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2017 年辽宁省抚顺市中考数学试卷
一、选择题（本题共 10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
1 1
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2 2
2．（3分）目前，中国网民已经达到 731 000 000人，将数据731 000 000用科
学记数法表示为（ ）
A．0.731×109 B．7.31×108 C．7.31×109 D．73.1×107
3．（3分）如图在长方形中挖出一个圆柱体后，得到的几何体的左视图为（
）
A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a8÷a4=a2 B．（﹣2a2）3=﹣8a6 C．a2•a3=a6 D．（a﹣3）2=a2﹣9
5．（3分）我校四名跳远运动员在前的 10次跳远测试中成绩的平均数相同，
方差 s2如下表示数，如果要选出一名跳远成绩最稳定的选手参加抚顺市运动
会，应选择的选手是（ ）
选手 甲 乙 丙 丁
s2 0.5 0.5 0.6 0.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（3分）为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲
匀速骑行30公里的时间与乙匀速骑行 25公里的时间相同，已知甲每小时比乙
多骑行 2 公里，设甲每小时骑行 x 公里，根据题意列出的方程正确的是
（ ）
第1页（共40页）30 25 30 25 30 25 30 25
A． = B． = C． = D． =
x+2 x x x+2 x x-2 x-2 x
7．（3分）如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l 、l ，使l ∥l ，l 与边
1 2 1 2 2
BC交于点P，若∠1=38°，则∠BPD为（ ）
A．162°B．152°C．142°D．128°
8．（3分）若一次函数y=kx+b的图象如图所示，则（ ）
A．k＜0，b＜0 B．k＞0，b＞0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＜0
9．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．任意画一个正五边形，它是中心对称图形
B．实数x使式子√x-3有意义，则实数x＞3
C．a，b均为实数，若a=√38，b=√4，则a＞b
D．5个数据是：6，6，3，2，1，则这组数据的中位数是3
10．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，一个以点B为顶点的60°
角绕点 B旋转，这个角的两边分别与线段 AD的延长线及 CD的延长线交于点
P、Q，设DP=x，DQ=y，则能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
第2页（共40页）A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）分解因式：ab2﹣a= ．
12．（3分）已知关于x的方程x2+2x﹣m=0有实数解，那么m的取值范围是
．
13．（3分）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分
构成了一个四边形ABCD，当线段AD=3时，线段BC的长为 ．
3
14．（3 分）已知 A（x ，y ），B（x ，y ）是反比例函数 y=﹣ 图象上的两
1 1 2 2 x
点，且x ＞x ＞0，则y y （填“＞”或“＜”）．
1 2 1 2
15．（3分）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若
干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重
复实验后，发现摸到绿球的概率稳定在0.2，则袋中有绿球 个．
16．（3分）如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测
量电视塔AB的高度，在点 M处测得塔尖点 A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线
MB 方向前进 200 米到达湖边点 N 处，测得塔尖点 A 在湖中的倒影 A′的俯角
∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为 米（结果保留根号）．
第3页（共40页）17．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，CD=2，以点 C 为圆心，CD 长为半径画
弧，交AB边于点E，且E为AB中点，则图中阴影部分的面积为 ．
18．（3分）如图，等边△A C C 的周长为1，作C D ⊥A C 于D ，在C C 的延
1 1 2 1 1 1 2 1 1 2
长线上取点 C ，使 D C =D C ，连接 D C ，以 C C 为边作等边△A C C ；作
3 1 3 1 1 1 3 2 3 2 2 3
C D ⊥A C 于D ，在C C 的延长线上取点 C ，使D C =D C ，连接 D C ，以C C
2 2 2 3 2 2 3 4 2 4 2 2 2 4 3 4
为边作等边△A C C ；…且点A ，A ，A ，…都在直线C C 同侧，如此下去，则
3 3 4 1 2 3 1 2
△A C C ，△A C C ，△A C C ，…，△A C C 的周长和为 ．（n≥2，且
1 1 2 2 2 3 3 3 4 n n n+1
n为整数）
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
5 a-3
19．（10分）先化简，再求值：（a﹣2﹣ ）÷ ，其中a=（3﹣π）0+
a+2 2a+4
1
（ ）﹣1．
4
第4页（共40页）20．（12分）学校想知道九年级学生对我国倡导的“一带一路”的了解程度，
随机抽取部分九年级学生进行问卷调查，问卷设有4个选项（每位被调查的学
生必选且只选一项）：A．非常了解．B．了解．C．知道一点．D．完全不知
道．将调查的结果绘制如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信
息，解答下列问题：
（1）求本次共调查了多少学生？
（2）补全条形统计图；
（3）该校九年级共有600名学生，请你估计“了解”的学生约有多少名？
（4）在“非常了解”的3人中，有2名女生，1名男生，老师想从这3人中任
选两人做宣传员，请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男生一女
生的概率．
第5页（共40页）四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12 分）在平面直角坐标系中，A，B，C，三点坐标分别为 A（﹣6，
3），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．
（1）如图1，顺次连接AB，BC，CA，得△ABC．
①点A关于x轴的对称点A 的坐标是 ，点B关于y轴的对称点B 的坐标
1 1
是 ；
②画出△ABC关于原点对称的△A B C ；
2 2 2
③tan∠A C B = ；
2 2 2
（2）利用四边形的不稳定性，将第二象限部分由小正方形组成的网格，变化为
如图2所示的由小菱形组成的网格，每个小菱形的边长仍为 1个单位长度，且
较小内角为60°，原来的格点A，B，C分别对应新网格中的格点A′，B′，C′，顺
次连接A′B′，B′C′，C′A′，得△A′B′C′，则tan∠A′C′B′= ．
22．（12分）学校准备购进一批篮球和足球，买 1个篮球和2个足球共需170
元，买2个篮球和1个足球共需190元．
（1）求一个篮球和一个足球的售价各是多少元？
（2）学校欲购进篮球和足球共100个，且足球数量不多于篮球数量的2倍，求
第6页（共40页）出最多购买足球多少个？
五、解答题（满分12分）
23．（12 分）如图，AB 为⊙O 直径，AC 为⊙O 的弦，过⊙O 外的点 D 作
DE⊥OA 于点 E，交 AC 于点 F，连接 DC 并延长交 AB 的延长线于点 P，且
∠D=2∠A，作CH⊥AB于点H．
（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；
3
（2）若HB=2，cosD= ，请求出AC的长．
5
六、解答题（满分12分）
24．（12分）某商场对某种商品进行销售，第x天的销售单价为m元/件，日
销售量为n件，其中m，n分别是x（1≤x≤30，且x为整数）的一次函数，销
售情况如下表：
销售第x天 第1天 第2天 第3天 第4天 … 第30
天
第7页（共40页）销售单价m 49 48 47 46 … 20
（元/件）
日销售量（件） 45 50 55 60 … 190
（1）过程表中数据，分别直接写出m与x，n与x的函数关系式： ，
；
（2）求商场销售该商品第几天时该商品的日销售额恰好为3600元？
（3）销售商品的第15天为儿童节，请问：在儿童节前（不包括儿童节当天）
销售该商品第几天时该商品的日销售额最多？商场决定将这天该商品的日销售
额捐献给儿童福利院，试求出商场可捐款多少元？
七、解答题（满分12分）
25．（12分）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线
ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分
别交直线OF、ON交于点B、点C，连接AB、PB．
（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量
关系；
（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段 AB，PB是否
还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理
由；
AP
（3）如图3，∠MON=60°，连接AP，设 =k，当P和Q两点都在射线ON上
OQ
移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说
明理由．
第8页（共40页）八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，抛物线 y=ax2+bx+4交y轴于点A，并经过B（4，4）和C
（6，0）两点，点D的坐标为（4，0），连接AD，BC，点E从点A出发，以每
秒√2个单位长度的速度沿线段 AD向点D运动，到达点D后，以每秒1个单位
长度的速度沿射线DC运动，设点E的运动时间为t秒，过点E作AB的垂线EF
交直线AB于点F，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；
（3）设点E从点A出发时，点E，F，G都与点A重合，点E在运动过程中，当
△BCG的面积为4时，直接写出相应的t值，并直接写出点G从出发到此时所经
过的路径长．
第9页（共40页）第10页（共40页）2017 年辽宁省抚顺市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共 10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
1 1
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2 2
【考点】14：相反数．
【分析】依据相反数的定义求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是2．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（3分）目前，中国网民已经达到 731 000 000人，将数据731 000 000用科
学记数法表示为（ ）
A．0.731×109 B．7.31×108 C．7.31×109 D．73.1×107
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整
数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与
小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1
时，n是负数．
【解答】解：将数据731 000 000用科学记数法表示为7.31×108，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的
形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的
值．
3．（3分）如图在长方形中挖出一个圆柱体后，得到的几何体的左视图为（
）
第11页（共40页）A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视
图中．
【解答】解：从左面看所得到的图形是长方形，中间两条竖的虚线．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视
图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视
图是解题的关键．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a8÷a4=a2 B．（﹣2a2）3=﹣8a6 C．a2•a3=a6 D．（a﹣3）2=a2﹣9
【考点】4I：整式的混合运算．
【分析】各项计算得到结果了，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=a4，不符合题意；
B、原式=﹣8a6，符合题意；
C、原式=a5，不符合题意；
D、原式=a2﹣6a+9，不符合题意，
故选B
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（3分）我校四名跳远运动员在前的 10次跳远测试中成绩的平均数相同，
方差 s2如下表示数，如果要选出一名跳远成绩最稳定的选手参加抚顺市运动
会，应选择的选手是（ ）
选手 甲 乙 丙 丁
第12页（共40页）s2 0.5 0.5 0.6 0.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】W7：方差；W1：算术平均数．
【分析】根据方差的大小即可解决问题．
【解答】解：由题意丁的方差最小，所以丁的成绩最稳定，
故选D．
【点评】此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据
波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据
越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数
越小，即波动越小，数据越稳定．
6．（3分）为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲
匀速骑行30公里的时间与乙匀速骑行 25公里的时间相同，已知甲每小时比乙
多骑行 2 公里，设甲每小时骑行 x 公里，根据题意列出的方程正确的是
（ ）
30 25 30 25 30 25 30 25
A． = B． = C． = D． =
x+2 x x x+2 x x-2 x-2 x
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设甲每小时骑行x公里，则乙每小时骑行（x﹣2）公里，根据题意可
得等量关系：甲匀速骑行30公里的时间=乙匀速骑行25公里的时间，根据等量
关系列出方程即可．
【解答】解：设甲每小时骑行x公里，根据题意得：
30 25
=
x x-2
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，
找出题目中的等量关系，再列出方程．
7．（3分）如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l 、l ，使l ∥l ，l 与边
1 2 1 2 2
BC交于点P，若∠1=38°，则∠BPD为（ ）
第13页（共40页）A．162°B．152°C．142°D．128°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】先根据平行线的性质，得到∠ADP的度数，再根据平行线的性质，即
可得到∠BPD的度数．
【解答】解：∵l ∥l ，∠1=38°，
1 2
∴∠ADP=∠1=38°，
∵矩形ABCD的对边平行，
∴∠BPD+∠ADP=180°，
∴∠BPD=180°﹣38°=142°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内
错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
8．（3分）若一次函数y=kx+b的图象如图所示，则（ ）
A．k＜0，b＜0 B．k＞0，b＞0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＜0
【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．
【分析】观察图象，找到一次函数y=kx+b的图象经过的象限，进而分析k、b
的取值范围，即可得答案．
【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0．
第14页（共40页）故选B．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：由于 y=kx+b 与 y 轴交于
（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；
当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0时，y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0时，y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0时，y=kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0时，y=kx+b的图象在二、三、四象限．
9．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．任意画一个正五边形，它是中心对称图形
B．实数x使式子√x-3有意义，则实数x＞3
C．a，b均为实数，若a=√38，b=√4，则a＞b
D．5个数据是：6，6，3，2，1，则这组数据的中位数是3
【考点】X1：随机事件．
【分析】根据中心对称图形的概念，二次根式有意义的条件，立方根和算术平
方根的定义，中位数的定义对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、任意画一个正五边形，它是中心对称图形，是不可能时事件，
故本选项错误；
B、实数x使式子√x-3有意义，则实数x＞3，是不可能时事件，应为x≥3，故
本选项错误；
C、a，b均为实数，若a=√38，b=√4，则a=2，b=2，所以，a=b，故a＞b是不可
能事件，故本选项错误；
D、5个数据是：6，6，3，2，1，则这组数据的中位数是3，是必然事件，故本
选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事
件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事
件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定
条件下，可能发生也可能不发生的事件．
第15页（共40页）10．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，一个以点B为顶点的60°
角绕点 B旋转，这个角的两边分别与线段 AD的延长线及 CD的延长线交于点
P、Q，设DP=x，DQ=y，则能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】E7：动点问题的函数图象．
【分析】根据菱形的性质得到∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠BDC=60°，由邻补角的定
义得到∠BDQ=∠BDP=120°，根据平行线的性质得到∠P=∠PBC，于是得到
∠QBD=∠P，根据相似三角形的性质得到xy=4，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠BDC=60°，
∴∠BDQ=∠BDP=120°，
∵∠QBP=60°，
∴∠OBD=∠PBC，
∵AP∥BC，
∴∠P=∠PBC，
∴∠QBD=∠P，
∴△BDQ∽△PDB，
DQ BD y 2
∴ = ，即 = ，
BD PD 2 x
∴xy=4，
∴y与x的函数关系的图象是双曲线，
故选A．
第16页（共40页）【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三
角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）分解因式：ab2﹣a= a （ b + 1 ）（ b﹣ 1 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=a（b2﹣1）=a（b+1）（b﹣1），
故答案为：a（b+1）（b﹣1）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方
法是解本题的关键．
12．（3分）已知关于 x的方程 x2+2x﹣m=0 有实数解，那么 m的取值范围是
m ≥ ﹣ 1 ．
【考点】AA：根的判别式．
【分析】有解的意思就是指△≥0，把a、b、c的值代入计算即可．
【解答】解：根据题意得
△=b2﹣4ac=4+4m≥0，
解得m≥﹣1，
故答案是m≥﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是注意：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
⇔
13．（3分）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分
第17页（共40页）构成了一个四边形ABCD，当线段AD=3时，线段BC的长为 3 ．
【考点】LA：菱形的判定与性质．
【分析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形，可
得到AD=BC．
【解答】解：由条件可知AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD=3．
故答案为3．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性
质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形 平行四边形，②两组对边
分别相等的四边形 平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形 平行四边
⇔
形，④两组对角分别相等的四边形 平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形
⇔ ⇔
平行四边形．
⇔
⇔
3
14．（3 分）已知 A（x ，y ），B（x ，y ）是反比例函数 y=﹣ 图象上的两
1 1 2 2 x
点，且x ＞x ＞0，则y ＞ y （填“＞”或“＜”）．
1 2 1 2
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数的增减性解答．
3
【解答】解：∵在反比例函数y=﹣ 图象的每个分支上y随x的增大而增大，
x
∴y ＞y ，
1 2
故答案为＞．
【点评】本题考查了反比例函数的增减性，要分两个分支讨论．
15．（3分）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若
第18页（共40页）干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重
复实验后，发现摸到绿球的概率稳定在0.2，则袋中有绿球 3 个．
【考点】X8：利用频率估计概率．
【分析】直接利用绿球个数÷总数=0.2，进而得出答案．
【解答】解：设绿球的个数为x，
x
根据题意，得： =0.2，
9+3+x
解得：x=3，
经检验x=3是原分式方程的解，
即袋中有绿球3个，
故答案为：3
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，正确掌握频率求法是解题关键．
16．（3分）如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测
量电视塔AB的高度，在点 M处测得塔尖点 A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线
MB 方向前进 200 米到达湖边点 N 处，测得塔尖点 A 在湖中的倒影 A′的俯角
∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为 10 0√2 米（结果保留根号）．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】先求出∠ANB=45°，进而排的AN=MN，最后用等腰直角三角形的性质
即可得出结论．
【解答】解：如图，
第19页（共40页）连接AN，由题意知，BM⊥AA'，BA=BA'
∴AN=A'N，
∴∠ANB=∠A'NB=45°，
∵∠AMB=22.5°，
∴∠MAN=∠ANB﹣∠AMB=22.5°=∠AMN，
∴AN=MN=200米，
在Rt△ABN中，∠ANB=45°，
√2
∴AB= AN=100√2（米），
2
故答案为100√2．
【点评】此题是解直角三角形的应用﹣﹣﹣仰角和俯角，主要考查了垂直平分
线的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出∠ANB=45°．
17．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，CD=2，以点 C 为圆心，CD 长为半径画
3√3 2π
弧，交 AB 边于点 E，且 E 为 AB 中点，则图中阴影部分的面积为 ﹣
2 3
．
【考点】MO：扇形面积的计算；LB：矩形的性质．
【分析】根据扇形面积公式以及梯形面积公式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：AB=CD=2，
第20页（共40页）1
∴EB= AB=1，
2
∴∠ECB=30°，
∴∠DCE=60°，
60°π×4 2
∴扇形CDE的面积为： = π，
360° 3
∵EB=1，CE=2，
∴由勾股定理可知：BC=√3，
∴AD=BC=√3
(AE+CD)⋅AD (1+2)×√3 3
梯形EADC的面积为： = = √3，
2 2 2
3√3 2π
∴阴影部分的面积为： ﹣
2 3
3√3 2π
故答案为： ﹣
2 3
【点评】本题考查扇形的面积公式，解题的关键是熟练运用扇形的面积公式以
及梯形的面积公式，本题属于中等题型．
18．（3分）如图，等边△A C C 的周长为1，作C D ⊥A C 于D ，在C C 的延
1 1 2 1 1 1 2 1 1 2
长线上取点 C ，使 D C =D C ，连接 D C ，以 C C 为边作等边△A C C ；作
3 1 3 1 1 1 3 2 3 2 2 3
C D ⊥A C 于D ，在C C 的延长线上取点 C ，使D C =D C ，连接 D C ，以C C
2 2 2 3 2 2 3 4 2 4 2 2 2 4 3 4
为边作等边△A C C ；…且点A ，A ，A ，…都在直线C C 同侧，如此下去，则
3 3 4 1 2 3 1 2
2n-1
△A C C ，△A C C ，△A C C ，…，△A C C 的周长和为 ．（n≥2，
1 1 2 2 2 3 3 3 4 n n n+1 2n-1
且n为整数）
第21页（共40页）【考点】KK：等边三角形的性质．
【分析】根据等边三角形的性质分别求出△A C C ，△A C C ，△A C C ，…，
1 1 2 2 2 3 3 3 4
△A C C 的周长即可解决问题．
n n n+1
【解答】解：∵等边△A C C 的周长为1，作C D ⊥A C 于D ，
1 1 2 1 1 1 2 1
∴A D =D C ，
1 1 1 2
1 1
∴△A C C 的周长= △A C C 的周长= ，
2 2 3 2 1 1 2 2
1 1
∴△A C C ，△A C C ，△A C C ，…，△A C C 的周长分别为1， ， ，…，
1 1 2 2 2 3 3 3 4 n n n+1 2 22
1
，
2n-1
1 1 1
∴△A C C ，△A C C ，△A C C ，…，△A C C 的周长和为 1+ + +…+ =
1 1 2 2 2 3 3 3 4 n n n+1 2 22 2n-1
2n-1
．
2n-1
2n-1
故答案为 ．
2n-1
【点评】本题考查等边三角形的性质、解题的关键是理解题意，灵活运用所学
知识，属于中考常考题型．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
5 a-3
19．（10分）先化简，再求值：（a﹣2﹣ ）÷ ，其中a=（3﹣π）0+
a+2 2a+4
1
（ ）﹣1．
4
【考点】6D：分式的化简求值；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 a的值代入即
可解答本题．
5 a-3
【解答】解：（a﹣2﹣ ）÷
a+2 2a+4
第22页（共40页）(a-2)(a+2)-5 2(a+2)
= ⋅
a+2 a-3
(a+3)(a-3) 2(a+2)
= ⋅
a+2 a-3
=2a+6，
1
当a=（3﹣π）0+（ ）﹣1=1+4=5时，原式=2×5+6=16．
4
【点评】本题考查分式的化简求值、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关
键是明确它们各自的计算方法．
20．（12分）学校想知道九年级学生对我国倡导的“一带一路”的了解程度，
随机抽取部分九年级学生进行问卷调查，问卷设有4个选项（每位被调查的学
生必选且只选一项）：A．非常了解．B．了解．C．知道一点．D．完全不知
道．将调查的结果绘制如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信
息，解答下列问题：
（1）求本次共调查了多少学生？
（2）补全条形统计图；
（3）该校九年级共有600名学生，请你估计“了解”的学生约有多少名？
（4）在“非常了解”的3人中，有2名女生，1名男生，老师想从这3人中任
选两人做宣传员，请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男生一女
生的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；
VC：条形统计图．
第23页（共40页）【分析】（1）由D选项的人数及其百分比可得总人数；
（2）总人数减去A、C、D选项的人数求得B的人数即可；
（3）总人数乘以样本中B选项的比例可得；
（4）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）本次调查的学生人数为6÷20%=30；
（2）B选项的人数为30﹣3﹣9﹣6=12，
补全图形如下：
12
（3）估计“了解”的学生约有600× =240名；
30
（4）画树状图如下：
由树状图可知，共有 6 种等可能结果，其中两人恰好是一男生一女生的有 4
种，
4 2
∴被选中的两人恰好是一男生一女生的概率为 = ．
6 3
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，
读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计
图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比
大小．
第24页（共40页）四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12 分）在平面直角坐标系中，A，B，C，三点坐标分别为 A（﹣6，
3），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．
（1）如图1，顺次连接AB，BC，CA，得△ABC．
①点A关于x轴的对称点A 的坐标是 （﹣ 6 ，﹣ 3 ） ，点B关于y轴的对称
1
点B 的坐标是 （ 4 ， 1 ） ；
1
②画出△ABC关于原点对称的△A B C ；
2 2 2
2
③tan∠A C B = ；
2 2 2 5
（2）利用四边形的不稳定性，将第二象限部分由小正方形组成的网格，变化为
如图2所示的由小菱形组成的网格，每个小菱形的边长仍为 1个单位长度，且
较小内角为60°，原来的格点A，B，C分别对应新网格中的格点A′，B′，C′，顺
√3
次 连 接 A′B′ ， B′C′ ， C′A′ ， 得 △ A′B′C′ ， 则 tan∠ A′C′B′= ．
4
【考点】R8：作图﹣旋转变换；P7：作图﹣轴对称变换；T7：解直角三角形．
【分析】（1）①直接得到对称点的坐标即可；
②画图；
第25页（共40页）2
③根据正切的定义：等于对边比邻边，即tan∠A B C = ；
2 2 2 5
（2）作高线 A'E，构建直角三角形，利用勾股定理求 A'E 和EC'的长，可得结
论．
【解答】解：（1）①点A关于x轴的对称点A 的坐标是（﹣6，﹣3），点B关
1
于y轴的对称点B 的坐标是（4，1）；
1
故答案为：（﹣6，﹣3），（4，1）；
②如图1所示；
2
③tan∠A B C = ；
2 2 2 5
2
故答案为： ；
5
（2）如图2，过A'作A'E⊥B′C′于E，延长C′B′至D，使DC'=5，连接A'D，
Rt△A′ED中，∵∠A′DE=60°，A'D=2，
∴DE=1，A'E=√3，
∴EC'=5﹣1=4，
A'E √3
Rt△A′EC′中，tan∠A'C'B'= = ，
EC' 4
√3
故答案为： ．
4
第26页（共40页）【点评】本题考查了关于原点、x轴、y轴对称，菱形的性质，解直角三角形，
熟练掌握正切的定义是关键．
22．（12分）学校准备购进一批篮球和足球，买 1个篮球和2个足球共需170
元，买2个篮球和1个足球共需190元．
（1）求一个篮球和一个足球的售价各是多少元？
（2）学校欲购进篮球和足球共100个，且足球数量不多于篮球数量的2倍，求
出最多购买足球多少个？
【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）设一个篮球和一个足球的售价各是x元、y元，
{&x+2y=170 {&x=70
，得 ，
&2x+ y=190 & y=50
答：一个篮球和一个足球的售价各是70元、50元；
（2）设购进足球a个，
a≤2（100﹣a），
2
解得，a≤66 ，
3
∴最多购买足球66个，
答：最多购买足球66个．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解答本题
的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式，利用方程的思想和不等式的
性质解答．
五、解答题（满分12分）
23．（12 分）如图，AB 为⊙O 直径，AC 为⊙O 的弦，过⊙O 外的点 D 作
DE⊥OA 于点 E，交 AC 于点 F，连接 DC 并延长交 AB 的延长线于点 P，且
∠D=2∠A，作CH⊥AB于点H．
（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；
第27页（共40页）3
（2）若HB=2，cosD= ，请求出AC的长．
5
【考点】MB：直线与圆的位置关系；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形．
【分析】（1）连接 OC，易证∠COB=∠D，由于∠P+∠D=90°，所以
∠P+∠COB=90°，从而可知半径OC⊥DC；
3
（2）由（1）可知：cos∠COP=cos∠D= ，设半径为r，所以OH=r﹣2，从而可
5
求出r的值，利用勾股定理即可求出CH的长度，从而可求出AC的长度．
【解答】解：（1）连接OC，
∵∠COB=2∠A，∠D=2∠A
∴∠COB=∠D，
∵DE⊥AP，
∴∠DEP=90°，
在Rt△DEP中，∠DEP=90°，
∴∠P+∠D=90°
∴∠P+∠COB=90°，
∴∠OCP=90°，
∴半径OC⊥DC，
∴DC与⊙O相切
（2）由（1）可知：∠OCP=90°，∠COP=∠D，
3
∴cos∠COP=cos∠D= ，
5
∵CH⊥OP
∴∠CHO=90°，
第28页（共40页）设⊙O的半径为r，
则OH=r﹣2
在Rt△CHO中，
OH r-2 3
cos∠HOC= = =
OC r 5
∴r=5
∴OH=5﹣2=3
∴由勾股定理可知：CH=4，
∴AH=AB﹣HB=10﹣2=8
在Rt△AHC中，∠CHA=90°，
∴由勾股定理可知：AC=4√5
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理、锐角三角函数，切线的判
定，解方程等知识，本题属于中等题型．
六、解答题（满分12分）
24．（12分）某商场对某种商品进行销售，第x天的销售单价为m元/件，日
销售量为n件，其中m，n分别是x（1≤x≤30，且x为整数）的一次函数，销
售情况如下表：
销售第x天 第1天 第2天 第3天 第4天 … 第30
天
销售单价m 49 48 47 46 … 20
（元/件）
日销售量（件） 45 50 55 60 … 190
第29页（共40页）（1）过程表中数据，分别直接写出m与x，n与x的函数关系式： m=﹣ x + 50
， n=5 x + 4 0 ；
（2）求商场销售该商品第几天时该商品的日销售额恰好为3600元？
（3）销售商品的第15天为儿童节，请问：在儿童节前（不包括儿童节当天）
销售该商品第几天时该商品的日销售额最多？商场决定将这天该商品的日销售
额捐献给儿童福利院，试求出商场可捐款多少元？
【考点】HE：二次函数的应用；AD：一元二次方程的应用．
【分析】（1）由表格中数据的变化，用含x的代数式表示出m、n即可；
（2）根据总价=单价×数量即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x
的值，由1≤x≤30可确定x的值；
（3）设日销售额为w元，根据总价=单价×数量即可找出w关于x的函数关系
式，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）观察表中数据可知：每过一天，销售单价降低 1元/件、销
量增加5件，
∴m=49﹣（x﹣1）=﹣x+50，n=45+5（x﹣1）=5x+40．
故答案为：m=﹣x+50；n=5x+40．
（2）根据题意得：（﹣x+50）（5x+40）=3600，
整理得：x2﹣42x+320=0，
解得：x =10，x =32．
1 2
∵32＞30，
∴x=32舍去．
答：第10天的日销售额为3600元．
（3）设日销售额为w元，
根据题意得：w=（﹣x+50）（5x+40）=﹣5x2+210x+2000=﹣5（x﹣21）2+4205．
∵a=﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
又∵对称轴为直线x=21，
∴当1≤x≤14时，w随x的增大而增大，
∴当x=14时，w取最大值，最大值为3960．
答：在儿童节前（不包括儿童节当天）销售该商品第14天时该商品的日销售额
第30页（共40页）最多，商场可捐款3960元．
【点评】本题考查了二次函数的应用、二次函数的性质以及一元二次方程的应
用，解题的关键是：（1）根据表中数据的变化找出 m、n与x的函数关系式；
（2）根据总价=单价×数量列出关于x的一元二次方程；（3）根据总价=单价
×数量找出w关于x的函数关系式．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线
ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分
别交直线OF、ON交于点B、点C，连接AB、PB．
（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量
关系；
（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段 AB，PB是否
还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理
由；
AP
（3）如图3，∠MON=60°，连接AP，设 =k，当P和Q两点都在射线ON上
OQ
移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说
明理由．
【考点】SO：相似形综合题．
【分析】（1）结论：AB=PB．连接BQ，只要证明△AOB≌△PQB 即可解决问
题；
（2）存在．证明方法类似（1）；
第31页（共40页）AP AB
（3）连接BQ．只要证明△ABP∽△OBQ，即可推出 = ，由∠AOB=30°，
OQ OB
AB
推出当BA⊥OM时， 的值最小，最小值为0.5，由此即可解决问题；
OB
【解答】解：（1）连接：AB=PB．
理由：如图1中，连接BQ．
∵BC垂直平分OQ，
∴BO=BQ，
∴∠BOQ=∠BQO，
∵OF平分∠MON，
∴∠AOB=∠BQO，
∵OA=PQ，
∴△AOB≌△PQB，
∴AB=PB．
（2）存在，
理由：如图2中，连接BQ．
∵BC垂直平分OQ，
第32页（共40页）∴BO=BQ，
∴∠BOQ=∠BQO，
∵OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，
∴∠AOF=∠FON=∠BQC，
∴∠BQP=∠AOB，
∵OA=PQ，
∴△AOB≌△PQB，
∴AB=PB．
（3）连接BQ．
易证△ABO≌△PBQ，
∴∠OAB=∠BPQ，AB=PB，
∵∠OPB+∠BPQ=180°，
∴∠OAB+∠OPB=180°，∠AOP+∠ABP=180°，
∵∠MON=60°，
∴∠ABP=120°，
∵BA=BP，
∴∠BAP=∠BPA=30°，
∵BO=BQ，
∴∠BOQ=∠BQO=30°，
∴△ABP∽△OBQ，
AP AB
∴ = ，
OQ OB
∵∠AOB=30°，
第33页（共40页）AB
∴当BA⊥OM时， 的值最小，最小值为0.5，
OB
∴k=0.5．
【点评】本题考查相似综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定
和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思
想思考问题，属于中考常考题型．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，抛物线 y=ax2+bx+4交y轴于点A，并经过B（4，4）和C
（6，0）两点，点D的坐标为（4，0），连接AD，BC，点E从点A出发，以每
秒√2个单位长度的速度沿线段 AD向点D运动，到达点D后，以每秒1个单位
长度的速度沿射线DC运动，设点E的运动时间为t秒，过点E作AB的垂线EF
交直线AB于点F，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；
（3）设点E从点A出发时，点E，F，G都与点A重合，点E在运动过程中，当
△BCG的面积为4时，直接写出相应的t值，并直接写出点G从出发到此时所经
过 的 路 径 长 ．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
第34页（共40页）（2）先表示G的坐标，再把点G的坐标代入抛物线的解析式中列方程可得t的
值；
（3）如图2，先计算当G在BD上时，t的值；
分三种情况进行讨论：
8
①当0≤t≤ 时，如图3，作辅助线，根据S =S +S△ ﹣S ，列式可
3 △BCG 梯形GHDB BDC △GHC
得t的值，利用勾股定理求AG的长即可；
BD GH 4
②当G在BC上时，如图4，根据同角的三角函数得tan∠C= = = =2，则
DC HC 2
16 8 16
GH=2HC，列关于t的方程得：t= ；当 ＜t≤ 时，如图5，同理可得结论；
5 3 5
③当E与D重合时，F与B重合，如图6，此时t=4，计算此时△BCG的面积为
2，因此点G继续向前运动；
当t＞4时，如图7，同理列方程可得结论．
【解答】解：（1）将B（4，4）和C（6，0）代入抛物线y=ax2+bx+4得：
{&4=16a+4b+4
，
&0=36a+6b+4
1
{&a=-
3
解得： ，
4
&b=
3
1 4
∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x+4；
3 3
（2）如图1，由题意得：AE=√2t，
∵A（0，4），B（4，4），
∴AB⊥y轴，且AB∥x轴，
∵OA=OD=4，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠ADO=∠BAD=45°，
∴△AFE是等腰直角三角形，
∴AF=EF=t，
∵△EFG是等腰直角三角形，
第35页（共40页）1 1
∴G（t+ t，4﹣ t），
2 2
3 1
即：点G（ t，4﹣ t），
2 2
3 1
将点G（ t，4﹣ t）代入到抛物线得：
2 2
1 1 3 4 3
4﹣ t=﹣ （ t）2+ × t+4，
2 3 2 3 2
10
解得：t =0（舍），t = ，
1 2 3
10
答：当t= 时，点G落在抛物线上；
3
（3）如图2，连接BD，当G在BD上时，
3
t=4，
2
8
t= ，
3
8
①当0≤t≤ 时，如图3，
3
过G作GH⊥x轴于H，延长HG交AB于M，则GM⊥AB，
∵B（4，4），D（4，0），
∴BD⊥x轴，
∴S =S +S△ ﹣S ，
△BCG 梯形GHDB BDC △GHC
1 1 3 1 1 3 1
4= （4﹣ t+4）（4﹣ t）+ ×4×（6﹣4）﹣ （6﹣ t）（4﹣ t），
2 2 2 2 2 2 2
5
4= t，
2
8
解得：t= ，
5
3 3 8 12
∴AM= t= × = ，
2 2 5 5
1 1 8 4
GM= t= × = ，
2 2 5 5
√ 12 4 4√10
在Rt△AGM中，由勾股定理得：AG=√AM2+GM2= ( ) 2+( ) 2= ；
5 5 5
第36页（共40页）8 4√10
∴当t= 时，此时点G运动的路径长为 ；
5 5
②当G在BC上时，如图4，
BD GH 4
tan∠C= = = =2，
DC HC 2
∴GH=2HC，
1 3
∴4﹣ t=2（6﹣ t），
2 2
16
t= ，
5
8 16
当 ＜t≤ 时，如图5，
3 5
S =S ﹣S ﹣S ，
△BCG △BDC 梯形BDHG △GHC
1 1 1 3 1 1 3
4= ×4×2﹣ （4﹣ t+4）（ t﹣4）﹣ ×(4- t)(6- t)，
2 2 2 2 2 2 2
8
t= （不在此范围内，不符合题意），
5
③当E与D重合时，F与B重合，如图6，
4√2
t= =4，
√2
∴G（6，2），
∴AG=√62+22=2√10，
1 1
∴S =S ﹣S = ×2×（4+2）﹣ ×2×4=2，
△BCG 梯形BDCG △BDC
2 2
∴当t＞4时，如图7，
由题意得：DE=t﹣4，
∴OE=t﹣4+4=t，
∴OH=OE+EH=t+2，
EH=2，GM=GH=2，
BM=t+2﹣4=t﹣2，
CH=t+2﹣6=t﹣4，
过G作MH⊥x轴，交x轴于H，交直线AB于M，
第37页（共40页）∴S =S ﹣S ﹣S ，
△BGC 梯形BCHM △BGM △GCH
1 1 1
4= （t﹣4+t﹣2）×4﹣ ×2×（t﹣2）﹣ ×2×（t﹣4），
2 2 2
t=5，
当t=5时，点G的运动路径分为两部分组成：
i）点G从A运动到D时，运动路径为：如图6中的AG长，即为2√10；
ii）点G从D点继续在射线DC上运动1秒时，路径为1；
所以当t=5时，此时点G运动的路径长度为1+2√10．
8 4√10
综上所述：当t = 秒，此时路径长度为 ，
1 5 5
当t =5秒，此时路径长度为1+2√10．
2
第38页（共40页）第39页（共40页）【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法、三角形面积、等腰直
角三角形的性质和判定、动点运动的问题，有难度，第三问采用了分类讨论的
思想，并利用数形结合；注意当t＞4时，点G的运动路径分两部分计算．
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