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第三讲 余数、平方数与等差数列
✎数列基础知识：
数列常考公式：
通项公式 求和公式
𝑛(𝑎 +𝑎 )
等差数列 𝑎 𝑛 =𝑎 1 +(𝑛−1)𝑑 𝑆 𝑛 = 1 2 𝑛
𝑎 (1−𝑞𝑛)
等比数列 𝑎 =𝑎 ×𝑞𝑛−1 𝑆 = 1
𝑛 1 𝑛 1−𝑞
数列常见性质：
性质
一、若是奇数项等差数列，则平均数＝等差中项，Sn ＝n×等差中项；
等差数列 等差数列的平均数=
𝑎1+𝑎𝑛；
2
二、若m＋n＝k＋i，则𝑎 +𝑎 =𝑎 +𝑎。
𝑚 𝑛 𝑘 𝑖
一、若𝑎 ，𝑎 ，𝑎 成等比数列，则𝑎2=𝑎 𝑎 ；
𝑛−1 𝑛 𝑛+1 𝑛 𝑛−1 𝑛+1
等比数列
二、若m＋n＝k＋i，则𝑎 𝑎 =𝑎 𝑎。
𝑚 𝑛 𝑘 𝑖
例题1（2022青海）某市对下辖9个文艺表演团体去年新创节目的数量进行统计分析，发现9个团体新创节
目的数量恰好成等差数列，其中前5个团体的新创节目总数是60，前7个团体的新创节目
总数是70。那么这9个文艺表演团体去年新创节目的总数是多少？
A．72 B．76
C．78 D．80
【参考答案】A
【参考解析】
5个团体的中间项是a3，所以a3=60/5=12；7个团体的中间项的
中间项是a4，所以a4=70/7=10，d=-2,9 个团体中间项是 a5=8,一共
9 项，所以答案：8*9=72， 选A；
秒杀技巧：已知是 9 个项数的和，就是 9 倍的 a5，所以答案一
定是9的倍数，只有A是9的倍数， 只能选A。
例题2（2022江苏B）
某金融机构向9家“专精特新”企业共发放了4500万元贷款，若这9家企业获得的贷
款额从少到多排列，恰好为一个等差数列，且排第3的企业获得420万元贷款，排第8的企
业获得的贷款额为多少？
A．620万元 B．660万元
C．720万元 D．760万元
【参考答案】A
【参考解析】
9 的中间项为 5，a5＝4500/9=500，已知 a3＝4200，
d=(500-420)/2=40,a8=500+40*3=620,所以答案为 A选项。
例题3（2022四川）某共享汽车公司年初购入一批二手电动汽车，每台16200元。第一年每台电动汽车的维
护费用为1100元，以后每年增加400元，每台电动汽车每年可产生收益9100元。问在第几
年时，单台汽车扣除购置和维护成本后产生的利润将超过2万元？
A．5 B．6
C．7 D．8
【参考答案】B
【参考解析】
收入＝成本＋利润；想要利润超过2万元，收入就得超过36200
（16200＋20000）元即可；
第一年纯收入：9100－1100＝8000元；
第二年纯收入：8000－400＝7600元
第三年纯收入：7600－400＝7200元
假设第 5 年的时候，收入超过 36200，第 3 年是 5 年的中间项，
5 项之和为：5×7200＝36000；第五年未超过 36200，但是 36000 与
36200就相差200，第6年的时候一定可以超过，所以，定位 B选项。
例题4（2024山东）
若干职员参加某次强国知识竞赛，每个人的得分均不相同且为整数，分数排名相邻的2
人分差均为5分。已知有3人成绩低于70分，且超过70分的职员平均分为82分。问所有
职员中竞赛成绩超过70分的人数占比在下列哪个范围内？
A．低于50% B．50%～60%之间
C．60%～70%之间 D．高于70%
【参考答案】C
【参考解析】超过70分的职员平均分为82 分，如果是奇数项那么82 为中
间项，分差均为5；可以试写成： 72、77、82、87、92；低于70分
的有三人，分别为67、62、57；一共8项，超过70分的有5个，占
比5/8,定位C选项。
能不能为偶数项？ 如果为偶数项，82是中间两项的平均数，
两个数差5，那么只能是79.5和84.5，题干说每个人的得分均不
相同且为整数，所以，不能为偶数项。
例题5（2022下四川）
商场6月6日开始销售某种电器，从6月7日起，每天这种电器的销量都比前一天多1
台。已知6月16日卖了22台这种电器，问其6月共卖了多少台这种电器？
A．555 B．600
C．645 D．690
【参考答案】B
【参考解析】
30－5＝25；25 天的中间项是第 13 天，6+12=18，所以 6 月 18 批注 [1]: 从6月6日到6月30日一共卖了几天，一 共30
天，前5天不卖，所以是25天
日就是中间项，6 月 16 是 22 台，6 月 18 日就是 22+2=24，一共是
25天，24*25=600，所以答案是B。
秒杀：一共25天，总数应该是25的中间项×25，所以答案一定
是25的倍数，只能选B选项。
例题6（2022安徽）
某市举行庆典活动，将依次升空105架无人机，升空方式如下：每架无人机间距均相等，第一次升空n架，第二次升空n－1架，以此类推，最终在夜空中组成一个近似等边三角形
背景的灯光秀，那么第10次升空的无人机数量是多少？
A．3架 B．5架
C．8架 D．10架
【参考答案】B
【参考解析】 批注 [2]:
根据题干得知：第一项为n,最后一项为1；
1+n
根据等差数列求和公式可得： ×n＝105；，化简得：（1+n）
2
n=210=14*15，所以n＝14；a10＝14＋（10－1）×-1＝5，定位B选 批注 [3]: 将210化成两个近似数相乘的样子，210 能想到
15×15＝225，那么就是15×14
项。
例题7（2022下四川）
某企业在“十二五”期间第一年的营业额比上一年增长了1.5亿元，且往后每年的营业
额增量都保持1.5亿元不变。已知该企业在“十四五”期间的营业额将是“十二五”和“十
三五”期间营业额之和的80%。问该企业在“十二五”到“十四五”期间的总营业额在以下
哪个范围内？
A．不到300亿元 B．300～330亿元
C．330～360亿元 D．超过360亿元
【参考答案】C
【参考解析】
十二五是（2011、2012、2013、2014、2015）
十三五是（2016、2017、2018、2019、2020）
十四五是（2021、2022、2023、2024、2025）
一共为15项 批注 [4]: 第一项为2011年、第二项2012年......第十五项
为2025年十二五的和：5×a3 十三五的和：5×a8
十四五的和：5×a13＝0.8×（5×a3＋5×a8 ）
题干问的是十二五、十三五、十四五的总和，也就是15项之和，
那么我们找到15的中间项a8，a8×15就是15项之和；那么都用a8
代替：
十四五的和：（a8＋7.5）＝（a8－7.5＋a8） 批注 [5]: 公差＝1.5 ，5×1.5＝7.5
a8＝22.5，15项之和＝22.5×15＝337.5，定位到C选项。
例题8（2024浙江）
有一组算式1＋1、2＋3、3＋5、4＋7、1＋9、2＋11、3＋13、4＋15、1＋17、2＋19、
3＋21、4＋23、1＋25、2＋27、……和为2021的是第几个算式？
A．507 B．1010
C．1012 D．1014
【参考答案】B
【参考解析】
每组式子的左边为1、2、3、4，4项一组，周期循环，右边为奇
数数列，选项C为4的倍数，代入C选项，1012项的和为：4＋a1020； 批注 [6]: 最后一位能被2整除，为偶数；后两位能被4整
除，为4的倍数，后三位能被8整除为8的倍数；后四位
a1020＝1＋2×1011＝2023，1012项的和为：4＋2023，往前推 ，1011 能被16整除，为16的倍数。
项之和：3＋2021；1010 项之和：2＋2019，符合题干和为 2021，定
位B选项。✎平方数问题：
记住几个平方数：
12＝1 22 ＝4 32＝9 42＝16 52＝25
62＝36 72＝49 82＝64 92＝81 102＝100
11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225
16²=256 17²=289 18²=324 19²=361 202＝400
例题9（2017吉林）
已知张先生的童年占去了他年龄的1/14，再过了1/7他进入成年，又过了1/6他结婚
了，婚后3年他的儿子出生了，儿子7岁时，他们的年龄和为某个素数的平方，则张先生结
婚时的年龄是多少岁？
A．38岁 B．32岁
C．28岁 D．42岁
【参考答案】B
【参考解析】
方法一：根据常识18岁成年，设张先生的人生为X年。
1 1
（ ＋ ）X＝18；X＝84
14 7
又过了1/6他结婚：84×1/6＝14
结婚时的年龄：18＋14＝32；定位B选项。
1 1 1
方法二：结婚时的年龄： x＋ x＋ x
14 7 6
将 1/14、1/7、1/6 通分为：16/42；结婚时年龄应为 16
的倍数，定位B选项。
方法三：从张先生结婚到儿子出生，经过了10年。
张先生年龄＋儿子年龄＝某个素数的平方；代入A选项，张先生年龄＋儿子年龄＝38＋10＋7＝55；
代入B选项，张先生年龄＋儿子年龄＝32＋10＋7＝49；
代入C选项，张先生年龄＋儿子年龄＝28＋10＋7＝45；
代入D选项，张先生年龄＋儿子年龄＝42＋10＋7＝59；
7 的平方为 49，符合张先生年龄＋儿子年龄＝某个素数的平
方，定位B选项。
例题10（2022天津）
有一个20世纪八九十年代出生的人，在21世纪，恰好有一年，他年龄的平方数等于那
一年的年份。这个人是哪年出生的？
A．1995 B．1990
C．1985 D．1980
【参考答案】D
【参考解析】
40²=1600，50²=2500，正好 45²=2025，是在 21 世纪内的，所
以正好在2025年45岁，所以，2025-45=1980，定位D选项。
例题11（2022甘肃）
甲、乙两家大型医疗公司的负责人各带一名助手参加展会订购医疗器械。最终订单显示：
每人各自订购了不同种类医疗器械，且其订购的每种医疗器械台数恰巧等于他所订医疗器械
的种类数。每人订购的医疗器械种类数都未超过15类，并且两位负责人所订购的医疗器械
台数不同，但都比自己的助手多购45台。问甲、乙两公司一共订购了多少台医疗器械？
A．150 B．170
C．210 D．240
【参考答案】 B【参考解析】
订购数量＝订购种类×每种台数；
订购的每种医疗器械台数恰巧等于他所订医疗器械的种类数，
所以，订购数量是某一个数的平方。
两位负责人所订购的医疗器械台数不同，但都比自己的助手
多购45台；那么就是，两组差为45的平方数。
1、4、9、16、25、36、49、64、81、100中4和49差45、36
和81差45；
甲、乙两公司一共订购：4＋49＋36＋81＝170，定位B选项。✎余数问题：
余同 和同 差同
特征
余数相同 除数与余数的和相同 除数与余数的差相同
口诀 余同取余 和同加和 差同减差
被除数 最小公倍数＋余数 最小公倍数＋和 最小公倍数－差
“一个数 “一个数 “一个数
除3余1， 除7余1， 除7余5，
实例 除5余1， 除6余2， 除6余4，
除6余1” 除5余3” 除3余1”
则被除数为30n＋1 则被除数为210n＋8 则被除数为42n－2
例题12（2023广东县级）
某社区计划组建多支社工团队，为此招募了一批社工。如果每支团队由3名社工组成，
则剩余2名社工；如果每支团队由4名社工组成，同样剩余2名社工，则该社区可能招募了
多少名社工？
A．32 B．34
C．36 D．38
【参考答案】 D
【参考解析】
符合余数相同，可以表示成12n+2,因为都是30多，所以n取3，
所以12n+2=38，定位D选项。
例题13（2019江苏事业编）
N为自然数，被9除余数是8，被7除余数是6，被5除余数是4。已知100＜N＜1000，则这样的数有多少个？
A．1 B．2
C．3 D．4
【参考答案】 C
【参考解析】
3、5 与 9 的最小公倍数=315,100＜N=315n-1＜1000，所以 n 可
以取1、2、3，定位C选项。
例题14（2018山东）
某市场调查公司3个调查组共40余人，每组都有10余人且人数各不相同。2017年重
新调整分组时发现，若想分为4个人数相同的小组，至少需要新招1人；若想分为5个人数
相同的小组，至少还需要新招2人。问原来3个组中人数最多的组比人数最少的组至少多几
批注 [7]: 除4余3 除5余3
人？
A．2 B．3
C．4 D．5
【参考答案】 B
【参考解析】
符合余数相同，可以表示成20n+3，所以调查组为43人；
将 43 平均分为 3 份，14、14、15，不符合题目要求，所以为，
13、14、16，最多比最少多3人，定位到B选项。
