文档内容
2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至
9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
1．已知全集U =R，集合A= x|-2≤x≤3 ，B=x|x<-1或x>4，那么集合
A ð B 等于（ ）
I U
A．
x|-2≤x<4
B．
x|x≤3或x≥4
C．
x|-2≤x<-1
D．
x|-1≤x≤3
2π
2．若a=20.5，b=log 3，c=log sin ，则（ ）
π 2 5
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a
3．“函数 f(x)(xÎR)存在反函数”是“函数 f(x)在R上为增函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若点P到直线x=-1的距离比它到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
ìx- y+1≥0，
ï
5．若实数x，y满足íx+ y≥0， 则z =3x+2y的最小值是（ ）
ï x≤0，
î
A．0 B．1 C． 3 D．9
6．已知数列a 对任意的 p，qÎN*满足a =a +a ，且a =-6，那么a 等于（
n p+q p q 2 10
第1页 | 共11页）
A．-165 B．-33 C．-30 D．-21
7．过直线y = x上的一点作圆(x-5)2 +(y-1)2 =2的两条切线l，l ，当直线l，l 关于
1 2 1 2
y = x对称时，它们之间的夹角为（ ）
A．30o B．45o C．60o D．90o
8．如图，动点P在正方体ABCD-ABC D 的对角线BD 上．过点P作垂直于平面
1 1 1 1 1
BBDD的直线，与正方体表面相交于M，N ．设BP= x，MN = y，则函数y = f(x)
1 1
的图象大致是（ ）
y y y y
A
1
O x O x O x O x
A． B． C． D．
A
2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）
第Ⅱ卷
（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9．已知(a-i)2 =2i，其中i是虚数单位，那么实数a= ．
10．已知向量a与b的夹角为120o，且 a = b =4，那么b (2a+b)的值为 ．
g
n
æ 1 ö
11．若ç x2 + ÷ 展开式的各项系数之和为32，则n= ，其展开式中的常数项为
è x3 ø
．（用数字作答）
12．如图，函数 f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为
y
(0，4)，(2，0)，(6，4)，则 f(f(0))= ； A
4 C
3
2
1
B
第2页 | 共11页 O 1 2 3 4 5 6 xf(1+Dx)- f(1)
lim = ．（用数字作答）
Dx®0 Dx
é π πù
13．已知函数 f(x)= x2 -cosx，对于 - ， 上的任意x，x ，有如下条件：
ê ë 2 2 ú û 1 2
①x > x ； ②x2 > x2； ③ x > x ．
1 2 1 2 1 2
其中能使 f(x )> f(x )恒成立的条件序号是 ．
1 2
14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植
在点P (x，y )处，其中x =1，y =1，当k≥2时，
k k k 1 1
ì é æk-1ö æk-2öù
ï x = x +1-5 ê T ç ÷ -T ç ÷ú ，
ï k k-1 ë è 5 ø è 5 øû
í
ï æk-1ö æk-2ö
y = y +T -T ．
ç ÷ ç ÷
ï î k k-1 è 5 ø è 5 ø
T(a)表示非负实数a的整数部分，例如T(2.6)=2，T(0.2)=0．
按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
æ πö
已知函数 f(x)=sin2wx+ 3sinwxsin ç wx+ ÷（w>0）的最小正周期为π．
è 2ø
（Ⅰ）求w的值；
é 2πù
（Ⅱ）求函数 f(x)在区间 0， 上的取值范围．
ê ú
ë 3 û
16．（本小题共14分）
如图，在三棱锥P-ABC 中，AC = BC =2，ÐACB=90o，AP= BP= AB，
PC ^ AC ． P
（Ⅰ）求证：PC ^ AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；
（Ⅲ）求点C到平面APB的距离． A B
C
第3页 | 共11页17．（本小题共13分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至
少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量x为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求x的分布列．
18．（本小题共13分）
2x-b
已知函数 f(x)= ，求导函数 f¢(x)，并确定 f(x)的单调区间．
(x-1)2
19．（本小题共14分）
已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2 +3y2 =4上，对角线BD所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线BD过点(0，1)时，求直线AC的方程；
（Ⅱ）当ÐABC =60o时，求菱形ABCD面积的最大值．
20．（本小题共13分）
对于每项均是正整数的数列A：a，a， ，a ，定义变换T ，T 将数列A变换成数列
1 2 L n 1 1
T(A)：n，a -1，a -1， ，a -1．
1 1 2 L n
对于每项均是非负整数的数列B：b，b， ，b ，定义变换T ，T 将数列B各项从大到
1 2 L m 2 2
小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T (B)；
2
又定义S(B)=2(b +2b + +mb )+b2 +b2 + +b2．
1 2 L m 1 2 L m
设A 是每项均为正整数的有穷数列，令A =T (T(A ))(k =0，1，2， )．
0 k+1 2 1 k L
（Ⅰ）如果数列A 为5，3，2，写出数列A，A ；
0 1 2
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S(T(A))=S(A)；
1
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A ，存在正整数K，当k≥K
0
时，S(A )=S(A )．
k+1 k
第4页 | 共11页2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．-1 10．0 11．5 10 12．2 -2
13．② 14．(1，2) (3，402)
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（共13分）
1-cos2wx 3 3 1 1
解：（Ⅰ） f(x)= + sin2wx = sin2wx- cos2wx+
2 2 2 2 2
æ πö 1
=sin ç 2wx- ÷ + ．
è 6ø 2
因为函数 f(x)的最小正周期为π，且w>0，
2π
所以 =π，解得w=1．
2w
æ πö 1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f(x)=sin ç 2x- ÷ + ．
è 6ø 2
2π
因为0≤x≤
，
3
π π 7π
所以- ≤2x- ≤ ，
6 6 6
1 æ πö
所以- ≤sin
ç
2x-
÷
≤1，
2 è 6ø
æ πö 1 3 é 3ù
因此0≤sin ç 2x- ÷ + ≤ ，即 f(x)的取值范围为 ê 0， ú ．
è 6ø 2 2 ë 2û
16．（共14分）
解法一： P
（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD．
AP= BP，
Q
\PD^ AB． D
A B
第5页 | 共11页
CAC = BC，
Q
\CD^ AB．
Q PD I CD= D， P
\AB^平面PCD．
PC Ì平面PCD， E
Q
\PC ^ AB．
（Ⅱ） AC = BC，AP= BP， A B
Q
\△APC≌△BPC ．
又PC ^ AC ， C
\PC ^ BC ．
又ÐACB=90o，即AC ^ BC ，且AC PC =C，
I
\BC ^平面PAC ．
取AP中点E．连结BE，CE．
AB= BP，\BE ^ AP．
Q
EC是BE在平面PAC 内的射影，
Q
\CE ^ AP．
\ÐBEC是二面角B-AP-C的平面角．
3
在△BCE中，ÐBCE =90o，BC =2，BE = AB= 6，
2
BC 6
\sinÐBEC = = ．
BE 3
6
\二面角B-AP-C的大小为arcsin ． P
3
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB^平面PCD， H
\平面APB^平面PCD． D
过C作CH ^ PD，垂足为H ． A B
平面APB 平面PCD= PD，
Q I
C
\CH ^平面APB．
\CH 的长即为点C到平面APB的距离．
由（Ⅰ）知PC ^ AB，又PC ^ AC ，且AB AC = A，
I
\PC ^平面ABC．
CDÌ平面ABC，
Q
\PC ^CD．
1 3
在Rt△PCD中，CD= AB= 2 ，PD= PB= 6，
2 2
\PC = PD2 -CD2 =2．
PC CD 2 3
g
\CH = = ．
PD 3
第6页 | 共11页2 3
\点C到平面APB的距离为 ．
3
解法二：
（Ⅰ） AC = BC，AP= BP，
Q
\△APC≌△BPC ．
又PC ^ AC ，
\PC ^ BC ．
AC BC =C，
Q I
\PC ^平面ABC．
ABÌ平面ABC，
Q
\PC ^ AB．
（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
则C(0，0，0)，A(0，2，0)，B(2，0，0)．
z
设P(0，0，t)．
P
E
PB = AB =2 2 ， H
Q
y x
A B
\t =2，P(0，0，2)．
C
取AP中点E，连结BE，CE．
AC = PC ， AB = BP ，
Q
\CE ^ AP，BE ^ AP．
\ÐBEC是二面角B-AP-C的平面角．
uuur uuur
E(0，1，1)，EC =(0，-1，-1)，EB=(2，-1，-1)，
Q
uuur uuur
EC EB 2 3
g
\cosÐBEC = = = ．
uuur uuur
EC EB 2 6 3
g g
3
\二面角B-AP-C的大小为arccos ．
3
（Ⅲ） AC = BC = PC，
Q
\C在平面APB内的射影为正△APB的中心H ，且CH 的长为点C到平面APB的距离
．
如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C-xyz．
uuur uuur
BH =2HE ，
Q
æ2 2 2ö
\点H 的坐标为ç ，， ÷．
è3 3 3ø
第7页 | 共11页uuur 2 3
\CH = ．
3
2 3
\点C到平面APB的距离为 ．
3
17．（共13分）
A3 1
解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E ，那么P(E )= 3 = ，
A A C2A4 40
5 4
1
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是 ．
40
A4 1
（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么P(E)= 4 = ，
C2A4 10
5 4
9
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)=1-P(E)= ．
10
（Ⅲ）随机变量x可能取的值为1，2．事件“x=2”是指有两人同时参加A岗位服务，
C2A3 1
则P(x=2)= 5 3 = ．
C3A4 4
5 4
3
所以P(x=1)=1-P(x=2)= ，x的分布列是
4
x 1 3
3 1
P
4 4
18．（共13分）
2(x-1)2 -(2x-b) 2(x-1)
解： f¢(x)= g
(x-1)4
-2x+2b-2
=
(x-1)3
2[x-(b-1)]
=- ．
(x-1)3
令 f¢(x)=0，得x=b-1．
当b-1<1，即b<2时， f¢(x)的变化情况如下表：
第8页 | 共11页x (-¥，b-1) b-1 (b-1，1) (1，+¥)
f¢(x) - 0 + -
当b-1>1，即b>2时， f¢(x)的变化情况如下表：
x (-¥，1) (1，b-1) b-1 (b-1，+¥)
f¢(x) - + 0 -
所以，当b<2时，函数 f(x)在(-¥，b-1)上单调递减，在(b-1，1)上单调递增，
在(1，+¥)上单调递减．
当b>2时，函数 f(x)在(-¥，1)上单调递减，在(1，b-1)上单调递增，在(b-1，+¥)上
单调递减．
2
当b-1=1，即b=2时， f(x)= ，所以函数 f(x)在(-¥，1)上单调递减，在
x-1
(1，+¥)上单调递减．
19．（共14分）
解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y = x+1．
因为四边形ABCD为菱形，所以AC ^ BD．
于是可设直线AC的方程为y =-x+n．
ìx2 +3y2 =4，
由í 得4x2 -6nx+3n2 -4=0．
îy =-x+n
因为A，C在椭圆上，
4 3 4 3
所以D=-12n2 +64>0，解得-
