2017年辽宁省鞍山市中考数学试题（解析）_中考真题_2.数学中考真题2015-2024年_地区卷_辽宁省_辽宁数学_辽宁数学_鞍山数学11-22

一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列各数中，比﹣3小的数是（ ） A．﹣2 B．0 C．1 D．﹣4 【答案】D． 【解析】 试题分析：∵﹣4＜﹣3＜﹣2＜0，∴比﹣3小的数是﹣4．故选D． [来源:学|科|网Z|X|X|K] 考点：有理数大小比较． 2．如图所示几何体的左视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】C． 考点：简单组合体的三视图． 3．函数 中自变量x的取值范围是（ ） y  x2 A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≤﹣2 D．x＜﹣2 【答案】A．【解析】 试题分析：由题意得：x+2≥0，解得：x≥﹣2．故选A． 考点：函数自变量的取值范围． 4．一组数据2，4，3，x，4的平均数是3，则x的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B． 【解析】 试题分析：根据题意，得： （2+4+3+x+4）÷5=3，解得：x=2．故选B． 考点：算术平均数． 5．在平面直角坐标系中，点P（m+1，2﹣m）在第二象限，则m的取值范围为（ ） A．m＜﹣1 B．m＜2 C．m＞2 D．﹣1＜m＜2 【答案】A． 考点：解一元一次不等式组；点的坐标． 6．某班有若干个活动小组，其中书法小组人数的3倍比绘画小组的人数多15人，绘画小组人数的2倍比书 法小组的人数多5人．问：书法小组和绘画小组各有多少人？若设书法小组有x人，绘画小组有y人，那么可 列方程组为（ ） y3x15 y3x15 3x y 15 3x y 15 A． B． C． D．     x2y 5 2yx5 x2y 5 2yx5 【答案】D． 【解析】 试题分析：若设书法小组有x人，绘画小组有y人，由题意得： [来源:学*科*网] 3x y 15 ．故选D．  2yx5 考点：由实际问题抽象出二元一次方程组． 5 1x 7．分式方程  2的解为（ ） x2 2x A．x=2 B．x=﹣2 C．x=1 D．无解【答案】B． 考点：解分式方程． 8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论： ①△AEF∽△CAB；②DF=DC；③S =4S ；④tan∠CAD= 2 ．其中正确结论的个数是（ ） △DCF △DEF 2 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A． 【解析】 试题分析：如图，过D作DM∥BE交AC于N．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC， S =4S ．∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确； △DCF △DEF 1 ②∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE= BC，∴BM=CM，∴CN=NF． 2 ∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF=DC，故②正确； 1 1 ③∵点 E 是 AD 边的中点，∴S = S ．∵△AEF∽△CBA，∴AF：CF=AE：BC= ， △DEF △ADF 2 2 ∴S =2S =4S ，故③正确； △CDF △ADF △DEF ④设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有b 2a，即b= a，∴tan∠CAD=CD b = 2 ．故  2  a b AD 2a 2 ④正确． 故选A．考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形；综合题． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．长城的总长大约为6700000m，将数6700000用科学记数法表示为 ． 【答案】6.7×106． 【解析】 试题分析：6 700 000=6.7×106．故答案为：6.7×106． 考点：科学记数法—表示较大的数． 10．分解因式 的结果是 ． 2x2y8y 【答案】2y（x+2）（x﹣2）． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 11．有5张大小、背面都相同的卡片，正面上的数字分别为1， ，0，π，﹣3，若将这5张卡片背面朝上洗  2 匀后，从中任意抽取1张，那么这张卡片正面上的数字为无理数的概率是 ． 2 【答案】 ． 5 【解析】 试题分析：∵在1， ，0，π，﹣3中，无理数有 ，π，共2个，∴这张卡片正面上的数字为无理数的概  2  2 2 2 率是 ．故答案为： ． 5 5 考点：概率公式；无理数． 1 12．如图，在□ABCD中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作 2 直线MN，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，∠B=50°，∠DAC=30°，则∠BAF等于 ．【答案】70°． 考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质． 13．若一个圆锥的底面圆半径为1cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长为 cm． 【答案】3． 【解析】 120l 试题分析：设母线长为l，则 =2π×1，解得：l=3．故答案为：3． 180 考点：圆锥的计算． 14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE（其中点B恰好落 在AC延长线上点D处，点C落在点E处），连接BD，则四边形AEDB的面积为 ． 27 【答案】 ． 2 【解析】 试题分析：在△ABC中，∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5．∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段 AB 上的点 E 处，点 B 落在点 D 处，∴AD=AB=5，∴CD=AD﹣AC=1，∴四边形 AEDB 的面积为1 1 27 27 2 43 13= ．故答案为： ． 2 2 2 2 考点：旋转的性质． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC和正方形DOFE的顶点B，F在x轴上，顶点C，D在y轴上，且 k S =4，反比例函数y  （x＞0）的图象经过点E，则k= ． △ADF x 【答案】8． 考点：反比例函数系数k的几何意义． 16．如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠A=2∠BDC，BD交AC边于点E，且AE=4，则BE·DE= ． 【答案】20． 【解析】 1 试题分析：如图所示，延长 CA 到点 F，使 AF=AB=6，连接 BF．易知∠F= ∠BAC=∠BDC．又 2 BE FE BE 10 ∵∠BEF=∠CED，∴△BEF∽△CED，∴  ．∵AE=4，∴CE=2，FE=10，∴  ， CE DE 2 DE ∴BE•DE=20．故答案为：20． 考点：相似三角形的判定与性质；和差倍分． 三、解答题（共10小题） 17．先化简，再求值： 1 x2 2x1，其中x= ． (1 ) 21 x2 2x4 2 【答案】 ， 2 ． x1 考点：分式的化简求值． 18．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分别交DC，BA的延长线于点E， F，交边BC，AD于点H，G． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若AB=5，BC=8，求AF+AG的值．【答案】（1）证明见解析；（2）6． 考点：平行四边形的判定与性质． 19．某校要了解学生每天的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每天的课外阅读时间x（单位： min）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的统计图表，根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取 名学生． （2）统计表中a= ，b= ． （3）将频数分布直方图补充完整． （4）若全校共有1200名学生，请估计阅读时间不少于45min的有多少人．课外阅读时间 x/min 频数/人 频率 0≤x＜15 6 0.1 15≤x＜30 12 0.2 30≤x＜45 a 0.25 45≤x＜60 18 b 60≤x＜75 9 0.15 【答案】（1）60；（2）15，0.3；（3）作图见解析；（4）540． 试题解析：（1）6÷0.1=60，即本次调查共抽取60名学生．故答案为：60； （2）a=60×0.25=15，b=18÷60=0.3．故答案为：15，0.3； （3）如图所示： ； 189 （4）1200× =540． 60 答：若全校共有1200名学生，请估计阅读时间不少于45min的有540人．考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表． 20．为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有5名学生（3名男生，2名女生）获奖． （1）老师若从获奖的5名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是男生的概率为 ． （2）老师若从获奖的5名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，请用画树状图法或列表法，求出恰好 是一名男生、一名女生的概率． 3 3 【答案】（1） ；（2） ． 5 5 （2）画树状图为： 共有20种等可能的结果数，其中选出1名男生和1名女生的结果数为12种，所以恰好选出1名男生和1名 12 3 女生的概率= = ． 20 5 考点：列表法与树状图法；概率公式． 21．如图，建筑物C在观测点A的北偏东65°方向上，从观测点A出发向南偏东40°方向走了130m到达观 测点B，此时测得建筑物C在观测点B的北偏东20°方向上，求观测点B与建筑物C之间的距离．（结果精 确到0.1m．参考数据： ≈1.73） 3 【答案】177.5m．【解析】 1 试题分析：过A作AD⊥BC于D．解Rt△ADB，求出DB= AB=65m，AD= 3BD=65 3m．再解Rt△ADC，得 2 出CD=AD=65 m，根据BC=BD+CD即可求解． 3 [来源:Zxxk.Com] 考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题． 22．如图，△ACE，△ACD均为直角三角形，∠ACE=90°，∠ADC=90°，AE与CD相交于点P，以CD为直径 的⊙O恰好经过点E，并与AC，AE分别交于点B和点F． （1）求证：∠ADF=∠EAC． 2 （2）若PC= PA，PF=1，求AF的长． 3 D E P F O A B C 5 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 4 【解析】 试题分析：（1）由∠ACE=90°，得到∠EAC+∠FEC=90°．由∠ADC=90°，得到∠ADF+∠CDF=90°．从而有∠ADF=∠EAC． （2）连接FC．先证△CPF∽△APC，再由相似三角形的性质得到PA的长，从而得到结论． [来源:Z+xx+k.Com] 试题解析：（1）证明：∵∠ACE=90°，∴∠EAC+∠FEC=90°．∵∠ADC=90°，∴∠ADF+∠CDF=90°．又 ∵∠CDF=∠FEC，∴∠ADF=∠EAC． （2）如图，连接FC．∵CD为⊙O的直径，∴∠CFD=90°，∴∠PCF+∠CDF=90°．∵∠CDF=∠AEC， PC PF 2 ∴∠CDF=∠PAC．又∵∠CPF=∠APC，∴△CPF∽△APC，∴  ．∵PC= PA，PF=1，∴ PA PC 3 2 PA 3 1 9 9 5  ，解得：PA= ，∴AF=PA-PF= -1= ． PA 2 4 4 4 [来源:Z#xx#k.Com] PA 3 考点：圆周角定理；相似三角形的判定与性质． 23．某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳 网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价 均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第x天（1≤x≤30且x 为整数）的销量为y件． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）在这30天内，哪一天的利润是6300元？ （3）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少． 【答案】（1）y=5x+30；（2）第24天；（3）w=﹣5x2+300x+1980，第30天的利润最大，最大利润是6480元．试题解析：（1）由题意可知：y=5x+30； （2）根据题意得：（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）=6300，即x2﹣60x+864=0，解得：x=24或36（舍），∴在这30天内， 第24天的利润是6300元． （3）根据题意得：w=（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30），即w=﹣5x2+300x+1980=﹣5（x﹣30）2+6480．∵a=﹣5＜0，∴函 数有最大值，∴当x=30时，w有最大值为6480元． 答：w=﹣5x2+300x+1980，第30天的利润最大，最大利润是6480元． 考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用；二次函数的最值；最值问题． 3 24．如图，一次函数y  x6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作 4 直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E． （1）求直线CE的解析式； （2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存 在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4 72 96 【答案】（1）y  x4；（2）存在，P（﹣ ， ）． 3 25 25试题解析：（1）根据题意得：点B的横坐标为0，点A的纵坐标为0，∴B（0，6），A（﹣8，0），∴OA=8，OB=6， ∴ AB= =10 ． ∵ CB 平 分 ∠ ABO ， CD⊥ AB ， CO⊥ BO ， ∴ CD=CO ． ∵ BC=BC ， OA2 OB2 ∴Rt△BCD≌Rt△BCO，∴BD=BO=6，∴AD=AB﹣BD=4．∵∠ADC=∠AOB=90°，∠CAD=∠BAO， AD AC 4 AC ∴△ACD∽△ABO，∴  ，∴  ，∴AC=5，∴OC=OA﹣AC=3，∴C（﹣3，0）． AO AB 8 10 ∵∠EDB=∠AOB=90°，BD=BO，∠EBD=∠ABO，∴△EBD≌△ABO，∴BE=AB=10，∴OE=BE﹣OB=4，∴E 4 4 （0，﹣4），设直线CE的解析式为y=kx﹣4，∴﹣3k﹣4=0，∴k= ，∴直线CE的解析式为y  x4； 3 3 72 96 3 3 （2）解：存在，（﹣ ， ）．如图．∵点P在直线y  x6上，∴设P（﹣m， m6），∴PN=m，PM= 25 25 4 4 3 3 25 72 576 72  m6，根据勾股定理得，MN2=PN2+PM2=m2 ( m6)2= (m )2  ，∴当m= 时，MN2 4 4 16 25 25 25 72 3 3 72 96 72 96 有最小值，则MN有最小值，当m= 时，y  x6=﹣ × +6= ，∴P（﹣ ， ）． 25 4 4 25 25 25 25 考点：一次函数综合题；二次函数的最值；最值问题；动点型；存在型；压轴题． 25．如图，∠MBN=90°，点C是∠MBN平分线上的一点，过点C分别作AC⊥BC，CE⊥BN，垂足分别为点C，E，AC= ，点P为线段BE上的一点（点P不与点B、E重合），连接CP，以CP为直角边，点P为直角顶点， 4 2 作等腰直角三角形CPD，点D落在BC左侧． CP CE （1）求证：  ； CD CB （2）连接BD，请你判断AC与BD的位置关系，并说明理由； （3）设PE=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式． 1 【答案】（1）证明见解析；（2）AC∥BD；（3）S  x2 2x． 2 试题解析：（1）证明：∵∠MBN=90°，点C是∠MBN平分线上的一点，∴∠CBE=45°．又CE⊥BN， ∴∠BCE=45°，∴BE=CE，∴△BCE是等腰直角三角形． CP CD CP CE 又∵△CPD是等腰直角三角形，∴△CPD∽△CEB，∴  ，∴  ； CE CB CD CB （2）解：AC∥BD．理由如下： ∵∠PCE+∠BCP=∠DCB+∠BCP=45°，∴∠PEC=∠DCB． CP CE 由（1）知，  ，∴△EPC∽△BDC，∴∠PEC=∠DBC． CD CB ∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠ACB+∠DBC=180°，∴AC∥BD；考点：相似形综合题；探究型；综合题． 1 3 26．如图，抛物线y  x2  x2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． 2 2 （1）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标； （2）点P是抛物线上一点（不与点A重合），且S =S ，求∠APB的度数； △PBC △ABC （3）在（2）的条件下，点E是x轴上方抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点E和点 F，使得以点B、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明 理由． 3 【答案】（1）△ABC的外接圆的圆心是线段AB的中点，坐标为（ ，0）；（2）45°；（3）满足条件的点F的坐标 2 3 45 3 3 为（ ， ）或（ ，﹣ ）． 2 8 2 81 3 1 3 试题解析：（1）∵抛物线y  x2  x2与y轴交于点C，∴C（0，2）．令y=0，则0= x2  x2， 2 2 2 2 ∴x=﹣1或x=4．∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴OA=1，OB=4，OC=2．根据勾股定理得：AC= ，BC= ．∵AB=OA+OB=5，∴AC2+BC2=5+20=25=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴AB是Rt△ABC的外 5 2 5 3 接圆的直径，∴△ABC的外接圆的圆心是线段AB的中点，∴其坐标为（ ，0）； 2 1 （2）∵C（0，2）设直线BC的解析式为y=kx+2．∵B（4，0），∴4k+2=0，∴k=﹣ ，∴直线BC的解析式为y=﹣ 2 1 1 3 x+2．∵P是抛物线上一点，设点P（m， m2  m2）． 2 2 2 1 如图，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q，∴Q（m，﹣ m+2），分两种情况讨论： 2 1 1 3 1 1 ①当点P在直线BC上方时，S =S +S =S ，∴ [（ m2  m2）﹣（﹣ m+2）]×m﹣ △PBC △PQC △PBQ △ABC 2 2 2 2 2 1 3 1 1 [（ m2  m2）﹣（﹣ m+2）]（m﹣4）= ×5×2，∴m2﹣4m+5=0．∵△=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，∴ 2 2 2 2 此方程没有实数根，∴当点P在直线BC上方时，S ≠S ，②当点P在直线BC下方时，S =S ﹣S △PBC △ABC △PBC △PQC △P 1 1 1 3 1 1 1 3 =S ，∴ [（﹣ m+2）﹣（ m2  m2）]×m﹣ [（ m+2）﹣（ m2  m2）]（m﹣4）= BQ △ABC 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ×5×2，∴m2﹣4m﹣5=0，∴m=﹣1（舍）或m=5，∴P（5，﹣3）． 2 作PM⊥x轴于，交BC于Q，∴PM=3，MB=1．根据勾股定理得：BP= ，AP= ．过点B作BN⊥AP于N， 10 3 5∴∠ANB=∠AMP=90°，∠BAN=∠PAM，∴△ABN∽△APM，∴ AB BN ，∴ 5 BN ，∴BN= ．在   5 AP PM 3 5 3 Rt△BPN中，PN= = ，∴BN=PN，∴∠APB=45°； BP2 BN2 5 ②当点E在抛物线对称轴左侧时，即：E'处时，E'F'=BP= ，∴点E'到对称轴的距离为E'G'=BM=1，∴ 10 3 1 1 21 3 3 ﹣n=1，∴n= ，∴E'（ ， ），易知，F'G'=PM=3，∴F'（ ，﹣ ）． 2 2 2 8 2 8 3 45 3 3 即：满足条件的点F的坐标为（ ， ）或（ ，﹣ ）． 2 8 2 8 考点：二次函数综合题；分类讨论；存在型；压轴题．