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第五讲 容斥问题
✎代入公式：
总人数-圈外人数=总人次-重复部分
注意：保证每一部分都计算一次
隐藏公式：0科+1科+2科+3科=总人数
例题1（2022广东）
某单位计划从全部 80 名员工中挑选专项工作组成员，要求该组成员须同时有基层经历和计算机等级
证书。已知，单位内有40人有基层经历，有46人有计算机等级证书，既没有基层经历又未获得计算机等
级证书的有10人。那么能够进入工作组的员工有多少人？
A．16 B．40
C．46 D．54
【答案】A
【解析】设进入工作组人数为x，列式：总人数-圈外人数=总人次-重复部分；
80-10=40+46-x，解得x=16，A当选
例题2（2022天津）
某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格的人数占全班的 14%，物理及格的人数比化学及格的 批注 [嬛嬛1]:
人数多10人，且化学及格的人数占全班人数的60%。已知全班人数不超过70人，问物理及格的人中化学
也及格的有多少人？
A．25 B．26
C．27 D．28
【答案】C
【解析】根据证书特性，不及格占14%，可逐项得出：全班人数50人，物理化学不及格7人，化学及
格30人，物理几个40人。
设两科均及格人数为x，列式50-7=30+40-4，得出x=27，C当选
批注 [嬛嬛2]:
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例题3（2020新疆）
某单位共有240名员工，其中订阅A期刊的有125人，订阅B期刊的有126人，订阅C期刊的有135
人，订阅A、B期刊的有57人，订阅A、C期刊的有73人，订阅3种期刊的有31人，此外，还有17人没
有订阅这三种期刊中的任何一种。问订阅B、C期刊的有多少人？
A．57 B．64
C．69 D．78
【答案】B
【解析】设BC所求为x人，列式：240-17=125+126+135-57-73-x+31，求得x=64，B当选
例题4（2023浙江）
某班级对70多名学生进行数学和英语科目摸底测验，有12%的学生两个科目均不及格。已知有2/3的 批注 [嬛嬛3]:
学生英语及格，数学及格的学生比英语多10人，那两科均及格的学生有多少人？
A．31 B．37
C．41 D．44
【答案】D
【解析】根据12%的整除特性，可依次得出：全班75人，英语50人，数学60人，都不及格9人；
设题干所求为x，列式：75-9=50+60-x，x=44，D当选
例题5（2024深圳）
某高校法学院对学生毕业后就职于司法机关、律所、企业的意愿进行调查，共725名学生参与调查，
可选其中0至3项。结果显示，选择司法机关、律所、企业的学生分别有360人、380人、237人，3项都
选的学生有60人，3项都不选的学生有8人，则仅选择其中1项的学生有多少人？
A．517 B．516
C．515 D．514
【答案】A
【解析】设一项为x人，两项为y人，列式：725-8=360+380+237-1*y-2*60，
根据隐藏公式：0科+1科+2科+3科=总人数，列式：8+x+y+60=725，求得X=517，A当选
例题6（2012四川省考）
某次射击比赛共有52人参加，前1、2、3、4、5靶未命中的人数分别为4、6、10、20、39。5靶中
如每人至少射中1靶，只中1靶的有7人，5靶全中的有6人，中2靶的人数与中3靶的一样多，问中4
批注 [嬛嬛4]:
靶的有几人？ 秒杀：25-8，尾数为7，秒选A
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A．20 B．25
C．29 D．31
【答案】D
【解析】未命中反面即为：前1、2、3、4、5靶命中的是48、46、42、32、13人，
设两靶为y人，4靶为x人，列式：52=（5*52-79）-y-2y-3x-4*6；7+y+y+x+6=52； 批注 [嬛嬛5]: 题干求什么，把什么设为x，预防计算完直
可算出x=31，D当选 接选，不是题目所求答案
批注 [嬛嬛6]: 面对两个未知数，记得列隐藏公式解题：
0科+1科+2科+3科=总人数
✎最值思想：
各部分人数尽量多，可以使共同部分的量最大
例题7（2018浙江事业编）
某单位45名职工利用假期重读马克思主义著作，其中60%的人阅读《资本论》，阅读《共产党宣言》
的人比阅读《政治经济学批判》的多5人，但少于阅读《资本论》的人。已知所有人都阅读过这三本著作
中的至少一本，最多有多少人这三本著作都阅读了？
A．12 B．13
C．14 D．15
【答案】C
【解析】要使三本书都阅读的人数最多，应让每本的读者也尽量多，据此可得出：资本论阅读27人，
共产党宣言阅读26人，政治经济学阅读21人，设读两本y人，读三本x人，列式：
45=27+26+21-y-2x，化解得2x+y=29，y最小为1，则x=14，C当选
例题8（2023四川事业单位）
某机关部门有65人，为加强文化建设，组织员工到电影院观看A、B、C三部电影，由于三部电影放
映时间错开，要求每个员工至少观看一部电影，有40%员工选择看电影A，有27人选择观看电影B，有48
人选择观看电影C。则选择观看三部电影的员工至多可以有多少人？
A．16 B．17
C．18 D．19
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【答案】C
【解析】已知A27人，B27人，C48人，设两部为y人，三部为x人，套公式：
65=26+27+48-y-2x，得出2x+y=36，y尽量小为0，则x=18，C当选
✎画图解决：
例题9（2023深圳）
小明对甲、乙、丙三种手机软件的安装情况进行街头调查。随机选取的一批调查对象中，手机安装了
甲、乙、丙三种软件的人数分别是 40，36，35，只安装了其中一种软件的人数分别占其中的 25%、25%、
20%，同时安装了甲、乙两种软件而未安装丙软件的有 4 人，同时安装了甲、丙两种软件而未安装乙软件
的人数比同时安装乙、丙两种软件而未安装甲软件的人数多3人，有多少人同时安装了甲、乙、丙三种软
件？
A．15 B．21
C．27 D．33
【答案】B
【解析】根据题干要求，设三软件安装为x人，乙丙非甲为y人，可画图得出以下信息：
已知条件多，列式：x+2y+3+7=35；x+y+4+9=36，可得出
X=21，y=2，B当选
例题10（2023国考副省级）
农科院在某村287名淡水鱼养殖人员中开展防病培训和育种培训。已知参加防病培训的养殖人员中，
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参加育种培训的人数比未参加的多 21%；参加育种培训的养殖人员中，参加防病培训的人数比未参加的多
76人。问共有多少人未参加任何一项培训？
A．21 B．23
C．25 D．27
【答案】A
【解析】根据整除特性21%，可得出防病培训中，两种都参加的为121人，只参加防病的为100人：
列式：287-（145+121+45）=21，A当选
例题11（2023北京）
某公司有80人报名参加会计、法律和技术三项培训中的一项或多项，三项培训的报名人数比为6∶5∶4。
已知同时参加会计和法律培训的人数，和同时参加法律和技术培训的人数，分别是同时参加会计和技术培
训的人数的70%和80%，且无人同时参加3项培训，则只参加技术培训的有多少人？
A．4 B．6
C．8 D．10
【答案】D
【解析】题目关系梳理如下图：
设会计报名人数为6x，会计和技术参加为y人，可列式：
80=15x-2.5y，化简的6x-y=32,。利用整除特性y可以为10、20、
30，根据选项分析的出y=10，x=7，故可算出只参加技术培训的为28--8-10=10，D当选 批注 [嬛嬛7]: 其他情况不能保证x为整数
例题12（2024国考行政执法）
某高校外国语学院中，会俄语的学生都会英语，其中一半还会法语；会英语的学生中有一半会法语；这
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三种语言都会的学生有50人，只会其中两种语言的有100人，只会其中一种语言的有150人。问会法语的
学生有多少人？
A．50 B．100
C．150 D．200
【答案】D
【解析】题目关系梳理如下图：
题干问会法语多少人：100+50+50=200人，D当选
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