文档内容
2017年辽宁省鞍山市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列各数中，比﹣3小的数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．﹣4
2．（3分）如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）函数y＝ 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≤﹣2 D．x＜﹣2
4．（3分）一组数据2，4，3，x，4的平均数是3，则x的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（m+1，2﹣m）在第二象限，则m的取值范围为（ ）
A．m＜﹣1 B．m＜2 C．m＞2 D．﹣1＜m＜2
6．（3分）某班有若干个活动小组，其中书法小组人数的3倍比绘画小组的人数多15人，绘画
小组人数的2倍比书法小组的人数多5人，问：书法小组和绘画小组各有多少人？若设书
法小组有x人，绘画小组有y人，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）分式方程 ＝ ﹣2的解为（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．无解
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析
下列四个结论： △AEF∽△CAB； DF＝DC； S△DCF ＝4S△DEF ； tan∠CAD＝ ．
① ② ③ ④
第1页（共27页）其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）长城的总长大约为6700000m，将数6700000用科学记数法表示为 ．
10．（3分）分解因式2x2y﹣8y的结果是 ．
11．（3分）有5张大小、背面都相同的卡片，正面上的数字分别为1，﹣ ，0，，﹣3，若将这
5张卡片背面朝上洗匀后，从中任意抽取1张，那么这张卡片正面上的数字π为无理数的概
率是 ．
12．（3分）如图，在 ▱ABCD中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧
相交于M，N两点，作直线MN，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，∠B＝50°，∠DAC＝
30°，则∠BAF等于 ．
13．（3分）若一个圆锥的底面圆半径为1cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线
长为 cm．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A顺时针旋转得到
△ADE（其中点B恰好落在AC延长线上点D处，点C落在点E处），连接BD，则四边形
AEDB的面积为 ．
第2页（共27页）15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC和正方形DOFE的顶点B，F在x轴上，
顶点C，D在y轴上，且S△ADF ＝4，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点E，则k＝
．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠A＝2∠BDC，BD交AC边于点E，且AE＝4，则
BE•DE＝ ．
三、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x＝ ﹣1．
18．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分别交
DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若AB＝5，BC＝8，求AF+AG的值．
第3页（共27页）四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）某校要了解学生每天的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每天的
课外阅读时间x（单位：min）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的统计图表，根据
图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取 名学生．
（2）统计表中a＝ ，b＝ ．
（3）将频数分布直方图补充完整．
（4）若全校共有1200名学生，请估计阅读时间不少于45min的有多少人．
课外阅读时间x/min 频数/人 频率
0≤x＜15 6 0.1
15≤x＜30 12 0.2
30≤x＜45 a 0.25
45≤x＜60 18 b
60≤x＜75 9 0.15
20．（10分）为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有5名学生（3名男生，
2名女生）获奖．
（1）老师若从获奖的5名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是男生的概
率为 ．
（2）老师若从获奖的5名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，请用画树状图法或
列表法，求出恰好是一名男生、一名女生的概率．
第4页（共27页）五、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）
21．（10分）如图，建筑物C在观测点A的北偏东65°方向上，从观测点A出发向南偏东40°方
向走了130m到达观测点B，此时测得建筑物C在观测点B的北偏东20°方向上，求观测
点B与建筑物C之间的距离．（结果精确到0.1m．参考数据： ≈1.73）
22．（10分）如图，△ACE，△ACD均为直角三角形，∠ACE＝90°，∠ADC＝90°，AE与CD相
交于点P，以CD为直径的 O恰好经过点E，并与AC，AE分别交于点B和点F．
（1）求证：∠ADF＝∠EA⊙C．
（2）若PC＝ PA，PF＝1，求AF的长．
六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）
23．（10分）某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30
件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1
元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时
装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）在这30天内，哪一天的利润是6300元？
（3）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，
最大利润是多少．
24．（10分）如图，一次函数y＝ x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交
x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．
（1）求直线CE的解析式；
第5页（共27页）（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂
足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若
不存在，请说明理由．
七、解答题（本大题共1小题，共12分）
25．（12分）如图，∠MBN＝90°，点C是∠MBN平分线上的一点，过点C分别作AC⊥BC，
CE⊥BN，垂足分别为点C，E，AC＝4 ，点P为线段BE上的一点（点P不与点B、E重
合），连接CP，以CP为直角边，点P为直角顶点，作等腰直角三角形CPD，点D落在BC
左侧．
（1）求证： ＝ ；
（2）连接BD，请你判断AC与BD的位置关系，并说明理由；
（3）设PE＝x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．
八、解答题（本大题共1小题，共14分）
26．（14分）如图，抛物线y＝﹣ x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y
轴交于点C．
（1）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；
（2）点P是抛物线上一点（不与点A重合），且S△PBC ＝S△ABC ，求∠APB的度数；
（3）在（2）的条件下，点E是x轴上方抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存
在这样的点E和点F，使得以点B、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直
第6页（共27页）接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
第7页（共27页）2017年辽宁省鞍山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．【分析】根据0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答．
【解答】解：∵﹣4＜﹣3＜﹣2＜0，
∴比﹣3小的数是﹣4，
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记0大于负数，负数比较大小
绝对值大的反而小．
2．【分析】从左面观察几何体，能够看到的线用实线，看不到的线用虚线．
【解答】解：图中几何体的左视图如图所示：
故选：C．
【点评】本题主要考查的是几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．
3．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由x+2≥0可得x≥﹣2，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题
的关键．
4．【分析】根据平均数的定义列出方程，解方程可得答案．
【解答】解：根据题意，得： ＝3，
解得：x＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是熟练掌握算术平均数的定义．
5．【分析】根据第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正得出关于m的不等式组，解之可得．
第8页（共27页）【解答】解：根据题意，得： ，
解得m＜﹣1，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据点的坐标特点列出
关于m的不等式组．
6．【分析】根据题意可得等量关系：书法小组人数×3﹣绘画小组的人数＝15；绘画小组人数×2
﹣书法小组的人数＝5，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：若设书法小组有x人，绘画小组有y人，由题意得：
，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出
题目中的等量关系．
7．【分析】本题需先根据解分式方程的步骤，先乘以最简公分母，再去掉分母，即可求出x的
值，再进行检验即可求出答案．
【解答】解：两边同时乘以（x﹣2）得：5＝（x﹣1）﹣2（x﹣2），
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，x﹣2≠0，
∴x＝﹣2是原方程的根．
故选：B．
【点评】本题主要考查了解分式方程，在解题时要注意把分式方程转化为整式方程进行解
答是本题的关键．
8．【分析】 正确．只要证明∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°即可；
①
根据已知条件得到四边形BMDE是平行四边形，求得BM＝DE＝ BC，根据线段垂直
②
平分线的性质得到DM垂直平分CF，于是得到结论，
根据三角形的面积公式即可得到结论；
③设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，根据相似三角形的性质即可得到结论．
④【解答】解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
第9页（共27页）∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，S△DCF ＝4S△DEF
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故 正确；
∵DE∥BM，BE∥D①M，
②∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝ BC，
∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF＝DC，故 正确；
∵点E是AD②边的中点，
③
∴S△DEF ＝ S△ADF ，
∵△AEF∽△CBF，
∴AF：CF＝AE：BC＝ ，
∴S△CDF ＝2S△ADF ＝4S△DEF ，
故 正确；
③设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，
④
由△BAE∽△ADC，有 ＝ ，即b＝ a，
∴tan∠CAD＝ ＝ ＝ ．故 正确；
④
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解
第10页（共27页）直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：
相似三角形的对应边成比例．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：6 700 000＝6.7×106，
故答案为：6.7×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2y（x+2）（x﹣2）．
故答案为：2y（x+2）（x﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题
的关键．
11．【分析】根据所有等可能的结果数有5种，其中任取一张，这张卡片上的数字为无理数的
结果有2种，根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：∵在1，﹣ ，0， ，﹣3中，无理数有﹣ ， ，共2个，
π π
∴这张卡片正面上的数字为无理数的概率是 ；
故答案为： ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
12．【分析】根据∠BAF＝∠BAD﹣∠CAD﹣∠CAF，想办法求出∠BAD、∠CAD、∠CAF即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠B＝130°，∠ACF＝∠CAD＝30°，
由作图痕迹可知EF是AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，
第11页（共27页）∴∠CAF＝∠ACF＝30°，
∴∠BAF＝∠BAD﹣∠CAD﹣∠CAF＝70°．
故答案为70°．
【点评】本题考查基本作图、线段的垂直平分线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识
解决问题，属于中考常考题型．
13．【分析】利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解．
【解答】解：设母线长为l，则 ＝2 ×1
π
解得：l＝3．
故答案为：3．
【点评】考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决
本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
14．【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用面积公式
解答即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转，使点C落在E处，点B恰好落在AC延长线上点D处，
∴AD＝AB＝5，
∴CD＝AD﹣AC＝1，
∴四边形AEDB的面积为 ，
故答案为： ．
【点评】题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性
质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．
15．【分析】设正方形DOFE的边长分别是n，连接AO，则AO∥DF，得出△ADF的面积＝
△DOF的面积（同底等高），∴得到关于n的方程，解方程求得n2的值，最后根据系数k的
第12页（共27页）几何意义求得即可．
【解答】解：设正方形DOFE的边长分别是n，则E（n，n），
连接AO，
∵四边形ABOC和四边形DOFE是正方形，
∴∠AOB＝∠DFO＝45°，
∴AO∥DF，
∴S△ADF ＝S△DOF （同底等高），
∴ n2＝4，
∴n2＝8，
∴k＝8，
故答案为8．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，根据面积得出方程是解
题的关键．
16．【分析】根据题意可以证明△FEB∽△DEC，然后根据相似三角形对应边的比相等，即可
求得BE•DE的值，本题得以解决．
【解答】解：延长CA到F，使得AF＝AB，连接BF，
则∠F＝∠ABF＝ ∠BAC，
∵∠BAC＝2∠BDC，
∴∠F＝∠BDC，
∵∠FEB＝∠DEC，
∴△FEB∽△DEC，
∴ ，
∵AE＝4，AB＝AC＝6，
∴EF＝10，CE＝2，
∴ ，
∴BE•DE＝20，
故答案为：20．
第13页（共27页）【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确
题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）
17．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，再将x的值代入即可解答本题．
【解答】解：（1﹣ ）÷
＝
＝
＝ ，
当x＝ ﹣1时，原式＝ ．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18．【分析】（1）由平行四边形的性质，结合角平分线的定义可证得AE∥CF，结合AF∥CE，
可证得结论；
（2）由条件可证得△DCG∽△AFG，利用相似三角形的性质可求得DG与AG的关系，结
合条件可求得AG的长，从而可求得答案．
【解答】（1）证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，
∵AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BCG＝∠CGD＝∠HAD，
∴AE∥CF，
第14页（共27页）∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：
由（1）可知∠BCF＝∠DCF＝∠F，
∴BF＝BC＝AD＝8，
∵AB＝CD＝5，
∴AF＝BF﹣AB＝3，
∵BF∥DE，
∴∠DCG＝∠F，∠D＝∠FAG，
∴△DCG∽△AFG，
∴ ＝ ＝ ，
∴DG＝ AG，
∴AD＝AG+DG＝ AG＝8，
∴AG＝3，
∴AF+AG＝3+3＝6．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的对边平行且相等是解
题的关键，注意相似三角形的应用．
四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）
19．【分析】（1）根据0≤x＜15min时间段的频数和频率求出总数即可；
（2）根据题意列出算式a＝60×0.25，b＝18÷60，求出即可；
（3）根据频数是15画出即可；
（4）根据题意列出算式，再求出即可．
【解答】解：（1）6÷0.1＝60，
即本次调查共抽取60名学生，
故答案为：60；
（2）a＝60×0.25＝15，b＝18÷60＝0.3，
故答案为：15，0.3；
第15页（共27页）（3）如图所示： ；
（4）1200× ＝540，
答：若全校共有1200名学生，请估计阅读时间不少于45min的有540人．
【点评】本题考查了频数分布直方图，用样本估计总体，频数分布表等知识点，能根据题意
和图形列出算式是解此题的关键．
20．【分析】（1）根据概率公式用男生人数除以总人数即可得；
（2）先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选出1名男生和1名女生的结果
数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）所有等可能结果共有5种，其中男生有3种，
∴恰好是男生的概率为 ，
故答案为： ；
（2）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中选出1名男生和1名女生的结果数为12种，
所以恰好选出1名男生和1名女生的概率＝ ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
五、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）
21．【分析】过A作AD⊥BC于D．解Rt△ADB，求出DB＝ AB＝65m，AD＝ BD＝65
第16页（共27页）m．再解Rt△ADC，得出CD＝AD＝65 m，根据BC＝BD+CD即可求解．
【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于D．
根据题意，得∠ABC＝40°+20°＝60°，AB＝130m．
在Rt△ADB中，∵∠DAB＝30°，
∴DB＝ AB＝ ×130＝65m，AD＝ BD＝65 m．
∵∠BAC＝180°﹣65°﹣40°＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣60°﹣75°＝45°．
在Rt△ADC中，∵tanC＝ ＝1，
∴CD＝AD＝65 m，
∴BC＝BD+CD＝65+65 ≈177.5m．
故观测点B与建筑物C之间的距离约为177.5m．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转
化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
22．【分析】（1）根据圆周角定理，等角的余角相等可以证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和三角形相似的知识可以求得AF的长．
【解答】（1）证明：∵∠ADC＝90°，∠ACE＝90°，
∴∠ADF+∠FDC＝90°，∠EAC+∠CEF＝90°，
∵∠FDC＝∠CEF，
∴∠ADF＝∠EAC；
（2）连接FC，
∵CD是圆O的直径，
∴∠DFC＝90°，
∴∠FDC+∠FCD＝90°，
∵∠ADF+∠FDC＝90°，∠ADF＝∠EAC，
∴∠FCD＝∠EAC，
第17页（共27页）即∠FCP＝CAP，
∵∠FPC＝∠CPA，
∴△FPC∽△CPA，
∴ ，
∵PC＝ PA，PF＝1，
∴ ，
解得，PA＝ ，
∴AF＝PA﹣PF＝ ，
即AF＝ ．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利
用数形结合的思想解答．
六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）
23．【分析】（1）根据销量＝原价的销量+增加的销量即可得到y与x的函数关系式；
（2）表示出网络经销商所获得的利润＝6300，解方程即可求出x的值；
（3）根据每天售出的件数×每件盈利＝利润即可得到的W与x之间的函数关系式，由函数
的性质即可求出其最大利润以及其哪一天所获得的．
【解答】解：（1）由题意可知y＝5x+30；
（2）根据题意可得（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）＝6300，
即x2﹣60x+864＝0，
解得：x＝24或36（舍）
∴在这30天内，第24天的利润是6300元．
（3）根据题意可得：w＝（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30），
第18页（共27页）＝﹣5x2+300x+1980，
＝﹣5（x﹣30）2+6480，
∵a＝﹣5＜0，
∴函数有最大值，
∴当x＝30时，w有最大值为6480元，
∴第30天的利润最大，最大利润是6480元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关
键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判
断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
24．【分析】（1）先求出AB＝10，进而判断出Rt△BCD≌Rt△BCO，和△ACD∽△ABO，确定
出点C（﹣3，0），
再判断出△EBD≌△ABO，求出OE＝BE﹣OB＝4，即可得出点E坐标，最后用待定系数法
即可；
（2）方法1，设P（﹣m，﹣ m+6），进而得出PN＝m，PM＝﹣ m+6，根据勾股定理得，
MN2＝ （m﹣ ）2+ ，即可得出点P横坐标，即可得出结论．
方法2、先判断出OP⊥AB时，MN最小，再用面积求出OP，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得点B的横坐标为0，点A的纵坐标为0，
∴B（0，6），A（﹣8，0），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB＝ ＝10，
∵CB平分∠ABO，CD⊥AB，CO⊥BO，
∴CD＝CO，
∵BC＝BC，
∴Rt△BCD≌Rt△BCO，
∴BD＝BO＝6，
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∵∠ADC＝∠AOB＝90°，
∠CAD＝∠BAO，
∴△ACD∽△ABO，
第19页（共27页）∴ ，
∴ ，
∴AC＝5，
∴OC＝OA﹣AC＝3，
∴C（﹣3，0），
∵∠EDB＝∠AOB＝90°，BD＝BO，∠EBD＝∠ABO，
∴△EBD≌△ABO，
∴BE＝AB＝10，
∴OE＝BE﹣OB＝4，
∴E（0，﹣4），
设直线CE的解析式为y＝kx﹣4，
∴﹣3k﹣4＝0，
∴k＝﹣ ，
∴直线CE的解析式为y＝﹣ x﹣4，
（2）解：存在，（﹣ ， ），
方法1、如图，
∵点P在直线y＝ x+6上，
∴设P（﹣m，﹣ m+6），
∴PN＝m，PM＝﹣ m+6，
根据勾股定理得，MN2＝PN2+PM2＝m2+（﹣ m+6）2＝ （m﹣ ）2+ ，
∴当m＝ 时，MN2有最小值，则MN有最小值，
当m＝ 时，y＝﹣ x+6＝﹣ × +6＝ ，
第20页（共27页）∴P（﹣ ， ）．
方法2、如图
∵PM⊥x轴于M，PN⊥OB于y轴，
∴∠PMO＝∠PNO＝90°＝∠MON，
∴四边形PMON是矩形，
∴MN＝OP
∴OP最小时，MN最小，
∴OP⊥AB，
∵OA＝8，OB＝6，
∴AB＝10，
∴OP＝ ＝ ，
易知，△OPM∽△OAP，
∴
∴ ，
∴OM＝ ，
∴P的横坐标为﹣ ，
∵点P在直线y＝ x+6上，
∴P的纵坐标为 ，
∴P（﹣ ， ）．
第21页（共27页）【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似
三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是求出点C的坐标，解（2）的关键是得出
MN2的函数关系式，是一道中等难度的中考常考题．
七、解答题（本大题共1小题，共12分）
25．【分析】（1）由△CPD∽△CEB证得结论；
（2）AC∥BD．欲推知AC∥BD，只需推知∠ACB+∠DBC＝180°；
（3）如图所示，过点P作PF⊥BD．交DB的延长线于点F．通过解直角三角形、（2）中相似
三角形的对应边成比例和三角形的面积公式写出函数关系式即可．
【解答】（1）证明：∵∠MBN＝90°，点C是∠MBN平分线上的一点，
∴∠CBE＝45°，
又CE⊥BN，
∴∠BCE＝45°，
∴BE＝CE，
∴△BCE是等腰直角三角形．
又∵△CPD是等腰直角三角形，
∴△CPD∽△CEB，
∴ ＝ ，
第22页（共27页）∴ ＝ ；
（2）解：AC∥BD，理由如下：
∵∠PCE+∠BCP＝∠DCB+∠BCP＝45°，
∴∠PCE＝∠DCB．
由（1）知， ＝ ，
∴△EPC∽△BDC，
∴∠PEC＝∠DBC．
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠DBC＝180°，
∴AC∥BD；
（3）解：如图所示，过点P作PF⊥BD．交DB的延长线于点F．
∵AC＝4 ，△ABC与△BEC都是等腰直角三角形，
∴BC＝4 ，BE＝CE＝4．
由（2）知，△EPC∽△BDC，
∴ ＝ ．即 ＝ ，
∴DB＝ x．
∵∠PBF＝∠CBF﹣∠CBP＝90°﹣45°＝45°，即BP＝BE﹣PE＝4﹣x，
∴PF＝BP•sin∠PBF＝（4﹣x）× ＝2 ﹣ x，
∴S＝ DB•PF＝ × x×（2 ﹣ x）＝﹣ x2+2x，即：S＝﹣ x2+2x．
【点评】本题考查了相似综合题．需要灵活掌握并运用等腰三角形的判定与性质，相似三
第23页（共27页）角形的判定与性质，三角形的面积公式以及解直角三角形等知识点，难度不大，但是综合
性比较强，需要多加训练，以达灵活运用的目的．
八、解答题（本大题共1小题，共14分）
26．【分析】（1）先确定出点A，B，C的坐标，进而求出AC，BC，AB，即可判断出△ABC的形
状，判断出外接圆的圆心的位置即可；
（2）先确定出直线BC的解析式，进而设出点P的坐标，得出点Q的坐标，再分两种情况，
用S△PBC ＝S△ABC ，建立方程求解，最后判断出△ABN∽△APM即可求出∠APB的度数；
（3）设出点E的坐标，用点E到对称轴的距离建立方程求出点E的坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣ x+2与y轴交于点C，
∴C（0，2），
令y＝0，则0＝﹣ x+2，
∴x＝﹣1或x＝4，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴OA＝1，OB＝4，OC＝2，
根据勾股定理得，AC＝ ，BC＝2 ，
∵AB＝OA+OB＝5，
∴AC2+BC2＝5+20＝25＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴AB是Rt△ABC的外接圆的直径，
∴△ABC的外接圆的圆心是线段AB的中点，
∴其坐标为（ ，0）；
（2）∵C（0，2）设直线BC的解析式为y＝kx+2，
∵B（4，0），
∴4k+2＝0，
∴k＝﹣ ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣ x+2，
第24页（共27页）∵P是抛物线上一点，
设点P（m，﹣ m2+ m+2）
如图，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q，
∴Q（m，﹣ m+2），
当点P在直线BC上方时，S△PBC ＝S△PQC +S△PBQ ＝S△ABC ，
①
∴ （[ ﹣ m2+ m+2）﹣（﹣ m+2）]×m+ （[ ﹣ m2+ m+2）﹣（﹣ m+2）（] m﹣4）＝
×5×2
∴m2﹣4m+5＝0，
∵△＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，
∴此方程没有实数根；
∴当点P在直线BC上方时，S△PBC ≠S△ABC ，
当点P在直线BC下方时，S△PBC ＝S△PQC ﹣S△PBQ ＝S△ABC ，
②
∴ [（﹣ m+2）﹣（﹣ m2+ m+2）]×m﹣ [（ m+2）﹣（﹣ m2+ m+2）]（m﹣4）＝
×5×2
∴m2﹣4m﹣5＝0，
∴m＝﹣1（舍）或m＝5，
∴P（5，﹣3）
作PM⊥x轴于，交BC于Q，
∴PM＝3，MB＝1，根据勾股定理得，BP＝ ，AP＝3 ，
过点B作BN⊥AP于N，
∴∠ANB＝∠AMP＝90°，∠BAN＝∠PAM，
∴△ABN∽△APM，
∴ ，
∴ ，
∴BN＝ ，
在Rt△BPN中，PN＝ ＝ ，
第25页（共27页）∴BN＝PN，
∴∠APB＝45°；
（3）存在，
如图2，∵抛物线y＝﹣ x+2的对称轴为x＝ ，
由（2）知，P（5，﹣3），BP＝ ，
设E（n，﹣ n2+ n+2），
当点E在抛物线对称轴右侧时，
①即：点E处时，EF＝BP＝ ，
∴点E到对称轴的距离为EG＝BM＝1，
∴n﹣ ＝1，
∴n＝ ，
∴E（ ， ），
易知，FG＝PM＝3，
∴F（ ， ）；
当点E在抛物线对称轴左侧时，
②即：E'处时，E'F'＝BP＝ ，
∴点E'到对称轴的距离为E'G'＝BM＝1，
∴ ﹣n＝1，
∴n＝ ，
∴E'（ ， ），
易知，F'G'＝PM＝3，
∴F'（ ，﹣ ）．
即：满足条件的点F的坐标为（ ， ）或（ ，﹣ ）．
第26页（共27页）【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的外接圆，直角三角形的
判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，解本题的关键是用分类
讨论的思想思考问题，是一道中考压轴题．
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