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2018年辽宁省营口市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中,只有一个是正确的,每小题3分,共30分)
1．3的倒数是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
2．如图1，该几何体是由5个棱长为1个单位长度的正方体摆放而成，将正方体A向右平移2个单位
长度后（如图2），所得几何体的视图（ ）
A．主视图改变，俯视图改变
B．主视图不变，俯视图不变
C．主视图改变，俯视图不变
D．主视图不变，俯视图改变
3．下列运算中，正确的是（ ）
A．x3•x3＝x9 B．3x2+2x2＝5x2
C．（x2）3＝x5 D．（x+y）2＝x2+y2
4．若一组数据1，2，x，4的平均数是2，则这组数据的众数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞ B．m＝ C．m＜ D．m≤
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，在同一平面内，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB C
1 1
的位置，连接BB ，若BB ∥AC ，则∠CAC 的度数是（ ）
1 1 1 1
A．10° B．20° C．30° D．40°
7．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（﹣1，﹣2），D（﹣2，﹣1），以原点O为位似中心，在第一【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
象限内将线段CD扩大为原来的2倍，得到线段AB，则线段AB的中点E的坐标为（ ）
A．（3，3） B．（ ） C．（2，4） D．（4，2）
8．一次函数y＝（k﹣2）x+3的图象如图所示，则k的取值范围是（ ）
A．k＞3 B．k＜3 C．k＞2 D．k＜2
9．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M，N分别是
BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A． B．2 C．2 D．4
10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC边上（不与点C重合），以AC为对角
线作平行四边形ADCE，连接DE交AC于点O．设BD＝x，OD2＝y，则y与x之间的函数关系图象
大致为（ ）【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分,共24分)
11．胶东半岛最大的湖泊﹣莱西湖，总库容402000000立方米，被誉为“半岛明珠”，将402000000用
科学记数法表示为 ．
12．函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ．
13．在一个不透明的小盒中装有m张除颜色外其它完全相同的卡片，这m张卡片中两面均为红色的
只有3张．搅匀后，从小盒中任意抽出一张卡片记下颜色，再放回小盒中．通过大量重复抽取卡片
实验，发现抽到两面均为红色卡片的频率稳定在0.3附近，可推算出m的值约为 ．
14．如图，点A是反比例函数y＝ （x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝ （k≠0）的
图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，点C，点D在x轴上．若S ＝5，则k＝ ．
▱ABCD
15．如图1，OC是 O的半径，弦AB垂直平分OC，垂足为点D，AB＝6 cm，连接OA，OB，将图中阴
⊙
影部分的扇形OAB剪下围成一个圆锥的侧面（如图2），则圆锥的底面圆半径是 ．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
16．“满意“超市对某瓶装饮料进行打折促销，每瓶比原价便宜了0.6元，已知打折后用20元购买的
瓶数和打折前用26元购买的瓶数相等．若设该饮料原价每瓶x元，则根据题意可列出分式方程为
．
17．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝4，将矩形ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为MN．给出
以下四个结论： △CDM≌△CEN； △CMN是等边三角形； CM＝5； BN＝3．其中正确的
结论序号是 ① ． ② ③ ④
18．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在y轴的正半轴上，△AOB为等边三角形．射
线OP⊥AB，在射线OP上依次取点P ，P ，P ，…，P ，使OP ＝1，P P ＝2，P P ＝4，…，P P ＝
1 2 3 n 1 1 2 2 3 n﹣1 n
2n﹣1（n为正整数，点P 即为原点O）分别过点P ，P ，P ，…，P 向y轴作垂线段，垂足分别为点
0 1 2 3 n
H ，H ，H ，…，H ，则点H 的坐标为 ．
1 2 3 n n
三、解答题（19小题10分,20小题10分,共20分)
19．（10分）先化简，再求值： ÷（x+2 ），其中x＝ ﹣2﹣1 ．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
20．（10分）在创建“文明校园”活动中，某校有2名男生和3名女生被评为学校“文明学生”．现要
从这5名学生中选拔“学校文明礼仪值周岗”的值周生．
（1）从这5名学生中随机选拔1人值周，恰好选到男生的概率是 ．
（2）从这5名学生中随机选拔2人值周，请用树状图或列表法求出恰好选到1个男生和1个女生的
概率．
四、解答题（21小题12分,22小题12分,共24分)
21．（12分）为加强未成年人思想道德建设．某校在学生中开展了“日行一孝”活动．活动设置了四个
爱心项目：A项﹣我为父母过生日，B项﹣我为父母洗洗脚，C项﹣我当一天小管家，D项﹣我与父
母谈谈心，要求每个学生必须且只能选择一项参加．为了解全校参加各项目的学生人数，随机抽取
了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下
列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 ，补全图1中的条形统计图．
（2）在图2的扇形统计图中，B项所占的百分比为m%，则m的值为 ，C项所在扇形的圆心
角 的度数为 度．
（3α）该校参加活动的学生共1200人，请估计该校参加D项的学生有多少人？
22．（12分）如图，建筑物AB的高为52米，在其正前方广场上有人进行航模试飞．从建筑物顶端A处
测得航模C的俯角 ＝30°，同一时刻从建筑物的底端B处测得航模C的仰角 ＝45°，求此时航模
C的飞行高度．（精α确到1米） β
（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45）【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
五、解答题（23小题12分,24小题12分,共24分)
23．（12分）如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD，过点A作直
线MN，使∠MAC＝∠ADC．⊙ ⊙
（1）求证：直线MN是 O的切线．
⊙
（2）若sin∠ADC＝ ，AB＝8，AE＝3，求DE的长．
24．（12分）某商场销售A，B两款书包，已知A，B两款书包的进货价格分别为每个30元，50元，商场
用3600元的资金购进A，B两款书包共100个．
（1）求A，B两款书包分别购进多少个．
（2）市场调查发现，B款书包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣x+90
（60≤x≤90）．设B款书包每天的销售利润为w元，当B款书包的销售单价为多少元时，商场每天
B款书包的销售利润最大？最大利润是多少元？
六、解答题（本题满分14分)
25．（14分）已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，连接BD，点E是线段BD延长线
上一点，连接AE，CE，使∠CAE＝∠CBE，过点C作CF⊥CE，交BD于点F．
（1） 如图1，当∠ABC＝45°时，线段AE与BF之间的数量关系是 ．
如图①2，当∠ABC＝60°时，线段AE与BF之间的数量关系是 ．
②（2）如图3，当∠ABC＝30°时，线段AE与BF之间具有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图4，当∠ABC＝（0°＜ ＜90°）时，直接写出线段AE与BF之间的数量关系．（用含 的式
子表示） α α α【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
七、解答题（本题满分14分)
26．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）经过点A（﹣3，﹣7），B（3，5），顶点为点E，抛物线的对称
轴与直线AB交于点C．
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式．
（2）在抛物线上A，E两点之间的部分（不包含A，E两点），是否存在点D，使得S ＝2S ？
△DAC △DCE
若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接
写出满足条件的点P的坐标．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
2018 年辽宁省营口市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中,只有一个是正确的,每小题3分,共30分)
1．【分析】直接利用倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案．
【解答】解：3的倒数是： ．
故选：C．
【点评】此题主要考查了倒数，正确把握相关定义是解题关键．
2．【分析】主视图是从正面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判
断．
【解答】解：将正方体A向右平移2个单位长度后，所得几何体的左视图不变，主视图和俯视图均发
生改变，
故选：A．
【点评】此题考查了简单组合体的三视图，掌握主视图及俯视图的观察方法是解答本题的关键，难
度一般．
3．【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：∵x3•x3＝x6，故选项A错误；
∵3x2+2x2＝5x2，故选项B正确；
∵（x2）3＝x6，故选项C错误；
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，故选项D错误；
故选：B．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式，解答本题的
关键是明确它们各自的计算方法．
4．【分析】根据平均数的定义可以先求出x的值，再根据众数的定义求出这组数的众数即可．
【解答】解：∵数据1，2，x，4的平均数是2，
∴（1+2+x+4）÷4＝2，
解得：x＝1，
∴这组数据是1，2，1，4，
∴这组数据的众数为1；
故选：A．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点评】本题考查的是平均数和众数的概念，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意一组数据
的众数可能不只一个．
5．【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣1）2﹣4m＞0，然后解m的不等式即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣1）2﹣4m＞0，
解得m＜ ．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜
0时，方程无实数根．
6．【分析】根据旋转的性质得到∠C AB ＝∠CAB＝100°，AB ＝AB，∠CAC ＝∠BAB ，根据平行线的
1 1 1 1 1
性质得到∠C AB +AB B＝180°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
1 1 1
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB C 的位置，
1 1
∴∠C AB ＝∠CAB＝100°，AB ＝AB，∠CAC ＝∠BAB ，
1 1 1 1 1
∵BB ∥AC ，
1 1
∴∠C AB +AB B＝180°，
1 1 1
∴∠AB B＝80°，
1
∵AB＝AB ，
1
∴∠ABB ＝∠AB B＝80°，
1 1
∴∠BAB ＝20°，
1
∴∠CAC ＝20°，
1
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质
是解题的关键．
7．【分析】根据位似变换的性质、结合图形求出点A、点B的坐标，根据线段中点的性质解答．
【解答】解：∵点C的坐标为（﹣1，﹣2），点D的坐标为（﹣2，﹣1），以原点O为位似中心，在第一
象限内将线段CD扩大为原来的2倍，
∴点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（4，2），
∵点E是线段AB的中点，
∴点E的坐标为（ ， ），即（3，3），
故选：A．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似
比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
8．【分析】根据一次函数的图象得到关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵一次函数的图象过二、四象限，
∴k﹣2＜0，
解得k＜2．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0时，
函数的图象过二、四象限是解题的关键．
9．【分析】从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段
和的最小值．
【解答】解：如图，在BA上截取BE＝BN，
因为∠ABC的平分线交AC于点D，
所以∠EBM＝∠NBM，
在△BME与△BMN中，
所以△BME≌△BMN（SAS），
所以ME＝MN．
所以CM+MN＝CM+ME≥CE．
因为CM+MN有最小值．
当CE是点C到直线AB的距离时，即C到直线AB的垂线段时，CE取最小值为：4×sin60°＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称的应用．易错易混点：解此题是受角平分线启发，能够通过构造全等三
角形，把CM+MN进行转化，但是转化后没有办法把两个线段的和的最小值转化为点到直线的距【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
离而导致错误．规律与趋势：构造法是初中解题中常用的一种方法，对于最值的求解是初中考查的
重点也是难点．
10．【分析】作OG⊥BC于点G，利用平行四边形的性质构造中位线，从而求得OG，在根据勾股定理可
得y的解析式，最后判断大致图象．
【解答】
解：作OG⊥BC于点G，
在平行四边形ADCE中，
CO＝AO，
又∵OG∥AB，
∴OG＝ AB＝ ，
BG＝ ，
∴DG＝|2﹣x|，
∴y＝
＝
∴图象是一条开口向上的抛物线，
故选：B．
【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象三角形的中位线，勾股定理等知识，解
题关键是构造直角三角形求出OD的平方．
二、填空题（每小题3分,共24分)
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，
n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解答】解：将402000000用科学记数法表示为4.02×108．
故答案是：4.02×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，可知x﹣1≥0；分母不等于0，可
知：x﹣2≠0，则可以求出自变量x的取值范围．
【解答】解：根据题意得： ，
解得：x≥1且x≠2．
故答案为：x≥1且x≠2．
【点评】本题考查了函数自变量的范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
13．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例
关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得， ＝0.3，
解得，m＝10．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概
率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
14．【分析】设点A（x， ），表示点B的坐标，然后求出AB的长，再根据平行四边形的面积公式列式计
算即可得解．
【解答】解：设点A（x， ），则B（ ， ），
∴AB＝x﹣ ，
则（x﹣ ） ＝5，
k＝﹣3．
故答案为：﹣3．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，用点A，B的横坐标之差表示出AB的长度是解题
的关键．
15．【分析】先由弦AB垂直平分OC求得∠OAD＝30°、∠AOB＝120°，利用三角函数求得OA＝
＝6，再求出圆锥的底面周长为4 ，根据2 r＝4 可得答案．
π π π
【解答】解：∵弦AB垂直平分OC，
∴OA＝OC＝2OD，
则∠OAD＝30°，∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵AB＝6 cm，
∴AD＝3 cm，
则OA＝ ＝ ＝6（cm），
∴扇形的弧长，即圆锥的底面周长为 ＝4 ，
π
则2 r＝4 ，
解得πr＝2，π
故答案为：2cm．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题
的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
16．【分析】设该饮料原价每瓶x元，则打折后每瓶（x﹣0.6）元，根据数量＝总价÷单价结合打折后用
20元购买的瓶数和打折前用26元购买的瓶数相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设该饮料原价每瓶x元，则打折后每瓶（x﹣0.6）元，
依题意，得： ＝ ．
故答案为： ＝ ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
17．【分析】由矩形的性质和折叠的性质可得AB＝CE＝4，AM＝CM，AD＝BC＝8，AB＝CD＝4，CM＝
CN，可证△CDM≌△CEN，由勾股定理可求CM＝5，BN＝3，即可判断 是正确的，由等边
①③④【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
三角形的判定可判断 是错误的．
【解答】解：∵四边②形ABCD是矩形
∴AD∥BC，AD＝BC＝8，AB＝CD＝4，
∴∠AMN＝∠MNC，
∵折叠
∴AB＝CE＝4，∠AMN＝∠NMC，AM＝CM
∴∠MNC＝∠CMN，
∴CM＝CN，且CE＝CD
∴Rt△CDM≌Rt△CEN（HL）
∴CN＝CM，
∵MC2＝MD2+CD2，
∴MC2＝（8﹣MC）2+16，
∴MC＝5，
∴CN＝5，
∴BN＝BC﹣CN＝3
故 正确
∵①MD③＝④AD﹣AM＝3，且MC＝5，
∴MD≠ MC，即∠MCD≠30°
∴∠MCN≠60°
∴△CMN不是等边三角形
故 错误
故②答案为
【点评】本①题③考查④了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判
定，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
18．【分析】本题所求坐标的点在y轴上，其横坐标为0，只需求出其纵坐标便可，因此需要求出OH 的
n
长度，根据等边三角形的性质知∠H OP ＝30°，只需求出 OP 的长度便可，由于 OP ＝
n n n n
1+2+22+23+…+2n﹣1，则2OP ＝2+22+23+…+2n﹣1+2n，两等式相减，便可得结果．
n
【解答】解：∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵OP⊥AB，
∴∠BOP＝30°，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵P H ⊥y轴，
n n
∴OH ＝ OP ，
n n
∵OP ＝1，P P ＝2，P P ＝4，…，P P ＝2n﹣1（n为正整数，）
1 1 2 2 3 n﹣1 n
∴OP ＝1+2+22+23+…+2n﹣1，
n
∴2OP ＝2+22+23+…+2n﹣1+2n，
n
∴2OP ﹣OP ＝2n﹣1，
n n
∴OP ＝2n﹣1，
n
∴OH ＝ （2n﹣1）＝2n﹣1 ﹣ ，
n
∴H （0，2n﹣1 ﹣ ），
n
故答案为：（0，2n﹣1 ﹣ ），
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，涉及等边三角形的性质，解直角三角形的性质，点的坐
标，规律计算技巧，解题的关键是正确的求出OP 的值，规律计算是个难点．
n
三、解答题（19小题10分,20小题10分,共20分)
19．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将化简过的x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝ ÷（ ﹣ ）
＝ ÷
＝ •
＝
＝ ，
当x＝ ﹣2﹣1 ＝ ﹣2时，
原式＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查分式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算
法则．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
20．【分析】（1）根据概率公式用男生人数除以总人数即可得出答案；
（2）根据题意先画出树状图得出所有等情况数和1个男生和1个女生的情况数，然后根据概率公
式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵有2名男生和3名女生，共5名学生，
∴恰好选到男生的概率是 ；
故答案为： ；
（2）根据题意画树状图如下：
共有20种等情况数，其中选到1个男生和1个女生的有12种情况，
则恰好选到1个男生和1个女生的概率是 ＝ ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回
实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
四、解答题（21小题12分,22小题12分,共24分)
21．【分析】（1）根据题意可以求得调查的总人数，从而可以求得B的人数，进而可以将条形统计图补
充完整；
（2）根据统计图可以得到调查的总人数，也可以得到C部分所占的圆心角；
（3）根据统计图可以求得1200人参加D项的学生的人数．
【解答】解：（1）这次抽样调查的样本容量是 （人），B的人数200﹣90﹣60﹣10＝40，
如图所示：【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（2）B项所占的百分比为m%，则m%的值为 ，C项所在扇形的圆心角 的度数为
α
360°×45%＝162°；
（3）1200人参加D项的学生的人数为 （人）；
故答案为：200；20；162．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问
题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
22．【分析】作CD⊥AB，知∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，设AD＝x，可得CD＝ ＝ x，由BD
＝CD＝ x，结合AD+BD＝AB得x+ x＝52，解之求得x的值，从而得出答案．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
则∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，
设AD＝x，
在Rt△ACD中，CD＝ ＝ ＝ x，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
在Rt△BCD中，由∠BCD＝45°知BD＝CD＝ x，
∴由AD+BD＝AB得x+ x＝52，
解得：x＝26（ ﹣1）＝26 ﹣26，
则BD＝ x＝78﹣26 ，
答：此时航模C的飞行高度为（78﹣26 ）米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣俯角仰角问题，难度适中，要求学生能借助其关系构造直
角三角形并解直角三角形．
五、解答题（23小题12分,24小题12分,共24分)
23．【分析】（1）由圆周角定理得到∠ACB＝90°，求得∠BAM＝90°，根据垂直的定义得到AB⊥MN，即
可得到结论；
（2）连接OC，过E作EH⊥OC于H，根据三角函数的定义得到∠D＝30°，求得∠AOC＝60°，解直
角三角形得到OH＝ ，EH＝ ，根据相交弦定理得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵∠B＝∠D，∠MAC＝∠ADC，
∴∠B＝∠MAC，
∴∠MAC+∠CAB＝90°，
∴∠BAM＝90°，
∴AB⊥MN，
∴直线MN是 O的切线；
（2）解：连接⊙OC，过E作EH⊥OC于H，
∵sin∠ADC＝ ，
∴∠D＝30°，
∴∠B＝∠D＝30°，
∴∠AOC＝60°，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵AB＝8，
∴AO＝BO＝4，
∵AE＝3，
∴OE＝1，BE＝5，
∵∠EHO＝90°，
∴OH＝ ，EH＝ ，
∴CH＝ ，
∴CE＝ ＝ ，
∵弦CD与AB交于点E，
由相交弦定理得，AE•BE＝CE•DE，
∴DE＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，相交弦定理，正确的作出辅助线是解题的
关键．
24．【分析】（1）设购进A款书包x个，则B款为100﹣x个，由题意得：30x+50（100﹣x）＝3600，即可求
解；
（2）由题意得：w＝y（x﹣50）＝﹣（x﹣50）（x﹣90），即可求解．
【解答】解：（1）设购进A款书包x个，则B款为100﹣x个，
由题意得：30x+50（100﹣x）＝3600，
解得：x＝70，
即：A，B两款书包分别购进70和30个；
（2）由题意得：w＝y（x﹣50）＝﹣（x﹣50）（x﹣90），
∵﹣1＜0，故w有最大值，
函数的对称轴为：x＝70，而60≤x≤90，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故：当x＝70时，w有最大值为400，
即：B款书包的销售单价为70元时B款书包的销售利润最大，最大利润是400元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性
来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注
意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝
时取得
六、解答题（本题满分14分)
25．【分析】（1） 结论：AE＝BF．证明△BCF≌△ACE即可解决问题．
①
结论：AE＝ BF．证明△BCF∽△ACE即可解决问题．
②
（2）结论：AE＝ BF．证明△BCF∽△ACE即可解决问题．
（3）结论：AE＝BF•tan ．证明△BCF∽△ACE即可解决问题．
【解答】解：（1） 如α图1中，结论：AE＝BF．
①
理由：∵∠BCA＝∠FCE＝90°，
∴∠BCF＝∠ACE，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°，
∴CB＝CA，
∵∠CAE＝∠CBF，
∴△BCF≌△ACE（ASA），
∴BF＝AE．
故答案为BF＝AE．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
如图2中，结论：AE＝ BF．
②
理由：∵∠BCA＝∠FCE＝90°，
∴∠BCF＝∠ACE，
∵∠CAE＝∠CBF，
∴△BCF∽∠ACE，
∴ ＝
∵∠ABC＝60°，
∴tan60°＝ ＝ ，
∴AE＝ BF，
故答案为AE＝ BF．
（2）如图3中，结论：AE＝ BF．
理由：∵∠BCA＝∠FCE＝90°，
∴∠BCF＝∠ACE，
∵∠CAE＝∠CBF，
∴△BCF∽∠ACE，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ＝
∵∠ABC＝30°，
∴tan30°＝ ＝ ，
∴AE＝ BF，
（3）如图4中，结论：AE＝BF•tan ．
α
理由：∵∠BCA＝∠FCE＝90°，
∴∠BCF＝∠ACE，
∵∠CAE＝∠CBF，
∴△BCF∽∠ACE，
∴ ＝
∵∠ABC＝ ，
α
∴tan ＝
α
∴AE＝BF•tan ．
【点评】本题属α于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐
角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
七、解答题（本题满分14分)
26．【分析】（1）把点A（﹣3，﹣7），B（3，5）的坐标分别代入一次函数表达式和二次函数表达式，即可
得出直线AB的解析式和抛物线的解析式；
（2）设点D（m，﹣m2+2m+8），分别用m的代数式表示出S 和S ，再根据S ＝2S 列
△DAC △DCE △DAC △DCE
出方程，解方程即可得出点D的坐标；
（3）设点P（x，y），分三种情形讨论： 当AE为对角线时； 当AP为对角线时； 当PE为对角线
① ② ③【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
时，根据中点坐标公式求得点Q的坐标，再根据点Q在x轴上，即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+m，
把点A（﹣3，﹣7），B（3，5）代入，得 ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣1，
把点A（﹣3，﹣7），B（3，5）代入抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0），
得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8．
（2）∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，
∴顶点E（1，9），
设点D（m，﹣m2+2m+8），C（1，1），
过点D作y轴的平行线交直线AB于点M，则M（m，2m﹣1），
∵S ＝ ，
△DAC
S ＝ ，
△DCE
∵S ＝2S
△DAC △DCE
∴﹣2m2+18＝2（4﹣4m），
解得m＝﹣1或m＝5（舍去），
∴存在点D（﹣1，5），使得S ＝2S
△DAC △DCE
（3）A（﹣3，﹣7），E（1，9），
设点P（x，y），
当以点A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况讨论：
当AE为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q坐标为（﹣2﹣x，2﹣y），
①∵点Q在x轴上，
∴y＝2，
当y＝2时，﹣x2+2x+8＝2，
解得 或 ，
∴点P坐标为（ ，2）或（ ，2），【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
当AP为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q坐标为（x﹣4，y﹣16），
②∵点Q在x轴上，
∴y＝16，
当y＝16时，﹣x2+2x+8＝16，
方程无解，舍去
当PE为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q坐标为（x+4，y+16），
③∵点Q在x轴上，
∴y＝﹣16，
当y＝﹣16时，﹣x2+2x+8＝﹣16，
解得x＝6或x＝﹣4
∴点P坐标为（6，﹣16）或（﹣4，﹣16），
综上所述，点P的坐标为（ ，2）或（ ，2）或（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）．
【点评】此题考查了用待定系数法求二次函数和一次函数表达式，还考查了坐标系中三角形的面积
计算，平行四边形性质以及分类讨论思想．合理的分类讨论来表示出点D的坐标是解决（3）问的
关键．
