．
点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，
沿C→B→A→C的路径匀速运动．两点同时出发，在 B点处首次相遇后，点P的
运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的
速度为xcm/s．
4
（1）点Q的速度为 x cm/s（用含x的代数式表示）．
3
（2）求点P原来的速度．
【考点】B7：分式方程的应用．
【分析】（1）设点Q的速度为ycm/s，根据题意得方程即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到 AC=√AB2+BC2=√32+42=5，求得CD=5﹣1=4，列方程
即可得到结论．
【解答】解：（1）设点Q的速度为ycm/s，
由题意得3÷x=4÷y，
4
∴y= x，
3
4
故答案为： x；
3
（2）AC=√AB2+BC2=√32+42=5，
CD=5﹣1=4，
在B点处首次相遇后，点P的运动速度为（x+2）cm/s，
3+1
4+4
由题意得 4x = ，
x+2
3
6
解得：x= （cm/s），
5
6
答：点P原来的速度为 cm/s．
5
【点评】本题考查了分式方程的应用，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
k
25．（6 分）（2017•镇江）如图 1，一次函数 y=﹣x+b 与反比例函数 y=
x
（k≠0）的图象交于点A（1，3），B（m，1），与x轴交于点D，直线OA与
k
反比例函数y= （k≠0）的图象的另一支交于点C，过点B作直线l垂直于x轴，
x
点E是点D关于直线l的对称点．
（1）k= 3 ；
（2）判断点B、E、C是否在同一条直线上，并说明理由；
3 k
（3）如图 2，已知点 F 在 x 轴正半轴上，OF= ，点 P 是反比例函数 y=
2 x
（k≠0）的图象位于第一象限部分上的点（点 P 在点 A 的上方），
3 9
∠ABP=∠EBF，则点P的坐标为（ ， ）．
2 2
【考点】GB：反比例函数综合题．
k
【分析】（1）把A点坐标代入y= 中可求出k的值；
x
（2）先利用反比例函数的中心对称性得到C（﹣1，﹣3），再把B（m，1）代
3
入y= 求出m得到B（3，1），通过确定直线AB的解析式得到D（4，0），接
x
着利用对称性确定E（2，0），于是利用待定系数法看球出直线BC的解析式为
y=x﹣2，然后判断点E是否直线BC上；
（3）直线AB交y轴于M，直线BP交y轴于N，如图2，先确定M（0，4），1
计算出 BM=3√2，BE=√2，EF= ，再证明△BMN∽△BEF，通过相似比计算出
2
3 11
MN= ，从而得到N（0， ），则利用待定系数法得到直线BN的解析式为y=
2 2
3
{& y=
3 11 x
﹣ x+ ，然后通过解方程组 得P点坐标．
2 2 3 11
& y=- x+
2 2
k
【解答】解：（1）∵A（1，3）在反比例函数y= 的图象上，
x
∴k=1×3=3；
（2）点B、E、C在同一条直线上．理由如下：
3
∵直线OA与反比例函数y= （k≠0）的图象的另一支交于点C，
x
∴点A与点C关于原点对称，
∴C（﹣1，﹣3），
3
∵B（m，1）在反比例函数y= 的图象上，
x
∴1×m=3，解得m=3，即B（3，1），
把A（1，3）代入y=﹣x+b得﹣1+b=3，解得b=4，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+4，
当y=0时，﹣x+4=0，解得x=4，则D（4，0），
∵点E与点D关于直线x=3对称，
∴E（2，0），
设直线BC的解析式为y=px+q，
{&3p+q=1 {& p=1
把B（3，1），C（﹣1，﹣3）代入得 ，解得 ，
&-p+q=-3 &q=-2
∴直线BC的解析式为y=x﹣2，
当x=2时，y=x﹣2=0，
∴点E在直线BC上，
即点B、E、C在同一条直线上；（3）直线AB交y轴于M，直线BP交y轴于N，如图2，
当x=0时，y=﹣x+4=4，则M（0，4），
3
而B（3，1），E（2，0），F（ ，0），
2
3 1
∴BM=√32+(1-4) 2=3√2，BE=√(3-2) 2+12=√2，EF=2﹣ = ，
2 2
∵OM=OD=4，
∴△OMD为等腰直角三角形，
∴∠OMD=∠ODM=45°，
∵点E与点D关于直线x=3对称，
∴∠BED=∠BDE=45°，
∴∠BMN=∠BEF=135°，
∵∠ABP=∠EBF，
∴△BMN∽△BEF，
MN
MN BM 3√2 3
∴ = ，即 1 = ，解得MN= ，
EF BE √2 2
2
11
∴N（0， ），
2
设直线BN的解析式为y=ax+n，
3
{
&3a+n=1 {&a=-
11 2
把B（3，1），N（0， ）代入得 11 ，解得 ，
2 &n= 11
2 &n=
2
3 11
∴直线BN的解析式为y=﹣ x+ ，
2 2
3 2
{& y= {&x=
x {&x=3 3
解方程组 得 或 ，
3 11 & y=1 9
& y=- x+ & y=
2 2 2
2 9
∴P点坐标为（ ， ）．
3 22 9
故答案为3， ， ．
3 2
【点评】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐
标特征、反比例函数的性质；会利用待定系数法求反比例函数和一次函数解析
式，能通过解方程求它们的交点坐标；会运用相似比计算线段的长；理解坐标
与图形性质，记住两点间的距离公式．
26．（8 分）（2017•镇江）如图 1，Rt△ACB 中，∠C=90°，点 D 在 AC 上，
∠CBD=∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上．
（1）利用直尺和圆规在图1中画出⊙O（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色
水笔把线条描清楚）；
（2）判断BD所在直线与（1）中所作的⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）设⊙O交AB于点E，连接DE，过点E作EF⊥BC，F为垂足，若点D是线
DC AD
段AC的黄金分割点（即 = ），如图2，试说明四边形DEFC是正方形）．
AD AC
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）如图1，作线段AD的垂直平分线交AB于O，然后以点O为圆心，
OA为半径作圆；
（2）连接OD，如图1，利用∠A=∠ODA、∠CBD=∠A得到∠CBD=∠ODA，则可证明∠ODB=90°，然后根据切线的判定方法可判断BD为⊙O的切线；
（3）先证明△CDB∽△CBA 得到 CB2=CD•CA，再根据黄金分割的定义得到
AD2=CD•AC，则AD=CB，接着证明△ADE≌△BCD得到DE=DC，易得四边形CDEF
为矩形，然后根据正方形的判定方法可判断四边形DEFC是正方形．
【解答】解：（1）如图1，⊙O为所作；
（2）BD与⊙O相切．理由如下：
连接OD，如图1，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∵∠CBD=∠A，
∴∠CBD=∠ODA，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠ODA+∠CDB=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥BD，
∴BD为⊙O的切线；
（3）∵∠CBD=∠A，∠DCB=∠BCA，
∴△CDB∽△CBA，
∴CD：CB=CB：CA，
∴CB2=CD•CA，
∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD2=CD•AC，
∵AD=CB，
∵AE为直径，∴∠ADE=90°，
在△ADE和△BCD中
{
&∠A=∠CBD
&AD=BC ，
&∠ADE=∠C
∴△ADE≌△BCD，
∴DE=DC，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°，
∴四边形CDEF为矩形，
∴四边形DEFC是正方形．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握正方形的判定方法、圆的定义、圆
周角定理和切线的判定方法；会利用相似比表示线段之间的关系，记住黄金分
割的定义；会作线段的垂直平分线．
27．（8分）（2017•镇江）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的边OA、
OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为（4，t）（t＞0），二次函数y=x2+bx（b＜
0）的图象经过点B，顶点为点D．
1
（1）当t=12时，顶点D到x轴的距离等于 ；
4
（2）点E是二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O
不重合），求OE•EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；
（3）矩形OABC 的对角线OB、AC 交于点 F，直线 l 平行于 x轴，交二次函数
y=x2+bx（b＜0）的图象于点M、N，连接DM、DN，当△DMN≌△FOC时，求t
的值．【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）当t=12时，B（4，12），将点B的坐标代入抛物线的解析式可
求得b的值，于是可得到抛物线的解析式，最后利用配方法可求得点 D的坐标，
从而可求得点D到x轴的距离；
（2）令 y=0 得到 x2+bx=0，从而可求得方程的解为 x=0 或 x=﹣b，然后列出
OE•AE关于b的函数关系式，利用配方法可求得b的OE•AE的最大值，以及此
时b的值，于是可得到抛物线的解析式；
（3）过D作DG⊥MN，垂足为G，过点F作FH⊥CO，垂足为H．依据全等三角
形的性质可得到MN=CO=t，DG=FH=2，然后由点D的坐标可得到点N的坐标，
最后将点N的坐标代入抛物线的解析式可求得t的值．
【解答】解：（1）当t=12时，B（4，12）．
将点B的坐标代入抛物线的解析式得：16+4b=12，解得：b=﹣1，
∴抛物线的解析式y=x2﹣x．
1 1
∴y=（x﹣ ）2﹣ ．
2 4
1 1
∴D（ ， ）．
2 4
1
∴顶点D与x轴的距离为 ．
4
1
故答案为： ．
4
（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x2+bx=0，解得x=0或x=﹣b，
∵OA=4，
∴AE=4﹣（﹣b）=4+b．∴OE•AE=﹣b（4+b）=﹣b2﹣4b=﹣（b+2）2+4，
∴OE•AE的最大值为4，此时b的值为﹣2，
∴抛物线的表达式为y=x2﹣2x．
（3）过D作DG⊥MN，垂足为G，过点F作FH⊥CO，垂足为H．
∵△DMN≌△FOC，
∴MN=CO=t，DG=FH=2．
b b2
∵D（﹣ ，﹣ ），
2 4
b t b2 t-b 8-b2
∴N（﹣ + ，﹣ +2），即（ ， ）．
2 2 4 2 4
8-b2 t-b t-b
把点N和坐标代入抛物线的解析式得： =（ ）2+b•（ ），
4 2 2
解得：t=±2√2．
∵t＞0，
∴t=2√2．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系
数法求二次函数的解析式、配方法求二次函数的顶点坐标，全等三角形的性质，
求得点N的坐标（用含b和t的式子表示）是解题的关键．
28．（11分）（2017•镇江）【回顾】
如图1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，则△ABC的面积等于 3 ．
【探究】
图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a；另一个含有45°的角，直角边长为b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边
形 ABCD（如图 3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出 sin75°=
√6+√2
，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形 EFGH（如图4），也推出
4
√6+√2 √6+√2
sin75°= ，请你写出小明或小丽推出sin75°= 的具体说理过程．
4 4
【应用】
在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如图5）
（1）点E在AD上，设t=BE+CE，求t2的最小值；
（2）点F在AB上，将△BCF沿CF翻折，点B落在AD上的点G处，点G是AD
的中点吗？说明理由．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】回顾：如图1中，作AH⊥BC．求出AH即可解决问题；
探究：如图2中，根据S =BC•AB•sin75°=2S +2S +S 列出方程
四边形ABCD △ABE △BFC 矩形EFGH
即可解决问题；
应用：①作C关于AD的对称点H，CH交AD于J，连接BH，EH．因为EC=EH，
推出EB+EC=EB+EH，在△EBH中，BE+EH≥BH，推出BE+EC的最小值为BH，求
出BH即可解决问题；
②结论：点G不是AD的中点．理由反证法证明即可．
【解答】由题意可知四边形 EFGH 是矩形，AB=CD=2a，AH=DH=BF=CF=b，
EF=GH=√3a﹣b，EH=FG=b﹣a，BC=√2b，
解：回顾：如图1中，作AH⊥BC．
在Rt△ABH中，∵∠B=30°，AB=3，3
∴AH=AB•sin30°= ，
2
1 1 3
∴S = •BC•AH= ×4× =3，
△ABC
2 2 2
故答案为3．
探究：如图2中，
由题意可知四边形 EFGH 是矩形，AB=CD=2a，AH=DH=BF=CF=b，EF=GH=√3a﹣
b，EH=FG=b﹣a，BC=√2b，
∵S =BC•AB•sin75°=2S +2S +S
四边形ABCD △ABE △BFC 矩形EFGH
1 1
∴√2b•2a•sin75°=2× ×a×√3a+2× ×b2+（√3a﹣b）（b﹣a），
2 2
∴2√2absin75°=√3ab+ab，
√6+√2
∴sin75°= ．
4
如图3中，
易知四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=75°，
∴S =2•S +2•S +S ，
四边形EFGH △ABE △ADF 平行四边形ABCD
1 1
∴（a+b）（√3a+b）═2× ×a×√3a+2× ×b2+√2b•2a•sin75°，
2 2
√6+√2
∴sin75°= ．
4
应用：①作C关于AD的对称点H，CH交AD于J，连接BH，EH．5
在Rt△DCJ中，JC=CD•sin75°= （√6+√2），
4
5
∴CH=2CJ= （√6+√2），
2
25
在Rt△BHC中，BH2=BC2+CH2=36+ （√6+√2）2=86+25√3，
4
∵EC=EH，
∴EB+EC=EB+EH，
在△EBH中，BE+EH≥BH，
∴BE+EC的最小值为BH，
∴t=BE+CE，t2的最小值为BH2，即为86+25√3．
②结论：点G不是AD的中点．
理由：作CJ⊥AD于J，DH⊥CG于H．
不妨设AG=GD=5，∵CD=5，
∴DC=DG，∵DH⊥CG，
∴GH=CH=3，
在Rt△CDH中，DH=√CD2-CH2=√52-32=4，
1 1
∵S = •CG•DH= •DG•CJ，
△DGC
2 2
24
∴CJ= ，
5CJ 24
∴sin∠CDJ= = ，
CD 25
∵∠CDJ=75°，
√6+√2
∴与sin75°= 矛盾，
4
∴假设不成立，
∴点G不是AD的中点．
【点评】本题考查四边形综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形的面积．
轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会理由分割法求四边形的面积，学会
用反证法解决问题，属于中考压轴题．
