文档内容
义务教育教科书
数 学
八年级 下册
主 编 王建磐
责任编辑 平 萍
责任校对 王丽平
装帧设计 卢晓红
出 版 华东师范大学出版社
社 址 上海市中山北路3663 号 邮编200062
电 话 021
60821666 传真021
60821766
客服电话 021
60821720 60821761
印刷者 山西人民印刷有限责任公司
开 本 787 ×1092 16 开
印 张 11
字 数 194 千字
版 次 2013 年10 月第一版
印 次 2014 年11 月山西第二次
书 号 ISBN 978
7
5675
0639
8 / G·6423
定 价 10. 23 元
出版人 王 焰
(如发现本版图书有印订质量问题,请寄回本社客服中心调换或电话021
60821720 联系)
致亲爱的同学
我们的小伙伴,欢迎你.
放在你面前的是依据《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2012 年)》与国家《义
务教育数学课程标准(2011 年版)》,为你们提供的初中阶段六册数学教科书中的第四本.
这本书与你已经学过的三本数学教科书一样,从你所熟悉的情境入手,呈现一些最基本
的、丰富多彩的数学内容,为你提供一些让你思考、实践与自主探索的栏目. 书中还穿插了一些
阅读材料. 不同层次的习题,应用性、探索性和开放性的各种形式的问题及综合与实践等,都为
你提供了充分展示你聪明才智与数学能力的机会.
现在,请你打开这本书,与我们一起继续漫游数学世界,探索发现更多、更具魅力的数学奥秘.
代数式是你早就结识的朋友,前面我们已经熟悉了整式及其运算,并且已经在解方程和解
不等式中派了用场,顺利地解决了不少实际问题. “分式”是解决问题时碰到的又一种代数式,
同样需要我们认识分式的性质和运算. 分式与分数在许多方面有着惊人的相似,从中你可以进
一步体会数学的奥秘,学会探索新知识的方法.
我们生活的世界,处在不停的运动变化之中. 例如,人的身高随着年龄的增长在不断变化,
气温随着时间的推移而变化……为了刻画现实世界的运动变化,在数学上引进了“变量”和“函
数”,使数学发生了根本的转折. “函数及其图象”将把你领入一个新的数学世界,提供解决许多
实际问题的工具和方法,使你在数学王国里更加自由地翱翔.
实际生活中充满着各种各样的奇妙图形,你见过学校、工厂等单位的伸缩大门吗? 那里有
许多你所认识的几何图形. “平行四边形”和“矩形、菱形与正方形” 这两章将陪伴你会见一些
小学里已经认识的老朋友,你也将结识一些新朋友. 你将通过探索、思考,对它们的面貌特征有
更深刻的理解,并将进一步学会演绎推理,解决一些有关图形的度量问题.
“数据的整理与初步处理”将帮助你学会整理与初步处理数据,合理使用平均数、中位数、
众数和方差,较为准确地概括所得到的众多数据,进一步用数学语言表述自己的见解.
我们相信,这本书一定能继续帮助你在丰富多彩的数学世界里漫游、探索,充分发挥你的
想象力与创造力,解决各种各样的问题.
数学世界继续欢迎你,为你打开一道道神秘的大门.
编者
目
录
第16 章 分式
16. 1 分式及其基本性质/ 2
1. 分式/ 2
2. 分式的基本性质/ 3
16. 2 分式的运算/ 6
1. 分式的乘除/ 6
2. 分式的加减/ 8
阅读材料 类比/ 11
16. 3 可化为一元一次方程的分式方程/ 12
16. 4 零指数幂与负整数指数幂/ 17
1. 零指数幂与负整数指数幂/ 17
2. 科学记数法/ 20
阅读材料 光年和纳米/ 22
小结/ 23
复习题/ 24
第17 章 函数及其图象
17. 1 变量与函数/ 28
17. 2 函数的图象/ 34
1. 平面直角坐标系/ 34
2. 函数的图象/ 36
阅读材料 笛卡儿的故事/ 42
17. 3 一次函数/ 43
1. 一次函数/ 43
2. 一次函数的图象/ 45
3. 一次函数的性质/ 48
4. 求一次函数的表达式/ 50
阅读材料 小明算得正确吗/ 53
17. 4 反比例函数/ 54
1. 反比例函数/ 54
2. 反比例函数的图象和性质/ 56
17. 5 实践与探索/ 59
阅读材料 The Graph of a Function / 65
小结/ 66
复习题/ 68
第18 章 平行四边形
18. 1 平行四边形的性质/ 72
18. 2 平行四边形的判定/ 81
阅读材料 稳定性PK 不稳定性/ 91
小结/ 93
复习题/ 94
第19 章 矩形、菱形与正方形
19. 1 矩形/ 98
1. 矩形的性质/ 98
2. 矩形的判定/ 102
阅读材料 完美矩形/ 107
19. 2 菱形/ 110
1. 菱形的性质/ 110
2. 菱形的判定/ 113
19. 3 正方形/ 119
阅读材料 四边形的变身术/ 122
小结/ 123
复习题/ 124
综合与实践 图形的等分/ 127
第20 章 数据的整理与初步处理
20. 1 平均数/ 130
1. 平均数的意义/ 130
2. 用计算器求平均数/ 133
3. 加权平均数/ 134
阅读材料 平均化/ 139
20. 2 数据的集中趋势/ 140
1. 中位数和众数/ 140
2. 平均数、中位数和众数的选用/ 144
阅读材料 计算机帮我们求平均数、中位数和众数/ 148
20. 3 数据的离散程度/ 150
1. 方差/ 150
2. 用计算器求方差/ 154
阅读材料 早穿皮袄午穿纱/ 157
小结/ 158
复习题/ 159
综合与实践 通讯录的设计/ 161
数学实验附图
方格图/ 162
格点图/ 165
2 ·第16 章 分 式
16.1 分式及其基本性质
1. 分式
(1) 面积为2 平方米的长方形的长为3
米,则它的宽为 米;
(2) 面积为S 平方米的长方形的长为a
米,则它的宽为 米;
(3) 一箱苹果售价p 元,总重m 千克,箱
重n 千克,则每千克苹果的售价是 元.
形如A
B (A、B 是整式,且B 中含有字母,B≠0)的式
子, 叫做分式( fraction ). 其中A 叫做分式的分子
(numerator),B 叫做分式的分母(denominator).
整式和分式统称有理式(rational expression),即
有理式整式
分式
{
●
例1
下列有理式中,哪些是整式? 哪些是分式?
1
x , x
2 ,
2xy
x + y, 2x - y
3
.
●
解
x
2 和2x - y
3
是整式,1
x 和2xy
x + y 是分式.
●
注意
在分式中,分母的值不能为零. 如果分母的
值为零,则分式没有意义. 例如,在分式S
a 中,a≠0;在分
式
p
m - n中,m≠n.
两个整数相
除,可以表示成分
数的形式. 两个整
式相除,可以怎样
表示呢?
第16 章 分 式·3
●
例2
当x 取什么值时,下列分式有意义?
(1)
x
x - 1; (2) x - 2
2x + 3.
●
分析
要使分式有意义,必须且只需分母的值不等
于零.
●
解
(1) 分母x - 1 ≠0,即x ≠1.
所以,当x ≠1 时,分式
x
x - 1 有意义.
(2) 分母2x + 3 ≠0,即x ≠- 3
2 .
所以,当x ≠- 3
2 时,分式x - 2
2x + 3 有意义.
2. 分式的基本性质
在进行分数的化简与运算时,常常要进行约分和通
分,其主要依据是分数的基本性质. 类似地,分式有如下
基本性质:
分式的分子与分母都乘以(或都除以) 同一个不等
于零的整式,分式的值不变.
与分数类似,根据分式的基本性质,可以对分式进行
约分和通分.
●
例3
约分:
(1) - 16x
2y
3
20xy
4
; (2)
x
2 - 4
x
2 - 4x + 4.
●
分析
分式的约分,即要求把分子与分母的公因式
约去. 为此,首先要找出分子与分母的公因式.
●
解
(1) - 16x
2y
3
20xy
4
= - 4xy
3·4x
4xy
3·5y = - 4x
5y.
(2)
x
2 - 4
x
2 - 4x + 4 = (x + 2)(x - 2)
(x - 2)
2
= x + 2
x - 2.
你还记得分
数的基本性质吗?
试用分式的
基本性质说明这
里是怎样进行约
分的.
4 ·第16 章 分 式
约分后,分子与分母不再有公因式. 分子与分母没有
公因式的分式称为最简分式.
●
例4
通分:
(1)
1
a
2b, 1
ab
2; (2)
1
x - y,
1
x + y;
(3)
1
x
2 - y
2,
1
x
2 + xy.
●
分析
分式的通分,即要求把几个异分母的分式分
别化为与原来的分式相等的同分母的分式. 通分的关键
是确定几个分式的公分母,通常取各分母所有因式的最
高次幂的积作为公分母(叫做最简公分母). 例如题(1)
中的两个分式1
a
2b和1
ab
2,它们的最简公分母是a
2b
2.
●
解
(1)
1
a
2b与1
ab
2的最简公分母为a
2b
2,所以
1
a
2b =
1·b
a
2b·b =
b
a
2b
2,
1
ab
2 =
1·a
ab
2·a =
a
a
2b
2.
(2)
1
x - y与1
x + y的最简公分母为(x - y)(x + y),即
x
2 - y
2,所以
1
x - y =
1·(x + y)
(x - y)(x + y) =
x + y
x
2 - y
2,
1
x + y =
1·(x - y)
(x + y)(x - y) =
x - y
x
2 - y
2.
(3) 因为x
2 - y
2 = ,
x
2 + xy = ,
所以
1
x
2 - y
2 与
1
x
2 + xy的最简公分母为
,
因此
试用分式的基
本性质说明这里是
怎样进行通分的.
为确定最简公
分母,通常先将各分
母分解因式.
第16 章 分 式·5
1
x
2 - y
2 = ,
1
x
2 + xy = .
练 习
(第1 题)
1. 军训期间,小华打靶的成绩是m 发9 环
和n 发7 环,小华的平均成绩是每发多
少环?
2. 约分:
(1) 2ax
2y
3axy
2; (2) x
2 - 4
xy + 2y;
(3) 2ab - 2a
2
3ab - 3b
2 .
3. 通分:
(1) 1
3x
2,
5
12xy;
(2)
1
x
2 + x,
1
x
2 - x.
习题16. 1
1. 填空:
(1) 已知操场环形跑道一圈长400 米,甲、乙两人同时同地出发,沿跑道同向跑
步,甲的速度为a 米/ 秒,乙的速度为b 米/ 秒(a > b),甲跑步超过乙一圈需
秒;
(2) 巧克力糖的单价为每千克a 元,奶糖的单价为每千克b 元,将m 千克巧
克力糖和n 千克奶糖混合,这样得到的混合糖的平均单价是每千克
元.
2. 下列有理式中,哪些是整式? 哪些是分式?
1
x ,
1
2 (x + y),
x
3 ,
2
m - x,
x
x - 3,
4x + 9y
13
.
6 ·第16 章 分 式
(第6 题)
3. 当x 取什么值时,下列分式有意义?
(1) 1
2x; (2) x - 2
x + 2;
(3) x + 2
4x + 1;
(4)
4x
3x - 5.
4. 约分:
(1) (a - x)
2
(x - a)
3;
(2) x
2 - 2x + 1
x
2 - 1
.
5. 通分:
(1) c
ab, a
bc, b
ac;
(2)
1
x
2 + x,
- 1
x
2 + 2x + 1.
6. 某机械厂生产某种零件,第一道工序需要
将每根长10a 厘米、底面半径为r 厘米的
圆钢锻造为底面半径为a 厘米的圆钢. 锻
造后的圆钢长多少厘米?
16.2 分式的运算
1. 分式的乘除
计算:
(1) a
2
b
3·2b
2
3a ; (2) a
2
b
3 ÷ a
2b.
●
解
(1) a
2
b
3·2b
2
3a = a
2·2b
2
b
3·3a = 2a
3b.
(2) a
2
b
3 ÷ a
2b = a
2
b
3·2b
a = a
2·2b
b
3·a = 2a
b
2 .
回想分数的乘
除法,如何计算5
6 ×
9
10 和5
6 ÷ 3
4 ? 从中
可得到什么启示?
第16 章 分 式·7
概括
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作
为积的分母. 如果得到的不是最简分式,应该通过约分进
行化简.
分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与
被除式相乘.
●
例1
计算:
(1) a
2x
by
2 ·ay
2
b
2x; (2) a
2xy
b
2z
2 ÷ a
2yz
b
2x
2.
●
解
(1) a
2x
by
2·ay
2
b
2x = a
2x·ay
2
by
2·b
2x = a
3
b
3.
(2) a
2xy
b
2z
2 ÷ a
2yz
b
2x
2 = a
2xy
b
2z
2 ·b
2x
2
a
2yz = x
3
z
3 .
●
例2
计算: x - 2
x + 3·x
2 - 9
x
2 - 4.
●
解
原式= x - 2
x + 3·(x + 3)(x - 3)
(x + 2)(x - 2)
= x - 3
x + 2.
思考
怎样进行分式的乘方呢? 试计算:
(1)
a
b(
)
3
; (2)
a
b(
)
n
(n 为整数,且n≥2).
●
解
(1)
a
b
(
)
3
= a
b · a
b · a
b = a·a·a
b·b·b
= .
(2)
a
b
(
)
n
= a
b · a
b ·…· a
b
ü
þ
ý
ï
ïï
ï
ïï
n个
= a·a·…·a
ì
î
í
ï
ï
ï
ï
n个
b·b·…·b
ü
þ
ý
ïï
ï
ï
n个
= .
观察所得的结果,试总结出分式的乘方法则.
将分子、分母
分别分解因式,并
及时约分.
8 ·第16 章 分 式
练 习
1. 计算:
(1) b
a · a
c ; (2) x
2 - 4y
2
3xy
2
·
xy
x + 2y;
(3) 3y
10x ÷ 6y
2
5x
2;
(4)
x
x
2 - 1·x
2 + x
x
2
.
2. 计算:
(1)
y
- 2x
(
)
2
;
(2)
- 2a
c
2
(
)
3
.
2. 分式的加减
计算: (1) b
a + 2
a ; (2) 2
a
2 - 3
ab.
●
解
(1) b
a + 2
a = b + 2
a
.
(2) 2
a
2 - 3
ab = 2b
a
2b - 3a
a
2b = 2b - 3a
a
2b
.
概括
同分母的分式相加减,分母不变,分子相加减;
异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,
然后再加减.
●
例3
计算:(x + y)
2
xy
- (x - y)
2
xy
.
回想分数的加减
法,如何计算1
5 + 2
5
和1
4 + 1
6 ? 从中可得
到什么启示?
第16 章 分 式·9
●
解
(x + y)
2
xy
- (x - y)
2
xy
= (x + y)
2 - (x - y)
2
xy
= (x
2 + 2xy + y
2) - (x
2 - 2xy + y
2)
xy
= 4xy
xy = 4.
●
例4
计算: 3
x - 4 -
24
x
2 - 16.
●
分析
这里两个分式的分母不同,要先通分. 为此,
先找出它们的最简公分母. 注意到x
2 - 16 = (x + 4)(x -
4), 所以最简公分母是(x + 4)(x - 4).
●
解
3
x - 4 -
24
x
2 - 16
=
3
x - 4 -
24
(x + 4)(x - 4)
=
3(x + 4)
(x + 4)(x - 4) -
24
(x + 4)(x - 4)
=
3(x + 4) - 24
(x + 4)(x - 4)
=
3x - 12
(x + 4)(x - 4)
=
3(x - 4)
(x + 4)(x - 4)
=
3
x + 4.
练 习
1. 计算:
(1) 1
a + 2
a ; (2) 10
ab - 6
ab;
(3)
a
a + b +
b
a + b;
(4)
b
a - b +
a
b - a.
如果所得结果不
是最简分式, 应该通
过约分进行化简.
10
·第16 章 分 式
2. 计算:
(1) 1
u + 1
v ;
(2) b
a - b
4a
2;
(3)
4
a
2 - 1 -
2
a
2 + a;
(4)
4
a + 2 + a - 2.
习题16. 2
1. 计算:
(1) ny
mx·my
nx; (2) 12x
7y ÷ 8x
2y;
(3) x
2 - 2x + 1
x
2 - 1
÷ x - 1
x
2 + x;
(4)
- 3b
2a
(
)
2
.
2. 计算:
(1) b - c
a
+ b + c
a ;
(2) c
a - c
b ;
(3)
1
x + 1 +
1
1 - x;
(4)
x
2
x - 1 - x - 1.
3. 计算:
(1)
1
x
3 - 1
x
2 + 1
x
(
)·x
3;
(2) 1
2x -
1
x + y· x + y
2x
- x - y
(
).
4. 林林家与学校的距离为a 千米,林林骑自行车从家到学校需要b 分钟. 某天,林
林从家骑自行车出发c 分钟后,爸爸才从家骑自行车出发,结果爸爸与林林同
时到达学校. 爸爸每分钟比林林多骑多少千米?
5. 周末,小颖跟妈妈到水果批发市场去买苹果. 那里有两种苹果,甲种苹果每箱净
重m 千克,售价a 元;乙种苹果每箱净重n 千克,售价b 元. 请问,甲种苹果的单
价是乙种苹果的多少倍?
第16 章 分 式·11
类 比
学习分式时,我们注意将分式与分数进行类比,通过回忆分数的有关知识来
探索、发现、建立分式的新知识.
鲁班由小茅草割破手发明了锯,维也纳医生奥恩布鲁格由父亲敲击酒桶判
断酒的多少发明了扣诊法,仿生学利用生物的结构和功能原理来研制机械或各
种新技术. 这些平凡而伟大的创意都源自类比.
什么是类比呢? 数学家、数学教育家波利亚说过:“类比就是一种相似. ”具
体地说,类比是一种推理形式,当已经建立两个对象在某些性质上的类似之处以
后,可能(并非必定)推出它们在其他某些性质上的类似.
这种推理形式的结构可以表示如下:
对象A
有性质
P,
Q,
R,
…,
X
对象B
有性质
P,
Q,
R,
…
推测(猜想):
B 可能也有性质X
就拿分数和分式来说吧. 从表示形式和意义来看,分数的形式是a
b (a、b 是
整数,b ≠0),它表示两个整数的商;分式的形式是A
B (A、B 是整式,B ≠0), 它
表示两个整式的商.
从基本性质来看,分数的分子、分母同乘以一个不等于零的数,分数的大小
不变,它是分数约分和通分的依据;分式也有类似的基本性质,它是分式约分和
通分的依据.
其他方面,从约分、通分到运算,甚至是最简分式与最简分数(既约分数)的
概念,分式与分数都十分相似!
类比是我们学习数学的一种有效方法,我们还可以举出许多例子. 如学习整
式时,常常可以和整数类比. 两个整数的和、差、积仍是整数,但两个整数的商却
12
·第16 章 分 式
未必是整数,从而需要引进分数;类似地,两个整式的和、差、积仍是整式,但两个
整式的商未必是整式,从而需要引进分式. 整式的因式分解可以与整数的因数分
解类比,等等.
类比能揭示自然界的奥秘,它是数学发现的重要方法. 但类比不具有证明的
力量. 由类比得到的结论可能成立,也可能不成立,需要进一步研究,加以证明或
反驳.
科学家将火星与地球作了类比,发现火星有很多与地球类似之处:火星是行
星,围绕太阳运行,绕轴自转;火星上有大气层,空气成分很类似,一年中有四季
的变更;火星上有水,大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存. 地球
上有生命存在,科学家推测:火星上也可能有生命存在! 但事实究竟怎样,还需
进一步的科学考证.
在数学学习时理解这一点也很重要. 例如,学习一元一次不等式,它的解法、
步骤与解一元一次方程非常相似. 不等式与等式的性质也有类似的地方,但是不
能全盘照搬,特别是不等式的两边同乘以一个负数时,不等号的方向要改变,在
运用类比时应该引起注意.
16.3 可化为一元一次
方程的分式方程
问题
轮船在顺水中航行80 千米所需的时间和逆水中航行
60 千米所需的时间相同. 已知水流的速度是3 千米/ 时,
求轮船在静水中的速度.
第16 章 分 式·13
分析
设轮船在静水中的速度为x 千米/ 时,根据题意,
得
80
x + 3 =
60
x - 3.
(∗)
概括
方程(∗) 中含有分式,并且分母中含有未知数,像
这样的方程叫做分式方程.
思考
怎样解分式方程呢? 有没有办法可以去掉分式方程
中的分母,把它转化为整式方程呢? 试动手解一解上面
列出的方程(∗).
●
解
方程两边同乘以(x + 3)(x - 3),约去分母,
得
80(x - 3) = 60(x + 3).
解这个整式方程,得
x = 21.
由此可得问题的答案:轮船在静水中的速度为21 千
米/ 时.
回顾一下解一
元一次方程时是怎
样去分母的,从中能
否得到一点启发?
14
·第16 章 分 式
概括
上述解分式方程的过程,实质上是将方程的两边都
乘以同一个整式,约去分母,把分式方程转化为整式方程
来解. 所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公
分母.
●
例1
解方程:
1
x - 1 =
2
x
2 - 1.
●
解
方程两边同乘以(x
2 - 1),约去分母,得
x + 1 = 2.
解这个整式方程,得
x = 1.
解到这儿,我们能不能说x = 1 就是原分式方程
的解( 或根) 呢? 细心的同学可能会发现, 当x = 1
时,原分式方程左边和右边的分母( x - 1) 与( x
2 - 1)
都是0,方程中出现的两个分式都没有意义, 因此,
x = 1 不是原分式方程的解,应当舍去. 所以原分式方
程无解.
我们看到,在将分式方程变形为整式方程时,方程两
边同乘以一个含有未知数的整式,并约去了分母,有时可
能产生不适合原分式方程的解(或根),这种根通常称为
增根. 因此,在解分式方程时必须进行检验.
解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方
程的根是否使原分式方程中分式的分母为零. 有时为
了简便起见,也可将它代入所乘的整式( 即最简公分
母),看它的值是否为零. 如果为零,即为增根. 如例1
中的x = 1,代入x
2 - 1,其值为0,可知x = 1 是原分式
方程的增根.
一元方程
的解也称为方
程的根.
第16 章 分 式·15
有了上面的经验, 我们再来完整地解一个分式
方程.
●
例2
解方程: 100
x
=
30
x - 7.
●
解
方程两边同乘以x(x - 7),约去分母,得
100(x - 7) = 30x.
解这个整式方程,得
x = 10.
检验: 把x = 10 代入x(x - 7),得
10 × (10 - 7) ≠0,
所以,x = 10 是原方程的解.
●
例3
用计算机处理数据,为了防止数据输入出
错,某研究室安排两位程序操作员各输入一遍,比较两人
的输入是否一致. 两人各输入2 640 个数据,已知甲的输
入速度是乙的2 倍,结果甲比乙少用2 小时输完. 这两个
操作员每分钟各能输入多少个数据?
●
解
设乙每分钟能输入x 个数据,则甲每分钟能
输入2x 个数据,根据题意,得
2 640
2x
= 2 640
x
- 2 × 60.
解得
x = 11.
经检验, x = 11 是原方程的解. 并且,当x = 11 时,
2x = 2 × 11 = 22, 所以乙用了240 分钟,甲用了120 分
钟,甲比乙少用了120 分钟,符合题意.
答: 甲每分钟能输入22 个数据,乙每分钟能输入11
个数据.
也可代入原
方程检验, 试试
看.
16
·第16 章 分 式
练 习
1. 解方程:
(1)
4
x - 1 = 1;
(2)
3
x + 1 =
5
x + 3.
2. 解方程:
(1)
2
x - 1 =
3
2x + 1;
(2)
1
x - 2 + 3 = 1 - x
2 - x.
3. A 市与甲、乙两地的距离分别为400 千米和350 千米,从A 市开往甲地列车的速
度比从A 市开往乙地列车的速度快15 千米/ 时,结果从A 市到甲、乙两地所需时
间相同. 求从A 市开往甲、乙两地列车的速度.
4. 试解决本章导图中提出的问题.
习题16. 3
1. 解方程:
(1) 2
x =
3
x + 1;
(2) x - 1
x - 2 =
1
x - 2;
(3)
x
x - 6 = x - 2
x - 3;
(4)
2x
2x + 5 +
5
5x - 2 = 1.
2. 供电局的电力维修工人要到30 千米远的郊区进行电力抢修. 维修工人骑摩托
车先走,15 分钟后,抢修车装载着所需材料出发,结果他们同时到达. 已知抢修
车的速度是摩托车的1. 5 倍,求这两种车的速度.
3. 甲、乙两地之间的高速公路全长200 千米,比原来国道的长度减少了20 千米.
高速公路通车后,某长途汽车的行驶速度提高了45 千米/ 时,从甲地到乙地的
行驶时间缩短了一半. 求该长途汽车在原来国道上行驶的速度.
第16 章 分 式·17
The symbol 5is called five factorial 5 的阶
乘 and means 5 4 3 2 1. Thus 5= 120.
What is the result of (n - 1)
n
Do you know
16.4 零指数幂与负
整数指数幂
1. 零指数幂与负整数指数幂
问题
在12. 1 节中介绍同底数幂的除法公式a
m ÷ a
n =
a
m-n 时,有一个附加条件: m > n, 即被除数的指数大于
除数的指数. 当被除数的指数不大于除数的指数,即
m = n 或m < n 时,情况怎样呢?
探索
先考察被除数的指数等于除数的指数的情况. 例如
下列算式:
5
2 ÷ 5
2, 10
3 ÷ 10
3, a
5 ÷ a
5(a≠0).
一方面,如果仿照同底数幂的除法公式来计算,
出现
I know the
answer!
为什么约
定a≠0?
18
·第16 章 分 式
5
2 ÷ 5
2 = 5
2 -2 = 5
0,
10
3 ÷ 10
3 = 10
3 -3 = 10
0,
a
5 ÷ a
5 = a
5 -5 = a
0(a ≠0).
另一方面,由于这几个式子的被除式等于除式,由除
法的意义可知,所得的商都等于1.
概括
由此启发,我们规定:
a
0 = 1(a ≠0).
这就是说: 任何不等于零的数的零次幂都等于1.
零的零次幂没有意义.
探索
我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情
况,例如下列算式:
5
2 ÷ 5
5, 10
3 ÷ 10
7.
一方面,如果仿照同底数幂的除法公式来计算,出现
5
2 ÷ 5
5 = 5
2 -5 = 5
-3,
10
3 ÷ 10
7 = 10
3 -7 = 10
-4.
另一方面,我们可以利用约分,直接算出这两个式子
的结果为
5
2 ÷ 5
5 = 5
2
5
5 =
5
2
5
2 × 5
3 = 1
5
3,
10
3 ÷ 10
7 = 10
3
10
7 =
10
3
10
3 × 10
4 =
1
10
4.
概括
由此启发,我们规定:
这里出现了5
0、
10
0、a
0,怎样认识它
们的含义? 试根据除
法的意义想一想.
这里出现了
5
- 3、10
- 4, 怎样认
识它们的含义? 直
接算一算,想一想.
第16 章 分 式·19
5
-3 = 1
5
3, 10
-4 =
1
10
4.
一般地,我们规定
a
-n = 1
a
n (a≠0, n 是正整数).
这就是说,任何不等于零的数的- n(n 为正整数)
次幂,等于这个数的n 次幂的倒数.
●
例1
计算:
(1) 3
- 2; (2)
1
3(
)
0
× 10
- 1.
●
解
(1) 3
-2 = 1
3
2 = 1
9 .
(2)
1
3
(
)
0
× 10
-1 = 1 × 1
10
1 = 1
10.
●
例2
用小数表示下列各数:
(1) 10
- 4; (2) 2. 1 × 10
- 5.
●
解
(1) 10
-4 =
1
10
4 = 0. 000 1.
(2) 2. 1 × 10
-5 = 2. 1 × 1
10
5 = 2. 1 × 0. 000 01
= 0. 000 021.
探索
我们知道,正整数指数幂有如下运算性质(12. 1
节):
(1) a
m·a
n = a
m+n;
(2) a
m ÷ a
n = a
m-n(a ≠0);
(3) (a
m)
n = a
mn;
(4) (ab)
n = a
n·b
n.
上述各式中,m、n 都是正整数,在性质(2)中还要求
m > n.
20
·第16 章 分 式
现在,我们已经引进零指数幂和负整数指数幂,指
数的范围扩大到了全体整数,上述幂的运算性质是否
还成立呢? 也就是说,以上这些性质中,原来的限制
是否可以取消,只要m、n 是整数就可以了呢? 我们
不妨取m、n 的一些特殊值,来检验一下上述性质是
否成立.
例如,取m = 2, n = - 3, 我们来检验性质(1):
a
m·a
n = a
2·a
-3 = a
2·1
a
3 = 1
a ,
而
a
m+n = a
2 +( -3) = a
-1 = 1
a ,
所以,这时性质(1)成立.
类似地,我们可以检验幂的其他运算性质的正确性.
请同学们自己试一试.
2. 科学记数法
在2. 12 节中,我们曾用科学记数法表示一些绝对值
较大的数,即利用10 的正整数指数幂,把一个绝对值较
大的数表示成a × 10
n 的形式,其中n 是正整数, 1 ≤
| a | < 10. 例如,864 000 可以写成8. 64 × 10
5.
类似地,我们可以利用10 的负整数指数幂,用科学
记数法表示一些绝对值较小的数, 即将它们表示成
a × 10
- n的形式,其中n 是正整数, 1 ≤| a | < 10. 例如,
0. 000 021 可以表示成2. 1 × 10
- 5.
练 习
1. 计算:
(1) ( - 0. 1)
0;
(2)
1
2012
(
)
0
;
再取几个m、
n 的值( 其中至少
有一个是负整数
或零)试一试.
第16 章 分 式·21
(3) 2
- 2;
(4)
1
2(
)
- 2
.
2. 用10 的负整数指数幂填空:
(1) 1 秒是1 微秒的1 000 000 倍,1 微秒= 秒;
(2) 1 毫克= 千克;
(3) 1 微米= 米;
(4) 1 纳米= 微米;
(5) 1 平方厘米= 平方米;
(6) 1 毫升= 立方米.
3. 用科学记数法表示下列各数:
(1) 0. 000 03;
(2) - 0. 000 006 4;
(3) 0. 000 031 4;
(4) 2 013 000.
4. 计算下列各式,并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式:
(1) (a
- 3)
2(ab
2)
- 3;
(2) (2mn
2)
- 2(m
- 2n
- 1)
- 3.
习题16. 4
1. 计算:
(1) 5
10 ÷ 25
4;
(2) ( - 117)
0;
(3) 4
- 2;
(4)
- 1
4
(
)
- 2
.
2. 计算下列各式,要求在结果中不出现负整数指数幂:
(1) (x
- 3yz
- 2)
2;
(2) (a
3b
- 1)
- 2(a
- 2b
2)
2;
(3) (2m
2n
- 3)
3( - mn
- 2)
- 2.
3. 已知空气的单位体积质量是0. 001 239 g / cm
3,试用科学记数法表示该数. (单
位仍用“g / cm
3”)
22
·第16 章 分 式
光年和纳米
在阅读报纸、杂志或科技书刊时,有时我们会看到“光年”、“纳米”这两个名
称,你知道它们的含义吗?
光年(light year)是天文学中使用的长度单位,符号为l. y. ,主要用于计量太
阳系外天体之间的距离. 1 光年是指光在真空中一年时间所走的距离,它可由速
度(光速)和时间(一年)算出来:
真空中的光速为 c = 299 792. 458 千米/ 秒,
1 年≈60 × 60 × 24 × 365. 25(秒),
故
1 光年≈299 792. 458 × 60 × 60 × 24 × 365. 25
≈9. 46 × 1012(千米).
这就是说,一光年约等于9. 46 万亿千米.
离太阳最近的恒星(半人马座比邻星)与太阳的距离为4. 22 光年. 银河系的
直径约为10 万光年. 人类所观测的宇宙深度已达到150 亿光年. 你能算出这些
距离等于多少千米吗? 从中你可以体会到用光年作单位的优越性.
光年用来计量非常大的距离,而纳米( nanometer) 则是表示微小距离的单
位,符号为nm. 1 纳米= 10 -9 米(即1
109 米). 由于1 米= 103 毫米,所以可以算出
1 纳米= 10 -6 毫米,它相当于1 毫米的一百万分之一. 而1 毫米相当于我们通常
使用的刻度尺上的一小格,可想而知,1 纳米是多么的小.
当粒子的大小处在1 ! 100 纳米范围内,可称为纳米粒子. 纳米粒子的尺寸
小,表面积大,具有高度的活性. 因此,利用纳米粒子可制备活性极高的催化剂,在
火箭固体燃料中掺入铝的纳米微粒,可提高燃烧效率. 利用铁磁纳米材料可制成磁
性信用卡、磁性钥匙,以及高性能录像带等. 利用纳米材料等离子共振频率的可调
性可制成隐形飞机的涂料. 纳米材料的表面积大,对外界环境(物理的和化学的)
十分敏感,在制造传感器方面是有前途的材料,目前已开发出测量温度、热辐射和
检测各种特定气体的传感器. 纳米材料在生物学和医学工程中也有重要应用.
纳米材料科学是20 世纪80 年代末诞生并正在崛起的科技新领域,它已成
为人们普遍关注的一个科技热点.
第16 章 分 式·23
一、知识结构
二、要点
1. 分式的基本性质及分式的运算与分数的情形类似,在学习分式
时,要注意与分数进行类比.
2. 解分式方程的基本思想是把含有未知数的分母去掉,将分式方
程转化为整式方程来解. 这时可能会出现增根,必须进行检验. 要理解
增根产生的原因,体会检验的必要性,并会进行检验.
3. 引进零指数幂与负整数指数幂后,幂的概念和运算性质扩充到
了整数指数幂的范围. 有了负整数指数幂,绝对值较小的数也可以用
科学记数法来表示.
24
·第16 章 分 式
A组
1. 填空:
(1) 某梨园m 平方米产梨n 千克,平均每平方米产梨 千克;
(2) 某工厂原计划a 天完成b 件产品,现在需要提前n 天完成,每天要比原来
多生产产品 件;
(3) 德国著名物理学家普朗克发现: 能量子= h × 频率. 这里的h 被称为普朗
克常数,约为0. 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 663 焦·秒,
用科学记数法可简洁地记为 焦·秒;
(4) 一种微粒的半径是4 × 10
- 5米,用小数表示为 米;
(5) 一个纳米粒子的直径是35 纳米,若用科学记数法表示,则为 米.
2. 计算:
(1)
- 1 1
7
(
)
0
;
(2) 0. 01
- 1;
(3) 5
- 2;
(4) ( - 0. 1)
- 2.
3. 用科学记数法表示下列各数:
(1) 100 000;
(2) 0. 000 01;
(3) - 112 000;
(4) - 0. 000 112.
4. 把下列各有理式分别填入相应的圈中:
1
x
2 ,
1
5 (x + y),
3
- x,
0,
a
3 ,
ab
2 + 1
c ,
x
2 + y.
整式
分式
5. 写出下列各等式中未知的分子或分母:
(1)
1 - x
2
(x + 1)
2 =
?
x + 1;
(2)
?
c
2 + 7c =
1
c + 7;
第16 章 分 式·25
(3) a - 2
?
=
1
2a + 7;
(4)
3x
2x + 3 = 9x
2 - 6x
?
.
6. 约分:
(1) ab
2a
2;
(2) - 3x
2y
9xyz ;
(3)
x
2 - 3
2x
3 - 6x;
(4) x
2 - 2xy + y
2
x
2 - y
2
.
7. 通分:
(1) 1
ax, 1
bx;
(2)
b
a - x,
c
ay - xy;
(3)
2
x + 1,
3
x + 2;
(4)
1
2x + 5,
2
4x
2 - 25.
8. 计算:
(1) xy(x + y)
(x - y)
2 · x - y
xy + y
2;
(2)
y
6x
2
(
)
2
÷
- y
2
4x
(
)
2
;
(3) (a - b)
2
ab
- a
2 - b
2
ab
;
(4)
3
a - 1 -
2
2 - a.
9. 解下列分式方程:
(1)
1
x + 1 + 1
2 = 5
6 ;
(2)
2
x - 3 =
3
x - 2;
(3)
1
x
2 + 5x - 6 =
1
x
2 + x + 6.
10. 某校n 名学生参加市法律知识竞赛,他们的成绩分别为a1, a2,…,an,这n 名学
生的平均成绩为多少?
11. 甲、乙两辆汽车分别从A、B 两城同时沿高速公路驶向C 城. 已知A、C 两城的
路程为450 千米,B、C 两城的路程为400 千米,甲车比乙车的速度快10
千米/ 时,结果两辆车同时到达C 城. 求两车的速度.
B组
12. 计算:
(1)
a
2
a - b - a - b;
(2)
1 -
2
x + 1
(
)
2
÷ x - 1
x + 1;
26
·第16 章 分 式
(3)
2ab
(a - b)(a - c) +
2bc
(a - b)(c - a);
(4)
1
x - y +
1
x + y
(
) ÷
xy
x
2 - y
2.
13. 某服装制造厂要在开学前赶制3000 套校服,为了尽快完成任务,厂领导合理调
配,加强第一线人力,使每天完成的校服比原计划多了20% ,结果提前4 天完
成任务. 问原计划每天能完成多少套校服?
14. 一辆货车送货上山,并按原路下山. 上山速度为a 千米/ 时,下山速度为b
千米/ 时. 求货车上、下山的平均速度.
C组
15. (1) 已知a + 1
a = 2, 求a
2 + 1
a
2的值;
(2) 已知a - 1
a = 3
2 , 求a
2 + 1
a
2的值.
16. 观察下面依次排列的一串单项式:
x, - 2x
2, 4x
3, - 8x
4, 16x
5,…
(1) 从第二个单项式起,计算每一个单项式与它前面的单项式的商,你有什么
发现?
(2) 如果按你发现的规律继续写下去,第10 个单项式是什么?
28
·第17 章 函数及其图象
17.1 变量与函数
问题1
图17. 1. 1 是某地一天内的气温变化图.
图17. 1. 1
看图回答:
(1) 这天的6 时、10 时和14 时的气温分别为多少?
任意给出这天中的某一时刻,说出这一时刻的气温.
(2) 这一天中,最高气温是多少? 最低气温是多少?
(3) 这一天中,什么时段的气温在逐渐升高? 什么
时段的气温在逐渐降低?
从图中我们可以看到,随着时间t(时)的变化,气温
T(℃)也随之变化.
问题2
小蕾在过14 岁生日的时候,看到了爸爸为她记录的
各周岁时的体重,如下表:
周岁
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
体重
(kg)
7. 9
12. 2
15. 6
18. 4
20. 7
23. 0
25. 6
28. 5
31. 2
34. 0
37. 6
41. 2
44. 9
观察上表,说一说随着年龄的增长,小蕾的体重是如
何变化的? 在哪一段时间内体重增加较快?
这张图告
诉我们哪些信
息?
这张图展
示了各时刻的
气温,并可看出
一天的气温变
化规律.
第17 章 函数及其图象·29
问题3
收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米(m)和千
赫兹(kHz)为单位标刻的. 下面是一些对应的数值:
波长λ(m)
300
500
600
1 000
1 500
频率f(kHz)
1 000
600
500
300
200
细心的同学可能会发现:每一列λ 与f 的对应值的
乘积是一个定值,即
λ f = 300 000,
或者说
f = 300 000
λ
.
可以看出:波长λ 越大,频率f 就 .
问题4
圆的面积随着半径的增大而增大. 如果用r 表示圆
的半径,S 表示圆的面积,则S 与r 之间满足下列关系:
S = .
利用这个关系式,试求出半径为1 cm、1. 5 cm、
2 cm、2. 6 cm、3. 2 cm 时圆的面积,并将结果填入下表:
半径r(cm)
1
1. 5
2
2. 6
3. 2
…
圆面积S(cm2)
…
概括
在上面的问题中,我们研究了一些数量关系,它们都
30
·第17 章 函数及其图象
刻画了某些变化规律. 这里出现了各种各样的量,特别值
得注意的是出现了一些数值会发生变化的量. 例如问题1
中,刻画气温变化规律的量是时间t 和气温T,气温T 随着
时间t 的变化而变化,它们可以取不同的数值. 像这样在某
一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量(variable).
上面各个问题中,都出现了两个变量,它们互相依赖,
密切相关. 一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量,
例如x 和y,对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与之对
应,我们就说x 是自变量(independent variable),y 是因变
量(dependent variable),此时也称y 是x 的函数(function).
表示函数关系的方法通常有三种:
(1) 解析法. 如问题3 中的f = 300 000
λ
, 问题4 中的
S = πr
2, 函数关系是用表达式表示的,它们又称函数关
系式;
(2) 列表法. 如问题2 中小蕾的体重表,问题3 中波
长与频率的关系表;
(3) 图象法. 如图17. 1. 1 中的气温曲线.
在问题的研究过程中,还有一种量,它的取值始终保
持不变, 我们称之为常量( constant). 如问题3 中的
300 000,问题4 中的π 等都是常量.
在研究函数时,必须注意自变量的取值范围. 实际问
题中,自变量的取值必须符合实际意义. 例如,上述问题
4 中,自变量r 表示圆的半径,不能为负数和零,即它的
取值范围为一切正实数.
练 习
1. 举出3 个日常生活中遇到的变量与函数的例子.
2. 下表是某城市2012 年统计的中小学男学生各年龄组的平均身高:
年龄组(岁)
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
平均身高
(cm)
117
121
125
130
135
142
148
155
162
167
170
172
在其他三个
问题中, 有哪些
变量?
试说出上面
四个问题中的自
变量与因变量.
第17 章 函数及其图象·31
观察此表,回答下列问题:
(1) 该市14 岁男学生的平均身高是多少?
(2) 该市男学生的平均身高从哪一岁开始增加特别迅速?
(3) 这里反映了哪些变量之间的关系? 其中哪个是自变量? 哪个是因变量?
3. 写出下列各问题中的函数关系式,并指出自变量的取值范围:
(1) 圆的周长C 是半径r 的函数;
(2) 火车以60 千米/ 时的速度行驶,它驶过的路程s(千米)是所用时间t(时)的
函数;
(3) n 边形内角和的度数S 是边数n 的函数.
(1) 填写如图17. 1. 2 所示的10 以内正整数的加
法表,然后把所有填有10 的格子涂黑,看看你能发现
什么?
(2) 如果把这些涂黑的格子横向的加数用x 表示,
纵向的加数用y 表示,y 是x 的函数,试写出这个函数关
系式.
(3) 当涂黑的格子横向的加数为3 时,纵向的加数
是多少? 当纵向的加数为6 时,横向的加数是多少?
●
例1
等腰三角形顶角的度数y 是底角度数x 的
函数,试写出这个函数关系式,并求出自变量x 的取值
范围.
●
解
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定
理,可知
2x + y = 180,
有
y = 180 - 2x.
由于等腰三角形的底角只能是锐角,所以自变量的
取值范围是0 < x < 90.
图17. 1. 2
32
·第17 章 函数及其图象
●
例2
如图17. 1. 3,已知等腰直角三角形ABC 的
直角边长与正方形MNPQ 的边长均为10 cm, CA 与MN
在同一条直线上,开始时点A 与点M 重合,让△ABC 向
右移动,最后点A 与点N 重合.
(1) 试写出两图形重叠部分的面积y(cm
2)与线段
MA 的长度x(cm)之间的函数关系式.
(2) 当点A 向右移动1 cm 时,重叠部分的面积是
多少?
●
解
(1) 重叠部分的面积y 与线段MA 的长度x
之间的函数关系式为
y = 1
2 x
2.
(2) 点A 向右移动1 cm,即x = 1.
当x = 1 时,y = 1
2 × 1
2 = 1
2 .
所以当点A 向右移动1 cm 时,重叠部分的面积是
1
2 cm
2.
练 习
1. 当x = - 2 和x = 3 时,分别求出下列函数的函数值:
(1) y = 5x + 7
2
;
(2) y = x
2 - x - 2.
2. 分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围:
(1) 某地民用电费标准为每度0. 50 元,电费y(元)是用电度数x 的函数;
(2) 已知等腰三角形的面积为20 cm
2,设它的底边长为x( cm),底边上的高
y(cm)是x 的函数;
(3) 在一个半径为10 cm 的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆,得到一
个圆环,设圆环的面积为S(cm
2),S 是r 的函数.
3. 一架雪橇沿一斜坡滑下, 经过时间t ( 秒) 滑下的路程s ( 米) 由下式给出:
s = 10t + 2t
2. 假如从坡顶滑到坡底的时间为8 秒,试问坡长为多少?
图17. 1. 3
这里自变
量x 的取值范围
是什么?
可以这样说:
当自变量x = 1 时,
函数值y = 1
2 .
第17 章 函数及其图象·33
习题17. 1
(第4 题)
1. 分别写出下列各函数的关系式,并指出自变量的取值范围:
(1) 三角形的一边长为5 cm,它的面积S( cm
2 ) 是这边上的高h( cm) 的
函数;
(2) 设直角三角形中一个锐角的度数为α, 另一个锐角的度数β 是α 的
函数;
(3) 某种报纸的单价为1. 50 元,购买这种报纸x 份的总价y( 元) 是x 的
函数.
2. 分别写出下列各问题中的函数关系式,并指出自变量的取值范围:
(1) 一个正方形的边长为3 cm,它的边长减少x cm 后,得到的新正方形周长为
y cm,y 是x 的函数;
(2) 寄一封重量在20 克以内的市内平信,需邮资0. 80 元,寄n 封这样的信所
需邮资y(元)是n 的函数;
(3) 长方形的周长为12 cm,它的面积S(cm
2)是它的一条边长x(cm)的函数.
3. 当x = 2 及x = - 3 时,分别求出下列函数的函数值:
(1) y = (x + 1)(x - 2);
(2) y = 2x
2 - 3x + 2;
(3) y = x + 2
x - 1.
4. 填写如图所示的10 以内正整数的乘法表,然后把所有填有24 的格子涂黑. 若
用x 表示涂黑的格子横向的乘数,y 表示涂黑的格子纵向的乘数,试写出y 与x
之间的函数关系式.
34
·第17 章 函数及其图象
17.2 函数的图象
由17. 1 节的问题1,我们知道,气温变化图可以直
观地表示出不同时刻的气温,反映出气温变化的规律.
一般地,函数常常可以用它的图象来表示,利用函数
的图象可以帮助我们直观地研究函数. 那么,什么是函数
的图象? 怎样画出函数的图象呢? 这一节我们将对此作
一些初步的研究. 为此,先学习一个非常有用的工具———
平面直角坐标系.
1. 平面直角坐标系
回忆
你去过电影院吗? 还记得在电影院里是怎么找座位
的吗?
如图17. 2. 1,因为电影票上都标有“ × 排× 座”的字
样,所以找座位时,先找到第几排,再找到这一排的第几
座就可以了. 也就是说,电影院里的座位完全可以由两个
数确定下来.
∗为了纪念法国数学家笛卡儿(RenDescartes, 1596
1650),通常称
为“笛卡儿直角坐标系”.
在数学中,我们可以用一对有序实数来确定平面上
点的位置. 为此,在平面上画两条原点重合、互相垂直且
具有相同单位长度的数轴(图17. 2. 2),这就建立了平面
直角坐标系(rectangular coordinates system)
∗. 通常把其
中水平的数轴叫做x 轴或横轴,取向右为正方向;铅直的
数轴叫做y 轴或纵轴,取向上为正方向;两条数轴的交点
O 叫做坐标原点.
图17. 2. 1
图17. 2. 2
第17 章 函数及其图象·35
在平面直角坐标系中,任意一点都可以用一对有序
实数来表示. 例如,图17. 2. 2 中的点P,从点P 分别向x
轴和y 轴作垂线,垂足分别为点M 和点N. 这时,点M 在
x 轴上对应的数为3,称为点P 的横坐标(abscissa);点N
在y 轴上对应的数为2,称为点P 的纵坐标(ordinate).
依次写出点P 的横坐标和纵坐标,得到一对有序实数
(3, 2), 称为点P 的坐标(coordinate). 这时点P 可记作
P(3, 2).
在平面直角坐标系中,两条坐标轴把平面分成如图
17. 2. 2 所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域,分别称为第一、
二、三、四象限. 坐标轴上的点不属于任何一个象限.
1.
在图17. 2. 2 中分别描出坐标是( 2, 3 )、
( - 2, 3)、(3, - 2)的点Q、S、R, Q(2, 3)与P(3, 2)
是同一个点吗? S( - 2, 3)与R(3, - 2)是同一个点吗?
2. 写出图17. 2. 3 中的点A、B、C、D、E、F 的坐
标. 观察你所写出的这些点的坐标,思考:
(1) 在四个象限内的点的坐标各有什么特征?
(2) 两条坐标轴上的点的坐标各有什么特征?
思考
我们知道,数轴上的点和全体实数是一一对应的. 上
面的“试一试”也给我们这样的启发: 平面直角坐标系中
的点和有序实数对也是一一对应的. 你能说出这句话的
含义吗?
练 习
1. 在平面直角坐标系中描出点A(2, - 3),分别找出它关于x 轴、y 轴及原点的对
称点,并写出这些点的坐标.
这里得到的
结果告诉我们什
么?
图17. 2. 3
36
·第17 章 函数及其图象
(第3 题)
2. 观察你在第1 题中写出的各点的坐标,能否发现: 关于x 轴对称的两点的坐标之
间有什么关系? 关于y 轴对称的两点的坐标之间有什么关系? 关于原点对称的
两点的坐标之间又有什么关系?
3. 在如图所示的国际象棋棋盘中,双方四只马的位置分
别是点A(b, 3)、B(d, 5)、C(f, 7)、D(h, 2),请在图
中描出它们的位置.
4. 你用过计算机中的画图软件吗? 当你的鼠标在空白的
工作区移动时,状态栏上就会显示两个变化的数字,这
实际上就是你的鼠标的“坐标”. 你还能举出一些日常
生活中的坐标的例子吗?
2. 函数的图象
回顾
在17. 1 节的问题1 中,我们曾经从图17. 1. 1 的气
温曲线上获得许多信息,回答了一些问题. 现在让我们来
回顾一下,作一些理性的思考. 先考虑一个简单的问题:
你是如何在图中找到各个时刻的气温的?
图17. 1. 1 中,有一个平面直角坐标系,它的横轴是t
轴,表示时间;它的纵轴是T 轴,表示气温. 这一气温曲线
实际上给出了某日的气温T(℃)与时刻t(时)之间的函
数关系. 例如,上午10 时的气温是2℃,表现在气温曲线
上,就是可以找到这样的对应点,它的坐标是(10, 2). 实
质上也就是说,当t = 10 时,对应的函数值T = 2. 气温曲
线上每一个点的坐标(t, T),表示时刻为t(时)的气温是
T(℃).
气温曲线是用图象表示函数的一个实际例子. 那么,
什么是函数的图象呢?
“ 早上6 点
的气温是零下
1℃”,在图中体现
在哪里?
第17 章 函数及其图象·37
概括
一般来说,函数的图象是由平面直角坐标系中一系
列的点组成的. 图象上每一点的坐标(x, y)代表了函数
的一对对应值,它的横坐标x 表示自变量的某一个值,纵
坐标y 表示与该自变量对应的函数值.
●
例1
画出函数y = 1
2 x
2 的图象.
●
分析
要画出一个函数的图象,关键是要画出图象
上的一些点,为此,首先在自变量的取值范围内,适当取
一些自变量的值,并求出对应的函数值.
●
解
取自变量x 的一些值,例如x = - 3, - 2,
- 1, 0, 1, 2, 3,…, 计算出对应的函数值. 为表达方便,
可列表如下:
x
…
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
…
y
…
4. 5
2
0. 5
0
0. 5
2
4. 5
…
由这一系列的对应值,可以得到一系列的有序实
数对:
…, ( - 3, 4. 5), ( - 2, 2), ( - 1, 0. 5), (0, 0),
(1, 0. 5), (2, 2), (3, 4. 5),…
在平面直角坐标系中,描出这些有序实数对(坐标)
的对应点,如图17. 2. 4 所示.
图17. 2. 4
再多算一些对
应值,增补一些对应
点,你能发现什么?
是不是这些点好像
逐渐“连”起来了?
38
·第17 章 函数及其图象
通常,用光滑曲线依次把这些点连起来,便可得到这
个函数的图象,如图17. 2. 5 所示.
图17. 2. 5
这里画函数图象的方法,可以概括为列表、描点、连
线三步,通常称为描点法.
练 习
1. 在所给的平面直角坐标系中画出函数y = 1
2 x 的图象. (先填写下表,再描点、连线)
x
…
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
…
y
…
…
(第1 题)
2. 画出函数y = - 6
x 的图象.
第17 章 函数及其图象·39
●
例2
王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼,主
要活动是爬山. 有一天,小强让爷爷先上山,然后追赶爷
爷,两人都爬上了山顶. 图17. 2. 6 中的两条线段分别表示
小强和爷爷离开山脚的距离y(米) 与爬山所用时间x
(分)之间的函数关系(从小强开始爬山时计时),看图回
答下列问题:
图17. 2. 6
(1) 小强让爷爷先上山多少米?
(2) 山顶离山脚的距离有多少米? 谁先爬上山顶?
(3) 小强何时赶上爷爷? 这时距山脚的距离是
多少?
练 习
1. 下图为世界总人口数的变化图. 根据图象回答:
(1) 从1830 年到2011 年,世界总人口数呈怎样的变化趋势?
(2) 哪段时间世界总人口数变化较快?
(第1 题)
为了表达的方便,
这里平面直角坐标系
的横轴和纵轴上取的
单位长度不一致,这不
影响对问题的表达
和理解.
40
·第17 章 函数及其图象
2. 一支蜡烛长20 厘米,点燃后每小时燃烧掉5 厘米,下列3 幅图象中,哪幅能大
致刻画出这支蜡烛点燃后剩下的长度h( 厘米) 与点燃时间t( 时) 之间的函数
关系?
(第2 题)
3. 小明从家里出发,外出散步,到一个公共阅报栏前看了一会儿报后,继续散步了
一段时间,然后回家. 下图描述了小明在散步过程中离家的距离s(米) 与散步所
用时间t(分)之间的函数关系. 你能根据图象说出小明散步过程中的一些具体信
息吗?
(第3 题)
画出17. 1 节例2(1) 中函数的图象,并结合图象指
出重叠部分面积的最大值.
可要注意
自变量的取值
范围哟!
第17 章 函数及其图象·41
习题17. 2
(第3 题)
1. 判断下列说法是否正确:
(1) 点(2, 3)和点(3, 2)表示同一个点;
(2) 点( - 4, 1)与点(4, - 1)关于原点对称;
(3) 坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0;
(4) 第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数.
2. 在平面直角坐标系中描出下列各点,顺次用线段将这些点连起来,并将最后一
个点与第一个点连起来,看看得到的是什么图形?
- 1
2 , 0
(
),
- 1
2 , 1
(
),
- 3 1
2 , 1
(
),
- 1 1
2 , 3
(
),
- 2 1
2 , 3
(
),
- 1
2 , 6
(
),
( - 1, 6), ( 0, 8 ), ( 1, 6 ),
1
2 , 6
(
),
2 1
2 , 3
(
),
1 1
2 , 3
(
),
3 1
2 , 1
(
),
1
2 , 1
(
),
1
2 , 0
(
).
3. 下图是一个围棋棋盘,我们可以用类似于平面直角坐标系的方法表示各个棋子
的位置. 例如,图中右下角那个棋子的位置可以表示为(12,十三). 请写出图中
几个棋子的“位置”(至少写出四个).
4. 画出下列函数的图象,并判断大括号内各点是否在该函数的图象上:
(1) y = 3x - 1, { (0, - 1), ( - 2, - 7), (1, - 2), (2. 5, 6. 5) } ;
(2) y =
2
x + 1 (x ≥0), { (0, 2),
2, 2
3
(
), (3, 1) } .
5. 已知等腰三角形的周长为12 cm,底边长y(cm)是腰长x(cm)的函数.
(1) 写出这个函数关系式;
42
·第17 章 函数及其图象
(第6 题)
(2) 求自变量x 的取值范围;
(3) 画出这个函数的图象.
6. 周末,小李8 时骑自行车从家里出
发,到野外郊游,16 时回到家里. 他
离家的距离s(千米)与时间t(时)之
间的函数关系可以用图中的折线表
示. 根据图象回答下列问题:
(1) 小李到达离家最远的地方是什
么时间?
(2) 小李何时第一次休息?
(3) 11 时到12 时,小李骑了多少千米?
(4) 返回时,小李的平均车速是多少?
笛卡儿的故事
直角坐标系,通常称为笛卡儿直角坐标系,它是
以法国哲学家、数学家和自然科学家笛卡儿的名字命
名的.
笛卡儿从小就喜爱沉思默想,寻根问底. 他的父
亲很懂得儿童教育法,针对这一特点,常让笛卡儿随
自己的心意去学习,不加任何限制.
1612 年,笛卡儿以优异的成绩从中学毕业,同年
秋天,来到普瓦捷大学攻读法律. 四年以后,又以优异
的成绩获得学位和律师资格. 当时,他对学校所学知识的贫乏已经感到极不耐
烦,于是,他决定迈开双脚,去阅读世界这本大书,开始了他的军旅生活.
笛卡儿首先来到荷兰. 有一天,他看见许多人正盯着城墙上一块告示牌子议
论纷纷. 笛卡儿请身旁的一位长者把告示上的荷兰文译成法文或拉丁文. 原来,
这是一道数学难题,谁要是答出来,就可以得到一笔奖金,还将被授予“布雷达数
第17 章 函数及其图象·43
学家”的荣誉称号. 两天以后,笛卡儿带来了正确的解答,使那位长者大为惊讶.
在交谈中,笛卡儿才知道,这位长者是当时颇有名气的多特大学校长贝克曼. 从
此,他俩一起讨论科学问题,贝克曼向笛卡儿介绍数学的最新进展,给了他许多
有待研究的问题. 笛卡儿从这次成功中看到了自己的数学才能,激起了钻研数学
的兴趣.
笛卡儿1621 年回到巴黎,1628 年为避开俗事而移居荷兰,专心从事研究和
写作,1649 年应瑞典女王克丽斯蒂娜的邀请来到斯德哥尔摩任教,次年因病
逝世.
笛卡儿首先导入运动着的点的坐标概念,使用代数的方法研究几何,创立了
解析几何,使数学发生了划时代的变化. “笛卡儿的变数”被革命导师恩格斯誉
为“数学中的转折点”.
由于笛卡儿的哲学和数学思想影响日益深远,法国政府在1767 年将他的骨
灰迎回国内,在他的墓碑上镌刻着: 笛卡儿,欧洲文艺复兴以来,第一个为人类
争取并保证理性权利的人.
17.3 一次函数
1. 一次函数
问题1
小明暑假第一次去北京. 汽车驶上A 地的高速公路
后,小明观察里程碑,发现汽车的速度是95 千米/ 时. 已
知A 地直达北京的高速公路全程为570 千米,小明想知
道汽车从A 地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路
上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己距北
京的路程.
44
·第17 章 函数及其图象
●
分析
汽车距北京的路程随着行车时间的变化而
变化. 要想找出这两个变化着的量之间的关系,并据此得
出相应的值,显然,应该探究这两个变量之间的函数关系
式. 为此,我们设汽车在高速公路上的行驶时间为t 小
时,汽车距北京的路程为s 千米,则不难得到s 与t 之间
的函数关系式:
s = 570 - 95t.
(1)
问题2
弹簧下端悬挂重物,弹簧会伸长. 弹簧的长度y(厘
米)是所挂重物质量x(千克)的函数. 已知一根弹簧在不
挂重物时长6 厘米. 在一定的弹性限度内,每挂1 千克重
物弹簧伸长0. 3 厘米. 求这个函数关系式.
●
解
因为每挂1 千克重物弹簧伸长0. 3 厘米,所
以挂x 千克重物时弹簧伸长0. 3x 厘米. 又因不挂重物时
弹簧的长度为6 厘米,所以挂x 千克重物时弹簧的长度
为(0. 3x + 6) 厘米,即有
y = 0. 3x + 6.
(2)
这就是所求的函数关系式. (其中自变量x 的取值范
围由问题的“弹性限度”确定)
概括
上述函数的关系式都是用自变量的一次整式表示
的,我们称它们为一次函数(linear function).
一次函数通常可以表示为y = k x + b 的形式,其中
k、b 是常数,k≠0.
特别地,当b = 0 时,一次函数y = kx (常数k≠0)也
叫做正比例函数(direct proportional function).
问题1、2 中得到的函数,都是一次函数.
先找出问题中
的变量并用字母表
示,再探求变量之间
的函数关系式.
问题1、2 中得
到的两个函数关系
式(1)、(2) 有什么
共同点?
第17 章 函数及其图象·45
思考
前两节所看到的函数中,哪些是一次函数?
练 习
(第2 题)
1. 仓库内原有粉笔400 盒. 如果每个星期领出36 盒,求仓库内余下的粉笔盒数Q 与
星期数t 之间的函数关系式.
2. 今年植树节,同学们种的树苗高约1. 80 米. 据介
绍,这种树苗在10 年内每年长高约0. 35 米. 求树
高(米)与年数之间的函数关系式,并算一算4 年
后这些树约有多高.
3. 小徐的爸爸为小徐存了一份教育储蓄. 首次存入1
万元,以后每个月存入500 元,存满3 万元为止. 试
用函数关系式刻画存款增长的规律,并求几个月后可存满全额?
4. 以上3 道题中的函数都是一次函数吗? 为什么?
2. 一次函数的图象
前面,我们已经学习了用描点法画函数的图象,也知
道通常可以结合图象研究函数的性质和应用. 那么,一次
函数的图象是什么形状呢?
在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象:
(1) y = 1
2 x;
(2) y = 1
2 x + 2;
(3) y = 3x;
(4) y = 3x + 2.
观察所画出的这些一次函数的图象,你能发现什么?
46
·第17 章 函数及其图象
概括
一次函数y = kx + b (k ≠0) 的图象是一条直线. 通
常也称为直线y = k x + b. 特别地,正比例函数y = k x
(k ≠0) 的图象是经过原点(0, 0)的一条直线.
讨论
观察“做一做”中画出的四个一次函数的图象,比较
下列各对一次函数的图象有什么共同点,有什么不同点:
(1) y = 3x 与y = 3x + 2;
(2) y = 1
2 x 与y = 1
2 x + 2;
(3) y = 3x + 2 与y = 1
2 x + 2.
能否从中发现一些规律? 对于直线y = kx + b (k、b
是常数,k≠0),常数k 和b 的取值对于直线的位置各有
什么影响?
我们可以发现,两个一次函数,当系数k 相同,b 不
相同时(如y = 3x 与y = 3x + 2 ),有
共同点:
;
不同点:
.
而当b 相同, k 不相同时( 如y = 3x + 2 与y =
1
2 x + 2 ), 有
共同点:
;
不同点:
.
●
例1
分别在同一个平面直角坐标系中画出下列
函数的图象:
(1) y = 2x 与y = 2x + 3;
(2) y = 2x + 1 与y = 1
2 x + 1.
几个点可以确
定一条直线? 画一
次函数的图象时,
只需要取几个点?
第17 章 函数及其图象·47
图17. 3. 1
练 习
1. 在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象,并说出它们有什么关系:
(1) y = - 2x;
(2) y = - 2x - 4.
2. 填空:
(1) 将直线y = 3x 向下平移2 个单位,得到直线 ;
(2) 将直线y = - x - 5 向上平移5 个单位,得到直线 .
●
例2
求直线y = - 2x - 3 与x 轴和y 轴的交点,并
画出这条直线.
●
解
x 轴上的点的纵坐标等于0, y 轴上的点的
横坐标等于0. 交点同时在直线y = - 2x - 3 上,它的坐标
(x, y) 应满足y = - 2x - 3. 于是,由y = 0 可求得x =
- 1. 5, 点( - 1. 5, 0)就是直线与x 轴的交点;由x = 0 可
求得y = - 3, 点(0, - 3)就是直线与y 轴的交点.
如图17. 3. 2,过点( - 1. 5, 0)和点(0, - 3)作直线,
就是所求的直线y = - 2x - 3.
图17. 3. 2
画一次函
数的图象时,你
取的是哪两个
点? 怎样取比
较简便?
这里是取
哪两个特殊点
来作直线的?
有什么好处?
48
·第17 章 函数及其图象
●
例3
问题1 中,汽车距北京的路程s(千米)与汽
车在高速公路上行驶的时间t(时)之间的函数关系式是
s = 570 - 95t, 试画出这个函数的图象.
●
分析
在实际问题中,我们可以在表示时间的t 轴
和表示路程的s 轴上分别选取适当的单位长度,画出平
面直角坐标系,如图17. 3. 3 所示.
图17. 3. 3
画出这个函数的图象,并讨论:
这里自变量t 的取值范围是什么? 函数的图象是怎
样的图形?
练 习
1. 求下列直线与x 轴和y 轴的交点,并在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象:
(1) y = 4x - 1; (2) y = - 2
3 x + 2.
2. 利用问题1 中函数的图象,求汽车在高速公路上行驶4 小时后,小明距北京的
路程.
3. 一次函数的性质
我们知道,函数反映了现实世界中量的变化规律,那
么一次函数有什么性质呢?
这里的图象
是直线的一部分
(一条线段),线段
的两个端点反映
怎样的实际情境?
第17 章 函数及其图象·49
观察
如图17. 3. 4,在函数y = 2
3 x + 1 的图象中,我们看
到: 当一个点在直线上从左向右移动(自变量x 从小变
到大)时,它的位置也在逐步从低到高变化(函数y 的值
也从小变到大).
这就是说,函数值y 随自变量x 的增大而 .
函数y = 3x - 2 的图象(图17. 3. 4 中的虚线)是否
也有这种现象呢?
探索
如图17. 3. 5,再观察函数y = - x + 2 和y = - 3
2 x - 1
的图象,作类似的研究. 这两个函数有什么共同性质? 它
与前两个函数有什么不同?
从对以上四个函数的研究结果中,你能否概括出关
于一次函数性质的一般结论?
概括
一次函数y = k x + b (k ≠0) 有下列性质:
(1) 若k > 0,y 随x 的增大而增大,这时函数的图象
从左到右上升;
(2) 若k < 0,y 随x 的增大而 ,这时函数的
图象从左到右 .
图17. 3. 4
图17. 3. 5
这些性质
在问题1 和问
题2 中,反映怎
样的实际意义?
50
·第17 章 函数及其图象
画出函数y = - 2x + 2 的图象,结合图象回答下列问题:
(1) 这个函数中,随着自变量x 的增大,函数值y 是增大还是减小?
它的图象从左到右怎样变化?
(2) 当x 取何值时,y = 0?
(3) 当x 取何值时,y > 0?
练 习
1. 已知函数y = (m - 3)x - 2
3 (m 是常数), 回答下列问题:
(1) 当m 取何值时,y 随x 的增大而增大?
(2) 当m 取何值时,y 随x 的增大而减小?
2. 已知点( - 1, a)和点
1
2 , b
(
)都在直线y = 2
3 x + 3 上,试比较a 和b 的大小. 你
能想出几种判断方法?
4. 求一次函数的表达式
●
例4
温度计是利用水银( 或酒精) 热胀冷缩的
原理制作的,温度计中水银( 或酒精) 柱的高度y( 厘
米)是温度x(℃)的一次函数. 某种型号的实验用水银
温度计能测量- 20℃至100℃的温度,已知10℃时水银
柱高10 厘米,50℃时水银柱高18 厘米. 求这个函数的
表达式.
●
分析
已知y 是x 的一次函数,它的表达式必有
y = kx + b (k ≠0) 的形式,问题就归结为求k 和b 的值.
两个已知条件实际上给出了x 和y 的两组对应值: 当
x = 10 时,y = 10;当x = 50 时,y = 18. 分别将它们代入
关系式y = kx + b,进而求得k 和b 的值.
第17 章 函数及其图象·51
●
解
设所求函数表达式是y = k x + b (k ≠0),
根据题意,得
10k + b = 10,
50k + b = 18.
{
解这个方程组,得
k = 0. 2,
b = 8.
{
所以,所求函数表达式是
y = 0. 2x + 8,
其中x 的取值范围是- 20 ≤x ≤100.
这种先设待求函数表达式(其中含有待定系数),再
根据条件列出方程或方程组,求出待定系数,从而得到
所求结果的方法,叫做待定系数法(method of undetermined
coefficient).
已知一次函数y = kx + b 的图象经过点( - 1, 1)和点(1, - 5),求当
x = 5 时的函数值.
讨论
1. 在“做一做”中,已知条件是一次函数图象上两个
点的坐标,它反映了自变量x 与因变量y 的值之间怎样
的对应关系?
2. 题目并没有要求写出函数表达式,解题时却通常
首先求出函数表达式,它在这里起了什么作用?
这里将求函
数表达式问题转
化为什么问题来
解决?
52
·第17 章 函数及其图象
练 习
(第1 题)
1. 已知一次函数的图象如图所示,写出这个函数的表达式.
2. 写出两个一次函数,使它们的图象都经过点( - 2, 3).
习题17. 3
(第6 题)
1. 已知等腰三角形的周长是18 cm,腰长y(cm)是底边长x(cm)的函数,试写出这
个函数的关系式,并写出自变量的取值范围.
2. 某市出租车计费标准如下: 行程不超过3 千米,收费8 元;超过3 千米部分,按
每千米1. 60 元计算. 求车费P(元)和行驶路程s(千米)之间的函数关系式,并
分别求出当路程为2. 5 千米和7 千米时应付的车费.
3. 填空:
(1) 直线y = 4x - 3 经过点( , 0)、(0, );
(2) 直线y = - 1
3 x + 2 经过点( , 0)、(0, ).
4. 分别在同一个平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象,并指出每小题中两
条直线的位置关系:
(1) y = - x + 2 与y = - x - 1; (2) y = 3x - 2 与y = 2
3 x - 2.
5. 画出直线y = - 2x + 3, 并借助图象找出:
(1) 直线上横坐标是2 的点;
(2) 直线上纵坐标是- 3 的点;
(3) 直线上到y 轴的距离等于2 的点.
6. 如图是某长途汽车站旅客携带行李收费
示意图. 试说明收费方法,并写出行李费
y(元)与行李重量x(千克) 之间的函数
关系式.
第17 章 函数及其图象·53
(第9 题)
7. 一次函数y = kx + b 的图象位置大致如图所示,试分别确定k、b 的正负号,并
说出函数的性质.
(1)
(2)
(第7 题)
8. 根据下列条件求出相应的函数表达式:
(1) 直线y = k x + 5 经过点( - 2, - 1);
(2) 一次函数中,当x = 1 时,y = 3;当x = - 1 时,
y = 7.
9. 陈华暑假去某地旅游,导游要求大家上山时多带一件
衣服,并在介绍当地山区地理环境时说,海拔每增加
100 米,气温下降0. 8℃. 陈华在山脚下看了一下随身
带的温度计,气温为34℃,试写出山上气温T(℃) 与
该处距山脚垂直高度h(m) 之间的函数关系式. 当陈
华乘缆车到达山顶时,发现温度为29. 6℃,求山高.
小明算得正确吗
爸爸准备为小明买一双新的运动鞋,但要小明自己算出穿几码的鞋. 小明回
家量了一下妈妈36 码的鞋子长23 厘米,爸爸41 码的鞋子长25. 5 厘米. 那么自
己穿的21. 5 厘米长的鞋子是几码呢?
想了一下,小明动笔了:
54
·第17 章 函数及其图象
设鞋长是x 厘米,鞋子的码数是y,那么y 与x 之间的函数关系式可能是
y = k x + b (k ≠0).
这里有两个待定系数: k 和b. 小明把妈妈和爸爸所穿鞋子的长度和码数两
组对应值分别代入上式,得
23k + b = 36,
25. 5k + b = 41.
{
解这个方程组,得
k = 2,
b = - 10.
{
所以y 和x 之间的函数关系式可能是
y = 2x - 10.
小明想了想,又去隔壁问了小东哥哥,了解到他所穿的38 码的鞋子长24 厘
米,回来后代入检验,恰好适合所得到的函数关系式,高兴地说:“对了,对了!”
很快,他算出了自己鞋子的码数:
2 × 21. 5 - 10 = 33.
小明的假设和计算是否正确呢?
17.4 反比例函数
1. 反比例函数
问题1
甲、乙两地相距120 千米,汽车匀速从甲地驶往乙
地. 显然,汽车的行驶时间由行驶速度确定,时间是速度
的函数,试写出这个函数的关系式.
第17 章 函数及其图象·55
分析
和其他实际问题一样,要探求两个变量之间的关系,
应先选用适当的符号表示变量,再根据题意列出相应的
函数关系式.
设汽车行驶的速度是v 千米/ 时,从甲地到乙地的行
驶时间是t 小时. 因为在匀速运动中, 时间= 路程÷ 速
度, 所以
t = .
(1)
问题2
学校课外生物小组的同学准备自己动手,用旧围栏
建一个面积为24 平方米的长方形饲养场. 设它的一边长
为x(米),求另一边的长y(米)与x 之间的函数关系式.
分析
根据长方形的面积公式,可知
xy = 24,
故
y = .
(2)
概括
这些函数的关系式都具有y = k
x 的形式. 一般地,形
如y =
k
x ( k 是常数,k ≠0) 的函数叫做反比例函数
(inverse proportional function). 反比例函数中,自变量的
取值范围是不等于0 的一切实数.
问题1、2 中得到的函数,都是反比例函数.
(1) 和(2) 这
两个函数关系式
有什么共同点?
56
·第17 章 函数及其图象
练 习
1. 列出下列问题中的函数关系式,并指出它们是什么函数:
(1) 三角形的面积S 是常数时,它的某一边的长y 是该边上的高x 的函数;
(2) 食堂存煤15 000 千克,可使用的天数t 是平均每天的用煤量Q(千克) 的
函数.
2. 试用描点作图法画出问题2 中函数的图象.
2. 反比例函数的图象和性质
在上面练习第2 题中,我们画出了问题2 中函数
y = 24
x 的图象,发现它并不是直线. 那么它是怎样的曲
线呢? 现在我们来考察反比例函数的图象,探究它有什
么性质.
●
例1
画出函数y = 6
x 的图象.
●
解
这个函数中自变量x 的取值范围是不等于
零的一切实数,列出x 与y 的对应值表:
x
…
- 6
- 3
- 2
- 1
…
1
2
3
6
…
y
…
- 1
- 2
- 3
- 6
…
6
3
2
1
…
由这些有序实数对,先在平面直角坐标系中描出
相应的点( - 6, - 1) 、( - 3, - 2) 、( - 2, - 3) 等,
再用光滑曲线分别将第一象限和第三象限内的各点
依次连起来,就得到反比例函数的图象,如图17. 4. 1
所示.
这种图象有两支,通常称为双曲线(hyperbola).
为什么不能
将所有这些点用
一条曲线连起来?
第17 章 函数及其图象·57
图17. 4. 1
画出函数y = - 6
x 的图象.
讨论
1. 函数y = - 6
x 的图象在哪两个象限? 和函数y = 6
x
的图象有什么不同?
2. 反比例函数y = k
x 的图象在哪两个象限由什么确
定?
3. 试由所画出的两个函数的图象,总结一下反比例
函数的变化规律:随着自变量x 的增大,函数值y 将怎样
变化?
概括
反比例函数y = k
x 有下列性质:
这两条曲线
会与x 轴、y 轴相
交吗? 为什么?
58
·第17 章 函数及其图象
(1) 若k > 0,函数的图象在第 、 象限,
在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是说, 当x >
0(或x < 0) 时,y 随x 的增大而 ;
(2) 若k < 0,函数的图象在第 、 象限,
在每个象限内,曲线从左向右上升,也就是说, 当x >
0(或x < 0) 时, y 随x 的增大而 .
思考
这里与一次函数不同,强调了“在每个象限内”,应
该怎么理解?
●
例2
已知y 是x 的反比例函数,当x = 2 时,
y = 2
3 , 求这个反比例函数的表达式.
●
分析
我们在学习一次函数时,已经学会了应用待
定系数法求一次函数的表达式. 同样,我们可以用待定系
数法求这个反比例函数的表达式.
●
解
设这个反比例函数为 (其中k
为待定系数).
由已知,当x = 2 时,y = 2
3 ,可得 .
可以求得
k = ,
所以这个反比例函数的表达式是 .
练 习
1. 写出下列问题中两个变量间的函数关系式,指出哪些是正比例函数,哪些是反比
例函数,哪些既不是正比例函数也不是反比例函数:
(1) 小红1 分钟可以制作2 朵花,x 分钟可以制作y 朵花;
(2) 体积为100 cm
3 的长方体,高为h cm 时,底面积为S cm
2;
这一性质在
问题1 和问题2
中反映怎样的实
际意义?
请你完
成本题的解
答.
第17 章 函数及其图象·59
(3) 用一根长50 cm 的铁丝弯成一个长方形,一边长为x cm 时,面积为y cm
2;
(4) 小李接到一项检修管道的任务,已知管道长100 m,每天能检修10 m,x 天后
剩下的未检修管道长为y m.
2. 在同一个平面直角坐标系中画出函数y = 3
x 与y = - 3
x 的图象.
习题17. 4
1. 试举出两个实际生活中反比例函数的例子.
2. 由下列条件求反比例函数的表达式:
(1) 当x = 3
2 时,y = 4
3 ;
(2) 图象经过点( - 3, 2).
3. 画出下列函数的图象:
(1) y = 1
x ;
(2) y = - 10
x .
4. 已知y 是x 的反比例函数,且当x = 3 时,y = 8.
(1) 求这个函数的表达式;
(2) 求当x = 2 2
3 时,y 的值;
(3) 当x 取何值时, y = 3
2 ?
17.5 实践与探索
问题1
学校每个月都有一些复印任务,原来由甲复印社承
接,按每100 页40 元计费. 现在乙复印社表示: 若学校
60
·第17 章 函数及其图象
先按月付给一定数额的承包费,则可按每100 页15 元收
费. 两复印社每月收费情况如图17. 5. 1 所示.
图17. 5. 1
根据图象回答:
(1) 乙复印社的每月承包费是多少?
(2) 当每月复印多少页时,两复印社实际收费相同?
(3) 如果每月复印页数在1 200 页左右,那么选择
哪个复印社比较合算?
思考
(1) “收费相同”在图象上怎样反映出来?
(2) 如何在图象上看出复印费的多少?
联想
我们看到,两个一次函数图象的交点处,自变量和对
应的函数值同时满足两个函数的关系式. 而这两个关系
式可以看成关于x、y 的两个方程,所以交点的坐标就是
这两个方程组成的方程组的解.
例如,图17. 5. 2 中的两条直线: y = 2x - 5 和
y = - x + 1, 它们的交点坐标(2, - 1) 就是方程组
y = 2x - 5,
y = - x + 1
{
的解x = 2,
y = - 1.
{
请同学们解
答并交流.
图17. 5. 2
第17 章 函数及其图象·61
●
例
利用一次函数的图象,求二元一次方程组
y = x + 5,
x + 2y = - 2
{
的解.
●
分析
方程组中第一个方程已经是一次函数的形
式,第二个方程可变形为一次函数的形式: y =
- 1
2 x - 1.
如图17. 5. 3,分别作出一次函数y = x + 5 和y =
- 1
2 x -1 的图象,得到它们交点的坐标( - 4, 1),即方程
组的解为x = - 4,
y = 1.
{
练 习
1. 在17. 3 节问题1 中,已知小明由A 地乘车前往北京,汽车距北京的路程与行驶
时间之间的函数关系式为s = 570 - 95t, 若另有小李同时从北京乘车沿同一公
路回A 地,其函数关系式为s = 105t. 这里t 表示汽车行驶的时间(时),s 表示汽
车距北京的路程(千米). 在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象,并
说明交点的实际意义.
2. 利用图象解下列方程组:
(1)
y = - 2x - 1,
y = 1
2 x + 4;
{
(2)
2x - y = 2,
x + y = - 5.
{
问题2
画出函数y = 3
2 x + 3 的图象,根据图象,说明:
(1) x 取什么值时,函数值y 等于零?
(2) x 取什么值时,函数值y 大于零?
图17. 5. 3
62
·第17 章 函数及其图象
思考
由问题2,想一想:一元一次方程3
2 x + 3 = 0 的解、
不等式3
2 x + 3 > 0 的解集与函数y = 3
2 x + 3 的图象有什
么关系?
练 习
1. 不等式3
2 x + 3 ≤0 的解集与函数y = 3
2 x + 3 的图象有什么关系?
2. 编制一道相关的练习题,继续探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的联系.
问题3
为了研究某合金材料的体积V(cm
3) 随温度t(℃)
变化的规律,对一个用这种合金制成的圆球测得相关数
据如下:
t(℃)
- 40
- 20
- 10
0
10
20
40
60
V(cm3) 998. 3 999. 2 999. 6 1 000
1 000. 3
1 000. 7
1 001. 6
1 002. 3
能否据此寻求V 和t 之间的函数关系式?
●
分析
在平面直角坐标系中描出这些数值所对应
的点,我们发现,这些点大致位于同一条直线上,可知V
和t 之间近似地符合一次函数关系. 我们可以用一条直
线去尽可能地与这些点相贴近,求出近似的函数关系式.
如图17. 5. 4 所示的就是一条这样的直线,较接近的点可
考虑取(10, 1 000. 3)和(60, 1 002. 3).
你也可以将直线稍稍挪动一下,换上其他适当的两
点,试一试.
请你动手试
一试,求出函数的
关系式.
第17 章 函数及其图象·63
图17. 5. 4
概括
我们曾采用待定系数法求得一次函数和反比例函数
的表达式. 但是现实生活中的数量关系是错综复杂的,在
实践中得到一些变量的对应值,有时很难精确地判断它
们有怎样的函数关系,需要我们根据经验分析,进行近似
计算和修正,列出比较接近的函数表达式.
练 习
小吴观察了学校新添置的一批课桌椅,发现它们可以根据人的身高调节高度. 他测量
了一套课桌椅上的四档高度,得到如下数据:
凳高x(cm)
37
40
42
45
桌高y(cm)
70
75
78
82. 5
请你和同学一起讨论,研究y 与x 可能满足什么函数关系.
64
·第17 章 函数及其图象
习题17. 5
(第6 题)
1. 联系一次函数的图象,回答下列问题:
(1) 当k > 0 时,函数y = k x 的图象经过哪几个象限?当k < 0 时呢?
(2) 当k > 0, b > 0 时,函数y = k x + b 的图象不经过哪个象限?当k > 0,
b < 0 时呢?
2. 已知直线y = 2x + 1 和y = 3x + b 的交点在第三象限,写出常数b 可能的两个
取值.
3. 当x 取何值时,函数y = 4x - 3 的图象在第四象限?
4. 利用一次函数的图象,求二元一次方程组
y = 3x - 6,
x + y = 4
{
的解.
5. 已知一个一次函数的图象与一个反比例函数的图象交于点P( -2, 1)、Q(1, m).
(1) 分别求出这两个函数的表达式.
(2) 在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象,根据图象回答:当x
取何值时,一次函数的值大于反比例函数的值?
6. 药品研究所开发一种抗菌新药. 经多年动
物实验,首次用于临床人体试验. 测得成
人服药后血液中药物浓度y(微克/ 毫升)
与服药后时间x(时) 之间的函数关系如
图所示.
(1) 根据图象说出服药后多少时间血液
中药物浓度最高;
(2) 根据图象分别求出血液中药物浓度
上升阶段和下降阶段y 与x 之间的函数关系式.
7. 学校准备去白云山春游. 甲、乙两家旅行社原价都是每人60 元,且都表示对学
生优惠. 甲旅行社表示: 全部8 折收费;乙旅行社表示: 若人数不超过30 人全
部按9 折收费,超过30 人则全部按7 折收费.
(1) 试分别写出甲、乙两家旅行社实际收取的总费用y(元)与参与春游学生人
数x 之间的函数关系式(其中对乙旅行社应按人数是否超过30 人分两种
情况列出);
(2) 讨论选择哪家旅行社较合算;
(3) 试在同一个平面直角坐标系中画出题(1)中写出的两个函数的图象,并根
据图象解释题(2)讨论的结果.
第17 章 函数及其图象·65
TheGraphofaFuncti
on
A function is a rule that assigns exactly one output value to each input value. A
function can be presented by its graph which by definition is obtained by drawing the
input-output pairs in a coordinate plane as the input varies. Thus one can read from
the graph the output value of the function once the input value is given. In many
cases some other properties of the function can also be seen directly from the graph.
For example the following graph shows the air temperature as a function of the time
in some place during 24 hours in January. That is the time is regarded as the input and
the air temperature at the given time as the corresponding output of the function.
Can you tell me
a What was the temperature at 4 p. m.
b When was the temperature - 3℃
c What was the lowest temperature
d When was it warmest
e When was the temperature zero
f For how long was the temperature below - 2℃
(素材取自Mathematics Course 3
Prentice Hall 和SMP Interact Book 1
Cambridge University Press)
66
·第17 章 函数及其图象
一、知识结构
二、要点
1. 现实世界处在不停的运动变化中. 我们通过一些实际问题,引
进了变量的概念,并从变量之间的对应来刻画运动变化,建立函数的
概念. 同时,通过实例,理解常用的函数表示法.
2. 与数轴建立了直线上的点与实数之间的对应一样,平面直角坐
标系建立了平面上的点与有序实数对(点的坐标)之间的对应,它们是
数形结合的基础.
“函数的图象”是平面直角坐标系在本章中的一个应用. 用图象表
示函数———图象上每一点的坐标表示函数的自变量与因变量的一对
对应值. 图象的直观性,可以帮助我们探索和研究函数的性质. 例如,
一个函数的图象,如果从左到右是上升(或下降) 的,它反映了这个函
数的性质:当自变量增加时,函数值随之增加(或减少).
3. 本章重点研究一次函数(包括正比例函数)和反比例函数. 这是
两种常见的简单函数,它刻画了现实世界两类常见的运动变化规律.
例如一次函数,又称线性函数,它刻画了一种均匀变化的规律.
我们经历了对这两种函数研究的全过程:从实际问题开始,考察
一些运动现象(例如匀速运动、弹簧的伸长等),找出反映运动变化的
变量,并用符号表示(例如时间t、路程s 等);分析运动现象中的数量
关系,列出函数关系式;分析所列函数关系式的特点,抽象出一次函数
(反比例函数)的概念;用描点法画出函数(举数字系数的例子) 的图
第17 章 函数及其图象·67
象,并通过观察图象,概括出一次函数(反比例函数) 的性质;应用. 这
样,我们不仅理解了这两种函数的意义、图象和性质,而且感受到研究
函数的常见方法.
4. 实际问题中常需要根据一定条件确定一次函数和反比例函数
的表达式,通常采用待定系数法,这是一个重要的数学方法,以后还会
有更多的应用.
5. 数学知识之间有着密切的联系. 本章探讨了一次函数与一次方
程、一次不等式之间的联系,加深了我们对有关知识的理解,提高了我
们的综合应用能力.
68
·第17 章 函数及其图象
A组
1. 选择题
(1) 点(0, - 2)在( ).
A. x 轴上
B. y 轴上
C. 第三象限
D. 第四象限
(2) 若点P(2m - 1, 3)在第二象限,则m 的取值范围是( ).
A. m > 1
2 B. m < 1
2
C. m ≥- 1
2 D. m ≤1
2
(3) 小红的爷爷饭后出去散步,从家里出发走20 分钟到一个离家900 米的街
心花园,与朋友聊天10 分钟后,用15 分钟返回家里. 下面图形中表示小红
爷爷离家的距离y(米)与离家的时间x(分)之间函数关系的是( ).
2. 分别写出下列函数的关系式,指出是哪种函数,并确定其中自变量的取值范围:
(1) 在时速为60 km 的匀速运动中,运动路程s(km)是时间t(h)的函数;
(2) 某校要在校园中辟出一块面积为64 m
2 的长方形土地做花圃,这个花圃的
长y(m)是宽x(m)的函数.
3. 填空:
(1) 已知函数y = - 5x + 3, 当x = 时,函数值为0;
(2) 已知函数y = 5
x . 当x = 1 时, y = ;当x = 时,y = 1.
4. 画出下列函数的图象:
(1) y = - x
4 ; (2) y = 2 - 3x; (3) y = - 3
x .
5. 在直线y = - 1
2 x + 3 上分别找出满足下列条件的点,并写出它的坐标:
(1) 横坐标是- 4;
(2) 和x 轴的距离是2 个单位.
第17 章 函数及其图象·69
(第7 题)
6. 一次函数的图象经过点(3, 3)和点(1, -1). 求这个函数的表达式,并画出图象.
7. 如图,正方形ABCD 的边长为4, P 为边DC 上的一点. 设D P = x, 求△APD 的
面积y 与x 之间的函数关系式,并画出这个函数的图象.
8. 地表以下岩层的温度y(℃)随着深度x(km)的变化而变化. 某处y 与x 之间的
关系在一定范围内可以近似地表示成公式: y = 35x + 20. 试分别求出该处地表
以下深7 km、10 km、15 km 处的岩层温度.
9. 酒精的体积随温度的升高而增大,在一定范围内近似于一次函数关系. 现测得
一定量的酒精在0℃时的体积是5. 250 升,在40℃时的体积是5. 481 升. 求这
些酒精在10℃和30℃时的体积各是多少?
B组
10. 已知点A( - 3, a)与点B(3, 4)关于y 轴对称,求a 的值.
11. (1) 在平面直角坐标系中描出下列各组的点,并分别用线段把它们连起来:
①(1, 0), (3, 0); ②(1, - 1), (1, - 3);
③(0, 1), (0, 3); ④( - 1, 1), ( - 1, 3);
⑤(0, 2), (4, 0); ⑥( - 1, - 1), ( - 3, - 3).
(2) 上面连成的各线段的中点的坐标分别是什么? 仔细观察各中点的坐标与
两个端点的坐标,你能发现它们之间有怎样的关系吗?
12. 从地面到高空11 km 之间,气温随高度的升高而下降,每升高1 km,气温下降
6℃;高于11 km 时,气温几乎不再变化. 设某处地面气温为20℃,该处离地面
x km 处的气温为y℃.
(1) 当0 ≤x ≤11 时,求y 与x 之间的函数关系式;
(2) 画出该处气温y 关于高度x(包括高于11 km)的函数的图象;
(3) 分别求出该处在离地面4. 5 km 及13 km 处的气温.
70
·第17 章 函数及其图象
C组
(第13 题)
13. 某厂今年前5 个月某种产品的月产量Q(件)是时间t(月)的函数,它的图象如
图所示,则对这种产品来说,下列说法正确的是( ).
A. 1 月至3 月每月产量逐月增加,4、5 两月每
月产量逐月减少
B. 1 月至3 月每月产量逐月增加,4、5 两月每
月产量与3 月持平
C. 1 月至3 月每月产量逐月增加,4、5 两月停
止生产
D. 1 月至3 月每月产量不变,4、5 两月停止
生产
14. 将函数y = 2x + 3 的图象平移,使它经过点(2, - 1),求平移后的直线所对应的
函数关系式. 你能想出几种不同的平移方法? 请和同学交流一下.
15. 直线y = 2
3 x - 2 分别交x 轴、y 轴于A、B 两点,O 是原点.
(1) 求△AOB 的面积.
(2) 过△AOB 的顶点能不能画出直线把△AOB 分成面积相等的两部分? 若
能,可以画出几条? 写出这样的直线所对应的函数表达式.
72
·第18 章 平行四边形
18.1 平行四边形的性质
平行四边形是随处可见的几何图形,本章导图中的
桌面、书的封面……甚至连在阳光照耀下它们的影子都
形如平行四边形.
回忆
我们知道,有两组对边分别平行的四边形叫做平行
四边形(parallelogram).
你能从图18. 1. 1 所示的图形中找出平行四边形吗?
图18. 1. 1
根据定义,平行四边形的一个主要性质是两组对边
分别平行. 由此,可知平行四边形的相邻两个内角互补.
除此之外,它还有什么性质呢?
如图18. 1. 2,作一个平行四边形.
步骤:
1. 任意画一条直线m;
2. 在直线m 上任取点A,在直线m 外任取点B,连
结AB;
3. 过点B 作直线m 的平行线n,在直线n 上任取点C;
4. 过点C 作直线AB 的平行线,交直线m 于点D,就
得到▱ABCD.
图18. 1. 2
平行四边
形ABCD 可以
记作▱ABCD.
第18 章 平行四边形·73
探索
如图18. 1. 3,用剪刀把▱ABCD 剪下,放在另一张纸
上,并沿▱ABCD 的边沿,画出一个四边形,记为EFGH.
则四边形EFGH 和▱ABCD 完全一样,也是平行四边形.
它们的对应边、对应角都分别相等.
在▱ABCD 中,连结AC、BD,它们的交点记为点O.
用一枚图钉穿过点O,将▱ABCD 绕点O 旋转180°.
观察旋转后的▱ABCD 和纸上所画的▱EFGH 是否重合.
你能从中得出▱ABCD 的一些边角关系吗?
图18. 1. 3
我们发现,旋转180°之后两个平行四边形完全重
合,即平行四边形是中心对称图形,对角线的交点O 就
是对称中心. 由此可以得到
AB = CD,
AD = CB,
∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
我们可以用演绎推理证明上述探索得到的结论.
已知:如图18. 1. 4,▱ABCD.
求证: AB = CD, AD = CB, ∠A = ∠C, ∠ABC =
∠CDA.
●
分析
我们已经知道,证明边相等或角相等的一个
重要方法是找出它们分别所属的三角形,然后证明这两
个三角形全等. 从上面旋转纸片的探索过程,可以发现一
条对角线恰好将平行四边形分成两个全等的三角形.
●
证明
连结BD.
∵四边形ABCD 是平行四边形,
请用中心对称
的有关结论说明这
些边角关系.
图18. 1. 4
74
·第18 章 平行四边形
∴AB∥DC, AD∥BC(平行四边形的两组对边分别平行),
∴∠ABD = ∠CDB,
∠ADB = ∠CBD.
又∵BD = DB,
∴△ABD !△CDB.
∴AB = CD, AD = CB, ∠A = ∠C.
由∠ABD = ∠CDB 和∠ADB = ∠CBD,得
∠ABD + ∠CBD = ∠CDB + ∠ADB,
即∠ABC = ∠CDA.
以上的相等关系可以概括为平行四边形的性质定理:
平行四边形的性质定理1 平行四边形的对边相等.
平行四边形的性质定理2 平行四边形的对角相等.
●
例1
如图18. 1. 5,在▱ABCD 中, ∠A = 40°. 求
其他各内角的大小.
●
解
在▱ABCD 中,
∠A = ∠C, ∠B = ∠D(平行四边形的对角相等).
∵∠A = 40°,
∴∠C = 40°.
又∵AD ∥BC,
∴∠A + ∠B = 180°,
∴∠B = 180° - ∠A
= 180° - 40° = 140°,
∴∠D = ∠B = 140°.
●
例2
如图18. 1. 6,在▱ABCD 中, AB = 8,周长等
于24. 求其余三条边的长.
●
解
在▱ABCD 中,
AB = DC, AD = BC(平行四边形的对边相等).
∵AB = 8,
∴DC = 8,
又∵AB + BC + DC + AD = 24,
∴AD = BC = 1
2 (24 - 2AB) = 4.
图18. 1. 5
平行四边
形的邻角互补.
图18. 1. 6
第18 章 平行四边形·75
如图18. 1. 7,在方格纸上画两条互相平行的直线,
在其中一条直线上任取若干点,过这些点作另一条直线
的垂线,用刻度尺量出平行线之间这些垂线段的长度.
图18. 1. 7
经过度量,我们发现这些垂线段的长度都相等. 由此
我们得到平行线的又一个性质:
平行线之间的距离处处相等.
练 习
(第2 题)
1. 在▱ABCD 中,∠A = 120°,求其余各内角的度数.
2. 如图,如果直线l1∥l2,那么△ABC 的面积和△DBC
的面积是相等的. 你能说出理由吗? 你还能在这两
条平行线之间画出其他与△ABC 面积相等的三角
形吗?
3. 用一根长度为36 cm 的铁丝围成一个平行四边形,
各边的长度恰好都是3 的整数倍,试找出所有满足
条件的平行四边形,并分别求出各边的长.
●
例3
已知平行四边形的周长是24,相邻两边的
长度相差4,求该平行四边形相邻两边的长.
●
解
如图18. 1. 8,设AB 的长为x,则BC 的长为
x + 4.
根据已知,可得
你能发现什么
结论? 试用平行四
边形的性质定理加
以说明.
两条直线平行,
其中一条直线上的任
一点到另一条直线的
距离,叫做这两条平
行线之间的距离.
图18. 1. 8
76
·第18 章 平行四边形
2(AB + BC) = 24,
即
2(x + x + 4) = 24,
4x + 8 = 24,
解得
x = 4.
所以,该平行四边形相邻两边的长分别为4 和8.
●
例4
已知:如图18. 1. 9,在▱ABCD 中,∠ADC 的
平分线与AB 相交于点E. 求证: BE + BC = CD.
●
证明
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB = CD (平行四边形的对边相等),
AB ∥CD (平行四边形的对边平行),
∴∠CDE = ∠AED.
又∵DE 是∠ADC 的平分线,
∴∠ADE = ∠CDE,
∴∠ADE = ∠AED,
∴AD = AE.
又∵AD = BC (平行四边形的对边相等),
∴AE = BC.
∴BE + BC = BE + AE = AB = CD.
练 习
1. 已知平行四边形的周长是32 cm,相邻两边的长相等,求该平行四边形各边的长.
2. 如果平行四边形的一组邻边的长相等,且等于其较短的对角线的长,而此对角线
的长为4 cm,求此平行四边形各内角的大小及各边的长.
3. 如图,在▱ABCD 中,AE 平分∠BAD, BE 平分∠ABC,且AE、BE 相交于CD 上的一
点E. 求证: AE ⊥BE.
(第3 题)
图18. 1. 9
第18 章 平行四边形·77
观察
在第73 页图18. 1. 3 那样的探索过程中,你观察到
OA 与OC、OB 与OD 各有什么关系?
我们已经发现,▱ABCD 是一个中心对称图形,对角
线的交点O 就是对称中心,有
OA = OC, OB = OD.
由此可得:
平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角线互
相平分.
我们可以用演绎推理证明这个结论.
已知:如图18. 1. 10,▱ABCD 的对角线AC 和BD 相
交于点O.
求证: OA = OC, OB = OD.
图18. 1. 10
●
分析
要证明相等的OA 与OC、OB 与OD 分别属
于△AOB 与△COD,因此只需证明这两个三角形全等
即可.
●
例5
如图18. 1. 11,▱ABCD 的对角线AC 和BD
相交于点O,△AOB 的周长为15, AB = 6,那么对角线AC
与BD 的和是多少?
●
解
在▱ABCD 中,
∵AB = 6, AO + BO + AB = 15,
任意画几个
平行四边形, 量
量看, 是否都是
这样.
观察图形,
OA 与OC、OB 与
OD 分别属于哪
两个三角形?
你能写出证
明的完整过程
吗?
图18. 1. 11
78
·第18 章 平行四边形
∴AO + BO = 15 - 6 = 9.
又∵AO = OC, BO = OD(平行四边形的对角线互
相平分),
∴AC + BD
= 2AO + 2BO = 2(AO + BO) = 2 × 9 = 18.
●
例6
如图18. 1. 12,▱ABCD 的对角线AC 和BD
相交于点O, EF 过点O 且与边AB、CD 分别相交于点E
和点F. 求证: OE = OF.
图18. 1. 12
●
分析
要证明OE = OF, 只要证明它们所在的两
个三角形全等即可.
●
证明
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴OB = OD (平行四边形的对角线互相平分).
又∵AB ∥DC ,
∴∠EBO = ∠FDO.
又∵∠BOE = ∠DOF,
∴△BEO !△DFO.
∴OE = OF.
练 习
1. 如图,▱ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O,指出图中各对相等的线段.
(第1 题)
(第2 题)
2. 如图,在▱ABCD 中,O 是对角线AC、BD 的交点, BE ⊥AC, DF ⊥AC,垂足分别为
点E、F. 求证:OE = OF.
观察图形,OE
与OF 分别属于哪
两个三角形?
第18 章 平行四边形·79
3. 如图,在▱ABCD 中,EF 过对角线的交点O, 且与边AB、CD 分别相交于点E、F,
AB = 4, AD = 3, OF = 1. 3. 求四边形BCFE 的周长.
(第3 题)
●
例7
如图18. 1. 13,▱ABCD 的对角线AC 与BD
相交于点O,其周长为16,且△AOB 的周长比△BOC 的
周长小2. 求边AB 和BC 的长.
●
解
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴OA = OC(平行四边形的对角线互相平分).
∵△AOB 的周长+ 2 = △BOC 的周长,
∴AB + OA + OB + 2 = BC + OB + OC,
即AB + 2 = BC.
又∵▱ABCD 的周长等于16,
∴2(AB + BC) = 16,
即4AB + 4 = 16.
∴AB = 3, BC = 5.
●
例8
如图18. 1. 14,在▱ABCD 中,对角线AC =
21 cm, BE⊥AC,垂足为点E,且BE = 5 cm, AD = 7 cm.
求AD 和BC 之间的距离.
●
解
设AD 和BC 之间的距离为x,则▱ABCD 的
面积等于AD·x.
∵S▱ABCD = 2S△ABC = AC·BE,
∴AD·x = AC·BE,
即7x = 21 × 5,
∴x = 15(cm).
即AD 和BC 之间的距离为15 cm.
图18. 1. 13
图18. 1. 14
你知道其
中的理由吗?
80
·第18 章 平行四边形
练 习
(第2 题)
1. ▱ABCD 的两条对角线AC 与BD 相交于点O,已知AB = 8 cm, BC = 6 cm, △AOB
的周长是18 cm. 求△AOD 的周长.
2. 如图,如果△AOB 与△AOD 的周长之差为8,而
AB ∶AD = 3 ∶2, 那么▱ABCD 的周长为多少?
3. 在▱ABCD 中,两条对角线AC 与BD 相交于点O,
BC = 5, AC = 6, BD = 8. 求△AOB 的周长.
习题18. 1
(第4 题)
1. 如图,在▱ABCD 中,AE 垂直于CD,垂足为点E. 如果∠B = 55°,那么∠D 与
∠DAE 分别等于多少度?
(第1 题)
(第2 题)
2. 如图,在▱ABCD 中,已知AC、BD 相交于点O,两条对角线长的和为22 厘米,CD
的长为5 厘米. 求△OCD 的周长.
3. 在▱ABCD 中,∠A 与∠B 的度数之比为2 ∶3. 求这个平行四边形各内角的
大小.
4. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,△AOB 的周长与△AOD 的周
长之和为11. 4 cm,两条对角线长之和为7 cm. 求这个平行四边形的周长.
5. 求证:夹在两条平行线间的平行线段相等.
第18 章 平行四边形·81
6. 如图,在▱ABCD 中,点E 为CD 的中点,连结BE 并延长交AD 的延长线于点F.
求证:点E 是BF 的中点,点D 是AF 的中点.
(第6 题)
18.2 平行四边形的判定
我们已经知道,如果一个四边形是平行四边形,那么
它的两组对边分别平行,且是一个中心对称图形,具有如
下一些性质:
1. 两组对边分别相等;
2. 两组对角分别相等;
3. 两条对角线互相平分.
那么,怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢?
当然,我们可以根据平行四边形的定义加以判定: 两组
对边分别平行的四边形是平行四边形. 那么是否还存在
其他的判定方法呢?
思考
由平行四边形的性质“平行四边形的两组对边分别
相等”,逆向思考,互换条件与结论,试写出它的逆命题.
你认为它是一个真命题吗?
条件
结论
平行四边形的两组
对边分别相等
逆命题
由平行四边
形的性质,逆向思
考,你认为可能有
哪些判定方法?
82
·第18 章 平行四边形
如图18. 2. 1,作一个两组对边分别相等的四边形.
步骤:
1. 任取两点B、D;
2. 分别以点B 和点D 为圆心、任意长为半径,分别
在线段BD 的两侧画弧;
3. 再分别以点B 和点D 为圆心、适当长为半径画
弧,与前面所画的弧分别交于点A 和点C;
4. 顺次连结各点,即得两组对边分别相等的四边形
ABCD.
把你作的四边形和其他同学作的进行比较,看看是
否都是平行四边形.
由此可以得到判定平行四边形的一种方法:
平行四边形的判定定理1 两组对边分别相等的四
边形是平行四边形.
下面我们用演绎推理证明这个结论.
已知: 如图18. 2. 2,在四边形ABCD 中, AB = CD,
BC = DA.
求证: 四边形ABCD 是平行四边形.
●
分析
要证明四边形ABCD 是平行四边形,现在只
有平行四边形的定义这一种方法,即必须证明AB ∥CD,
AD ∥CB, 因此需要连结对角线构造内错角.
●
证明
连结BD.
在△ABD 和△CDB 中,
∵AB = CD, AD = CB, BD = DB,
∴△ABD !△CDB.
∴∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4.
∴AD ∥CB, AB ∥CD.
∴四边形ABCD 是平行四边形(两组对边分别平行
的四边形是平行四边形).
图18. 2. 1
可以发现,尽
管每个人取的边
长不一样,但只要
对边分别相等,所
作的就都是平行
四边形.
图18. 2. 2
第18 章 平行四边形·83
思考
如果只知道四边形的一组对边相等,显然这一条件
还不足以保证它是一个平行四边形. 从边的角度看,把你
认为需要再增加的条件填在下面的空框内:
一组对边相等+
⇒
平行四边形
如果只知道一组对边相等,可以考虑再加上平行的
条件,得到一个猜想:“一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形. ”
如图18. 2. 3,作一个有一组对边平行且相等的四
边形.
图18. 2. 3
步骤:
1. 任意画两条平行线m、n;
2. 在直线m、n 上分别截取AB、CD,使AB = CD;
3. 分别连结点B、C 和点A、D,即得到一组对边平
行且相等的四边形ABCD.
观察你所画的图形,它是平行四边形吗?
我们发现这样作出的四边形是平行四边形.
下面用演绎推理证明上述猜想.
已知: 如图18. 2. 4,在四边形ABCD 中, AB ∥CD 且
AB = CD.
求证: 四边形ABCD 是平行四边形.
你也可利用格
点图,作一个这样的
四边形.
图18. 2. 4
84
·第18 章 平行四边形
●
分析
要证明四边形ABCD 是平行四边形,可以用
平行四边形的定义,也可以用前面得到的平行四边形的
判定定理1.
●
证明
连结对角线AC.
在△ABC 和△CDA 中,
∵AB ∥CD,
∴∠1 = ∠2.
又∵AB = CD, AC = CA,
∴△ABC !△CDA.
∴BC = DA.
∴四边形ABCD 是平行四边形(两组对边分别相等
的四边形是平行四边形).
由此我们得到平行四边形的另一种判定方法:
平行四边形的判定定理2 一组对边平行且相等的
四边形是平行四边形.
“平行且相等”常用符号“”来表示. 如图18. 2. 4,
AB = CD 且AB ∥CD,可以记作“ABCD”,读作“AB 平
行且等于CD”.
●
例1
如图18. 2. 5,在▱ABCD 中,点E、F 分别在
对边BC 和DA 上,且AF = CE. 求证: 四边形AECF 是平
行四边形.
●
分析
我们已经有了三种判定平行四边形的方法,
根据已知条件AF = C E,若运用刚刚得到的判定定理2,
则只需证明AF ∥C E.
●
证明
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD∥CB(平行四边形的对边平行),
即AF∥C E.
又∵AF = C E,
∴四边形AECF 为平行四边形(一组对边平行且相
等的四边形是平行四边形).
思考
还可以用其他方法证明例1 吗? 哪种方法较为简捷?
你还能用
其他方法证明
吗?
图18. 2. 5
当所要证的
命题可以使用多
种方法证明时,
可根据题目的条
件选择较简捷的
证明方法.
第18 章 平行四边形·85
练 习
1. 在如图的格点图中,每一格点与它周围各个格点的距离相等. 以格点为顶点,你能
画出多少个平行四边形?
2. 如图,在▱ABCD 中,E、F 分别是边AB 和CD 的中点. 求证: EF = BC.
3. 如图,在▱ABCD 中,已知M 和N 分别是AB 和D C 上的中点,那么四边形BNDM
也是平行四边形吗? 试用多种方法证明你的猜想.
(第1 题)
(第2 题)
(第3 题)
思考
由平行四边形的性质“平行四边形的两条对角线互
相平分”,逆向思考,互换条件与结论,试写出它的逆命
题. 你认为它是一个真命题吗?
条件
结论
平行四边形的两条
对角线互相平分
逆命题
如图18. 2. 6,作一个两条对角线互相平分的四边形.
步骤:
1. 任意画两条相交直线m、n,记交点为O;
2. 以点O 为中心,分别在直线m、n 上截取OB 与
图18. 2. 6
86
·第18 章 平行四边形
OD、OA 与OC,使OB = OD, OA = OC,顺次连结所得的
四点,即得到一个两条对角线互相平分的四边形ABCD.
它是平行四边形吗?
相信你与你的同伴都会发现所作的四边形是一个平
行四边形.
由此我们又得到平行四边形的一种判定方法:
平行四边形的判定定理3 对角线互相平分的四边
形是平行四边形.
我们可以用演绎推理证明这一结论.
已知: 如图18. 2. 7,在四边形ABCD 中,对角线AC
和BD 相交于点O, OA = OC, OB = OD.
求证: 四边形ABCD 是平行四边形.
●
分析
要证明四边形ABCD 是平行四边形,可以用
定义,也可以用平行四边形的两条判定定理.
●
例2
如图18. 2. 8,在▱ABCD 中,点E、F 是对角
线AC 上的两点,且AE = CF. 求证: 四边形BFDE 是平
行四边形.
●
分析
连结BD,交AC 于点O,由四边形ABCD 是
平行四边形,可得OB = OD. 如果能证明OE = OF, 就
可以根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形” 得
到四边形BFDE 是平行四边形.
●
证明
连结BD,交AC 于点O.
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴OB = OD, OA = OC (平行四边形的对角线互相
平分).
又∵AE = CF,
∴OA - AE = OC - CF,
即OE = OF,
∴四边形BFDE 是平行四边形(对角线互相平分的
四边形是平行四边形).
图18. 2. 7
请选择一种
方法加以证明.
图18. 2. 8
第18 章 平行四边形·87
思考
现在我们总共学习了多少种判定平行四边形的方法
(包括定义)? 这些判定方法与平行四边形的性质之间,
又有怎样的关系呢?
由平行四边形的性质,联想平行四边形的判定方法,通过合情推
理,提出猜想. 这是一个由原命题到逆命题的逆向思维的过程,今后在
探索和研究其他几何问题时还会继续运用.
练 习
(第1 题)
1. 如图,延长△ABC 的中线AD 至点E,使DE = AD,那么四
边形ABEC 是平行四边形吗? 为什么?
2. 如图,在▱ABCD 中,两条对角线AC 和BD 相交于点O,
E、F、G、H 分别是AO、B O、C O、D O 的中点,以图中标明
字母的点为顶点,尽可能多地画出平行四边形.
3. 在四边形ABCD 中,AB∥CD,对角线AC、BD 相交于点
O,EF 过点O 交AB 于点E,交CD 于点F,且OE = OF.
求证:四边形ABCD 是平行四边形.
(第2 题)
(第3 题)
88
·第18 章 平行四边形
●
例3
如图18. 2. 9,在▱ABCD 中,点F、H 分别在
边AB、CD 上,且BF = DH. 求证:AC 和HF 互相平分.
●
分析
因为AC 和HF 是四边形AFCH 的对角线,
所以要证明AC 和HF 互相平分,只需证明四边形AFCH
是平行四边形.
●
证明
分别连结AH、CF.
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB ∥CD(平行四边形的对边平行),
AB = CD(平行四边形的对边相等).
又∵BF = DH,
∴AB - BF = CD - DH,
即AF = CH,
∴四边形AFCH 是平行四边形(一组对边平行且相
等的四边形是平行四边形),
∴AC 和HF 互相平分(平行四边形的对角线互相
平分).
●
例4
如图18. 2. 10,在四边形ABCD 中, ∠A =
∠C, ∠B = ∠D. 求证:四边形ABCD 是平行四边形.
●
分析
根据∠A = ∠C, ∠B = ∠D, 可以证明四
边形ABCD 的两组对边分别平行,从而根据定义可得四
边形ABCD 是平行四边形.
●
证明
在四边形ABCD 中,
∵∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°,
∠A = ∠C, ∠B = ∠D,
∴2(∠A + ∠B) = 360°,
即∠A + ∠B = 180°,
∴AD ∥CB.
同理可证AB∥CD.
∴四边形ABCD 是平行四边形(两组对边分别平行
的四边形是平行四边形).
图18. 2. 9
图18. 2. 10
第18 章 平行四边形·89
练 习
1. 如图,在▱ABCD 中,点E、F 分别在边BC、AD 上,且AE∥CF. 求证:AE = CF.
2. 如图,在▱ABCD 中,E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD、DA 的中点. 求证:四边形
EFGH 是平行四边形.
(第1 题)
(第2 题)
(第3 题)
3. 如图,在▱ABCD 中,AF = CH, DE = BG. 求证:EG 和HF 互相平分.
●
例5
如图18. 2. 11,四边形AEFD 和EBCF 都是
平行四边形. 求证:四边形ABCD 是平行四边形.
●
证明
∵四边形AEFD 是平行四边形,
∴ADEF.
又∵四边形EBCF 是平行四边形,
∴BCEF.
∴ADBC.
∴四边形ABCD 是平行四边形(一组对边平行且相
等的四边形是平行四边形).
●
例6
如图18. 2. 12, G、H 是▱ABCD 对角线AC
上的两点,且AG = CH, E、F 分别是边AB 和CD 的中点.
求证:四边形EHFG 是平行四边形.
●
证明
连结EF 交AC 于点O.
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴ABCD.
又∵E、F 分别是边AB、CD 的中点,
∴AE = CF.
又∵AB ∥CD,
∴∠EAO = ∠FCO.
图18. 2. 11
图18. 2. 12
90
·第18 章 平行四边形
在△AOE 和△COF 中,
∵∠EAO = ∠FCO,
∠AOE = ∠COF,
AE = CF,
∴△AOE !△COF,
∴OE = OF, OA = OC.
又∵AG = CH,
∴OG = OH.
∴四边形EHFG 是平行四边形(对角线互相平分的
四边形是平行四边形).
练 习
1. 在四边形ABCD 中, AB ∥CD, ∠B = ∠D. 求证:四边形ABCD 是平行四边形.
2. 如图,四边形ABCD 是平行四边形,AE、CF 分别与直线DB 相交于点E 和点F,且
AE∥CF,分别连结点C、E 和点A、F. 求证:四边形AFCE 是平行四边形.
(第2 题)
(第3 题)
3. 如图,▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,直线EF 过点O,且与AB、DC 分别
相交于点E 和点F,直线GH 过点O 且与AD、BC 分别相交于点G 和点H. 求证:四
边形GEHF 是平行四边形.
习题18. 2
1. 用两个全等的三角形,按照不同的方法拼成四边形,可以拼成几个不同的四边
形? 它们都是平行四边形吗? 为什么?
2. 如图,在▱ABCD 中,E、F 是对角线AC 上的两点,BE⊥AC 于点E,DF⊥AC 于点
F. 求证:四边形BEDF 是平行四边形.
第18 章 平行四边形·91
3. 如图,在▱ABCD 中,E、F 分别是边AB、CD 的中点,AF 与DE 相交于点G, CE
与BF 相交于点H. 求证:四边形EHFG 是平行四边形.
(第2 题)
(第3 题)
4. 如图,点A、B、E 在同一条直线上, AB = D C, ∠C = ∠CBE. 求证: AD = BC.
(第4 题)
(第5 题)
5. 如图,在四边形ABCD 中,M 是边BC 的中点,AM、BD 互相平分并交于点O. 求
证: AMDC.
稳定性PK 不稳定性
你知道英国剑桥大学的数学桥吗? 那是一座古老的灰色木质桁架桥,又被称
为牛顿桥,或牛顿数学桥. 传说这座桥最初是由数学家牛顿设计和制造的,没有用
一根钉子. 后来有学生好奇,将桥拆下来,探究其中的奥秘,不料重新拼装时,却无
法复原,只好用钉子帮忙,成为现在看到的模样. 当然这只是一个动人的传说,激励
年轻学生自己动手尝试,“自己尝试”正是剑桥大学的一种优良的传统学风.
剑河上的数学桥,结构严谨,桥身相邻桁架之间都构成11. 25°的夹角. 在18
世纪,这种设计称为几何结构,而每根斜撑的木杆都很长,充分发挥三角形的稳
定性,所以这是一座名副其实的“数学桥”.
92
·第18 章 平行四边形
你瞧,这里用到了你熟悉的三角形的稳定性. 将三根木条用钉子钉成一个三
角形木架,要想扭动它,使它改变形状,那可是难上加难. 而将四根木条用钉子钉
成一个四边形木架,只需轻轻一推,它就会立即变形. 但若在四边形木架上再钉
上一根木条,将它的一对顶点连结起来,那就无法扭动,十分稳定了.
由此看来,平行四边形具有不稳定性. 但你可知道,正是这种不稳定性,给我
们的生活带来了极大的方便. 例如,某些工厂和公司的电动伸缩门、商店的铁拉
门、活动衣架等,要是没有平行四边形的不稳定性,它们还无法正常使用呢.
早年,一些工程技术人员还使用过一种放缩尺绘制图形,将一个原本较小的
图形放大若干倍,使其更为明晰、清楚. 当然,现在有了计算机和相应的软件,已
经不再需要诸如此类的简单工具了.
可见,数学广泛存在于我们的日常生活中,无论何时何地,都有数学之美!
第18 章 平行四边形·93
一、知识结构
平行四边形—
—
性质—
—
对边相等
—
对角相等
—
对角线互相平分
—
判定—
—
(定义)两组对边分别平行的四边形是平行四边形
—
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
—
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
—
对角线互相平分的四边形是平行四边形
二、要点
1. 本章的主要内容是平行四边形的性质与判定. 探索并证明了平
行四边形的三个性质定理:平行四边形的对边相等、对角相等、对角线
互相平分. 还探索并证明了平行四边形的三个判定定理:两组对边分
别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行
四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形.
2. 本章把合情推理与演绎推理相结合,运用动态的变换方法,通
过动手操作与多种思维方式(包括逆向思维等),探索猜想平行四边形
的性质与判定方法,进而依据基本事实与一些已知的定理,通过演绎
推理加以证明. 体现了“让几何动起来”的思想,展示了“探索———归纳
与猜想———证明”的全过程,这是我们认识平面图形,解决相关几何问
题的一种重要方法.
94
·第18 章 平行四边形
A组
1. 判断题(对的在括号内填“”,错的在括号内填“ × ”)
(1) 平行四边形的两组对边分别平行.
( )
(2) 平行四边形的四个内角都相等.
( )
(3) 平行四边形相邻两个内角的和等于180°.
( )
(4) 如果平行四边形相邻两边的长分别是3、5,那么它的周长是16.
( )
(5) 如果在▱ABCD 中,∠A = 40°,那么∠B = 50°.
( )
2. 如图,点P 是▱ABCD 内一点,过点P 作直线EF、GH 分别平行于AB、BC,与
▱ABCD 分别交于G、F、H、E,试找出图中的平行四边形,与你的同伴比一比,
看谁找得多.
3. 如图,在▱ABCD 中, ∠BAC = 68°, ∠ACB = 36°. 求∠D 和∠BCD 的大小.
(第2 题)
(第3 题)
(第4 题)
4. 如图,在▱ABCD 中,∠A + ∠C = 140°. 求∠A、∠B、∠C、∠D 的大小.
5. 已知平行四边形中相邻两边的长度的比是3∶4,其中较长的边长是6 cm. 求这
个平行四边形的周长.
6. 如图,在四边形ABCD 中, ∠B = ∠D, ∠1 = ∠2. 求证:四边形ABCD 是平行四
边形.
(第6 题)
(第7 题)
7. 如图,延长▱ABCD 的边AD 到点F,使DF = DC,延长CB 到点E,使BE = BA,
分别连结点A、E 和点C、F. 求证: AE = CF.
8. 求证:平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等.
第18 章 平行四边形·95
B组
9. 如图,E 是▱ABCD 边BC 上的一点,且AB = BE,连结AE,并延长AE 与DC 的延
长线交于点F, ∠F = 60°. 求这个平行四边形各内角的大小.
(第9 题)
(第10 题)
10. 如图,在▱ABCD 中,点M、N 分别在边AD、BC 上,点E、F 在对角线BD 上,且
DM = BN, BE = DF. 求证:四边形MENF 是平行四边形.
11. 如图,D 是等腰三角形ABC 底边BC 上的一点,点E、F 分别在边AC、AB 上,且
DE ∥AB, DF ∥AC. 试问DE、DF 与AB 之间有什么关系? 请说明理由.
(第11 题)
(第12 题)
12. 如图,以▱ABCD 的边AD、BC 为边分别向外作等边三角形ADE 和BCF. 求证:
四边形DEBF 是平行四边形.
13. 如图,▱ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O,点E、F 在边AC 上,点G、H 在边
BD 上,且AE = CF, BG = DH. 求证: GF = HE.
(第13 题)
(第14 题)
14. 如图,点O 为▱ABCD 的对角线BD 的中点,直线EF 经过点O,分别交BA、DC 的
延长线于点E、F,分别连结点B、F 和点D、E. 求证:四边形BFDE 是平行四边形.
96
·第18 章 平行四边形
(第15 题)
15. 如图,▱ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O, EF
经过点O 且分别交AB、CD 于点E、F,点G、H 分
别为OA、OC 的中点. 求证:四边形EHFG 是平行四
边形.
16. 尽可能多地用各种方法画一个平行四边形.
C组
17. 如图,△ABC 与△ADE 都是等边三角形, CD = BF. 求证: 四边形CDEF 是平行
四边形.
18. 如图,在▱ABCD 中,过对角线AC 的中点O 作直线E F 分别与AD、BC 交于点
E、F,连结BE、AF 相交于点G,连结EC、FD 相交于点H,图中有几个平行四边
形,为什么?
(第17 题)
(第18 题)
19. 在△ABC 中, 点D、E、F 分别为边BC、AB、AC 上的点,连结FD,并延长至点G.
已知FD ∥AB,你认为再增加什么条件,可以使得线段AG 与ED 互相平分?画出
图形,试试看,相信你一定会得到满意的答案.
98
·第19 章 矩形、菱形与正方形
19.1 矩 形
1. 矩形的性质
如图19. 1. 1,用四根木条做一个平行四边形的活
动木框, 将其直立在地面上并轻轻推动, 你会发现
什么?
图19. 1. 1
可以发现,角的大小改变了,但不管如何,它仍然保
持平行四边形的形状.
我们若改变平行四边形的内角,使其一个内角恰好
为直角,就得到一种特殊的平行四边形,也就是我们早已
熟悉的长方形,即矩形(rectangle),如图19. 1. 2 所示. 矩
形是有一个角为直角的平行四边形.
思考
作为一种特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形
的一般性质,同时也具有一些特殊的性质. 观察图19. 1. 2
所示的矩形,将你的发现填入下表.
你知道为什
么还保持平行四
边形的形状吗?
矩形是一种
特殊的平行四边
形.
图19. 1. 2
第19 章 矩形、菱形与正方形·99
对称性
边
角
对角线
平行四边形的
一般性质
中心对称
矩形的
特殊性质
我们发现,作为特殊的平行四边形,矩形既是中心对
称图形,也是轴对称图形,对称轴为通过对边中点的
直线.
由此,很容易猜想矩形所具有的一些特殊性质:
矩形的性质定理1 矩形的四个角都是直角.
矩形的性质定理2 矩形的对角线相等.
对于性质定理1,如图19. 1. 3,我们很容易根据矩形
的定义和平行四边形角的性质加以证明.
图19. 1. 3
图19. 1. 4
对于性质定理2,如图19. 1. 4,我们可以找到对角线
AC、BD 分别所在的三角形,借助性质定理1 证明这两个
三角形全等,从而得到结论.
●
例1
如图19. 1. 5,矩形ABCD 被两条对角线分成
四个小三角形,如果四个小三角形周长的和是86 cm,矩
形的对角线长是13 cm,那么该矩形的周长是多少?
图19. 1. 5
矩形有几条
对称轴?
请给出完整
的证明过程.
100
·第19 章 矩形、菱形与正方形
●
解
∵△AOB、△BOC、△COD 和△AOD 四个
小三角形周长的和为86 cm,
∴AB + BC + CD + DA + 2(OA + OB + OC + OD)
= AB + BC + CD + DA + 2(AC + BD)
= 86.
又∵AC = BD = 13(矩形的对角线相等),
∴AB + BC + CD + DA = 86 - 2(AC + BD)
= 86 - 4 × 13
= 34(cm),
即矩形ABCD 的周长等于34 cm.
练 习
1. 如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,试找出图中相等的线段与相
等的角.
2. 如图,矩形ABCD 的两条对角线相交于点O, ∠AOD = 120°. 求证:AC = 2AB.
3. 如图,在矩形ABCD 中,点E 在边CD 上. 将该矩形沿AE 折叠,恰好使点D 落在边
BC 上的点F 处, 如果∠BAF = 60°,求∠DAE 的大小.
(第1 题)
(第2 题)
(第3 题)
●
例2
如图19. 1. 6,在矩形ABCD 中, AB = 3,
BC = 4, BE ⊥AC,垂足为点E. 试求BE 的长.
图19. 1. 6
第19 章 矩形、菱形与正方形· 101
●
解
在矩形ABCD 中, ∠ABC = 90°,
AC =
AB
2 + BC
2
=
3
2 + 4
2 =
25 = 5.
又∵S△ABC = 1
2 AB·BC = 1
2 AC·BE,
∴BE = AB·BC
AC
= 3 × 4
5
= 2. 4.
●
例3
如图19. 1. 7,在矩形ABCD 中,对角线AC 与
BD 相交于点O, AE 垂直且平分线段BO,垂足为点E,
BD = 15 cm. 求AC、AB 的长.
●
解
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AC = BD = 15(矩形的对角线相等),
∴AO = 1
2 AC = 7. 5.
∵AE 垂直平分BO,
∴AB = AO = 7. 5.
即AC 的长为15 cm, AB 的长为7. 5 cm.
练 习
1. 如图,在矩形ABCD 中,E 是AD 边上的一点. 试说明△BCE 的面积与矩形ABCD 的
面积之间的关系.
2. 如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O, ∠AOB = 60°, AB = 3. 6. 求AC
与AD 的长. (精确到0. 1)
(第1 题)
(第2 题)
(第3 题)
3. 如图,点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一个动点,矩形的两条边长AB、BC 分别为8
和15. 求点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和. (提示:记对角线AC 和
BD 的交点为点O,连结OP)
图19. 1. 7
102
·第19 章 矩形、菱形与正方形
2. 矩形的判定
我们已经知道,有一个角是直角的平行四边形是矩
形,这是矩形的定义,我们可以依此判定一个四边形是否
是矩形. 除此之外,我们能否找到其他判定矩形的方法呢?
矩形是特殊的平行四边形,具有如下性质:
1. 四个角都是直角;
2. 两条对角线相等.
这些性质,对我们寻找判定矩形的方法有什么启示?
思考
让我们先思考有关的角. 由矩形的性质“四个角都
是直角”,你可能会想到,如果一个四边形的四个角都是
直角,那它肯定是一个矩形. 的确如此,但是,条件能否再
减少一些,三个角是直角的四边形是矩形吗?
如图19. 1. 8,作一个三个角都是直角的四边形.
图19. 1. 8
步骤:
1. 任意作两条互相垂直的线段AB、AD;
2. 过点B 作垂直于AB 的直线l;
3. 过点D 作垂直于AD 的直线m,交l 于点C,即得
一个三个角都是直角的四边形ABCD.
观察你所作的图形,它是一个矩形吗?
由此可以得到判定矩形的一种方法:
矩形的判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形.
你能证明这
个结论吗?
第19 章 矩形、菱形与正方形· 103
思考
现在让我们再思考有关的线段. “对角线相等”是矩
形所特有的性质. 那么从对角线的角度,你可以得到关于
矩形判定的什么猜想? 与你的同伴交流一下,看看你们
的想法是否一致、可行.
由此,我们可以得到一个猜想:“如果一个平行四边
形的两条对角线相等,那么这个平行四边形是矩形. ”
如图19. 1. 9,作一个对角线相等的平行四边形.
步骤:
1. 任意作两条相交的直线,交点记为O;
2. 以点O 为圆心、适当长为半径画弧,在两条直线
上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD;
3. 顺次连结所得的四点,即得一个对角线相等的平
行四边形ABCD.
和你的同伴交流一下,看看这个平行四边形是否是
矩形.
由此可以得到判定矩形的另一种方法:
矩形的判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形.
下面我们用演绎推理予以证明.
已知:如图19. 1. 10,四边形ABCD 是平行四边形,
AC = BD.
求证: 四边形ABCD 是矩形.
●
证明
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴ABDC,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°.
又∵AC = DB, BC = CB,
∴△ABC !△DCB,
∴∠ABC = ∠DCB = 90°,
∴四边形ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四
边形是矩形).
图19. 1. 9
图19. 1. 10
104
·第19 章 矩形、菱形与正方形
这一判定方法在日常生活中经常被应用. 例如,木工
师傅在制作门框或其他矩形形状的物体时,常用测量对
角线的方法,来检验产品是否符合要求.
●
例4
如图19. 1. 11,点O 是矩形ABCD 的对角线
AC 与BD 的交点,E、F、G、H 分别是AO、B O、C O、D O
上的一点,且AE = BF = CG = DH. 求证: 四边形EFGH
是矩形.
●
分析
根据已知条件,我们可以先证明四边形
EFGH 是平行四边形,再证明对角线EG 和FH 相等,即
可得证.
●
证明
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AO = B O = C O = DO.
∵AE = BF = CG = DH,
∴OE = OF = OG = OH,
∴四边形E FGH 是平行四边形.
∵EO + OG = FO + OH,
即EG = FH,
∴四边形EFGH 是矩形(对角线相等的平行四边形
是矩形).
练 习
1. 如图,AB、CD 是☉O 的两条直径,四边形ACBD 是矩形吗? 证明你的结论.
2. 如图,在▱ABCD 中, ∠1 = ∠2. 此时,四边形ABCD 是矩形吗? 为什么?
(第1 题)
(第2 题)
(第3 题)
3. 如图,在四边形ABCD 中,BF = DE,AC 和EF 互相平分并交于点O,∠B = 90°. 求
证:四边形ABCD 是矩形.
图19. 1. 11
第19 章 矩形、菱形与正方形· 105
●
例5
如图19. 1. 12,四边形ABCD 是由两个全等
的正三角形ABD 和BCD 组成的,M、N 分别为BC、AD
的中点. 求证:四边形BMDN 是矩形.
●
分析
由已知条件,可知BN⊥AD, DM⊥BC,因
此,在四边形BMDN 中,已有两个角是直角,只需再证明
另一个角也是直角即可得到它是一个矩形.
●
证明
∵△ABD 和△BCD 是全等的正三角形,
∴∠ADB = ∠CDB = 60°.
又∵M、N 分别为BC、AD 的中点,
∴BN ⊥AD, DM ⊥BC, ∠BDM = 30°,
∴∠DNB = ∠DMB = 90°,
∠MDN = ∠ADB + ∠BDM = 90°,
∴四边形BMDN 是矩形(有三个角是直角的四边形
是矩形).
●
例6
如图19. 1. 13,在△ABC 中, AB = AC, AD⊥
BC,垂足为点D,AG 是△ABC 的外角∠FAC 的平分线,
DE ∥AB,交AG 于点E. 求证:四边形ADCE 是矩形.
●
分析
根据已知条件AB = AC, 我们可以先通过证明
四边形ABDE 是平行四边形, 得到DE = AB = AC, 因此可
以利用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理.
●
证明
∵AB = AC, AD ⊥BC,
∴∠B = ∠ACB, BD = DC.
又∵AE 是△ABC 的外角∠CAF 的平分线,
∴∠1 = 1
2 ∠CAF = 1
2 (∠B + ∠ACB) = ∠B,
∴AE ∥BC.
又∵AB ∥DE,
∴四边形ABDE 是平行四边形,
∴AE = BD, AB = DE,
∴AC = DE, AE = DC.
又∵AE ∥DC,
∴四边形ADCE 是平行四边形,
∴四边形ADCE 是矩形(对角线相等的平行四边形
是矩形).
图19. 1. 12
图19. 1. 13
106
·第19 章 矩形、菱形与正方形
练 习
1. 如图,AD、AE 分别是△ABC 的内角∠BAC 和外角∠BAF 的平分线,BE ⊥AE,
DA⊥BC. 求证:四边形AEBD 是矩形.
2. 一个四边形满足:它的每个顶点到其他三个顶点的距离之和相等. 试证明该四边
形为矩形.
(第1 题)
(第3 题)
3. 如图,将▱ABCD 的边DC 延长到点E,使CE = DC,连结AE,交BC 于点F, ∠AFC =
2∠D,连结AC、BE. 求证:四边形ABEC 是矩形.
习题19. 1
1. 如图,在▱ABCD 中, AB = 6, BC = 8, AC = 10.
(1) 求证:四边形ABCD 是矩形;
(2) 求BD 的长.
(第1 题)
(第2 题)
2. 如图,在▱ABCD 中,O 是边AB 的中点,且∠AOD = ∠BOC. 求证:四边形ABCD
是矩形.
第19 章 矩形、菱形与正方形· 107
3. 如图,在△ABC 中,AB = AC,点D 是边BC 的中点. 过点A、D 分别作BC 与AB 的
平行线,并交于点E,连结EC、AD. 求证:四边形ADCE 是矩形.
(第3 题)
(第4 题)
4. 如图,在▱ABCD 中,AF、BH、CH、DF 分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD 与∠CDA
的平分线,AF 与BH 交于点E,CH 与DF 交于点G. 求证: EG = FH.
5. 如图, AB = AC, AE = AF,且∠EAB = ∠FAC, EF = BC. 求证:四边形EBCF 是
矩形.
(第5 题)
(第6 题)
6. 如图,将矩形纸片ABCD 折叠,先折出折痕(对角线)BD,再折叠,使边AD 与对角
线BD 重合,得折痕DG, AB = 2, BC = 1. 求AG 的长. (精确到0. 01)(提示:作
GE ⊥BD,记垂足为点E,设AG = x,列出x 满足的等量关系)
完美矩形
在房屋装修时,客厅地面铺设地砖,通常是使用同样大小的正方形地砖.
而若客厅里的矩形地面上,正方形地砖的大小各不相同,砖与砖之间、砖与
墙之间没有空隙,并且能使每块地砖都保持完整,那将是多么奇特别致啊!
108
·第19 章 矩形、菱形与正方形
如果一个矩形内部能用一些大小各不相同的正方形铺满,既不重叠,又无缝
隙,就称它为完美矩形(perfect rectangle). 完美矩形非常罕见,一旦遇到,总会立
刻吸引人们注意,多看几眼.
图1
图1 是一个完美矩形的例子. 它是用10 个不同大小的正方形拼成的,其中
最小的一个正方形内写着数字3,表明它的边长是3,其他正方形内用字母表示
边长.
图中这些用字母表示的正方形边长各是多少? 这个完美矩形的长和宽又是
多少呢?
由该图可以看出各条边的长满足以下关系式:
a = g + 3,
h = g - 3,
b = a + 3 - d,
e = b - d,
f = d - e,
h = d + f + 3,
c = b + e,
k = f + h,
e + c = f + k.
这样就构成了一个九元一次方程组. 由前六个式子可得
g = 2d.
由此容易求出
第19 章 矩形、菱形与正方形· 109
a = 25, b = 17, c = 23,
d = 11, e = 6, f = 5,
g = 22, h = 19, k = 24.
矩形的长和宽分别是65 和47.
图1 中的矩形由10 个正方形拼成,称为10 阶完美矩形. 这是一个非常好的
例子,矩形的长和宽很小,正方形个数也相对较少.
组成完美矩形的正方形个数能不能更少些呢?
图2 是一个9 阶完美矩形的例子,它的长和宽分别是33 和32,组成它的9
个正方形,边长从小到大,顺次是:1,4,7,8,9,10,14,15,18.
图2
正方形的个数还能不能再减少呢? 能不能用8 个边长各不相同的正方形拼
成一个矩形?
这是不可能的,数学上已经证明,完美矩形的最低阶数是9.
完美矩形的例子再次告诉我们,在日常生活中,隐含着许多数学道理,等待
我们去研究和探索.
110
·第19 章 矩形、菱形与正方形
19.2 菱 形
1. 菱形的性质
将一张矩形的纸对折,再对折,然后沿着
图中的虚线剪下,打开,你发现这是一个什么
样的图形?
这就是另一种特殊的平行四边形,即菱形(rhombus).
如图19. 2. 1,菱形是有一组邻边相等的平行四边形.
思考
作为一种特殊的平行四边形,菱形具有平行四边形
的一般性质,同时也具有一些特殊的性质. 观察图19. 2. 1
所示的菱形,将你的发现填入下表.
对称性
边
角
对角线
平行四边形的
一般性质
中心对称
菱形的
特殊性质
如图19. 2. 2,我们发现,菱形既是中心对称图形,也
是轴对称图形,对称轴为它的对角线所在的直线.
图19. 2. 1
菱形有几条
对称轴? 对称中心
在哪里?
第19 章 矩形、菱形与正方形· 111
图19. 2. 2
由此,很容易猜想菱形所具有的特殊性质:
菱形的性质定理1 菱形的四条边都相等.
菱形的性质定理2 菱形的对角线互相垂直.
对于性质定理1,如图19. 2. 3,我们很容易根据菱形
的定义和平行四边形边的性质加以证明.
图19. 2. 3
图19. 2. 4
对于性质定理2,如图19. 2. 4,我们可以依据性质定
理1,找到其中的等腰三角形,由等腰三角形的“三线合
一”得到结论.
●
例1
如图19. 2. 5,在菱形ABCD 中, ∠BAD =
2∠B. 试求出∠B 的大小,并说明△ABC 是等边三角形.
●
解
在菱形ABCD 中,
∵∠B + ∠BAD = 180°,
∠BAD = 2∠B,
∴∠B = 60°.
在菱形ABCD 中,
∵AB = BC(菱形的四条边都相等),
∠B = 60°,
∴△ABC 是等边三角形.
菱形的应用非常广泛. 有一种衣帽架(如下图),可
以根据需要将它伸缩,形成各种形状的菱形,固定在墙
上,既美观又实用.
请给出完整
的证明过程.
图19. 2. 5
112
·第19 章 矩形、菱形与正方形
可伸缩的衣帽架
练 习
(第1 题)
(第3 题)
1. 如图,在菱形ABCD 中, AB = 5, OA =
4. 求菱形的周长与两条对角线的长度.
2. 试说明菱形的面积等于它的两条对角
线长的乘积的一半.
3. 如图,在菱形ABCD 中, AB = 10, BD =
12. 求该菱形的面积.
●
例2
如图19. 2. 6, 已知菱形ABCD 的边长为
2 cm, ∠BAD = 120°,对角线AC、BD 相交于点O. 试求这
个菱形的两条对角线AC 与BD 的长. (结果保留根号)
●
解
∵四边形ABCD 是菱形,
∴OB = OD, AB = AD(菱形的四条边都相等).
在△ABO 和△ADO 中,
∵AB = AD, AO = AO, OB = OD,
∴△ABO !△ADO,
∴∠BAO = ∠DAO = 1
2 ∠BAD = 60°.
在△ABC 中,
∵AB = BC, ∠BAC = 60°,
∴△ABC 为等边三角形,
∴AC = AB = 2.
在菱形ABCD 中,
∵AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直),
∴△AOB 为直角三角形,
∴BO =
AB
2 - AO
2 =
2
2 - 1
2 = 3 ,
∴BD = 2BO = 2 3 (cm).
图19. 2. 6
第19 章 矩形、菱形与正方形· 113
●
例3
如图19. 2. 7,菱形ABCD 的对角线AC 与BD
相交于点O, AE 垂直且平分CD,垂足为点E. 求∠BCD
的大小.
●
解
∵四边形ABCD 是菱形,
∴AD = DC = CB = BA(菱形的四条边都相等).
又∵AE 垂直平分CD,
∴AC = AD,
∴AC = AD = DC = CB = BA,
即△ADC 与△ABC 都为等边三角形,
∴∠ACD = ∠ACB = 60°.
∴∠BCD = 120°.
练 习
1. 如图,已知菱形ABCD 的边AB 长5 cm,一条对角线AC 长6 cm. 求这个菱形的周长
和它的面积.
2. 如图,已知菱形ABCD 的一条对角线BD 恰好与其边AB 的长相等. 求这个菱形各
内角的大小.
(第1 题)
(第2 题)
(第3 题)
3. 如图,在菱形ABCD 中,E 是AB 的中点,且DE⊥AB, AB = 4. 求:
(1)∠ABC 的大小;
(2)菱形ABCD 的面积(精确到0. 1).
2. 菱形的判定
我们已经知道,有一组邻边相等的平行四边形是菱
形,这是菱形的定义. 我们可以根据定义来判定一个四边
形是否是菱形. 除此之外,还能找到其他的判定方法吗?
图19. 2. 7
114
·第19 章 矩形、菱形与正方形
菱形是特殊的平行四边形,具有如下性质:
1. 四条边都相等;
2. 两条对角线互相垂直.
这些性质,对我们寻找判定菱形的方法有什么启
示呢?
思考
对于一般的四边形,如何寻找判定它是不是菱形的
方法呢? 由菱形的性质“ 四条边都相等”,你可能会想
到: 如果一个四边形的四条边都相等,那么它肯定是一
个菱形. 试着画一画,与周围的同学讨论,猜一猜结论是
否成立.
如图19. 2. 8,作一个四条边都相等的四边形.
步骤:
1. 画两条相等的线段AB、AD;
2. 分别以点B 和点D 为圆心、AB 长为半径画弧,两
弧相交于点C;
3. 连结BC、CD,即得一个四条边都相等的四边形
ABCD.
观察你所画的图形,它是菱形吗?
由此我们可以得到判定菱形的一种方法:
菱形的判定定理1 四条边都相等的四边形是菱形.
这里的条件能否再减少一些呢? 有三条边相等的四
边形是菱形吗? 试着画一画,相信你很快会发现,这个结
论是不成立的.
●
例4
如图19. 2. 9,在矩形ABCD 中,点E、F、G、
H 分别是四条边的中点,试问四边形EFGH 是什么图形?
并说明理由.
图19. 2. 8
你能证明这
个结论吗?
图19. 2. 9
第19 章 矩形、菱形与正方形· 115
●
分析
四边形EFGH 的四条边分别属于矩形四个
角上的三角形,如果能够证明这四个三角形全等,那么就
可以利用菱形的判定定理1,得出四边形EFGH 是菱形.
你能说出完整的证明过程吗?
练 习
1. 你还记得做过的剪纸探索吗? 如图,将一张矩形的纸对折,再对折,然后沿着虚线剪
下,打开,你发现这是一个特殊的平行四边形,即菱形. 现在你能说明其中的理由吗?
(第1 题)
2. 如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC, AB = AD, ∠BAD 的平分线AE 交BC 于点E,连结
DE. 求证:四边形ABED 是菱形.
3. 如图,在▱ABCD 中,点P 是对角线AC 上的一点,PE⊥AB, PF⊥AD,垂足分别为
点E、F,且PE = PF,▱ABCD 是菱形吗? 为什么?
(第2 题)
(第3 题)
思考
“对角线互相垂直”是菱形所特有的性质. 那么从对
角线的角度,你可以得到关于菱形判定的什么猜想? 与
你的同伴交流一下,看看你们的想法是否一致、可行.
由此,我们可以得到一个猜想:“如果一个平行四边形
的两条对角线互相垂直,那么这个平行四边形是菱形. ”
116
·第19 章 矩形、菱形与正方形
探索
如图19. 2. 10,取两根长度不等的细木棒,让两个
木棒的中点重合并固定在一起,用笔和直尺画出木棒
四个端点的连线. 我们知道,这样得到的四边形是一个
平行四边形. 转动其中一根木棒,重复上面的做法,当
两根木棒之间的夹角等于90°时,得到的是什么图形
呢?
图19. 2. 10
如图19. 2. 11,作一个两条对角线互相垂直的平行
四边形.
步骤:
1. 作两条互相垂直的直线m、n,记交点为点O;
2. 以点O 为圆心、适当长为半径画弧,在直线m 上
截取相等的两条线段OA、OC;
3. 以点O 为圆心、另一适当长为半径画弧,在直线
n 上截取相等的两条线段OB、OD;
4. 顺次连结所得的四点,即得一个对角线互相垂直
且平分的四边形ABCD,显然,它是一个对角线互相垂直
的平行四边形.
和你的同伴交流一下,看看它是否也是一个菱形.
和周围的同
学交流彼此的结
论.
图19. 2. 11
第19 章 矩形、菱形与正方形· 117
这就是判定菱形的另一种方法:
菱形的判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形
是菱形.
结论的证明很简单. 如图19. 2. 12,在▱ABCD 中,对
角线AC、BD 互相垂直,只需证明有一组邻边相等,即可
得到▱ABCD 是菱形.
●
证明
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴OA = OC.
又∵AC ⊥BD,
∴BD 所在直线是线段AC 的垂直平分线,
∴AB = BC,
∴四边形ABCD 是菱形(有一组邻边相等的平行四
边形是菱形).
●
例5
如图19. 2. 13,已知矩形ABCD 的对角线AC
的垂直平分线与边AD、BC 分别交于点E、F. 求证:四边
形AFCE 是菱形.
●
分析
要证四边形AFCE 是菱形,由已知条件可知
EF ⊥AC,所以只需证明四边形AFCE 是平行四边形,又
知EF 垂直平分AC,所以只需证明OE = OF.
●
证明
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AE ∥FC,
∴∠1 = ∠2.
∵E F 平分AC,
∴OA = OC.
又∵∠AOE = ∠C OF = 90°,
∴△AOE !△C OF,
∴OE = OF,
∴四边形AFC E 是平行四边形.
又∵E F ⊥AC,
∴四边形AFC E 是菱形(对角线互相垂直的平行四
边形是菱形).
图19. 2. 12
图19. 2. 13
118
·第19 章 矩形、菱形与正方形
练 习
(第2 题)
1. 作一个菱形,使它的两条对角线的长分别为6 cm 和8 cm,并说明其理由.
2. 如图,过▱ABCD 的对角线的交点O,作互相垂直的
两条直线EG、FH,与▱ABCD 各边分别相交于点
E、F、G、H. 求证:四边形EFGH 是菱形.
3. 设计一个由一条对角线在同一条直线上的四个菱
形交叉组成的花边图案,其长为15 cm,宽为4 cm,
试画出它的图形.
习题19. 2
1. 已知菱形ABCD 的两条对角线AC、BD 的长分别为6 cm 和8 cm. 求这个菱形的
周长和它的面积.
2. 如图,AD 是△ABC 的一条角平分线,DE∥AC 交AB 于点E,DF∥AB 交AC 于点
F. 求证:四边形AEDF 是菱形.
3. 如图,AD 是∠BAC 的平分线,AD 的垂直平分线交AB 于点E,交AC 于点F. 求
证:四边形AEDF 是菱形.
(第2 题)
(第3 题)
(第4 题)
4. 如图,在△ABC 中, AB = AC,点D 是BC 的中点,DE ⊥AC 于点E,DG ⊥AB 于点
G,EK ⊥AB 于点K,GH ⊥AC 于点H,EK 和GH 相交于点F. 求证: GE 与FD 互
相垂直平分.
5. 如图,菱形ABCD 的周长为2p,对角线AC、BD 相交于点O, AC + BD = q. 求菱形
ABCD 的面积. ( 提示: 利用两数和的平方公式( AC + BD)
2 = AC
2 + 2·AC·
BD + BD
2 与勾股定理)
第19 章 矩形、菱形与正方形· 119
(第5 题)
(第6 题)
6. 如图,四边形ABCD 是矩形,直线l 垂直平分线段AC,垂足为点O,直线l 分别与
线段AD、CB 的延长线交于点E、F. 求证:四边形AFCE 为菱形.
19.3 正方形
正方形(square)是我们早已熟悉的平面图形,它既是
中心对称图形,也是轴对称图形,具有如下性质:
1. 四条边都相等;
2. 四个角都是直角;
3. 对角线相等且互相垂直平分.
因此,正方形可以看成:
有一个角是直角的菱形;
有一组邻边相等的矩形.
●
例1
如图19. 3. 1,已知正方形ABCD. 求∠ABD、
∠DAC、∠DOC 的大小.
图19. 3. 1
●
分析
由正方形的特殊性质,可知∠DOC = 90°.
易证△ABO !△CBO,从而可得∠ABD = 1
2 × 90° =
45°,同理可得∠DAC = 45°.
正方形有几
条对称轴? 它的
对称中心在哪
里?
请写出完整
的解答过程.
120
·第19 章 矩形、菱形与正方形
讨论
老师给学生一个任务: 从一张彩色纸中剪出一个正
方形.
小明剪完后,这样检验它: 比较边的长度,发现四条
边是相等的,于是就判定自己完成了这个任务. 这种检验
可信吗?
小兵用另一种方法检验: 他量的不是边,而是对角
线,发现对角线是相等的,于是就认为自己正确地剪出了
正方形. 这种检验对吗?
小英剪完后,比较了由对角线相互分成的4 条线段,
发现它们是相等的. 按照小英的意见,这说明剪出的四边
形是正方形. 你的意见怎样?
你认为应该如何检验,才能又快又准确呢?
我们在平行四边形的学习基础
上,又探索研究了矩形、菱形、正方形
的一些内容. 这些几何图形之间的相
互关系如图所示.
矩形、菱形都是特殊的平行四边
形,因而既具有平行四边形的一般性
质,又具有它们自己的特殊性质.
正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形,它具有更多的性质.
我们在研究几何图形时,必须关注这种一般与特殊的关系,从而
更好地认识各种几何图形,顺利解决各类问题.
第19 章 矩形、菱形与正方形· 121
练 习
(第1 题)
1. 把一张矩形纸片如图那样折一下,就可以裁出正方形
纸片,为什么?
2. 判断下列命题是否正确:
(1) 正方形有四条对称轴;
(2) 正方形的两条对角线将其分成4 个全等的等腰直
角三角形;
(3) 对角线互相垂直的矩形是正方形;
(4) 对角线相等的菱形是正方形.
3. 在下列各方格图中,有多少个正方形? 有多少个矩形?
(1)
(2)
(第3 题)
4. 已知正方形纸片ABCD 的边AB 长2 cm. 求这个正方形的周长、对角线长和面积.
(长度精确到0. 1 cm)
习题19. 3
1. 如图,点E 是正方形ABCD 的边CD 上的一点,点F 是CB 的延长线上的一点,且
EA⊥AF. 求证: DE = BF.
2. 如图,在正方形ABCD 中, C E ⊥DF. 求证: C E = DF.
(第1 题)
(第2 题)
(第3 题)
3. 如图,四边形ABCD 是边长为1 的正方形,△BPC 是等边三角形. 求△BPD 的面
积. (精确到0. 01)(提示: S△BPD = S△PBC + S△PCD - S△BCD )
122
·第19 章 矩形、菱形与正方形
四边形的变身术
我们知道,一个平行四边形总可以剪开拼成一个矩形.
一个梯形可以剪开拼成一个矩形,一个矩形可以剪开拼成一个三角形.
那么任意一个四边形呢? 它也可以剪开拼成各种各样的图形. 下面给出了
一些剪拼的示意图,观察一下,你也试试看.
想想看,在这些剪拼过程中,都用到了图形的什么变换?
第19 章 矩形、菱形与正方形· 123
一、知识结构
二、要点
1. 本章探索了几种特殊的平行四边形的性质与判定方法,学会了
解决一些简单的度量问题.
2. 矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形,不仅具有平行四边
形的一般性质,都是中心对称图形,而且还是轴对称图形,分别具有一
些独特的性质.
3. 本章对于矩形、菱形、正方形的研究,继续采用合情推理与演绎
推理相结合的方法,在动态的变换过程中,探索发现这些图形的性质
和判定方法,进而通过演绎推理加以证明. 让学生经历“探索———归纳
与猜想———证明”的全过程,从而丰富数学活动经验,提高数学学习能
力.
124
·第19 章 矩形、菱形与正方形
A组
(第2 题)
1. 在▱ABCD 中,对角线AC 和BD 相交于点O.
(1) 如果∠ABO + ∠ADO = 90°,那么▱ABCD 一定是
形;
(2) 如果∠AOB = ∠AOD,那么▱ABCD 一定是
形;
(3) 如果AB = BC, AC = BD,那么▱ABCD 一定是
形.
2. 如图,在矩形ABCD 中,相邻两边AB、AD 的长度分别为
15 cm 和25 cm,∠BAD 的平分线与边BC 相交于点E. 试
求BE 与CE 的长度.
3. 已知正方形纸片ABCD 的一条对角线AC 的长为4 cm. 求
它的边长和面积. (长度精确到0. 1 cm)
4. 已知菱形的周长为20 cm,两个相邻的内角的度数之比为
1∶2. 求较短的对角线长.
5. 如图,在四边形ABCD 中, ∠B = ∠D = 90°, AB = CD. 求证: 四边形ABCD 是
矩形.
(第5 题)
(第6 题)
6. 如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,四边形ABDE、AGFC 都是正方形. 求证: BG = EC.
7. 如图,在▱ABCD 中, ∠DAB = 60°, AB = 2AD, 点E、F 分别是AB、CD 的中
点. 求证:四边形DEBF 是菱形.
(第7 题)
第19 章 矩形、菱形与正方形· 125
B组
8. 如图,在等边△ABC 中,点D 是AC 的中点,点F 是BC 的中点,以BD 为边作等
边△BDE,连结点A、E. 求证: 四边形AEBF 为矩形.
(第8 题)
(第9 题)
9. 如图,矩形ABCD 的对角线相交于点O, DE ∥CA, AE ∥BD.
(1) 求证:四边形AODE 是菱形;
(2) 若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”,其余条件不变,则
四边形AODE 是怎样的四边形? 请给出证明.
10. 如图,在△ABC 中,∠C = 90°,∠CAB、∠CBA 的平分线相交于点D,DE⊥BC
于点E,DF⊥AC于点F. 求证:
(1) 四边形CFDE 是矩形;
(2) 四边形CFDE 是菱形.
(第10 题)
(第11 题)
11. 如图,正方形ABCD 的对角线相交于点O,点O 又是另一个正方形A′B′C′O 的
一个顶点. 如果两个正方形的边长相等,那么正方形A′B′C′O 绕点O 无论怎样
旋转,两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一. 想一想,
这是为什么?
12. 尽可能多地用各种方法画一个矩形与菱形.
126
·第19 章 矩形、菱形与正方形
C组
13. 如图,在△ABC 中,边BC 上是否存在点P,过点P 分别作AB、AC 的平行线,交
AC 和AB 于点D、E,使四边形ADPE 为菱形? 请说明理由.
(第13 题)
(第14 题)
14. 如图,根据图形解答下列问题:
(1) 以△ABC 的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF,判断四边形
ADFE 的形状.
(2) 在题(1)中,是否一定存在▱ADFE? 若存在,写出△ABC 应满足的条件;
若不一定存在,请说明理由.
(3) △ABC 满足什么条件时,四边形ADFE 是矩形?
(4) △ABC 满足什么条件时,四边形ADFE 是菱形?
(5) △ABC 满足什么条件时,四边形ADFE 是正方形?
15. 如图,已知正方形ABCD 与CEFG,连结DE,以DE 为边作正方形EDHI. 试用该
图形证明勾股定理:
CD
2 + CE
2 = DE
2.
(提示:运用面积割补法)
(第15 题)
第19 章 矩形、菱形与正方形· 127
图形的等分
如图1,将一张矩形纸片顺着中缝翻折,其折痕,也就是一组对边
中点的连线所在的直线,将这个矩形一分为二,两部分的形状与大小
完全一样. 我们现在探究的图形的等分,着眼于面积的等分. 那么是否
还存在其他直线,也能将这个矩形分成面积相等的两部分呢? 你肯定
会说,那当然有! 对角线所在的直线也可以(如图2). 你还能发现其
他直线吗? 它们之间有什么共同的规律呢?
图1
图2
如果想用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分,那么应
该如何画出这两条直线呢? 你可能马上想到两组对边中点的连线所
在的直线与两条对角线所在的直线(如图3). 你还能找到其他直线
吗? 它们之间又有什么规律呢?
图3
我们知道,矩形是一种特殊的平行四边形,对于一般的平行四边
形(如图4),是否和矩形一样,也存在这样的直线,将其面积二等分,
或进一步将其面积四等分? 它们之间又有什么规律呢?
图4
128
·第19 章 矩形、菱形与正方形
进一步,平行四边形是一种特殊的中心对称图形,你的发现是否
可以引申到一般的中心对称图形(如图5)? 或许至少可以找到使其
面积二等分的直线. 动手试一试,相信你一定能找到合适的办法,得到
有意义的结果.
图5
130
·第20 章 数据的整理与初步处理
20.1 平均数
1. 平均数的意义
解决一些与不确定现象有关的问题,常常离不开收
集和分析数据,数据是我们思考的基础. 那么,有了一组
数据以后,怎样表达和概括这组数据呢? 能否找到某些
指标作为这组数据的代表呢?
我们在小学阶段已经学过的平均数(mean) 就经常
被用来作为一组数据的代表.
回顾
表20. 1. 1 给出了某户居民2010 年全年的水费缴纳
情况(每两个月计费一次),请你帮这户居民算一算:平
均每月缴纳多少水费?
表20. 1. 1 某户居民2010 年缴纳水费统计表
月份
2
4
6
8
10
12
水费(元)
50. 60
34. 60
41. 40
46. 00
39. 20
27. 60
●
例1
植树节到了,某单位组织职工开展植树竞
赛,图20. 1. 1 反映的是植树量与人数之间的关系.
图20. 1. 1 参加活动者植树量统计图
第20 章 数据的整理与初步处理· 131
请根据图中信息计算:
(1) 总共有多少人参加了本次活动?
(2) 总共植树多少棵?
(3) 平均每人植树多少棵?
●
解
(1) 参加本次活动的总人数是1 + 8 + 1 +
10 +8 + 3 + 1 = 32(人).
(2) 总共植树3 × 8 + 4 × 1 + 5 × 10 + 6 × 8 + 7 ×
3 + 8 × 1 = 155(棵).
(3) 平均每人植树155
32 ≈4. 8(棵).
思考
你发现了植树总量、植树量的平均数和人数这三者
之间的数量关系吗? 你能解释“平均每人植树4. 8 棵”
的含义吗?
●
例2
丁丁所在的八年级(1) 班共有学生40 人.
图20. 1. 2 是该校八年级各班学生人数分布情况.
图20. 1. 2
某校八年级各班学生人数分布图
(1) 请计算该校八年级每班平均学生人数;
(2) 请计算各班学生人数,并绘制条形统计图.
●
解
(1) 该校八年级学生总数为40 ÷ 20% =
200(人),
每班平均学生人数为200 ÷ 5 = 40(人).
植树竞赛
的冠军植了多
少棵树?
132
·第20 章 数据的整理与初步处理
(2) 八年级(2) 班: 200 × 23% = 46(人);
八年级(3) 班: 200 × 20% = 40(人);
八年级(4) 班: 200 × 18% = 36(人);
八年级(5) 班: 200 × 19% = 38(人).
图20. 1. 3(a) 某校八年级各班学生人数统计图
思考
如图20. 1. 3(b),在你所绘制的条形统计图中画出
一条代表平均人数40 的水平线. 图中代表各班人数的五
个条形,有的高于这条水平线,有的低于这条水平线. 想
一想,水平线上方超出部分与下方不足部分在数量上有
什么关系?
图20. 1. 3(b) 某校八年级各班学生人数统计图
将水平线上
方的超出部分剪
下来,是否恰好填
满下方的不足部
分?
第20 章 数据的整理与初步处理· 133
练 习
(第1 题)
1. 甲、乙两所学校号召学生向希望小学捐
赠图书. 已知甲校800 名学生平均每人
捐书4. 5 本;乙校学生比甲校少80 人. 如
果要达到相同的捐书总量,那么乙校学
生平均每人要捐书多少本?
2. 某省统计数据显示,2005 年上半年平均
每月进出口总额为82. 445 亿美元. 如图
是根据该省2005 年上半年每月的进出口
总额情况绘制的. 不计算上半年的进出
口总额,你能将缺少的一点补在虚线恰
当的位置上吗?
某省2005 年上半年每月进出口总额统计图
(第2 题)
2. 用计算器求平均数
当数据个数很多时,用计算器计算平均数显得非常
简便. 我们只要按照指定的顺序按键,便可得到计算
结果.
以例2 中八年级各班学生人数这组数据为例,按键
顺序如下:
134
·第20 章 数据的整理与初步处理
(1) 开机,打开计算器;
(2) 菜单2 1 ,启动“单变量统计”计算功能;
(3) 40 = 46 = 40 = 36 = 38 = AC ,输入所
有数据;
(4) OPTN 2 ,即可获得这组数据的统计值,其中平
均数x = 40.
你可以根据计算器使用说明书动手试一试,了解
怎样修改已经输入的数据,怎样简便地输入多个相同
数据.
练 习
1. 试用计算器算出以下各组数据的平均数:
(1) 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 8;
(2) 2. 578, 3. 64, 9. 8, 4. 652 3;
(3) 41, 32, 53, 43, 56, 26, 37, 58, 69, 15.
2. 已知一组数据的平均数等于7,判断下列说法是否正确,若不正确,请举出一个反例:
(1) 如果这组数据共有三个,且其中一个大于7,那么必有一个小于7;
(2) 如果这组数据共有四个,且其中两个小于7,那么必有两个大于7.
3. 加权平均数
在日常生活中,我们经常会与平均数打交道,但有时
发现以前计算平均数的方法并不适用. 请看下面的例子:
(1) 商店里有两种苹果,一种单价为3. 50 元/ 千克,另
一种单价为6 元/ 千克. 小明妈妈买了单价为3. 50 元/ 千克
的苹果1 千克,单价为6 元/ 千克的苹果3 千克,那么小
明妈妈所买苹果的平均价格是两个单价相加除以2 吗?
为什么?
你认为应
该如何计算所
买苹果的平均
价格?
第20 章 数据的整理与初步处理· 135
(2) 老师在计算学生每学期的总评成绩时,并不是
简单地将一个学生的平时成绩与考试成绩相加除以2,
而是按照“平时成绩占40% ,考试成绩占60% ” 的比例
计算(如图20. 1. 4),其中考试成绩更为重要. 这样,如果
一个学生的平时成绩为70 分,考试成绩为90 分,那么他
的学期总评成绩就应该为
70 × 40% + 90 × 60% = 82(分).
一般来说,由于各个指标在总结果中占有不同的重
要性,因而会被赋予不同的权重,上例中的40% 与60%
就是平时成绩与考试成绩在学期总评成绩中的权重,最
后计算得到的学期总评成绩82 分就是上述两个成绩的
加权平均数(weighted mean).
小青七年级第二学期的数学成绩分别为: 测验一得
89 分,测验二得78 分,测验三得85 分,期中考试得90 分,
期末考试得87 分. 如果按照图20. 1. 5 所显示的平时、期中、
期末成绩的权重,那么小青该学期的总评成绩是多少分?
问题
某公司对应聘者A、B、C、D 进行面试,并按三个方面
给应聘者打分,每个方面满分20 分,最后打分结果如表
20. 1. 2 所示. 如果你是人事主管,会录用哪一位应聘者?
表20. 1. 2 四位应聘者的面试成绩
A
B
C
D
专业知识
14
18
17
16
工作经验
18
16
14
16
仪表形象
12
11
14
14
图20. 1. 4
图20. 1. 5
136
·第20 章 数据的整理与初步处理
思考
对上述问题,甲同学说: 看谁的总分高就录用谁. 通
过计算可以发现D 的总分最高,应被录用.
这时乙同学说: 我有不同意见. 三个方面满分都是
20 分,但按理这三个方面的重要性应该有所不同,比如
专业知识就应该比仪表形象更重要.
假设上述三个方面的重要性之比为6 ∶3 ∶1 ( 如图
20. 1. 6),那么应该录用谁呢?
因为6∶3∶1 = 60% ∶30% ∶10% ,所以专业知识、工作
经验与仪表形象这三个方面的权重分别是60% 、30% 与
10% . 这样A 的最后得分为
14 × 60% + 18 × 30% + 12 × 10% = 15.
请你根据这样的权重要求,继续算出另三位应聘者
的最后得分. 从你的计算结果看,谁应被录用?
练 习
1. 某人在A 商店买了2 包饼干,单价是2. 20 元. 走了没多远,看见B 商店也有卖这
种饼干的,每包1. 80 元,于是他又买了3 包. 请先估计一下他买5 包饼干的平均
价格是小于、等于还是大于2 元,然后再算出5 包饼干的平均价格,看看你的估计
对不对.
2. 一架电梯的最大载重是1 000 千克. 现有13 位“重量级”的乘客要搭乘电梯,已知
其中11 位先生的平均体重是80 千克,2 位女士的平均体重是70 千克. 请问他们
能否一起安全地搭乘这架电梯? 他们的平均体重是多少千克?
3. 一家小吃店原有三个品种的馄饨,其中菜馅馄饨的售价为3 元/ 碗,鸡蛋馅馄饨的
售价为4 元/ 碗,肉馅馄饨的售价为5 元/ 碗. 每碗均有10 个馄饨. 该店老板准备
推出混合馄饨,请帮她解决以下问题:
(1) 如果每碗有3 个菜馅的、3 个鸡蛋馅的、4 个肉馅的馄饨,那么混合馄饨每碗
的定价应是多少?
图20. 1. 6
如果这三个
方面的重要性之
比为10 ∶7 ∶3,此
时三个方面的权
重各是多少? 哪
一位应被录用呢?
第20 章 数据的整理与初步处理· 137
(2) 如果菜馅、鸡蛋馅、肉馅馄饨的个数之比为3∶2∶5,那么混合馄饨每碗的定
价应是多少?
(3) 如果菜馅、鸡蛋馅、肉馅馄饨的个数之比为1∶1∶3,那么混合馄饨每碗的定
价应是多少?
(4) 如果混合馄饨的定价是3. 8 元,那么你建议如何合理搭配三个品种的
馄饨?
习题20. 1
(第1 题)
1. 在同一批次的圆柱形机器零件中抽出20 件,测
得外径如下:(单位: mm)
56. 1, 55. 9, 55. 9, 56. 0, 55. 8,
56. 1, 55. 7, 55. 6, 56. 3, 56. 2,
56. 2, 55. 7, 56. 3, 56. 1, 56. 2,
56. 2, 55. 9, 55. 8, 56. 0, 56. 0.
计算这些零件外径的平均值. 想一想,有哪些
不同的算法?
2. 有三组数据,第一组数据: 10, 10;第二组数据: 20, 20, 20;第三组数据: 30,
30, 30, 30, 30. 请问每组数据的平均数分别是多少? 如果将这三组数据合成一
组新的数据,请问新数据的平均数是多少?
3. 不用计算,你能根据条形统计图判断哪个班级学生的平均成绩高吗?
(第3 题)
138
·第20 章 数据的整理与初步处理
4. 某同学这学期前四次数学测验的成绩依次为93、82、76 和88,马上要进行第五次
数学测验了,她希望五次成绩的平均数能够达到或超过85 分,那么,这次测验她
至少要考多少分?
5. 已知一组数据: 0, 1, 3, 3, 3, 5, 6, 7, 9, 10,在计算这组数据的平均数时,
甲、乙、丙三位同学分别列出了如下不同的算式,请你帮他们判断对错,并说说
理由.
甲: (1 + 3 + 3 + 3 + 5 + 6 + 7 + 9 + 10) ÷ 9;
乙: (0 + 1 + 3 + 5 + 6 + 7 + 9 + 10) ÷ 8;
丙: (0 + 1 + 3 × 3 + 5 + 6 + 7 + 9 + 10) ÷ 10.
6. 学校组织演讲比赛,从演讲主题、演讲内容、基本能力、整体表现四个方面对选手
进行评分. 下表是两位选手在各个项目上的得分(百分制).
演讲主题
演讲内容
基本能力
整体表现
选手甲
80
80
90
82
选手乙
85
82
85
82
(1) 如果以上四个方面的重要性之比为2∶3∶3∶2,谁的最终成绩高?
(2) 如果以上四个方面的重要性之比为2∶2∶3∶3,情况又如何呢?
7. 上网查询2011 年中国统计年鉴,可以得到下表中关于我国人口年龄结构的
数据.
0!14 岁
15!64 岁
65 岁以上
1990 年
27. 7%
66. 7%
5. 6%
2000 年
22. 9%
70. 1%
7. 0%
2010 年
16. 6%
74. 5%
8. 9%
(1) 请根据上表中我国不同年份的人口年龄结构分别绘制各年的扇形统计图;
(2) 如果将7 岁、40 岁、70 岁分别作为每个年龄段的代表,请估算一下1990 年、
2000 年、2010 年我国人口的平均年龄分别是多少? 从中可以发现怎样的变
化趋势?
第20 章 数据的整理与初步处理· 139
平 均 化
一组数据的平均数是什么含义? 也许你会打个比方: 有一组数据“1, 1, 2,
3”,是我们每人手头现有的钱(单位: 元). 现在,我们四个人决定平分这些钱,大
家将钱全都集中到一起,一共是7 元,平分之后,每人得到1. 75 元,这1. 75 就是
原来那组数据的平均数. 不错,汇总后平分,这既是计算平均数的过程,也是从不
平均到平均的平均化过程.
在这组数据中,凡是比平均数大的数与平均数的差都是正数,比平均数小的
数与平均数的差都是负数,与平均数一样大的数(如果有的话)与平均数的差恰
好为零. 那么将所有的差相加,答案会是什么呢?
尝试一下,就以这组数据为例,所有的差之和是
(1 - 1. 75) + (1 - 1. 75) + (2 - 1. 75) + (3 - 1. 75)
= ( - 0. 75) + ( - 0. 75) + 0. 25 + 1. 25
= ( - 1. 5) + 1. 5
= 0.
经过平均化,两个原来只有1 元钱的人都额外得到了0. 75 元,他们得到的
这1. 5 元正是另外两个人一起付出的1. 5 元,正负相抵,相加应该为零. 从图上
看,两条细线长度之和与两条粗线长度之和也恰好相等.
一般地,假如这组数据是由a、b、c、d 四个数组成的,它们的平均数是m,那
么,所有的差相加是
恰好是零!
(a - m) + (b - m) + (c - m) + (d - m)
= (a + b + c + d) - 4m
= 4m - 4m = 0.
假如这组数据是由五个或更多个数组成的,我们同样可以验证此时该组数
据中每个数与平均数的差相加之和是零.
140
·第20 章 数据的整理与初步处理
20.2 数据的集中趋势
日常生活中,我们面对一组数据,常常需要寻找一个
表达这组数据总体面貌的代表:
(1) 同学问小明:“ 你知道你妈妈的鞋号是多少
吗?”小明在家里找到了9 双妈妈的鞋,鞋号分别是:
23, 23, 23, 23. 5, 23, 24, 23, 23, 24. 他的回答应该
是 ;
(2) 同学问小红:“你每个月有多少零花钱? ” 小红
查了自己的记账本,发现去年每月得到的零花钱(单位:
元) 分别是:500, 100, 100, 100, 100, 150, 100, 200,
100, 100, 100, 100. 她的回答可以是 ;
(3) 老师要评定每位学生的中文打字速度. 李兵的
三次中文打字速度检测结果(单位:字/ 分钟)分别是38,
31, 36,他的中文打字速度可评定为 ;
(4) 一家小店有5 名从业者,他们的月收入(单位:
元)分别是:8 000, 3 200, 2 100, 2 000, 2 000,该店员工
的月收入可以认为是 .
回答上述问题,还要用到代表一组数据的其他指标,
如中位数(median) 和众数(mode) 这些刻画数据集中趋
势的量.
1. 中位数和众数
问题1
根据中央电视台2011 年10 月20 日19 时30 分预
报,我国大陆各直辖市和省会城市21 日的最高气温
(℃)如表20. 2. 1 所示. 我们很容易得到这些城市21 日
最高气温的平均数为21. 7℃. 你还能从其他角度找到这
组数据的代表吗?
31 个城市
21 日最高气温
之和除以31 所
得的商是平均
数.
第20 章 数据的整理与初步处理· 141
表20. 2. 1 各地21 日最高气温(℃)预报
北京
天津
石家庄
太原
呼和浩特
沈阳
长春
哈尔滨
17
22
21
21
18
22
20
19
上海
南京
杭州
合肥
福州
南昌
济南
郑州
23
23
24
22
27
26
23
22
武汉
长沙
广州
海口
南宁
成都
重庆
贵阳
25
26
30
30
29
21
20
17
昆明
拉萨
西安
兰州
银川
西宁
乌鲁木齐
20
20
21
18
20
16
9
我们还可以用中位数或众数作为这组数据的
代表.
如图20. 2. 1,将31 个城市21 日最高气温数据按
由低到高的顺序重新排列,用去掉两端逐步接近正中
心的办法可以找出处在正中间位置的那个值,即中
位数.
图20. 2. 1
由此可以得到这些城市21 日最高气温的中位数是
21℃.
思考
如果是偶数个城市,那么用去掉两端逐步接近正
中心的办法,最后也只剩下唯一一个没被划去的数
据吗?
如果是偶数个城市,那么最后就将剩下两个处在正
中间的数. 这时,为了公正起见,我们取这两个数的平均
数作为中位数.
气温按由低
到高的顺序排列
后,处在正中间的
值是中位数.
142
·第20 章 数据的整理与初步处理
此外,如表20. 2. 2,统计每一个气温在这组数据中出
现的频数,可以找出频数最多的那个气温值,它就是众数.
表20. 2. 2
气温
(℃)
9
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 29 30
频数
1
1
2
2
1
5
4
4
3
1
1
2
1
1
2
由表20. 2. 2 可知,这些城市21 日最高气温的众数
是20℃.
思考
若有两个气温值( 如20℃和22℃) 的频数并列最
多,那么怎样确定众数呢?
这时,我们不是取20℃和22℃这两个数的平均数作
为众数,而是说这两个气温值都是众数.
我们可以把问题1 中的平均数、中位数和众数在统
计图上表示出来,如图20. 2. 2.
图20. 2. 2
平均数是概括一组数据的一种常用指标,反映了这
组数据中各数据的平均大小.
出现最频
繁的气温值是
众数.
第20 章 数据的整理与初步处理· 143
中位数是概括一组数据的另一种指标,如果将一组数
据按由小到大的顺序排列(即使有相等的数据也要全部参
加排列),那么中位数的左边和右边恰有一样多的数据.
众数告诉我们,这个值出现的次数最多. 一组数据可
以有不止一个众数,也可以没有众数.
面对收集得到的大量数据,我们可以根据问题的背景选择合适
的统计图表,让数据说话,显示其隐含的某些有用信息. 为了更好地了
解数据,需要作更深入的数据分析. 平均数、中位数和众数从不同的侧
面描述了数据的集中趋势,概括了一组数据. 正因为如此,这三个指标
常被用来作为一组数据的代表.
练 习
1. 某商场进了一批苹果,每箱苹果的质量约为5 千克. 进入仓库前,从中随机抽出10
箱称重,得到10 箱苹果的质量如下:(单位: 千克)
4. 8, 5. 0, 5. 1, 4. 8, 4. 9, 4. 8, 5. 1, 4. 9, 4. 7, 4. 7.
请指出这10 箱苹果质量的平均数、中位数和众数.
2. 判断题(对的在括号内填“”,错的在括号内填“ × ”)
(1) 给定一组数据,那么这组数据的平均数一定只有一个.
( )
(2) 给定一组数据,那么这组数据的中位数一定只有一个.
( )
(3) 给定一组数据,那么这组数据的众数一定只有一个.
( )
(4) 给定一组数据,那么这组数据的平均数一定位于最大值和最小值之间. ( )
(5) 给定一组数据,那么这组数据的中位数一定等于最小值和最大值的平均数.
( )
(6) 给定一组数据,如果找不到众数,那么众数一定就是0.
( )
3. 一名警察在高速公路上随机观察了6 辆过往车辆,它们的速度(单位: 千米/ 时)分
别为: 66, 57, 71, 54, 69, 58. 那么,这6 辆车的速度的中位数和众数分别是多少?
144
·第20 章 数据的整理与初步处理
2. 平均数、中位数和众数的选用
我们已经知道,平均数、中位数和众数都是用来代表
一组数据的,而且,它们相互之间可以相等也可以不相
等,没有固定的大小关系. 当它们不全相等时,就产生了
如何选用才恰当的问题.
问题2
八年级某班的教室里,三位同学正在为谁的数学成
绩最好而争论,他们的5 次数学成绩分别是:
小华: 62, 94, 95, 98, 98;
小明: 62, 62, 98, 99, 100;
小丽: 40, 62, 85, 99, 99.
他们都认为自己的成绩比另两位同学好,你认为呢?
●
分析
根据表20. 2. 3,小华说他的成绩平均数最
大,所以他的成绩最好;小明说应该比较中位数,他的成
绩中位数最大;小丽则说应该比较众数,她是三人中成绩
众数最大的人. 从三人的测验分数条形统计图20. 2. 3 来
看,你认为哪一个同学的成绩最好呢?
表20. 2. 3
平均数
中位数
众 数
小 华
89. 4
95
98
小 明
84. 2
98
62
小 丽
77
85
99
图20. 2. 3
三位同学似
乎都有道理, 你
的意见呢?
高一级学校
录取新生主要是
依据考生的总分,
这与平均数、中位
数和众数中的哪
一个关系较大?
第20 章 数据的整理与初步处理· 145
问题3
随着汽车的日益普及,越来越多的城市发生了令人
头痛的交通堵塞问题. 你认为用过往车辆一天车速的平
均数衡量某条交通主干道的路况合适吗?
●
分析
人们上、下班的时候是一天中道路最繁忙的
两个时段,其他时段车流量明显减少,因此,如果用一天
车速的平均数来衡量路况,那么上、下班交通堵塞的问题
就被掩盖了. 所以,较为合理的做法是按道路繁忙的不同
程度,将一天分为几个时段分别计算平均车速.
平均数、中位数和众数各有其长,也各有其短,下面
的几个例子也许能让你对它们有更深入的了解.
(1) 草地上有6 个人正在玩游戏,他们年龄的平均
数是15 岁. 请想象一下是怎样年龄的6 个人在玩游戏.
通常人们会想象是一群中学生在玩游戏,但是,如果
是一个65 岁的大娘领着5 个5 岁的孩子在玩游戏也是
有可能的嘛! 这是一个不适合用平均数而适合用众数或
中位数代表一组数据的例子,大娘的年龄把平均年龄一
下子给抬上去了.
(2) 为筹备班级的新年晚会,班长对全班同学爱吃
香蕉、橘子、柚子中的哪一种水果作了民意调查. 最终买
什么水果,显然由众数决定较好,因为它代表了全班多数
同学的意愿.
(3) 八年级有4 个班级,如果已知在一次测验中这
4 个班级每班学生的平均分,也知道各班级的学生人数,
那么,我们可以计算出整个年级学生的平均分. 但是,如
果已知的是每个班级学生成绩的中位数或者众数,那么
我们一般是没有办法得出整个年级学生成绩的中位数或
者众数的.
看看这些例
子,和你的同伴交
流一下,应如何合
理选用各种指标.
146
·第20 章 数据的整理与初步处理
请老师准备一根绳子,面对所有学生,捏住绳子的两端,将绳子拉直.
全班同学目测几秒钟后估计这根绳子的长度.
设计和完成一张统计表和一张统计图,全面反映每位同学对这根绳子
长度的估计值,计算出全班同学估计值的平均数、中位数和众数.
在全班同学估计值的基础上,请给出一个最后的估计值,作为全班集
体对这根绳子长度的估计值.
最后,老师重新出示这根绳子,由学生代表当众用尺量出这根绳子的
长度. 这个测量值与全班同学目测的估计值接近吗? 全班讨论一下比较
的结果,为什么测量值与估计值相差不大或者相差较大.
练 习
检验某厂生产的手表质量时,检查人员随机抽取了10 块手表,在下表中记下了每块
手表的走时误差(正数表示比标准时间快,负数表示比标准时间慢),你认为用这10
块手表走时误差的平均数来衡量这10 块手表的精度合适吗?
手表序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
日走时误差(秒)
- 2
0
1
- 3
- 1
0
2
4
- 3
2
习题20. 2
1. 根据所给数据,求出各组数据的平均数、中位数和众数,并填入下表. (精确到0. 1)
数 据
平均数
中位数
众 数
20, 20, 21, 24, 27, 30, 32
0, 2, 3, 4, 5, 5, 10
- 2, 0, 3, 3, 3, 8
- 6, - 4, - 2, 2, 4, 6
第20 章 数据的整理与初步处理· 147
2. 老师想知道学生每天在上学的路上要花多少时间,于是让大家将每天来校的单
程时间写在纸上. 下面是全班30 名学生单程所花的时间:(单位:分)
20, 20, 30, 15, 20, 25, 5, 15, 20, 10, 15, 35, 45, 10, 20, 25, 30, 20, 15, 20,
20, 10, 20, 5, 15, 20, 20, 20, 5, 15.
(1) 请画出学生上学单程所花时间(5 分,10 分,15 分,……)出现频数的条形统
计图;
(2) 求学生上学单程所花时间的平均数、中位数和众数;
(3) 假如老师随机地问一名学生,你认为老师最可能得到的回答是多少时间?
3. 回答下列问题,并说明理由:
(1) 河水的平均深度为2. 5 米,一个身高1. 5 米但不会游泳的人下水后肯定会
被淹死吗?
(2) 某校录取新生的平均成绩是535 分,如果某人的考分是531 分,他肯定没有
被这个学校录取吗?
(3) 5 名学生在一次考试中的得分分别是: 18, 73, 78, 90, 100,考分为73 的
学生是在平均分之上还是之下? 你认为他在5 人中考分属“ 中上” 水
平吗?
(4) 9 名学生的鞋号由小到大是: 20, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 23, 23,这组数据
的平均数、中位数和众数中哪个指标是鞋厂最不感兴趣的? 哪个指标是鞋
厂最感兴趣的?
4. 判断下列说法是否正确,若不正确,请举出反例:
(1) 只要一组数据中新添入一个数据,平均数就一定会跟着变动;
(2) 只要一组数据中有一个数据变动,中位数就一定会跟着变动.
5. 今天是张老师的生日,小华、小明、小丽和小芳都是张老师曾教过的学生,他们打
算每人带一些桃子去看望张老师. 根据以下两种情况,先分别画出条形统计图,
表示每人所带桃子的数量,再回答两种情况中哪一种用平均数代表学生每人送
的桃子数较为合理? 为什么?
(1) 小华带来8 个,小明带来20 个,小丽带来10 个,小芳带来12 个;
(2) 小华带来8 个,小明带来10 个,小丽带来10 个,小芳带来12 个.
148
·第20 章 数据的整理与初步处理
计算机帮我们求平均数、中位数和众数
Microsoft Office 中的Excel 不仅可以用来画统计图,还可以用来求平均数、
中位数和众数. 不妨就以第140 页问题1 中31 个城市21 日最高气温这组数据
为例,用计算机来求这三个指标. 操作步骤是这样的:
(1) 打开Excel,在空白表中的第一列逐个输入所有数据,一个数据占一格.
选中一个空白格,作为计算机放答案的位置,如图1 所示.
图1
(2) 点击工具栏中的“fx” 后,将显示如图2 所示的屏幕. 如果要计算平均
数,就选择“AVERAGE”;要计算中位数,就选择“MEDIAN”;要计算众数,就选择
“MODE”. 最后点击“确定”.
(3) 拖动鼠标,将我们刚才输入的这一列数据全部选中,于是,在Number 1
这一格中就会显示这列数据所在的范围(从A1 到A31),如图3 所示. 点击“确
定”,答案就出现在你刚才选定放答案的那个格子中了.
第20 章 数据的整理与初步处理· 149
图2
图3
试一试吧!
要注意的是,利用Excel 求众数时只能得到一个结果. 如果一组数据的众数
不止一个,你获得的只是首先出现的那个众数.
150
·第20 章 数据的整理与初步处理
20.3 数据的离散程度
1. 方差
问题1
表20. 3. 1 显示的是上海市2001 年2 月下旬和2002
年同期的每日最高气温,如何对这两段时间的气温进行
比较呢?
表20. 3. 1 上海市每日最高气温统计表(单位: ℃)
2 月
21 日
2 月
22 日
2 月
23 日
2 月
24 日
2 月
25 日
2 月
26 日
2 月
27 日
2 月
28 日
2001 年
12
13
14
22
6
8
9
12
2002 年
13
13
12
9
11
16
12
10
从表20. 3. 1 可以看出,2002 年2 月下旬和2001
年同期的气温相比,有4 天的气温相对高些,有3 天的
气温相对低些,还有1 天的气温相同. 我们可以由此
认为2002 年2 月下旬的气温总体上比2001 年同期
高吗?
比较两段时间气温的高低,求平均气温是一种常用
的方法.
经计算可知这两个时段的平均气温相等, 都是
12℃. 这是不是说,两个时段的气温情况总体上没有什么
差异呢?
第20 章 数据的整理与初步处理· 151
观察图20. 3. 1,你感觉它们有没有差异呢?
图20. 3. 1 两个时段最高气温变化图
通过观察,我们可以发现: 图(a)中的点波动范围比
较大———从6℃到22℃,图( b) 中的点波动范围比较
小———从9℃到16℃.
图(a)中气温的最大值与最小值之间差距很大,相
差16℃;图(b)中气温的最大值与最小值相差7℃,总体
上气温变化的范围不太大.
思考
为什么说本章导图中的两个城市,一个“四季温差
不大”,一个“四季分明”?
问题2
小明和小兵两人参加体育项目训练,近期的5 次测
试成绩如表20. 3. 2 所示. 谁的成绩较为稳定? 为
什么?
表20. 3. 2
测试次数
1
2
3
4
5
小 明
10
14
13
12
13
小 兵
11
11
15
14
11
图20. 3. 2 体育项目测试
成绩图
152
·第20 章 数据的整理与初步处理
通过计算发现,两人测试成绩的平均数都是12. 4,
成绩的最大值与最小值也都相差4. 从图20. 3. 2 可以看
到: 相比之下,小明的成绩大部分集中在平均数附近,
而小兵的成绩与其平均数的离散程度略大. 通常,如果
一组数据与其平均数的离散程度较小,我们就说它比
较稳定.
思考
怎样的指标能反映一组数据与其平均数的离散
程度呢?
我们已经看出,小兵的测试成绩与平均数的偏差与
小明相比略大. 那么如何加以说明呢? 可以直接将各数
据与平均数的差进行累加吗? 在表20. 3. 3 中写出你的
计算结果.
表20. 3. 3
1
2
3
4
5
求和
小明
每次测试成绩
10
14
13
12
13
每次成绩-
平均成绩
小兵
每次测试成绩
11
11
15
14
11
每次成绩-
平均成绩
依据最后求和的结果可以比较两组数据围绕其平
均数的波动情况吗? 如果不行,请你提出一个可行的
方案,在表20. 3. 4 中写上新的计算方案,并将计算结
果填入表中.
第20 章 数据的整理与初步处理· 153
表20. 3. 4
1
2
3
4
5
小明
每次测试成绩
10
14
13
12
13
小兵
每次测试成绩
11
11
15
14
11
思考
如果一共进行了7 次测试,小明因故缺席了2 次,怎
样比较谁的成绩更稳定? 请将你的方法与数据填入表
20. 3. 5 中.
表20. 3. 5
1
2
3
4
5
6
7
小明
每次测试
成绩
10
14
13
缺席
12
缺席
13
小兵
每次测试
成绩
11
11
15
11
14
14
11
我们可以用“先平均,再求差,然后平方,最后再平
均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况. 这个
结果称为方差(variance).
154
·第20 章 数据的整理与初步处理
我们通常用x1, x2, …表示各个原始数据,用x 表示
一组数据的平均数. 表20. 3. 2 中,小明和小兵5 次测试成
绩的方差的计算式就是
1
5 [(x1 - x)
2 + (x2 - x)
2 + (x3 - x)
2
+ (x4 - x)
2 + (x5 - x)
2].
计算可得:
小明5 次测试成绩的方差为 ,
小兵5 次测试成绩的方差为 .
计算结果是否是小明的成绩比较稳定呢?
练 习
1. 比较下列两组数据的方差:
A 组: 0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5;
B 组: 4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 5, 5.
2. 算一算,第150 页问题1 中哪一年2 月下旬每日最高气温的离散程度较大? 与你
从图20. 3. 1 中直观看出的结果一致吗?
2. 用计算器求方差
用笔算的方法计算方差比较繁琐,如果能够利用计
算器,就会大大提高效率. 下面以计算2002 年2 月下旬
的上海市每日最高气温的方差为例,按键顺序如下:
(1) 开机,打开计算器;
(2) 菜单2 1 ,启动“单变量统计”计算功能;
(3) 13 = 13 = …… 10 = AC ,输入所有数据;
(4) OPTN 2 ,即可获得这组数据的统计值,其中方
差σ
2x = 4 .
第20 章 数据的整理与初步处理· 155
练 习
下表给出了两种股票从2002 年4 月1 日到4 月19 日的交易日收盘价格,分别计算
它们的平均数和方差,并比较这两种股票在这段时间内的涨跌变化幅度.
(单位:元)
日期
1
2
3
4
5
8
9
10
11
12
15
16
17
18
19
A 股票11. 59 11. 17 11. 15 11. 62 11. 51 11. 39 11. 94 12. 29 12. 02 12. 02 11. 95 11. 97 11. 89 11. 59 11. 76
B 股票13. 49 13. 53 13. 51 14. 07 13. 84 13. 98 14. 67 14. 80 14. 61 14. 60 14. 41 14. 31 14. 38 14. 02 14. 17
习题20. 3
1. 下表是甲、乙两人10 次射击的成绩(环数).
甲
9
6
7
6
8
7
7
9
8
9
乙
2
4
6
8
7
7
8
6
9
7
(1) 将下表填写完整.
甲
乙
每次成绩
每次成绩-
平均成绩
(每次成绩-
平均成绩) 2
每次成绩
每次成绩-
平均成绩
(每次成绩-
平均成绩) 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总计
平均
(2) 谁的平均成绩高?
(3) 谁的成绩较为稳定? 为什么?
156
·第20 章 数据的整理与初步处理
(第3 题)
2. 下表是在投掷两颗正方体骰子的活动中得到的数据.
投 掷 次 数
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
出现数字之和为奇数的频数
2
4
8
10
14
17
20
22
25
26
出现数字之和为奇数的频率0. 400 0. 400 0. 533 0. 500 0. 560 0. 567 0. 572 0. 550 0. 556 0. 520
投 掷 次 数
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
出现数字之和为奇数的频数
27
28
30
34
37
40
42
45
47
50
出现数字之和为奇数的频率0. 491 0. 467 0. 462 0. 486 0. 493 0. 500 0. 494 0. 500 0. 495 0. 500
分别计算最初5 个频率值的方差和最后5 个频率值的方差,说说哪一段的频率
表现得更为稳定.
3. 某学校为选拔优秀运动员参加县中学生运动会,组织了多次百米测试,其中甲、
乙两名运动员较为突出,他们在10 次百米跑测试中的成绩(单位: 秒) 如下表
所示.
甲
10. 8
10. 9
11. 0
10. 7
11. 2
11. 1
10. 8
11. 0
10. 7
10. 9
乙
10. 9
10. 9
10. 8
10. 8
11. 0
10. 9
10. 8
11. 1
10. 9
10. 8
如果根据这10 次成绩选拔一人参加比赛,你认为哪一位比较合适?
第20 章 数据的整理与初步处理· 157
早穿皮袄午穿纱
“早穿皮袄午穿纱”是一句地方民谣,它形象地在我们面前描绘出一幅奇特
的景象: 早上寒冷得穿上又厚又重的皮袄,中午却炎热得只穿又薄又轻的纱衣.
为什么会出现这种现象? 那是因为在我国的西北地区一日之间气温变化较大,
有时午后最高气温达到30℃以上,但清晨最低气温却只有十几度. 下表是我国
西北和南方一些地区某日的最高、最低气温情况,看看西北各地区该日最高气温
和最低气温相差多大,再和南方对比一下,你将不难理解在我国西北地区为什么
广为流传“早穿皮袄午穿纱”这一句民谣.
2002 年6 月29 日我国部分地区天气情况
最高气温(℃)
最低气温(℃)
两者之差(℃)
西 北
乌鲁木齐
33
19
14
达坂城
34
19
15
石河子
33
20
13
吐鲁番
44
25
19
银 川
34
20
14
敦 煌
34
18
16
> 10
南 方
汕 头
34
27
7
高 雄
33
31
2
海 口
34
27
7
广 州
34
26
8
< 10
新疆的博格达峰和天鹅湖
158
·第20 章 数据的整理与初步处理
一、知识结构
处
理
数
据
刻画一组数据集中
趋势的指标
平均数
加权平均数
合理选用平均数、
中位数和众数
中位数
众
数
刻画一组数据离散
程度的指标
方 差
二、要点
1. 数据对我们了解所考察的对象非常重要,但过多的数据有时反
而让我们无法把握,这时通过数据分析,可以使我们更好地了解和认
识数据. 对此,我们可以做两件事: 一是制作形象的统计图表,对这组
数据形成一个整体印象;二是计算代表这组数据的平均数、中位数和
众数,以这几个指标概括这组数据. 当然,不是在所有问题中这三个指
标都有实际意义,如果某个指标没意义,自然不必计算.
有了好的工具还要用得恰当,选取一组数据的代表时要注意平均
数、中位数和众数的适用范围.
2. 对于给出的一组数据,可以通过求平均数、中位数和众数来反
映数据的集中趋势,也可以用方差、最大值与最小值的差等反映数据
的离散程度. 对于同样的数据可以有多种分析的方法,需要根据问题
的背景选择合适的方法.
3. 计算器和计算机具有强大的数据处理功能,可以将我们从繁杂
的计算和绘图工作中解放出来.
第20 章 数据的整理与初步处理· 159
A组
1. 某班30 名学生的考试成绩如下:
76, 56, 80, 78, 71, 78, 90, 79, 92, 83, 81, 93, 84, 86, 98, 61, 75, 84, 90,
73, 80, 86, 84, 88, 81, 90, 78, 92, 89, 100.
请计算这次考试全班学生成绩的平均数、中位数、众数和方差.
2. 有两组数据,第一组数据是: 1, 3, 5, 7, 9;第二组数据是: 21, 23, 25, 27, 29,
31, 33. 先分别求出这两组数据的平均数,再将这两组数据合并在一起,求合并
后这组数据的平均数,想一想,它是前两个平均数的平均数吗?
3. 下表中给出了某校六年级和九年级部分学生的身高(单位: 厘米),哪个年级的
学生平均身高较高? 哪个年级的学生身高的方差较大? 请先不计算试着回答
这两个问题,再通过计算得出答案,与你预期的答案一致吗?
六年级164 165 153 146 148 154 152 156 158 150 156 160 163 156 146 150 157 148 156 142
九年级165 164 162 151 155 169 158 173 159 156 166 154 154 153 163 152 151 158 179 166
4. 某个工程队正在修建道路. 有4 天每天修5 米,有2 天每天修7 米,有3 天每天
修10 米,有1 天修11 米. 这10 天中该工程队平均每天修建道路多少米?
B组
5. 判断下列说法是否正确,若不正确,请举出反例:
(1) n 个数的平均数就是把这n 个数的总和除以n 所得的数;
(2) n 个数的平均数一定是这n 个数中的某一个;
(3) 将n 个数由小到大排列后,如果n 是奇数,位置在正中间的数就是这n 个
数的中位数;如果n 是偶数,位置在正中间的那两个数的平均数才是这n
个数的中位数;
(4) n 个数的中位数一定是这n 个数中的某一个;
(5) 如果在n 个数中某个或某几个数出现的频数最大,那么这个或这几个数就
是这n 个数的众数,如果找不出这样的数,那么这n 个数就没有众数;
(6) 如果n 个数中存在众数,那么该众数一定是这n 个数中的某一个.
160
·第20 章 数据的整理与初步处理
6. 一些比赛中规定,在所有裁判对某选手给出的评分中,要去掉一个最高分和一
个最低分,再对剩下的评分取平均数作为这个选手的最终得分,这是为什么?
7. 如果将11、12、13、14、15 依次重复写18 遍,会得到由90 个数组成的一组数
据,请用巧妙的方法计算这组数据的平均数、中位数和众数.
C组
(第10 题)
8. 在一次业余歌手大奖赛中,三位选手的得分情况如下表所示. 请据此提出一些
问题考考你的同学.
选手A
演唱得分
84. 0
86. 8
86. 5
85. 8
87. 6
87. 9
86. 0
87. 5
86. 5
86. 6
83. 4
87. 2
声乐技巧
8. 9
8. 6
9. 0
8. 5
9. 8
8. 6
7. 1
8. 9
8. 2
8. 5
8. 5
8. 5
选手B
演唱得分
82. 0
82. 0
82. 5
82. 2
82. 4
82. 4
82. 1
82. 5
81. 0
82. 5
83. 0
84. 0
声乐技巧
7. 8
7. 5
7. 8
7. 5
7. 2
8. 3
7. 8
7. 2
7. 2
7. 5
8. 0
8. 0
选手C
演唱得分
87. 6
86. 9
86. 9
86. 8
84. 2
86. 0
86. 7
86. 7
86. 2
86. 5
86. 4
87. 0
声乐技巧
8. 9
8. 6
8. 9
8. 9
8. 9
8. 9
8. 9
8. 9
9. 0
8. 6
8. 9
8. 6
9. 有一组数据:a, b, c, d, e, f,其中a = - 10, b = 0, c = 11, d = 17, e = 17,
f = 31. 问:
(1) 增大a 对平均数、中位数和众数会产生影响吗?
(2) 去掉b 对平均数、中位数和众数会产生影响吗?
(3) 去掉c 对平均数、中位数和众数会产生影响吗?
(4) 去掉d 对平均数、中位数和众数会产生影响吗?
10. 某饮食公司为一学校提供午餐,有4 元、5 元和6 元
三种价格的饭菜供师生选择(每人限定一份). 如图
是5 月份的销售情况统计图,这个月一共销售了
10 400 份饭菜,那么师生购买午餐费用的平均数、
中位数和众数各是多少?
11. 不通过计算,比较图(1)、(2)中两组数据的平均数及方差.
(第11 题)
第20 章 数据的整理与初步处理· 161
通讯录的设计
不少同学手头都有一本通讯录,记录着同学、老师、亲戚、朋友
的通讯信息. 商店里的通讯录大多在页边上印有A、B、C、D……26
个字母,我们在记录通讯信息时,可以按照姓氏拼音的开头字母来
填写,这样查找起来就很方便. 但是由于通讯录中每一个字母所占
的页数大致相等,使用一段时间后,你可能会发现H、L、S、Z 等字
母所在的页面已经写满,而A、E、I、O 等字母的页面上只记录着少
数几个人的信息,有的甚至还是空白. 显然,这样设计的通讯录不够
合理.
请你和同伴一起,通过亲自调查,收集各种信息,例如,你们班级、
年级乃至全校同学姓名的姓氏拼音,运用数据分析的手段,设计一本
通讯录,并说明你如此设计的理由.
162
·数学实验附图
数学实验附图
方格图
数学实验附图· 163
164
·数学实验附图
数学实验附图· 165
格点图
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
166
·数学实验附图
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
数学实验附图· 167
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
168
·后 记
后
记
华东师大版初中数学教材是最早通过教育部审查的新课标初中数学教材
之一. 自2001 年秋季在7 个国家级实验区投入实验以来,已有分布在26 个省、
市、自治区的地市选用过或正在选用本套教材. 10 多年来,实验区的广大师生对
本套教材寄予了厚爱,为它的不断完善提出了许多宝贵意见. 根据这些意见,在
实验期间,我们对教材进行了多次修改. 在此,我们对多年来给予本套教材关心
的各级领导、广大实验区师生和各位同仁表示衷心感谢.
根据教育部的统一部署,在2012 年前要完成义务教育阶段所有新课标教
材的修订工作. 为了确保本套教材修订工作的顺利进行,在2011 年4 月至7 月
间,我们就本套教材的修订广泛征求了一线教师的意见. 2011 年9 月在南京召
开了“华东师大版初中数学教材修订研讨会”,来自实验区的120 多名教研员和
骨干教师以及全体编写人员参加了会议. 会议期间就本套教材修订的整体框架
达成了广泛共识. 本套教材的修订稿完成后,我们又特邀有关专家和来自教学
一线的教师进行了审稿. 参与本册教材审稿的有冯国卫、郭奕津等专家和教师.
尽管我们对修订工作倾注了心血,但现在呈现在广大师生面前的修订教材
肯定还存在有待进一步完善的地方. 我们真诚希望广大师生继续关心我们的教
材,对我们的教材不断提出新的宝贵意见.
本册教材修订的撰稿人如下(以姓氏笔画为序):
王继延、李宏、李俊、吴中才、沈加、唐复苏、程靖.
编 者
