北京版7年级数学上册高清教材_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_02科三专项（笔记真题思维导图教学设计版本二）

前言 亲爱的同学： 曾经的你，有没有这样的疑惑：为什么一 定要用大数减小数？伴随着成长，你对现实世 界的认识不断提高，尤其是认识了负数以后， 就可以用小数减大数了．那么，已经掌握的运 算法则还适用吗？ 曾经的你，有没有跟同伴比过数数？看 谁数得多，数得大．用字母表示数的知识将带 给你一个出奇制胜的办法——“当你数到a 时， 我就数a + 1”．奇妙的字母带领我们完成了从 “数”到“式”的飞跃，它可以帮助我们简洁地 表达现实世界中的各种数量关系，进而从全新 的角度解决现实世界中的各种问题． 小学的时候你就知道多彩的世界蕴含着丰 富的几何图形．对于这些几何图形还需要研究 什么呢？就像饲养小动物，只有了解它们的习 性，才能照顾好它们．同样，感知几何图形的 组成元素、特征分类、结构性质，可以让我们 充分地认识几何图形，更好地利用它们服务于 我们的生活． 数学，从算数、测量和描述物体形状等基 本实践中演变而来，又反过来指导人类的实践， 用知识的力量认识和改造世界．让我们开始奇 妙的数学之旅吧！ 目录 第一章 有理数 一、有理数及其概念 ……………………………………………………………………………… 2 1.1  正数和负数… ……………………………………………………………………………………… 2 1.2  用数轴上的点表示有理数… …………………………………………………………… 4 1.3  相反数和绝对值………………………………………………………………………………… 7 习题 1 - 1………………………………………………………………………………………… 12 二、有理数的运算 ………………………………………………………………………………… 16 1.4  有理数的加法………………………………………………………………………………… 16 1.5  有理数的减法………………………………………………………………………………… 20 1.6  有理数的加减法混合运算 ………………………………………………………… 24 习题 1 - 2……………………………………………………………………………………… 31 1.7  有理数的乘法………………………………………………………………………………… 33 1.8  有理数的除法………………………………………………………………………………… 37 1.9  有理数的乘方………………………………………………………………………………… 41 1.10  有理数的混合运算 …………………………………………………………………… 45 习题 1 - 3 …………………………………………………………………………………… 47 1.11  数的近似和科学记数法…………………………………………………………… 48 1.12  用计算器做有理数的混合运算……………………………………………… 51 习题 1 - 4 …………………………………………………………………………………… 52 ◇ 阅读理解 我国古代数学家对负数的研究……………………………… 53 ◇ 回顾与整理 ………………………………………………………………………………………… 54 ◇ 复习题 ………………………………………………………………………………………………… 56 1 综合与实践 一张纸对折42次，能到达月球吗？ 61 第二章 一元一次方程 一、等式和方程……………………………………………………………………………………… 64 2.1  用字母表示数………………………………………………………………………………… 64 2.2  整式 ………………………………………………………………………………………………… 70 2.3  等式与方程 …………………………………………………………………………………… 74 2.4  等式的基本性质…………………………………………………………………………… 77 习题 2 - 1……………………………………………………………………………………… 79 二、一元一次方程和它的解法…………………………………………………………… 82 2.5  一元一次方程………………………………………………………………………………… 82 ◇ 探究学习 含有绝对值的方程 …………………………………………………… 92 习题 2 - 2……………………………………………………………………………………… 93 三、一元一次方程的应用 …………………………………………………………………… 95 2.6  列方程解决实际问题 ………………………………………………………………… 95 习题 2 - 3…………………………………………………………………………………… 104 ◇ 阅读理解 “方程”名称的来源 ……………………………………………… 106 ◇ 回顾与整理 ……………………………………………………………………………………… 108 ◇ 复习题 ……………………………………………………………………………………………… 109 63 第三章 简单的几何图形 一、对图形的认识 ……………………………………………………………………………… 112 3.1  平面图形与立体图形 ……………………………………………………………… 112 111 附录 147 3.2  某些简单立体图形的展开图 ………………………………………………… 113 3.3  从不同方向观察立体图形 ……………………………………………………… 115 习题 3 - 1…………………………………………………………………………………… 116 二、直线、射线、线段……………………………………………………………………… 117 3.4  点、线、面、体………………………………………………………………………… 117 3.5  直线、射线、线段 …………………………………………………………………… 119 习题 3 - 2…………………………………………………………………………………… 125 三、角……………………………………………………………………………………………………… 127 3.6  角及其分类 ………………………………………………………………………………… 127 3.7  角的度量与换算………………………………………………………………………… 129 3.8  角平分线 ……………………………………………………………………………………… 131 习题 3 - 3…………………………………………………………………………………… 132 四、两条直线的位置关系 ………………………………………………………………… 134 3.9  两条直线的位置关系 ……………………………………………………………… 134 3.10  相交线与平行线……………………………………………………………………… 135 *3.11  用计算机绘图…………………………………………………………………………… 138 习题 3 - 4…………………………………………………………………………………… 139 ◇ 阅读理解 数学的公理化…………………………………………………………… 140 ◇ 回顾与整理 ……………………………………………………………………………………… 141 ◇ 复习题 ……………………………………………………………………………………………… 142 综合与实践 生活中的几何图形 144 在小学，我们已经通过生产、生活中的收支、盈亏、海拔、气温等情境了 解了负数，感受了负数的实际意义，并通过与正数的对比，感悟负数可以表达 与正数相反意义的量 . 结合24 小时天气预报图，你知道张掖与武威，哪个地 方的最高气温高，哪个地方的最低气温低吗？两地的最高气温与最低气温的差 分别是多少？ 实际上，有了负数以后，数的范围扩充到了有理数 . 随之而来的一系列问 题是：有理数如何比较大小？有理数如何进行加、减、乘、除运算？小学学习 的运算方法还适用吗？这些就是本章我们要研究的问题 . 在研究的过程中，我们会认识很多新东西，如数学中的“温度计”——数 轴 . 此外，我们还将学习新的运算，由此会得到一些意想不到的结果 . 有理数 第一章 数学 七年级 上册 2 一、  有理数及其概念 正数和负数 1.1 我们认识数的过程，与人类社会的发展息息相关 . 先后经历了石子记数、 刻痕记数、结绳记数、算筹、算盘、计算尺、计算机等不同阶段. 我们先认识了自然数，如0，1，2，3，…，然后认识了分数和小数，如3 5 ， 11 23 ，7 4 ，0.3 4 ，0.52，… . 在生活、生产中，这些数还是不够用，于是我们需 要认识负数 . 1. 在小学我们已经认识了负数，你学过哪些具体的负数？ 2. 这些具体的负数的意义是什么？ 考 交 思 与 流 从本章章前图中可以看出，张掖某一天的最高气温是2℃，它表示零上2℃， 最低气温是- 13℃，它表示零下13℃，零上温度和零下温度是具有相反意义的 量 . 类似的，收入与支出是具有相反意义的量，如果用500 元表示收入500 元， 那么就可以用- 300 元表示支出300 元；向东走与向西走的距离也是具有相反意 义的量，如果用5 m 表示向东走5 m，那么就可以用- 5 m 表示向西走5 m…… 可见，像- 13，- 300，- 5，… 这样的数已经在我们的生活中被广泛地应 用了 . 实际上，对于某些量而言，存在着与它们意义相反的量 . 表示具有相反意 义的量的多少时，其中一种量可以用比0大的数来表示，例如，1，3. 56，2 5 ，…， 像这样的数叫作正数 . 有时，为了进一步强调它们是正数，还可以在它们的前 面加上一个“ + ”( 正 ) 号，如+ 1，+ 3. 56，+ 2 5 ，… . 与它们意义相反的量用“负 第一章 有理数 3 数”来表示，也就是在正数的前面加上一个“ - ”( 负 ) 号，得到的数叫作负数， 例如，- 1，- 3. 56，- 2 5 ，… . 应当注意，“ + ”号可以写，也可以不写 . 例如，+ 5，+ 23，+ 0. 59，+ 0. 003 4， + 3 4 ，+ 73 8 ，…，就是5，23，0. 59，0. 003 4，3 4 ，73 8 ，… . 0 既不是正数，也不是负数 . 我们原来认为“0”表示的是“没有”. 在引入了“负数”以后，它 是否又有了新的意义？这种新的意义是什么？ 考 交 思 与 流 当仓库中最后一台洗衣机运出后，仓库中洗衣机的库存量记作“0”，这 时，它表示“没有” . 但是当我们说“在标准大气压下，气温达到0 ℃时，水 将结成冰”，却绝不意味着那时“没有温度”，只是说那时的温度恰好处于 “正”“负”之间 . 这说明，在引入了负数以后，“0”还表示“+ ”与“- ”之 间的分界点 . 你还能举出其他的用“0”表示正负之间的分界点的例子吗？ 这样，数的种类增加了，我们对数的认识也发展了 . 1. 你学习过哪些数，这些数可以怎样分类？ 2. 各类数之间有怎样的包含关系？ 考 交 思 与 流 事实上，有限小数和无限循环小数都可以化为分数．反过来，分数可以化 为有限小数或无限循环小数 . 所以，可以把这样的小数看作分数 . 正整数、零、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数 . 整数和分 数统称为有理数 . 下面介绍一种有理数的分类方法： 数学 七年级 上册 4 分数 有理数 整数 正整数 零 负整数 正分数 负分数 其他的分类方法有： . 1. 下列各数哪些是正数，哪些是负数？ 7，- 2 3 ，3. 14，0，- 25，- 0. 003，+ 400，9 2 ，- 0. 75，- 8 . 2. ( 1 ) 如果当甲地高于海平面152 m 时，记作“海拔+ 152 m”，那么当 乙地低于海平面23 m 时，怎样记录它的海拔？ ( 2 ) 当升降机运行时，如果下降13 m 记作“- 13 m”，那么上升25 m 怎样记录？ 3. 一台铣床加工10个零件 . 检测时，发现有3个超出设计尺寸( 称为“正 误差” )，超出的尺寸分别为0. 010 mm，0. 014 mm，0. 009 mm；有2 个 比设计尺寸小( 称为“负误差” )，不足的尺寸分别为0. 008 mm 和 0. 011 mm. 请用有理数分别记录这些产品的误差值 . 练 习 用数轴上的点表示有理数 1.2 在生活中，你见到过用刻度来“表示某种量的多少”的用具吗？你 能举出哪些用具？ 考 交 思 与 流 事实上，我们使用的各种直尺上的刻度表示了零和一些正数；温度计上的 刻度表示的不仅是零和一些正数，还表示了一些负数 . 第一章 有理数 5 用纸、笔、直尺和圆规完成下面的操作： ( 1 ) 先画一条水平的直线，再在直线的右端画一个指向右方的箭头，我们 规定，它所指的方向为正方向； ( 2 ) 在这条直线上确定一个点，这个点叫作原点，并用原点表示数0； ( 3 ) 选择一个适当的长度作为单位长度，从原点开始，在直线上原点的两 侧，连续截取和单位长度相等的线段，可以得到多个分点； ( 4 ) 在原点右侧各分点下面从左向右依次写出1，2，3，4，…，在原点 左侧各分点下面从右向左依次写出- 1，- 2，- 3，- 4，…，我们就得到了如 图1 - 1 所示的一条直线 . 图1 - 1 实践 这说明，直线上的一些点可以和有理数对应起来，所有的有理数都可以用一 条直线上的点来表示 . 这就是说，可以用直线上的点表示所有的有理数 . 像这样规定了正方向、原点和单位长度的直线叫作数轴 . 正方向、原点和 单位长度是数轴缺一不可的三个要素 . 有了数轴，每一个有理数都可以用数轴上一个确定的点表示，有理数之间的 某些关系就可以由数轴上的点的位置关系来表示，研究有理数之间的关系就有了 直观的形象 . 需要注意的是，数轴上的点不仅可以表示有理数，还可以表示其他 的数，相关知识将在以后学习 . 数学 七年级 上册 6 怎样在数轴上表示有理数3，- 2，0，1 2 ，- 4 5 ，7，…？ 考 交 思 与 流 我们不仅要会在数轴上确定表示有理数的点，还应会识别数轴上的点表示 的有理数 . 例如，在图1 - 2 所示的数轴上，A，B，C，D，E，F，G 各点表 示的数分别是+ 3，0，- 2，+ 5，- 7，+ 3 2 与- 3. 5 . 图1 - 2 1. 识别下面数轴上A，B，C，D，E 各点表示的有理数 . ( 第1 题 ) 2. 在数轴上表示下列有理数：2，- 1，3 2 ，0，- 3 5 ，3. 5 . ( 第2 题 ) 练 习 有了数轴以后，全体有理数都能用数轴上的点表示出来 . 对于正数和零来 说，数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大 . 1. 在引入负数以后，数轴上右边的点表示的数仍然比左边的点表示 的数大吗？ 2. 负数和正数、负数和零、负数和负数的大小关系是怎样的？ 考 交 思 与 流 第一章 有理数 7 负数和正数、负数和零、负数和负数的大小关系可以归纳为： ( 1 ) 任何负数小于任何正数； ( 2 ) 任何负数都小于零； ( 3 ) 用数轴上的点表示负数时，右边的点表示的负数总比左边的点表示的 负数大 .   例如，把- 3，5，0，- 3 2 ，7 4 ，- 1，3 在数轴上表示出来，如图1 - 3 所示 .   图1 - 3 所以它们的大小关系是：- 3 < - 3 2 < - 1 < 0 < 7 4 < 3 < 5 . 1. 读出下面数轴上点A，B，C，D，E，F 表示的有理数，并把这些有理 数按从小到大的顺序用不等号连接起来： ( 第1 题 ) 2. 画出数轴，在数轴上表示下列有理数，并把这些有理数按从大到小的 顺序用不等号连接起来： - 2，1 3 ，4，0，- 1 5 ，1. 5，- 5，- 5 4 . 练 习 在科研分析中，经常会用到一些标准样品 . 在这些 样品的标签上标示有“± 0. 001 g”等字样 . “± 0. 001”是 “+ 0. 001”和“- 0. 001”合在一起的简便写法 . “+ 0.001”和“- 0.001”是一对“相反数” . 我们已经知道，有理数包括正数、负数和零，而 相反数和绝对值 1.3 数学 七年级 上册 8 每一个负数都可以认为是由省略了“ + ”的“正数”前面放上一个“ - ”得到 的 . 如：+ 1 和- 1，+ 3. 45 和- 3. 45，+ 7 9 和- 7 9 ，…… 画出数轴，在数轴上分别确定表示± 1，± 3，± 9 2 ，± 7 的点， 观察这4 对点， 说一说每对点在位置上有怎样的特征 . 实践 我们可以得到数轴上的4 对点( 如图1 - 4 )： 图1 - 4 不难发现，其中表示± 1 ( 或± 3，± 9 2 ，± 7 ) 的点分别分布在原点的两侧， 而且到原点的距离相等 . 像1 和- 1 这样，只有符号不同的两个数叫作互为相 反数 . 也就是，1 是- 1 的相反数，- 1 是1 的相反数. 例如，± 3，± 9 2 ，± 7 中的每一对数都是一对相反数；我们也常说，3 和- 3， 9 2 和- 9 2 ，7 和- 7 分别互为相反数 . 另外还规定，0 的相反数仍是0 . 这样，每一个有理数都有了它的相反数 . 所以，可以认为：一个数前面放上一个“ - ”，得到的就是它的相反数 . 例如，- ( + 8 5  ) = - 8 5 ；- ( - 3 ) = + 3 . 1. 化简有多重符号的数时，应当怎样化简？怎样能够迅速确定最终 所得有理数的符号？说说你的理由 . 2. 化简下列各数：( 1 ) + {-  - ( + 8 ) } ； ( 2 ) - {-  + ( - 3 ) } . 考 交 思 与 流 第一章 有理数 9 1. 求下列各数的相反数： 4，6，0，- 3 4 ，+ 37，27 43 ，0. 001 . 2. 化简下列各数： ( 1 ) + ( + 7 )，+ ( - 4 )，- ( + 34 )，- ( - 7. 8 )； ( 2 ) + {+  - ( - 0. 7 ) }，- {- + ( - 3 4) } . 练 习 下面来探索一对相反数的特点 . 观察图1 - 4 数轴上的4 对相反数，每一对都是一个为正数，另一个为负数， 是不相同的两个数；在数轴上表示它们的点在原点两侧，是不相同的两个点，但 是，这两个点到原点的距离相等，这是互为相反数的两个数的共同特征 . 数轴上表示数a 的点到原点的距离叫作数a 的绝对值，记作 | a | . 例如，如图1 - 5 ( 1 ) 所示，数轴上表示+ 7 的点到原点的距离是7 个单位长 度，所以+ 7 的绝对值是+ 7，记作 | + 7 | = + 7； 如图1 - 5 ( 2 ) 所示，数轴上表示- 5 的点到原点的距离是5 个单位长度， 所以- 5 的绝对值是+ 5 ，记作  | - 5 | = + 5 . 图1 - 5 ( 1 ) ( 2 ) 特别的，0 的绝对值仍是0，记作  |  0 | = 0 . 数学 七年级 上册 10 1. 怎样求25，-  5 12 ，- 0. 16，0，16 545，- 0. 000 1 的绝对值？ 2. 请用语言叙述怎样求一个有理数的绝对值 . 考 交 思 与 流 由于有理数分为正数、负数和零三类，所以可以分三类不同的情况来 叙述： 正数的绝对值是它自身； 负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值仍是0 .    也就是： 当a > 0 时，  | a |  = a； 当a < 0 时，  | a |  = - a； 当a = 0 时， | a | = 0 . 例1 求有理数- 3，12，4 7 ，0 的绝对值 . 解：| - 3 | = - ( - 3 ) = 3； | 12 | = 12； | 4 7  | = 4 7 ； | 0 | = 0 . 1. 求下列各有理数的绝对值： + 3，- 9，- 1 250，+ 32 51 ，+ 0. 000 456，-  7 15 ，0 . 2. 一个负数的绝对值可能小于零吗？为什么？ 3. “一个有理数的绝对值一定是正数”，这个说法正确吗？为什么？ 练 习 学习了有理数的绝对值以后，我们可以说，“绝对值相同，但符号相反的两 个数互为相反数” . 特别的，0 的相反数是0 . 第一章 有理数 11 在实际生活中，是否存在只需考虑数的绝对值而暂时不考虑它的符 号的例子？如果有，请举出这样的例子 . 考 交 思 与 流 例2 计算： ( 1 )  | + 5 |  -  | - 3. 4 |  -  | 0 |  +  | - 1. 9 | ； ( 2 )  |- 2 3|  +  |+ 5 6|  -  |- 3 2| . 解：( 1 )  | + 5 |  -  | - 3. 4 |  -  | 0 | + | - 1. 9 |  = 5 - 3. 4 - 0 + 1. 9 = 1. 6 + 1. 9 = 3. 5； ( 2 )  |- 2 3|  +  |+ 5 6| -  |- 3 2| = 2 3  +  5 6  -  3 2 = 0 .    1.“一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点越近”，这个说 法正确吗？为什么？ 2. 是否可以通过比较两个有理数的绝对值的大小，来比较两个负数 的大小？ 考 交 思 与 流 根据“一个负数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点越近”和“数轴 上表示两个负数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”，可以得 到：“两个负数中，绝对值较大的数反而小 .” 所以可以通过比较它们的绝对值 的大小来比较这两个负数的大小 . 数学 七年级 上册 12 例3 比较- 22 7 和- 3. 141 59 的大小 . 解：因为 | - 22 7  | ≈ 3. 142 9， | - 3. 141 59 |  = 3. 141 59， 3. 142 9 > 3. 141 59， 所以 | - 22 7  | > | - 3. 141 59 |， 所以  - 22 7 < - 3. 141 59 .    习 题 1 - 1 巩 固 1. 北京2 月份某一天的最高温度是零上4 ℃，最低温度是零下7 ℃，用正数 或负数表示这两个温度 . 2. 水库水位上升0. 12 m 记作+ 0. 12 m，下降0. 23 m 记作什么？ 3. 以海平面为基准，高于海平面为正： ( 1 ) 珠穆朗玛峰高出海平面8 848. 86 m ( 用正数表示 )； ( 2 ) 亚洲西部地中海旁有一个死海，它的湖面低于海平面416 m ( 用负数 表示 ) . 1. 计算： ( 1 )  | - 7 | +  |+ 16 |  -  |- 22 |  +  | 0 | ； ( 2 )  |- 1 2|  -  |+ 1 3|  -  |- 1 6| . 2. 比较下列每组数的大小： ( 1 ) + 8 和+ 7； ( 2 ) - 3 和- 4； ( 3 ) 2 3 和3 4 ； ( 4 ) - 2 3 和- 3 4 ； ( 5 ) - 1 000 和- 0. 01； ( 6 ) - 2 3 和 - 2 5 . 练 习 第一章 有理数 13 4. 粮库某月前5 天进出粮食的记录如下表： 日期 1 2 3 4 5 进出粮食/t - 32 + 84 - 26 - 56 + 68 其中以运进为正，说出各天记录的实际意义 . 5. 在下列各数中哪些是正数？哪些是负数？有没有既不是正数，也不是负数 的数？ - 28，0. 016，+ 7 8 ，- 11 12 ，2 3 ，0，- 0. 072，- 284，1 290，1 . 6. 把下列各数填在相应的大括号里： - 0. 1，- 9，5 12 ，0，+ 16. 71，+ 1，- 17 3 ，4，- 26，1 082，- 3. 8 . 正整数：{ }； 负分数：{ }； 整 数：{ }； 负 数：{ } . 7. 请你在适当的空格里打“√” . 自然数 整数 分数 正数 负数 有理数 5 √ √ √ √ 1 3 -  11 2 - 7. 1 - 9 0 3. 141 59 数学 七年级 上册 14 8. 回答下列问题： ( 1 ) 数轴上会不会有两个不同的点表示的是同一个数？ ( 2 ) 数轴上会不会有一个点表示两个不同的数？ 9. 把表示3 和- 3 的点画在数轴上，指出这两个点到原点的距离 . 再画出表 示-  3 1 2 的点，然后回答表示- 3 和-   3 1 2 的两个点中哪一个在右边，哪一个 离原点较远 . 10. 在数轴上距离原点4 1 3 个单位长度的点有几个？它们表示的数是什么？ 11. 比较下列每组数的大小： ( 1 ) 5 4 和4 3 ； ( 2 ) - 8 和- 6； ( 3 ) - 1 和1； ( 4 ) 1 和- 1 000； ( 5 ) - 3. 14 和- 3. 142； ( 6 ) - 4 5 和+ 3 4 ； ( 7 ) 0. 72 和- 5 8 ； ( 8 ) - 5 4 和- 3 4 ； ( 9 ) - 1. 8 和- 2. 01； ( 10) -  3 11 和0. 273 . 12. 在- 12，- 1 2 ，- 0. 2，- 3. 14，0，- 10 中，哪个数最大？哪个数最小？ 13. 我国几个城市某年1 月份的平均气温如下表所示，把它们按从高到低的顺 序排列起来 . 城市 北京 广州 重庆 哈尔滨 平均气温/℃ - 5. 2 14. 2 3. 1 - 20. 4 14. 化简下列各数： ( 1 ) - ( - 18 )； ( 2 ) - ( + 20 )； ( 3 ) + ( + 32 )； ( 4 ) - ( - 10 3 ) ； ( 5 ) + ( - 7. 08 )； ( 6 ) - ( + 2 5) . 15. 下列各组数中，哪组内的两个数相等？哪组内的两个数互为相反数？ ( 1 ) + ( - 4 ) 和- ( + 4 )； ( 2 ) - ( - 4 ) 和- 4； ( 3 ) + ( - 4 ) 和+ 4； ( 4 ) - ( + 4 ) 和- ( - 4 )； ( 5 ) + ( + 4 ) 和- ( - 4 ). 第一章 有理数 15 16. 先将下列各数在数轴上表示出来，再求出它们的绝对值： - 4，- 1 1 2 ，0，+ 2，3 1 4 . 提 升 1. 判断： ( 1 )  | - 6 |  =  | + 6 | ；    ( ) ( 2 ) 符号相反而绝对值相等的两个数互为相反数； ( ) ( 3 ) 当a 是有理数时，总有 | a |  > 0； ( ) ( 4 )  | - 1 000 | > 0； ( ) ( 5 ) 负数的绝对值都是正数； ( ) ( 6 ) 有理数的绝对值一定不是负数 . ( ) 2. 回答下列问题，并说明理由： ( 1 ) 绝对值是2 3 的数有几个？是什么？ ( 2 ) 绝对值是0 的数有几个？是什么？ ( 3 ) 有没有绝对值是- 3. 5 的数？ 3. 计算： ( 1 )  | - 64 | +  | - 28 |  +  | + 27 | ； ( 2 )  | - 16 | +  | - 24 | -  | - 30 | ； ( 3 )  | - 0. 8 | - |-  2 15|； ( 4 ) |- 11 4 | × |-  2 15|  .    4. 用“>”、“=”或“<”填空： ( 1 )  | 0. 32 |    |  - 0. 32 | ； ( 2 ) |- 2 7| | 1 6|； ( 3 )  | 0. 02 |    | - 0. 000 2 | ； ( 4 )  | - 5 | | 5 |  .    5. 写出比- 3. 5 大，且比+ 7. 5 小的所有整数，并用“<”将它们与这两个数连 接起来 . 数学 七年级 上册 16 二、  有理数的运算 有理数的加法 1.4 联系生活中的实例，你认为应当怎样做下面的加法运算才合理？计 算的结果应是什么数？ ( 1 ) 怎样求同号的两个有理数的和？ ①( + 5 ) + ( + 3 ) = ？ ②( - 5 ) + ( - 3 ) = ？ ( 2 ) 怎样求互为相反数的两个有理数的和？ ③( + 5 ) + ( - 5 ) = ？ ④( - 3 ) + ( + 3 ) = ？ ( 3 ) 除相反数外，怎样求符号相反的两个有理数的和？ ⑤( + 5 ) + ( - 3 ) = ？ ⑥( - 5 ) + ( + 3 ) = ？ ( 4 ) 怎样求0 和任意一个有理数的和？ ⑦0 + ( + 7 ) = ？ ⑧( - 4 ) + 0 = ？ 考 交 思 与 流 比如，在生活中有这样的例子：某公司把收入金额记为正数，支出金额 记为负数，那么连续收入5 万元和3 万元的总和应是收入8 万元；连续支出 5 万元和3 万元的总和应是支出8 万元 . 由此可知： ( + 5 ) + ( + 3 ) = + 8， ( - 5 ) + ( - 3 ) = - 8 . 再如，把电梯上升的楼层数记为正数，下降的楼层数记为负数，那么，电 梯先上升5 层，再下降5 层，结果它停在原位；电梯先下降3 层，再上升3 层， 第一章 有理数 17 它也停在原位 . 由此可知： ( + 5 ) + ( - 5 ) = 0， ( - 3 ) + ( + 3 ) = 0 . 1. 上面的式子⑤⑥⑦⑧的计算结果是什么？请你举例说明 . 2. 两个有理数相加可以分为几种不同的情况？ 3. 你能归纳出有理数加法法则吗？ 考 交 思 与 流 通过以上讨论，我们可以归纳出有理数加法法则： 同号的两个数相加，符号不变，并把两个加数的绝对值相加 .   异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去 较小的绝对值 .   互为相反数的两个数的和为0 .   0 和任何一个有理数相加，仍得这个有理数 .   例1 计算： ( 1 ) ( + 26 ) + ( + 67 )； ( 2 ) ( - 2. 3 ) + ( + 7. 8 )； ( 3 ) ( - 3 4) + ( - 1 2)； ( 4 ) ( + 5 6) + ( - 1. 375 )； ( 5 ) ( - 0. 673 ) + 0； ( 6 ) 0 + ( +  7 11) . 解：( 1 ) ( + 26 ) + ( + 67 ) = + ( 26 + 67 ) = + 93； ( 2 ) ( - 2. 3 ) + ( + 7. 8 ) = + ( 7. 8 - 2. 3 ) = + 5. 5； ( 3 ) ( - 3 4) + ( - 1 2) = - ( 3 4 + 1 2) = - 5 4 ； ( 4 ) ( + 5 6) + ( - 1. 375 ) = - ( 11 8 - 5 6) = - 13 24 ； ( 5 ) ( - 0. 673 ) + 0 = - 0. 673； ( 6 ) 0 + ( +  7 11) = +  7 11 . 例2 计算： ( 1 ) ( - 12 ) + ( - 4. 5 ) + ( + 10. 7 )； ( 2 ) ( - 5 6)+ ( + 5 ) + ( - 2 3) . 想一想：应先确定和的符号， 还是先计算和的绝对值？ 数学 七年级 上册 18 解：( 1 ) ( - 12 ) + ( - 4. 5 ) + ( + 10. 7 ) = ( - 16. 5) + ( + 10. 7 ) = - 5. 8； ( 2 ) ( - 5 6) + ( + 5 ) + (- 2 3) = (+ 25 6 ) + (- 2 3) = (+ 25 6 ) + (- 4 6) = + 7 2 . 例3 利用计算器计算： ( 1 ) - 26. 15 + ( + 13. 12 ) + ( - 128. 79 )； ( 2 ) 15 4 + (- 7 6) + (- 22 3 ) . 解：( 1 ) ( 2 ) - 141.82 （—） （—） 26. 15 13. 12 128. 79 enter ＋ ＋ 1. 计算： ( 1 ) ( + 5 ) + ( + 8 )； ( 2 ) ( - 2 ) + ( - 9 )； ( 3 ) ( + 7 ) + ( - 7 )； ( 4 ) 0 + ( - 1. 5 )； ( 5 ) ( - 17 ) + ( + 19 )； ( 6 ) ( + 23 ) + ( - 34 )； ( 7 ) ( - 110 ) + 0； ( 8 ) ( - 2. 5 ) + ( + 5 2) . 2. 计算： ( 1 ) ( - 3. 5 ) + ( + 4. 1 )； ( 2 ) ( - 7 5) + ( - 2 5)； ( 3 ) ( - 17 32) + ( +  5 32)； ( 4 ) ( + 23 8 ) + ( - 13 4 ) . 练 习 n d n d n d （—） （—） 15 3 7 4 6 22 ＋ ＋ enter - 19 4 第一章 有理数 19 1. 加法交换律和结合律在有理数的加法中依然成立吗？请举出一些例 子来验证( 可以利用计算器 ) . 2. 加法交换律和结合律在有理数加法运算中能起什么作用？ 考 交 思 与 流 加法交换律和结合律在有理数加法运算中依然成立： 加法交换律 加法结合律 a + b = b + a ；   ( a + b ) + c = a + ( b + c ) .   例4 运用加法交换律和结合律做简便运算 . ( 1 ) ( - 23 ) + ( + 39 ) + ( - 83 ) + ( + 11 )； ( 2 ) ( - 41 ) + ( + 33 ) + ( + 41 ) + ( - 33 )； ( 3 ) ( + 13 5 ) + ( + 3 7) + ( - 8 5) + ( - 19 7 ) . 解：( 1 ) ( - 23 ) + ( + 39 ) + ( - 83 ) + ( + 11 ) = ［( - 23 ) + ( - 83 )］ + ［( + 39 ) + ( + 11 )］ = ( - 106 ) + ( + 50 ) = - 56； ( 2 ) ( - 41 ) + ( + 33 ) + ( + 41 ) + ( - 33 ) = ［( - 41 ) + ( + 41 )］ + ［( + 33 ) + ( - 33 )］ = 0； ( 3 ) ( + 13 5 ) + ( + 3 7) + ( - 8 5) + ( - 19 7 ) 3. 计算： ( 1 ) ( + 16 ) + ( + 8 )； ( 2 ) ( + 13 4 ) + ( - 21 4 )； ( 3 ) ( - 21 ) + ( - 53 )； ( 4 ) ( - 2 3) + ( - 5 6)； ( 5 ) 0 + ( - 11 23)； ( 6 ) ( - 7. 2 ) + ( + 3. 2 ) . 数学 七年级 上册 20 = ( + 13 5 ) + ( - 8 5) + ( + 3 7) + ( - 19 7 ) = ( + 1 ) + ( - 16 7 ) = - 9 7 . 计算： ( 1 ) ( + 13 ) + ( - 22 ) + ( - 18 ) + ( + 6 )； ( 2 ) ( - 0. 125 ) + ( - 7. 3 ) + ( + 1 8)+ ( + 2. 3 )； ( 3 ) ( - 10 3 ) + ( - 25 4 ) + ( + 11 3 ) + ( + 17 4 ) . 练 习 你能求出绝对值小于1 000 的所有整数的和吗？说说你是怎样计算的 . 索 探 有理数的减法 1.5 第一章 有理数 21 表1 -  1 列出的是北京市连续四周的周最高和最低平均气温： 表1 - 1 第1 周 第2 周 第3 周 第4 周 最高平均气温/℃ + 6 0 + 4 - 2 最低平均气温/℃ + 2 - 5 - 2 - 5 周平均温差/℃ 求每周的周平均温差时，可以运用哪一种运算？请列出算式，并写出计算 结果 . 实践 显然，这个问题可以运用减法运算 . 虽然我们还不知道有理数减法运算 应当怎样进行，但是根据生活经验，可以知道问题的答案分别是4 ℃，5 ℃， 6 ℃和3 ℃ . 我们可以利用它来探究有理数减法究竟应当怎样进行 . 我们已经知道，减法是已知被减数和减数求差的运算，是加法的逆 运算 . 根据上面的问题来研究，是否可以将减法转化为加法运算？ 考 交 思 与 流 做减法运算( - 2 ) - ( - 5 ) 就是求一个与- 5 的和是- 2 的数，也就是求 等式 ( - 5 ) + ( ) = - 2 的括号中应填写的数 . 不难知道这个数是+ 3，这就是说，有 ( - 5 ) + ( + 3 ) = - 2 . 这说明，可以通过把减法转化为加法来求两个有理数的差 . 另一方面，我们有 ( - 2 ) - ( - 5 ) = + 3， ( - 2 ) + ( + 5 ) = + 3， 数学 七年级 上册 22 也就是 ( - 2 ) - ( - 5 ) = ( - 2 ) + ( + 5 ) = + 3 . 其中，+ 5 是- 5 的相反数，于是产生这样的猜想：“减去一个数，等于加上这 个数的相反数 .”用字母表示为a - b = a + ( - b ) . 你能用学过的知识解释a - b = a + ( - b ) 吗？ 考 交 思 与 流 根据等量的等量相等，想要说明a - b = a + ( - b )，可以设a - b = c，只需要 说明a + ( - b ) = c 即可 .    设a - b = c， ① 根据减法是加法的逆运算，可以得到a = c + b . 那么 a + ( - b ) = c + b + ( - b ) = c + ［b + ( - b )］= c + 0 = c. 也就是a + ( - b ) = c. ② 由①②得a - b = a + ( - b ). 于是，得到有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数 .    例1 计算： ( 1 ) ( - 5 ) - ( + 3 )； ( 2 ) 0 - ( - 15 8 )； ( 3 ) ( + 3. 7 ) - ( + 6. 5 )； ( 4 ) ( - 9 2) - ( - 2 3) . 解：( 1 ) ( - 5 ) - ( + 3 ) = ( - 5 ) + ( - 3 ) = - 8； ( 2 ) 0 - ( - 15 8 ) = 0 + ( + 15 8 ) = 15 8 ； 等量代换 互为相反数的两个数的和为0 加法结合律 第一章 有理数 23 ( 3 ) ( + 3. 7 ) - ( + 6. 5 ) = ( + 3. 7 ) + ( - 6. 5 ) = - 2. 8； ( 4 ) ( - 9 2) - ( - 2 3) = ( - 9 2) + ( + 2 3) = - 23 6 . 例2 计算： ( 1 ) ( - 34 ) - ( + 56 ) - ( - 28 )； ( 2 ) ( + 25 ) - ( - 29 3 ) - ( + 47 2 ) . 解：( 1 ) ( - 34 ) - ( + 56 ) - ( - 28 ) = - 34 + ( - 56 ) + ( + 28 ) = - 90 + ( + 28 ) = - 62； ( 2 ) ( + 25 ) - ( - 29 3 ) - ( + 47 2 ) = + 25 + ( + 29 3 ) + ( - 47 2 ) = + 25 +  ( - 83 6 ) = 67 6 . 1. 计算： ( 1 ) ( - 5 ) - ( - 5 )； ( 2 ) ( - 5 ) - ( + 5 )； ( 3 ) ( + 5 ) - ( - 5 )； ( 4 ) ( + 5 ) - ( + 5 )； ( 5 ) ( + 7 ) - 0； ( 6 ) 0 - ( + 7 )； ( 7 ) 0 - ( - 7 )； ( 8 ) ( - 7 ) - 0； ( 9 ) ( + 17 ) - ( - 17 )； ( 10 ) ( - 17 ) - ( + 17 ) . 2. 计算： ( 1 ) ( - 1 2) - ( + 0. 5 )； ( 2 ) ( + 0. 6 ) - ( + 1 )； ( 3 ) ( + 5 ) - ( - 3. 75 )； ( 4 ) ( - 7. 25 ) - ( - 0. 25 ) . 练 习 数学 七年级 上册 24 有理数的加减法混合运算 1.6 1. 代数和 1. 在生活中哪里会用到有理数的加减法混合运算？举出你想到的例子 . 2. 既然减法可以转化为加法，那么加减法混合运算可以怎样进行？ 3. 有理数的加减法混合运算统一为加法以后，是否可能产生简洁的形 式和更方便的算法？ 考 交 思 与 流 我们来看一个加减法混合运算： ( - 4 ) + ( + 18 ) - ( - 3 ) - ( + 13 ) + ( - 2 ) . 先把它统一为加法运算，得 ( - 4 ) + ( + 18 ) + ( + 3 ) + ( - 13 ) + ( - 2 ) . 这是- 4，+ 18，+ 3，- 13 ，- 2 的和，为使书写简洁，可以省略算式中的 “ + ”号和括号，得 - 4 + 18 + 3 - 13 - 2. ① 在过去，① 式被看作是有加法和减法的算式，而在代数中，可以理解为它是 有理数的加法算式 . 省略了加号的几个有理数的和的式子叫作这几个数的代数和 . 于是，它的计算过程就可以写为 ( - 4 ) + ( + 18 ) - ( - 3 ) - ( + 13 ) + ( - 2 ) = ( - 4 ) + ( + 18 ) + ( + 3 ) + ( - 13 ) + ( - 2 ) = - 4 + 18 + 3 - 13 - 2 3. 计算： ( 1 ) ( - 6 ) + ( + 6 ) - ( - 7 )； ( 2 ) ( + 1 2) - ( - 1 2) - ( + 3 4) ； ( 3 ) ( - 1 4) - ( + 3 8) - ( - 0. 75 ) . 第一章 有理数 25 = - 4 - 13 - 2 + 18 + 3 = - 19 + 21 = 2 . 例1 计算： ( - 5 6) - 7 4 - ( + 8 3) + 1 2 + ( - 19 12) . 分析：观察算式的结构可以知道，算式尚未写成代数和的形式 . 其中 - 7 4 和 + 1 2 前面的加号已经省略，只需先把 - ( + 8 3) 转化为加法，再把尚未省略的 加号略去，就转化为代数和的形式了 . 解： ( - 5 6) - 7 4 - ( + 8 3) + 1 2 + ( - 19 12) = ( - 5 6) - 7 4 + ( - 8 3) + 1 2 + ( - 19 12) = - 5 6 - 7 4 - 8 3 + 1 2 - 19 12 = - 76 12 = - 19 3 . 例2 我国粮食主产区依靠农业科技构建多元化种植体系 . 某农业合作 社有部分农户种植了绿豆，秋收季节，需将绿豆装袋存储，每袋标准质量为 50 kg . 把其中10 袋绿豆称量后登记如下( 单位：kg )： 49. 9， 49. 8， 50. 1， 50. 2， 49. 2， 50. 0， 49. 3， 50. 1， 49. 8， 50. 2 . 求10 袋绿豆的总质量 . 解法1：49. 9 + 49. 8 + 50. 1 + 50. 2 + 49. 2 + 50. 0 + 49. 3 + 50. 1 + 49. 8 + 50. 2 =498.6 ( kg ) . 解法2：我们把多于标准质量的记为正数，少于标准质量的记为负数，得 - 0. 1， - 0. 2， + 0. 1， + 0. 2， - 0. 8， 0， - 0. 7， + 0. 1， - 0. 2， + 0. 2 . ( - 0. 1 ) + ( - 0. 2 ) + 0. 1 + 0. 2 + ( - 0. 8 ) + 0 + ( - 0. 7 ) + 0. 1 + ( - 0. 2 ) + 0. 2 = - 0. 1 - 0. 2 + 0. 1 + 0. 2 - 0. 8 + 0 - 0. 7 + 0. 1 - 0. 2 + 0. 2 = - 1. 4 ( kg ) . 50 × 10 - 1. 4 = 498. 6 ( kg ) . 答：10 袋绿豆的总质量为498. 6 kg . 数学 七年级 上册 26 1. 把下列各算式统一为加法，再写成省略加号的代数和的形式，最后求 出计算结果 . ( 1 ) ( + 5 ) - ( - 3 ) + ( - 7 ) - ( + 12 )； ( 2 ) 7 3 + ( - 5 2) - ( - 23 6 )； ( 3 ) ( + 5 ) - 7- ( - 4 ) + ( - 5 ) + 10； ( 4 ) ( - 1 2) + ( + 4 3) - 7 4 + ( - 3 ) . 2. 计算： - 1 2 - 26 5 - 1 + 16 5 - 4. 5 + 7 3 . 练 习 2. 去括号和添括号 有些加减法混合运算的算式中是含有括号的，我们来研究这类算式的各种 算法 . 例如下面的算式： 2 3 + ( 1 - 5 3) ， ① 4 3 - ( 1 - 5 3) . ② 观察①②这两个算式，都带有括号，若想去掉括号，使运算简便， 应如何进行化简呢？ 考 交 思 与 流 ①式中，根据加法结合律，可以去掉括号，然后再进行计算，得 2 3 + ( 1 - 5 3)  = 2 3 + 1 - 5 3 = 2 3 - 5 3 + 1 = - 1 + 1 = 0 . 第一章 有理数 27 ②式中，根据“某数减去若干个数的和，可以逐个减去各个加数”，去掉 括号，然后再进行计算，得 4 3 - ( 1 - 5 3) = 4 3 - ( + 1 ) - ( - 5 3) = 4 3 - 1 + 5 3 = 4 3 + 5 3 - 1 = 3 - 1 = 2 . 可见，在某些时候，如果能把算式中的括号去掉，就能使运算简便 . 你能从上面的研究中概括出： 1. “去掉前面带有加号 ( 或正号 ) 的括号” 的法则吗？ 2. “去掉前面带有减号 ( 或负号 ) 的括号” 的法则吗？ 考 交 思 与 流 我们可以概括出去括号法则：     当括号前面是“+ ”时，去掉括号和它前面的“+ ”，括号内各数的符号都 不改变； 当括号前面是“- ”时，去掉括号和它前面的“- ”，括号内各数的符号都 要改变 .    于是 m  + ( a + b - c ) = m + a + b - c； 把括号连同它前面的 “+ ”一起去掉！ 想一想：这里的“+ ”是 怎样得到的？ 数学 七年级 上册 28 m  - ( a + b - c ) = m - a - b + c . 例3 计算： ( 1 ) 2 + 3 4 + ( - 3 8 - 4 + 1 4) ； ( 2 ) 39 7 - ( 11 7 - 3 5 - 22 5 ) . 解：( 1 ) 2 + 3 4 + ( - 3 8 - 4 + 1 4) = 2 + 3 4 - 3 8 - 4 + 1 4 = 2 + 3 4 + 1 4 - 4 - 3 8 = - 1 - 3 8 = - 11 8 ； ( 2 ) 39 7 - ( 11 7 - 3 5 - 22 5 ) = 39 7 - 11 7 + 3 5 + 22 5 = 4 + 5 = 9 . 例4 用简便方法计算： - 5 4 + 7 3 - ( - 1 4 + 5 3 )  . 解：- 5 4 + 7 3 - ( - 1 4 + 5 3) = - 5 4 + ( 7 3 + 1 4 - 5 3) = - 5 4 + 7 3 + 1 4 - 5 3 = ( - 5 4 + 1 4) + ( 7 3 - 5 3) = - 1 + 2 3 = - 1 3 . 想一想：这里的“- ”是 怎样得到的 ？ 先去小括号，还是 先去中括号？ 第一章 有理数 29 先去掉算式中的括号，再做计算： ( 1 ) 26. 5 + ( 34. 2 - 65. 4 + 73. 5 ) - 58. 6； ( 2 ) 598 - ( - 269 + 119 - 402 )； ( 3 ) 17 6 + ( - 7 6 + 2 + 3 2)； ( 4 ) 18 7 - (0.6 - 3 7 - 1) . 练 习 下面我们再来研究添括号法则 . 1. “添括号”和“去括号”这两种变形具有什么关系？ 2. 如果我们把一个算式先实施了“添括号”的步骤以后，再实施 “去括号”的步骤，那么这个算式是不是应该恢复为原来的样子？ 3. “添括号”应有怎样的法则呢？ 考 交 思 与 流 添括号法则： 添上前面带有“+ ”的括号时，括号内各数的符号都不改变； 添上前面带有“- ”的括号时，括号内各数的符号都要改变 .    于是 m + a + b - c = m  + ( a + b - c ) ； m - a - b + c = m  - ( a + b - c ) . 例5 把下列算式分别放入前面带有“+ ”和带有“- ”的括号内： ( 1 ) 3 + 27 7 - 5 2 ； ( 2 ) - 37 8 + 8 5 - 8 + 6 7 . 想一想：添括号后怎样 处理字母 a 的符号？ 数学 七年级 上册 30 解：( 1 ) 放入前面带有“+ ”的括号内，得 + ( 3 + 27 7 - 5 2) . 放入前面带有“- ”的括号内，得 - ( - 3 - 27 7 + 5 2) . ( 2 ) 放入前面带有“+ ”的括号内，得 + ( - 37 8 + 8 5 - 8 + 6 7) . 放入前面带有“- ”的括号内，得 - ( 37 8 - 8 5 + 8 - 6 7) . 例6 已知58 - 27 2 + 17 - 13 25 - 9 13 . ( 1 ) 把算式中的后三个数放入前面带有“+ ”的括号内； ( 2 ) 把算式中的后四个数放入前面带有“- ”的括号内 . 解：( 1 ) 把算式中的后三个数放入前面带有“+ ”的括号内，得 58 - 27 2 + ( 17 - 13 25 - 9 13) . ( 2 ) 把算式中的后四个数放入前面带有“- ”的括号内，得 58 - ( 27 2 - 17 + 13 25 + 9 13) . 1. 把下列算式分别放入前面带有“+ ”和“- ”的括号内： ( 1 ) 26 - 15 + 73； ( 2 ) -  5 13 - 19 5 + 17 - 3 10 . 2. 已知5 7 + 2 - 3 7 - 5 6 + 1 4 - 1 3 - 5 8 . ( 1 ) 把算式中的前三个数放入前面带有“+ ”的括号内； ( 2 ) 把算式中的后四个数放入前面带有“- ”的括号内 . 练 习 第一章 有理数 31 习 题 1 - 2 巩 固 1. 计算： ( 1 ) ( + 4 ) + ( + 7 )； ( 2 ) ( - 3 ) + ( - 8 )； ( 3 ) ( + 6 ) + ( - 6 )； ( 4 ) 0 + ( - 2. 5 )； ( 5 ) ( - 13 ) + ( + 15 )； ( 6 ) ( + 34 ) + ( - 45 )； ( 7 ) ( - 130 ) + 0； ( 8 ) ( - 3. 5 ) + ( + 7 2) . 2. 计算： ( 1 ) ( + 1. 5 ) + ( + 6. 1 )； ( 2 ) ( - 5 3) + ( + 2 3) ； ( 3 ) ( - 17 42) + ( +  5 42) ； ( 4 ) ( + 31 8 ) + ( - 17 4 ) ； ( 5 ) ( - 6. 25 ) + ( + 3. 75 )； ( 6 ) ( + 4. 25 ) + ( - 27 4 ) ； ( 7 ) ( - 5 9) + ( - 2 3) ； ( 8 ) ( - 3 2) + ( + 8 3) . 3. 计算： ( 1 ) ( + 8 ) + ( - 10 ) + ( - 2 ) + ( + 1 )； ( 2 ) ( - 5 ) + ( + 6 ) + ( - 3 ) + ( - 9 ) + ( + 4 ) + ( + 7 )； ( 3 ) ( + 0. 65 ) + ( - 1. 9 ) + ( - 0. 1 ) + ( + 0. 65 )； ( 4 ) ( + 1 2) + ( - 2 3) + ( + 4 5) + ( - 1 2) + ( - 1 3)； ( 5 ) ( - 10 3 ) + ( + 15. 5 ) + ( - 50 3 ) + ( - 5. 5 ) . 4. 计算： ( 1 ) ( +  1 16) + ( - 3. 5 ) + ( - 2. 5 ) + ( + 15 16)； ( 2 ) ( + 1 ) + ( - 21 2 ) + ( - 8 3) + ( - 9. 5 )； ( 3 ) (+ 0. 5 ) + ( - 13 4 ) + ( - 2. 75 ) + ( + 11 2 ) . 5. 计算： ( 1 ) 8 - ( - 15 )； ( 2 ) - 24 - ( + 6 )； 数学 七年级 上册 32 ( 3 ) 0 - ( - 6 )； ( 4 ) 7 2 - ( + 17 4 ) ； ( 5 ) - 43 8 - ( - 17 4 ) ； ( 6 ) - 8. 3 - 0； ( 7 ) 8. 48 - ( - 8. 45 )； ( 8 ) 46. 75 - ( + 93. 125 ) . 6. 计算： ( 1 ) - 77 6 - ( + 15 4 ) - ( - 15 2 ) ； ( 2 ) 43. 375 - ( - 37. 5 ) - 101. 625 . 7. 计算，并用计算器验证计算结果是否正确： ( 1 ) ( - 1. 8 ) - ( + 3. 52 ) - ( - 2. 57 ) + ( - 1. 97 )； ( 2 ) ( - 4. 2 ) + (- 3. 58 ) - (- 57 25) + ( - 23 50) ； ( 3 ) - 0. 5 + 3. 25 - 2. 75 - ( - 5. 5 ) - 0. 15 . 8. 先去掉算式中的括号，再做计算： ( 1 ) 2 + ( 1 + 2 5 - 1 3) ； ( 2 ) 1 2 - ( - 2 + 5 2) . 9. 把下列算式分别放入前面带有“+ ”和带有“- ”的括号内： ( 1 ) 5 6 + 3 7 - 1 7 ； ( 2 ) - 5 7 + 3 5 - 12 - 5 9 . 10. 先去掉算式中的括号，再做计算： ( 1 ) 26. 4 - ［- 3. 67 + ( 45. 21 - 49. 76 ) + 8. 74］； ( 2 ) 27 5 - ( - 2 + 17 5 ) - ( 46 15 - 18 5 ) . 11. 计算： ( 1 ) -  | - 31 4 | + ( + 7 2) ； ( 2 ) | - 4 5 | + ( + 1 2)； ( 3 ) -  | - 14 | + | - 12 | ； ( 4 ) | - ( - 22 7 ) | +  | -  8 21 | . 12. 一天早晨的气温是- 9 ℃，中午上升了12 ℃，午夜又下降了7 ℃，午夜的 气温是多少？ 13. 有10 箱苹果的质量各不相等，为了计算简便，以每箱20 kg 为标准，超过 标准质量的数量记作正数，不足的数量记作负数，记录如下： - 3. 5， 2， - 0. 5， - 1， 1， 2. 5， - 2， 1. 5， - 1. 1， - 0. 4 . 求10 箱苹果的总质量 . 第一章 有理数 33 有理数的乘法 1.7 我们来研究怎样做有理数的乘法 . 公园中有一条东西向的道路，甲、乙两名同学在该道路上锻炼 . 他们 同时从同一起点出发，甲同学以每秒5 m 的速度向东行进，乙同学以每秒 5 m 的速度向西行进 . 那么，4 s 后甲、乙两名同学分别在什么位置？ 按照上面的叙述，列出的算式是什么？计算的结果应是什么？ 考 交 思 与 流 向东和向西行进的速度都是具有方向的量 . 如图1 - 6 所示，如果我们规 定：向东为正，向西为负，那么甲同学的速度可以记作+ 5 m/s，乙同学的速度 可以记作- 5 m/s . 乙 甲 图1 - 6 ( 1 )1 s 后甲同学应在起点东侧5 m 处，用算式表示为 ( + 5 ) × ( + 1 ) = + 5. 想一想2 s 后，3 s 后，4 s 后甲同学应在起点东侧多少米处，并写出下列 算式的结果： ( + 5 ) × ( + 2 ) = ； ( + 5 ) × ( + 3 ) = ； ( + 5 ) × ( + 4 ) = . ( 2 )1 s 后乙同学应在起点西侧5 m 处，用算式表示为 ( -5 ) × ( + 1 ) = - 5. 想一想2 s 后，3 s 后，4 s 后乙同学应在起点西侧多少米处，并写出下列 算式的结果： ( -5 ) × ( + 2 ) = ； ( - 5 ) × ( + 3 ) = ； 数学 七年级 上册 34 ( - 5 ) × ( + 4 ) = . ( 3 ) 尝试写出下列两组算式的计算结果： ( + 5 ) × ( - 1） = - 5； ( - 5 ) × ( - 1 ) = ； ( + 5 ) × ( - 2 ) = ； ( - 5 ) × ( - 2 ) = ； ( + 5 ) × ( - 3 ) = ； ( - 5 ) × ( - 3 ) = ； ( + 5 ) × ( - 4 ) = ； ( - 5 ) × ( - 4 ) = . 1. 根据计算结果，你能发现“积的符号”与“因数的符号”以及 “积的绝对值”与“因数的绝对值”之间的关系吗？ 2. 我们知道 ( + 5 ) × 0 = 0，那么 ( -5 ) × 0 的计算结果是多少？ 3. 你能归纳出有理数的乘法法则吗？ 考 交 思 与 流 我们可以得到有理数乘法法则： 同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，并把绝对值相乘； 任何有理数和0 相乘都得0 .    例1 计算： ( 1 ) ( - 3 ) × ( + 8 )； ( 2 ) ( - 17 6 ) × ( + 3 4)； ( 3 ) ( - 2. 3 ) × ( - 8 5 )； ( 4 ) ( + 12 5 ) × ( + 3 4)； ( 5 ) ( - 2 5 ) × 0 . 解：( 1 ) ( - 3 ) × ( + 8 ) = - ( 3 × 8 ) = - 24； ( 2 ) ( - 17 6 ) × ( + 3 4) = - ( 17 6 × 3 4) = - 17 8 ； ( 3 ) ( - 2. 3 ) × ( - 8 5 ) = + ( 23 10 × 8 5) = + 92 25 ； ( 4 ) ( + 12 5 ) × ( + 3 4) = + ( 12 5 × 3 4) = + 9 5 ； ( 5 ) ( - 2 5 ) × 0 = 0 . 我们知道，加法交换律和结合律在有理数的加法运算中依然适用 . 那么， 先确定积的符号，再计算 两数绝对值的积 . 第一章 有理数 35 与乘法有关的运算律呢？ 在有理数的运算中，乘法交换律、结合律以及乘法对加法的分配律 还成立吗？请你举一些有理数的乘法例子进行说明 . 考 交 思 与 流 例如： ( 1 ) 根据乘法法则，可得( + 5 ) × ( - 4 ) = - 20，( - 4 ) × ( + 5 ) = - 20， 所以( + 5 ) × ( - 4 ) = ( - 4 ) × ( + 5 ). ( 2 ) 根据乘法法则，可得( + 5 ) × ［( - 4 ) × ( + 2 )］ = - 40， ［( + 5 ) × ( - 4 )］ × ( + 2 ) = - 40， 所以( + 5 ) ×  ［( - 4 ) × ( + 2 )］=  ［( + 5 ) × ( - 4 )］ × ( + 2). ( 3 ) 因为( + 5 ) × ［( - 4 ) + ( + 2 )］= ( + 5 ) × ( - 2）= - 10， ( + 5 ) × ( - 4 ) + (+ 5 ) × ( + 2 ) = ( - 20 ) + ( + 10 ) = - 10， 所以( + 5 ) × ［( - 4 ) + ( + 2 )］ = ( + 5 ) ×( - 4） + ( + 5) × ( + 2). 一般地，乘法交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，在有理数的运算 中也依然适用 . 乘法交换律 ab = ba； 乘法结合律 ( ab ) c = a ( bc )； 乘法对加法的分配律 a ( b + c ) = ab + ac .   例2 利用运算律做较简便的计算，并用计算器验证计算结果是否正确 . ( 1 ) ( - 0. 36 ) × ( + 11 4 ) × ( -  8 11)； ( 2 ) ( 2 3 - 3 4 - 1 12) × ( - 24 )； ( 3 ) ( - 64 ) × ( - 31 7 ) + ( - 64 ) × 24 7 . 解：( 1 ) ( - 0. 36 ) × ( + 11 4 ) × ( -  8 11) = ( - 0. 36 ) × ( + 11 4 ) × ( -  8 11) = ( - 0. 36 ) × ( - 2 ) = 0. 72； 这里为什么先做分数运算呢？ 数学 七年级 上册 36 ( 2 ) ( 2 3 - 3 4 - 1 12) × ( - 24 ) = 2 3 × ( - 24 ) - 3 4 × ( - 24 ) - 1 12 × ( - 24 ) = - 16 + 18 + 2 = 4； ( 3 ) ( - 64 ) × ( - 31 7 ) + ( - 64 ) × 24 7 = ( - 64 ) × ( - 31 7 ) + 24 7 = ( - 64 ) × ( - 1 ) = 64 . 例3 要制造一个棱长为6 cm 的正方体工件，但由于有加工误差，实际测 量制得的工件的长、宽、高分别为5. 99 cm、5. 97 cm 和6. 03 cm，那么它的体积 比原来设计的大了还是小了？大了或小了多少立方厘米( 精确到0. 01 cm3 )？ 分析：由于有加工误差，实际生产出的工件并不是十分精确的正方体，可 以看作长方体 . 用计算器计算制作出的工件的体积与原工件设计体积相差多 少，再根据差的符号来判断制得的工件是大了还是小了 . 解：5. 99 × 5. 97 × 6. 03 - 6 × 6 × 6 ≈ 215. 635 - 216 = - 0. 365 ≈ - 0. 37 ( cm3 ) . 答：制得的工件体积比原来设计的小了，体积约小了0. 37 cm3 . 在算式中，为什么有的步骤用“=”，有的步骤用“ ≈ ”？ 考 交 思 与 流 用乘法对加法的分配律去掉分母 . 逆用乘法对加法的分配律 . 1. 计算： ( 1 ) ( - 24 ) × ( + 5 )； ( 2 ) ( - 2 7) × ( + 7 4)； 练 习 第一章 有理数 37 ( 3 ) ( - 10. 2 ) × ( - 5 2)； ( 4 ) ( - 97 12) × 0 . 2. 利用运算律进行简便计算： ( 1 ) ( - 3. 5 ) × ( - 3 4) × ( - 8 7 )； ( 2 ) ( -  1 12 - 1 36 + 3 4 - 1 6) × ( - 48 )； ( 3 ) 7. 307 × ( - 14 ) + 7. 307 × ( - 10 ) + 7. 307 × ( + 24 ) . 有理数的除法 1.8 由于除法是乘法的逆运算，也就是已知乘积和一个因数，求另一个因数的 运算，那么，我们是否可以运用有理数乘法的知识，去探求有理数的除法怎样 进行？ 1. 对于除法运算( - 8 ) ÷ ( + 4 )，你能用乘法的知识求出商来吗？如 果能，所得的商应是什么数？ 2. 请你举出更多有理数除法的例子试一试，并用计算器检验你求得 的结果是否正确 . 3. 你能由此归纳出和有理数乘法法则类似的有理数除法法则吗？归 纳出这个法则，再用计算器验证你归纳出的法则是否正确 . 考 交 思 与 流 经过验证，我们可以得到有理数除法法则( 一 )： 同号两数相除得正，异号两数相除得负，并把绝对值相除； 0 不能做除数，0 除以任何不为零的数都得0 .    例1 计算： ( 1 ) ( + 28 ) ÷ ( - 7 )； ( 2 ) ( +  5 12) ÷ ( - 15 4 ) ； ( 3 ) ( - 0. 24 ) ÷ ( - 4 5) ； ( 4 ) 0 ÷ ( - 11 23) . 数学 七年级 上册 38 解：( 1 ) ( + 28 ) ÷ ( - 7 ) = - ( 28 ÷ 7 ) = - 4； ( 2 ) ( +  5 12) ÷ ( - 15 4 ) = - ( 5 12 ÷ 15 4 ) = - ( 5 12 × 4 15) = - 1 9 ； ( 3 ) ( - 0. 24 ) ÷ ( - 4 5) = ( - 0. 24 ) ÷ ( - 0. 8 ) = + ( 0. 24 ÷ 0. 8 ) = + 0. 3； ( 4 ) 0 ÷ ( -  11 23) = 0 . 我们可以把分数线看作除号，除法的法则也可以用来处理分数中分子、分 母和分数本身的符号 . 例2 化简： ( 1 ) - 36 4 ； ( 2 ) - 2 - 6 ； ( 3 ) -  35 - 15 . 解：( 1 ) - 36 4 = - 36 4 = - 9 ； ( 2 ) - 2 - 6 = + ( 2 6) = + 1 3 ； ( 3 ) -  35 - 15 = - ( - 35 15) = + 7 3 . 1. 通过做“例2”中的除法运算，你能概括出在不改变分数的值的 条件下，分数的分子、分母的符号和分数本身的符号的变化规律吗？ 2. 怎样用简洁、准确的语言叙述这个规律？ 考 交 思 与 流 这个规律可以叙述为： 分数的分子、分母和分数本身的符号中同时有两个改变时，分数的值不变 .    利用这个规律，我们可以在不改变分数的值的条件下，把分数的分子、分 母的符号都化为正号 . 第一章 有理数 39 1. 计算： ( 1 ) - 36 ÷ ( - 12 )； ( 2 ) - 9 ÷ ( + 18 )； ( 3 ) ( + 2 3) ÷ ( - 5 2)； ( 4 ) - 6. 5 ÷ ( + 1. 3 )； ( 5 ) ( - 51 ) ÷ ( - 17 ) . 2. 化简： ( 1 ) - 24 6 ； ( 2 ) - 27 - 9 ； ( 3 ) 32 - 40 ； ( 4 ) 0 - 7 . 练 习 在小学学习的除法运算中，我们曾运用过“除以一个不为零的数， 等于乘这个数的倒数”的法则 . 这个法则在有理数的除法运算中仍然可 以运用吗？为什么？ 考 交 思 与 流 前面第37 页的例1 说明，在运用有理数除法法则( 一 ) 的过程中，当商的符 号确定以后，商的绝对值的计算就和小学学习的除法相同，也就是，仍运用了 “除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”这个法则 . 另一方面，如果在有 理数中，我们仍然规定，有理数a ( a ≠ 0 ) 的倒数为1 a ，那么，根据有理数除法法 则( 一 )，则 3，- 7，1 5 ，- 3 8 ，- 0. 25 的倒数就分别是 1 3 ， - 1 7 ，5， - 8 3 ，- 4. 于 是，前面的例1 又有下面的解法： 解：( 1 ) ( + 28 ) ÷ ( - 7 ) = ( + 28 ) × ( - 1 7) = - 4； ( 2 ) ( +  5 12) ÷ ( - 15 4 ) = ( +  5 12) × ( -  4 15) = - 1 9 ； ( 3 ) ( - 0. 24 ) ÷ ( - 4 5) = ( - 0. 24 ) × ( - 5 4)= + 0. 3； ( 4 ) 0 ÷ ( -  11 23) = 0 × ( - 23 11) = 0 . 数学 七年级 上册 40 这说明，“除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”这个法则在有理数 中依然适用 . 于是，我们又得到有理数除法法则( 二 )： 除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数 .    例3 计算： ( 1 ) ( - 2. 4 ) ÷ ( + 5 3) ； ( 2 ) ( -  8 15) ÷ ( - 0. 72 ) . 解：( 1 ) ( - 2. 4 ) ÷ ( + 5 3) = ( - 2. 4 ) × ( + 3 5) = ( - 2. 4 ) × ( + 0. 6 ) = - 1. 44； ( 2 ) ( -  8 15) ÷ ( - 0. 72 ) = ( -  8 15) ÷ ( - 18 25) = ( -  8 15) × ( - 25 18) = + 20 27 . 1. 写出下列各数的倒数： 1， - 1， - 0. 01， - 5 8 ， 0. 15， - 7 2 ， 14 3 ， - 8. 2 . 2. 计算： ( 1 ) 4 7 ÷ ( - 12 )； ( 2 ) - 4 7 ÷ ( -  3 28)； ( 3 ) - 5 ÷ ( - 5 8)； ( 4 ) 0 ÷ ( - 29 80)； ( 5 ) - 1 ÷ ( - 17 10) ； ( 6 ) 1 ÷ ( - 49 4 )； ( 7 ) ( - 9 ) ÷ ( -  3 10)； ( 8 ) ( - 15. 4 ) ÷ ( - 11 4 ) . 练 习 第一章 有理数 41 有理数的乘方 1.9 在生活中你是否遇到过这样的情形，根据实际问题列出的算式是2 个、3 个或3 个以上的相同数的连乘积？ 考 交 思 与 流 在生物学中，有这样的问题：1 个细胞，每过1 h 就可以分裂为2 个同样 的细胞，那么5 h 以后，这个细胞可繁殖成多少个同样的细胞？ 列出的式子为 2 × 2 × 2 × 2 × 2. 《庄子·天下篇》中有惠施（约前370—约前310）说 的一句富有哲理的话：“一尺①之棰，日取其半，万世不 竭 .”那么，10 天之后，这个“一尺之棰”还剩多少？ 列出的式子为 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 . “一尺之棰，日取其半”，如果问10 个月之后还剩多少，10 年之后还 剩多少，那么列出的式子将是什么样子？ 考 交 思 与 流 为了简便表示上面的式子，我们需要一种新的形式来表示这样的运算 . 我 们把 a × a 写为a 2； a × a × a 写为a 3； 2 × 2 × 2 × 2 × 2 写为2 5； 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 写为( 1 2 ) 10 ； …… ① 古代的长度计 量单位，不同时 期的标准不同 . 今1 尺 = 1 3 m . 数学 七年级 上册 42 一般地，几个相同的因数相乘的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂 . 如果有 n 个a 相乘，可以写为a n，也就是 aaa…a = a n， n 个a 其中，a n 叫作a 的n 次方，也叫作a 的n 次幂 . a 叫作幂的底数，a 可以取任 何有理数；n 叫作幂的指数，n 可取任何正整数 . an 幂的指数 幂的底数 幂 特殊的，a 可以看作a 的一次幂，也就是说，a 的指数是1 . 例1 计算： ( 1 ) ( - 3 ) 4； ( 2 ) ( - 5 ) 3； ( 3 ) ( + 1 2) 5 ； ( 4 ) ( - 1 ) 2 301 . 解：( 1 ) ( - 3 ) 4 = ( - 3 ) ( - 3 ) ( - 3 ) ( - 3 ) = + 81； ( 2 ) ( - 5 ) 3 = ( - 5 ) ( - 5 ) ( - 5 ) = - 125； ( 3 ) ( + 1 2) 5 = ( + 1 2) ( + 1 2) ( + 1 2) ( + 1 2) ( + 1 2) = 1 32 ； ( 4 ) ( - 1 )2 301 = ( - 1 ) ( - 1 ) ( - 1 )…( - 1 ) = - 1 . 2 301 个 例2 利用计算器计算： ( 1 ) 23. 125 5 ( 精确到0. 01 )； ( 2 ) ( -  5 13) 4 ( 精确到0. 001 ) . 解：( 1 ) 所以 23. 125 5 ≈ 6 613 155. 08； ( 2 ) 所以 ( -  5 13) 4 ≈ 0. 022 . 23. 125 5 mode 2nd enter enter mode FLOAT 0123456789 6613155. 08 2nd FLOAT 0123456789 0.022 mode enter enter （ （—） n d 13 5 4 mode 第一章 有理数 43 1. 当底数是负数，指数是任意正整数时，幂的符号是确定的吗？如 果是不确定的，在什么条件下才能确定幂的符号？ 2. - a n 和( - a ) n ( n 是任意正整数 ) 的意义相同吗？如果不相同，区 别在哪里？ 3. - a n 和( - a ) n ( n 是任意正整数 ) 的计算结果总是相同的吗？如果 不是，那么，在什么情况下相同，在什么情况下不相同？ 考 交 思 与 流 在做幂的运算时，要注意幂式中括号的意义： ( - a ) n 表示n 个( - a ) 相乘，它的计算结果随n 的取值的不同而不同，即有 ( - a ) n = ( - a ) ( - a ) ( - a ) … ( - a ) = a n - a n n 个 ( n 是正偶数 )， ( n 是正奇数 ) . - a n 表示n 个a 的乘积的相反数，即有 - a n = - ( aaa…a ). n 个 例3 计算： ( 1 ) ( - 3 ) 5； ( 2 ) - 3 4； ( 3 ) ［ - ( - 5 )］ 3； ( 4 ) - ［+ ( - 2 )］ 7 . 解：( 1 ) ( - 3 ) 5 = ( - 3 ) ( - 3 ) ( - 3 ) ( - 3 ) ( - 3 ) = - 243； ( 2 ) - 3 4 = - ( 3 × 3 × 3 × 3 ) = - 81； ( 3 ) ［ - ( - 5 )］ 3 = ( + 5 ) 3 = + 125； ( 4 ) - ［ + ( - 2 )］ 7= - ( - 2 ) 7 = - ( - 128 ) = + 128 . 例4 根据生活状况调查资料显示，2022 年北京市居民人均可支配收入从 2021 年的75 002 元增加到77 415 元 . 如果保持这样的增长率，请用计算器计 算( 精确到1 元 )： ( 1 ) 2024 年北京市居民人均可支配收入约是多少元？ *( 2 ) 2027 年北京市居民人均可支配收入约是多少元？ 分析：解决问题的关键在于要先求出从2021 年到2022 年北京市居民人均 可支配收入的增长率 . 数学 七年级 上册 44 解：( 1 ) 用计算器计算，从2021 年到2022 年北京市居民人均可支配收入 的增长率为 77 415 - 75 002 75 002 × 100% ≈ 3. 22% . 所以，2023 年北京市居民人均可支配收入是 77 415 × ( 1+ 3.22% )； 2024 年北京市居民人均可支配收入是 ［77 415 × ( 1+ 3.22%）］ × ( 1+ 3.22% ) = 77 415 × ( 1+ 3.22% ) 2 ≈ 82 481 ( 元 ) . 答：2024 年北京市居民人均可支配收入约是82 481 元 . *( 2 ) 通过观察我们发现，这些算式在结构上是相似的，我们还注意到，幂 的指数等于所求的年份与2022 年相差的年数 . 因为2027 年与2022 年相差5 年， 所以2027 年北京市居民人均可支配收入是 77 415 × ( 1+ 3.22% ) 5 ≈ 90 708( 元 ) . 答：2027 年北京市居民人均可支配收入约是90 708 元 . 已知一个正数，它的立方数等于它与1 的和 . ( 1 ) 估计一下，这个数应在哪两个连续整数之间； ( 2 ) 用计算器探求这个数的近似数( 精确到0. 001 ) . 索 探 1. 计算： ( 1 ) 3 5； ( 2 ) 2 4； ( 3 ) ( - 2 ) 4； ( 4 ) ( - 1 ) 3； ( 5 ) ( - 15 ) 3； ( 6 ) ( 1 2) 4 ； ( 7 ) ( - 0. 1 ) 3； ( 8 ) ( + 0. 01 ) 2； ( 9 ) - ( 2 3) 4 ； ( 10 ) (- 3 4 ) 4 . 练 习 第一章 有理数 45 有理数的混合运算 1.10 我们已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算，其中加和减称为 第一级运算，乘和除称为第二级运算，乘方称为第三级运算 . 要做好有理数的混 合运算，应按照有理数混合运算的顺序进行，即： ( 1 ) 同级运算中应按从左到右的顺序进行；不同级的运算，按“先乘方， 再乘除，最后加减”的顺序进行 . ( 2 ) 在有括号的情形下，先做括号内的运算，再做括号外的运算；如果有 多层括号，那么由里到外依次进行 . 要做好有理数的混合运算，必须认真观察运算对象，熟练运用运算律和运 算法则，合理安排运算顺序 . 例1 计算：36 × ( - 2- 7 ) - ( - 28 + 14 ) ÷ ( + 7 ) . 分析：本例中的算式可以看作是求积与商的差，括号内则是代数和 . 运算 顺序是先求括号内的代数和，再分别求积和商，最后求差 . 解：36 × ( - 2 - 7 ) - ( - 28 + 14 ) ÷ ( + 7 ) = 36 × ( - 9 ) - ( - 14 ) ÷ ( + 7 ) = - 324 - ( - 2 ) = - 324 + 2 = - 322 . 例2 计算：- 3 4 ÷ ( - 27 ) - ( - 2 ) × ( - 4 3 ) + ( - 2 ) 3 . 分析：先考虑中括号内的运算 . 中括号内是求积与幂的和，先进行幂与积 的运算 . 再把中括号内的运算看作一个整体，原式就可以看作求商与中括号内 2. 计算： ( 1 ) 0. 5 3； ( 2 ) 34 10 ； ( 3 ) - 4 4； ( 4 ) - 1. 5 2； ( 5 ) - 33 4 ； ( 6 ) - ( - 2 ) 4 . 3. 计算： ( 1 ) + ( - 3 ) 5； ( 2 ) - 5 3； ( 3 ) - ( - 5 ) 3； ( 4 ) - ( - 2 ) 6 . 数学 七年级 上册 46 运算结果的差，其中又应先求幂再求商，最后求出差来 . 解：- 3 4 ÷ ( - 27 ) - ( - 2 ) × ( - 4 3) + ( - 2 ) 3 = - 3 4 ÷ ( - 27 ) - ( + 8 3) + ( - 8 ) = - 3 4 ÷ ( - 27 ) - ( - 16 3 ) = - 81 ÷ ( - 27 ) - ( - 16 3 ) = 3 + 16 3 = 25 3 . 计算，并用计算器检验计算结果： ( 1 ) - 21 + 14 ÷ ( - 7 )； ( 2 ) 17 - 8 ÷ ( - 2 ) + 4 × ( - 5 )； ( 3 ) ( - 4 ) × ( - 3 ) - 5 × ( - 7 ) - 2 4； ( 4 ) - 5 3 × (0. 5 - 2 3) ÷ (- 7 6)； ( 5 ) - 3 2 × - 3 2 × (- 2 3) 3 - 2 . 练 习 2018 年12 月7 日，数学家利用改进的互联网梅森（Marin Mersenne，1588—1648）素数大搜索( GIMPS ) 程序，找到了第51 个 梅森素数，这个数字是2 82 589 933 - 1，是一个24 862 048 位数，也是到 2018 年为止人们知道的最大素数 . 你们知道这个数有多大吗？ 经过探究可知，当正整数n 很大时，2 n - 1 的位数约为n × 0. 301，而且 已知型号是A4 的打印纸的纸面大小为297 mm × 210 mm ；录入数码字时， 一个5 号数码字所占面积约为3. 6 mm × 5. 2 mm. 请你算一算，如果每张打印 纸都布满数字，需要用多少张A4 的打印纸才能把这个巨大的素数打印出来 . 索 探 第一章 有理数 47 习 题 1 - 3 巩 固 1. 计算： ( 1 ) ( - 5 ) × ( - 3 )； ( 2 ) ( - 7 3) × ( + 17 14)； ( 3 ) ( + 2. 25 ) × ( -  8 15)； ( 4 ) ( - 2. 5 ) × 0 . 2. 计算： ( 1 ) ( - 9 4) × ( - 2. 3) × ( + 8 9)； ( 2 ) ( 7 9 - 5 12 + 2 - 11 6 ) × ( - 36 )； ( 3 ) - 8 × ( - 15 29) + 12 × ( - 15 29) - 4 × ( - 15 29) . 3. 化简： ( 1 ) - 18 - 3 ； ( 2 ) - 144 12 ； ( 3 ) - 9 72 . 4. 计算： ( 1 ) ( - 60 ) ÷ ( - 1. 5 )； ( 2 ) ( - 0. 1 ) ÷ ( + 100 )； ( 3 ) ( - 25 6 ) ÷ ( + 5. 4 )； ( 4 ) ( - 123 4 ) ÷ ( + 15 ) . 5. 计算： ( 1 )7 3； ( 2 ) ( - 0. 25 ) 2； ( 3 ) - 3 4； ( 4 ) - ( - 1 ) 10； ( 5 ) - 2 4 5 . 6. 计算： ( 1 ) ( - 12 ) ÷ 3 4 ÷ 2 3 ； ( 2 ) - 6 ÷ 1 3 × ( - 3 )； ( 3 ) ( - 378 ) ÷ ( - 7 ) ÷ ( + 9 )； ( 4 ) 24 ÷ ( - 3 4) ÷ ( + 0. 1 )； ( 5 ) ( -  1 21) ÷ ( + 2 7) 3 ÷ ( + 0. 9 )； ( 6 ) ( - 7 3) × ( - 3 4) ÷ ( - 3 2) . 7. 计算： ( 1 ) ( + 3 5) + ( - 2 5) × ( - 3 8)； ( 2 ) ( - 2 3) 4 × 15 4 - 1； ( 3 ) - 42 ÷ - 1 3 ÷ ( - 2 7) ； ( 4 ) ( 1 2 - 2 3) × ( - 5 3) ÷ ( - 7 6)； 数学 七年级 上册 48 ( 5 ) 37 2 - - 15 ÷ ( - 123 4 ) ； ( 6 ) ( - 5 4 - 5 6) ÷ ( - 5 4) - ( + 5 6)  . 提 升 1. 计算： ( 1 ) 1 - 0.2 × - 3 - 4 × ( 18 5 - 5.3) ； ( 2 ) - 22 7 × ( 22 7 - 4 3) × 7 22 ÷ ( - 22 21)； ( 3 ) 0.85 - 12 + 4 × ( 3 - 10) ÷ 5 . 2. 计算： ( 1 ) 2 2 + ( - 2 ) 3 × 5 - ( - 0. 28 ) ÷ ( - 2 ) 2； ( 2 ) ( - 2 ) 3× ( 1 2) 2 - 3 × ( - 5 ) 2 + ( - 5 6) 2 ÷ ( - 1 6) . 数的近似和科学记数法 1.11 1. 数的近似 用计算器寻求一个正数，使这个正数的平方恰好等于2 . 索 探 我们发现，寻求不到这个正数的精确值，下面列出了几组算式： 1. 4 2 = 1. 96 < 2， 1. 5 2 = 2. 25 > 2； 1. 41 2 = 1. 988 1 < 2， 1. 42 2 = 2. 016 4 > 2； 1. 414 2 = 1. 999 396 < 2， 1. 415 2 = 2. 002 225 > 2； …… 我们发现，只能寻求到和这个数越来越接近的1. 4，1. 5；1. 41，1. 42；1. 414， 1. 415；…一组又一组的近似数，我们把和精确值近似的数叫作这个精确值的一个 近似值 . 一般地，为了更加接近精确值，在各种近似程度上的近似值的最后一位都是 由四舍五入得到的 . 最后一个数字在哪一位，就说它是精确到哪一位的近似值 . 例1 分别求 9 7 ， 1 12 和 699 20 000 的近似值( 精确到0. 000 1 ) . 第一章 有理数 49 解：因为9 7 = 1. 285 714 2…，所以精确到0. 000 1 的近似值是1. 285 7，记作 9 7 ≈ 1. 285 7 . 因为1 12 = 0. 083 333 …，所以精确到0. 000 1 的近似值是0. 083 3，记作 1 12 ≈ 0. 083 3 . 因为 699 20 000 = 0. 034 95，所以精确到0. 000 1 的近似值是0. 035 0，记作 699 20 000 ≈ 0. 035 0 . 1. 求出下列各数的近似值( 精确到0. 001 )： ( 1 ) 3. 141 59； ( 2 ) 5 7 ； ( 3 ) 20 13 . 2. 指出下列各近似值分别精确到哪一位： ( 1 ) 2. 780； ( 2 ) 0. 001 2 . 3. 用计算器探求平方数是3 的数精确到0. 000 1 的近似值 . 练 习 2. 科学记数法 在日常生活和科学研究中，我们经常遇到一些很大的数 . 比如： ( 1 ) 地球上的陆地面积约为149 000 000 km2； ( 2 ) 我国第七次人口普查人数约为1 443 000 000 人； ( 3 ) 太阳半径约为696 000 000 m . 写出和读出这些很大的数都很不方便，常用的计算器也只能显示出8 到10 位数字，也很难显示这些很大的数 . 那么，怎样表示这些很大的数呢？我们可以借助科学记数法的形式加以表 示 . 比如： ( 1 ) 149 000 000 可以表示成1. 49 × 10 8； ( 2 ) 1 443 000 000 可以表示成1. 443 × 10 9； ( 3 ) 696 000 000 可以表示成6. 96 × 10 8 . 想一想：能把末位的0 去掉吗？ 数学 七年级 上册 50 观察1. 49×10 8，1. 443×10 9，6. 96×10 8 这三个用科学记数法表示的 数，它们在形式上有什么共同特点？“×”号前面的因数具有什么特点？ “×”号后面的因数具有什么特点？怎样确定以10 为底的幂的指数？ 考 交 思 与 流 可以看出，科学记数法的形式是由两个数的乘积组成的，前一个因数是含 有一位整数的小数，后一个因数是以10 为底的幂，幂的指数是比原数的整数 部分的位数少1 的整数 . 一般地，一个大于10 的数A 可以表示成a × 10 n 的形式，即有 A = a × 10 n， 其中1 a < 10，n 是比A 的整数部分的位数少1 的正整数 . 这种记数方法叫作科学记数法 . 例2 用科学记数法表示下列各数： ( 1 ) 12 500； ( 2 ) 10 000 000 . 解：( 1 )12 500 = 1. 25 × 10 4； ( 2 ) 10 000 000 = 1 × 10 7 . 例3 用科学记数法表示下列实际生活中的数： ( 1 ) 地球与太阳的最远距离约为150 000 000 km . ( 2 ) 领陆是指国家主权管辖下的陆地及其底土，包括大陆和岛屿 . 领陆是 国家领土的基本组成部分，我国领陆总面积约9 600 000 km2. ( 3 ) 我国首次执行火星探测任务的“天问一号”探测器，承载着中国航天 人的探索和追寻 . 截止到2021 年2 月10 日，“天问一号”探测器已累计飞行 202 天 . 请以秒为单位，写出“天问一号”在太空飞行的时间（使用计算器） . 解：( 1 ) 1. 5 × 10 8( km )； ( 2 ) 9. 6 × 10 6( km2 )； ( 3 ) 202 × 24 × 60 × 60 = 17 452 800 = 1. 745 28 × 10 7( s ) . 使用计算器用科学记数法表示数的方法如下： 2nd 17452800 F L O S C I E N G 1. 74528 × 10 7 mode enter enter mode 第一章 有理数 51 用计算器做有理数的混合运算 1.12 1. 用科学记数法表示下列各数： ( 1 ) 13 500； ( 2 ) 329. 506； ( 3 ) 12. 010 101 . 2. 用科学记数法表示下列实际生活中的数： ( 1 ) 青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2 500 000 km2； ( 2 ) 以纳米为单位表示0. 873 m ( 1 m = 1 000 000 000 nm ) . 练 习 科学计算器的记忆系统有保留中间运算结果的作用，在做有理数的混合运 算时，只要依照算式原来的顺序进行输入，就能得到正确的计算结果 . 例1 用计算器计算： ( 1 ) - 5. 2 × ( 2. 97 + 1. 63 ) ÷ ( 6. 22 - 3. 62 )； ( 2 ) 2 × 3. 13 × 4. 2 3 - 8. 2 × 1. 6 ( 精确到0. 001 ) . 解：( 1 ) 所以- 5. 2 × ( 2. 97 + 1. 63 ) ÷ ( 6. 22- 3. 62 ) = - 9. 2 . ( 2 ) 所以2 × 3. 13 × 4. 2 3 - 8. 2 × 1. 6 ≈ 450. 671 . （—） × ÷ ＋   5. 2 2. 97 1. 63 - 9.2 enter （ （ 6. 22 －  3.62 2nd 450. 671 mode enter enter 2 3. 13 4. 2 8. 2 1. 6 3 mode × × × －  FLOAT 0123456789 数学 七年级 上册 52 例2 我们已经知道，光在真空中一年内所走的路程叫作1 光年 . 据测定， 光在真空中的传播速度约为300 000 km/s，请用计算器计算1 光年相当于多少 千米，并用科学记数法表示出来 . 解：300 000 × 365 × 24 × 60 × 60 = 9. 460 8 × 10 12 ( km ) . 答：1 光年相当于9. 460 8 × 10 12 km . 1. 用计算器计算( 结果精确到0. 1 )： ( 1 ) 26. 3 × 102 + 109 ÷ 0. 8； ( 2 ) ( 23. 2 + 4. 2 ) × 3. 42 - 3. 7； ( 3 ) - 5. 2 × ( 2. 6 - 1. 24 ) + 2. 2 × ( - 1. 6 )； ( 4 ) 6. 23 - ( 4. 26 - 3. 19 ) × ( - 5. 2 )； ( 5 ) 372 ÷ 16 + 42 × 12. 6 . 2. 用计算器计算( 结果精确到0. 01 )： ( 1 ) 5. 43 3 -  ［ 27. 9 - 5 × ( 4. 37 - 2. 4 ) 5］； ( 2 ) 8. 2 × ( 3. 17 - 4. 27 ) - 2. 4 3 - 5. 6 × ( - 2. 1 ) 5 + 213 × 3 4 . 3. 新疆是我国棉花的主产区，棉花的品质高，品种多，原棉的纤维长 . 若某 品种的新疆棉花每吨1. 86 万元，请制作一张1 ~ 9 t 的价目表（间隔1 t） . 练 习 习 题 1 - 4 巩 固 1. 按要求对下列各数取近似值： ( 1 ) 0. 004 23 ( 精确到0. 001 )； ( 2 ) 81. 739 ( 精确到个位 ) . 据载，“天问一号”探测器经过漫长的202 天，飞行了约4.75 亿 km，在 2021 年2 月10 日北京时间19 时52 分顺利进入环火轨道 . 你可以根据这些资 料推算出“天问一号” 探测器平均每秒飞行约多少千米吗？（结果精确到0.01） 索 探 第一章 有理数 53 2. 用科学记数法表示下列各数： ( 1 ) 83 500； ( 2 ) 1 044 000 000； ( 3 ) 39 260 000 . 3. 利用计算器计算( 结果精确到0. 1 )： ( 1 ) ( 23. 78 - 19. 42 ) ÷ 12. 6 + 32 × 0. 2； ( 2 ) ( 56. 2 - 34. 7 + 21. 8 ) × ( 7. 22 - 3. 64 × 2. 5 )； ( 3 ) ( 96 × 32% ) ÷ ( 25 × 16% )； ( 4 ) ［54. 6 × 2. 2 - 4. 2 × ( 3. 73 × 2- 6. 2 × 2. 2 )］ × ( - 32 )； ( 5 ) - 7.2 +  4.2 2 × ( 2.7 - 1.73 ) 24 × 0.02 -  ( 3.2 × 1.4 - 45 ) . 4. 某地有4 个种植西红柿的农户，西红柿每千克售价4. 70 元 . 请计算并填表： 户别 甲 乙 丙 丁 售出西红柿/ kg 12 560 8 973 9 600 11 525 金额/ 元 求4 个农户的总收入 . 5. 大米每千克3. 56 元，请制作一张从1 kg 到20 kg 的价目表( 间隔为1 kg ) . 6. 某图书大厦在暑假期间举办“墨染书香”主题系列读书活动 . 其间，将开展 图书促销，读者购买任意图书均可享受8 折优惠 . 请计算并填表： 图书名称 三国演义 平凡的世界 唐诗三百首 青春之歌 标价/ 元 98 32 售价/ 元 33.6 44.8 我国古代数学家对负数的研究 我们的祖先创造了灿烂的数学文化，负数的概念和正负数的运算最 早出现在中国 . 2 000 多年前的战国、秦、汉时代，积累了很多意义重 大的数学成就，其中就包括了负数的引入，后经西汉时期许多学者整理 删补，形成了一部不朽的辉煌巨著《九章算术》 . 《九章算术》采用问题 集的形式，全书共收集了246 个问题，分为九章 . 数学家刘徽 （魏晋时期） 阅读理解 数学文化 数学 七年级 上册 54 约于263 年给《九章算术》作注时，在“方 程”章中明确提出： “今两算得失相反，要令正负以 名之 .” 可见远在1 700 多年前，他已明确 地引入了具有相反意义的量，并提出 “正”和“负”的一对术语，沿用至今 . 《九章算术》给出了正负数的加减法法则： “同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之 . 其异名相除， 同名相益，正无入正之，负无入负之 .” 其前四句为减法法则，后四句为加法法则 . 到了1299 年，数学家朱世杰（13—14 世纪）在他撰写的《算学启蒙》 中又给出了正负数的乘法法则： “同名相乘为正，异名相乘为负 .” 这些史实说明，中国古代数学家早已完成了对正负数及其运算的 研究 . 刘徽注《九章算术》 回顾与整理 本章是“数与代数”领域中“数与式”主题的主要组成部 分 . 在前面已经学习了自然数、正分数以及相关的运算，了 解了具有相反意义的数量，知道负数在情境中表达的具体意 义 . 在此基础上，通过引入负数，将数的范围扩充到有理数， 进而学习了有理数及其概念、数轴、相反数、绝对值、有理数 的运算及其运算律，会用科学记数法表示数 . 有理数及其运算 法则和运算律，也是后续学习其他的数及其运算的基础 . 通过负数、有理数的认识，进一步感悟数是对数量的抽象； 知道绝对值是对数量大小和线段长度的表达；与负数有关的运 算，能借助绝对值转化为正数之间的运算；既能利用数轴表示 有理数，还能借助数轴理解相反数与绝对值的意义、掌握比较 有理数大小的方法，初步体会数形结合、转化的思想方法 . 关注联系 第一章 有理数 55 正数 负数 有理数 数轴 相反数 绝对值 近似数 科 学记数法 有理数的乘方 有理数的加法、减法法则 有理 数的乘法、除法法则 有理数的加法、乘法交换律 有理数 的加法、乘法结合律 有理数乘法对加法的分配律 添括号 法则 去括号法则 聚焦基础 1. 理解负数的意义，会用正数和负数表示具体情境中具 有相反意义的量 . 2. 理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能 比较有理数的大小 . 3. 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的 相反数和绝对值 . 4. 理解乘方的意义，会运用乘方的意义准确进行有理数 的乘方运算 . 5. 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运 算（以三步以内为主）；理解有理数的运算律，能运用运算律 简化运算 . 6. 能运用有理数的运算解决简单问题 . 7. 了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近 似计算，会按照问题的要求进行简单的近似计算 . 8. 会用科学记数法表示数 . 明确要求 1. 你能复述“聚焦基础”中每一个知识的具体内容吗？ 2. 你能举出一个符合某个概念的例子吗？ 深入思考 会进行有理数的运算 . 理解有理数的运算律，能合理运用 运算律简化运算；能运用有理数的运算解决简单问题；在建立 符号意识的同时，提升运算能力 . 数学 七年级 上册 56 复 习 题 巩 固 1. 在学习了有理数的加法之后，有同学画出了计算流程图，如图所示： ( 第1 题 ) 请根据以上信息，回答下列问题： ( 1 ) 图中的①处应填的是 ，②处应填的是 ； ( 2 ) 请你仿照有理数加法的计算流程图，画出有理数乘法的计算流程图 . 3. 你能在教科书的例题或练习中找到符合“明确要求”中 的某一条的示例吗？如果找不到，你能编写一个示例吗？ 4. 你能发现本章所学知识的内在联系，并用画图的方法 显示出来吗？ 第一章 有理数 57 2. 填空： ( 1 ) 如果一个数的相反数是- 5，那么这个数的倒数是 　　　　 . ( 2 ) 绝对值等于2 3 的数是 　　　　 . ( 3 ) 绝对值小于3 的所有整数是 　　　　　　 . ( 4 ) 绝对值最小的整数是 　　　　 ；绝对值最小的负整数是 　　　　 . ( 5 ) 互为相反数的两数之和是 　　 　；互为倒数的两数之积是 　　 　　 . ( 6 ) 如果m 为整数，那么以m 为第二个数的三个连续整数可表示为 　　 　 　　　　 . ( 7 ) 如果m 为任意偶数，那么以m 为第二个数的三个连续偶数可表示为 　 　　　　 . ( 8 ) 相反数与它本身相等的数有 　　　　 个，它们是 　　 　　　　　　 ； 绝对值与它本身相等的数有 　　　　 个，它们是 　　　　　　　 　 ； 倒数与它本身相等的数有 　　　　 个，它们是 　　　　　　　　 　 . ( 9 ) 平方数与它本身相等的数有 　　　　 个，它们是 　　　　　　　 　 ； 立方数与它本身相等的数有 　　　　 个，它们是 　　　　　　　　 . ( 10 ) 　　　　 与它的绝对值互为相反数， 　　　　 与它的绝对值的差为零 . ( 11 ) 　　　　 的平方与它的立方互为相反数， 　　　　　 的倒数与它的平 方相等 . ( 12 ) 将下列各数分别填在相应的大括号中： - 5，+ 3，- 0. 2，1 2 ，0，- 3 5 ，- 11，2. 4，72 . 正数：{ }； 负分数：{ }； 非负整数：{ } . 3. 判断： ( 1 ) 整数和分数统称有理数； ( ) ( 2 ) 正数和负数统称有理数； ( ) ( 3 ) 如果两个有理数相等，那么它们的绝对值也相等； ( ) ( 4 ) 如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个有理数也相等； ( ) ( 5 ) a - 3 是有理数，它的倒数是-  1 a - 3 ； ( ) 数学 七年级 上册 58 ( 6 ) - 6 7 ＜ - 7 9 ； ( ) ( 7 ) - 2 3 ＜ - 3 4 ； ( ) ( 8 ) - 5 6 ＜ - 10 11 ； ( ) ( 9 ) 零是绝对值最小的有理数； ( ) ( 10 ) 零是最小的正整数 . ( ) 4. 在数轴上表示下列各数及它们的相反数，并用“ < ”把它们从小到大排列起来： - 3， | - 2 | ，1 5 ，- | - 5 | ，0 . 5. 填表： 原数a - 2 3 4 3 a 的相反数 0 - 0.3 a 的倒数 1 2 - 1 a 的绝对值 0. 3 a 的平方 4 a 的立方 - 125 6. 比较- 30 31 和- 29 30 的大小 . 7. 计算： ( 1 ) - 23 + 45； ( 2 ) - 41 + ( - 24 )； ( 3 ) - 15 - 27； ( 4 ) - 58- ( - 18 )； ( 5 ) - 7 × 23； ( 6 ) ( - 12 ) × ( - 11 )； ( 7 ) - 320 ÷ 8； ( 8 ) ( - 64 ) ÷ ( - 14 )； ( 9 ) ( - 2 3) 3 ； ( 10 ) ( - 2 × 3 ) 2 . 8. 化简： ( 1 ) - 18 - 6 ； ( 2 ) - 196 14 ； ( 3 ) - 11 121 . 第一章 有理数 59 9. 计算： ( 1 ) - 32 + ( - 47 ) - ( - 25 ) - 24 + 52； ( 2 ) ( - 1 2) + ( 4 3) - 7 4 + ( - 3 )； ( 3 ) ( - 18. 25 ) + 6. 45 - ( - 3. 75 ) - 4. 35； ( 4 ) - 0.5 + 13 4 - 2.75 - ( - 11 2 ) - 0.15 . 10. 计算： ( 1 ) - 2 2 - ( - 3 ) 2 ； ( 2 ) 6 - 5 × ( - 1 2) 3 ； ( 3 ) - 3 - 5 2 ÷ ( - 5 )； ( 4 ) 29 + ( - 5 - 5 2 ÷ 5 )； ( 5 ) - 16 - ( - 3 - 4 2 ÷ 4 )； ( 6 ) - 2 4 - 3 × ( - 1 ) - 3 - ( - 1 ) 4 ； ( 7 ) - 2 3 × ( - 6 ) - ( - 0. 16 ) ÷ ( - 2 ) 3 . 11. 判断下列各式是否成立： ( 1 ) 3 4 = 3 × 4 ； ( 2 ) 3 4 = 4 3 ； ( 3 ) - 5 2 = ( - 5 ) 2； ( 4 ) - ( - 7 ) 3 = 7 3 ； ( 5 ) 2 2 3 = 4 9 ； ( 6 ) ( - 0. 2 ) 4 = 0. 2 4 . 12. 按要求对下列各数取近似值： ( 1 ) 3. 141 5 ( 精确到0. 01 )； ( 2 ) 0. 004 83 ( 精确到0. 001 )； ( 3 ) 539. 625 ( 精确到个位 ) . 13. 用科学记数法表示下列各数： ( 1 ) 610 000； ( 2 ) 811 470 000； ( 3 ) 2 740 000 000 . 14. 存折中有650 元，取出70 元，又存入190 元以后，存折中还应有多少元钱？ 15. 鹫峰峰顶某日凌晨的气温是- 6 ℃，到中午上升了13 ℃，到午夜又下降了 18 ℃，午夜的气温是多少？ 数学 七年级 上册 60 16. 学校组织学生野营拉练，某班12 名学生的个人装备以每人8 kg 为标准， 对装备称重时超过标准的数量记为正数，不足的数量记为负数，记录如下： 2， 3， - 2. 5， 1， - 0. 5， - 2， 2. 5， - 2， 0. 5， - 1， - 1， - 0. 5 . 求这个班12 名学生的个人装备总质量 . 提 升 1. 计算： ( 1 ) - 3 4 ÷ ( - 27 ) - ( - 2 ) × ( - 4 3) + ( - 2 ) 3 ； ( 2 ) - 5 3 × ( 0. 5 - 2 3) ÷ ( - 7 6) ； ( 3 ) - 3 2 × - 32 × ( - 2 3) 3 - 2 ； ( 4 ) - 28 15 - ( - 47 20) × ( - 1 ) 8 - ( - 2 5) ÷ ( + 3 7) ； ( 5 ) - 3 × ( - 0. 1 ) + 4 × 1 5 - 3 × 1 5 - ( - 0.1 ) . 2. ( 1 ) 分别求( - 1 ) 2，( - 1 ) 3，( - 1 ) 4，…，( - 1 ) 19，( - 1 ) 20 的值 . ( 2 ) 请归纳一下，当n 为 数时，( - 1 ) n = 1；当n 为 数时，( - 1 ) n = - 1 . 61 综合与实践 一张纸对折42次，能到达月球吗？ 综合与实践 一张纸对折42 次，能到达月球吗？ 项目背景 我们知道将一张纸反复对折，会越来越厚 . 有人说如果能将一张纸 反复对折42 次，纸的厚度就能到达月球 . 这是真的吗？ 图ZH - 1 如图ZH - 1，将一张打印纸反复对折，小明经过尝试，发现一般只能 对折6 次 . 小明又上网查阅了相关资料 . 据记载：对折纸张次数最多的世 界纪录为13 次 . 实际上，我们无法把一张纸对折42 次并测量它的厚度 . 想一想：怎么利用学过的数学知识来解决这个问题？ 项目实施 我们可以先测量出一张纸的厚度，然后计算对折1 次纸的厚度、对 折2 次纸的厚度，…… 问题1：怎样测量一张打印纸的厚度？ 你可以查阅相关资料，也可以和同学一起讨论，制订测量计划和方 案，确定人员分工，保证测量顺利进行 . 写出使用刻度尺测量出一张纸的厚度的方法 . 问题2：反复对折后，纸的厚度的变化规律是什么？ 第一次对折后，纸的厚度变成原来厚度的几倍？厚度约为多少毫米？ 第二次对折后，纸的厚度变成原来厚度的几倍？厚度约为多少毫米？ 第三次呢？ …… 数学 七年级 上册 62 你发现了什么规律？请在表ZH - 1 中记录你发现的规律． 表ZH - 1 对折1 次 对折2 次 对折3 次 对折4 次 对折5 次 …… 倍数 纸的厚度/mm 问题3：一张纸对折42 次的厚度是多少？ 建立数学模型，根据所学的数学知识，探索反复对折后纸的厚度的 变化规律. 计算一张纸对折42 次的厚度，你可以利用计算器计算( 精确到 0.1 ) . 问题4：地球与月球之间的距离是多少？ 查阅相关资料，了解地球与月球之间的距离是多少千米 . 请说明一张纸对折42 次，它的厚度是否超过地球与月球之间的距离 . 项目总结 请你和同学交流解决问题的方法以及解决问题的过程，并写出项目 报告 . 学习了有理数以后，我们用字母表示数就更加得心应手 . 这将带我们完成 一次由数到式的飞跃 . 本章我们将进一步探索用字母表示现实生活中的各种数量关系，实现由等 式到方程的进化，进而从方程这一全新的角度来解决问题 . 我们首先学习的是一元一次方程 . 其中的“元”源于我国金元时期著名数 学家李冶（1192—1279）所著的《测圆海镜》，该书中用“天元”来表示未知 数 . 有了方程，你会发现，我们在小学遇到的很多实际问题，都有了全新的解 决途径 . 一元一次方程 第二章 数学 七年级 上册 64 一、  等式和方程 用字母表示数 2.1 1. 用字母表示数 我们会用字母表示有理数的加法交换律和结合律 . 加法交换律：a + b = b + a； 加法结合律：( a + b ) + c = a + ( b + c ) . 请你用字母表示有理数的乘法交换律、结合律和乘法对加法的分配 律 . 想一想用字母表示有理数的运算律有什么意义 . 考 交 思 与 流 由于字母可以表示任意的有理数，因此用含有字母的式子表示运算律就比 较简单明了，可以表示运算律的普遍性 . 在数学中，字母和含有字母的式子是主要的研究对象之一，这使我们对数 的研究更具有一般性 . 例1 用字母a，b 表示下面的数量关系： ( 1 ) a 比b 小5； ( 2 ) a，b 互为相反数； ( 3 ) a 与b 的2 倍相等； ( 4 ) a 的3 倍与b 的差等于2； ( 5 ) b 的一半与a 的和等于4 . 解：( 1 ) a = b - 5； ( 2 ) a = - b 或a + b = 0； ( 3 ) a = 2b； ( 4 ) 3a - b = 2； ( 5 ) 1 2 b + a = 4 . 第二章 一元一次方程 65 1. 某种练习册每本5. 6 元，请你根据购买练习册的数量计算应付的金额， 填写表2 - 1，并进行概括： 表2 - 1 购买的数量/ 本 1 2 3 … n 应付的金额/ 元 2. 观察下面的一列数，找出其中的规律并填空： 0，3，8，15，24，…，那么它的第10 个数是 ，第n 个数是 . ( n 为正整数 ) 实践 仔细观察可以发现，第2 题中这一列数的每一个数都是比它的序号的平方 小1 的数 . 所以它的第10 个数是10 2 - 1 = 99，第n 个数是n 2 - 1 . 例2 填空： ( 1 ) 每瓶酸奶3. 5 元，小红买4 瓶酸奶用了 元，小红买x 瓶酸奶用 了 元 . ( 2 ) 在“手拉手”活动中，甲班捐献图书m 本，乙班捐献图书n 本，那么 甲、乙两班一共捐献图书 本 . ( 3 ) 塞罕坝林场的建设者们， 在“黄沙遮天日，飞鸟无栖树” 的荒漠沙地上艰苦奋斗、甘于奉 献，创造了荒原变林海的人间奇 迹，用实际行动铸就了牢记使命、 艰苦创业、绿色发展的塞罕坝精 神 . 塞罕坝成功营造起百万亩人 工林海，创造了世界生态文明建 设史上的典型 . 某中学七年级有 a 名学生，他们每人都有一个心愿，要为塞罕坝林场的发展贡献自己的力量， 于是他们决定将自己压岁钱中的一部分捐献出来用于护林 . 如果平均每人捐献 数学 七年级 上册 66 b 元，那么他们一共捐款 元 . ( 4 ) 如果甲、乙两地相距100 km，汽车每小时行驶v km，那么从甲地到乙 地需要 h . 解：( 1 ) 小红买4 瓶酸奶用了14 元，小红买x 瓶酸奶用了3. 5x 元； ( 2 ) 甲、乙两班一共捐献图书( m + n ) 本； ( 3 ) 他们一共捐款 ab 元； ( 4 ) 从甲地到乙地需要100 v h . 上面问题中得到的5. 6n，n 2 - 1，3. 5x，m + n，ab，100 v ，…这样的式子， 称为代数式 . 单独的一个数或字母也是代数式 . 当a 表示有理数时， - a 一定是负数吗？ 为什么？ 考 交 思 与 流 1. 在跳绳比赛中，小华每分钟跳x 次，小明每分钟比小华多跳12 次，那 么小华3 分钟跳了多少次？小明5 分钟跳了多少次？ 2. 如图，圆的直径为d，正方形的边长为a，且四个顶点都在圆上，求图 中绿色部分的面积( 用字母a 和d 表示 ) . ( 第2 题 ) 3. a 是有理数，那么3 + a 一定大于3 - a 吗？为什么？ 练 习 a 可以表示哪些数？ 第二章 一元一次方程 67 1. 观察下列各式： 2 1 × 2 = 2 1 + 2， 3 2 × 3 = 3 2 + 3， 4 3 × 4 = 4 3 + 4， 5 4 × 5 = 5 4 + 5， …… 想一想：什么样的两个数的积等于这两个数的和？设n 表示正整 数，请你用关于n 的等式表示这个规律 . 2. 观察下面给出的图形：在有公共边的三角形和正方形的边上有 规律地排列一些点 . 请你填空并和同学交流寻找这些规律的体会 . 每边有2 个点， 图中共有 个点 每边有3 个点， 图中共有 个点 每边有4 个点， 图中共有 个点 ( 第2 题 ) 如果每边有n 个点，那么共有 个点( 用含有n 的式 子表示 ) . 索 探 2. 列代数式 在上面讨论的问题中，我们可以用字母来表示数，并且把问题中涉及的数 量关系用代数式来表示，这就是列代数式 . 例3 用代数式表示： ( 1 ) a 的3 倍与b 的和； ( 2 ) a 的一半与b 的相反数的和； ( 3 ) a 与b 两数的平方差； ( 4 ) a 与b 两数和的平方 . 解：( 1 ) 3a + b； ( 2 ) 1 2 a + ( - b )； ( 3 ) a 2 - b 2； ( 4 ) ( a + b ) 2 . 数学 七年级 上册 68 例4 用语言表述下列代数式的意义： ( 1 ) 某型号计算器每台x 元，那么( 15x ) 元表示 ； ( 2 ) 某校合唱队男生和女生共45 人，其中男生有y 人，那么( 45 - y ) 人 表示 . 解：( 1 ) 15 台计算器的价格； ( 2 ) 合唱队中女生的人数 . 代数式3a + b 能表示什么意义？ 考 交 思 与 流 如果a ( 单位：元 )，b ( 单位：元 ) 分别表示签字笔和圆珠笔的单价，那么 3a + b 表示3 支签字笔和1 支圆珠笔的总价格；如果a ( 单位：kg )，b ( 单位： kg ) 分别表示1 袋大米和1 袋面粉的质量，那么3a + b 表示3 袋大米和1 袋面 粉的总质量…… 例5 设甲数为x，乙数为y，用代数式表示： ( 1 ) 甲数与乙数的和的三分之一； ( 2 ) 甲数的3 倍与乙数的倒数的差； ( 3 ) 甲、乙两数积的2 倍； ( 4 ) 甲、乙两数的平方和 . 解：( 1 ) 1 3 ( x + y ) ； ( 2 ) 3x - 1 y ； ( 3 ) 2xy； ( 4 ) x 2 + y 2 . 列代数式时，在表示方法上要注意什么？ 考 交 思 与 流 例6 某公园为绿化环境新栽种了甲、乙两种树木. 新栽种甲种树木x 棵， 比新栽种的乙种树木少21 棵 . 已知购买两种树木的价格分别是甲种树木每棵 100 元，乙种树木每棵80 元 . ( 1 ) 公园购买甲、乙两种树木的总费用是多少？( 用含x 的代数式表示 ) ( 2 ) 如果公园新栽种甲种树木11 棵，那么公园购买甲、乙两种树木的总费 第二章 一元一次方程 69 用是多少？ 解：( 1 ) 设该公园新栽种甲种树木x 棵，那么新栽种乙种树木( x + 21 ) 棵， 因此公园购买甲、乙两种树木的总费用应为［100x + 80 ( x + 21 )］元； ( 2 ) 当x = 11 时，100x + 80 ( x + 21 ) = 100 × 11 + 80 × ( 11 + 21 ) = 3 660. 因此，公园购买甲、乙两种树木的总费用是3 660 元 . 在上面的问题( 2 ) 中，“公园购买甲、乙两种树木的总费用”是怎样 计算出来的？它给你什么启示？ 考 交 思 与 流 由于“公园新栽种甲种树木11 棵”，就是代数式［100x + 80 ( x + 21 )］中 的x = 11，因此只要把x = 11 代替代数式中的x 进行计算，就可以得到购买甲、 乙两种树木的总费用 . 我们发现，用具体的数值代替代数式中的字母时，可以 求出对应的代数式的值 . 一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式原有的运算关系计算得出 的结果，叫作代数式的值 . 例7 求下列代数式的值： ( 1 ) - 2x - 5，其中x = - 2； ( 2 ) 3y + 7 3 ，其中y = - 5 2 . 解：( 1 ) 当x = - 2 时， - 2x - 5 = - 2 × ( - 2 ) - 5 = 4 - 5 = - 1； ( 2 ) 当y = - 5 2 时，3y + 7 3 = 3 × ( - 5 2) + 7 3 = - 15 2 + 7 3 = - 31 6 . 例8 已知x = - 2，y = - 5 2 ，求下列代数式的值： ( 1 ) x 2 - 2xy + y 2； ( 2 ) x 2 + 2xy + y 2 . 解：当x = - 2，y = - 5 2 时， ( 1 ) x 2 - 2xy + y 2 = ( - 2 ) 2 - 2 × ( - 2) × ( - 5 2) + ( - 5 2) 2 = 1 4 ； ( 2 ) x 2 + 2xy + y 2 = ( - 2 ) 2 + 2 × ( - 2) × ( - 5 2) + ( - 5 2) 2 = 81 4 . 数学 七年级 上册 70 1. 小红和小刚相距2 500 m，小红每分钟走x m，小刚比小红每分钟多走 4 m. 如果他们同时相向而行，那么5 min 后小红、小刚相距多少米？ 当x = 70 时，5 min 后他们相距多少米？ 2. 代数式4x - 3y 可以表示什么意义？ 3. 求下列代数式的值： ( 1 ) - 3 + 7x，其中x = - 11 3 ； ( 2 ) 6 5 x - 1，其中x = 11 4 ； ( 3 ) 2x 2 + 3x + 1，其中x = - 2； ( 4 ) b 2 - 2ab，其中a = 2，b = - 1 . 4. 用计算器计算下列代数式的值： ( 1 ) - 2. 78x + 3. 54，其中x = 1. 23； ( 2 ) 1. 33 ( 2. 1x - 7. 15 )，其中x = - 5. 19 . 练 习 整式 2.2 用代数式表示下面的数量关系： ( 1 ) 长方体钢坯的底面是边长为a m 的正方形，钢坯的高是b m，9 根这样 的钢坯的体积是 m 3 ； ( 2 ) 某生活小区需要圆形污水井盖17 个，如果每个井盖的价格是x 元，那 么购买这些井盖需要 元； ( 3 ) 张明家的小轿车每百公里耗油x L. 他父亲开车外出前把油箱的油加到 了60 L，开车行驶了450 km 后，又在路旁的加油站加了y L 油，此时轿车的 油箱中有 L 油 . ( 注：每百公里耗油量是汽车技术指标的专用名词， 即汽车每行驶100 km 消耗的汽油的量 ) 实践 第二章 一元一次方程 71 观察上面得到的代数式，前两个式子有什 么特点？与第三个式子有什么区别？ 考 交 思 与 流 9a 2b，17x 都是由数与字母的积组成的代数式 . 像这样，由数与字母的积 组成的代数式叫作单项式 . 单独的一个数或一个字母也是单项式 . 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数 . 一个单项式中所有字母的指数之和叫作这个单项式的次数 . 60 - 4. 5x + y 是由单项式60， - 4. 5 x，y 的和组成的代数式 . 像这样，由 几个单项式的和组成的代数式叫作多项式 . 每个单项式叫作多项式的项 . 其 中不含有字母的项叫作常数项 . 一个多项式含有几项，就叫几项式，多项式中， 次数最高项的次数，叫作这个多项式的次数 . 单项式和多项式统称为整式 . 例1 判断下列代数式是单项式还是多项式 . 如果是单项式，请指出它的 系数和次数；如果是多项式，请指出它是几次几项式 . ( 1 ) 3x； ( 2 ) - 4x 2 + 2x - 5； ( 3 ) - 7 4 a 3b； ( 4 ) - 3a + y 3 . 解：( 1 ) 3x 是单项式，它的系数是3，次数是1； ( 2 ) - 4x 2 + 2x - 5 是多项式，是二次三项式； ( 3 ) - 7 4 a 3b 是单项式，它的系数是- 7 4 ，次数是4； ( 4 ) - 3a + y 3 是多项式，是三次二项式 . 请你观察下面各组单项式，说出它们的特点： ( 1 ) - 2ab，8 3 ab，4ba； ( 2 ) - 7x 2y，- 11 3 yx 2，- 3 2 yx 2，- 7yx 2 . 考 交 思 与 流 它们各自含有哪些运算？ 单项式中含有哪些字母？ 它们的指数各是什么？ 数学 七年级 上册 72 不难看出，第( 1 ) 组中的单项式都只含有字母a 和b，并且a 的指数都是1， b 的指数都是1；它们的系数不相同 . 第( 2 ) 组中的单项式都只含有字母x 和y，并且x 的指数都是2，y 的指数 都是1；它们的系数有的相同，有的不同 . 像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫作同类 项 . 几个常数项也是同类项 . 如图2 - 1，形状为长方体的钢 锭，一面是边长为a m 的正方形， 钢锭的长是b m. 如果第一垛有6根， 第二垛有10 根，第三垛有15 根， 那么怎样表示这批钢锭的总体积？ 图2 - 1 考 交 思 与 流 我们可以得到两种不同的表示方法： 6a 2b + 10a 2b + 15a 2b 或( 6 + 10 + 15 ) a 2b = 31a 2b . 显然，6a 2b + 10a 2b + 15a 2b = ( 6 + 10 + 15 ) a 2b = 31a 2b . 正像生活中同一类物品可以放在一起一样，几个同类项也可以合并在一 起 . 实际上，把几个同类项合并在一起时，可以逆用乘法对加法的分配律： 6a 2b + 10a 2b + 15a 2b = ( 6 + 10 + 15 ) a 2b = 31a 2b， 这样我们就把6a 2b + 10a 2b + 15a 2b 合并为31a 2b 了 . 像这样，把几个同类项合并成一项，叫作合并同类项 . 合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母 的指数不变 .    例2 合并下列各式的同类项： ( 1 ) 5y - 2 3 y - 2y； ( 2 ) - x + 4x - 1 2 x； ( 3 ) 4xy - 3xy + 1 3 xy； 第二章 一元一次方程 73 ( 4 ) - 5ab + 3ab - ab . 解：( 1 ) 5y - 2 3 y - 2y   = ( 5 - 2 3 - 2 ) y   = 7 3 y； ( 2 ) - x + 4x - 1 2 x   = ( - 1 + 4 - 1 2 ) x   = 5 2 x ； ( 3 ) 4xy - 3xy + 1 3 xy   = ( 4 - 3 + 1 3 ) xy   = 4 3 xy； ( 4 ) - 5ab + 3ab - ab   = ( - 5 + 3 - 1 ) ab   = - 3ab . 例3 先合并同类项，再求代数式的值： ( 1 ) 2a2 + 6a + 3a - a2 + 3，其中a = - 1； ( 2 ) 2a + 3b - b - 5a，其中a = 1，b = 2 . 解：( 1 ) 2a2 + 6a + 3a - a2 + 3   = ( 2 - 1 ) a2 + ( 6 + 3 ) a + 3   = a2 + 9a + 3 . 当a = - 1 时，原式 = a2 + 9a + 3 = ( - 1 )2 + 9 × ( - 1 ) + 3= - 5 . ( 2 ) 2a + 3b - b - 5a   = ( 2 - 5 ) a + ( 3 - 1 ) b   = - 3a + 2b . 当a = 1，b = 2 时，原式 = - 3a + 2b = - 3 × 1 + 2 × 2 = 1 . 合并同类项实际上 是做什么运算？ 数学 七年级 上册 74 1. 指出下列各题中的两个单项式是不是同类项 . 如果是，请合并同类项； 如果不是，请说明理由 . ( 1 ) 3a 与 - a； ( 2 ) - 2b 与 - 1 2 b； ( 3 ) 5xy 与 - 2yx； ( 4 ) 4x 2y 与 - xy 2 . 2. 先合并同类项，再求代数式的值： ( 1 ) - x + 3x - 5x，其中x = - 2 3 ； ( 2 ) 3 - 2x + y 2 - x，其中x = - 3，y = 2； ( 3 ) 6x 2 - 5y + 3y - 4x 2 - 1，其中x = 1，y = 2； ( 4 ) 4x 2y - xy 2 - x 2y - 2xy 2，其中x = - 1，y = - 2 . 练 习 等式与方程 2.3 我们看到过下面的式子： 5 + ( - 2 ) = 3，m ( a + b ) = ma + mb， S = 1 2 ( a + b ) h，4 + x = 7，x + 5 = y - 4 . 请你观察这五个式子，它们有什么共同点和不同点？ 考 交 思 与 流 这五个式子都是用等号连接的式子 . 像这样用“ = ”来表示相等关系的式 子，叫作等式 . 在等式中，等号的左、右两边的式子，分别叫作这个等式的左 边、右边 . 其中，4 + x = 7，x + 5 = y - 4 是含有未知数的等式 . 含有未知数的等式 叫作方程 . 5 + ( - 2 ) = 3 是一个算式，m ( a + b ) = ma + mb 表示的是乘法对加 法的分配律，S = 1 2 ( a + b ) h 表示的是梯形的面积公式 . 当我们把m ( a + b ) = 第二章 一元一次方程 75 ma + mb，S = 1 2 ( a + b ) h 中的某些字母看作未知数时，它们也叫作方程 . 1. 口答 ：下列各式是不是等式？如果是等式，请你指出它的左边和右边 各是什么 . ( 1 ) 5 - 7 = - 2； ( 2 ) 2 3 x - 5 = 6 + x； ( 3 ) a + b - c； ( 4 ) - 3x + 2y - 5； ( 5 ) - 7 4 = 2a - 5； ( 6 ) 2x 2 + x = 1 . 2. 下列各式中哪些是方程？如果是方程，请你指出未知数是什么 . ( 1 ) 5 - 12 = - 7； ( 2 ) -  2 13 x + 7 = x - 3； ( 3 ) - 3x + y = 4 - 6x； ( 4 ) 7y - 2 ( y - 3 ) = 5 . 练 习 在- 3，1，- 1 2 ，2，0，- 3 4 这六个数中，x 取哪个数时能使方程 4x + 5 = 3 的左边和右边的值相等？ 索 探 经过检验发现，只有把x = - 1 2 代入方程的左边时，4x + 5 = 4 × ( - 1 2) + 5 = 3， 方程的右边也等于3，所以当x = - 1 2 时，方程4x + 5 = 3 两边的值相等，我们 就说x = - 1 2 是方程4x + 5 = 3 的解 . 一般地，能够使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫作方程的解 . 只 含有一个未知数的方程的解，也叫作方程的根 . 求得方程的解的过程，叫作解方程 . 数学 七年级 上册 76 怎样检验一个数是不是给定的方程的解？ 考 交 思 与 流 例1 检验下列各数是不是方程2x - 7 = 5x + 1 的解： ( 1 ) x = - 2； ( 2 ) x = - 8 3 . 解：( 1 ) 把x = - 2 分别代入方程的左、右两边，得 左边 = 2 × ( - 2 ) - 7 = - 4 - 7 = - 11， 右边 = 5 × ( - 2 ) + 1 = - 10 + 1 = - 9 . 因为左边≠右边， 所以x = - 2 不是方程2x - 7 = 5x + 1 的解 . ( 2 ) 把x = - 8 3 分别代入方程的左、右两边，得 左边 = 2 × ( - 8 3) - 7 = - 16 3 - 7 = - 37 3 ， 右边 = 5 × ( - 8 3) + 1 = - 40 3 + 1 = - 37 3 . 因为左边= 右边， 所以x = - 8 3 是方程2x - 7 = 5x + 1 的解 . 例2 用计算器检验下列各数是不是方程5. 4 ( 2x + 8. 56 ) = 5. 94 的解： ( 1 ) x = - 4. 16； ( 2 ) x = - 3. 73 . 解：( 1 ) 把x = - 4. 16 分别代入方程的左、右两边，得 左边 = 5. 4 × ［2 × ( - 4. 16 ) + 8. 56］ = 1. 296， 右边 = 5. 94 . 因为左边≠右边， 所以x = - 4. 16 不是方程5. 4 ( 2x + 8. 56 ) = 5. 94 的解 . ( 2 ) 把x = - 3. 73 分别代入方程的左、右两边，得 左边 = 5. 4 × ［2 × ( - 3. 73 ) + 8. 56］ = 5. 94， 右边 = 5. 94 . 注意检验过程的表述方法 . 第二章 一元一次方程 77 因为左边 = 右边， 所以x = - 3. 73 是方程5. 4 ( 2x + 8. 56 ) = 5. 94 的解 . 1. 填空： ( 1 ) 在x = - 2，x = 4 7 中， 是方程3x - 5 = - 4x - 1 的解； ( 2 ) 在y = - 1，y = - 1 4 中， 是方程5y + 3 = 3 2 - y 的解 . 2. 检验括号内的数是不是它前面的方程的解： ( 1 ) - 2x + 5 = x - 7 ( x = 4 )； ( 2 ) 2t - ( 1 - t ) = t + 5 ( t = - 3 )； ( 3 ) 2. 4 ( 3x - 1. 58 ) = x - 7. 14 ( x = - 0. 54 ) ( 利用计算器检验 ) . 练 习 等式的基本性质 2.4 我们在测量物体质量的天平两边放入质量相同 的砝码，并把这种状态想象成一个等式成立的形式， 利用它来研究等式具有什么性质 . ( 1 ) 在天平的一边再放入( 或取出 ) 一些砝码， 会发生什么现象？怎样做就能使天平恢复平衡？这 说明等式应具有什么性质？ ( 2 ) 使天平一边的砝码数量扩大到原来的几倍 ( 或缩小到原来的几分之一 )，会发生什么现象？怎 样做就能使天平恢复平衡？这又说明等式应具有什 么性质？ 实践 数学 七年级 上册 78 通过上面的实践研究，我们可以归纳出等式具有以下两个基本性质： 1. 等式两边都加上( 或减去 ) 同一个数或整式，所得的等式仍然成立 .    2. 等式两边都乘( 或除以 ) 同一个数( 除数不能是0 )，所得的等式仍然成立 .    我们可以用数学式子表示等式的基本性质： 1. 如果a = b，c 表示任意的数或整式，那么a + c = b + c( 或a - c = b - c ) . 2. 如果a = b，c 表示任意的数，那么ac = bc；或如果a = b，c ≠ 0，那么a c = b c . 例 用适当的数或式子填空，使得到的结果仍是等式，并说明是根据等式 的哪条基本性质以及怎样变形的 . ( 1 ) 如果3x = 7 - 5x，那么3x + = 7； ( 2 ) 如果- 2 3 x = 1，那么x = . 解：( 1 ) 3x + 5x = 7 . 根据等式的基本性质1，在等式的两边都加上5x . ( 2 ) x = - 3 2 . 根据等式的基本性质2，在等式的两边都乘- 3 2 . 1. 根据等式的基本性质填空： ( 1 ) 如果a = 3，那么a + 5 = 3 ； ( 2 ) 如果a = 2，那么a + ( - 6 ) = 2 ； ( 3 ) 如果x = - 2，那么6x = - 2 ； ( 4 ) 如果3x = 6，那么x = 6 . 2. 请指出下面各题中的等式是怎样变形的，其变形的根据是什么 . ( 1 ) 如果a - 5 = b - 5，那么a = b； ( 2 ) 如果x + 5 = 0，那么x = - 5； ( 3 ) 如果 - 8x = 4，那么x = - 1 2 ； ( 4 ) 如果1 3 x = - 2，那么x = - 6 . 练 习 观察等式发生了怎样的变化 . 第二章 一元一次方程 79 习 题 2 - 1 巩 固 1. 填空，用代数式表示下面的数量关系： ( 1 ) 正方形的边长为a，那么它的周长是 ，面积是 ； ( 2 ) 圆的半径是r，那么它的周长是 ，面积是 ； ( 3 ) 飞机每小时飞行x km，飞行了t h，飞机共飞行了 km； ( 4 ) 某中学现有学生2n 人，平均每2 人拥有1 台图形计算器，若分给数学 实验室m 台，则学校还有 台图形计算器 . 2. 图书馆原有现代文学书a 本，古典文学书2a 本，科技书x 本 . 学校举办读 书节时，同学们向图书馆捐献了以上三类图书共5x 本，那么图书馆现有这 三类图书共多少本？ 3. 合并下列各式中的同类项： ( 1 ) x + 3x - 9x + 4 5 x； ( 2 ) - ab + 2ba - 5ab； ( 3 ) 4 - x + 4x - 7； ( 4 ) x - 5x + 5 3 x - 1 2 . 4. 求下列代数式的值： ( 1 ) 2x - 5x + 4 7 x，其中x = - 1 3 ； ( 2 ) 3ab - 5ba，其中a = 2 3 ，b = - 1 4 ； ( 3 ) 当x = - 1 时，求代数式x 2 - 2x + 1 与( x - 1 ) 2 的值，并进行比较 . 再换 几个数试一试，从中可以得到什么猜想？ 5. 设某数为x，根据下列条件列出方程： ( 1 ) 某数的7 3 比5 小 - 2； ( 2 ) 某数的3 倍与7 的差等于5； ( 3 ) 某数的相反数比2 大8； ( 4 ) 某数的24% 与36 的和等于 - 12 . 6. a + b 一定比a - b 大吗？为什么？ 数学 七年级 上册 80 7. 根据下列条件，列出代数式： ( 1 ) 七年级( 1 ) 班有45 人，七年级( 2 ) 班有42 人 . 在“手拉手”活动中， 他们每人捐献图书x 本，那么两班各捐献了多少本图书？ ( 2 ) 甲、乙两名同学做中国结，甲每小时做10 个，乙每小时比甲少做4 个， 做了x h，他们两人各做了多少个中国结？甲比乙多做多少个中国结？ 8. 某公司2 月份的营业额是m 元，如果3 月份的营业额比2 月份营业额的3 倍少400 元，那么该公司3 月份的营业额是多少？ 9. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小2，如果个位上的数字是x， 那么这个两位数是多少？ 10. 检验括号内的哪个数是它前面的方程的解： ( 1 ) - 3x - 5 = 4x + 9 ( x = 4，x = - 2 )； ( 2 ) ( x + 1 ) ( x - 3 ) = 5 ( x = 4，x = - 2 )； ( 3 ) 3x + 4 2 = x - 1( x = - 5，x = - 6 )； ( 4 ) - 6. 74 + 2. 43x = x - 4. 223 2 ( x = 2. 23，x = 1. 76 ) ( 利用计算器检验) . 提 升 1. 如果x - 2y = 3，那么代数式3 ( x - 2y ) 2 - 4 ( x - 2y ) - 14 的值是多少？ 2. 观察下列各式： 1 2 + 1 = 1 × 2， 2 2 + 2 = 2 × 3， 3 2 + 3 = 3 × 4， …… 请你把上述式子中的规律用关于n ( n 为正整数 ) 的等式表示出来 . 3. 把边长为1 的正方形纸片对折n 次后，所得的图形面积是多少？ 4. 下图是工地料场堆放的水泥杆的横截面图，一共有4 层，数一数码放了多少 根水泥杆 . 这种码放的方式有规律吗？按这种码放形式，如果有5 层时，一 共有多少根水泥杆？如果码放了n 层时，一共有多少根水泥杆？ ( 第4 题 ) 第二章 一元一次方程 81 5. 在下面的日历中，任意圈出一竖列上相邻的三个数 . 如果设中间的一个数为 a，那么这三个数的和是多少( 用含有a 的代数式表示 )？ 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 6. 如果3x my 3 与 - 2y nx 2 是同类项，那么代数式m - 2n 的值是多少？ 7. 如果a - b = 3，ab = - 1，求代数式3ab - a + b - 2 的值 . 8. 请你任意写出解为x = - 2 的两个方程 . 9. 下面的说法正确吗？请你判断并说明理由： ( 1 ) x = 2 是方程x 2 - 4 = 0 的解； ( 2 ) 方程( x - 2 ) ( x + 3 ) = 0 的解是x = 2 . * 问题1 n 边形有多少条对角线？ 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线 . 请你动手画一画，并填写表2 - 2 ： 表2 - 2 多边形 图形 对角线的条数 三边形 四边形 六边形 … … n 边形 通过填表，想一想多边形对角线的条数与多边形的边数有什么关 系，怎样用含有n 的代数式表示多边形对角线的条数 . 十五边形有多少条对角线？二十五边形呢？ 问题2 已知一个正方形，它的边长为a . 试用割补的方法得到 一个新的图形，使它的面积保持不变，但周长增加 . 请你用代数式表 示图形变化n 次后得到的新图形的周长 . 索 探 数学 七年级 上册 82 表2 - 3 剪拼的次数 新长方形的周长 1 2 3 4 … … n 图2 - 2 如图2-2，正方形的边长为1，请你按 下面的方法进行剪拼，并填表2 - 3 ： 先沿正方形的对边中点连线剪开，然后 拼接为一个长方形；再沿这个长方形的短边 中点连线剪开，拼接为一个新的长方形…… 如此继续下去 . 实践 你能用计算机画出上面图形连续变化的过程吗？你还能用其他方法得到满 足要求的图形吗？ 二、  一元一次方程和它的解法 一元一次方程 2.5 前面我们学习了方程的概念，请你观察下面的方程： -  4x = 1 2 ，3 - 2y = 6，- 7 4 + 3x = 1 ，2t + 9 = 11t - 1 ，… . 这些方程有什么共同点？ 考 交 思 与 流 我们不难发现，这些方程都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1， 像这样的方程，叫作一元一次方程 . 第二章 一元一次方程 83 在一元一次方程中，mx = n ( m ≠ 0 ) ( 其中x 是未知数 ) 的方程是一类最简单的 一元一次方程，我们把形如mx = n ( m ≠ 0 ) ( 其中x 是未知数 ) 的方程称为最简方程 . 怎样求最简方程mx = n ( m ≠ 0 ) ( 其中x 是未知数 ) 的解？ 考 交 思 与 流 我们知道，方程的解可以表示为形如x = a ( a 为已知数 ) 的形式，对于最 简方程mx = n ( m ≠ 0 ) ( 其中x 是未知数 )，只需根据等式的基本性质2，在方程 的两边都除以m，就可以求出它的解 x = n m . 例1 解下列方程： ( 1 ) 3x = - 5； ( 2 ) - 6x = 21； ( 3 ) 2 5 x = - 3； ( 4 ) - 3 2 x = - 6 . 解：( 1 ) 根据等式的基本性质2，在方程的两边都除以3，使未知数x 的系 数化为1，得 x = - 5 3 . 所以方程3x = - 5 的解是x = - 5 3 . ( 2 ) 根据等式的基本性质2，在方程的两边都除以 - 6，使未知数x 的系数 化为1，得 x = - 7 2 . 所以方程 - 6x = 21 的解是x = - 7 2 . ( 3 ) 根据等式的基本性质2，在方程的两边都除以2 5 ，使未知数x 的系数 化为1，得 x = - 15 2 . 所以方程2 5 x = - 3 的解是x = - 15 2 . 数学 七年级 上册 84 ( 4 ) 根据等式的基本性质2，在方程的两边都除以- 3 2 ，使未知数x 的系 数化为1，得 x = 4 . 所以方程- 3 2 x = - 6 的解是x = 4 . 解最简方程mx = n ( m ≠ 0 ) ( 其中x 是未知数 ) 时的主要思路是什么？ 解题的关键步骤是什么？ 考 交 思 与 流 解方程mx = n ( m ≠ 0 ) ( 其中x 是未知数 ) 时的主要思路是：把未知数的系数 化为1，把它变形为x = a 的形式 . 解题的关键步骤是：根据等式的基本性质2， 在方程的两边都除以未知数的系数( 或两边都乘未知数的系数的倒数 )，使未知 数的系数化为1，得到方程mx = n ( m ≠ 0 ) ( 其中x 是未知数 ) 的解x = n m . 条件 “m ≠ 0”使得“方程两边都除以未知数的系数”的步骤总可以进行，最简方程 mx = n ( m ≠ 0 ) ( 其中x 是未知数 ) 一定有唯一解 . 1. 口答：下列方程中，哪些是一元一次方程？ ( 1 ) 6 - x 2 = 5x； ( 2 ) - 7x = 3； ( 3 ) - 1 4 x= - 3 - y； ( 4 ) 3 2 x 3 = 2x - 2 7 . 2. 解下列方程： ( 1 ) 8x = - 6； ( 2 ) - 2x = - 4； ( 3 ) - 1 4 x= 3； ( 4 ) 3 2 x = - 2 7 ； ( 5 ) - 5x = 0； ( 6 ) 3. 5x = - 14 . 练 习 现在我们来研究一般的一元一次方程的解法 . 第二章 一元一次方程 85 例如，怎样求出方程6x + 2 = 4x - 5 的解？ 方程6x + 2 = 4x - 5 与最简方程mx = n ( m ≠ 0 ) ( 其中x 是未知数 ) 的 形式有什么不同？怎样利用等式的基本性质，把方程6x + 2 = 4x - 5 转化 为最简方程mx = n ( m ≠ 0 ) ( 其中x 是未知数 ) 的形式？ 考 交 思 与 流 我们只需要利用等式的基本性质，在方程6 x + 2 = 4 x - 5 的左、右两边 都加上- 2，化简，得6 x = 4 x - 7；再在方程6 x = 4 x - 7 的左、右两边都加 上- 4 x，化简，得2 x = - 7. 这样就把方程6x + 2 = 4 x - 5 转化为最简方程 2 x = - 7 了 . 在将方程6 x + 2 = 4 x - 5 转化为最简方程2 x = - 7 的过程中，能否得 到解方程的一个重要变形？ 考 交 思 与 流 把方程6 x = 4 x - 7 和方程6 x + 2 = 4 x - 5 进行比较，应用等式的基本性质 1 对方程进行变形的过程可以表示如下： 6x   + 2   = 4x - 5， 6x = 4x - 5   - 2 . 这个变形可以看作是把方程左边的+ 2 改变符号 4 4 4 4 后，从方程的左边移到方 程的右边 . 同样，把方程6 x - 4 x = - 7 和方程6 x = 4 x - 7 进行比较，方程变形的过程 可以表示如下： 6x  - 4x  = - 7 . 6x =   4x   - 7， + 2 从方程左边移到方程 右边发生了什么变化？ 4x 从方程右边移到方程左 边发生了什么变化？ 数学 七年级 上册 86 这个变形可以看作是把方程右边的4x 改变符号 4 4 4 4 后，从方程的右边移到方 程的左边 . 这种变形叫作移项 . 移项是解方程时经常用到的一种重要变形 . 因此，求方程6x + 2 = 4x - 5 的解的过程可以这样写： 解：移项，得 6x - 4x = - 5 - 2 . 合并同类项，得 2x = - 7 . 系数化为1，得 x = - 7 2 . 所以，方程6x + 2 = 4x - 5 的解是x = - 7 2 . 1. 口答解下列方程： ( 1 ) x - 5 = 2； ( 2 ) - 2x = 1 - 3x； ( 3 ) 3x = 2x - 7； ( 4 ) - x + 3 = 1 . 2. 下列移项变形是否正确？如果不正确，请你指出错在哪里，并写出正 确的变形过程和结果 . ( 1 ) 由2x - 5 = 7x，得2x - 7x = - 5； ( 2 ) 由3 - 8x = 5，得8x = 5 - 3； ( 3 ) 由4x - 1 = 2x + 6，得4x - 2x = 6 - 1； ( 4 ) 由1 3 x - 9 = 4 3 x + 3，得1 3 x + 4 3 x = 9 + 3 . 3. 解下列方程： ( 1 ) 9 - 2x = 7 - 5x； ( 2 ) 5y + 1 = 3y - 8； ( 3 ) 5 - 3m = m - 14； ( 4 ) 15t + 9 = 8t - 5 . 练 习 第二章 一元一次方程 87 观察例2 给出的方程与我们已经会解的方程在形式上有什么不同 . 怎 样把它们转化为已经会解的方程进行求解？ 考 交 思 与 流 例2 解下列方程： ( 1 ) 5x - ( 3x - 7 ) = 2 + ( 3 - 2x )； ( 2 ) 7y + ( 3y - 5 ) = y - 2( 7 - 3y ) . 分析：方程中含有括号，利用运算法则和运算律可以去掉括号，转化为已 经会解的方程 . 解：( 1 ) 去括号，得 5x - 3x + 7 = 2 + 3 - 2x . 移项，得 5x - 3x + 2x = 2 + 3 - 7 . 合并同类项，得 4x = - 2 . 系数化为1，得 x = - 1 2 . 所以 x = - 1 2 是原方程的解 . ( 2 ) 去括号，得 7y + 3y - 5 = y - 14 + 6y . 移项，合并同类项，得 3y = - 9 . 系数化为1，得 y = - 3 . 所以y = - 3 是原方程的解 . 上面的解法中用到了去括号法则 . 想一想：去括号时应注意哪些问题？ 考 交 思 与 流 数学 七年级 上册 88 1. 把下列各式中的括号去掉： ( 1 ) a + ( b + c )； ( 2 ) a - ( b + c )； ( 3 ) m + ( p - q )； ( 4 ) k - ( m - n ) . 2. 把下列各式中的括号去掉，并化简： ( 1 ) 2x + ( 4x + 7 )； ( 2 ) 5x + ( 8x - 3 )； ( 3 ) -2y + 4( 2y + 1 )； ( 4 ) 2m - 2( 5 - 3m ) . 3. 解方程： ( 1 ) 3( 1 + x ) - 2x = 4； ( 2 ) 2( 1 - x ) + 1 = 4( x + 2 )； ( 3 ) 1 - ( y + 3 ) = 3( y - 2 )； ( 4 ) 3m - 2( m - 1 ) = 2 - 3( 4 - m )． 练 习 观察例3 给出的方程与前面我们学习过的方程有什么不同 . 怎样把它们 转化为我们已经会解的方程？ 考 交 思 与 流 例3 解方程： ( 1 ) 3x - 5 2 = 1 - 2x 4 ； ( 2 ) x + 2 3 - 2x - 1 4 = 1 . 分析：给出的方程含有分母，利用等式的基本性质2，在方程两边都乘各 分母的最小公倍数，就可以去掉分母，转化为我们已经会解的方程 . 解：( 1 ) 去分母，方程两边都乘4，得 3x - 5 2 × 4 = 1 - 2x 4 × 4 . 怎样去掉分母？方程中各分 母的最小公倍数是多少？ 第二章 一元一次方程 89 2( 3x - 5 ) = 1 - 2x . 去括号，得 6x - 10 = 1 - 2x . 移项，合并同类项，得 8x = 11 . 系数化为1，得 x = 11 8 . 所以x = 11 8 是原方程的解 . ( 2 ) 去分母，方程两边都乘12，得 ( x + 2 3 - 2x - 1 4 ) × 12 = 1 × 12 . 4( x + 2 ) - 3( 2x - 1 ) = 12 . 去括号，得 4x + 8 - 6x + 3 = 12 . 移项，合并同类项，得 - 2x = 1 . 系数化为1，得 x = - 1 2 . 所以x = - 1 2 是原方程的解 . 1. 去分母的主要依据是什么？方程两边所乘的数是怎样确定的？ 2. 去分母时，应该注意哪些问题？ 考 交 思 与 流 一般地，对于给出的一元一次方程，我们可以通过去分母、去括号、移 项、合并同类项等变形，化为ax + b = 0 ( a ≠ 0 ) 的形式，我们把它叫作一元一 次方程的一般形式 . 数学 七年级 上册 90 解一元一次方程的主要思路和主要步骤是什么？每步的依据是什么？ 考 交 思 与 流 解一元一次方程的主要思路是：利用等式的基本性质对方程进行变形，逐 步把方程转化为最简方程，然后求解 . 解一元一次方程的主要步骤     去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 .   针对具体情况，选择 恰当的顺序进行计算 .    例4 解方程：2x - 0. 3 0. 5 - x + 0. 4 0. 3 = 1 ． 分析：可以先运用分数的基本性质，把分母化为整数，然后再求解 . 解：原方程化为20x - 3 5 - 10x + 4 3 = 1 . 去分母，方程两边都乘15，得 怎样把分母化为整数？ 1. 下面是小阳同学解方程的过程 . 他的解答是否正确？如果不正确，请 你指出错误的原因，并加以改正 . 解方程：2 - 3x 3 - x - 5 2 = 1. 解：去分母、去括号，得 4 - 6x - 3x - 5 = 1 . 移项、合并同类项，得 - 9x = 2 . 系数化为1，得 x = - 2 9 . 2. 解下列方程： ( 1 ) 2x + 5 2 + x - 7 3 = 0； ( 2 ) x - 6 4 = 2x - 3 3 ； ( 3 ) 3x - 7 2 + x + 1 3 = 1； ( 4 ) x + 2 5 - 2 = 2x + 1 3 . 练 习 第二章 一元一次方程 91 15 × ( 20x - 3 5 - 10x + 4 3 ) = 15 × 1 . 3 ( 20x - 3 ) - 5 ( 10x + 4 ) = 15 . 去括号，得 60x - 9 - 50x - 20 = 15 . 移项，合并同类项，得 10x = 44 . 系数化为1，得 x = 4. 4 . 所以x = 4. 4 是原方程的解 . 例5 在梯形面积公式S = 1 2 ( a + b ) h 中，已知 S = 221， a = 15，h = 17， 求b 的值 . 解：把S = 221，a = 15，h = 17 代入公式中，得 221 = 1 2 × ( 15 + b ) × 17 . 解这个关于b 的方程，得       b = 11 . 所以b 的值为11 . 在实际问题中，我们可能遇到数值比较复杂的方程，可以借助计算器进行 运算． 例6 利用计算器解方程： 27. 5 ( 35. 6 - 31. 4x ) = 201. 85 . 解：两边都除以27. 5，得 35. 6 - 31. 4x = 7. 34 . 移项，得 - 31. 4x = 7. 34 - 35. 6 . 合并同类项，得 - 31. 4x = - 28. 26 . 系数化为1，得 x = 0. 9． 所以 x = 0. 9 是原方程的解． 如果先进行公式变形， 如何求b 的值？ 数学 七年级 上册 92 1. 解方程：x + 3 0. 3 + x - 0. 7 0. 2 = 3x 2 + 12 5 . 2. 在等式y = kx + b 中，已知当x = - 3，b = 2 时，y = - 10，求k 的值 . 3. 利用计算器解下列方程： ( 1 ) 45. 9 - 22 ( 36. 7x - 25. 6 ) = 43. 92； ( 2 ) 25. 378 + 41. 5 ( 12. 58x + 55. 1 ) = 2 103. 2 . 练 习 含有绝对值的方程 绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程 . 如：|  x | = 3， | 4x - 5 | = 1，| 2a - 1 | = | 5 + 7a | ，…都是含有绝对值的方程 . 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程|   x | = 3 和| 4x - 5 | = 1 为例来探究解法 . 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，这样就可以将含有绝对 值的方程转化为一元一次方程进行求解 . 探究结论： 1. 解方程| x | = 3 . 解：根据绝对值的意义，得x = 3 或x = - 3 . 2. 解方程| 4x - 5 | = 1 . 分析：把4x - 5 看作一个整体 . 解：根据绝对值的意义，得 4x - 5 = 1 或4x - 5 = - 1 . 分别解这两个方程，得 x = 3 2 或x = 1 . 探究学习 第二章 一元一次方程 93 * 解下列含有绝对值的方程： ( 1 ) | x | - 2 = 0 ； ( 2 ) | 2 x + 5 | = 1； ( 3 ) | x - 4 3  | = 1 2 ； ( 4 ) | 3x - 2 5  | = 3 . 习 题 2 - 2 巩 固 1. 下面的变形正确吗？如果不正确，请你改正 . ( 1 ) 如果a + b = 3，那么a = 3 - b ； ( 2 ) 如果3a + 1 = 3，那么3a = 3 + 1 ； ( 3 ) 如果2a = - 3，那么a = 3 2 ； ( 4 ) 如果- 1 2 a = 4，那么a = - 2 . 2. 解下列方程： ( 1 ) 2x - 1 = 3； ( 2 ) 4 - 3x = 1 + 5x； ( 3 ) 3x - 1 = 5x + 2； ( 4 ) 3x - 5 = x - 2 . 3. 设某数为x，根据下列条件列出方程并求出这个数 . ( 1 ) 某数的5 4 比9 小 - 2； ( 2 ) 某数的2 倍与- 5 的差等于6 与这个数的和； ( 3 ) 某数的相反数与7 的和等于- 3； ( 4 ) 某数的54% 与72 的差等于- 18 . 4. 解下列方程： ( 1 ) 3 ( 2x - 1 ) = 5x + 2； ( 2 ) 4 - 3x = 1 + 5 ( x - 3 )； ( 3 ) 3 ( 2x + 5 ) - 2 ( x - 2 ) = 7； ( 4 ) 2 ( x - 1 ) - 3 ( x + 2 ) = x . 数学 七年级 上册 94 5. 解下列方程： ( 1 ) 2x - 7 3 + x + 1 2 = 1； ( 2 ) x - 2 5 = x + 3 2 - 1； ( 3 ) 2x - 1 3 - 3x - 5 4 = 2； ( 4 ) 4x - 3 5 - 2x - 1 4 = x . 6. 下面解方程的过程是否正确？如果不正确，请你指出错误的原因，并加以改正 . 解方程：5 - x 3 - 2x - 3 2 = 1 . 解：去分母，得 10 - 2x - 6x - 3 = 1 . 移项，得 - 8x = 8 . 系数化为1，得 x = - 1 . 所以x = - 1 是原方程的解 . 7. 解下列方程： ( 1 ) 2 3 x - 1 2( x - 3 2) = 1； ( 2 ) 3 4 ( x + 2 ) - 2 3( 2 - 3 4 x) = x .    8. 利用计算器解下列方程： ( 1 ) 103. 5 + 47. 5 ( 25. 3x - 46. 11 ) = - 21. 99 - 12. 8x； ( 2 ) 159. 478 - 11. 3 ( 12x - 25. 14 ) = 17. 2x - 549. 64 . 提 升 1. ( 1 ) 当x 等于什么数时，代数式 2 - 3x - 1 5 的值与2x - 3 的值相等？ ( 2 ) 当x 等于什么数时，代数式2 ( 2x - 3 ) 5 + 2 的值与3x - 1 的值相等？ 2. 已知x，y 为有理数，且满足| 2x + 3 | + ( y - 4 ) 2 = 0，试求x，y 的值 . 3. 解下列方程： ( 1 ) | 2x - 3 5 |  = 1 2  x - 1； ( 2 )  | x - 1 3 |  -  x = 1 . * 第二章 一元一次方程 95 三、  一元一次方程的应用 列方程解决实际问题 2.6 在行程问题中常常涉及几种量？这些量之间具有怎样的等量关系？ 考 交 思 与 流 问题：从北京驾驶汽车到雄安的路程是128 km，需要行驶1.6 h. 为促进京 津冀协同发展，北京至雄安的京雄城际铁路全线开通，全长91 km. 如果京雄城 际铁路列车的平均速度比汽车的平均速度每小时快30 km，那么京雄城际铁路 列车平均每小时行驶多少千米？京雄城际铁路列车从北京到雄安大约需要多少 时间？（结果保留整数） 如果设京雄城际铁路列车平均每小时行驶x km，那么，汽车平均每小时行 驶 ( x - 30 ) km . 汽车行驶的路程是128 km，所需时间是1. 6 h . 根据问题的意义，我们可以列出下面的方程： 1. 6 × ( x - 30 ) = 128，x - 30 = 128 1. 6 ，… . 解其中任何一个方程，可以得到 x = 110 . 91 ÷ 110 ≈ 0. 83 ( h ) ≈ 50 ( min ) . 因此京雄城际铁路列车平均每小时行驶110 km，从北京到雄安大约需要 50 min . 运用列一元一次方程的方法，可以解决一些生活中的实际问题 . 例1 甲班有45 人，乙班有39 人 . 现在需要从甲、乙两班各抽调一些同学 去参加歌咏比赛 . 如果从甲班抽调的人数比乙班多1 人，那么甲班剩余人数恰好 是乙班剩余人数的2 倍 . 请问从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛？ 数学 七年级 上册 96 分析：在问题中有这样的等量关系： ( 1 ) 甲班抽调的人数比乙班抽调的人数多1 人； ( 2 ) 抽调后甲班剩余人数是乙班剩余人数的2 倍 . 如果设从甲班抽调的人数为x 人，那么从乙班抽调的人数为( x - 1 ) 人， 我们列表2 - 4 来分析问题中的数量关系： 表2 - 4 抽调的人数/ 人 抽调前的人数/ 人 抽调后剩余的 人数/ 人 甲、乙两班剩余人数 之间的关系 甲班 x 45 45 - x 抽调后甲班剩余人数是 乙班剩余人数的2 倍 乙班 x - 1 39 39 - ( x - 1 ) 解：设从甲班抽调了x 人，那么从乙班抽调了( x - 1 ) 人 . 根据题意列方 程，得 45 - x = 2 ［39 - ( x - 1 )］ . 解这个方程，得 x = 35 . x - 1 = 35 - 1 = 34 . 答：从甲班抽调了35 人参加歌咏比赛，从乙班抽调了34 人参加歌咏比赛 . 例2 为了美化校园，实验中学和远大中学的同学积极参加绿化工程的劳 动 . 两校共绿化了4 415 m 2 的土地，远大中学绿化面积比实验中学绿化面积的 2 倍少13 m 2 . 这两所中学分别绿化了多少平方米的土地？ 分析：问题中有如下等量关系： （1）实验中学绿化面积+ 远大中学绿化面积= 4 415 m 2； （2）远大中学绿化面积比实验中学绿化面积的2 倍少13 m 2 . 如果设实验中学绿化面积为x m 2，那么远大中学绿化面积可以用( 2x - 13 )m 2 表示 . 解：设实验中学绿化了x m 2，那么远大中学绿化了( 2x - 13 ) m 2 . 根据题意列方程，得 x + ( 2x - 13 ) = 4 415 . 解这个方程，得 第二章 一元一次方程 97 x = 1 476 . 4 415 - 1 476 = 2 939 . 答：实验中学绿化了1 476 m 2 的土地，远大中学绿化了2 939 m 2 的土地 . 思考：如果设远大中学绿化面积为x m 2，那么实验中学绿化面积用含x 的 代数式如何表示，所列方程是怎样的？请你解出后与上面的结果对比一下 . 例3 北京是水资源严重短缺的城市 . 为节约水资源，促进城市可持续发 展，自2014 年5 月1 日起，北京市居民用水实行阶梯水价，阶梯水价以自然 年（每年1 月1 日起至12 月31 日止）为周期核算 . 北京市居民自来水阶梯水 价收费标准如表2 - 5： 表2 - 5 阶梯 户年用水量/m 3 水价/ ( 元/m 3 ) 其中 水费/ 元 水资源费/ 元污水处理费/ 元 第一阶梯 0 ~ 180 ( 含 ) 5 2.07 1.57 1.36 第二阶梯 181 ~ 260 ( 含 ) 7 4.07 第三阶梯 260 以上 9 6.07 ( 1 ) 小明家2021 年使用自来水160 m 3，缴费金额是 . ( 2 ) 小明家2022 年全年缴费金额是935 元，小明家2022 年共使用自来水 多少立方米？ ( 3 ) 为响应国家节水政策，小明家积极开展节水行动，2023 年比2022 年 节约用水50 m 3，则小明家2023 年比2022 年缴费金额少多少元？ 分析：阶梯收费问题首先要确定所给数据属于哪个阶梯；其次，涉及第二 阶梯甚至第三阶梯问题时，注意要分段计算并累加 . （1）中使用自来水160 m 3，从表格中可看出属于第一阶梯用水量，收费标 准为5 元/m 3，利用等量关系：总缴费金额= 单价× 用水量，则可以求出此时 的缴费金额 . （2）中缴费金额是935 元，大于900 元（180 × 5），且小于1 460 元（180 × 5 + 80 × 7），显然是有一部分水费采用了第二阶梯水价 . 如果设2022 年共使 用自来水x m 3，则可以表示出采用第二阶梯水价用水量为（x - 180）m 3，利用 等量关系：第一阶梯用水缴费金额+ 第二阶梯用水缴费金额= 935，则可求出 2022 年使用的自来水量 . 数学 七年级 上册 98 1. 3 月12 日是植树节，七年级有170 名学生去参加义务植树活动 . 如果 男生平均每人一天能挖树坑3 个，女生平均每人一天能种树7 棵，这 样正好使每个树坑都能种上一棵树 . 请问该年级参加植树的男、女学 生各有多少人？ 2. 某地的出租车收费标准是：起步价13 元( 行驶距离不超过3 km 都需 付13 元 )，超过3 km 以后，每增加1 km 加收2. 3 元( 不足1 km 按 1 km 计算 )， 每次乘车还需付燃油附加费1 元 . 某人乘这种出租车下 车时付车费和燃油附加费共计37 元，那么他搭乘出租车最多走了多少 千米？( 计算车费不考虑等候时间 ) 3. 某河流的上游有一片土地，为改善流域环境，把一部分牧场改为林 场 . 改变后，林场和牧场共有162 公顷，牧场面积是林场面积的 20%. 请问将部分牧场改为林场后，林场的面积是多少公顷？ 4. 光明中学现有校舍面积20 000 m 2 . 为改善办学条件，计划拆除部分 旧校舍，建造新校舍，使新校舍面积是拆除的旧校舍面积的3 倍还多 1 000 m 2 . 这样，计划完成后的校舍总面积可比现有校舍面积增加 20%. 已知拆除旧校舍每平方米需费用80 元，建造新校舍每平方米需 费用700 元，请问完成该计划需要多少费用？ 练 习 解：( 1 ) 800 元 . ( 2 ) 由于935 元大于900 元且小于1 460 元，所以小明家部分用水采用了 第二阶梯收费标准 . 设小明家一年共使用自来水x m 3，其中采用第二阶梯的用水量为( x - 180 ) m 3， 根据题意列方程，得 180 × 5 + ( x - 180 ) × 7 = 935 . 解这个方程，得 x = 185 . ( 3 ) 935 - ( 185 - 50 ) × 5 = 260 ( 元 ) . 答：小明家2022 年共使用自来水185 m 3，2023 年比2022 年缴费金额少 260 元 . 第二章 一元一次方程 99 我们常到商场购买东西，在那里可以发现 一些能利用方程来解决的问题 . 为了促进销售，许多商场都在搞促销活 动，部分商品打折销售 . 小明和同学一起来到 一家商场进行社会调查，在对某些商品的销售 情况进行了解后，他们收集了下面的问题 . 例4 某商场把某款双肩背的书包按进价提高50%标价，然后再按8折( 标 价的80% ) 出售，这样商场每卖出一个书包就可盈利24 元 . 请问这款书包的 进价是多少元？如果按6 折出售，商场还盈利吗？为什么？ 分析：这个问题中涉及了哪些数量关系？请你按下面的思路进行分析 . 如果每个书包进价为x 元，那么每个书包标价应为 元；打8 折后 每个书包的实际售价为 元 . 在这个问题中的等量关系是： 实际售价 - 进价 = 利润 . 解：设这款书包的进价是x 元，根据题意列方程，得 ( 1 + 50% ) x × 80% - x = 24 . 解这个方程，得 x = 120 . 如果按6 折出售，那么120 ( 1 + 50% ) × 60% = 108 < 120，所以按6 折出售 时商场不盈利 . 答：这款书包的进价是120 元，按6 折出售时，商场不盈利 . 通过以上的研究，思考一下利用一元一次方程解决实际问题的一般 步骤 . 考 交 思 与 流 实际问题 数学问题 分析问题所涉及的 等量关系 验证解的合理性， 并对解作出解释 求出方程的解 列出方程 数学 七年级 上册 100 列方程解决实际问题的主要步骤 认真读题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系； 设出未知数，用含有未知数的代数式表示题目中涉及的数量关系； 根据等量关系列出方程； 求出所列方程的解； 检验方程的解是否符合问题的实际意义； 写出答案 .    1. 某商场搞促销活动，把一种标价33 元的商品打9 折出售( 即优惠 10% )，仍可获取利润10%，那么这种商品的进价是多少？ 2. 为落实“珍惜和合理利用每一寸土地”的基本国策，某地区计划经过 5 年改造20 km 2 的土地 . 在实际施工中，如果平均每年比原计划多开 发1 km 2，那么预计可提前多少年完成开发任务？ 练 习 “整存整取”是“定期存款”这种储蓄方式中常见的储蓄方法，它主要涉 及本金、存期、利率、利息总额、本利和等几个有关的数量 . 这些数量之间的 基本关系式是： 利息总额 = 本金 × 利率 × 存期， 本利和 = 本金 + 利息总额 . 例如，某银行“整存整取”的5 年期定期储蓄的年利率是2. 65%. 如果小 红存入5 年期定期储蓄的本金是1 000 元，那么可以直接进行计算得到小红应 得的本利和为： 1 000 + 1 000 × 2. 65% × 5 = 1 132. 5 ( 元 ) . 例5 某银行规定：人民币“整存整取”1 年期定期储蓄的年利率为1. 65%， 3 年期定期储蓄的年利率为2. 60%．某储户到银行存入“整存整取”1 年期定 期储蓄和3 年期定期储蓄共10 万元人民币，两种储蓄各自到期后，他共得利 息4 110 元人民币．求该储户办理的1 年期定期储蓄存入的人民币为多少万元． 分析：( 1 ) 在储蓄中本金、存期、利率、利息总额之间具有下面的等量 关系： 第二章 一元一次方程 101 利息总额= 本金 × 利率 × 存期 . ( 2 ) 利用“1 年期定期储蓄存款利息+ 3 年期定期储蓄存款利息= 应得利 息”，列方程求解． 解：设该储户办理的1 年期定期储蓄存入的人民币为x 万元，那么他办理 的3 年期定期储蓄存入的人民币为( 10 - x ) 万元． 根据题意列方程，得 1. 65% x + 3 × 2. 60% ( 10 - x ) = 0. 411 . 解这个方程，得 x = 6． 答：该储户办理的1 年期定期储蓄存入的人民币为6 万元． 某储户将一笔人民币存入某银行，先办理“整存整取”的2 年期定期 储蓄，到期后，将本金和利息全部取出，然后将它们再存入银行，又 办理“整存整取”的2 年期定期储蓄．已知该储户第二个2 年期定期 储蓄到期后所得的利息为4 160 元，银行规定的人民币“整存整取” 2 年期定期储蓄的年利率为2. 00%．现在假定在这段时间里银行利率保持 不变，求该储户在办理第一个2 年期定期储蓄时存入的这笔人民币有多 少元． 练 习 例6 一项工程，甲队单独施工15 天完成，乙队单独施工9 天完成 . 现在 由甲队先工作3 天，剩下的由甲、乙两队合作，还需几天才能完成任务？ 分析：本题涉及工作总量、工作效率、工作时间三个量之间的关系 . 它们之间的等量关系是： 工作总量 = 工作效率 × 工作时间； 工作效率= . 工作总量 工作时间 一般情况下，当工作总量没有明确给出时，常常把工作总量设为1 . 本题中的等量关系是： 甲队3 天的工作量 + 甲、乙两队合作若干天的工作量 = 工作总量 . 解：设还需x 天才能完成任务 . 根据题意列方程，得 数学 七年级 上册 102 3 15 + (  1 15 + 1 9) x = 1 . 解这个方程，得 x = 4. 5 . 答：剩下的由甲、乙两队合作，还需要4. 5 天才能完成任务 . 1. 甲、乙两人共同加工840 个零件，预计8 天完成 . 如果甲每天比乙多 加工5 个零件，那么，甲、乙两人每天各加工多少个零件？ 2. 打印一份文件，甲单独完成要4 h，乙单独完成要6 h. 如果甲、乙两人 合作完成，需要多少小时？ 练 习 例7 某中学的学生以4 km/h 的速度步行去某地参加社会公益活动 . 出发 30 min 后，学校派一名通信员骑自行车以12 km/h 的速度去追赶学生队伍 . 请 问通信员用多少时间可以追上队伍？ 分析：根据题意，画出示意图： 学校 追及地点 通信员追赶队伍所走的路程 学生步行30 min所走的路程 通信员出发后队伍 行走的路程 得到如下的等量关系：学生步行30 min 所走的路程+ 通信员出发后队伍行 走的路程= 通信员追赶队伍所走的路程 . 解：设通信员用x h 可以追上队伍，根据题意列方程，得 4x + 4 × 1 2 = 12x . 解这个方程，得 x = 1 4 . 1 4 h = 15 min . 答：通信员用15 min 可以追上队伍 . 列方程时要注意统一单位 . 第二章 一元一次方程 103 1. 要铺设一条650 m 长的地下管道，由甲、乙两个工程队从两头相向施 工 . 甲队每天铺设48 m，乙队每天比甲队多铺设22 m，而乙队比甲队 晚开工1 天 . 问乙队开工多少天后，两队完成铺路任务的80%？ 2. A，B 两地相距15 km，甲每小时行走5 km，乙每小时行走4 km. 甲、乙两 人分别从A，B 两地出发，背向而行，请问几小时后，两人相距60 千米？ 3. 京张高铁是2022 年北京冬奥工程的重要交通配套设施，是京津冀协同发 展的重要基础工程，也是世界上第一条采用北斗卫星导航系统并实现自动 驾驶等功能的智能高铁，堪称“最聪明的高铁” . 从北京北站到张家口的 某班普通动车组列车需要80 min，另一班高速动车组列车只需56 min . 已 知该高速动车组列车的平均速度比该班普通动车组列车的平均速度每小时 快57 km，求该班普通动车组列车的平均速度. 练 习 有趣的古代数学问题举例 . 鸡兔同笼问题是我国古代 著名趣题，最早出现在《孙 子算经》中 . 例8 鸡兔同笼，共有头26，足72，问鸡、兔各几何 . 分析：本题中有这样的等量关系，它们分别涉及这两种动物的头和足 . （1）头的关系：鸡的头数+ 兔的头数= 26，即鸡的只数+ 兔的只数= 26； （2）足的关系：鸡的足数+ 兔的足数= 72，这里要注意的是不同动物的足 数是不一样的 . 解法1：设笼中有x 只鸡，那么兔子有( 26 - x ) 只 . 根据题意列方程，得 2x + 4( 26 - x ) = 72 . 解这个方程，得                         x = 16 . 26 - x = 26 - 16 = 10 . 答：笼中有16 只鸡，10 只兔子 . 数学 七年级 上册 104 解法2：根据题意，得 26 × 4 - 72 = 32 . 32 ÷ ( 4 - 2 ) = 16 . 26 - 16 = 10 . 答：笼中有16 只鸡，10 只兔子 . 请你比较一下这两种解法有什么不同，并与同学们交流你的看法 . 我们还可以用计算机来解决这类问题 . 计算程序如下： 怎样选择初始时输 入的x 的值？ 考 交 思 与 流 如果2x + 4 ( 26 - x ) = 72 输入整数x 停止 如果2x + 4 ( 26 - x ) > 72，那么输入x + 1； 如果2x + 4 ( 26 - x ) < 72，那么输入x - 1 No Yes 1. 今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四 . 问人数、物价各几何 . ( 几个人一起去购买物品，如果每人出8 钱 ①，那么剩余3 钱；如果每 人出7 钱，那么差4 钱 . 问有多少人，物品的价格是多少 ) 2. 今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百 . 今并买一顷 ②，价钱 一万 . 问善田、恶田各几何 . ( 用300 钱可以买1 亩良田，用500 钱可以买 7 亩薄田 . 现在用10 000 钱买了1 顷 土地，问良田、薄田各买了多少亩 ) ③ 练 习 ① “钱”为古代货币单位 . ②1 顷= 100 亩 . ③以上两题摘自《九章算术》 . 习 题 2 - 3 巩 固 1. 如图，小区规划在一个长56 m、宽26 m 的长方形场地上修建三条同样宽的 甬道，使其中两条与AB 平行，另一条与BC 平行，场地的其余部分种草， 并使每一块草坪的面积相等 . 如果甬道的宽度为2 m，求每一块草坪的面积. 第二章 一元一次方程 105 B C D A ( 第1 题 ) 2. 某校七年级组织部分师生开展综合实践活动 . 已知参加活动的教师和学生 共70 人，其中学生人数比教师人数的3 倍还多6 人 . 问参加活动的教师和 学生各有多少人？ 3. 某商品的进价为800 元，出售时标价为1 200 元 . 后来由于该商品积压，商 店准备打折出售，但要保持5% 的利润率，应该打几折？ 4. 一桶油连桶重11 kg，把油倒出3 4 后，剩余的油和桶共重3. 5 kg，请问这桶 油重多少千克，桶重多少千克？ 5. 如果两个角的角度之和为146°，它们的差为82°，求这两个角分别等于多少度 . 6. 某人从甲地到乙地，如果每小时走15 km，就能比预计时间早24 min，如果 每小时走12 km，就要晚24 min，问：甲、乙两地相距多少千米？ 7. 一块长方形菜地，长40 m，宽35 m，种植黄瓜和西红柿 . 如果种植黄瓜的 面积比种植西红柿的面积大80%，那么种植黄瓜、西红柿各占多少平方米？ 8. 印刷厂把装订一批图书的任务平均分给甲、乙两个小组 . 当甲组完成自己 任务的5 6 时，乙组刚完成3 4 ，这时甲组比乙组多装订126 本 . 这批图书一共 有多少本？ 9. 工厂计划交给王刚和李明生产一批零件的任务，王刚单独做要用9 h，李明 单独做要用12 h . 两人合作了8 h，结果比计划多生产200 个 . 请问计划生 产多少个零件？ 10. 一列和谐号列车和一列复兴号列车同时从相距1 200 km 的两城市相对开 出，2 h 后两车还相距100 km ( 还未曾相遇 ) . 已知复兴号的速度比和谐号 的速度快3 4 ，求和谐号、复兴号的速度 . 数学 七年级 上册 106 11. 某地要进行一项工程的改造，甲工程队单独施工需要8 个月完成，乙工程 队单独施工需要12 个月完成 . 现在由于工程的原因，由甲工程队先单独施 工1 个月，乙工程队接着单独施工3 个月后，剩下的部分由甲、乙两个工 程队合作完成，这样完成这项工程一共用了多长时间？ 提 升 1. 学校购买了若干台计算机，如果每个计算机教室安装40 台，还少15 台；如果 每个计算机教室安装35 台，还多20 台 . 问：学校购买了多少台计算机？学校 有多少个计算机教室？请你为学校设计一个方案，使购买的计算机都安装上 . 2. 某新华书店原有图书若干本，第一天售出总数的1 2 ，第二天运进900 本图 书，第三天售出现有图书的1 3 还多40 本，结果书店还有800 本图书 . 请问 书店原有图书多少本？ 3. 某企业生产一种产品，每件成本价是400 元，销售价为520 元，本季度销售 了m 件 . 为进一步扩大市场，该企业决定在降价销售的同时降低生产的成 本 . 经过市场调研，预测下季度如果这种产品每件销售价降低5%，销售量 将提高20% . 要使销售利润( 销售利润 = 销售价 - 成本价 ) 保持不变，该产 品每件的成本价应该降低多少元？ “方程”名称的来源 “方程”名称出自《九章算术》的第八章“方程”章 . 不过，古今“方 程”一词的含义很不相同 . 现在，含有未知数的等式叫方程 . 古时候， “方程” 是一些由数字排列成的长方形方阵，大体上相当于现在的一次方程组 . “方程”章的第1 题是一个被许多数学家经常引用的题目 . 用现代 语言叙述就是： 今有上等禾3 捆，中等禾2 捆，下等禾1 捆， 打下来的粮食共39 斗①；上等禾2 捆，中等禾 3 捆，下等禾1 捆，打下来的粮食共34 斗；上 阅读理解 数学文化 ① 古代容积单位， 1 斗= 10 升 . 第二章 一元一次方程 107 等禾1 捆，中等禾2 捆，下等禾3 捆，打下来的粮食共26 斗 . 问上、中、 下三等禾每捆各打多少斗粮食？ 如果用现代的数学方法来解决，就是设上、中、下三等禾每捆打 下来的粮食分别是x 斗，y 斗，z 斗，根据题意列方程组，得 3x + 2y + z = 39， 2x + 3y + z = 34， x + 2y + 3z = 26 . 古时候，未知数不是用字母表示的，是用“算筹”来代替的 . “算筹” 是用竹子或动物骨骼等制成的同样长短的小棍 . 可以把它们排成各种 形状用来代表数，如图2 - 3 . 纵式 横式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 图2 - 3 解决上面的问题时，首先用算筹把各个未知数的系数和常数项排 列成方阵，如图2 - 4 . 上等禾 中等禾 下等禾 打下来 的粮食 图2 - 4 从上往下看，右列相当于方程组中的第一个方 程，中列相当于第二个方程，左列相当于第三个方 程 . 把算筹这样摆好后，就叫作列了一个“方程” . 在《九章算术》中已将上面用算筹数码布列的 方程换作用阿拉伯数码布列（如图2 - 5），这就是“方 程”这一名称的来源 . 特别需要指出的是，针对这 图2 - 5 1 2 3 26 2 3 1 34 3 2 1 39 数学 七年级 上册 108 个问题，《九章算术》还给出了一种相当规范的解法，从而非常完美地 解决了这个问题 . 这种解法在《九章算术》中称之为方程术， 《九章算术》 方程术是世界数学史上的一颗明珠 . 本章是“数与代数”领域中“方程与不等式”主题的主要 组成部分 . 在学习了用字母表示数、列代数式等知识的基础 上，学习了一元一次方程的知识，研究了一元一次方程的概 念、解法以及应用，进一步形成抽象能力、推理能力和模型观 念，发展运算能力和应用意识 . “方程”揭示了数学中最基本的数量关系（相等关系），是 一类应用广泛的数学工具 . 一元一次方程是最基本的代数方 程，是初中数学的重要内容，它有丰富的实际背景，从在实际 问题中引出一元一次方程的有关知识，到建立一元一次方程模 型解决实际问题，可以更深入地体会数学与现实世界的联系， 发展模型观念和应用意识 . 通过将一元一次方程化归为最简方 程求解体会转化思想的作用 . 关注联系 回顾与整理 代数式 代数式的值 整式 同类项 合并同类项 等式 方 程 方程的解 解方程 一元一次方程 等式的基本性 质 解一元一次方程的主要步骤 聚焦基础 1. 能借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示 数的意义 . 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式 表示；能运用代数式表示具体问题中简单的数量关系，会选 择适当的方法求代数式的值；会把具体数代入代数式进行计 算；理解整式的概念，掌握合并同类项法则 . 2. 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列 明确要求 第二章 一元一次方程 109 1. 你能复述“聚焦基础”中每一个知识的具体内容吗？ 2. 你能举出一个符合某个概念的例子吗？ 3. 你能在教科书的例题或练习中找到符合“明确要求”中 的某一条的示例吗？如果找不到，你能编写一个示例吗？ 4. 你能发现本章所学知识的内在联系，并用画图的方法 显示出来吗？ 深入思考 出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程 . 3. 掌握等式的基本性质；能运用等式的基本性质进行等 式的变形 . 4. 能根据等式的基本性质解一元一次方程 . 复 习 题 巩 固 1. 填空： （1）单项式5m 3n 的次数是 ； （2）写出单项式2ab 2 的一个同类项 ； （3）已知- 5x 6y 3 和2x 2ny 3 是同类项，则n 的值是 ； （4）如果x = 4 是关于x 的方程2x - 3a = 2 的解，那么a = . 2. 先合并同类项，再求代数式的值： 2ab 2 + 3a + 6ab 2 - 3ab 2 - 1 + 4a，其中a = - 1，b = 2 . 3. 解下列方程： ( 1 ) 3x - 2 = 3( 4x - 5 )； ( 2 ) 2. 4y - 3. 12 = 1. 2( y + 4. 1 )； ( 3 ) 2x - 5 6 - 3x + 1 2 = 1； ( 4 ) 2x + 3 0. 2 - x - 7 0. 5 = 5 . 4. 当k 为何值时，关于x 的方程( k - 2 )x - 8 = x - 1 的解是x = - 2？ 5. 已知代数式8x - 7 的值与代数式6 - 2x 的值互为相反数，求x 的值 . 6. 某工地有两个工程队施工，甲队60 人，乙队80 人 . 现在从两个队各调若干 人到第二个工地协助施工，其余的人仍在原工地继续施工 . 如果乙队调出人 数是甲队调出人数的3 倍，甲队所剩人数是乙队所剩人数的2 倍，问：两队 数学 七年级 上册 110 共调到第二个工地多少人？ 7. 黄豆发成豆芽后，质量可以增加7. 5 倍 . 要得到3 400 kg 这样的豆芽，需要 多少千克黄豆？ 8. 某人从甲地去乙地，第一天走了全程的一半少20 km，第二天走了剩下的一 半多20 km，这时还剩50 km 的路程 . 问：甲、乙两地相距多少千米？ 9. 一个人骑车从甲地到乙地原计划3 h 到达，但因身体不适，只得放慢速度， 平均每小时比原计划少骑3 km，结果4 h 到达 . 问：原计划的速度是多少？ 10. 一客车从甲站开往乙站，1.5 h 后，一快车也从甲站开出，当客车开出15 h 后，快车不仅追上客车，而且超过客车15 km. 已知客车每小时比快车少行 驶10 km，求两车的速度 . 11. 要加工200 个零件，甲先单独加工了5 h，然后又与乙一起加工了4 h 完成 任务 . 已知甲每小时比乙多加工2 个零件 . 问：甲、乙每小时各加工多少 个零件？ 提 升 1. 已知x = 4a 是关于x 的方程4( x - 3a ) + 3 = 1 - 7a 的解，求a 的值 . 2. 在一条公路上有相距650 km 的甲、乙两个车站 . 吉普车从甲站开出，每 小时行驶52 km；小轿车从乙站开出，每小时行驶78 km. 两车同时开出， 经过多少小时两车的距离为130 km？( 提示：要讨论行驶方向及两车的 位置 ) 3. 将九个正整数分别填入图中的九个小方格中，使每行、每列、两条对角线上 的三个数之和均相等 . 设这九个正整数之和为S，中间方格中所填的数是k， 那么S 是k 的几倍？ k ( 第3 题) 北京大兴国际机场创造了一个又一个令人叹为观止的奇迹，彰显了中国的 大国风范，充分体现了中国精神和中国力量 . 大兴国际机场航站楼是目前世界 上最大的单体航站楼，它的外形在整体设计上呈现流线放射状，五条指廊从中 心向四周发散，宛如凤凰展翅，逐梦蓝天 . 走近它，你能发现很多熟悉的几何 图形 . 这些几何图形都是由点、线、面、体构成 . 我国的春秋战国时期，教育家 墨子在其著作中对“端”“尺”“区”“体”进行了诠释，也就是我们现在所认 识的“点”“线”“面”“体” . 本章我们将在小学认识简单的几何图形的基础上，学习各种图形，研究 各种图形之间的关系，感受数学与现实的紧密联系，感悟图形运动变化产生 的美 . 简单的几何图形 第三章 数学 七年级 上册 112 一、  对图形的认识 平面图形与立体图形 3.1 天坛 “长征”五号火箭 后母戊鼎 图3 - 1 故宫中和殿 观察图3 - 1，我们可以从中抽象出图3 - 2 中的哪些图形？ 图3 - 2 长方体 四棱锥 圆柱 圆锥 长方体、四棱锥的侧面，圆柱、圆锥的底面分别是图3 - 3 中的哪种图形？ 图3 - 3 长方形 圆 三角形 图3 - 2 中的图形都是立体图形，图3 - 3 中的图形都是平面图形 . 第三章 简单的几何图形 113 某些简单立体图形的展开图 3.2 某些特殊形状的立体图形是由若干个平面图形围成的，我们可以把它展开 成平面图形 . 图3 - 4 是一个装粽子的纸盒，它是一个立体图形，共有六个面，每个面 都是长方形 . 我们可以将它展开成图3 - 5 的形状 . 图3 - 4 图3 - 5 顶面 正面 右 面 左 面 底面 背面 1. 下列图形中，是立体图形的有 ；是平面图形的有 . ( 第1 题 ) 正方体 长方形 三角形 圆柱 球 圆锥 三棱锥 2. 写出一个立体图形的实例 . 练 习 数学 七年级 上册 114 图3 - 6 是一个圆柱形的茶叶筒，将它的侧面及上、下两个底面展开后， 可以得到图3 - 7 的形状 . 图3 - 7 图3 - 6 底面 侧面 顶面 图3 - 8 是一顶锥形帽，它的侧面展开后可以得到图3 - 9 的形状 . 侧面 图3 - 8 图3 - 9 1. 在图3 - 10 所示的三个图形中，哪些是由三棱柱纸盒展开后得到的 图形？ ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 三棱柱纸盒 图3 - 10 2. 在图3 - 11 所示的三个图形中，哪些是由正方体纸盒展开后得到 的图形？ ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 图3 - 11 索 探 第三章 简单的几何图形 115 从不同方向观察立体图形 3.3 我们从不同的方向去观察一个立体图形，得到的平面图形可能是不一样 的 . 如果我们从正面、上面、左面三个不同的方向去观察某种玻璃容器，得到 了图3 - 12 所示三个平面图形，你能想象出实物是什么样的吗？ 图3 - 12 从正面看 从上面看 从左面看 1. 图3 - 13 是一个长方体，如果我们从正面、上面、左面三个不同 的方向去观察它，那么分别可以得到什么样的平面图形？ 图3 - 13 图3 - 14 2. 图3 - 14 是一个圆柱，如果我们从正面、上面、左面三个不同的 方向去观察它，那么分别可以得到什么样的平面图形？ 3. 有一个乒乓球，如果我们从正面、上面、左面三个不同的方向去 观察它，那么分别可以得到什么样的平面图形？ 索 探 数学 七年级 上册 116 图3 - 15 是一个带槽的长方体，从正面、上面、左面三个不同的方向去观 察它，试画出你观察到的平面图形的示意图 . 实践 图3 - 15 习 题 3 - 1 巩 固 1. 三角形是平面图形，还是立体图形？ 2. 一个药瓶的示意图如图所示，它是由两个什么样的立体图形组成的？ 3. 一个长方体纸盒的示意图如图所示，它的上、下底面是正方形，四个侧面是 长方形，你能想象出它的展开图是什么样的吗？ ( 第2 题 ) ( 第3 题 ) ( 第4 题 ) 4. 一个正方体如图所示，从正面、上面、左面观察它，分别可以得到什么样的 平面图形？你能试着画出来吗？ 提 升 1. 三根火柴首尾相接，组成的是平面图形，还是立体图形？请你画出示意 图 . 四根火柴呢？五根火柴呢？ 2. 你能用六根火柴拼出边长相等的四个三角形吗？ 3. 一个立体图形的展开图如图所示，你能想象出它是一个什么立体图形吗？ 第三章 简单的几何图形 117 4. 由两个正方体组成的图形如图所示，从正面、上面、左面观察它，分别可以 得到什么样的平面图形？你能试着画出来吗？ ( 第4 题 ) ( 第3 题 ) 二、  直线、射线、线段 点、线、面、体 3.4 我们用削尖的铅笔在纸上轻轻一点，纸上便出现一个小小的黑点，这给我 们展现了点的形象( 图3 - 16 ) . · A 图3 - 16 点可以用来表示位置 . 如图3 - 17，在北京地铁线路图( 部分) 上用点来 表示一个车站的位置；在星图上用点来表示某一个星体的位置 . 图3 - 17 我们常用一个大写字母来表示点，比如，图3 - 16 中的点记为“点A” . 数学 七年级 上册 118 1. 如图3 - 18，用一支削尖的铅笔，使笔尖沿着直尺的一边在纸 上移动，会出现一个什么图形？ 2. 如图3 - 19，使圆规装有铅笔的一只脚在纸上绕着它的另一只 装有铁尖的脚旋转一周，铅笔会画出一个什么图形？ 图3 - 18 图3 - 19 索 探 我们看到，如果把笔尖看成一个点，当这个点运动时，便得到了一条 线 . 这条线可能是直线，也可能是曲线，这给我们以“点动成线”的印象 . 燃放烟花时形成的美丽曲线，给我们以“点动成线”的印象 . 你还 能举出类似的例子吗？ 考 交 思 与 流 在图形计算器的“几何”功能界面上画一个点，然后选中这个点，在“菜 单”的“跟踪”中选中“几何跟踪”，然后拖动这个点，你能看到如图3 - 20 那样的图形 . 用图形计算器还可以画出美丽的天坛图( 图3 - 21 ) . 图3 - 20 图3 - 21 第三章 简单的几何图形 119 雨刷器的摆动给我们以“线动成面”的印象 . 当“线动成面”时，所成的 面可能是平面，也可能是曲面 . 如图3 - 22，在图形计算器的“几 何”功能界面上，使长方形ABO′ O 以 O′ O 为轴旋转，边BA 留下的痕迹即 为一个曲面 . 下面我们来做一个试验： 把一枚硬币立在桌面上，用左手 的食指指尖轻轻按在硬币的顶部，然 后用右手的手指对硬币的边缘用力一 弹，这枚硬币便旋转起来 . 当它旋转 时，我们好像看到了一个球 . 这给我 们以“面动成体”的印象 . 图3 - 22 直线、射线、线段 3.5 1. 直线 一根拉紧的线绳，给我们以直线的印象 . 直线是向相反的两方无限延伸着的 . 我们可以利用直尺或三角板的边画直 线，但画出的只是直线的一部分 . 直线可以用两个大写字母表示，也可以用一个小写字母表示 . 图3 - 23 中 的直线可以表示成“直线AB”或“直线l” . 图3 - 23 汽车前面挡风玻璃上的雨刷器在摆动时， 可以刮去雨水 . 雨刷器在运动过程中给我们以 什么印象？ 考 交 思 与 流 数学 七年级 上册 120 通过画图我们发现，过一点可以画出无数条直线，也可以画出无数条曲 线，如图3 - 24 ( 1 ) 所示；过两点只能画出一条直线，但可以画出无数条曲线，如 图3 - 24 ( 2 ) 所示 . 图3 - 24 ( 1 ) ( 2 ) 在“探索”的几种情况中，其中第( 3 ) 种情况应用最广泛，我们把它总结 出来，作为有关直线的一个基本事实： 经过两点有一条直线，并且只有一条直线 .   简述为两点确定一条直线 .    用三角板或直尺等按要求画出以下的线： ( 1 ) 在纸上画一个点A，过点A 的直线能画多少条？画画看 . ( 2 ) 在纸上画一个点C，过点C 的曲线能画多少条？画画看 . ( 3 ) 在纸上画A，B 两个点，过点A 和点B 的直线能画多少条？画画看 . ( 4 ) 在纸上画C，D 两个点，过点C 和点D 的曲线能画多少条？画画看 . 索 探 要把一根木条在墙上钉牢，至少要钉几枚钉子？为什么？ 考 交 思 与 流 第三章 简单的几何图形 121 1. 平面上A， B， C， D 四点如图所示，用直尺在图中画出射线AB 和射线CD . ( 第2 题 ) A D B C ( 第1 题 ) 2. A，B是直线上的两个点，图中分别以A，B 为端点的射线共有多少条， 写出其中的两条 . 3. 画出射线OA 和射线AO，它们表示的是同一条射线吗？为什么？ 练 习 用直尺画出过图中两点的所有直线，并把它们表示 出来 . 练 习 A B C 2. 射线 在黑暗的地方我们用手电筒射出一道光，这道光给我们以射线的印象 ( 图3 - 25 ) . 直线上的一点和它一旁的部分叫作射线，这个点叫作射线的端点 . 射线可以用表示端点的一个点的大写字母和射线上表示另一个点的大写字 母合在一起表示，但表示端点的字母要写在前边；也可以用一个小写字母表 示 . 图3 - 26 中的射线可以表示为“射线OA”，也可以表示为“射线l” . 图3 - 25 图3 - 26 数学 七年级 上册 122 3. 线段 直线上两个点和它们之间的部分叫作线段，这两个点叫作线段的端点 . 请你观察教室中的物体，其中哪些可以看作线段？ 线段可以用两个大写字母表示，也可以用一个小写字母表示 . 图3 - 27 中 的线段可以表示为“线段AB”，也可以表示为“线段a” . 图3 - 27 我们常用刻度尺来度量线段的长度 . 长度单位换算如下： 1 km = 1 000 m ( 即1 千米 = 1 000 米 )； 1 m = 10 dm ( 即1 米 = 10 分米 )； 1 dm = 10 cm ( 即1 分米 = 10 厘米 )； 1 cm = 10 mm ( 即1 厘米 = 10 毫米 ) . 1. C，D 是线段AB 上的两个点( 如图3 - 28 )，图中共有多少条分 别以A，B，C，D 中的两点为端点的线段？分别用字母把它们表示出 来 . 任选其中的两条线段，比较一下它们的长短 . 图3 - 28 2. 在一块长方形的图板上( 如图3 - 29 )，一只蚂蚁从点A 出发，沿着几条不同 的路线向点B 爬行 . 哪条路线最近？你也可 以动手画一画，找出其他的路线，量一量， 再得出结论 . 图3 - 29 考 交 思 与 流 在实践的基础上，人们总结出有关线段的一个基本事实： 在所有连接两点的线中，线段最短 . 简述为：两点之间线段最短 . 连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离 . 第三章 简单的几何图形 123 1. 如图，从小华家去学校共有4 条路，第 条路最近 . 理由： . ( 第1 题 ) 2. 已知：如图，射线OA 和线段a . 求作：在射线OA 上作一条线段OB，使它等于线段a . ( 第2 题 ) 练 习 1. 如图3 - 30，从A 到C 有两条路线可走： 一条是A →B →C； 另一条是A →D →E →F →G →H →C . 先估计一下哪条路线近，再量量看，与估计的 结果进行比较( 精确到1 mm ) . 2. 寻求最短的路线 . 如图3 - 31，用长方形纸片卷成一个圆柱形的 纸筒，一只蚂蚁在点A 处，它需要沿着什么路线 爬行，才能以最短的路线到达B 处 . 索 探 图3 - 30 图3 - 31 数学 七年级 上册 124 线段AB 上一点C 将线段AB 平分为相等的两条线段AC 与CB，点C 叫作线 段AB 的中点 . 在图3 - 33 中，点C 是线段AB 的中点，那么可以用以下三种方法来表示： ( 1 ) AC = BC； ( 2 ) AC = 1 2 AB( 或BC = 1 2 AB )； ( 3 ) AB = 2AC ( 或AB = 2BC ) . 例 如图3 - 34，线段AB = 10，点D 在线段AB 上，点C 为线段AD 的中 点，线段AC = 4. 5 . 求线段DB 的长 . 图3 - 34 解：因为点C 为线段AD 的中点， 所以AD = 2AC . 因为AC = 4.5， 所以AD = 2 × 4.5 = 9 . 因为AB = 10， 所以DB = AB - AD = 10 - 9 = 1 . 利用直尺可以把一条线段向两方任意延长 . 图3 - 35 图3 - 36 如图3 - 35，称为延长线段AB，或称为反向延长线段BA； 如图3 - 36，称为延长线段BA，或称为反向延长线段AB . 图中延长的部分叫作原线段的延长线 . 图3 - 33 如图3 - 32，请你先量一量线段AB 的长度，然后在线段AB 上画一 点C，使线段AC = BC . 怎样确定点C 的位置呢？ 图3 - 32 考 交 思 与 流 第三章 简单的几何图形 125 习 题 3 - 2 巩 固 1. 让铅笔尖在纸面上运动，画出一个美丽的图案 . 2. 你能举一个“点动成线”的例子吗？ 3. 你能举一个“线动成面”的例子吗？ 4. 你能举一个“面动成体”的例子吗？ 5. 画一条直线和一条射线，使它们没有公共点 . 6. 画一条射线和一条线段，使它们没有公共点 . 7. 如图，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段AC 的中点，点E 是线段BC 的 中点 . 试写出图中相等的线段 . 8. 如图，点D 是线段BC 上的一点 . 图中共有多少条线段？分别把它们写出来 . ( 第7 题 ) ( 第8 题 ) 9. 如图，点C 是线段AB 上的一点，点D 是线段BC 的中点，AB = 10，AC = 6 . 求线段CD 的长 . ( 第9 题 ) 提 升 1. 在公园里用喷灌设备浇花草，水珠运动时出现什么现象？ 2. 如图，想一想，以AB 为轴旋转这个图形可以得到怎样的图形，试着画出来 . ( 第2 题 ) 3. 谜语“千条线，万条线，落在水里都不见”中说的是什么自然现象？ 数学 七年级 上册 126 4. 如图，在以点A 为端点的射线上任意取B，C，D 三个点 . 图中共有多少条 射线？写出其中的3 条 . ( 第4 题 ) 5. 在直线l 上取m 个点，使图中一共出现8 条射线，m 应等于多少？ 6. 小力在纸上画了一条直线、一条射线和一条线段，结果它们之间只出现了两 个公共点 . 你能画出满足这个条件的一个图形吗？ 7. 量出图中线段AB，BC，AC 的长，再比较AB + AC 与BC 的大小关系 . ( 第7 题 ) 8. 用刻度尺可以画出优美的曲线，你认为能做到吗？照下面的方法试一试： ( 1 ) 先画出射线OA，OB； ( 2 ) 在OA 上截取9 条相等的线段，分别在端点标上A1，A2，A3，A4， A5，…，A9 ； ( 3 ) 在OB 上也截取同样长度的9 条线段，分别在端点标上A′9，A′8，A′7， A′6，A′5，…，A′1； ( 4 ) 连接A1A′1，A2A′2，A3A′3，…，A9A′9，你有什么发现？ ( 第8 题 ) A′9 A′8 A′7 A′6 A′5 A′4 A′3 A′2 A′1 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 第三章 简单的几何图形 127 三、  角 角及其分类 3.6 1. 角及其表示 请用三角板、直尺或量角器画一个角 . 索 探 在图3 - 37 中，剪刀张开的两个刃、钟表的时针和分针都给我们以角的 形象 . 在小学我们认识了角，知道从一点引出的两条射线所形成的图形叫作角，这 个点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边 . 实际上，角又可以看作一条射线绕着它的端点旋转时，旋转终止位置与旋 转开始位置形成的图形 . 旋转开始位置叫作角的始边，旋转终止位置叫作角的 终边( 图3 - 38 ) . 图3 - 38 图3 - 37 角通常用三个大写字母表示，表示顶点的字母写在中间 . 图3 - 39 ( 1 ) 中的 角可以表示成∠AOB，在角的顶点处只有一个角的情况下，∠AOB 也可以写成 ∠O；角也可以用阿拉伯数字表示，如图3 - 39 ( 2 ) 中的∠1，∠2；角还可以用小 写希腊字母表示，如图3 - 39 ( 3 ) 中的∠α，∠β . ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 图3 - 39 数学 七年级 上册 128 1. 下列图形中，能用∠1，∠AOB，∠O 三种方法表示同一个角的图形是 ( ) . ( 第1 题 ) A B C D 2. 图中共有几个角？分别把它们写出来 . ( 第2 题 ) ( 第3 题 ) 3. 图中的∠O 还可以怎样表示？ 练 习 观察图3 - 40 中用同一块三角板画出的两 个角 . 你觉得哪一个角大？用三角板比比看 . 图3 - 40 一个角的大小和它的 边的长短有关吗？ 考 交 思 与 流 2. 角的分类 我们观察钟表指针的转动： 分针从指向“12”的位置开始旋转，当它旋转到指向“6”的位置时，分 针的终止位置和它的开始位置恰在一条直线上，这样形成的角叫作平角 . 当分针继续旋转，回到指向“12”的位置时，它整整旋转了一圈，这样形 第三章 简单的几何图形 129 成的角叫作周角 . 平角的一半叫作直角 . 图3 - 41( 1 ) 中时针与分针所成的角就是直角 . 我们得到： 1 周角 = 2 平角 = 4 直角 .    小于直角的角叫作锐角 . 图3 - 41( 2 ) 中时针与分针所成的角就是锐角 . 大于直角而小于平角的角叫作钝角 . 图3 - 41( 3 ) 中时针与分针所成的角 就是钝角 . 图3 - 41 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 是否存在一个时刻，使钟表的时针和分针形成的角是一个平角？是 否存在其他的时刻，使钟表的时针和分针形成的角是锐角、直角、钝角、 周角？ 考 交 思 与 流 角的度量与换算 3.7 度量一个角的大小的基本单位是“度” . 把周角分成360 等份，每1 份叫 作1 度的角；把1 度的角再分成60 等份，每1 份叫作1 分的角；把1 分的角 再分成60 等份，每1 份叫作1 秒的角 . 度、分、秒分别用“°”“ ′ ”“ ″”来表示 . 例如，25 度42 分57 秒记作 25°42′57″ . 例1 计算： ( 1 ) 把8. 32° 换算成度、分、秒； ( 2 ) 把26°48′ 换算成度 . 数学 七年级 上册 130 解：( 1 ) 因为60′ × 0. 32 = 19. 2′， 60″ × 0. 2 = 12″， 所以8. 32° = 8°19′12″ . ( 2 ) 因为48′ = ( 48 60) ° = 0. 8°， 所以26°48′ = 26. 8° . 例2 计算： ( 1 ) 15°30′46″ + 38°45′25″； ( 2 ) 100° - 60°52′10″； ( 3 ) 20°30′40″ × 2； ( 4 ) 125° ÷ 4 . 解：( 1 ) 15°30′46″ + 38°45′25″ = 53°75′71″ = 53°76′11″ = 54°16′11″； ( 2 ) 100° - 60°52′10″ = 99°59′60″ - 60°52′10″ = 39°7′50″； ( 3 ) 20°30′40″ × 2 = 40°60′80″ = 41°1′20″； ( 4 ) 125° ÷ 4 = 31. 25°， 因为60′ × 0. 25 = 15′， 所以125° ÷ 4 = 31°15′ . 周角等于多少度？平角等于多少度？直角等于多少度？锐角的度数 在什么范围内？钝角的度数在什么范围内？ 考 交 思 与 流 在本章中，我们所说的角，如果没有特别说明，通常不包括平角和零度 的角 . 第三章 简单的几何图形 131 已知∠A = 20°18′，∠B = 20°15′30″，∠C = 20.5°，那么( ) . A. ∠A >∠B >∠C B. ∠A >∠C >∠B C. ∠B >∠A >∠C D. ∠C >∠A >∠B 练 习 利用科学计算器进行角的换算快捷、准确 . 例3 将2. 36° 换算成度、分、秒 . 解： 所以2. 36° = 2°21′36″ . 1. 把下列以度为单位的角用度、分、秒表示，并用计算器进行检验 . ( 1 ) 18.25°； ( 2 ) 125.36° . 2. 将100°42′ 换算成度 . 练 习 角平分线 3.8 先用量角器量一量图3 - 42 所示的∠AOB 的度数，再试一试，能否作出射线OC，使 ∠AOC = ∠BOC ？ 索 探 图3 - 42 2nd prb 2. 36 ▲ DMS 2°21′36″ enter 6 数学 七年级 上册 132 如图，OE 平分∠BOC，OD 平分∠AOC， ∠BOE = 20°，∠AOD = 40° . 求∠DOE 等于 多少度 . 练 习 习 题 3 - 3 巩 固 1. 图中共有多少个角？分别把它们写出来 . ( 第1 题 ) ( 第2 题 ) 2. 图中共有多少个角？分别把它们写出来 . 3. 画一个图形，使图中只有4 个角 . 4. 两个锐角的和一定是锐角吗？试举例加以说明 . 5. 一个钝角与一个直角的差是什么样的角？举出一例 . 6. 较大的锐角与较小的锐角的差是什么样的角？ 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线 叫作这个角的角平分线 . 图3 - 43 中的射线OC 是∠AOB 的角平分线，可 以用下面的三种方法来表示： ( 1 ) ∠AOC = ∠BOC； ( 2 ) ∠AOC = 1 2 ∠AOB( 或∠BOC = 1 2 ∠AOB )； ( 3 ) ∠AOB = 2∠AOC( 或∠AOB = 2∠BOC ) . 图3 - 43 第三章 简单的几何图形 133 7. 计算： ( 1 ) 18°20′32″ + 30°15′22″； ( 2 ) 90° - 70°35′； ( 3 ) 180° - 60°30′45″； ( 4 ) 12°12′ × 5； ( 5 ) 将平角分成8 等份，求每一份的角等于多少度 . 8. 用计算器计算： ( 1 ) 将70.28° 换算成度、分、秒； ( 2 ) 将15.75° 换算成度、分、秒； ( 3 ) 将120°30′ 换算成度； ( 4 ) 将52°48′ 换算成度 . 提 升 1. 画一个图形，使图中共有8 个角 . 2. 如图，∠1 = ∠2 = ∠3，写出图中所有相等的角 . 3. 已知OC 是∠AOB 的角平分线，OD 是∠AOC 的角平 分线，OE 是∠BOC 的角平分线，如果∠DOE = 30°， 计算∠AOB 等于多少度 . 4. 如图，点G 是AB 延长线上一点，∠1 = 60° . 求∠ABC 等于多少度 . ( 第4 题 ) ( 第5 题 ) 5. 如图，∠α = 120°，∠β = 90° . 求∠γ 等于多少 度 . 6. 如图，已知∠α，∠β 都等于120° . 求∠γ 等 于多少度 . ( 第2 题 ) ( 第6 题 ) 数学 七年级 上册 134 四、  两条直线的位置关系 两条直线的位置关系 3.9 北京市的交通设施发展日新月异，一座座立交桥拔地而起，展示了一个现 代化都市的雄伟风姿 . 如果把笔直的路上画出的分道线看作直线，我们看到，它们有的相交，有 的不相交；有的在同一个平面上，有的不在同一个平面上 . 下面我们将讨论两 条直线的位置关系 . 图3 - 44 是一个长方体 . 它的每条棱都是一条线段 . 试从这些线段 所在的直线中找出： ( 1 ) 两条不相交的直线； ( 2 ) 两条相交的直线 . 想一想：两条不相交的直线一定在同一 平面内吗？ 图3 - 44 考 交 思 与 流 第三章 简单的几何图形 135 由此可以总结出，两条直线有以下的位置关系： ( 1 ) 相交( 如图3 - 44 中的直线AB 和AD )； ( 2 ) 不相交 在同一平面内( 如图3 - 44 中的直线AB 和CD )； 不在同一平面内( 如图3 - 44 中的直线AB 和CG ) . 互相重合的直线通常看作一条直线 . 观察图3 - 45，如果可以把墙 壁的棱、灯线、黑板的边框、灯 管、窗框、门框等看作直线的一 部分，那么请找出相交的直线与 不相交的直线 . 图3 - 45 考 交 思 与 流 图3 - 46( 1 ) 中的直线a 和b，图3 - 46( 2 ) 中的直线c 和d 分别是在同一 平面内的直线，其中直线a，b 相交，直线c，d 不相交 . ( 1 ) ( 2 ) 图3 - 46 相交线与平行线 3.10 1. 相交直线 只有一个公共点的两条直线叫作相交直线，这 个公共点叫作交点 . 两条直线相交只有一个交点 . 在图3 - 47 中，如果把每条线都看成直线的 一部分，指出其中的相交直线 . 我们看到，两条相交直线所成的角中，∠A 是 钝角，∠ADG 是锐角，∠E 是直角 . 图3 - 47 数学 七年级 上册 136 2. 垂线 选一本你喜欢的图书，用量角器量一量图书的封面的每一个角等于多少度 . 实践 利用平角等于 180° 计算 . 图3 - 48 中两直线a，b 相交，形成四个角 . 如果 ∠1 = 90°，那么∠2，∠3，∠4 分别等于多少度？ 图3 - 48 考 交 思 与 流 两条直线相交所成的四个角中，如果其中一个角等于90°，那么就称这两条 直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线 . 垂直用符号“⊥”表 示，这两条直线的交点叫作垂足 . 图3 - 48 中直线a 与b 垂直，记作“a ⊥ b”， 垂足为O . 请用三角板或直尺画图： ( 1 ) 经过直线l 上一点A 画l 的垂线，这样的垂线能画出几条？ ( 2 ) 经过直线l 外一点B 画l 的垂线，这样的垂线能画出几条？ 实践 在上面实践活动的基础上，得到下面的一个基本事实：在同一平面内，过 一点有且只有一条直线与已知直线垂直 . 第三章 简单的几何图形 137 上述基本事实中的“有且只有”的含义是什么? 考 交 思 与 流 3. 点到直线的距离 在体育比赛中，如何测量运动员的跳远成绩？ 如图3 - 49，点P 是直线l 外一点，从点 P 向直线l 引PA，PB，PC，PD 几条线段，其 中只有PA 与直线l 垂直 . 量一量，这几条线段 中，哪一条最短 . 实践 图3 - 49 从直线外一点向这条直线引垂线，该点到垂足之间的线段叫作垂线段 . 在 实践中发现，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 . 从直 线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离 . 如图3 - 50，点A 在直线a 上，点B 在直线b 上 . ( 1 ) 怎样量出A，B 两点间的距离？ ( 2 ) 怎样量出点A 到直线b 的距离？ ( 3 ) 怎样量出点B 到直线a 的距离？ 实践 图3 - 50 4. 平行线 在日常生活中经常见到同一平面内两条不相交的直线 . 如图3 - 51 所示， 数学 七年级 上册 138 两根笔直的铁轨、马路上的斑马线等，都给我们平行的形象 . 图3 - 51 在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线 . 平行用符号“//”表示 . 图 3 - 52 中，直线AB 平行于直线CD，直线a 平行于直线b，分别记为“AB // CD”， “a // b” . 用计算机绘图 *3.11 ( 1 ) 利用计算机的基本绘图功能画出下面的图形( 图3 - 53 ) . 图3 - 53 请用三角板或直尺画图并思考：经过直线l 外不重合的两点A，B 分别画l 的垂线，思考这两条垂线的位置关系 . 考 交 思 与 流 图3 - 52 第三章 简单的几何图形 139 ( 2 ) 计算机或图形计算器具有画点、线、角平分线、垂线、平行线的功能 以及度量的功能 . 发挥你的聪明才智，创作几幅图画，然后和同学交流你画图 的步骤和体会 . 图3 - 54 就是由点、线、面构成的图形，请你欣赏 . 图3 - 54 习 题 3 - 4 巩 固 1. 一个立方体的图形如图所示，它的每条棱都是一条线段 . 试从这些线段所 在的直线中找出： ( 1 ) 两对相交的直线； ( 2 ) 两对在同一平面内不相交的直线； ( 3 ) 两对不在同一平面内的直线 . 2. 举例说明两条直线在空间中有几种位置关系 . 3. 如图，通过测量求出三角形ABC 的面积( 精确到1 mm 2 ) . 4. 如图，量出点A 到BC 边所在直线的距离 . ( 第4 题 ) ( 第3 题 ) ( 第1 题 ) 数学 七年级 上册 140 数学的公理化 数学的分支几何，其推理皆有据可依，其论述都有根源可循，严 密的逻辑推理令人信服，精巧的思维方法令人陶醉 . 显然，为了推导 出一些正确的几何结论，一定有一些概念和一组命题作为推理的基础， 同时也需要一些规则作为推理的保障 . 在前面的学习中，我们对现实世界中的形象进行抽象，得到了 点、直线和平面等概念，它们都是不加定义的名词，像这样的名词可 以作为解释一些几何名词的起点，利用这些基础的名词就可以定义 一些新的概念，比如线段、射线就是用点和直线进行定义的 . 我们 还得到了三个基本事实，它们不需证明，当作一些结论的基础，我 们不再追求其理由，也可以称它们为公理 . 以公理为基础进行严密 的推导得出新的结论，是研究几何图形以及几何图形关系的重要基础 和方法，也是几何学以独特的魅力吸引着众多的数学爱好者的主要 原因 . 古希腊数学家欧几里得( Euclid, 约前330—前275 ) 集千人之言， 汇万人之慧，潜心研究撰写成《原本》，后译为《几何原本》，是我们 最为熟知的著作 . 在该书的开头就列举了14 个基本的命题( 其中5 个 叫作公设，9 个叫作公理 )，它们是以后所有命题的前提 . 从少量“自 明的”定义、公理出发，利用逻辑推理的方法，推演出一个几何体系， 选取少量的原始概念和不需证明的命题，作为定义、公设和公理，使 它们成为整个体系的出发点和逻辑依据，然后运用逻辑推理证明其他 阅读理解 数学文化 圆是我们最常见的图形之一，利用圆规可以画出一个圆 . 如果手中只有一 根直尺，你能用它画出一个圆吗？ 实践 第三章 简单的几何图形 141 命题 . 我们的中学数学教科书，基本上还是欧几里得的《原本》的加 工修改版 . 德国数学家D. 希尔伯特( David Hilbert，1862—1943 ) 于1899 年 发表了著名的著作《几何基础》，成功建立了欧几里得几何的完整的公 理系统，使得几何学的逻辑结构变得非常清楚，这就是所谓的希尔伯 特公理体系 . 希尔伯特公理体系的完成，不仅使欧几里得《原本》的 完善工作告一段落，更重要的意义是使数学公理法基本形成，促使20 世纪整个数学有了较大的发展 . 本章是“图形与几何”领域中“图形的性质”主题的主要 组成部分 . 通过小学阶段图形与几何领域的学习，对立体图形 和平面图形有了初步的认识 . 初中阶段，将进一步学习点、线、 面、角，并理解它们的概念；通过从不同方向看等活动，初步 感受几何体与平面图形的相互转换；最后转向平面图形，在一 系列的数学活动中，认识一些平面图形的性质. 这一章从已有的生活经验和生活背景出发，在活动中体 会并经历图形的抽象，性质探讨，运动、位置确定等过程， 在对图形概念的理解，以及对基于概念的图形性质、关系的 理解中，形成初步的抽象能力、更加理性的几何直观和空间 想象力 . 关注联系 回顾与整理 平面图形 立体图形 点 直线 射线 线段 线段中 点 延长线 角 角的顶点 角的边 角的始边 角的终 边 周角 平角 直角 钝角 锐角 角平分线 相交直 线 交点 两条直线互相垂直 垂线 垂足 垂线段 点 到直线的距离 平行线 两点确定一条直线 两点之间线 段最短 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直 聚焦基础 数学 七年级 上册 142 1. 了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等 概念 . 2. 会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中 点的意义 . 理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的 距离 . 理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一 点画已知直线的垂线 . 理解点到直线的距离的意义，能度量 点到直线的距离 . 理解平行线的概念 . 3. 理解角的概念，角平分线的概念，能比较角的大小； 认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算， 会计算角的和、差 . 4. 掌握基本事实：两点确定一条直线 . 掌握基本事实： 两点之间线段最短 . 掌握基本事实：同一平面内，过一点有 且只有一条直线与已知直线垂直 . 明确要求 1. 你能复述“聚焦基础”中每一个知识的具体内容吗？ 2. 你能举出一个符合某个概念的例子吗？ 3. 你能在教科书的例题或练习中找到符合“明确要求”中 的某一条的示例吗？如果找不到，你能编写一个示例吗？ 4. 你能发现本章所学知识的内在联系，并用画图的方法 显示出来吗？ 深入思考 复 习 题 巩 固 1. 削水果皮时，随着刀刃的运动，你能想象出“线动成面”的现象吗？ 2. 理发时，随着推子的运动，你发现了什么数学现象？ 3. 如图，OB 是∠AOC 的角平分线，OC 是∠AOD 的角平分线，∠COD = 70° . 分别求∠AOD 和∠BOC 的度数 . 第三章 简单的几何图形 143 D C B A O ( 第3 题 ) 4. 已知线段AB = 2 cm，点D 是线段AB 的中点，延长线段AB 到点C，BC = 2AD . 求线段DC 的长 . 5. 计算： ( 1 ) 30° + 52°25′ + 25°34′36″； ( 2 ) 100° - 42°10′ - 10°30″； ( 3 ) 25°25′25″ × 4； ( 4 ) 180°42′ ÷ 6 . 6. 画两条直线及一条线段，使它们之间没有公共点 . 7. 画三条射线，使它们之间没有公共点 . 提 升 1. 画两个角，使它们之间只有一个公共点 . 2. 画两个角，使它们之间只有两个公共点 . 3. 画两个角，使它们之间没有公共点 . 4. 用计算器将85.38° 换算成度、分、秒 . 5. 用计算器将150°54′ 换算成度 . 6. 两个锐角的和可以是什么样的角？举例说明 . 一个锐角和一个直角的和呢？ 数学 七年级 上册 144 综合与实践 生活中的几何图形 项目背景 数学与我们的生活息息相关，它源于生活，植根于生活，蕴藏在生 活中的每个角落 . 前面我们学习了“图形与几何”领域中简单的几何图 形的知识 . 你可以到生活中去寻找数学，并从中抽象出几何图形，感受 几何图形与我们的生活息息相关，感悟数学来源于对现实世界的抽象 . 项目实施 环节一：活动准备 . 交流讨论：我们学过的平面图形有哪些？立体图形有哪些？ 观察下面的图片( 图ZH - 1，图ZH - 2，图ZH - 3，图ZH - 4 ) ， 从中抽象出几何图形 . 图ZH - 1 图ZH - 2 145 综合与实践 生活中的几何图形 图ZH - 3 图ZH - 4 环节二：校外实践 . 组织全体同学到公园开展“寻找生活中的几何图形”综合实践活动 . 在公园内，利用相机记录蕴含着几何图形、几何原理的照片 . 活动要求以及出发前准备工作： 1. 4～6 人一组，以小组为单位进行活动 . 2. 每组成员在进行活动前，需先进行成员分工，每组1 名负责人（组 长），2 名记录员，2～3 名拍摄员，可兼任 . 3. 组长职责：确定团队活动区域，组织组员对现实中蕴含的几何原 理进行讨论； 拍摄员职责：用相机拍摄景物；记录员职责：记录拍摄时间 和地点、几何图形和几何原理 . 环节三：校内活动 . 公园之行结束后，以小组为单位进行图片整理，制成画报或 PPT 等， 准备进行小组汇报，同学们需完成的具体任务如下： 1. 分类整理、筛选图片 . 整理在公园活动时的活动手册及照片，将图片与几何图形、几何原 理相对应，存入本组展示资料库 . 2. 查阅资料、注释图片 . 本组同学根据最终选定的图片，结合数学知识，对图片中呈现的几 何图形及对应的几何原理进行注释 . 3. 成果展示、汇报演讲 . 数学 七年级 上册 146 进行小组汇报，每组自选汇报方式，可派代表进行汇报，或由小组 成员分工共同汇报展示 . 项目总结 在本项目实施中，学生从现实世界中抽象出几何图形，探究自然现 象背后的数学原理，感悟数学来源于生活 . 根据每组学生的表现进行学 习效果评估，分析出各组在学习活动中存在的优缺点，提出改进措施， 完善项目报告 . 147 中文 英文 页码 正数 positive number 2 负数 negative number 3 有理数 rational number 3 数轴 number axis 5 相反数 opposite number 8 绝对值 absolute value 9 乘方 power 42 科学记数法 scientific notation 50 代数式 algebraic expression 66 整式 integral expression 71 同类项 like term 72 等式 equality 74 方程 equation 74 立体图形 solid figure 112 平面图形 plane figure 112 点 point 117 直线 straight line 119 角 angle 127 平行线 parallel lines 138 附录 部分中英文词汇索引     本册教科书依据《义务教育数学课程标准（2022 年版）》对原有的《义 务教育教科书  数学  七年级  上册》进行了修订 .  修订时，聚焦中国学生 发展核心素养，广泛吸收数学学科的先进教育理念及教学方法与经验，认真 分析和研究各方面提出的建议，致力促进学生的数学学习与全面发展 .      在编写阶段，我们得到了学科专家的悉心指导和倾力帮助，他们对教 科书提出了很多宝贵意见 .  在试教试用过程中，我们得到了北京市各教研单 位及学校广大教师的大力支持，他们的意见与建议为教科书的进一步完善提 供了保障 .  此外，对教科书的编写、出版提供过帮助的社会各界朋友还有很 多，在此一并表示诚挚的谢意.      本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照 片、画作等）的作者进行了联系，得到了他们的大力支持 .  对此，我们表示 衷心的感谢！但仍有部分作者未能取得联系，恳请入选作品的作者与我们联 系，以便支付稿酬.      本册教科书投入使用后，真诚希望广大师生和家长提出宝贵意见，以便 我们进一步完善，提升教科书质量 .      联系方式     电话：010-58572314     电子邮箱：jiaocai@bphg.com.cn 后  记