文档内容
2017 年湖南省常德市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列各数中无理数为（ ）
A． B．0C． D．﹣1
2．若一个角为75°，则它的余角的度数为（ ）
A．285° B．105° C．75° D．15°
3．一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．两个相等的实数根 D．两个不相等的实数根
4．如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气
温的中位数和平均数分别是（ ）
A．30，28 B．26，26 C．31，30 D．26，22
5．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）=am+an B．a2﹣b2﹣c2=（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x
6．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
第1页（共30页）A． B． C． D．
7．将抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达
式为（ ）
A．y=2（x﹣3）2﹣5B．y=2（x+3）2+5C．y=2（x﹣3）2+5D．y=2（x+3）2﹣5
8．如表是一个4×4（4行4列共16个“数”组成）的奇妙方阵，从这个方阵中选
四个“数”，而且这四个“数”中的任何两个不在同一行，也不在同一列，有很
多选法，把每次选出的四个“数”相加，其和是定值，则方阵中第三行三列的
“数”是（ ）
30 22
2 sin60°
﹣3 ﹣2 0
﹣ sin45°
|﹣5| 6 23
4
（ ）﹣1 （ ）﹣1
A．5B．6C．7D．8
二、填空题（本小题共8小题，每小题3分，共24分）
9．计算：|﹣2|﹣ = ．
10．分式方程 +1= 的解为 ．
11．据统计：我国微信用户数量已突破887000000人，将887000000用科学记数
法表示为 ．
12．命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为： ．
13．彭山的枇杷大又甜，在今年5月18日“彭山枇杷节”期间，从山上5棵枇杷
树上采摘到了200千克枇杷，请估计彭山近600棵枇杷树今年一共收获了枇杷
千克．
14．如图，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是线段AE上的一动点，过
第2页（共30页）D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，则CD长度的取值范围是 ．
15．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x，正方形
EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为 ．
16．如图，有一条折线A B A B A B A B …，它是由过A（0，0），B（2，2），A（4，0）
1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2
组成的折线依次平移4，8，12，…个单位得到的，直线y=kx+2与此折线恰有2n
（n≥1，且为整数）个交点，则k的值为 ．
三、解答题（本题共2小题，每小题5分，共10分．）
17．甲、乙、丙三个同学站成一排进行毕业合影留念，请用列表法或树状图列出所
有可能的情形，并求出甲、乙两人相邻的概率是多少？
第3页（共30页）18．求不等式组 的整数解．
四、解答题：本大题共2小题，每小题6分，共12分．
19．先化简，再求值：（ ﹣ ）（ ﹣ ），其中x=4．
20．在“一带一路”倡议下，我国已成为设施联通，贸易畅通的促进者，同时也带
动了我国与沿线国家的货物交换的增速发展，如图是湘成物流园 2016年通过
“海、陆（汽车）、空、铁”四种模式运输货物的统计图．
请根据统计图解决下面的问题：
（1）该物流园2016年货运总量是多少万吨？
（2）该物流园2016年空运货物的总量是多少万吨？并补全条形统计图；
（3）求条形统计图中陆运货物量对应的扇形圆心角的度数？
第4页（共30页）五、解答题：本大题共2小题，每小题7分，共14分．
21．如图，已知反比例函数y= 的图象经过点A（4，m），AB⊥x轴，且△AOB的面
积为2．
（1）求k和m的值；
（2）若点C（x，y）也在反比例函数y= 的图象上，当﹣3≤x≤﹣1时，求函数值y
的取值范围．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO．
（1）求证：BC是∠ABE的平分线；
（2）若DC=8，⊙O的半径OA=6，求CE的长．
第5页（共30页）六、解答题：本大题共2小题，每小题8分，共16分．
23．收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜
甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．
请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？
（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？
24．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座
BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框
D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D
到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，
tan75°≈3.732， ≈1.732， ≈1.414）
第6页（共30页）七、解答题：每小题10分，共20分。
25．如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点（2，2），（1， ）在抛物线上，点P是抛
物线上不与顶点N重合的一动点，过P作PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，延长PC交
抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点．
（1）求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
（2）求证：四边形PMDA是平行四边形；
（3）求证：△DPE∽△PAM，并求出当它们的相似比为 时的点P的坐标．
第7页（共30页）26．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD
于E，AC于F．
（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；
（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；
②AG2=AF•AC．
第8页（共30页）2017 年湖南省常德市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列各数中无理数为（ ）
A． B．0C． D．﹣1
【考点】26：无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数
的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而
无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、 是无理数，选项正确；
B、0是整数是有理数，选项错误；
C、 是分数，是有理数，选项错误；
D、﹣1是整数，是有理数，选项错误．
故选A．
2．若一个角为75°，则它的余角的度数为（ ）
A．285° B．105° C．75° D．15°
【考点】IL：余角和补角．
【分析】依据余角的定义列出算式进行计算即可．
【解答】解：它的余角=90°﹣75°=15°，
故选D．
3．一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
第9页（共30页）C．两个相等的实数根 D．两个不相等的实数根
【考点】AA：根的判别式．
【分析】先计算判别式的意义，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【解答】解：∵△=（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0
∴方程有两个不相等的实数根．
故选D．
4．如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气
温的中位数和平均数分别是（ ）
A．30，28 B．26，26 C．31，30 D．26，22
【考点】W4：中位数；W2：加权平均数．
【分析】此题根据中位数，平均数的定义解答．
【解答】解：由图可知，把7个数据从小到大排列为22，22，23，26，28，30，31，中位
数是第4位数，第4位是26，所以中位数是26．
平均数是（22×2+23+26+28+30+31）÷7=26，所以平均数是26．
故选：B．
5．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）=am+an B．a2﹣b2﹣c2=（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x
【考点】51：因式分解的意义．
【分析】根据因式分解的意义即可判断．
【解答】解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解；
（B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；
（D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解；
第10页（共30页）故选（C）
6．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】结合三视图确定小正方体的位置后即可确定正确的选项．
【解答】解：结合三个视图发现，应该是由一个正方体在一个角上挖去一个小正方
体，且小正方体的位置应该在右上角，
故选B．
7．将抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达
式为（ ）
A．y=2（x﹣3）2﹣5B．y=2（x+3）2+5C．y=2（x﹣3）2+5D．y=2（x+3）2﹣5
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
【分析】先确定抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的坐标规律得到
点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（3，﹣5），然后根据顶点式写出平移得到的
抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向右平移3个单位，再向
下平移5个单位所得对应点的坐标为（3，﹣5），所以平移得到的抛物线的表达式
为y=2（x﹣3）2﹣5．
故选A．
第11页（共30页）8．如表是一个4×4（4行4列共16个“数”组成）的奇妙方阵，从这个方阵中选
四个“数”，而且这四个“数”中的任何两个不在同一行，也不在同一列，有很
多选法，把每次选出的四个“数”相加，其和是定值，则方阵中第三行三列的
“数”是（ ）
30 22
2 sin60°
﹣3 ﹣2 0
﹣ sin45°
|﹣5| 6 23
4
（ ）﹣1 （ ）﹣1
A．5B．6C．7D．8
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数
值．
【分析】分析可知第一行为1，2，3，4；第二行为﹣3，﹣2，﹣1，0；第三行为5，6，7，
8，由此可得结果．
【解答】解：∵第一行为1，2，3，4；第二行为﹣3，﹣2，﹣1，0；第四行为3，4，5，6
∴第三行为5，6，7，8，
∴方阵中第三行三列的“数”是7，
故选C．
二、填空题（本小题共8小题，每小题3分，共24分）
9．计算：|﹣2|﹣ = 0 ．
【考点】2C：实数的运算．
【分析】首先计算开方，然后计算减法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：|﹣2|﹣
=2﹣2
=0
故答案为：0．
第12页（共30页）10．分式方程 +1= 的解为 x=2 ．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解： +1= ，
方程两边都乘以x得：2+x=4，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x≠0，
即x=2是原方程的解，
故答案为：x=2．
11．据统计：我国微信用户数量已突破887000000人，将887000000用科学记数
法表示为 8.87 × 1 0 8 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n
是负数．
【解答】解：887000000=8.87×108．
故答案为：8.87×108．
12．命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为： “如果 m 是
有理数，那么它是整数” ．
【考点】O1：命题与定理．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题：“如果m是整数，那么它是有理数”的逆命题为“如果m是有
理数，那么它是整数”．
第13页（共30页）故答案为“如果m是有理数，那么它是整数”．
13．彭山的枇杷大又甜，在今年5月18日“彭山枇杷节”期间，从山上5棵枇杷
树上采摘到了200千克枇杷，请估计彭山近600棵枇杷树今年一共收获了枇杷
24000 千克．
【考点】V5：用样本估计总体．
【分析】先求出一棵枇杷树上采摘多少千克枇杷，再乘以彭山总的枇杷树的棵数，
即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
200÷5×600=24000（千克），
答：今年一共收获了枇杷24000千克；
故答案为：24000．
14．如图，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是线段AE上的一动点，过
D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，则CD长度的取值范围是 0 ≤ CD ≤ 5 ．
【考点】KO：含30度角的直角三角形；KP：直角三角形斜边上的中线．
【分析】分点D与点E重合、点D与点A重合两种情况，根据等腰三角形的性质计
算即可．
【解答】解：当点D与点E重合时，CD=0，
当点D与点A重合时，
∵∠A=90°，∠B=60°，
∴∠E=30°，
∴∠CDE=∠E，∠CDB=∠B，
∴CE=CD，CD=CB，
第14页（共30页）∴CD= BE=5，
∴0≤CD≤5，
故答案为：0≤CD≤5．
15．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x，正方形
EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为 y=2 x 2 ﹣4 x + 4 ．
【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式；LE：正方形的性质．
【分析】由AAS证明△AHE≌△BEF，得出AE=BF=x，AH=BE=2﹣x，再根据勾股定理，
求出EH2，即可得到y与x之间的函数关系式．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=2．
∴∠1+∠2=90°，
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠HEF=90°，EH=EF．
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△AHE与△BEF中，
第15页（共30页）∵ ，
∴△AHE≌△BEF（AAS），
∴AE=BF=x，AH=BE=2﹣x，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：
EH2=AE2+AH2=x2+（2﹣x）2=2x2﹣4x+4；
即y=2x2﹣4x+4（0＜x＜2），
故答案为：y=2x2﹣4x+4．
16．如图，有一条折线A B A B A B A B …，它是由过A（0，0），B（2，2），A（4，0）
1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2
组成的折线依次平移4，8，12，…个单位得到的，直线y=kx+2与此折线恰有2n
（n≥1，且为整数）个交点，则k的值为 ﹣ ．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；Q3：坐标与图形变化﹣平移．
【分析】由点A 、A 的坐标，结合平移的距离即可得出点 A 的坐标，再由直线
1 2 n
y=kx+2与此折线恰有2n（n≥1，且为整数）个交点，即可得出点A （4n，0）在直线
n+1
y=kx+2上，依据依此函数图象上点的坐标特征，即可求出k值．
【解答】解：∵A （0，0），A （4，0），A （8，0），A （12，0），…，
1 2 3 4
∴A （4n﹣4，0）．
n
∵直线y=kx+2与此折线恰有2n（n≥1，且为整数）个交点，
∴点A （4n，0）在直线y=kx+2上，
n+1
∴0=4nk+2，
解得：k=﹣ ．
第16页（共30页）故答案为：﹣ ．
三、解答题（本题共2小题，每小题5分，共10分．）
17．甲、乙、丙三个同学站成一排进行毕业合影留念，请用列表法或树状图列出所
有可能的情形，并求出甲、乙两人相邻的概率是多少？
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】用树状图表示出所有情况，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：用树状图分析如下：
∴一共有6种情况，甲、乙两人恰好相邻有4种情况，
∴甲、乙两人相邻的概率是 = ．
18．求不等式组 的整数解．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】先求出不等式的解，然后根据大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大
小小解不了，的口诀求出不等式组的解，进而求出整数解．
【解答】解：解不等式①得x≤ ，
第17页（共30页）解不等式②得x≥﹣ ，
∴不等式组的解集为：﹣ ≤x≤
∴不等式组的整数解是0，1，2．
四、解答题：本大题共2小题，每小题6分，共12分．
19．先化简，再求值：（ ﹣ ）（ ﹣ ），其中x=4．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再将x的值代入求解可得．
【解答】解：原式=[ + ]•[ ﹣ ]
= •（ ﹣ ）
= •
=x﹣2，
当x=4时，
原式=4﹣2=2．
20．在“一带一路”倡议下，我国已成为设施联通，贸易畅通的促进者，同时也带
动了我国与沿线国家的货物交换的增速发展，如图是湘成物流园 2016年通过
“海、陆（汽车）、空、铁”四种模式运输货物的统计图．
请根据统计图解决下面的问题：
（1）该物流园2016年货运总量是多少万吨？
（2）该物流园2016年空运货物的总量是多少万吨？并补全条形统计图；
（ 3 ） 求 条 形 统 计 图 中 陆 运 货 物 量 对 应 的 扇 形 圆 心 角 的 度 数 ？
第18页（共30页）【考点】VC：条形统计图；VB：扇形统计图．
【分析】（1）根据铁运的货运量以及百分比，即可得到物流园2016年货运总量；
（2）根据空运的百分比，即可得到物流园2016年空运货物的总量，并据此补全条
形统计图；
（3）根据陆运的百分比乘上360°，即可得到陆运货物量对应的扇形圆心角的度数
【解答】解：（1）2016年货运总量是120÷50%=240吨；
（2）2016年空运货物的总量是240×15%=36吨，
条形统计图如下：
（3）陆运货物量对应的扇形圆心角的度数为 ×360°=18°．
五、解答题：本大题共2小题，每小题7分，共14分．
21．如图，已知反比例函数y= 的图象经过点A（4，m），AB⊥x轴，且△AOB的面
积为2．
（1）求k和m的值；
第19页（共30页）（2）若点C（x，y）也在反比例函数y= 的图象上，当﹣3≤x≤﹣1时，求函数值y
的取值范围．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义先得到k的值，然后把点A的坐标
代入反比例函数解析式，可求出k的值；
（2）先分别求出x=﹣3和﹣1时y的值，再根据反比例函数的性质求解．
【解答】解：（1）∵△AOB的面积为2，
∴k=4，
∴反比例函数解析式为y= ，
∵A（4，m），
∴m= =1；
（2）∵当x=﹣3时，y=﹣ ；
当x=﹣1时，y=﹣4，
又∵反比例函数y= 在x＜0时，y随x的增大而减小，
∴当﹣3≤x≤﹣1时，y的取值范围为﹣4≤y≤﹣ ．
第20页（共30页）22．如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO．
（1）求证：BC是∠ABE的平分线；
（2）若DC=8，⊙O的半径OA=6，求CE的长．
【考点】MC：切线的性质．
【分析】（1）由BE∥CO，推出∠OCB=∠CBE，由OC=OB，推出∠OCB=∠OBC，可得
∠CBE=∠CBO；
（2）在Rt△CDO中，求出OD，由OC∥BE，可得 = ，由此即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵DE是切线，
∴OC⊥DE，
∵BE∥CO，
∴∠OCB=∠CBE，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CBE=∠CBO，
∴BC平分∠ABE．
（2）在Rt△CDO中，∵DC=8，OC=0A=6，
∴OD= =10，
∵OC∥BE，
∴ = ，
第21页（共30页）∴ = ，
∴EC=4.8．
六、解答题：本大题共2小题，每小题8分，共16分．
23．收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜
甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．
请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？
（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？
【考点】8A：一元一次方程的应用；AD：一元二次方程的应用．
【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2016年收到微信红
包金额400（1+x）万元，在2016年的基础上再增长x，就是2017年收到微信红包
金额400（1+x）（1+x），由此可列出方程400（1+x）2=484，求解即可．
（2）设甜甜在 2017年六一收到微信红包为 y元，则她妹妹收到微信红包为
（2y+34）元，根据她们共收到微信红包484元列出方程并解答．
【解答】解：（1）设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是
x，
依题意得：400（1+x）2=484，
解得x =0.1=10%，x =﹣2.2（舍去）．
1 2
第22页（共30页）答：2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%；
（2）设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元，
依题意得：2y+34+y=484，
解得y=150
所以484﹣150=334（元）．
答：甜甜在2017年六一收到微信红包为150元，则她妹妹收到微信红包为334元．
24．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座
BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框
D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D
到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，
tan75°≈3.732， ≈1.732， ≈1.414）
【考点】T8：解直角三角形的应用．
【分析】延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得
到结论．
【解答】解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB= ，
∴AB=BC•tan75°=0.60×3.732=2.0292，
∴GM=AB=2.0292，
第23页（共30页）在Rt△AGF中，∵∠FAG=∠FHD=60°，sin∠FAG= ，
∴sin60°= = ，
∴FG=4.33，
∴DM=FG+GM﹣DF≈5.01米，
答：篮框D到地面的距离是5.01米．
七、解答题：每小题10分，共20分。
25．如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点（2，2），（1， ）在抛物线上，点P是抛
物线上不与顶点N重合的一动点，过P作PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，延长PC交
抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点．
（1）求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
（2）求证：四边形PMDA是平行四边形；
（3）求证：△DPE∽△PAM，并求出当它们的相似比为 时的点P的坐标．
第24页（共30页）【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由已知点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式，可求得其
顶点N的坐标；
（2）设P点横坐标为t，则可表示出C、D、M、A的坐标，从而可表示出PA和DM的
长，由PA=DM可证得结论；
（3）设P点横坐标为t，在Rt△PCM中，可表示出PM，可求得PM=PA，可知四边形
PMDA为菱形，由菱形的性质和抛物线的对称性可得∠PDE=∠APM，可证得结论，
在Rt△AOM中，用t表示出AM的长，再表示出PE的长，由相似比为 可得到关
于t的方程，可求得t的值，可求得P点坐标．
【解答】（1）解：∵抛物线的对称轴是y轴，
∴可设抛物线解析式为y=ax2+c，
∵点（2，2），（1， ）在抛物线上，
∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为y= x2+1，
∴N点坐标为（0，1）；
第25页（共30页）（2）证明：设P（t， t2+1），则C（0， t2+1），PA= t2+1，
∵M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点，且N（0，1），
∴M（0，2），
∵OC= t2+1，ON=1，
∴DM=CN= t2+1﹣1= t2，
∴OD= t2﹣1，
∴D（0，﹣ t2+1），
∴DM=2﹣（﹣ t2+1）= t2+1=PA，且PM∥DM，
∴四边形PMDA为平行四边形；
（3）解：同（2）设P（t， t2+1），则C（0， t2+1），PA= t2+1，PC=|t|，
∵M（0，2），
∴CM= t2+1﹣2= t2﹣1，
在Rt△PMC中，由勾股定理可得PM= = =
= t2+1=PA，且四边形PMDA为平行四边形，
∴四边形PMDA为菱形，
第26页（共30页）∴∠APM=∠ADM=2∠PDM，
∵PE⊥y轴，且抛物线对称轴为y轴，
∴DP=DE，且∠PDE=2∠PDM，
∴∠PDE=∠APM，且 = ，
∴△DPE∽△PAM；
∵OA=|t|，OM=2，
∴AM= ，且PE=2PC=2|t|，
当相似比为 时，则 = ，即 = ，解得t=2 或t=﹣2 ，
∴P点坐标为（2 ，4）或（﹣2 ，4）．
26．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD
于E，AC于F．
（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；
（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；
②AG2=AF•AC．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）①过G作GH∥AD交BC于H，由AG=BG，得到BH=DH，根据已知条件设
DC=1，BD=4，得到BH=DH=2，根据平行线分线段成比例定理得到 = = ，求得
第27页（共30页）GM=2MC；
②过C作CN⊥AD交AD的延长线于N，则CN∥AG，根据相似三角形的性质得到
= ，由①知GM=2MC，得到2NC=AG，根据相似三角形的性质得到 = ，等
量代换得到 = ，于是得到结论．
【解答】证明：（1）在Rt△ABE和Rt△DBE中， ，
∴△ABE≌△DBE；
（2）①过G作GH∥AD交BC于H，
∵AG=BG，
∴BH=DH，
∵BD=4DC，
设DC=1，BD=4，
∴BH=DH=2，
∵GH∥AD，
∴ = = ，
∴GM=2MC；
②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，
∴△AGM∽△NCM，
∴ = ，
由①知GM=2MC，
∴2NC=AG，
∵∠BAC=∠AEB=90°，
∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE，
第28页（共30页）∴△ACN∽△BAF，
∴ = ，
∵AB=AG，
∴ = ，
∴2CN•AG=AF•AC，
∴AG2=AF•AC．
第29页（共30页）2017年7月13日
第30页（共30页）
