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第八讲 经济利润之函数最值、增长相关
✎函数最值：
画函数图形，图形开口向上，存在最小值；图形开口向下，存在最大值。
例题1（2022联考）
某地的一种特色纪念品在旅游旺季十分畅销，有商家发现，进价为每个40元的纪念品，
当售价定为44元时，每天可售出300个，售价每上涨1元，每天销量减少10个。现商家决
定提价销售，若要使销售利润达到最大，则售价应为多少？
A．51 B．52
C．54 D．57
【参考答案】D
【实战解析】
根据题干可知，单个商品利润为4元。假设利润为Y,涨价X元。总利润=单个利润×销
量=（4+X）×（300-10X）。当 Y=0 时，X1=-4，X2=30。X=X1+X2/2=-4+30/2=13 时，Y 取最
大值
例题2（2020江苏）
某商品的进货单价为80元，销售单价为100元，每天可售出120件。已知销售单价每
降低1元，每天可多售出20件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的
金额是多少？A．5元 B．6元
C．7元 D．8元
【参考答案】C
【实战解析】
假设降价X元，利润为Y=（20-X）（120+20X），解得X1=20，X2=-6,X=20-6/2=7元。
例题3（2024山东）
某线上店铺将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件。店铺计划
提高售价增加利润，若每件商品售价提高1元，每天销售量就要减少10件，为保证每天至
少获利350元，问该商品售价应为多少？
A．不到13元 B．13～15元之间
C．15～17元之间 D．17元以上
【参考答案】B
【实战解析】
总利润Y=（2+X）（100-10X），解得X1=-2,X2=10,X=10-2/2=4。代入发现，获利最多360，
由于题干要求每天至少获利 350 元，最大值肯定符合题干要求。因此选项范围应该包含
10+4=14，即定位到B选项。
例题4（2022安徽）
北京冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品十分畅销。销售期间某商家发现，进
价为每个40元的“冰墩墩”，当售价定为44元时，每天可售出300个，售价每上涨1元，
每天销量减少10个。现商家决定提价销售，若要使销售利润达到最大，则售价应为多少？
A．51元 B．52元
C．54元 D．57元
【参考答案】D
【实战解析】
设上涨X元，利润为Y=(4+X)(300-10X)，若Y=0,则X1=-4，X2=30。X=X1+X2/2=-4+30/2=13
时，Y取最大值。44+13=57元，选择D选项
总结：✎增长率相关：
例题5（2023辽宁）
某高校今年共有231名本科毕业生被录取为硕士研究生。其中推荐录取人数比上年度减
少1/6，而考试录取人数比上年度增加31/150，总体录取人数比上年度高10%，那么，这所
高校今年推荐录取的研究生人数为多少？
A．40人 B．45人
C．50人 D．55人
【参考答案】C
【实战解析】
方法一：整除特性
假设去年考试录取150人，今年考试录取181人，今年一共231人。则推荐录取50人，选
C。
方法二：十字交叉解得推荐录取今年60人，又根据题干“总体录取人数比上年度高10%”，因此去年为50人
例题6（2023黑龙江）
某口罩生产车间一月份生产口罩 100 万包，以后每个月都比前一个月按相同增长率增
长，四月份生产口罩133.1万包，这个增长率是多少？
A．10% B．8%
C．6% D．5%
【参考答案】A
【实战解析】
,代入10%，验证发现符合。
或者采用间隔增长率例题7（2024联考）
某商家购进一批商品，每件成本为27元，最初将商品定价为每件40元，该商家经过百
分率相等的连续两次降价后，每件商品的利润率不超过20%。问每次降价的百分率至少是多
少？
A．20% B．15%
C．10% D．5%
【参考答案】C
【实战解析】
方法一：
利润/成本=20%，利润=5.4，实际售价32.4，定价40。
R总=324-400/400=-76/400=-19%
方法二：
方法三：例题8（2023上海）
某公司生产A、B两种产品，其中B是A的升级产品。经过调研，预判2022年市场对A
产品的需求比2021年下降30%（A产品的价格不变）。因此公司决定增加对B产品营销，使
B 产品在 2022 年的销售收入比 2021 年增长 70%，这样恰好使公司 2022 年的总销售收入比
2021年增长10%。则2021年B产品的销售额占总销售额的比例是多少？
A．40% B．50%
C．60% D．70%
【参考答案】A
【实战解析】
例题9（2023深圳）有甲、乙两种咖啡豆，按照质量比a：b相混合制成一种拼配豆，已知甲咖啡豆每公斤
60元，乙咖啡豆每公斤80元，现因产量变化，甲咖啡豆单价上涨15%，乙咖啡豆单价下降
15%，以致该拼配咖啡豆的成本上调了5%，则a∶b为多少？
A．1∶1 B．5∶3
C．8∶3 D．2∶1
【参考答案】C
【实战解析】
总成本=单价×数量
R=X/A ，所求是涨价前甲乙总成本之比，成本=质量×单价，质量=成本/单价。甲：乙
=2X/60:X/80=160:60=8:3
例题10（2023山东）
某企业花费 3456 万元改造了一条自动化生产线，单位产品人工成本降低了 50%，非人
工成本降低了10%，单日产量扩大了一倍，已知改造前的单位产品人工成本是非人工成本的
3倍，改造后每天的人工成本比非人工成本高3.6万元。问多少天后新生产线降低的成本可
与花费的改造成本相抵？
A．480 B．300
C．360 D．540
【参考答案】C
【实战解析】（1.5X-0.9X）=3.6
0.6X=3.6 解得X=6
改造前生产一件成本 4X=24
改造后生产一件成本 2.4X
现在一件省了4X-2.4X=1.6X=9.6万 一天省9.6万，3456/9.6=360天
例题11（2022国考）
为降低碳排放，企业对生产设备进行改造，改造后日产量下降了10%，但生产每件产品
的能耗成本下降了50%，其他成本和出厂价不变的情况下每天的利润提高了10%。已知单件
利润＝出厂价－能耗成本－其他成本，且改造前产品的出厂价是单件利润的3倍，则改造前
能耗成本为其他成本的？
1 1 1
A．不到 B． ~ 之间
4 4 3
1 1 1
C． ~ 之间 D．超过
3 2 2
【参考答案】B
【实战解析】
单利=当天总利/当天产量
R单利=10%-（-10%）/1-10%=2/99=27-X-Y
11=27-0.5X-Y
解得X=4,Y=14。4/14=2/7
