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题型三 函数的实际应用
类型一 行程问题
1. (2021临沂)公路上正在行驶的甲车，发现前方20 m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速．减速后甲车行
驶的路程s(单位：m)、速度v(单位： m/s)与时间t(单位：s)的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图
象如图所示．
(1)当甲车减速至9 m/s时，它行驶的路程是多少？
(2)若乙车以10 m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23大分类SX田倩154.tif" \*
MERGEFORMATINET
第1题图
2. (2022齐齐哈尔)在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达
B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地(甲、乙二人到达A地后均停止运动)，甲、
乙二人之间的距离y(米)与出发时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)A、B两地之间的距离是______米，乙的步行速度是____________________________米/分；
(2)图中a＝______，b＝______，c＝______；
(3)求线段MN的函数解析式；
(4)在乙运动的过程中，何时两人相距80米？(直接写出答案即可)
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23大分类SX田倩155.tif" \*
1 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第2题图
类型二 方案问题
3. (2022绵阳)某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子
批发价格(元/kg) 4 5 6 40
零售价格(元/kg) 5 6 8 50
请解答下列问题：
(1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300 kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
(2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这
两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88 kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这
两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
2 中考原创好题用类型三 利润最值问题
4. (2022毕节)2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下
表：(注：利润＝销售价－进货价)
类别
A款钥匙扣 B款钥匙扣
价格
进货价(元/件) 30 25
销售价(元/件) 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售
价都不变)，且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，
每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90
元？
5. (2022仙桃)某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y(千克)与销售单
价x(元/千克)有如下表所示的关系：
销售单价x(元/千克) … 20 22.5 25 37.5 40 …
3 中考原创好题用销售量y(千克) … 30 27.5 25 12.5 10 …
(1)根据表中的数据在下图中描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；
(2)设该超市每天销售这种商品的利润为w(元)(不计其他成本).
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240(元)时的销售单价．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23大分类SX田倩157.tif" \*
MERGEFORMATINET
第5题图
6. (2021扬州)甲，乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
4 中考原创好题用说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费－月维护费；
③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润－月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
(1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是______________________________________元；
当每个公司租出的汽车为________辆时，两公司的月利润相等；
(2)求两公司月利润差的最大值；
(3)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元(a>0)给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于
乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的
取值范围．
类型四 抛物线型问题
7. (2022安徽)如图①，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边
5 中考原创好题用AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单
位长度代表1米．E(0，8)是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内(含边界)修建“ INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\22
安徽SX15.tif" \* MERGEFORMATINET ”型或“ INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考
真题分类卷Word\\22安徽SX16.tif" \* MERGEFORMATINET ”型栅栏，如图②、图③、图④中粗线段所示，
点P，P 在x轴上，MN与矩形PPPP 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段PP，PP，PP，MN长
1 4 1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
度之和，请解决以下问题：
①修建一个“ INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\22安徽SX15.tif" \*
MERGEFORMATINET ”型栅栏，如图②，点P，P 在抛物线AED上．设点P 的横坐标为m(0＜m≤6)，求
2 3 1
栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
②现修建一个总长为18的栅栏，有如图③、图④所示的“ INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版
中考真题分类卷Word\\22安徽SX15.tif" \* MERGEFORMATINET ”型和“ INCLUDEPICTURE "D:\\1
课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\22安徽SX16.tif" \* MERGEFORMATINET ”型两种设计方案，
请你从中选择一种，求出该方案下矩形PPPP 面积的最大值，及取最大值时点P 的横坐标的取值范围(P
1 2 3 4 1 1
在P 右侧)．
4
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23大分类SX田倩159.tif" \*
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第7题图
INCLUDEPICTURE "D:\\1 课 件 \\0. 2023\\2023 版 中 考 真 题 分 类 卷 Word\\ 链 接 标 .TIF" \*
MERGEFORMATINET 源自沪科九上P38第1题
6 中考原创好题用8. (2022台州)如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高
度为h(单位： m).如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图
象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3 m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边
缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2 m，高出喷水口0.5 m，灌溉车到l
的距离OD为d(单位： m).
(1)若h＝1.5，EF＝0.5 m.
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；
(2)若EF＝1 m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23大分类SX田倩160.tif" \*
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第8题图
7 中考原创好题用类型五 几何图形(面积)问题
9. (2020无锡)有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形
ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF
中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三
种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
(1)当x＝5时，求种植总成本y；
(2)求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，求三种花卉的最低种植总成本．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23大分类SX田倩161.tif" \*
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第9题图
10. (2021苏州)如图①，甲、乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面
EFGH是矩形．如图②，已知正方形ABCD与矩形EFGH满足如下条件：正方形ABCD外切于一个半径为5
米的圆O，矩形EFGH内接于这个圆O，EF＝2EH.
(1)求容器甲、乙的容积分别为多少立方米？
(2)现在我们分别向容器甲、乙同时持续注水(注水前两个容器是空的)，一开始注水流量均为25立方米/小时，
4小时后，把容器甲的注水流量增加a立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把
容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变，直到两个容器的水位
高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为t时，我们把容器甲的水位高度记为h ，容器乙的水
甲
位高度记为h ，设h －h ＝h，已知h(米)关于注水时间t(小时)的函数图象如图③所示，其中MN平行于横
乙 乙 甲
8 中考原创好题用轴．根据图中所给信息，解决下列问题：
①求a的值；
②求图③中线段PN所在直线的解析式．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23大分类SX田倩162.tif" \*
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第10题图
题型四 圆的相关证明与计算
类型一 圆基本性质的证明与计算
1. (2022广东省卷)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB.
(1)试判断△ABC的形状，并给出证明；
9 中考原创好题用(2)若AB＝，AD＝1，求CD的长度．
第1题图
2. (2022呼和浩特)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点
E，连接BE.
(1)求证：BD＝CD；
(2)若tan C＝，BD＝4，求AE.
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23大分类SX田倩164.tif" \*
MERGEFORMATINET
第2题图
3. (2021贵阳)如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是 的中点，过点E作AB的垂线，
交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN.
(1)EM与BE的数量关系是________；
(2)求证： ＝ ；
(3)若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23大分类SX田倩165.tif" \*
1 0 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第3题图
4. (2022宁波)如图①，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在 上，AD交BC于点E，点F在AE上，满
足∠AFB－∠BFD＝∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连接BD，DG.设∠ACB＝α.
(1)用含α的代数式表示∠BFD；
(2)求证：△BDE≌△FDG；
(3)如图②，AD为⊙O的直径．
①当 的长为2时，求 的长；
②当OF∶OE＝4∶11时，求cos α的值．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23大分类SX田倩166.tif" \*
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第4题图
类型二 与切线有关的证明与计算
考向1 与全等三角形结合
1 1 中考原创好题用5. (2022赤峰)如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC＝BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，
交OC于点F，垂足为点E，连接AD，CD，且∠DCA＝∠OCA.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若CD＝6，OF＝4，求cos ∠DAC的值．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23大分类SX田倩170.tif" \*
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第5题图
考向2 与相似三角形结合
6. (2022常德)如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，E是OA上的一点，ED∥BC交⊙O于D，OC∥AD，连
接AC交ED于F.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AB＝8，AE＝1，求ED，EF的长．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23大分类SX田倩171.tif" \*
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第6题图
1 2 中考原创好题用7. (2022眉山)如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥DC，连接
AC，BC.
(1)求证：BC是∠ABD的角平分线；
(2)若BD＝3，AB＝4，求BC的长；
(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积．
第7题图
8. (2022桂林)如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若
AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos ∠DAB的值；
(3)在(2)的条件下，求的值．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23大分类SX田倩174.tif" \*
MERGEFORMATINET
第8题图
1 3 中考原创好题用考向3 与锐角三角函数结合
9. (2022临沂)如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD，过圆心O作BC
的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G.
(1)求证：∠D＝∠E；
(2)若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．
第9题图
10. (2022贵港)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点．点O在AC边上，⊙O经过点C且与
AB边相切于点E，∠FAC＝∠BDC.
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若BC＝6，sin B＝，求⊙O的半径及OD的长．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23大分类SX田倩169.tif" \*
MERGEFORMATINET
第10题图
1 4 中考原创好题用考向4 与其他结合
11. (2022天津)已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接CA，CB.
(Ⅰ)如图①，若C为 的中点，求∠CAB的大小和AC的长；
(Ⅱ)如图②，若AC＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交
于点F，求FD的长．
第11题图
INCLUDEPICTURE "D:\\1 课 件 \\0. 2023\\2023 版 中 考 真 题 分 类 卷 Word\\ 链 接 标 .TIF" \*
MERGEFORMATINET 源自人教九上P102第12题
12. (2022贵阳)如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，连接BC，ED垂直平分OB，垂足为E，
且交 于点F，交BC于点P，连接BF，CF.
(1)求证：∠DCP＝∠DPC；
(2)当BC平分∠ABF时，求证：CF∥AB；
(3)在(2)的条件下，OB＝2，求阴影部分的面积．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23大分类SX田倩173.tif" \*
1 5 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第12题图
参考答案
题型三 函数的实际应用
1. 解：(1)设减速后甲车行驶的路程s与时间t的函数关系式为s＝at2＋bt，把点(2，30)，(4，56)代入得，
，解得，
∴s＝－t2＋16t，
设减速后甲车行驶的速度v与时间t的函数关系式为v＝mt＋16，
把点(8，8)代入得，8m＋16＝8，解得m＝－1，
∴v＝－t＋16，
当v＝9时，9＝－t＋16，解得t＝7，
把t＝7代入s＝－t2＋16t，
得s＝－×72＋16×7＝87.5 m，
答：当甲车减速至9 m/s时，它行驶的路程是87.5 m；
(2)设t s后两车相距最近，最近距离为L，由题意得，
L＝10t＋20－(－t2＋16t)
1 6 中考原创好题用＝t2－6t＋20
＝(t－6)2＋2.
∵＞0，
∴当t＝6时，L有最小值2，
答：6 s时两车相距最近，最近距离为2 m.
2. 解：(1)1200，60；
【解法提示】根据图象可知，当x＝0时，两人相距1200米，∴A、B两地之间的距离为1200米；点M之后两人
距离在一直减小可知点M代表甲到达B地，那么点N代表乙到达A地，此时时间为20分，故乙的速度为＝
60米/分．
(2)900；800；15；
【解法提示】由题意知，两人分后相遇，两人速度和为1200÷＝140(米/分)，由(1)知V ＝60(米/分)，故V ＝
乙 甲
80(米/分)，a代表甲到达B地的时候甲、乙两人的距离，也就是乙的路程，c代表甲到达B地所用的时间，故c
＝＝15，a＝15×60＝900；点N代表乙走完全程时两人的距离，也就是甲剩下的路程，故b＝1200×2－
20×80＝800(米).
(3)设线段MN的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
将点M(15，900)，N(20，800)代入得，
解得，
∴线段MN的函数解析式是y＝－20x＋1200(15≤x≤20)；
(4)8分钟，分钟．
【解法提示】①相遇前两人相距80米时，二人所走路程和为1200－80＝1120(米)，∴1120÷140＝8(分钟)；②相
遇后两人相距80米时，二人所走的路程和为1200＋80＝1280(米)，∴1280÷140＝(分钟).
3. 解：(1)设批发了菠萝x kg ，苹果y kg，
由题意得，
解得，
∴100×(6－5)＋200×(8－6)＝500，
答：这两种水果获得的总利润为500元；
(2)设菠萝的进货量为m kg，，苹果的进货量为n kg，则m≥88，
由题意得5m＋6n＝1700，且m(6－5)＋n(8－6)＞500，
解得m＜100，
∴88≤m＜100，
∵m，n均为正整数，∴m可以取88，94，
1 7 中考原创好题用当m＝88时，n＝210，
当m＝94时，n＝205，
答：该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有2种，第一种批发菠萝88 kg，苹果210 kg，第二种批发菠
萝94 kg，苹果205 kg.
4. 解：(1)设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，
依题意得，
解得.
答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件；
(2)设购进A款钥匙扣m件，则购进B款钥匙扣(80－m)件，
依题意得30m＋25(80－m)≤2200，
解得m≤40.
设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，
则w＝(45－30)m＋(37－25)(80－m)＝3m＋960.
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取得最大值，最大值＝3×40＋960＝1080，此时80－m＝80－40＝40.
答：当购进A款钥匙扣40件，B款钥匙扣40件时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元；
(3)设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为(a－25)元，平均每天可售出4＋2(37－a)＝(78－2a)件，
依题意得(a－25)(78－2a)＝90，
整理得a2－64a＋1020＝0，
解得a＝30，a＝34.
1 2
答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．
5. 解：(1)描点，连线如解图所示；
第5题解图
由图象分析得y是x的一次函数．
1 8 中考原创好题用设y＝kx＋b(k≠0)，
将x＝20，y＝30；x＝25，y＝25分别代入y＝kx＋b中，
得，解得.
∴y关于x的函数关系式为y＝－x＋50；
(2)①由题意得w＝(x－18)y＝(x－18)(－x＋50)
＝－x2＋68x－900.
∵－1＜0，x ＝－＝34，18≤x≤50，
顶点
∵当x＝34时，w最大．
答：当销售单价为34元/千克时，每天销售这种商品获得最大利润；
②把w＝240代入，得－x2＋68x－900＝240.
∴x2－68x＋1140＝0，
∴(x－30)(x－38)＝0.
∴x＝30，x＝38.
1 2
∵超市要尽量让顾客享受实惠，
∴w＝240(元)时的销售单价为30元/千克．
6. 解：(1)48000，37；
【解法提示】[(50－10)×50＋3000]×10－200×10＝48000元，当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月
利润是48000元；设每个公司租出的汽车为x辆，由题意可得：[(50－x)×50＋3000]x－200x＝3500x－1850，
解得x＝37或x＝－1(舍)，∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等．
(2)设两公司的月利润分别为y ，y ，月利润差为y，
甲 乙
则y ＝[(50－x)×50＋3000]x－200x＝－50x2＋5300x，
甲
y ＝3500x－1850，
乙
当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，
y＝y －y ＝－50x2＋5300x－(3500x－1850)＝－50x2＋1800x＋1850，
甲 乙
当x＝－＝18时，利润差最大，且为18050元；
当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，
y＝y －y ＝3500x－1850－(－50x2＋5300x)＝50x2－1800x－1850，
乙 甲
∵对称轴为直线x＝－＝18，
∴当37＜x≤50时，y随x的增大而增大，
当x＝50时，利润差最大，且为33150元；
综上所述，两公司月利润差的最大值为33150元；
1 9 中考原创好题用(3)∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为y＝－50x2＋1800x＋1850－ax＝－50x2＋(1800－a)x＋1850，
对称轴为直线x＝，
∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，
∴16.5＜＜17.5，
解得50＜a＜150.
7. 解：(1)由题意可设函数表达式为y＝ax2＋8，由题意可知OC＝6，CD＝2，
∴点D坐标为(6，2)，代入可得2＝36a＋8，解得a＝－，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋8(－6≤x≤6)；
(2)①∵点P 的横坐标为m，
1
∴P(m，0)，P(m，－m2＋8)，P(－m，－m2＋8)，P(－m，0)，
1 2 3 4
∴MN＝PP＝PP＝－m2＋8，PP＝2m，
1 2 3 4 2 3
∴l＝3(－m2＋8)＋2m＝－m2＋2m＋24＝－(m－2)2＋26 ，
∵－＜0，
∴当m＝2时，l有最大值，最大值为26；
②设点P 的横坐标为m，选择方案一，
1
设PP＝a，则PP＝18－3a，
1 2 1 4
S＝a(18－3a)＝－3a2＋18a＝－3(a－3)2＋27.
∵－3＜0，
∴当a＝3时，S有最大值27，
令y＝3 ，代入y＝－x2＋8中，
解得x＝，x＝－.
1 2
∵PP＝18－3×3＝9，且P 在P 右侧，
1 4 1 4
∴－＋9≤m≤，
∴方案一下的矩形PPPP 面积最大值为27，点P 的横坐标的取值范围为－＋9≤m≤.
1 2 3 4 1
选择方案二，
设PP＝a，则PP＝＝9－a，
2 3 1 2
此时S＝a(9－a)＝－a2＋9a＝－(a－)2＋，
∵－1＜0，
∴当a＝时，S有最大值，
令y＝ ，代入y＝－x2＋8中，
解得x＝，x＝－.
1 2
2 0 中考原创好题用∵PP＝，且P 在P 右侧，
1 4 1 4
∴－＋≤m≤，
∴方案二下的PPPP 面积最大值为，点P 的横坐标的取值范围为－＋≤m≤.
1 2 3 4 1
8. 解：(1)①如解图①，由题意得A(2，2)是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a(x－2)2＋2.
∵抛物线经过点(0，1.5)，
∴1.5＝4a＋2，∴a＝－，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝－(x－2)2＋2.
当y＝0时，－(x－2)2＋2＝0，
∴x＝6，x＝－2(舍去)，
1 2
∴喷出水的最大射程OC为6 m；
第8题解图①
②∵对称轴为直线x＝2，
∴点(0，1.5)的对称点的坐标为(4，1.5)，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的，
即点B是由点C向左平移4 m得到，则点B的坐标为(2，0)；
③如解图②，先看上边缘抛物线，
∵EF＝0.5，∴点F的纵坐标为0.5.
当抛物线恰好经过点F时，
即－(x－2)2＋2＝0.5，
解得x＝2±2，
∵x>0，
∴x＝2＋2.
∵当x>2时，y随着x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，则x≤2＋2.
∵当0≤x<2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5>0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2＋2.
∵DE＝3，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
2 1 中考原创好题用∴d的最大值为(2＋2)－3＝2－1.
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB≤d，
∴d的最小值为2.
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2－1；
第8题解图②
(2)h的最小值为.
【解法提示】当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D，F恰好分别在两条抛物线上，∵由(1)知
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到，∴设y ＝－(x－2)2＋h＋0.5，则y ＝－(x＋2)2＋h＋
上 下
0.5，故设点D(m，－(m＋2)2＋h＋0.5)，F(m＋3，－(m＋3－2)2＋h＋0.5)，则有－(m＋3－2)2＋h＋0.5－[－(m＋
2)2＋h＋0.5]＝1，解得m＝2.5，代入得点D的纵坐标为h－，得h－＝0，∴h的最小值为.
9. 解：(1)由题意知，EF＝AB－2x＝20－2x，EH＝AD－2x＝30－2x，
当x＝5时，EF＝20－10＝10，EH＝30－10＝20.
S ＝x(EH＋AD)＝×5×(20＋30)＝125，
等腰梯形AEHD
S ＝x(EF＋AB)＝×5×(10＋20)＝75，
等腰梯形ABFE
S ＝EF·EH＝10×20＝200.
矩形EFGH
∴y＝125×2×20＋75×2×60＋200×40＝22000(元)；
(2)y＝20×2×x(EH＋AD)＋60×2×x(EF＋AB)＋40EH·EF＝20x(30－2x＋30)＋60x(20－2x＋20)＋40(30－
2x)(20－2x)＝－400x＋24000.
由题意得20－2x＞0，解得x＜10，
∴0＜x＜10；
(3)S ＝－2x2＋60x，S ＝－2x2＋40x.
甲 乙
∴－2x2＋60x－(－2x2＋40x)≤120，
解得x≤6，∴0＜x≤6.
∵y＝－400x＋24000，－400＜0，
∴y随x的增大而减小．
∴当x＝6时，y的值最小，最小值为y＝－400×6＋24000＝21600(元).
∴三种花卉的最低种植总成本为21600元．
10. 解：(1)由题图知，正方形ABCD的边长AB＝10，
2 2 中考原创好题用∴容器甲的容积为102×6＝600立方米．
如解图，连接FH，
第10题解图
∵∠FEH＝90°，
∴FH为⊙O的直径．
在Rt△EFH中，EF＝2EH，FH＝10，
根据勾股定理，得EF＝4，EH＝2，
∴容器乙的容积为2×4×6＝240立方米；
(2)①当t＝4时，h＝－＝2.5－1＝1.5.
∵MN平行于横轴，
∴M(4，1.5)，N(6，1.5).
由上述结果，得6小时后高度差仍为1.5米，
∴－＝1.5，
解得a＝37.5；
②设注水b小时后，h －h ＝0，
乙 甲
则有－＝0，
解得b＝9，即P(9，0).
设线段PN所在直线的解析式为h＝kt＋m(k≠0)，
∵N(6，1.5)，P(9，0)在直线PN上，
∴，解得.
∴线段PN所在直线的解析式为h＝－t＋(6≤t≤9).
题型四 圆的相关证明与计算
1. 解：(1)△ABC为等腰直角三角形．
证明：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC ＝90°，∠ADC ＝90°，
∵∠ADB ＝∠CDB，
2 3 中考原创好题用∴∠ADB＝45°，
∴∠ACB＝∠ADB＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形；
(2)由(1)知△ABC为等腰直角三角形，且AB＝，
∴AC＝AB＝×＝2，
在Rt△ACD中，AD＝1，
∴CD＝＝＝.
2. (1)证明：如解图，连接AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠E＝90°.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD；
(2)解：∵BD＝4，∴CD＝4，则BC＝8.
在Rt△ACD中，∵tan C＝，
∴＝，即＝，解得AD＝2，
∴AC＝＝2.
∵∠C＝∠C，∠ADC＝∠E，
∴△ADC∽△BEC，
∴＝，即＝，解得AE＝.
第2题解图
3. (1)解：BE＝EM；
【解法提示】∵如解图，连接EO，AC为⊙O的直径，点E是 的中点，∴∠AOE＝90°，∴∠ABE＝∠AOE＝
45°，∵AB⊥EN，∴△BME是等腰直角三角形，∴BE＝EM.
2 4 中考原创好题用第3题解图
(2)证明：如解图，
由(1)知△BME是等腰直角三角形
∴∠EMB＝90°，
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴ ＝ ，
∵点E是 的中点，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ － ＝ － ，
∴ ＝ ；
(3)解：如解图，连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由(2)得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE＝EM，
∴BE＝，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，
∴tan ∠EAB＝＝，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝∠EOB，
∴∠EOB＝60°，即⊙O的半径为2，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝，
又∵＝，
∴∠CON＝∠EOB＝60°，
又∵S ＝＝π，S ＝×()2＝，
扇形CON △OCN
∴S ＝S －S ＝π－.
阴影 扇形CON △OCN
4. (1)解：∵∠AFB－∠BFD＝∠ACB＝α，①
∠AFB＋∠BFD＝180°，②
2 5 中考原创好题用②－①，得2∠BFD＝180°－α，
∴∠BFD＝90°－；
(2)证明：由(1)得∠BFD＝90°－，
∵∠ADB＝∠ACB＝α，
∴∠FBD＝180°－∠ADB－∠BFD＝90°－，
∴DB＝DF.
∵FG∥AC，
∴∠CAD＝∠DFG.
∵∠CAD＝∠DBE，
∴∠DFG＝∠DBE.
∵BE＝FG，
∴△BDE≌△FDG(SAS)；
(3)解：①由(2)知△BDE≌△FDG.
∴∠FDG＝∠BDE＝α，DE＝DG.
∴∠BDG＝∠BDF＋∠EDG＝2α.
∵DE＝DG，
∴∠DGE＝(180°－∠FDG)＝90°－.
∴在△BDG中，∠DBG＝180°－∠BDG－∠DGE＝90°－.
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ABC＝∠ABD－∠DBG＝，
∴ 与 的度数之比为3∶2，
∴ 与 的长度之比为3∶2，
∵ 的长为2，
∴ 的长为3；
②如解图，连接BO，
第4题解图
∵OB＝OD，
2 6 中考原创好题用∴∠OBD＝∠ODB＝α，
∴∠BOF＝∠OBD＋∠ODB＝2α.
∵∠BDG＝2α，
∴∠BOF＝∠BDG.
∵∠BGD＝∠BFO＝90°－，
∴△BDG∽△BOF，
设△BDG与△BOF的相似比为k，
∴＝＝k.
∵＝，
∴设OF＝4x，则OE＝11x，DE＝DG＝4kx，
∴OB＝OD＝OE＋DE＝11x＋4kx，BD＝DF＝15x＋4kx，
∴＝＝，
由＝k，得4k2＋7k－15＝0，
解得k＝，k＝－3(不合题意，舍去)，
1 2
∴OD＝11x＋4kx＝16x，BD＝15x＋4kx＝20x，
∴AD＝2OD＝32x，
在Rt△ABD中，cos ∠ADB＝＝＝，
∴cos α＝.
5. (1)证明：∵AC＝BC，AO＝BO，
∴CO⊥AB，
∵DF垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∴AD⊥AB.
又∵AB为⊙O的直径，
∴AD是⊙O的切线；
(2)解：如解图，连接AF，
∵DF垂直平分AC，
∴∠CED＝∠CEF＝∠AED＝90°，
2 7 中考原创好题用∵∠DAC＝∠OCE，AE＝CE，
∴△AED≌△CEF，
∴DE＝FE，
∴DF与AC互相垂直平分，
∴四边形ADCF是菱形，
∴AF＝CF＝AD＝DC.
∵CD＝6，OF＝4，∴AF＝CF＝CD＝6，
∴在Rt△AOF中，由勾股定理得AO＝2，
∵CO＝CF＋FO＝10，
∴在Rt△AOC中，由勾股定理得AC＝2，
∴cos ∠DAC＝cos ∠ACO＝＝＝.
第5题解图
6. (1)证明：如解图，连接OD，
∵OC∥AD，
∴∠BOC＝∠OAD，∠DOC＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠BOC＝∠DOC，
在△BOC和△DOC中，
，
∴△OBC≌△ODC(SAS)，
∴∠OBC＝∠ODC，
∵BC⊥AB，
∴∠OBC＝∠ODC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
2 8 中考原创好题用第6题解图
(2)解：如解图，过点D作DH⊥BC于点H，
∵ED∥BC，
∴∠OED＝180°－∠ABC＝90°，
则四边形EBHD为矩形，
∴BH＝ED，DH＝BE，
∵AB＝8，AE＝1，
∴OE＝3，DH＝BE＝7，
∴ED＝＝＝，
由(1)知△OBC≌△ODC，
∴CB＝CD，
设CB＝CD＝x，则CH＝x－，
在Rt△DHC中，DH2＋CH2＝CD2，
即72＋(x－)2＝x2，解得x＝4，
即BC＝4，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴EF＝.
7. (1)证明：如解图，连接OC，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD.
∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC.
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠DBC＝∠OBC，
2 9 中考原创好题用∴BC是∠ABD的平分线；
第7题解图
(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵BD⊥DC，∴∠ACB＝∠D，
∵∠DBC＝∠OBC，
∴△ABC∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴BC2＝12，则BC＝2(负值已舍去)；
(3)解：如解图，在Rt△ABC中，cos ∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°.
∴△AOC为等边三角形，
∵AB＝4，∴OA＝2，
∴S ＝S －S ＝－×22＝π－.
阴影 扇形AOC △AOC
8. (1)证明：如解图，连接OC.
第8题解图
∵CD⊥AD，AC平分∠DAB，
∴∠D＝90°，∠DAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AD，
∴∠OCD＝90°，
3 0 中考原创好题用∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：设BE＝x，则AE＝4BE＝4x，
∴AB＝AE－BE＝3x，
∴OB＝OC＝AB＝x，OE＝x，
由(1)知OC∥AD，
∴∠DAB＝∠COE，
∴cos ∠DAB＝cos ∠COE＝＝＝；
(3)解：∵FG⊥AB，
∴∠FAG＋∠AFG＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠DAG＋∠E＝90°，
∴∠AFG＝∠E，
∵∠HAG＋∠AHG＝90°，∠CAB＋∠ABC＝90°，
∴∠AHG＝∠ABC，
∴∠AHF＝∠CBE，
∴△FAH∽△ECB，
∴＝，即＝，
由(2)得OE＝BE，OC＝BE，
∴在Rt△OCE中，CE＝＝2BE，
∴＝＝.
9. (1)证明：如解图，连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠OBE＝90°，
∴∠E＋∠1＝90°，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∴∠D＋∠2＝90°，
∵OE∥BC，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OC，
∴∠3＝∠2，
3 1 中考原创好题用∴∠1＝∠2，
∴∠D＝∠E；
第9题解图
(2)解：∵ F是OE的中点，⊙O的半径为3，
∴OB＝OF＝EF＝3，∴OE＝6.
在Rt△OBE中，sin E＝＝，
∴∠E＝30°，
∴∠BOG＝60°，
∵OE∥BC，∠DBC＝90°，
∴∠OGB＝90°，
在Rt△OBG中，BG＝OB·sin ∠BOG＝，OG＝OB·cos ∠BOG＝.
∴S ＝S －S ＝－××＝π－.
阴影 扇形BOF △OGB
10. (1)证明：如解图，过点O作OG⊥AF于点G，连接OE,
∵AB与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO＝∠AGO＝90°，
∵点D是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴CD＝AD＝BD，
∴∠BAC＝∠BDC，
∵∠FAC＝∠BDC，
∴∠BAC＝∠FAC，
在△EAO和△GAO中，，
∴△EAO≌△GAO(AAS)，
∴OG＝OE.
∴OG是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
3 2 中考原创好题用第10题解图
(2)解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∵BC＝6，sin B＝＝，
∴设AC＝4a，AB＝5a，则(4a)2＋62＝(5a)2，
解得a＝2(负值已舍去)，∴AC＝8，AB＝10，
∴AD＝AB＝5，cos B＝＝，
∵∠OAE＋∠AOE＝90°，∠OAE＋∠B＝90°，
∴∠AOE＝∠B.
∴OA＝＝＝＝OC.
∵OA＋OC＝AC，∴OC＋OC＝8，
解得OC＝3，∴OA＝5，
∴OE＝OC＝3，AE＝OA·sin ∠AOE＝OA·sin B＝5×＝4，
∴DE＝AD－AE＝5－4＝1，
在Rt△ODE中，OD＝＝＝，
∴⊙O的半径为3，OD的长为.
11. 解：(Ⅰ)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
由C为 的中点，得 ＝ .
∴AC＝BC，∠CAB＝∠ABC，
在Rt△ABC中，∠CAB＋∠ABC＝90°，∴∠CAB＝45°.
根据勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，
∵AB＝6，∴2AC2＝36，
∴AC＝3(负值已舍去)；
(Ⅱ)∵FD是⊙O的切线，
∴OD⊥FD，即∠ODF＝90°.
∵OD⊥CB，垂足为E，∴∠CED＝90°，CE＝CB.
同(Ⅰ)可得∠ACB＝90°，∴∠FCE＝90°，
∴∠FCE＝∠CED＝∠ODF＝90°，
3 3 中考原创好题用∴四边形ECFD为矩形，∴FD＝CE＝CB.
在Rt△ABC中，∵AB＝6，AC＝2，
∴CB＝＝4，
∴FD＝2.
12. (1)证明：如解图，连接OC.
∵DC与⊙O相切于点C，
∴∠DCO＝90°，
∴∠DCP＋∠BCO＝90°.
∵DE⊥OB，
∴∠BEP＝90°，
∴∠BPE＋∠CBO＝90°.
∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠CBO，
∴∠DCP＝∠BPE.
又∵∠DPC＝∠BPE，
∴∠DCP＝∠DPC；
第12题解图
(2)证明：如解图，连接OF，
∵DE垂直平分OB，
∴BF＝OF.
∵OB＝OF，
∴BF＝OF＝OB，
∴△OBF为等边三角形，
∴∠ABF＝∠BOF＝60°.
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF＝30°.
由圆周角定理，得∠BCF＝∠BOF＝30°.
3 4 中考原创好题用∴∠ABC＝∠BCF，
∴CF∥AB；
(3)解：由圆周角定理，得∠COF＝2∠CBF＝60°.
∵OC＝OF，
∴△OCF为等边三角形，
∵S ＝OC2＝OB2＝，S ＝＝π，
△OCF 扇形COF
∴S ＝S －S ＝π－.
阴影 扇形 △OCF
3 5 中考原创好题用
