文档内容
2009年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）
数学（文史类）
一、 选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项
是符合题目要求的。
（1） 已知集合 ,则
(A) (B)
(C) (D)
（2） 复数
（A） （B） （C） (D)
（3）对变量 有观测数据（ ， ）（ ），得散点图1；对变量 有观
测数据（ ， ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。
（A）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
（C）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
（4）有四个关于三角函数的命题：
： x R, + = : ,
: x , :
第1页 | 共11页其中假命题的是
（A） ， （B） ， （3） ， （4） ，
（5）已知圆 ： + =1，圆 与圆 关于直线 对称，则圆
的方程为
（A） + =1 （B） + =1
（C） + =1 （D） + =1
（6）设 满足 则
（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值
（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值
（7）已知 ，向量 与 垂直，则实数 的值为
（A） （B） （C） （D）
（8）等比数列 的前n项和为 ，已知 ， ,则
（A）38 （B）20 （C）10 （D）9
（9） 如图，正方体 的棱线长为1，线段
上有两个动点 E，F，且 ，则下列结论
中错误的是
（A）
（B）
（C）三棱锥 的体积为定值
（D）
（10）如果执行右边的程序框图，输入 ，那么输出
第2页 | 共11页的各个数的和等于
（A）3 （B） 3.5 （C） 4 （D）4.5
（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：
）为（A） （B）
（C） （D）
（12）用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值。设
(x 0),则 的最大值为
（A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13题）~第（21）题为必考题，每个试题考生都必
须做答。第（22题）~第（24）题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）曲线 在点（0,1）处的切线方程为 。
（14）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B
两点，若 为 的中点，则抛物线C的方程为 。
（15）等比数列{ }的公比 , 已知 =1， ，则{ }的前4项和 =
。
（16）已知函数 的图像如图所示，则 。
第3页 | 共11页三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已
知 ， ，于A处测得水深 ，于B处测得水深 ，
于 C 处测得水深 ，求∠DEF 的余弦值。
（18）（本小题满分12分）
如图，在三棱锥 中，⊿ 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º
（Ⅰ）证明：AB⊥PC
（Ⅱ）若 ，且平面 ⊥平面 ，求三棱锥 体
积。
（19）（本小题满分12分）
某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750
名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该
工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）.
（Ⅰ）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？
（Ⅱ）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2
第4页 | 共11页表1：
生产能力分
组
人数 4 8 5 3
表2：
生产能力分组
人数 6 y 36 18
（1） 先确定 ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人
中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通
过观察直方图直接回答结论）
(ii)分别估计 类工人和 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均
数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）。
（20）(本小题满分12分)
已知椭圆 的中心为直角坐标系 的原点，焦点在 轴上，它的一个项点到两个焦
点的距离分别是7和1
（Ⅰ）求椭圆 的方程
（Ⅱ）若 为椭圆 的动点， 为过 且垂直于 轴的直线上的点，
（e为椭圆C的离心率），求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
（21）（本小题满分12分）
已知函数 .
第5页 | 共11页(1)设 ，求函数 的极值；
(2)若 ，且当 时， 12a恒成立，试确定 的取值范围.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲
如图，已知 ABC中的两条角平分线 和 相交于 ，
B=60 ， 在 上，且 。
（1）证明： 四点共圆；
（2）证明：CE平分 DEF。
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。
已知曲线C ： （t为参数）， C ： （ 为参数）。
（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C 上的点P对应的参数为 ，Q为C 上的动点，求 中点 到直线
（t为参数）距离的最小值。
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
如图， 为数轴的原点， 为数轴上三点， 为线段 上的动点，设 表示
与原点的距离， 表示 到 距离4倍与 到 距离的6倍的和.
（1）将 表示为 的函数；
（2）要使 的值不超过70， 应该在什么范围内取值？
第6页 | 共11页参考答案
一、选择题
（1）D （2）C （3）C （4）A （5）B (6)B
（7）A （8）C （9）D （10）B （11）A (12)C
二、填空题
(13) (14) (15) (16)0
三、解答题
(17) 解：作 交BE于N，交CF于M．
，
，
． ．．．．．．6分
在 中，由余弦定理，
. ．．．．．．12分
（18）解：
（ Ⅰ ） 因 为 是 等 边 三 角 形 ，
,
所以 ,可得 。
第7页 | 共11页如图，取 中点 ，连结 , ,
则 , , 所以 平面 ,
所以 。 ．．．．．．6分
（Ⅱ）作 ，垂足为 ，连结 ．
因为 ， 所以 ， ．
由已知，平面 平面 ，故 ． ．．．．．．8分
因为 ，所以 都是等腰直角三角形。
由已知 ，得 ， 的面积 ．
因为 平面 ， 所以三角锥 的体积
．．．．．．．12分
（19）解：
（Ⅰ） 类工人中和 类工人中分别抽查25名和75名。 ．．．．．．4分
（Ⅱ）(ⅰ)由 ，得 ，
，得 。
频率分布直方图如下
．．．．．．8分
从直方图可以判断： 类工人中个体间的差异程度更小。 ．．．．．．9分
（ii） ，
，
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数
的估计值分别为123，133.8和131.1.
第8页 | 共11页（20）解：
（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得
解得a=4,c=3, 所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）设M（x,y）,P(x, ),其中 由已知得
而 ，故 ①
由点P在椭圆C上得
代入①式并化简得 所以点M的轨迹方程为 轨迹是两条
平行于x轴的线段······················································12分
（21）解：
（Ⅰ）当a=1时，对函数 求导数，得
令
列表讨论 的变化情况：
（-1，3） 3
+ 0 — 0 +
极大值6 极小值-26
所以， 的极大值是 ，极小值是
（Ⅱ） 的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.
若 上是增函数，从而
上的最小值是 最大值是
第9页 | 共11页由 于是有
由
所以
若a>1,则 不恒成立.
所以使 恒成立的a的取值范围是
（22）解：
（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，
所以∠BAC+∠BCA=120°.
因 为 AD,CE 是 角 平 分 线 ， 所 以
∠HAC+∠HCA=60°，
故∠AHC=120° ，于是∠EHD=∠AHC=120°.
因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四点共圆。
（Ⅱ）连结 BH，则 BH 为 的平分线，得
30°
由（Ⅰ）知B，D，H，E四点共圆，
所以 30°
又 60°，由已知可得 ，可得 30°
所以CE平分
（23）解：（Ⅰ）
为圆心是 ，半径是1的圆。
为中心是坐标原点，焦点在 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。
（Ⅱ）当 时， ，故
第10页 | 共11页为直线 ，M到 的距离
从而当 时， 取得最小值
（24）解：
（Ⅰ） （Ⅱ）依题意， 满足
解不等式组，其解集为 ，所以
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